Том 31. Тайная жизнь чисел. Любопытные разделы математики

Хоакин Наварро

«Мир математики»

№ 31

«Тайная жизнь чисел.

Любопытные разделы математики»

Предисловие

Математика — музыка разума.

Джеймс Джозеф Сильвестр

Сборники математических анекдотов пользуются определенной популярностью. Чем-то похожа на них и эта книга. Хотя истории, рассказанные в ней, не столь известны, с математической точки зрения они вызывают интерес. Математические анекдоты многим читателям кажутся не особенно смешными — гораздо чаще улыбку может вызвать многое из того, что математики говорят (и делают) с серьезным выражением лица. Порой математические истории вовсе не забавны: в прошлом веке нацистские, коммунистические и прочие тоталитарные режимы вынуждали ученых (просим у читателя извинений за излишний натурализм) вскрывать себе вены, но этот период истории вообще полон черных страниц. Впрочем, математики во все времена шутят не слишком часто, хотя любой специалист по логике мог бы заинтересоваться шутками как языковой аномалией, достойной изучения.

С математиками связаны и некоторые поистине бессмертные истории: образ компьютерного гения Алана Тьюринга, который покончил с собой, откусив отравленное яблоко, словно Белоснежка, не вызывает улыбки. Вспоминается и печальная история женщины-математика Ады Лавлейс, которая умерла от рака, — мать прятала от нее морфий и считала, что дочь своими мучениями искупает земные грехи.

По сравнению с этими историями рассказ о борьбе Годфри Харолда Харди с Богом, бурным морем и гипотезой Римана кажется пустячным.

Во время работы над книгой мы следовали вдоль оси времени, то есть старались изложить истории в хронологическом порядке, от древних к современным. Чтобы структурировать материал, каждую главу мы посвятили конкретной теме. Так, в первой главе мы расскажем истории, связанные с простейшими математическими объектами — числами. Вторая глава посвящена геометрии, третья — историям о математическом анализе (эти разделы математики были наиболее популярны до начала XX века). В четвертой главе собраны занимательные случаи, связанные со всеми остальными математическими дисциплинами и теориями. В пятой и шестой главах мы обратимся к самим математикам, которые — быть может, к своему несчастью — относятся к совершенно особому виду людей. В последней главе изложены факты, не поддающиеся классификации: среди всего прочего, в ней мы расскажем о гороскопах, которые в разные годы привлекали внимание множества людей.

Историк Эрик Темпл Белл считал математику царицей всех наук. Те, кто занимается ею, — в некотором роде особые люди, ведь математика достаточно сложна и требует четкости мышления и порой значительных умственных усилий. Возможно, мир математики кому-то покажется очень скучным, однако скромная цель автора этой книги — посмотреть на знакомую всем историю науки немного под другим углом и, избегая излишней сухости и строгости, заглянуть на ее невидимую сторону.

Глава 1

Числа

Альберт! Перестань указывать Богу, что Ему делать!

Нильс Бор — Альберту Эйнштейну

Вначале были число и фигура. Когда человек попытался овладеть ими, родилась наука, и человек начал познавать окружающий мир. Развитие науки часто сопровождалось забавными, любопытными и даже анекдотичными случаями. Упомянуть их все или даже хотя бы самые известные из них — слишком обширная задача, так что мы остановились только на самых любопытных. Нашей единственной целью было показать читателю земную сторону математики, которую слишком часто считают наукой, недоступной простым смертным.

Великое изобретение

Паламед — персонаж древнегреческой мифологии, упоминаемый в легендах об Агамемноне и Ушссе — героях Троянской войны. Мы говорим о нем потому, что Платон иронично называет его создателем математики. По легенде, Паламед был создателем мер и весов, а также их концептуального выражения — числа. Он изобрел числа — что ни говори, не самое пустяковое открытие. Платон писал о предположительном существовании Паламеда с усмешкой: «Выходит, до того как Агамемнон поговорил с Паламедом, он не знал, сколько у него ног?» Непочтительный Платон был столь же острым на язык, как и его учитель, Сократ, которого даже приговорили к смерти за инакомыслие.

Цена истины

Древние греки считали, что если измерить величину а единицей измерения Ь, то дробь а/Ь будет мерой а. Иными словами, все, что можно измерить, имеет дробную меру, или, говоря современным языком, всякая мера эквивалентна рациональному числу и наоборот. К примеру, если отрезок имеет длину 70 см, а линейка — 20 см, то дробь 70/20 = 7/2 была мерой a, измеренной Ь. Так считали ученики пифагорейской школы. Но Гиппас из Метапонта (V век до н. э.) обнаружил, что измерить диагональ квадрата, выбрав в качестве меры его сторону, невозможно.

Подчеркиваем: не очень сложно, а именно невозможно.

Диагональ квадрата несоизмерима с его стороной.

Если d = a/b, то очевидно, что мы можем выбрать а и Ь так, что они будут взаимно простыми. Достаточно сократить дробь а/b. Теперь рассмотрим самый простой случай — квадрат с единичной стороной. Теорема Пифагора гласит, что d2 = 12 + 12 = 1 + 1 = 2, то есть (а/b)2 = 2, или, если вы предпочитаете иной способ записи, а2 = 2Ь2.

Рассмотрим а подробнее. Если а четное, то b обязательно должно быть нечетным, так как мы предположили, что а и b взаимно простые. Так как а = 2р, предыдущее равенство примет вид (2р)2 = 4р2 = 2b2, следовательно, 2р2 = Ь2, откуда следует, что b2 (а следовательно, и Ь) четное. Но это невозможно, так как мы уже показали, что b должно быть нечетным.

Теперь предположим, что а нечетное. Тогда нечетным будет и a2. Однако а2 = 2Ь2, и это означает, что а2 четное, что противоречит нашей предпосылке. Как видите, получается нечто немыслимое, и первым это доказал пифагореец Гиппас.

Как известно, лучшее, что можно сделать, получив дурную весть, — это убить гонца. Ямвлих Халкидский восемь веков спустя утверждал, что пифагорейцы построили склеп, где должен будет упокоиться тот, кто откроет несоизмеримые величины. Существует несколько версий гибели Гиппаса. В самой милосердной версии он даже не упоминается и говорится лишь о том, что пифагорейцы принесли в жертву сто быков — столь велико было удивление, которое вызывали несоизмеримые величины. Так как пифагорейцы были вегетарианцами, эта гекатомба (что по-гречески и означает «сто быков») кажется возможной, но не слишком вероятной. В другой версии легенды Гиппас всего лишь был изгнан из пифагорейской школы. И в самом жестоком варианте он был сброшен в море с борта корабля. Как бы то ни было, вера пифагорейцев в истинность своего учения оставалась непоколебимой. Лишь Евдокс Книдский, открыв вещественные числа, смог разрешить загадку несоизмеримых величин.

Евангелисты, рыба и число 153

Одно из первых упоминаний о нумерологии в истории западной цивилизации содержится в 21-й главе Евангелия от Иоанна, где рассказывается о чуде в море Тивериадском, свидетелем которому стал Симон Петр, поймавший в сеть за один раз 153 рыбы. Разумеется, это чудо сотворил Иисус Христос.

Число 153 непременно должно обладать какими-то особыми свойствами. Действительно, это треугольное число. Читатель может сосчитать звездочки на рисунке и убедиться, что их действительно 153:

Однако этой причины недостаточно для упоминания в Евангелии. Рассмотрим равенства:

Мы видим, что 1! + 2! + 3! + 4! + 5! = 1 + 2 + 6 + 24 + 120 = 153, как показано на схеме:

Это уже лучше, однако и теперь найдутся неверующие, для которых и этой причины недостаточно, чтобы считать 153 божественным числом. В поисках лучше го решения будем действовать так: поскольку Бог един в трех лицах, рассмотрим любое число, кратное 3, например 1728, возведем все его цифры в третью степень и сложим их:

13 + 73 + 23 + 83 = 864

83 + 63 + 43 = 792

73 + 93 + 23 = 1080

13 + 03 + 83 + 03 = 513

53 + 13 + 33 = 153

Удивительно, что ряд будет заканчиваться числом 153 для любого числа, кратного трем. Что это — чудо или занимательная математика?

Торговцы важнее математиков

Именно так считали в эпоху Возрождения. В 1456 году было изобретено книгопечатание, и путь к знаниям был открыт — для многих, но далеко не для всех, особенно если смотреть в прошлое из нашего благополучного XXI века. Вопреки ожиданиям, первой печатной книгой по математике были не «Начала» Евклида, подлинный памятник античной мудрости, а учебник по элементарной арифметике, отпечатанный в Тревизо под названием L’arte de l’abbacho («Искусство абака»). Автор книги ограничился объяснениями четырех арифметических действий и задачами о справедливом разделе вещей. Книга увидела свет в 1478 году. В ней использовались индоарабские цифры.

Купцы, которые интересовались подобными книгами, одержали верх над мудрецами и мыслителями. Впрочем, науке удалось отыграться: книга «Искусство абака» больше не переиздавалась, в то время как известно о сотнях изданий «Начал» Евклида.

Страница из учебника арифметики, отпечатанного в Тревизо, — первой в истории книги по математике.

Когда закончились буквы

Эта история, в которой сочетаются правда и вымысел, объясняет, почему в аналитической геометрии и в любых книгах по математике неизвестные чаще всего обозначаются буквой х. Начало этой традиции положил Рене Декарт (1596–1650) в своей книге «Геометрия», где обозначал известные числовые величины первыми буквами алфавита (a, b, с, d, …), а неизвестные — последними буквами (х, у, z). Так буква х, которая стоит на первом месте в этой троице, стала синонимом неизвестной величины.

Некоторые полагают, что инициатором такого решения был издатель книги: он заметил, что если литер с другими буквами не хватало, то литер с буквой х всегда было в избытке. Ее печатник и использовал при появлении неизвестной величины.

Как было на самом деле — мы уже не узнаем, но точно можно утверждать, что обозначение, введенное Декартом, сегодня использует весь мир.

Лейбниц и император Китая

Знакомство с двоичной системой счисления для разностороннего мыслителя Готфрида Вильгельма Лейбница (1646–1716) было сродни озарению. Царство единиц и нулей напоминало философский камень, способный превращать железо в золото: оно открывало новые, доселе невиданные горизонты. Единица (подобная Богу) и ноль (ничто) могли объяснить целую Вселенную, а простые 0 и 1 могли порождать любые числа. Это чудо следовало как-то объяснить и применить на практике.

В 1689 году Лейбниц обратился к своему другу, иезуиту Карлу-Филиппу Гримальди, главному придворному математику Китая (в последующие годы они вели весьма интересную переписку). Ученый просил Гримальди использовать все свое влияние и дар убеждения, чтобы, опираясь на новые знания о единице и нуле, убедить императора Кам-хи оставить буддизм и с распростертыми объятиями встретить христианство. Однако император Китая счел, что двоичная система никак не связана с единым Богом и вполне соответствует концепции инь и ян. Он не стал принимать христианство, а двоичная система счисления вернулась в царство арифметики, которое не должна была покидать.

Лейбниц упрямо приписывал полубожественные свойства всем новым математическим понятиям, о которых ему становилось известно. Например, таинственные мнимые числа он считал возвышенными и прекрасными, «амфибиями бытия с небытием».

Несносный ребенок

О детстве Карла Фридриха Гаусса (1777–1855), который был вундеркиндом, обычно рассказывают такую историю. Когда ему было 10 лет, учитель, желая немного передохнуть, дал Гауссу и его одноклассникам задачу, которая заняла бы детей надолго: нужно было найти сумму всех чисел от 1 до 100:

1 + 2 + 3 +… + 98 + 99 + 100.

Спустя несколько минут маленький Гаусс поднялся с места и протянул учителю грифельную доску с ответом: 5050. Как несносный ребенок смог так быстро справиться с задачей? Гаусс заметил, что если записать числа исходного ряда друг под другом справа налево и слева направо,

1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100

100 + 99 + 98 + … + 3 + 2 + 1,

то сумма чисел в каждой паре будет равна:

1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 =… = 98 + 3 = 99 + 2 = 100 + 1 = 101.

Сколько всего таких пар? 100. Так как искомая сумма была в два раза меньше, ответ к задаче таков:

(100·101)/2 = 50·101 = 5050.

Обычно здесь и заканчивается легенда об одаренном ребенке с фантастическими способностями — наверное, для того, чтобы понять ее могли все, даже те, кто далеко отстал от Гаусса по своим способностям.

На самом же деле задача была еще сложнее: учитель предложил ученикам найти сумму первых 100 чисел ряда:

81297 + 81495 + 81693 + … —

каждое слагаемое отличалось от предыдущего на 198. Получить этот результат уже не так просто — выходит, Гаусс был еще умнее, чем гласит легенда.

Ферма и Куммер

В 1847 году французский математик Габриель Ламе (1795–1870) в присутствии множества коллег восторженно объявил, что доказал теорему, известную нам как великая теорема Ферма. При этом Ламе не преминул выразить благодарность вдохновившему его Жозефу Лиувиллю (1809–1882), который присутствовал здесь же.

По словам Ламе, без неоценимой помощи Лиувилля он не смог бы… и прочая, и прочая. В ответ совершенно пораженный Лиувилль обратил внимание собравшихся на одну небольшую деталь: доказательство Ламе было верно тогда и только тогда, когда выполнялось одно условие: целые числа определенного класса (далее мы определим их подробнее), как и обычные целые числа, можно разложить на множители единственным способом. Следует отметить, что в этом сомневались немногие. Ламе попытался найти доказательство для этого недостающего звена, но, к его разочарованию, сделать этого не удалось. Как сказал музыкальный критик об одном из произведений Дебюсси: «Его музыка не слишком шумна, но этот шум крайне неприятен». Ламе терял терпение, не в силах справиться с каким-то пустяком.

Тремя годами ранее немецкий математик Эрнст Куммер (1810–1893) опубликовал в малоизвестном журнале контрпример, в котором показал, что целые числа определенного класса можно разложить на множители не единственным способом. Узнав о попытках Ламе, Куммер поспешил отправить коллеге свой контрпример, и Ламе, лишившись надежды, оставил всякие попытки доказать теорему Ферма.

Сегодня известно, что знаменитые целые числа Ламе образуют так называемое квадратичное поле. Во времена ученого этим числам уделялось не слишком много внимания. Для обычных целых чисел, в частности на множестве , разложение на множители является единственным (если не делать разницы между 1 и —1). Например,

6 = 2·3 = 2·(—3)·(—1) = (—2)·3·(—1) = (—2)·(—3).

Множителями в этом разложении являются 2 и 3. На множестве [√-5] (его элементы — числа вида a + ib√5, где а и b — целые), за исключением 1 и —1, разложить это число на множители можно уже не единственным способом: