О Бесконечном

Мы хотим ещё кратко разъяснить, каким образом формализируется математическое доказательство. Определённые формулы, которые, как я сказал, служат камнями для постройки формального здания математики, называются аксиомами. Математическое доказательство есть некоторая фигура, которая, как таковая, должна  наглядно пред нами предстать; оно состоит из выводов,  делаемых по следующей схеме:

S , S --> L

-----------

     L

где всякий раз каждая посылка, т. е. в упомянутых формулах S и S --> L, есть либо аксиома (или получается из аксиомы при помощи подстановки) или совпадает с заключительной формулой некоторого вывода, уже встречавшегося ранее в доказательстве (или получается из этой формулы при помощи подстановки). Формулу мы будем называть доказуемой, если она является либо аксиомой, либо конечной формулой некоторого доказательства.   

Нашей программой мы уже предрешили выбор аксиом для нашей теории доказательства. Несмотря на некоторый произвол в выборе аксиом, здесь, как и в геометрии, различаются качественно отдельные, обособленные группы, из которых мы будем каждый раз приводить некоторые примеры:

I. Аксиомы следования:

A --> (B --> A) (добавление предпосылки);

(B --> C) --> {(A --> B) --> (A --> C)} (исключение высказывания).

II. Аксиомы отрицания:

{А --> (В&!В)} --> !А (закон противоречия);

!!A --> А (закон двойного отрицания)

Из закона противоречия следует, что

(A&!A) --> B,

а из закона двойного отрицания следует закон исключённого третьего:

{(А --> В) & (!A --> B)} --> В.

Аксиомы групп I и II суть не что иное, как аксиомы исчисления высказываний.

III. Трансфинитные аксиомы:

(х)А(х) --> А(а) (заключение от общего к частному, аксиома Аристотеля)

(!х)А(х) --> (Ех)!(A(х)) (если сказуемое справедливо не для всех объектов, то существует противоречащий пример);

!(Ех)А(х) --> (х)!А(х) (если не существует примера, для которого некоторое высказывание имело бы место, то это высказывание ложно для всех х).

При этом выявляется то замечательное обстоятельство, что все эти трансфинитные аксиомы могут быть выведены из одной, а именно той, которая содержит одновременно и ядро так называемой аксиомы произвольного выбора, более всего оспаривавшейся до сих пор в математической литературе. Указанная аксиома такова:

А(а) --> А(ε(А)),

где ε — трансфинитная логическая функция выбора.

К этому добавляются чисто математические аксиомы:

IV. Аксиомы равенства:

а = а, а = b --> (А(а) --> А(b))

V. Аксиомы числа:

а' ≠ 0,

а также аксиома полной индукции:

{A(0)&(x)(A(x) --> A(x'))} --> A(a).

Этим способом мы в состоянии провести нашу теорию доказательства и построить систему доказуемых формул, т. е. математическую науку.

Но на радостях по поводу наших успехов вообще и, в частности, по поводу исчисления логики, которое мы, не затрачивая на то никаких усилий, нашли в качестве столь необходимого оружия, мы не должны всё же забыть о существенной предпосылке, определяющей наши действия. Существует одно условие, правда, только одно, но зато абсолютно необходимое, с которым связано применение метода идеальных элементов; этим условием является доказательство непротиворечивости: расширение, осуществляемое прибавлением идеалов, допустимо только при условии, что из-за этого в старой, узкой области никаких противоречий не возникает, т. е. при условии, что соотношения, которые получатся для старых образов после исключения идеальных, всегда в старой области имели место.

Однако эта проблема непротиворечивости при настоящем положении вещей вполне доступна для исследования. Именно, подставив в логическую формулу (А&!А) --> В, которая следует, как это уже было указано, из аксиом отрицания, вместо В неравенство 0 ≠ 0, мы получим:

(A&!А) --> 0 ≠ 0.

Таким образом, для доказательства непротиворечивости нам теперь необходимо только показать, что при доказательстве, проведённом по установленным правилам, «0 ≠ 0» не появится в качестве заключительной формулы и, таким образом, что «0 ≠ 0» не есть доказуемая формула. А это является задачей, которая принципиально лежит в области наглядного рассмотрения, аналогично тому, как, скажем, задача об иррациональности sqrt(2) (т. е. доказательство того, что невозможно найти таких два числовых знака а и b, которые связаны соотношением а2 = 2b2, где, следовательно, должно быть показано, что невозможно задать два числовых знака, обладающих некоторым вполне определённым свойством) находится в содержательно построенной теории чисел. Соответственно этому, нам надо доказать, что невозможно дать доказательство, обладающее некоторым вполне определённым свойством. Но ведь формализированное доказательство, точно так же, как и числовой знак, является конкретным и обозримым предметом; оно сообщаемо от начала до конца. Также и требуемое свойство заключительной формулы, состоящее в том, чтобы она гласила «0 ≠ 0», является конкретно устанавливаемым свойством доказательства. Всё это можно действительно осуществить, и тем самым оправдывается введение наших идеальных высказываний.

Вместе с тем, мы решили ещё проблему, которая давно уже была весьма актуальна, а именно — проблему о непротиворечивости аксиом арифметики. Всюду, где применяется аксиоматический метод, возникает проблема — доказать непротиворечивость устанавливаемых аксиом. Ведь при выборе, трактовке и употреблении аксиом и правил мы не хотим зависеть только от доброй веры и слепого доверия. В геометрии и физических теориях доказательство непротиворечивости удаётся свести к вопросу о непротиворечивости аксиом арифметики. К самой арифметике этот метод, очевидно, не применим. Наша теория доказательства на основании метода идеальных элементов разрешает сделать этот последний важный шаг и тем самым завершает постройку учения об аксиоматике. И то, что мы дважды пережили, когда сначала речь шла о парадоксах исчисления бесконечно малых, а затем — о парадоксах теории множеств, — это впредь в царстве математики невозможно.

Наша теория доказательства, набросок которой мы здесь дали, в состоянии не только сделать надёжными основы математической науки, но, я полагаю, открывает дорогу для разработки общих вопросов принципиального характера, попадающих в область математических размышлений — вопросов, к которым раньше не могли приступить.

Математика превращается, некоторым образом, в третейского судью, в трибунал высшей инстанции, выносящий решение по принципиальным вопросам, причём такое расширение роли математики происходит на конкретной базе, на которой все должны суметь договориться, и где каждое утверждение контролируемо.

Так же и утверждения нового, так называемого «интуиционизма», — как бы скромны они ни были, — прежде всего должны, по моему мнению, получить от этого трибунала своё право на существование.

В заключение мы хотим из всех наших рассуждений сделать некоторое резюме о бесконечном. Общий вывод таков: бесконечное нигде не реализуется. Его нет в природе, и оно недопустимо как основа нашего разумного мышления, — здесь мы имеем замечательную гармонию между бытием и мышлением. В противоположность стремлениям Фреге и Дедекинда, мы пришли к убеждению, что в качестве предварительного условия для возможности научного познания необходимы некоторые геометрически наглядные представления и рассмотрения  и что одна только логика недостаточна. Оперирование с бесконечным может стать надёжным только через конечное.

Роль, которая остаётся бесконечному, это только роль идеи, — если, согласно Канту, под идеей подразумевать понятие, образованное разумом, которое выходит за пределы всякого опыта и посредством которого конкретное дополняется в смысле цельности, — более того, идеи, которой мы можем вполне доверять в рамках, поставленных теорией, намеченной и защищаемой мною здесь.

Наконец, я хотел бы выразить свою благодарность П. Бернайсу за проведённую совместную работу и ценную помощь, оказанную им мне как по существу вопроса, так и в отношении редакции.