Теория и практика аргументации

С позиции философской обоснование — это некий результат размышлений над сущностью чего-либо. При этом, когда мы намереваемся оправдать какое-либо мнение, развить (изложить) точку зрения, выработать решение или сделать выбор и т.п., наш разум начинает активно искать необходимые аргументы. Элементы убеждения, которые мы при этом используем, включаются в процесс более или менее интуитивный, выработанный привычкой. Но этот процесс можно анализировать под углом зрения его организации, связи между элементами мысли, которые создаются в целях формирования наиболее убедительных доводов.

Обычно мы требуем логической очевидности от наших рассуждений, хотя иногда стремимся убеждать, исходя из аргументов, применяемых без видимой тактики или стратегии или какой-либо ясно обозначенной логики. Однако в любом случае обоснование — это приведение (разыскание) достаточных оснований для чего-либо: бытия, познания, мысли, деятельности и пр. В этом смысле обоснованием равно являются и указание причины, и индукция из факта, и логический вывод. Например, достаточным основанием для суждения “Солнце греет” служит непосредственный опыт независимо от какой-либо физической теории, хотя, конечно, оно может быть обосновано и теоретическим рассуждением, использующим физические данные (законы) и логику.

Вообще, необходимо различать эмпирические аргументы обоснования и теоретические. Смешение аргументов чревато потерей строгости в рассуждении или в теории. К примеру, в евклидовской геометрии утверждения о равенстве фигур (отрезков, треугольников и пр.) обосновывались ссылкой на опытный факт их наложения (совмещения при наложении). Но при этом свойства равенства утверждались аксиоматически. Ясно, что это немедленно порождало вопрос (хотя и не поставленный самим Евклидом) о согласовании евклидовской теории и опыта; вопрос, который так мучил не только философскую, но и математическую мысль. И Лобачевский, и Риман полагали, что со временем ответ на этот вопрос будет найден и при этом повлечет существенные изменения в экспериментальных и теоретических основах ньютоновской механики.

Согласно Герману Вейлю, если в качестве оснований берутся аргументы внелогические, например чувственные восприятия или эмпирические наглядные представления, то обоснование будет абсолютным в том смысле, что “независимо от того, насколько туманным оно может быть, в этой туманности есть нечто, данное именно так, а не иначе”{122}. Но в то же время в другом смысле такое обоснование будет и относительным, поскольку оценка, основанная на чувственном опыте, равносильна некоторому суждению восприятия, некоторой субъективной точке зрения на то, что нечто дано нам именно так, а не иначе. “Лишь только нам изменяет наше восприятие, как нам изменяет также наше представление или интуиция. Только постепенно, после долгого размышления, мы можем расширить способность представления”{123}. А в таком случае “каждый может найти подтверждение для своей субъективной точки зрения, как бы она ни отличалась от других”{124}.

Из сравнения этих двух ситуаций естественно возникает мысль о глубине обоснования и аргументации. В сфере дедукции последними по глубине основаниями являются постулаты и логика теории. В сфере опыта — эксперимент и логика опыта. Хотя логика теории и логика опыта служат одной цели познания, тем не менее это различные логики, лишь в некотором смысле согласованные между собой. Есть определенные основания считать, что именно в силу особой логики опыта теория, описывающая этот опыт, независима от него. Никакой эксперимент не может фальсифицировать утверждения, основанные на чистой логике теории. Он может лишь обозначить интервал применяемых при этом абстракций. Ведь не зря же, применяя абстракции, мы нередко отказываемся от критерия практической (интуитивной) очевидности и доверяемся только логике теории. Если же мы отказываемся от интуиции вовсе, то логика теории становится абсолютным критерием обоснования, даже если полученные с ее помощью результаты противоречат возможностям опытной проверки (пример: теорема Банаха — Тарского). И все же мы теперь понимаем, что выбор теоретических законов сам нуждается в обосновании, которое может и не принадлежать чистой логике.

Ниже (в полном согласии с подзаголовком этой статьи) я предлагаю краткие заметки к обсуждению тех вопросов, которые безусловно входят в поле аргументирующей мысли, образуют область ее монопольного права, но в составе учебного материала по теории аргументации обычно отсутствуют.

2. Аргумент от непротиворечивости

Это один из самых древних видов аргументации. Давид Гильберт не был первым, кто указал на особую роль аргумента от непротиворечивости в вопросах обоснования. В европейскую науку его ввели, по-видимому, элеаты. Во всяком случае, по свидетельству Филопона, отстаивая модель умопостигаемой реальности, именно Парменид и его сторонники ставили во главу угла непротиворечивость теории. Им же принадлежит и первый “штриховой портрет” аргументирующего рассуждения, использующего дедуктивные свойства противоречия. Я имею в виду “уличающие аргументы” Зенона Элейского, его апории, основанные на этом способе логической аргументации. Правда, логическая форма зеноновских аргументов {а именно: ((A   А)   А)} была эксплицирована много позднее в школе Платона. Еще позднее Аристотель не только явно сформулировал закон противоречия, но (по свидетельству Александра Афродизийского) дал симметричную зеноновской формулировку косвенного аргумента, которым воспользовался Евклид {“Начала”, кн. IX, теорема 12: (( А  А)  А)} и который получил впоследствии (в позднем средневековье) название “тонкое следование” (consequentia mirabilis).

Современное развитие темы противоречия привело к разделению косвенной аргументации на различные степени косвенности и к размежеванию логики на классическую, допускающую свободное использование всех форм аргументации от противоречащего случая, и интуиционистскую (конструктивную), допускающую, вообще говоря, только одну ее форму — доказательство отрицательных суждений через построение, приводящее к противоречию гипотезы об истинности положительной посылки рассуждения.

Выше я упомянул об абсолютном характере логического обоснования. Но, вообще говоря, обоснование посредством логической дедукции относительно по меньшей мере вот в каком смысле: это обоснование одного суждения с помощью другого (или других) в границах замкнутой дедуктивной системы. Абсолютность выражается здесь только в приведении импликативного отношения основания и следствия (посылки и заключения) к форме логического закона. Исключая посылки (гипотезы), мы релятивизируем факт аргументации. Введение закона противоречия в такую теорию, расширяя возможности обоснования “внутри нее” посредством опровержений, все же сохраняет status quo. Поэтому возникает проблема обоснования и оправдания самой теории. На смену проблемы “непротиворечия в выводах” приходит проблема непротиворечивости теории в целом в качестве критерия ее практической значимости, поскольку непротиворечивость абстрактной теории влечет возможность ее модельной выполнимости (теорема Левенгейма — Скулема), то есть создает условия для изучения модели (если такая будет указана) средствами логики этой теории. Одновременно в силу наличия модели непротиворечивость означает также логическую возможность считать такую теорию осмысленной.

Однако непротиворечивость теории, указывая на возможность модели для этой теории, одновременно указывает и на границы применимости ее основных абстракций, поскольку для большинства дедуктивных теорий с достаточно простым понятием выводимости их непротиворечивость влечет их неполноту, то есть указывает на факт существования суждений, формализуемых в языке данной теории, но недоказуемых в ней. Об этом говорит первая теорема Геделя. Почти все теоретически значимые дедуктивные теории (с известной оговоркой за исключением чистой логики) отличаются их неполнотой. В этом заключен интервальный смысл всякой достаточно богатой содержательной теории. Ведь совместная реализация непротиворечивости и полноты была бы свидетельством абсолютной самообоснованности их основных абстракций. На деле же непротиворечивость таких теорий может быть обоснована только средствами, которые не являются собственными средствами этих теорий — не формализуемы (не выразимы) в них. Об этом говорит вторая теорема Геделя.

3. Непротиворечивость и интервальность

Как бы ни было велико его значение, факт непротиворечивости не следует рассматривать как априорное условие научной ценности теории. Научную ценность могут представлять и противоречивые, но нетривиальные теории. Если в числе теорем (аксиом) теории отсутствует ex faiso sequitur quodlibet, то противоречивость не обесценивает ни понятие теоремы теории, ни понятие доказательства в ней. В этом случае наличие противоречия становится всего лишь посторонней посылкой{125}, которая не влияет на законные выводы этой теории. Поэтому тот, для кого программа изучения доказательств противоречивых теорий может представлять научный или философский интерес, не исключает из общей теории дедуктивных систем и изучение противоречивых систем, мотивируя это тем, что такое изучение может содействовать изучению общих дедуктивных свойств непротиворечивости теорий или нахождению новых методов доказательства непротиворечивости.

Наиболее глубокая трактовка связывает вопрос о непротиворечивости с вопросом о допустимых способах рассуждений, а не только с принципиальной недопустимостью противоречий. Способов рассуждений, допустимых, так сказать, абсолютно, не существует. Обычно их допустимость определяется характером “логики вещей”, о которых рассуждают (или хотят рассуждать). Чтобы судить о наличии противоречия, необходимо располагать средствами получения противоречий и более того — знанием о достижимости противоречия этими средствами. К примеру, непредикативные определения сам Рассел рассматривал как средства получения антиномий, а парадокс Рассела — как свидетельство достижимости антиномий этими средствами. Вопрос о допустимости непредикативных определений долгое время был предметом острых дискуссий между Расселом, Цермело и Пеано, с одной стороны, и Пуанкаре — с другой.

Как известно, “критерий основания” Протагора связывал допустимость с мнением человека, однако не уточнял основания для этого мнения. Уже Платон на это заметил, что основание не должно быть произвольным или заключаться в субъективной воле человека, иначе придется признать законность противоречий. Эта мысль Платона была развита в аристотелевском логическом принципе противоречия и, — уже в современной логике (школой Гильберта), — в методологическом требовании доказательства “абсолютной непротиворечивости” математических теорий. Но вполне уместная в области “истин разума” идея непротиворечивости не всегда оправдана в области “фактических истин”. Перенесенная из области логики, где непротиворечивость обосновывалась запасом теоретико-множественных средств, в другие области знания, основанные на других абстракциях, она породила особый “стиль мышления”, игнорирующий диалектику интервальных ситуаций, в которых критерий Протагора, понятый, однако, более широко, как относительность истины к условиям и средствам ее познания, оказывается весьма существенным. Именно поэтому многие рассуждения, приводящие к парадоксам, но в остальном безупречные, по существу только демонстрируют интервальный характер связанных с ними гносеологических ситуаций. Таковы, в частности, известные апории Зенона Элейского или так называемый софизм “куча”: “Одно зерно — не куча. Если n зерен не куча, то п + 1 — тоже не куча. Следовательно, любое число зерен — не куча”. Это лишь один из парадоксов транзитивности, возникающих в ситуациях неразличимости (или интервального равенства). Последняя служит типичным примером интервальной ситуации, в которой свойство транзитивности равенства при переходе от одного интервала неразличимости к другому, вообще говоря, не сохраняется. Поэтому принцип математической индукции в этой ситуации неприменим. Стремление усматривать в такого рода ситуациях свойственное опыту “нетерпимое противоречие” (А.Пуанкаре), которое теоретическая мысль преодолевает в абстрактном понятии математического континуума, не обосновано общим доказательством устранимости подобного рода ситуаций в сфере теоретического (в частности, математического) мышления и опыта. Достаточно сказать, что практика применения столь важных в этой сфере законов тождества так же, вообще говоря, как и в сфере опыта, зависит от того, какой смысл вкладывают в выражение “один и тот же объект”, какими средствами или критериями при этом пользуются. К примеру, далеко не всегда нам удается абстракцию неразличимости заменить абстракцией отождествления. А только в этом случае и можно рассчитывать на “преодоление” противоречий типа парадокса транзитивности.

4. Непротиворечивость в ультраинтуиционизме

В связи с темой непротиворечивости и отождествлений нельзя обойти молчанием ультраинтуиционистскую программу обоснования математики{126}, тем более, что она является российским приоритетом.

Появлению этой программы предшествовали, и на мой взгляд способствовали, следующие важные обстоятельства:

1). Статья А.Н.Колмогорова “О принципе tertium non datur” (1925), в которой, проанализировав классическую аксиоматику Гильберта с точки зрения интуиционистских требований к интуитивной ясности суждений, Колмогоров выразил сомнение в интуитивной ясности принципа ex falso sequitur quodlibet и отказался от этого принципа в своей минимальной логике.

2). Сомнения Н.Н.Лузина в однозначности натурального ряда, высказанные им в письме к К.Куратовскому{127}.

3). Явное указание А.А.Марковым на роль абстракции отождествления (помимо абстракции потенциальной осуществимости) в конструктивном понимании математических суждений (1951).

4). Принятое в школе Гильберта априорное понимание тождества объектов формальной теории, независимое от того, идет ли речь о фактически осуществимых (построенных) объектах или о тех объектах, осуществимость (построение) которых лишь предполагается (считается) возможным на основе классических (традиционных) абстракций теории и независимо от тех предположений об отождествлениях и отождествимости, которыми фактически руководствуются при изучении формальных теорий.

Конечно, в принципе не так уж важно, действительно ли повлияли перечисленные выше обстоятельства на формирование ультраинтуиционистской концепции. Важно, что сама эта концепция привела к изменению классического взгляда на непротиворечивость. Она сделала существенным моментом каждого проводимого доказательства операцию отождествления объектов, входящих в это доказательство, предложив по существу новую семантику для формул, в которой смысл каждой формулы связывается с ее вхождением в доказательство.

Согласно ультраинтуиционизму, осмысленность формулы (A & A), выражающей противоречие, предполагает (неявно) отождествление A в обоих вхождениях. При этом не исключаются ситуации, когда суждение A должно быть отождествлено в обоих вхождениях в эту формулу по принципам тождества, принятым в этой теории, но оно не может быть отождествлено согласно всем требованиям рассматриваемой теории. Аналогичный пример дает применение ex falso, то есть формулы  A  (A  B), которое предполагает, что отождествление A в обоих вхождениях выполнено. При этом возможны ситуации, когда формулы A и  A обе доказаны (получены), но это не влечет доказуемости произвольной формулы, поскольку правила всей теории не допускают отождествления A в обоих вхождениях в формулу ex falso, хотя и допускают возможность такого отождествления в других случаях.

Следовательно, с точки зрения ультраинтуиционистских представлений, тот факт, что в теории имеются обе формулы, как A, так и  A, еще не означает, что в ней может быть доказана (или уже доказана) формула (A & A){128}. В этом случае по вполне понятным основаниям теория не считается противоречивой. И такие ситуации, когда противоречивая формула недостижима, действительно предусматриваются в некоторых вариантах ультраинтуиционистских теорий. Ситуация подобного рода характеризуется в ультраинтуиционизме как “кажущееся противоречие”. Считать кажущиеся противоречия нарушением непротиворечивости или нет — это, с точки зрения автора названной концепции, вопрос соглашения. Но, по-видимому, было бы опрометчиво его решать непременно отрицательно, отвергая теории с кажущимися противоречиями на том основании, на каком отвергаются обычно противоречивые теории в традиционной логике и математике{129}.

В контексте сказанного я обращаю особое внимание на роль операции отождествления в ультраинтуиционистской концепции. Многими из нас марковская абстракция отождествления воспринимается как едва ли не эмпирическая операция, применимая к конструктивным объектам различных видов{130}. Между тем это отнюдь не самостоятельная абстракция; это способ образования абстрактных объектов в рамках абстракции потенциальной осуществимости, то есть далеко идущая операция, предполагающая в определенном смысле трансцендентную реальность. Отождествить два объекта в наличной реальности (в наличном опыте) сравнительно легко. Но кто поручится за возможность отождествления в трансцендентной реальности? Этот вопрос в равной мере относится как к неопределенно длинным (фактически неосуществимым) доказательствам той или иной математической теории, так и к тождеству объектов в моделях этих теорий.

Ультраинтуиционистская критика указывает на это обстоятельство, замечая при этом, что если тождество двух объектов (например, двух слов в алфавите), данных воочию, является эмпирическим фактом и не вызывает сомнений, то тождество объектов (формул), участвующих в бесконечном процессе (например, в случае применения в доказательстве бесконечной индукции), является по существу гипотезой и вовсе не очевидно.

Таким образом, полный анализ доказательства требует явного указания на возможность отождествления (или различения) объектов, участвующих в доказательстве. При этом не может быть вопроса об отождествлении объектов пока они не представлены в наглядных шагах доказательства. И это столь же очевидно, как очевидна невозможность постройки дома, если отсутствует необходимый строительный материал.

И еще одно, не менее важное обстоятельство стоит отметить. Конструктивная абстракция отождествления служит способом построения абстрактных понятий. Это ее содержательный гносеологический аспект. Но у этой абстракции есть и формальный аспект, который, собственно, и оправдывает ее применение. Этот формальный аспект выражается в трех свойствах (аксиомах) равенства — рефлексивности, транзитивности и симметрии. Этот формальный аспект (известный со времен Евклида) роднит абстракцию отождествления с классическим (расселовским) принципом абстракции.

Замечательно, что ультраинтуиционистская критика не выставляет этих формальных свойств тождества в качестве обязательных свойств при отождествлениях. Ни транзитивность, ни симметрия, вообще говоря, не предполагаются, хотя потребность в соответствующем анализе не исключается. В частности, когда транзитивность тождества нарушается при попытках отождествления А в его вхождениях в формулу A & A, можно обоснованно говорить, что смысл А различный в обоих вхождениях.

Не моя задача выяснять, как это сказывается на ультраинтуиционистской теории доказательств. Для меня важна лишь очевидная в ней тенденция, с одной стороны, — к ослаблению общих логических условий, налагаемых на отождествление объектов, а с другой, — к более жесткому требованию фактических условий на их отождествление. Думается, что при соответствующих разъяснениях ультраинтуиционистская программа вполне совместима с теми установками на практику отождествлений, которые сложились в рамках интервального анализа{131}.

В частности, когда речь идет об отождествлениях объектов в тех или иных вхождениях в доказательство, абстракцию отождествления, которая, вообще говоря, в этом случае не исключается, все же естественно отделять от абстракции неразличимости. Последняя абстракция принята в рамках интервального анализа с целью уточнения понятий о тождестве и различии в ситуациях, когда отсутствует априорная информация об индивидуации объектов универсума (предметной области), а процессы их отождествления или различения определяются конечной информацией об их наблюдаемых состояниях. Обычно это означает зависимость суждений о тождестве и различии от информационных условий познания, в частности — от разрешающей способности актов восприятия, свойственных наблюдателю или какой-либо иной информационной системе. При этом, принимая во внимание неизбежную “энтропию опыта”, тождество по неразличимости является естественным обобщением классической идеи о тождестве неразличимых (принципа тождества неразличимых) на эмпирические условия познания или, по крайней мере, на субъективированные акты отождествлений, чем и оправдывается необходимость введения специального термина “абстракция неразличимости”{132}.

С интервальной позиции претензии на (конструктивную) математику как дисциплину в конечном счете опытную (или теорию ad hominem в позитивном значении этого аргумента), стоящую на экспериментальном фундаменте, выглядят в этом смысле неубедительно. К примеру, эмпирический фактор наблюдаемости (соответственно эмпирический смысл процессов сравнения (измерения) и их результатов) в конструктивной математике принимается лишь формально, поскольку вовсе не учитываются особенности “пороговых свойств” этого фактора. Поэтому если конструктивную позицию еще можно как-то согласовать с абстракциями, принятыми в классической физике, то ее согласование с абстракциями, необходимыми, скажем, в квантовой физике, весьма проблематично{133}.

5. Непротиворечивость и “собственный универсум” логики

Теперь, в связи с проблемой непротиворечивости и практикой отождествлений, я хочу сделать несколько замечаний к понятию “предметная область” (или “универсум рассуждения”){134}, поскольку эта тема является одной из важнейших в логике и логической семантике. Существуют различные концепции предметной области, различные точки зрения на это понятие, а их общая идеология тесно связана с техникой логического анализа. Но я затрону здесь лишь один вопрос, которого я однажды касался, но касался мимоходом, в связи с обсуждением проблемы тождества{135}.

Прошло время, когда логика считалась наукой “обо всем”, по крайней мере в том смысле, что это наука о законах мышления, а законы мышления непременно должны соблюдаться (быть значимы), о чем бы ни шла речь. Тяжба формальной логики и диалектики в данном случае несущественна, поскольку идеологией обеих был панлогизм. Естественно, что универсум речи чистой логики при этом представлялся любым, оставаясь “полностью неопределенным, совершенно неограниченным или открытым”{136}.

С появлением математической логики такому подходу способствовал расселовский логицизм. Исключением единичных объектов (в пользу индивидных дескрипций) онтология по существу была элиминирована из логической теории. В ее логицистском варианте логика поглощала и математику, сводя ее к системе формальных импликаций, “верных вообще во всех “возможных мирах”, и потому ничего не говорящих нам о мире, в котором мы живем и действуем”{137}.

Точнее было бы сказать, что логицизм был не против онтологии самой по себе. Он ратовал лишь за невмешательство логики в онтологический статус в связи с его неопределенностью и туманностью. Логицизм жертвовал онтологией в пользу лингвистического анализа как вещи более надежной и более соответствующей точному характеру логической науки.

Понятно однако, что с потерей онтологии терялась проблема истинности в ее содержательном понимании, характерном, к примеру, для естествознания. Что это значило для логики легко понять, если согласиться с мнением Фреге, считавшего познание законов истинности основной проблемой логики. Вернуть эту проблему для логики на ранних этапах ее развития помог интуиционизм, для которого постановка этой проблемы необходимо связана с существованием внешнего мира. Правда, определение истинности варьирует согласно философской точке зрения, но оно неизменно предполагает некоторую концепцию реальности; и здесь, замечает А.Гейтинг, мы приходим к тому, что логика для ее истолкования нуждается в онтологии{138}.

Похоже, что сегодня мы избавлены от прошлых “неопределенностей роста”. Общие вопросы онтологии перешли в ведомство философской логики и, следовательно, остались предметом для философских дискуссий. А что касается универсума речи (или предметной области), то он, сделавшись неотъемлемой частью теории моделей, приобрел вполне определенные черты. Теперь он занимает почетное место в (предикатной) сигнатуре той или иной модели (реальности), о которой идет речь, и в этом смысле (характером заданных предикатов и аксиом) вполне избавлен от неопределенности, на которую указывал Шрёдер, даже если на природу универсума не накладывается никаких конструктивных ограничений.

Тем не менее существенно, что универсумы моделей, о которых идет речь в теории моделей и которые служат для определения истинности формул логического языка, сами-то, вообще говоря, лежат вне чистой логики. Это именно та внешняя реальность, которая подразумевалась в приведенном выше замечании Гейтинга. При этом естественно возникает вопрос: а есть ли у чистой логики “собственный универсум”? Является ли эта логика сама по себе онтологической теорией или же это чисто гносеологический (неонтологический) феномен?

Говоря о “чистой логике”, я имею в виду элементарную логику (то есть чистую первопорядковую логику предикатов с равенством) не только потому, что она лежит в основе изучения всех основных математических теорий, которые формализуются в языках первой ступени, но прежде всего потому, что с непротиворечивостью именно узкого исчисления предикатов естественно связывается понятие о собственном универсуме.

Если иметь в виду понятие об универсуме (о предметной области) вообще, то необходимость в его точной характеризации возникает в связи с необходимостью введения понятия модели при семантической интерпретации первопорядкового языка. А до этого момента считается вполне достаточным (чтобы оправдать dictum de omni) постулат о непустоте универсума речи, который в этом случае мыслится совершенно неопределенным. Как замечает Дж.Шенфилд, это, в сущности, только соглашение, оно является чисто “техническим соглашением”, которое “не исключает ни одного интересного случая”{139}.

Вопрос об “интересных случаях” — это вопрос особый. Возможно, что логика с пустым универсумом тоже случай интересный{140}. И случай с одноэлементным универсумом для меня тоже случай интересный. Его-то я и собираюсь обсудить ниже.

Для начала замечу, что, ограничиваясь чистой логикой, мы должны признать очевидный факт — реальная онтология вносится в процедуру интерпретации извне, а не является частью самого первопорядкового языка, у которого по существу нет “внутренней семантики”. Если же мы хотим иметь нетривиальную онтологию самой логики как проекцию логического языка, мы должны расширить язык таким образом, чтобы он содержал индивидные символы и индивидуальные предикаты, определяющие и различающие элементы универсума, то есть характеризующие самый этот универсум. Когда это делается, вместо чистой логики мы получаем прикладную.

Все проблемы философской онтологии и логической семантики, включая логические парадоксы и так называемые проблемы “существования” и “онтологической относительности”, ставятся и решаются в прикладной логике. Это очень важное обстоятельство, о чем я еще скажу ниже.

Казалось бы, что и проблему непротиворечивости чистой первопорядковой логики тоже стоит отнести сюда, то есть поставить непротиворечивость в зависимость от числа и характера индивидов универсума. Мы знаем, однако, что проблема непротиворечивости чистой логики первого порядка решается, так сказать, на пропозициональном уровне.

Впрочем, как отмечают знаменитые авторы, значение этого доказательства непротиворечивости не следует переоценивать, поскольку оно “содержательно сводится к допущению, что положенная в основу область индивидов состоит только из одного-единственного элемента”{141}. А это означает, что редукция к семантическому варианту все же имеет место и здесь, и вопрос только в том, насколько общим можно считать такое доказательство.

Чтобы ответить на этот вопрос, как и на те, что были поставлены выше, полезно вспомнить способ рассуждения, который применил А.Эйнштейн, привлекая на помощь двух наблюдателей: одного в вагоне поезда, другого — рядом с полотном железной дороги{142}. Тогда мы поймем, что как не существует траектории самой по себе, так равным образом не существует и универсума самого по себе, если мы хотим говорить об универсуме, создаваемом языком теории.

Все известные мне до сих пор разговоры о логической онтологии — это разговоры с позиции наблюдателя у полотна железной дороги, с позиции “извне”. Я же предлагаю встать на позицию того, кто находится в вагоне поезда, на позицию “внутри”. Применительно к нашему случаю такой наблюдатель располагает только тавтологиями логического языка. Эти формулы чистой логики сами по себе ничего не говорят о числе (а следовательно, и о различии) объектов универсума, они безразличны к какому-либо разнообразию. Но если их использовать как дискриминирующие признаки в актах отождествления (например, согласно обычному определению тождества), то при условии непустоты “на входе” они в любом случае дадут одноэлементный универсум “на выходе”. Именно этот универсум, возникающий как результат абстракции отождествления по тавтологичным признакам, я и называю собственным универсумом чистой логики.

О том, что я не сегодня пришел к понятию о собственном универсуме чистой логики, говорит следующий текст: “...если условие А — тавтология, то в подразумеваемой предметной области все предметы тождественны в интервале А. Иначе говоря, тавтологии не могут служить критерием различимости объектов, они как бы проектируют универсум в точку, производя абстракцию отождествления элементов множества любой мощности, “превращая” разные элементы в “один и тот же” абстрактный объект”{143}.

Хотя такая трактовка онтологического статуса чистой элементарной логики не совпадает с общепринятой, согласно которой “из общих логических аксиом ничего не вытекает относительно того, какие предметы и сколько их существует в том поле..., к которому относятся наши высказывания и предикаты”{144}, я считаю, что понятие о собственном универсуме чистой элементарной логики полезно и сродни тем, что всегда появляются, когда необходимо завершить обобщение уже существующих понятий. Так мы говорим, что бесконечно большая величина x_n имеет пределом + , хотя на самом деле она не имеет никакого предела. Но +  не пустое понятие. У него, как равным образом и у понятия отрицательной бесконечности, есть ясный конечный геометрический образ на окружности фон Неймана. В результате введения этих двух “несобственных” символов реализуется “догма об окружности” — “крайности сходятся” и создается наглядный образ замкнутости (совершенства) множества вещественных чисел. Известно, что по понятиям древних окружность — самая совершенная фигура. И не случайно, ведь она имеет известную связь с теоремой Пифагора — основной теоремой евклидовской геометрии.

Конечно, тавтологии не пригодны в качестве “приборов анализаторов” предметных областей. Но они вполне могут служить в качестве “приборов преобразователей” предметных областей любой природы{145}. И они это делают, ipso facto избавляя нас от противоречий в результате их применения. Вот почему непротиворечивость чистого исчисления предикатов, установленную на одноэлементной области, я считаю достаточной и установленной абсолютно. В качестве следствия я полагаю, что чистая логика не несет и не может нести ответственность за противоречия (парадоксы), возникающие при расширении ее лексики. При любом таком расширении мы видим гораздо больше, чем собственный универсум логики, поскольку используем для отождествлений и различений уже индивидуальные предикаты. Следовательно, мы находимся в условиях другого интервала абстракции отождествления, чем тот, который дают тавтологии.

Потому-то, кстати, и нельзя построить контрпример для тавтологии. Приступая к построению (поиску) контрпримера, мы становимся на позицию наблюдателя у полотна железной дороги, мы предполагаем заведомое существование источника, из которого в ходе оценки формул мы черпаем необходимые нам определенные и вполне различимые элементы. Мы испытываем формулу, чтобы выяснить, способна ли она различать предметы. И если обнаруживаем, что нет, то объявляем ее тавтологией.

Действительно, пусть формула А выполнима, но не является тавтологией. Тогда  А тоже выполнима и выполнима как раз в универсуме контрпримера для А. Следовательно, выполнимость  A эквивалентна высказыванию о минимальном числе “различимых” индивидов, необходимых для построения контрпримера для А. Отсюда получаем чисто гносеологическое следствие: суждение, которое дает информацию о различимости объектов, не может быть ни тождественной истиной, ни тождественной ложью.

Вместе с тем ясно, почему теоремы чистой логики обычно выводят из-под юрисдикции общего правила, согласно которому постулирование общезначимости (выполнимости) какой-либо логической формулы равносильно утверждению о числе элементов в универсуме речи. Если бы доказуемые формулы чистой логики были общезначимы лишь в собственном универсуме, чистая логика потеряла бы всякий теоретический интерес. То, что тавтологии могут добавляться в любую теорию в качестве общезначимых формул, не порождая противоречий, объясняется именно их неспособностью различать индивидуальные объекты теорий. В одноэлементном мире, как это я уже заметил однажды, отношения тождества и различия сами неразличимы{146}.

Конечно, если некоторую формулу А добавить просто как выполнимую, не постулируя ее общезначимость, то возможно, что “внутри” теории найдутся условия (при различных основаниях для отождествлений) для выполнимости как А, так и  А. Однако этот факт следует рассматривать не как противоречие, а только как дополнительность ситуаций, соответствующих этим формулам внутри данной теории. Это наглядно иллюстрируется примером формулы xy (x = y), общезначимой только в одноэлементной области. Ее отрицание, напротив, k-общезначимо для k  2. Но обе формулы могут иметь смысл, когда индивиды используются как абстрактные представители классов абстракции.

Вообще, если формула только k-общезначима, ее добавление в качестве (n + k)-общезначимой к теоремам теории с областью (n + k) индивидов при n  1 чревато противоречием. Но добавление этой же формулы в тех же условиях в качестве только выполнимой (что логически вполне оправдано) отвечает ситуации дополнительности, то есть соответствует одновременной фактической истинности как A, так  A в разных интервалах абстракции. Фиксирование таких интервалов здесь обязательно, поскольку использование формул, не являющихся тавтологиями, связано с иным применением абстракции отождествления индивидов, чем то, которое определяется языковыми средствами чистой логики.

Итак, просуммирую некоторые следствия из сказанного.

1. Собственный универсум элементарной логики существует как гносеологическое понятие — как результат абстракции неразличимости элементов любой наперед заданной онтологической области индивидов. Поэтому я и называю его гносеологическим универсумом, а чистую логику — неонтологической теорией.

2. Все теоремы элементарной логики общезначимы в ее “собственном универсуме” (тривиальное следствие метатеоремы о полноте).

3. Не каждая формула, общезначимая в собственном универсуме чистой элементарной логики, выводима из аксиом этой логики (неполнота в узком смысле).

4. Каждое расширение чистой первопорядковой логики присоединением формул, общезначимых в собственной области, непротиворечиво (следствие доказательства непротиворечивости).

5. Противоречивость теорий (появление парадоксов), основанных на элементарной логике, возможна, в частности, при игнорировании интервалов абстракции отождествления (или неразличимости) за счет формул, необщезначимых в собственной области.

Обычно, говоря о тождестве или различии, для суждения о различии индивидов мы руководствуемся скрытой посылкой о наличии различающих предикатов. Контрапозиция этой посылки говорит о том, что мы “слепнем” без таких предикатов, и подобной слепотой отличаются все тавтологии чистой логики. Выразительные возможности логической теории тождества заметно богаче тех, что предлагает нам семантика общезначимых истин, а ценность этой теории — в ее приложимости к миру фактических истин, где суждения о тождестве и различии индивидов не являются тавтологичными.

Все сказанное может показаться тривиальным. И все же замечу, что интервальная аргументация, использующая представления “внутри” и “снаружи”, позволяет яснее понять отношение чистой формальной логики к онтологии, отделить лингвистические аспекты этого отношения от собственно модельных и гносеологических и нередко избежать явных недоразумений там, где возникают противоречивые ситуации при совершении тех или иных актов отождествлений. А этим, в частности, решается и философская задача — показать, что “онтология гносеологична”, и сделать “онтологические предпосылки... как можно более осмысленными”{147}.

В.Л.Васюков О не-фрегевской аргументации

1. Логика и аргументация

Включение раздела “теория аргументации” в стандартные учебники логики наводит на мысль, что многие (если не все) часто встречающиеся недостатки аргументации можно преодолеть с помощью логических методов. При этом молчаливо предполагается, что выявление нарушений законов логики вполне достаточно для исправления и уточнения аргументации. Более того, подразумевается, что речь идет о традиционной логике и ее дедуктивных методах. Постулируется достаточность этих методов для выявления логических тупиков и ловушек даже достаточно нетрадиционной аргументации.

Новые современные теории аргументации предпочитают говорить не о связи логики и аргументации, а о проблеме функции логики в аргументации и рассуждении (выводе), замечая, что традиционный взгляд просто отождествлял логику с теорией вывода. Яакко Хинтикка утверждает, что эта точка зрения, помимо того, что она все еще эхом отдается в учебниках по формальной логике, в замаскированном виде проявляет себя в процессе обыденного употребления таких слов, как “логика”, “дедукция”, “вывод” и т.д.{148}. Он даже вводит термин “Концепция логики и дедукции Шерлока Холмса”, отражающий сотни “синонимичных” употреблений этих слов в описании подвигов мнимых и реальных детективов. Парадокс заключается в том, как показывает Я.Хинтикка, что знаменитый Шерлок Холмс, каким он предстает в произведениях А.Конан Дойля, использовал отнюдь не дедуктивный метод в своих рассуждениях, но скорее интеррогативный метод или абдукцию.

По сути дела, говорит Хинтикка, одним из способов решения проблемы роли логики в аргументации было бы обсуждение и переоценка традиционного взгляда на природу логики. Если мы принимаем, как это обычно делается, что истины формальной логики представляют собой аналитические истины или просто тавтологии, не обладающие никаким информативным содержанием, то трудно понять, каким образом удалось прийти к каким-либо новым результатам в процессе рассуждения, описывающего совершение открытия в науке. Однако даже И.Ньютон описывает свой экспериментальный метод как анализ или вывод, заявляя, что он “дедуцировал” из опытных данных или феноменов по меньшей мере некоторые из своих знаменитых законов. Впрочем, современные историки и философы науки единодушно ниспровергают эти заявления, считая их просто приукрашиванием, никак не связанным с ньютоновской научной практикой и действительным положением вещей.

Становится понятным, почему некоторые исследователи в поисках инструментов аргументации обращаются прежде всего к традиционным теориям риторики, а не к логике. Но оправдано ли это бегство от использования логических методов, особенно сегодня, после столетнего бурного развития неклассической логики и ввиду маячащей на горизонте новой революции в логике, предрекаемой тем же Я.Хинтиккой?

Кажется несколько странным, что развитие неклассической логики, приведшее к возникновению многочисленных логических исчислений, совершенно не отразилось на нашей способности рассуждения и аргументаций. Коль скоро природа логики изменилась, то не стоит ли поискать изменений в природе аргументации, обратившись к “неклассической” аргументации, опирающейся на неклассическую логику?

2. Типология неклассической аргументации

Современная неклассическая логика представляет собой сложный конгломерат разнообразных исчислений, основанных на многочисленных логических принципах, порою сильно отклоняющихся от традиционных классических положений. Однако при этом многие из неклассических принципов возникли как следствие критики тех или иных особенностей классической логики, зачастую приводящих к парадоксам. Так релевантная логика возникла как реакция на парадоксы материальной импликации, интуиционистская логика подвергала сомнению закон исключенного третьего и двойного отрицания, многозначная логика (в версии Яна Лукасевича) была создана для преодоления принципа логического детерминизма и принципа бивалентности, паранепротиворечивая логика опровергала универсальность закона противоречия и т.д.

С другой стороны, некоторые системы неклассической логики были разработаны для расширения диапазона логических исчислений, для включения в орбиту логических исчислений новых типов рассуждений и выводов, ранее не поддававшихся логическому анализу либо считавшихся слишком частными и специальными. Модальные логики, например, позволили освоить и “навести порядок” в мире рассуждений, касавшихся алетической, деонтической, эпистемической модальностей. Временные логики внесли некоторую ясность в аргументацию философских исследований проблемы времени, указав на логические следствия принятия той или иной концепции времени. Многозначные и вероятностные логики позволили учитывать неоднозначность наших суждений и выводов. Не-фрегевская логика прояснила способы рассуждений, касающихся непрозрачных и интенсиональных контекстов.

В то же время в рамках одних и тех же неклассических логик возможны рассуждения и выводы, сочетающие функции и “сужающей”, и “расширяющей” аргументации. Введение в модальных исчислениях высказываний со “строгой” импликацией (исторически предшествовавшее рассмотрению высказываний с операторами возможности и необходимости) в ряде случаев позволило устранить или исправить аргументацию, ведущую к парадоксам материальной импликации. Следование законам релевантных логик, многозначных и паранепро-тиворечивых логик препятствует появлению произвольных утверждений, являющихся следствием включения в рассуждение противоречивого высказывания.

Неклассическая аргументация может выполнять и вспомогательную функцию, когда после использования методов неклассической аргументации результирующее рассуждение может быть перестроено по законам классической (традиционной) аргументации. В так называемых адаптивных паранепротиворечивых логиках{149} вначале производится вывод по правилам, исходящим из одновременной истинности высказывания и его отрицания, а затем структура вывода перестраивается с помощью специальных методов таким образом, что противоречивые выводы элиминируются.

Сетка, набрасываемая на рассуждения и выводы вследствие явного или неявного принятия некоторой совокупности неклассических логик вместо классической, порою может выглядеть весьма причудливо. Тем не менее, если до некоторой степени уточнить особенности аргументации, основывающейся на той или иной неклассической логической системе, то картина получается примерно следующая.

Интуиционистская аргументация в значительной степени носит конструктивный характер (мы не будем вдаваться в особенности понятия “конструктивности”, принимаемого сторонниками различных направлений в интуиционизме). Это сказывается в том, что в подобного рода аргументации не поощряется использование рассуждений, основывающихся на доказательстве от противного или сведении к абсурду. Если вы выдвигаете предположение, что справедливо утверждение, противоположное защищаемому вами, то вывод, демонстрирующий абсурдность или ложность вашей гипотезы, не может считаться подтверждением вашей точки зрения. Доказательством может служить только предъявление некоторого механизма (конструкции, примера), реализующего ваше утверждение или отрицание вашего утверждения. Таким образом, интуиционистская аргументация может основываться только на конструктивных утверждениях позитивного или негативного характера. Возможно сведение интуиционистской аргументации к алетической и каноническая иллюстрация на примере роста и накопления знаний (кумулятивная модель).

Релевантная аргументация не позволяет использовать в рассуждениях и выводах переход от утверждений к утверждениям, если первые не содержат общих “параметров”, т.е. каких-то одних и тех же положений, высказываний, утверждений. Речь как бы должна идти строго об одних и тех же связанных между собой вещах или положениях дел, не допускается произвольное обобщение. При этом закон противоречия не является универсальным. Это означает, что возможно появление в рассуждениях утверждения и его отрицания. Возможно применение модальной аргументации в рамках релевантной.

Модальная алетическая аргументация позволяет вводить в рассмотрение необходимые и возможные высказывания, при этом мы от истинных утверждений аргументируем к необходимым, т.е. считаем наши доказанные утверждения необходимыми, принимаем их в качестве законов. В специальных случаях (в зависимости от вида модальной системы) позволено переходить от необходимости утверждения к необходимости его составляющих. Справедливость модальных утверждений может аргументироваться апелляцией к возможным мирам (положениям дел). Возможно сведение алогической аргументации к интуиционистской.

Деонтическая аргументация имеет дело с утверждениями, включающими выражения типа “обязательно”, “позволено”, “запрещено”. Эти выражения могут вводиться на основании перехода от истинных утверждений к обязательным и позволенным. Кажущуюся парадоксальность возникающих утверждений следует проверять обращением к конкретно принимаемым логическим законам. Например, утверждение “если обязательно заботиться о ближних, то эту обязанность мы налагаем на себя тем, что курим” не представляется истинным. Однако подобного рода утверждения справедливы в рамках некоторых деонтических модальных исчислений{150}. Справедливость утверждений может быть аргументирована обращением к возможным (моральным) мирам, которые характеризуются наличием или отсутствием определенных норм.

Возможна редукция деонтической аргументации к алетической, если ввести некоторое понятие штрафа или санкции (в этой роли может выступать конъюнкция моральных законов или юридических норм) и предположить, что аргументацию к обязательности некоторого утверждения можно заменить на аргументацию к тому, что необязательность этого утверждения влечет штраф.

Эпистемическая аргументация использует выражения “знаю”, “верю”, “сомневаюсь”, “опровергаю”. Утверждения с этими выражениями принимаются на основе аргументации к истинности исходного утверждения. С другой стороны, знание о чем-то может являться условием его истинности (но лишь при принятии соответствующего эпистемического исчисления, а не в общем случае). Следует принимать во внимание ограниченность субъективного знания, т.е. невозможность аргументации к знанию субъектом всех логических следствий известного утверждения (парадокс всеведения).

Темпоральная аргументация имеет дело с утверждениями, истинность которых зависит от течения времени. При этом разрешается переход от нетемпоральных утверждений к темпоральным, т.е. темпоральная аргументация основывается на нетемпоральной. В большинстве случаев аргументация темпорально дуальна, т.е. утверждения о прошлом и будущем взаимозаменяемы. Аргументация сильно зависит от принимаемой модели времени (однородного, симметричного, транзитивного, конечного, бесконечного, плотного, непрерывного, дискретного, линейного, ветвящегося и т.д.). Следует учитывать, что существует лишь пятнадцать грамматических времен (теорема Прайора). Возможно сведение к модальной аргументации (диадоровы определения).

Многозначная аргументация позволяет ослабить аподиктический характер аргументации; она допускает возможность “нечеткой” и тем не менее строгой аргументации, приближая ее к более обыденному способу рассуждений. Использование многозначной аргументации позволяет устранить логическую детерминированность (логический фатализм) утверждений{151}. В рамках многозначной аргументации закон противоречия теряет свою универсальность, т.е. возможны рассуждения, включающие некоторое утверждение и его отрицание. В некоторых случаях (принятие трехзначных и четырехзначных логик) возможно сведение многозначной аргументации к модальной.

Паранепротиворечивая аргументация позволяет рассуждать в противоречивых ситуациях, когда классическая аргументация приводит к логической тривиальности, т.е. ситуации, когда каждое утверждение истинно (следствие универсальности закона противоречия). Стратегия аргументации сильно зависит от принимаемой паранепротиворечивой логической системы. Например, в случае адаптивной паранепротиворечивой логики противоречивые выводы перестраиваются в непротиворечивые, в случае логики С.Яськовского рассуждения преобразуются в выводы с модальными утверждениями, в случае логики А.Арруды различается аргументация на уровне атомарных утверждений и сложных утверждений. В силлогистических системах Н.Васильева аргументация основывается на законах исключенного четвертого, исключенного пятого и т.д.

Не-фрегевская аргументация позволяет различать логическую эквивалентность и тождественность утверждений. Тождественность влечет эквивалентность, но не наоборот; тождественность основывается на совпадении ситуаций, описываемых утверждениями, что позволяет разумно аргументировать даже в случае непрозрачных и интенсиональных контекстов.

3. “Рогатка” Черча и не-фрегевская аргументация

Проиллюстрируем особенности применения неклассической аргументации на примере аргумента Алонзо Черча — так называемой “рогатки” Черча. Это имя ввиду простоты приводимой Черчем аргументации было дано Дж.Барвайсом и Дж.Перри, которые критически ее рассмотрели в книге “Ситуации и установки”{152}.

Черч формулирует свой аргумент в книге “Введение в математическую логику”{153} следующим образом. Вначале он принимает следующий постулат:

(1). Денотат составного имени не меняется, если одно из входящих в него составляющих имен заменить другим с тем же, что у заменяемого, денотатом (хотя смысл может и измениться){154}.

Как следствие из принципа (1), пишет Черч, мы “легко получаем примеры предложений, которые хотя и отличаются в каком-то смысле друг от друга по содержанию, но должны, очевидно, иметь один и тот же денотат. Так предложения “сэр Вальтер Скотт есть автор Вэверлея” и “сэр Вальтер Скотт есть сэр Вальтер Скотт” должны иметь один и тот же денотат, так как имя “автор Вэверлея” заменено другим с тем же денотатом. Точно так же должны иметь один и тот же денотат предложения “сэр Вальтер Скотт есть автор Вэверлея” и “сэр Вальтер Скотт есть человек, который написал все двадцать девять Вэверлеевских новелл”, так как имя “автор Вэверлея” заменено именем того же лица. Естественно предположить, что если это последнее предложение и не является синонимом предложения “число, равное числу всех написанных сэром Вальтером Скоттом новелл, есть двадцать девять”, то во всяком случае эти предложения настолько близки друг к другу, что убедительным становится предположение о тождественности их денотатов. Наконец, из этого последнего предложения мы получаем заменой субъекта на другое имя того же числа уже такое предложение, по-прежнему с тем же денотатом: “число, равное числу графств в штате Юта, есть двадцать девять””{155}.

Замечая, что данная цепочка рассуждений приводит к тому, что предложение “сэр Вальтер Скотт есть автор Вэверлея” и предложение “число, равное числу графств в штате Юта, есть двадцать девять”, по-видимому, имеют один и тот же денотат, Черч указывает, что “они, как будто, имеют в действительности очень мало общего”{156}. Единственное все же, по его мнению, общее между ними — это их логическая истинность, если следовать теории Г.Фреге. Это положение теории Фреге можно сформулировать в виде следующего постулата:

(FA) все истинные (соответственно все ложные) предложения описывают одно и то же, то есть имеют общий денотат.

Но как раз положение о логической истинности и ложности в качестве единственных денотатов всех предложений и отвергает не-фрегевская логика. Польский логик Р.Сушко, основатель не-фрегевской логики, как раз исходил из того, что отбросил (FA). Он опирался при этом на Л.Витгенштейна, считая, что денотатом предложения является то, о чем оно говорит: некоторая ситуация. Семантические постулаты не-фрегевской логики, согласно Р.Сушко, выглядят следующим образом:

S1. Каждое предложение имеет денотат.

S2. Истинные предложения обозначают позитивные факты, в то время как ложные предложения обозначают негативные факты.