Удовольствие от Х.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир

Если вы вдумчивый исследователь, то вас уже кое-что должно насторожить. Откуда мы знаем, что π имеет одинаковое значение для любых окружностей? Может быть, оно различно для больших и маленьких кругов? Ответ на этот вопрос отрицательный, но его доказательство не тривиально. Вот вам интуитивный аргумент.

Представьте, что с помощью ксерокса вы уменьшаете изображение круга, скажем, на 50%. Тогда все расстояния на рисунке, в том числе длина окружности и ее диаметр, тоже уменьшатся на 50%. Итак, когда вы разделите длину новой окружности на ее диаметр, уменьшение на 50% нейтрализуется, и их соотношение останется неизменным. Оно и составляет π.

Конечно, здесь мы не сможем узнать величину π. Простые эксперименты с веревкой и блюдом достаточно хороши, чтобы получить значение около 3 или, если вы хотите более точный результат, 3. Но, предположим, надо найти значение π точно или приближенно, но с любой желаемой точностью. Что тогда? Эта проблема приводила древних в замешательство.

Прежде чем перейти к блестящему решению Архимеда, я должен упомянуть еще об одном случае, когда π появляется в связи с кругами. Площадь круга (размер пространства внутри него) вычисляется по формуле

A = πr2,

где A — площадь круга, π – греческая буква пи, а r — радиус окружности, определяемый как половина диаметра.

Все мы помним эту формулу из средней школы, но откуда она взялась? На уроках геометрии она обычно не доказывается. Если бы мы делали вычисления по ней, то, наверное, смогли бы найти доказательство. Но так ли уж необходимы вычисления, чтобы доказать ее?

Да, необходимы.

Задачу осложняет то, что эти фигуры имеют округлую форму. Если бы они были прямоугольными, проблемы бы не существовало. Найти площади треугольников и прямоугольников легко. А работать с такими изогнутыми формами, как круги, — трудно.

С математической точки зрения можно допустить, что изогнутая форма состоит из большого числа небольших прямоугольных отрезков. Это, конечно, не совсем так, но работает — при условии, что вы доведете их количество до предела, представив бесконечно много бесконечно малых частей. Это важнейшая идея всех вычислений.

Вот один из способов определить площадь круга. Начните с разбиения области на четыре равные части и переставьте их таким образом.

Странная форма с фестонами снизу имеет такую же площадь, как и круг, хотя это построение может показаться бесполезным, так как нам неизвестна площадь ее сегментов. Но по крайней мере мы знаем две важные вещи. Во-первых, две нижние дуги имеют общую длину, равную половине длины окружности исходного круга (потому что другая половина окружности приходится на две дуги сверху). Поскольку длина всей окружности в π раз больше диаметра, то ее половина в π раз больше половины диаметра, то есть радиуса r. Вот почему на рисунке показано, что πr — суммарная длина дуг фестонов в нижней части фигуры. Во-вторых, прямые стороны кусочков имеют длину r, так как каждая из них первоначально была радиусом окружности.

Далее повторим все описанные действия, но на этот раз уже с восемью отрезками круга.

Теперь фигура приобрела менее странную форму. Дуги сверху и снизу по-прежнему существуют, но они не столь ярко выражены. Еще одно усовершенствование: левая и правая стороны изогнутой фигуры стали более вертикальными, чем раньше. Несмотря на все изменения, два факта остаются постоянными: дуги внизу по-прежнему имеют длину πr, а каждая сторона — длину r. И конечно, площадь фигуры та же — это площадь исходного круга, так как это просто фигура, составленная из восьми частей круга.

По мере увеличения числа отрезков происходит нечто чудесное: фестоны все больше и больше разглаживаются, превращая фигуру в прямоугольник. Дуги становятся более плоскими, а стороны — почти вертикальными.

В пределе бесконечно большого числа частей фигура превратится в прямоугольник. Но, как и прежде, два факта все еще остаются неизменными: нижняя сторона прямоугольника равна πr, а высота — r.

Но теперь задача упростилась. Площадь прямоугольника равна его ширине, умноженной на высоту, то есть произведение πr и r дает площадь прямоугольника, равную πr2. А так как у преобразованной фигуры такая же площадь, как и у исходного круга, то полученное значение является также и площадью круга!

В таких расчетах приятно то, что бесконечность приходит на помощь. В каждом отдельном шаге фигуры с фестонами выглядели странными и бесперспективными. Но когда вы доходите до ее предела, она становится простой и красивой, и все проясняется. Вот так работает исчисление бесконечно малых в своем лучшем проявлении.

Архимед использовал подобную стратегию, чтобы приблизиться к π. Он заменил круг на многогранник с прямыми сторонами, а затем удваивал их число, чтобы приблизиться к идеальной округлости. Но вместо того чтобы согласиться на приближение неопределенной точности, он методично ограничивал π, поместив круг между вписанными и описанными многоугольниками, как показано ниже, на 6-, 12- и 24-сторонних фигурах.

Затем с помощью теоремы Пифагора он выразил периметры этих внутренних и внешних многоугольников, начиная с шестигранника и далее для многоугольников с 12, 24, 48 сторонами, и в конечном итоге для 96-стороннего многоугольника. Формула для него позволила доказать, что

В десятичной системе счисления (которой у Архимеда не было) это означает, что π находится между 3,1408 и 3,1429.

Этот метод известен как метод исчерпывания59, быть может, потому что неизвестные значения числа π загоняются между двумя известными числами, сжимающими его с двух сторон. Границы сужаются с каждым удвоением, тем самым исчерпывая возможности для маневра числа π.

В пределе бесконечно большого числа сторон многоугольников верхняя и нижняя границы неравенств будут сходиться к π. К сожалению, этот предел не такой простой, как у фигуры с фестонами, превратившейся в прямоугольник. Число π становится неуловимее, чем когда бы то ни было ранее60. В настоящее время посчитано его значение более чем с 2,7 триллиона знаков, но вы никогда не будете знать его точно.

Помимо того что Архимед заложил основу для интегрального исчисления, он показал нам силу пошагового приближения. Прошло более двух тысячелетий, и эта стратегия развилась в современных методах численного анализа61. Когда инженеры используют компьютеры для проектирования оптимально обтекаемого автомобиля или биофизики моделируют новый препарат химиотерапии в качестве защелки на раковую клетку, они используют численный анализ.

Математики и программисты, ставшие пионерами в области применения этого метода, создали высокоэффективные алгоритмы, которые можно выполнять миллиарды раз в секунду, что позволяет компьютерам решать задачи из всех областей современной жизни — от биотехнологий до Уолл-стрит и интернета. В каждом случае используется стратегия нахождения ряда приближений, сходящегося в пределе к правильному ответу.

И нет предела тому, где это можно применить.

17. Перемены, в которые мы можем поверить[20]

До того как я узнал, что такое исчисление[21], я думал, что это что-то необыкновенное. Мой папа говорил о нем с благоговением. Будучи ребенком Великой депрессии, он не смог пойти учиться в колледж, но, возможно, во время пребывания в южной части Тихого океана, ремонтируя двигатели бомбардировщика B-24, он ощутил, на что способно исчисление. Представьте себе несколько зениток с механическим управлением, ведущих автоматический огонь по заходящим на цель истребителям врага. Отец знал, что исчисление здесь использовалось для прицеливания орудий.

Каждый год около миллиона американских студентов проходят курс исчисления62. Но мало кто из них действительно понимает, о чем вообще этот курс, или может объяснить, зачем он нужен. Это не их вина. В этом курсе изучается так много методов, которые следует освоить, и так много новых идей, которые необходимо впитать, что легко пропустить общие положения.

Исчисление функций и интегралов[22] — это математика перемен. Она описывает все — от распространения эпидемий до зигзагов крученого мяча в бейсболе. Этот предмет охватывает большой объем материала, и учебники по размеру соответствующие. Многие превышают тысячу страниц, и работать с ними так же приятно, как открывать дверь с дверной пружиной.

Но в этом объемистом фолианте вы обнаружите две идеи, просвечивающие сквозь толщу материала. Все остальное, как любил повторять золотое правило рабби Гиллель, просто комментарии. Эти две идеи — производная и интеграл. Каждая доминирует в своей области исчислений, названных в их честь: дифференциальное и интегральное исчисления.

Грубо говоря, производная расскажет вам, как быстро что-то меняется, а интеграл — сколько это «что-то» накопит. Они родились в разное время и в разных местах: интегралы в Греции около 250 года до н. э., производные — в Англии и Германии в середине XVII века. Тем не менее (поворот в духе романов Диккенса) они оказались кровными родственниками, хотя ученым и потребовалось более двух тысячелетий, чтобы заметить это родство.

В следующей главе мы исследуем столь удивительную связь и понятие интеграла. Но сначала, в рамках подготовительной работы, рассмотрим производные.

Производные существуют вокруг нас, даже если мы не считаем их таковыми. Например, наклон трапа является производной. Как и все производные, он измеряет скорость изменения. В данном случае — на какую высоту за шаг вы поднимаетесь или спускаетесь. Крутой подъем имеет большую производную. У наклона инвалидной коляски с незначительным перепадом она маленькая.

В каждой области практической деятельности есть собственный вариант производной. Будет ли она предельным доходом или темпом роста, скоростью или наклоном — от любого ее названия по-прежнему веет холодком. К сожалению, многие студенты, прослушав курс дифференциального исчисления, приходят к гораздо более узкому толкованию производной как синонима наклона кривой.

Такая путаница понятна и вызвана она тем, что для отображения количественных отношений мы, как правило, применяем графики. Путем графического изображения у как функции от х мы пытаемся представить, как одна переменная влияет на другую. И при этом совершенно не важно, что понимается под скоростью изменения значений на графике. Это могут быть темпы роста вирусов, скорость струи или нечто, что преобразуется в нечто другое, столь же абстрактное, но что можно изобразить как наклон кривой на графике.

Как и наклоны, производные могут быть положительными, отрицательными или равными 0, что указывает на то, что нечто увеличивается, уменьшается или выравнивается. Рассмотрим летящего по воздуху Майкла Джордана, зависшего над корзиной за секунду до одного из своих феноменальных бросков.

Сразу после прыжка его вертикальная скорость (скорость его подъема, изменяющаяся во времени [кстати, еще одна производная]) будет положительной, потому что он поднимается вверх. Высота подъема спортсмена растет. На пути вниз эта производная отрицательная. В самой верхней точке прыжка, где кажется, что Джордан завис в воздухе, а его подъем прекратился, производная равна 0. В этом смысле он действительно висит.

Здесь действует еще один общий принцип: предметы всегда изменяются медленнее в верхней и нижней точках. В Итаке это особенно заметно. В самое темное время зимы дни не только нещадно коротки, но и очень медленно растет продолжительность светового дня. Как только начинается весна, дни быстро удлиняются. Все это вполне объяснимо. Изменения наиболее вялые в крайних точках именно потому, что производная в них равна нулю. В этом случае процессы моментально успокаиваются.

Это свойство нулевой производной проявляется на пиках и во впадинах и лежит в основе ряда практичных способов применения производных, позволяющих выяснить, где функция достигает своего максимума или минимума. Вопрос о максимуме или минимуме возникает, когда мы ищем самый лучший, или самый дешевый, или самый быстрый способ сделать что-либо.

Господин Жоффрей, мой школьный учитель, который вел у нас ввод­ный курс исчислений63, умел талантливо преподнести нам условие задач на определение максимума и минимума. Однажды он быстро вбежал в класс и начал рассказывать о своем путешествии через заснеженное поле. Видимо, ветер в одном месте поля намел много снега, покрыв его тяжелым покрывалом, из-за чего учителю пришлось идти гораздо медленнее, а остальная часть поля была чистой, и он шагал по нему легко. В этой ситуации он спросил себя, по какому пути должен идти пешеход, чтобы добраться из пункта А в пункт B как можно быстрее.

Кто-то думал, что нужно тащиться прямо через глубокий снег, чтобы сократить медленную часть пути. Однако в этом случае оставшаяся часть пути заняла бы больше времени.

Еще одна стратегия заключалась в том, чтобы идти по прямой от А к В. Это определенно кратчайшее расстояние, но на преодоление его самой трудной части уйдет больше времени.

Оптимальный путь можно найти с помощью дифференциального исчисления. Это некий компромисс между перечисленными вариантами.

Анализ включает в себя четыре основных этапа. Во-первых, обратите внимание, что общее время в пути, которое мы пытаемся свести к минимуму, зависит от того, где пешеход выбирается из снега. Он может выйти в любом месте, поэтому обозначим как переменную х все возможные точки выхода.

(Ясно, что время в пути зависит также от расположения точек А и В и скорости пешехода в обеих частях поля, но эти параметры заданы. Под контролем пешехода остается только x.)

Во-вторых, с учетом выбора х и известных значений — точки отправления A и пункта назначения B — мы можем вычислить, сколько времени тратит пешеход на путь по быстрой и медленной части поля. Для расчета каждого этапа пути потребуются теорема Пифагора и старая алгебраическая мантра «расстояние равно скорости, умноженной на время». Суммируя пути, проделанные по легкому и трудному участкам, получим формулу для всего времени T пути как функцию от х.

В-третьих, изобразим график зависимости Т от х. В нижней части кривой находится точка, которую мы ищем, соответствующая наименьшему времени пути и, следовательно, самому короткому.

В-четвертых, чтобы найти эту самую нижнюю точку, мы взываем к нулевой производной в соответствии с упомянутым выше принципом. Вычисляем производную от T по х, приравниваем ее к нулю и находим х.

Эти четыре шага требуют знания геометрии, алгебры, а также формул вычисления производных — эти навыки приравниваются к свободному владению иностранным языком, поэтому являются камнем преткновения для многих студентов.

Но окончательный ответ стоит затраченных трудов. Он показывает, что самый быстрый путь подчиняется отношению, известному как закон Снелла. Что? Страшно, что не только свет повинуется этому закону?

Закон Снелла64 описывает, как преломляются лучи света при переходе из воздуха в воду. Например, когда лучи солнца попадают в бассейн. Свет в воде движется медленнее, так же как и пешеход по снегу, и отклоняется таким образом, чтобы минимизировать время движения. Подобным способом свет преломляется, когда переходит из воздуха в стекло или пластик, что происходит в линзах ваших очков.

Пугает то, что свет ведет себя так, будто он осмысленно изучает все возможные пути65, а затем выбирает лучший.

18. Хоть ломтиками, хоть кубиками[23]

Математические знаки и символы часто кажутся загадочными, но лучшие из них — это визуальные ключи к их значениям. Символы нуля, единицы и бесконечности очень напоминают пустую дыру, единичную отметку и бесконечную петлю: 0, 1, ∞. А знак равенства = образован двумя параллельными линиями, поскольку, как писал его создатель валлийский математик Роберт Рекорд, в 1557 году: «Больше не существует двух вещей, которые были бы настолько равными».

В исчислениях самый узнаваемый значок — интеграл ∫. Его изящные линии вызывают в памяти музыкальный ключ или резонаторное отверстие скрипки — подходящее совпадение, учитывая то, что некоторые из очаровательных гармоник в математике выражаются интегралами. Но настоящая причина того, что математик Готфрид Лейбниц выбрал именно этот символ, менее поэтична. Это просто буква S для обозначения суммирования, но с длинной шеей.

А что суммируется — зависит от контекста. В астрономии сила притяжения Земли к Солнцу описывается интегралом. Она представляет собой общее воздействие (то есть сумму) всех сил гравитации, порождаемых каждым атомом Солнца на различных расстояниях от Земли. В онкологии растущая масса опухоли может быть смоделирована с помощью интеграла66. Он позволяет определить общее количество вводимого при химиотерапии лекарственного средства.

Понимание того, почему в этих случаях требуется интегральное исчисление, а не обычное суммирование, мы получили в начальной школе. Давайте рассмотрим, с какими трудностями мы столкнулись бы, если бы действительно пытались вычислить силу притяжения Земли к Солнцу. Первая трудность заключается в том, что ни Солнце, ни Земля не являются точками. Это гигантские шары, состоящие из колоссального числа атомов. Каждый атом Солнца — это нечто вроде гравитационного буксира для каждого атома Земли. Поскольку атомы крошечные, то их взаимное притяжение почти бесконечно мало, но их бесконечно много и в совокупности они могут составлять ощутимую силу. И надо каким-то образом просуммировать все их воздействия.

Но есть и вторая, более серьезная трудность: притяжение различных пар атомов различно. Для одних оно сильнее, чем для других. Почему? Потому что сила притяжения меняется в зависимости от расстояния: чем ближе объекты, тем сильнее они притягиваются. Атомы самых удаленных друг от друга частей Солнца и Земли испытывают наименьшее притяжение; атомы, находящиеся близко друг к другу, притягиваются сильнее, а те, которые между ними, испытывают среднее по силе притяжение. Интегральное исчисление позволяет просуммировать все эти изменяющиеся силы. Удивительно, но это можно осуществить по крайней мере в идеализированной модели, если считать Землю и Солнце твердыми шарами, состоящими из бесконечного числа точек непрерывной материи, причем каждая из этих точек оказывает бесконечно малое воздействие на другие. Как и во всех исчислениях, бесконечность и пределы, на помощь!

Исторически интеграл сначала появился в геометрии для нахождения площадей криволинейных фигур. Площадь круга можно представить как сумму множества тонких ломтиков пирога. В пределе имеем бесконечное множество кусочков, каждый из которых бесконечно тонкий. Эти кусочки затем можно ловко перестроить в прямоугольник, площадь которого нетрудно найти. Это типичный пример использования интеграла. Идея интегрирования заключается в том, чтобы взять что-то сложное, нарезать его на кусочки и перетасовать так, чтобы было легко складывать.

В трехмерном обобщении этого метода Архимед (а около 400 года до н. э. и Евдокс) рассчитывал объемы различных фигур путем их представления в виде стопки множества пластин или дисков, подобной порезанной на тонкие кусочки колбасе. Посчитав объемы различных ломтиков и гениально проинтегрировав их, Архимед и Евдокс получали полный объем исходной фигуры.

Сегодня будущим математикам и ученым по-прежнему даются в качестве упражнений классические геометрические задачи, требующие решения с помощью интегралов. Это одни из самых сложных в процессе обучения упражнений, и многие студенты ненавидят их. Но нет более верного способа отточить навыки работы с интегралами, которые понадобятся в любой области, где используются количественные вычисления, — от физики до финансирования.

Одна из таких мозгодробительных задач — вычисление объема твердого тела, которое является общей частью двух одинаковых цилиндров67, пересекающихся под прямым углом.

Требуется очень богатое воображение, чтобы представить себе эту трехмерную фигуру. Поэтому нет ничего постыдного в том, чтобы признать свое поражение и отыскать другой способ ее визуализации. В настоящее время компьютерная графика68 позволяет легко воспроизвести подобные фигуры[24].

Примечательно, что фигура имеет квадратное поперечное сечение, несмотря на то что является пересечением круглых цилиндров.

Сделаем стопку из бесконечного множества тонюсеньких квадратов, которая сужается от большого квадрата в середине фигуры до все более маленьких квадратиков и превращается в точку вверху и внизу.

Изобразить фигуру — всего лишь первый шаг. Для определения ее объема надо вычислить объемы всех отдельных составляющих ее кусочков. Архимеду удалось это сделать только в силу своей поразительной изобретательности69. Он использовал механический метод, основанный на рычаге и центрах тяжести, по сути, взвешивая фигуру в своем сознании, уравновешивая ее другими, уже ему известными. Недостатком его подхода, помимо того что он требовал гениальных способностей, было то, что его можно было применить только к очень ограниченному числу фигур.

Концептуальные проблемы, подобные этой, ставили в тупик лучших математиков в течение следующих девятнадцати веков — до середины XVII столетия, когда Джеймс Грегори, Исаак Барроу, Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц обосновали то, что сейчас называется фундаментальной теоремой интегрального исчисления70. Она мощно сковала два типа изменений, которые изучаются в исчислениях: накапливаемые изменения, представленные интегралами, и локальные изменения, представленные производными (см. главу 17). Выявив эти связи, основная теорема значительно расширила вселенную интегралов и уменьшила утомительную работу по их вычислению. В настоящее время ее можно запрограммировать на компьютере. С ее помощью даже задача о пересечении двух цилиндров, которая относилась когда-то к уровню мирового класса, становится общедоступной.

Только простейшие виды изменений могли быть проанализированы до появления основной теоремы интегрального исчисления. Когда что-то меняется постепенно, с постоянной скоростью, алгебра прекрасно работает. Это из области «расстояние равно скорости, умноженной на время». Например, автомобиль движется с неизменной скоростью 60 миль в час, при этом он проедет 60 миль за первый час и 120 миль к концу второго часа.

А как насчет изменений, которые происходят при изменении скорости?

Все вокруг нас постоянно меняется: увеличение скорости упавшего с высотного здания пенни, быстрая смена потоков, эллиптические орбиты планет, наши суточные биоритмы. Только исчисление может справиться с накапливаемым эффектом от неоднородных изменений, подобных этим.

На протяжении почти двух тысячелетий после Архимеда для прогнозирования эффекта от постоянных изменений существовал только один метод — последовательное складывание различных ломтиков. Предполагалось, что вы считаете скорость изменения в пределах каждого ломтика постоянной, затем вызываете аналог «расстояние равно скорости, умноженной на время», чтобы медленно двигаться до конца ломтика, и повторяете это до тех пор, пока все кусочки не будут рассмотрены. В большинстве случаев выполнить это невозможно. Бесконечные суммы слишком сложно вычислять.

Фундаментальная теорема интегрального исчисления позволила решить многие из ранее нерешаемых задач, упростила вычисление интегралов, по крайней мере для элементарных функций (суммы и произведения степеней, экспоненты, логарифмы и тригонометрические функции), которыми описываются многие явления в природе.

С помощью нижеприведенной аналогии я надеюсь пролить свет на основную идею фундаментальной теоремы и то, зачем она нужна. (Ее предложил мой коллега Чарли Пескин из Нью-Йоркского университета.) Представьте себе лестницу, общее изменение высоты которой от нижней до верхней ступенек равно сумме высот всех ступенек. Это верно даже при условии, что высота одних ступенек больше, чем других. Количество ступенек не имеет значения.

Фундаментальная теорема интегрального исчисления работает и для функций. Если проинтегрировать производную функции от одной точки до другой, то получим ее изменение между двумя точками. В данной аналогии функции — это увеличение подъема каждой ступеньки по отношению к уровню земли. Высоты отдельных ступенек — производные. Интегрирование производных — это суммирование подъемов. А две точки — верхняя и нижняя часть лестницы.

Что это нам дает? Предположим, вас попросили просуммировать огромный список чисел. Оказывается, что бы вы ни суммировали, всякий раз вы берете интеграл по частям. Если вам удастся найти соответствующие лестницы — другими словами, если вы сможете отыскать функцию подъема, для которой подходят эти числа, — то вычислить интеграл совсем несложно. Просто нужно из верха вычесть низ[25].

Это огромное достижение в ускорении вычисления стало возможным благодаря фундаментальной теореме интегрального исчисления. Именно поэтому с первых месяцев преподавания курса интегрального исчисления мы требуем от студентов нахождения функции возвышения, что в математике называется первообразной или неопределенным интегралом.

С точки зрения перспективы надежным наследием интегрального исчисления будет своего рода взгляд Veg-O-Matic[26] на Вселенную. Ньютон и его преемники обнаружили, что сама природа открывается по кусочкам. Оказалось, что таким свойством обладают практически все открытые за последние 300 лет законы физики, что бы они ни описывали: движение частиц, тепловые потоки, электричество, воздух или воду. Вместе с основополагающими законами условия в каждом кусочке времени или пространства определят, что произойдет в соседних кусочках. Впервые в истории рациональное прогнозирование стало возможным — не в час по чайной ложке, а семимильными шагами благодаря фундаментальной теореме.

Так что давно пора поменять наш лозунг для интегралов «Хоть ломтиками, хоть кубиками» на «Пересчитайте заново. Есть метод получше».

19. Все о числе e

Некоторые числа — такие знаменитости, что их эстрадные имена состоят всего лишь из одной буквы. Даже самые важные персоны, такие как Мадонна и Принц, не могут с ними сравниться. Самое знаменитое — число π, ранее известное как 3,14159...

Следом идет число i из алгебры — это мнимое число настолько радикально, что изменило само понятие числа. Кто там далее в «звездном» рейтинге?