Помоги проекту - поделись книгой:
Чит хотел спросить, что такое нумерация, но с ужасом обнаружил, что Ари исчезла, а вместе с ней и стеклянный муравейник.
— Ари! — отчаянно завопил он. — Ари, где ты?
— Не кричите понапрррасну, мой юный дррруг, — остановил его попугай. — Ари скоро вернётся. Да и на что вам Ари, когда к вашим услугам Ара? Старый мудрый Ара охотно ответит на ваши вопррросы. Кажется, вы собирались выяснить, что такое нумерррация? Прррошу! Нумерация, или, как говорят иначе, система счисления, — это способ записывать числа. И, смею вас уверить, за долгую историю человечества таких способов поднабралось порядочно.
— Не так уж, наверное, много, если все они умещаются в одном барабанчике, — усомнился Чит.
— Но вполне достаточно, чтобы вас ошарррашить, — с достоинством возразил Ара. — С какого способа ррразрешите начать?
Чит пожелал начать с самого удобного, и попугай сказал, что у него губа не дуррра. Но самая удобная нумерация — современная, а с ней Чит наверняка уже знаком. Поэтому старый мудрый Ара рискнёт предложить ему что-нибудь постарррше. Он покрутил свой барабанчик, оттуда повыскакивало несколько бумажек. На первой бумажке была нарисована колода с зарубками, камешки, кучки бобов и завязанные узлами верёвки.
— Это я уже видел, — сказал Чит пренебрежительно.
— Ничего, взгляните ещё разок. Так вам легче будет оценить замечательное открытие, сделанное около пяти тысяч лет назад в нескольких странах одновременно. Удивляетесь? Напрррасно. Древний Вавилон, Древний Египет, Древний Китай — всё это, по тем временам, государства высокой экономики, техники и культуры. Стало быть, там уже имели дело с большими числами, которых зарубками и камешками не запишешь. Ведь что такое зарубка? Попросту единица. А попробуйте-ка записать единицами тысячу или, того хуже, десять тысяч! И вот люди надумали группировать числа по разрядам…
— Вот так новость! — довольно невежливо перебил Чит. — У нас числа тоже делятся на разряды: единицы, десятки, сотни, тысячи… В числе 156, например, 1 сотня, 5 десятков и 6 единиц.
— Прекрррасно усвоено! — умилился Ара. — Многие древние народы действительно считали так же, как и мы: десятками. То есть каждый следующий разряд был у них больше предыдущего в 10 раз. Десятками считали египтяне. Десятками считали китайцы. Но кое-где пользовались и другими системами счисления. Шестидесятеричной, например. В такой системе каждый последующий разряд больше предыдущего в 60 раз. Те же китайцы в более отдалённые времена считали пятками. А индейцы племени майя — народ своеобррразнейшей культуры! — считали двадцатками. И каждый последующий разряд был у них больше предыдущего в 20 раз.
— Да, это вам не зарубки! — уважительно сказал Чит.
— Что и говорить, прррогресс громадный, — отозвался Ара. — И всё-таки запись больших чисел в древних нумерациях была не слишком-то удобной. Взгляните на билетик с египетской нумерацией. Записанное там число 1754 состоит из семнадцати знаков, а нам с вами достаточно четырёх. А уж как замысловато выглядели числа в Древнем Китае! Насколько я помню, у вас там изображено число 1492, но иному школьнику понадобится столько же дней, чтобы научиться такой записи. Не лучше обстояло дело и у древних римлян, хотя, на первый взгляд, их нумерация весьма экономна. Они обходились всего семью цифрами… Да, давно собираюсь спросить, хорошо ли вы знаете, что такое цифры?
— Странный вопрос, — растерялся Чит. — Цифры — это цифры…
— Великолепно! — неожиданно восхитился Ара. — Цифры — это цифры, а числа — это числа. К сожалению, некоторые люди постоянно путают эти понятия. Вечно от них слышишь: большие цифры, астрономические цифры… Они никак не желают понять, что цифры — всего лишь значки для записи чисел, так же как буквы — значки для записи слов. Между прочим, буквы — то есть письменность — появились прежде, чем цифры. Неудивительно, что люди, придумывая цифры, исходили из привычной для них формы письма. В Древнем Египте и Древнем Китае писали иероглифами — значками вроде картинок. Каждая такая картинка означала не букву, а целое понятие. И очень может быть, что именно поэтому специальные значки там были только для обозначения числовых разрядов: единиц, десятков, сотен, тысяч и так далее. У римлян иероглифов не было — они уже пользовались алфавитной, буквенной письменностью. И цифрами там служили заглавные буквы латинского алфавита — приём весьма распространённый в древности; с ним вы встретитесь в нумерациях многих восточных народов. И всё-таки римская запись больших чисел не многим лучше египетской. Число 338 631 — взгляните на билетик! — изображается там с помощью семнадцати знаков, считая маленькое латинское m — первая буква слова «mille» — «тысяча», которая ставилась после числа тысяч.
Чит хихикнул. Такое читать — глаза сломаешь!
— Не нррравится? Мне тоже! — вздохнул Ара. — Гррромоздко. Неповоррротливо. Трррудно для расчётов.
— Да уж! — согласился Чит, пытаясь разобраться, как римляне умножали столбиком 123 на 165. — Не завидую я древнеримским бухгалтерам. Не сладко им приходилось.
— Так же как счетоводам Древней Греции или Руси, — ввернул Ара. — Но, несмотря ни на что, они всё-таки считали! И прекрррасно считали. В XII веке новгородский монах Кирик написал сочинение о счёте, из которого видно, что славяне того времени отлично владели четырьмя действиями арифметики и свободно обращались не только с очень большими целыми, но и с очень малыми дробными числами.
— А цифрами там тоже служили буквы, только с какими-то закорючками наверху, — сказал Чит, развернув новую бумажку.
— Вы имеете в виду титло, — сказал Ара. — Оно-то и превращает букву в цифру. Причём в числах, состоящих из нескольких цифр, титло ставится только над первой. Вот так!
Он быстро нацарапал клювом на барабане
— Тысяча извинений! — сконфузился тот. — Забыл предупредить, что числа второго десятка славяне писали в том же порядке, как читали. А читали они так: дванáдесять, тринáдесять. Иначе говоря, два сверх десяти, три сверх десяти…
— Любопытно! — сказал Чит. — Сейчас только заметил, что числа от 11 до 19 мы пишем не так, как читаем. Пишем сперва десятки, потом единицы: 12; 13. А читаем почти как древние славяне: двенадцать, тринадцать. Почему бы это?
Но Ара не ответил. Казалось, он погрузился в какие-то воспоминания. Глаза его были закрыты. Он тихонько раскачивался и что-то бормотал. Чит не знал, что и делать, но потом осторожно пощекотал попугая под клювом.
— Ара! Ара, вы спите?
— А? Что? — встрепенулся тот, испуганно моргая. — Сплю? Я?! Никоим обррразом! Пррросто замечтался. Может старый мудрый Ара вспомнить что-нибудь приятное? Хотя бы вавилонскую нумерацию! «Я вспомнил вас, и всё былое…» — запел он вдруг во всё горло, но тотчас стыдливо осекся. — Парррдон. Прррошу прощения. Эта замечательная система счисления всегда настррраивает меня на лирический лад.
— А почему? — сейчас же прицепился Чит. — Чем она лучше других?
— Чем? Да хотя бы тем, что предвосхитила нашу, современную систему счёта. Так уж вышло, что эта старейшая нумерация — а ей как-никак четыре или пять тысяч лет от роду! — гораздо выше многих, куда более поздних. Видите ли, большинство древних нумераций обладают одним общим свойством: там есть специальные, самостоятельные значки для обозначения чисел каждого разряда. У римлян, например, 10 —
Чит взглянул, но ничего не понял. Вместо цифр на билетике были нацарапаны какие-то гвóздики со шляпками — с одной или с несколькими сразу. Выяснилось, впрочем, что гвоздики и есть цифры, и значение каждой — от единицы до девятки — определяется по числу шляпок. Десять обозначается шляпкой побольше, к тому же с полями и без гвоздика, да ещё опрокинутой набок. Между прочим, все эти знаки одинаково напоминают клинышки — недаром вавилонская письменность называется клинописью! Клинышки выдавливались заострёнными палочками на сырых глиняных плитках, которые затем обжигались на солнце…
— Фу, как неудобно! — скривился Чит (он уже порядком устал, а когда он уставал, ему не нравилось решительно ничего). — Глиняная библиотека… Небось книги из неё домой на ослах возили.
— На ослах?! — задохнулся Ара. — На ослах?! Да знаете ли вы, чем обязаны вавилонской математике? Вавилонская математика оказала благотворррнейшее влияние на математику многих стррран. В Вавилон ездили учиться такие замечательные учёные, как Пифагор. Из Вавилона позиционная система счёта перекочевала в Индию, из Индии арррабские завоеватели перенесли её в Евррропу! А вы — на ослах… Нет, я этого не переживу! Я расстррроен… Я рассеррржен… Мне дурррно…
Тут он завертел свой барабан с невероятной скоростью, и оттуда фонтаном брызнули «всевозможные нумерации», с которыми Чит не успел познакомиться. Их было столько, что он испугался. Ещё немного — и они засыпали бы его с головой! К счастью, в это время откуда-то появилась Ари и увела его прочь от разъярённого лотерейщика.
На сей раз они шли довольно долго. И всё-таки Чит не успел ни соскучиться, ни утомиться. По обе стороны стеклянного коридора проплывали такие чудесные, такие солнечные картины! Раскачивались на ветру раскидистые, необычайной красоты деревья. Плавно и неспешно сменяли друг друга величавые статуи, храмы, дома — такие все разные, такие непохожие! И такие — всякий раз по-новому — складные, стройные, соразмерные…
— Вот-вот, стройные и соразмерные, — подтвердила Ари, словно угадав мысли Чита (или он незаметно для себя говорил вслух?). — Стройные, соразмерные, гармоничные, — продолжала она. — Последнее определение, пожалуй, самое точное. Гармония — именно так называем мы всякое проявление соразмерности и красоты. Гармонией, кстати, называется и следующая наша с тобой остановка.
И тут они очутились у подножия широкой лестницы, которая вела к великолепному зданию. Чит уже видел такое в одной книжке и сразу догадался, что здание древнегреческое, с колоннами и треугольной шапочкой наверху. Помнится, шапочка называется фронтóном. Но вот что удивительно: на фронтоне красовалась лепная пятиконечная звезда, обведённая лепной же пятиугольной рамкой. Увидав звезду, Чит сперва обрадовался, а потом задумался: советская звезда — и вдруг в Древней Греции! С чего бы это?
Но Ари сказала, что пятиконечная звезда известна людям с глубокой древности. Фигуру эту часто изображали древние вавилоняне. В Древней Греции её избрали своей эмблемой пифагорейцы — последователи знаменитого Пифагора. А Пифагор хорошо знал вавилонскую математику и позаимствовал из неё немало любопытного. В том числе, может быть, и этот звёздчатый пятиугольник.
— А что в нём любопытного? — заинтересовался Чит.
— Гармоническое сочетание частей. Недаром в древности пятиконечная звезда была символом здоровья, а здоровье — тоже гармония: пропорциональное сложение, согласованная работа всех органов. Вот и в звёздчатом пятиугольнике древние подметили замечательную пропорцию, соотношение частей, которое назвали золотым сечением. Чтобы вычертить пятиугольную звезду, надо построить пятиугольник с одинаковыми сторонами и соединить его вершины — иными словами, провести диагонали. Из этих-то диагоналей и образуется звезда. Как видишь, — сказала Ари, указывая на фронтон, — каждая диагональ делится здесь другой диагональю на две части: мéньшую и бóльшую. Так вот, короткая часть во столько раз меньше длинной, во сколько длинная меньше всей диагонали в целом. Но самое интересное, что подобное соотношение частей постоянно встречается в природе. Его можно обнаружить всюду. В строении человека, животных, растений…
— Так, может быть, древние вовсе не изобрели золотого сечения, а просто подсмотрели его у природы? — предположил Чит.
— Вполне вероятно. Сперва подсмотрели, а потом стали пользоваться своим открытием, когда хотели создать что-либо совершенное, гармоничное. Впрочем, золотое сечение — оно используется главным образом в изобразительном искусстве и архитектуре — всего лишь одно из проявлений гармонии. А вообще-то гармония — понятие широкое. Есть гармония в стихах, в танцах. Есть она и в музыке, что, кстати сказать, убедительно показал Пифагор в своём труде о гармонии.
— Не понимаю, — задумался Чит. — Ты говорила, Пифагор — математик?
— Ну и что же! Пифагорейцы, надо тебе знать, изучали четыре науки: арифметику, геометрию, астрономию и музыку.
— Какая же музыка наука? — фыркнул Чит. — Она же искусство.
— Искусство, основанное на числах, — возразила Ари. — Пифагорейцы придавали числам особое значение. Они поклонялись им как божеству. Числа, по их мнению, управляют мировым порядком. На числах основана гармония Вселенной… Ну, тут они, пожалуй, хватили через край. И всё-таки пифагорейцы были настоящими учёными. Они успешно продолжили и развили то, что почерпнули у вавилонян, и сами открыли немало нового в области чисел. О числах, которыми занимались пифагорейцы, можно говорить долго. Но я познакомлю тебя только с несколькими — хотя бы с этими четырьмя: 1, 2, 3, 4. Пифагор относился к ним с особой нежностью: ведь с их помощью он заставил одну-единственную музыкальную струну издавать звуки самой разной высоты.
— И как же он этого добился?
— Использовал отношения своих любимых чисел.
Чит не удержался — хихикнул. Он думал, отношения бывают только у людей. Но Ари сказала, что у чисел тоже, хотя и совсем другие.
Чтобы получать звуки разной высоты, Пифагор стал прижимать струну пальцем в определённом месте, то есть делить её в определённых числовых отношениях: сперва в отношении одного к двум (1 : 2), потом двух к трём (2 : 3), затем трёх к четырём (3 : 4). Как он делил струну дальше, не суть важно. Главное, что вместо целой струны у него всякий раз звучала лишь какая-то часть её. Так с помощью чисел Пифагор заложил основу науки о музыкальных созвучиях, которая тоже, между прочим, называется гармонией.
— Знаешь, Ари, всё это очень интересно… — замялся Чит. — И про Пифагора и про гармонию. Но я должен открыть тебе один секрет. Только не смейся, пожалуйста… Понимаешь, я ещё не умею делить меньшее число на большее. Два на три, три на четыре.
— Бедный ребёнок! Ты что, никогда не ел апельсинов?
Чит совсем растерялся. Апельсины он, конечно, ел, и даже больше, чем следовало. Но что общего между апельсинами и делением? Ари, однако, сказала, что это он поймёт на следующей остановке:
И снова всё переменилось — прямо как в театре! Исчез дом с лепной звездой на фронтоне. Исчезли картины за стенками стеклянного коридора, да и сам коридор тоже. И вот они уже в небольшом чистеньком кафе, и на столе перед ними ваза с тремя апельсинами и пятью яблоками.
— Угощайся, — сказала Ари.
Чит не заставил себя упрашивать: схватил апельсин и стал чистить прямо руками.
Чистить апельсины руками не очень удобно, зато очень невыгодно. Сок попадает при этом куда угодно, только не в рот. В общем, очень скоро апельсин выглядел так, что пришлось его выбросить. Чит выглядел не лучше, но так как его самого выбросить нельзя было, он пошёл мыться, а когда вернулся, на тарелке лежал апельсин, очищенный самым что ни на есть аккуратнейшим образом. Ари спокойно вытирала фруктовый ножичек бумажной салфеткой.
«Всё-таки она молодчина, эта Ари», — подумал Чит и на радостях хотел было запихнуть апельсин в рот целиком. Но Ари сказала, что так недолго и подавиться, и лучше есть апельсин дольками.
Долек в апельсине оказалось двенадцать. Чит съел их по очереди и с большим удовольствием.
— Ну вот, — улыбнулась она, — а говорил, не умеешь делить меньшее число на большее.
— Где же тут меньшее на большее? — растерялся он. — Целый апельсин как-никак побольше дольки!
— Зато апельсин один, а долек — двенадцать. Стало быть, ты разделил единицу на двенадцать, а единица как-никак поменьше двенадцати. Разве не так?
— Так, — озадаченно заморгал Чит.
— Вот мы и добрались с тобой до дробных чисел, то есть таких, которыми записывают доли целого.
Ари взяла карандаш и написала на бумажной салфетке двухъярусное число. На верхнем ярусе стояла единица, под единицей — чёрточка, а под чёрточкой — число двенадцать: 1/12.
— Это одна двенадцатая, то есть единица, делённая на двенадцать. И чёрточку здесь надо рассматривать как знак деления. Вот как выглядит апельсинная долька в числах. Впрочем, это вполне может быть и доля помидора, и доля рубля, и доля метра. Словом, всего, что можно делить на равные части, и, уж конечно, не только на двенадцать, а на сколько угодно.
— А если я хочу взять не одну, а пять апельсинных долек?
— На здоровье. Только записать это следует уже так: 5/12. Пять двенадцатых. При этом не мешает запомнить, что число над чёрточкой называется числителем, а под чёрточкой — знаменателем дроби. Ясно?
— Выходит, я съел двенадцать двенадцатых, то есть целый апельсин. А если мне и яблок хочется? Да не одно, а половину от всех пяти?
— Пожалуйста. Только тогда тебе уже придётся съесть неправильную дробь. Такую, где числитель больше знаменателя: 5/2. Пять вторых.
Но Чит решительно не желал питаться дробями, тем более неправильными. Его интересовали яблоки, и Ари сказала, что яблоки, конечно, лучше. Хотя есть свои достоинства и у дробей. Пифагору, например, только потому и удалось разделить струну в нужных соотношениях, что он отлично орудовал дробями. И понадобились ему для этого именно те дроби, с которыми Чит только что познакомился: простые.
— А есть и какие-нибудь другие? — спросил он.
— Безусловно. Но не в том дело. Главное — уразуметь вот что. Яблоко можно разделить на сколько хочешь равных долей. Количество этих долей можно, в свою очередь, записать дробью. Но надо при этом помнить, что дробь, так же как и всякое число вообще, — не яблоко. И не какой-либо другой предмет. Число — понятие отвлечённое. У него своя, особая, самостоятельная жизнь. Хотя и пользуются им для самых разнообразных практических целей.
Поделиться книгой: