Помоги проекту - поделись книгой:
Интегралы
Другим базовым понятием анализа бесконечно малых является понятие интеграла. Интеграл используется для вычисления площади, ограниченной графиком функции.
Например, пусть дана функция f, определенная на интервале между
будет равно площади следующей фигуры:
Символ ∫ для обозначения интеграла придумал Лейбниц (об этом подробно рассказывается в главе 4). Этот символ представляет собой стилизованную букву S — первую букву латинского слова summa («сумма»).
Интеграл применяется не только для вычисления площадей: в математике он также используется для расчета объемов, длин и определения центра тяжести. В физике ему соответствует понятие работы. Работа, которую необходимо совершить,. чтобы переместить тело под действием силы f из точки
Интеграл также используется для расчета пройденного телом пути, если известна скорость тела. Рассмотрим в качестве примера физическую задачу, о которой мы говорили в самом начале этой главы: какой путь пройдет тело спустя 4 секунды после начала движения, если в течение
Задача сводится к вычислению этого интеграла. Если интерпретировать интеграл как площадь фигуры, он будет соответствовать площади, ограниченной участком параболы. Эту площадь вычислил Архимед еще 2300 лет назад. Это открытие наряду с другими принесло ему вечную славу: Архимеда по праву можно считать одним из величайших основателей интегрального исчисления (об этом более подробно рассказывается в главе 2).
Строгое определение интеграла, в котором не участвует понятие площади, — непростой вопрос с точки зрения логики. Здесь, пусть и в несколько иной форме, в дело снова вступают бесконечно малые величины. Из рисунка на предыдущей странице видно, что искомая фигура состоит из отрезков длиной f(t), где t принимает все возможные значения на интервале от
Согласно Лейбницу, бесконечно малая ширина обозначается
Смысл этой суммы так и не смогли объяснить ни Ньютон, ни Лейбниц, создатели анализа бесконечно малых. По сути, первое точное определение интеграла было дано почти полтора столетия спустя усилиями Коши. В нем также используется понятие предела (более подробно об этом рассказывается в главе 6).
Вычисление площадей криволинейных поверхностей — очень сложная задача, в чем на собственном опыте убедились предшественники Ньютона и Лейбница. В некотором смысле эта задача аналогична задаче о вычислении интеграла. Вычисление интегралов во многих случаях (но не всегда) упрощает основная теорема анализа.
Основная теорема анализа
Анализ бесконечно малых — своеобразный мост между производными и интегралами: основная теорема анализа гласит, что интегрирование и вычисление производной являются взаимно обратными операциями. Точнее говоря, если мы хотим вычислить интеграл
то, согласно основной теореме анализа, достаточно найти функцию
для любого t в интервале между
Функция f должна обладать еще одним свойством — непрерывностью, на котором мы не будем останавливаться подробно.
Рассмотрим на примере, как основная теорема анализа упрощает вычисление интеграла
Этот интеграл в зависимости от его интерпретации можно использовать для расчета площади, ограниченной параболой; площади, ограниченной спиралью Архимеда; а также пути, пройденного телом, которое движется со скоростью
Согласно основной теореме анализа, достаточно найти функцию, производной которой будет функция
Тогда
Отсюда нетрудно вывести, что производная функции t3/3 в точности равна
Как мы уже упоминали выше, путь, пройденный за 4 секунды телом, которое в течение
Следовательно, достаточно подставить в предыдущую формулу
Рассмотрим спираль Архимеда — кривую, получаемую равномерным движением точки вдоль луча, который, в свою очередь, равномерно вращается вокруг своего начала. Будем считать, что точка движется вдоль луча со скоростью 1м/с, скорость вращения луча постоянна. Чтобы найти площадь, ограниченную первым витком спирали Архимеда, нужно вычислить интеграл
Достаточно подставить в предыдущую формулу
Именно этот результат получил сам Архимед, который изложил его иначе: «Площадь первого витка спирали равна трети площади круга, радиус которого равен длине пути, пройденного точкой вдоль прямой во время первого витка». В самом деле, так как на первом витке спирали точка проходит вдоль прямой путь, равный 2π, круг этого радиуса будет иметь площадь p ∙ (2π)2 = 4π3, о чем пишет Архимед.
Автор этой книги не ставил перед собой задачу подробно рассказать о понятиях и методах анализа бесконечно малых. Намного интереснее то, каким образом математики открыли эти понятия и как они изменялись со временем. В следующих главах мы расскажем об интеллектуальной эпопее длиной почти в две тысячи лет. Читатель узнает, как Ньютон, Лейбниц, Эйлер, Коши и другие великие математики создавали и последовательно видоизменяли понятия дифференциала, производной, интеграла и предела, пока они не приобрели тот вид, в котором известны нам сегодня.
Глава 2.
От Архимеда до XVII века: истоки
В течение всего процесса формирования анализа бесконечно малых, длившегося почти две тысячи лет, со времен Архимеда до эпохи Ньютона и Лейбница, было создано множество различных математических теорий и концепций. Было вновь открыто и осмыслено наследие древних греков, в особенности работы Архимеда; появилась более сложная система счисления, чем древнегреческая и римская; и, разумеется, возникла алгебра и аналитическая геометрия, позволившая использовать методы алгебры при работе с кривыми. Стало возможным решать задачи о касательных, вычислении площади, центров тяжести, максимумов и минимумов и подобные им алгебраическим путем. Алгебра и аналитическая геометрия, по сути, стали тем языком, на котором можно было описать ранние этапы развития математического анализа. Это случилось благодаря усилиям плеяды ученых, которые совершили множество важных открытий, особенно в XVII веке.
Этот процесс был очень сложным, интенсивным и интересным не только с научной, но и в большей степени с исторической точки зрения. На него влияли крупнейшие события в истории человечества, которые, в частности, привели к утрате классической греческой культуры и последующему возврату к ней, к научно -технической революции. Сказались на формировании этого раздела математики и проблемы обособленности, вызванные сложной политической ситуацией и многочисленными войнами в Европе в XVII веке. Не обошлось и без влияния интриг одних ученых против других, непримиримых споров, диспутов и оскорблений.
Бесконечность в Древней Греции
Мы начнем наш рассказ с экскурса в Древнюю Грецию. Именно тогда математики и философы предприняли первые попытки понять бесконечность — метафизическую основу математического анализа.
Для древних греков бесконечность была двухголовым монстром: с одной стороны — бесконечно малое, с другой — бесконечно большое. Бесконечность вскоре оказалась вовлечена в скандалы и споры. В некотором роде она проявилась в невозможности измерить одной мерой сторону квадрата и его диагональ, что разрушило пифагорейскую концепцию вселенной и привело к первому фундаментальному кризису в математике. Она также присутствовала в апориях Зенона о движении и множестве, в которых, помимо прочего, проявлялось диалектическое противоречие между различными философскими течениями той эпохи. Апории Зенона также показывают влияние этих противоречий на математику.
Эти события привели к тому, что использование бесконечности было запрещено, точнее ограничено. Поскольку отрицать бесконечные процессы было невозможно («И в малом ведь нет наименьшего, но везде есть меньшее, — писал Анаксагор, — но и в отношении к большему всегда есть большее»), Аристотель попытался запретить использование актуальной бесконечности: «Бесконечное не может существовать как сущность или как свойство», — пишет он в книге 3 «Физики». Однако далее сам же признает: «Много невозможного получается, если вообще отрицать существование бесконечного, — это тоже очевидно», «О бытии можно говорить либо в возможности, либо в действительности, а бесконечное получается либо прибавлением, либо отнятием», иными словами, «величина не может быть бесконечной актуально, об этом уже сказано, но она может быть беспредельно делимой». Например, по Аристотелю, отрезок нельзя рассматривать как бесконечное множество точек, выстроенных в линию, однако допускается деление отрезка пополам неограниченное число раз.
О роли бесконечности в математике Аристотель писал: «Наше рассуждение… не отнимает у математиков их исследования, ведь они теперь не нуждаются в таком бесконечном и не пользуются им; надо только, чтобы ограниченная линия была такой величины, как им [математикам] желательно».
Хотя с точки зрения математики важнее другое его высказывание: «Всякую конечную величину [всегда] можно исчерпать любой определенной величиной». Это так называемая аксиома Архимеда о непрерывности. В действительности эту аксиому впервые сформулировал и использовал Евдокс, ученик Платона. Этот принцип позволил Евдоксу преодолеть кризис, возникший после того, как были открыты несоизмеримые величины. Аксиома Архимеда позднее упоминается в «Началах» Евклида в виде определения: «Говорят, что величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга». На основе этой аксиомы Евдокс построил так называемый метод исчерпывания — строгий метод расчета площадей и объемов, который использовался, помимо прочего, для доказательства того, что площади кругов относятся как квадраты их диаметров. Это отношение мы называем числом π. Метод исчерпывания и, в частности, это утверждение позднее использовал Евклид в «Началах».
Архимед
Однако настоящим мастером метода исчерпывания, вне всяких сомнений, был Архимед. В нескольких трудах он изложил свою аксиому о непрерывности: «Если имеются две неравные площади, то, постоянно прибавляя к самому себе избыток, на который большая площадь превосходит меньшую, можно получить площадь, которая была бы больше любой заданной ограниченной площади», — писал он в «Квадратуре параболы». Однако он признавал, что не был первооткрывателем этого метода: «Этой леммой пользовались и жившие ранее геометры», — писал он, имея в виду Евдокса.
Архимед применял метод исчерпывания для решения многих задач. Мы уделим внимание одной из них, посвященной расчету площади спирали. Ученый рассматривал спираль, определение которой мы приводили в главе 1: эта спираль получается равномерным движением точки вдоль луча, который, в свою очередь, равномерно вращается вокруг своего начала. Архимед показал, что площадь первого витка спирали равна трети площади круга, радиус которого равен длине пути, пройденного точкой вдоль прямой во время первого витка. Чтобы доказать это, он построил фигуру несколько меньшей площади, состоявшую из п круговых секторов, полученных делением окружности на
Эти приближенные вычисления аналогичны тем, что используются сегодня при расчете площадей кривых в полярных координатах с помощью интегралов, и абсолютно эквивалентны разбиению площади под графиком кривой на прямоугольники при определении на заданном интервале определенного интеграла функции.
Именно по этой причине Архимед считается одним из авторов первых, примитивных аналогов интегрального исчисления.
Однако существует и другая причина, по которой Архимед удостоился этого почетного звания. К сожалению, эта причина никак не повлияла на математиков последующих эпох. Речь идет об утерянном трактате Архимеда «Метод».
Эвристические рассуждения Архимеда, приводимые в этой книге, также предшествовали созданию интегрального исчисления. Похожие идеи появились в математике лишь спустя две тысячи лет после Архимеда, в XVII веке. Идея Архимеда противоречила аристотелеву отрицанию актуальной бесконечности.
Его революционная гипотеза состояла в том, что площадь рассматривалась как совокупность отрезков, а объем — как совокупность площадей. Так, прямоугольник представлялся как совокупность отрезков, параллельных его стороне, а цилиндр — как совокупность кругов, параллельных его основанию. Эти совокупности обязательно должны были быть бесконечными — здесь и появляется актуальная бесконечность, которую отрицал Аристотель.
В 1906 году датский эрудит Йохан Людвиг Гейберг обнаружил в Константинополе палимпсест — древнюю рукопись, где сохранились следы более ранней рукописи с трудами Архимеда. Поверх этого математического трактата был написан молитвенник для воскресных служб и других христианских праздников. Среди найденных работ была и ранее неизвестная — «Метод». Судя по особенностям почерка, рукопись относится примерно к 975 году н. э., а религиозные тексты, написанные поверх нее, датируются примерно 1229 годом.
Архимед также был первым греческим математиком, вычислившим сумму бесконечного числа слагаемых. Он рассматривал следующую сумму:
Ее требовалось рассчитать, чтобы определить площадь, ограниченную участком параболы. Несмотря на бесконечное число слагаемых (все они являются степенями 1/4), значение суммы конечно. Чтобы вычислить его, Архимед применил следующий прием: он умножил сумму на 1 - 1/4. Получим:
Теперь разделим результат на (1 - 1/4). Так как 1 - 1/4 = 3/4, при делении получим:
Тот факт, что сумма бесконечного числа слагаемых равна конечному числу, доказывает, почему Ахиллес в действительности сможет догнать черепаху в знаменитой апории Зенона: сумма бесконечного числа временных интервалов, каждый из которых равен половине предыдущего, является конечной.
Как мы уже говорили, эта идея снова появилась в математике лишь в XVII веке, в работах Бонавентуры Кавальери, Грегуара де Сен-Венсана и других, о чем мы расскажем позднее. Этим математикам были известны труды Архимеда, которые были напечатаны примерно в середине XVI века, но не «Метод», поэтому они были вынуждены заново открыть этот прием, сыгравший основную роль в появлении исчисления.
От Архимеда до XVII века
Лишь в XVII веке математики овладели приемами, описанными в трудах Архимеда, что ускорило появление анализа бесконечно малых. Следует упомянуть, что до того ученые Средневековья и эпохи Возрождения совершили несколько открытий, без которых было бы невозможно появление математического анализа. Однако важнейшие из них не связаны напрямую с исчислением, поэтому мы расскажем о них лишь вкратце. Речь идет в первую очередь о потере и повторном обретении и освоении наследия древних греков. Ключевую роль также сыграло распространение по всей Европе индийской системы счисления. Этот длительный и непростой процесс начался в X веке, а позднее, в XIII—XVI веках, на севере Италии возникли школы абака — образовательные центры для тех, кто занимался торговлей.
В конце XVI века десятичная система счисления также начала применяться для записи рациональных и иррациональных чисел. Решающую роль в ее распространении наряду с Франсуа Виетом (1540—1603) сыграл Симон Стевин (1548—1620), хотя использованная им нотация была не совсем удобной. Стевин, уроженец бельгийского города Брюгге, развил свою идею по причинам практического характера: «Десятичная система счисления есть класс арифметики, в основе которого лежит идея о прогрессии с основанием 10, где используются арабские цифры так, что в этой системе может быть записано любое число; и любая операция, с которой мы имеем дело в торговле, может быть выполнена с помощью только целых чисел, без использования дробей». Он предложил унифицировать единицы мер и весов, а также денежные единицы с применением новой системы счисления, но эта идея была воплощена в жизнь лишь после Великой французской революции.
Некоторое время спустя идее Стевина последовали другие авторы, которые использовали современную нотацию с точкой (или запятой) для отделения десятичной части от целой. Среди них был шотландский барон Джон Непер (1550—1617), один из создателей логарифмов. Логарифмы появились в начале XVII века и были тесно связаны с открытием анализа бесконечно малых. Независимо от Непера логарифмы придумал и швейцарец Иост Бюрги (1552—1632). Изначально они использовались как вспомогательные функции в числовых расчетах, чтобы упростить умножение больших чисел в астрономических вычислениях. Нетрудно представить, сколько времени нужно было потратить на умножение множества подобных чисел и сколь велик был риск ошибиться. Джон Непер писал: «Ничто не причиняет столько проблем при занятиях математикой и не делает вычисления столь неприятными и затруднительными, как умножение, деление и извлечение квадратных и кубических корней из больших чисел. Операции эти помимо потери времени в большинстве случаев являются источником ошибок».
Чтобы упростить умножение больших чисел, в то время использовался метод под названием простаферезис. В его основе лежала тригонометрическая формула, с помощью которой произведение преобразовывалось в сумму. По сути, Джон Непер создал логарифмы с целью упростить этот метод: ему были нужны таблицы, с помощью которых можно было бы напрямую преобразовывать произведения в суммы.
Метод простаферезиса заключается в следующем. Допустим, мы хотим перемножить два больших числа
Если бы мы выполняли умножение напрямую, нам нужно было бы последовательно восемь раз умножить первое число на каждую цифру второго, после чего сложить восемь полученных чисел из восьми или девяти цифр каждое. С помощью вышеприведенной формулы и тригонометрических таблиц мы свели умножение к трем операциям сложения и простому делению на 2.
Метод простаферезиса был в некотором роде техническим инструментом: он позволял сэкономить время при расчетах, и его можно считать примитивным алгоритмом для вычислительной машины. Поэтому в течение определенного времени он держался в секрете и был доступен лишь немногим избранным. Непер, например, узнал об этом методе не самым обычным способом. Эта история больше напоминает сюжет приключенческого романа. Джон Крэйг, врач шотландского короля и друг Непера, в конце XVI века совершил путешествие в Данию, чтобы подобрать королю невесту. Корабль попал в шторм, и ему пришлось причалить к побережью вблизи лучшей обсерватории того времени, которую Тихо Браге построил на острове Вен между Данией и Швецией. Путешественников приютили в обсерватории, и, пока бушевал шторм, Крэйг познакомился с методом простаферезиса, а по возвращении в Шотландию обучил ему Джона Непера.
До XVII века было совершено крайне мало открытий, напрямую связанных с анализом бесконечно малых. Можно упомянуть о французском философе Николае Орезмском (ок. 1323—1382). Он дал примитивное определение понятия функции и ее графического представления: «Всё, что изменяется — реально ли измерить его или нет — можно вообразить как непрерывную величину, представленную отрезком». Он также внес вклад в изучение бесконечных рядов, впервые доказав, что сумма
равна бесконечности.
По словам самого Николая Орезмского, причина, по которой сумма гармонического ряда
равна бесконечности, такова: «К величине, равной 1, прибавим 1/2, 1/3, 1/4 и следующие дроби, сумма которых равна бесконечности. В самом деле из членов этого ряда можно составить бесконечное число групп, сумма которых будет больше 1/2.
Так, 1/3 + 1/4 больше 1/2, так как каждое из двух слагаемых больше 1/4.
Аналогично,
Поделиться книгой: