Помоги проекту - поделись книгой:
Ричард Манкевич
История математики
От счетных палочек до бессчетных вселенных
Посвящается Марине и памяти Пола
Вступление
Я наконец понял: б
«Школа» — это вполне приемлемо. А вот «больше ничто» — это ужасно. Как справиться с жутким всепоглощающим невежеством, непониманием одной из основных движущих сил, сотворивших современный мир, одного из столпов человеческой интеллектуальной деятельности?
Не все сразу, конечно. Общество уже намного лучше усваивает математические понятия и воспринимает эту науку как разумную и нормальную форму человеческой деятельности — доказательством служит всё увеличивающаяся готовность средств массовой информации сообщать о достижениях или новых открытиях в области математики, причем не только на страницах научных журналов (помните формулу намокания печенья?). Общеизвестна удивительная популярность математических книг и журнальных статей для неспециалистов. Книги, посвященные математике, вышли на первые строчки в списках бестселлеров научно-популярной литературы. Кинофильмы, посвященные математике, получают награды.
Как это происходит? Международные движения и правительственные инициативы тут ни при чем. ЮНЕСКО объявила 2000 год Международным годом математики. Британское правительство решило ухватиться за уравнение «математика = школа», а затем попытаться что-то с этим сделать. Но тем не менее открытие, что «математика сексуальна, математика — новый рок-н-ролл» (я цитирую центральные газеты), было сделано в результате нескоординированных действий большого количества людей — тех, кто нашел свой собственный способ взглянуть на эту науку и заинтересовать ею более широкую аудиторию.
Вот так, шаг за шагом, стало выстраиваться новое представление о математике, согласно которому этот предмет считается пограничной областью научных исследований, центральной силой, способствующей развитию новых технологий, формой облагораживающего влияния на человеческую культуру. Математика всегда выполняла эти функции, но теперь это замечает намного больше людей.
Ричард Манкевич — один из воинов-одиночек, посвятивших себя продвижению этих идей. Впервые я встретился с ним в Кройдоне, на выставке работ голландского художника Мориса Эшера. Эшер не обучался математике, но в его почти ирреальных произведениях доминируют математические сюжеты — ячеистые формы, узоры неевклидовой геометрии и своего рода философские визуальные каламбуры, душа которых — математика в самом чистом ее виде.
Ричард не был организатором этой выставки, но в течение многих лет вкладывал свою безграничную энергию и энтузиазм в визуальные проекты, целью которых было донести математику до людей. И один из этих проектов — «История математики» — книга, которую он написал, потому что, по его словам, «такой книги не существовало».
Теперь она есть. И вот о чем в ней рассказывается. Несколько арифметических трюков, которые вы изучали в школе, а затем, повзрослев, быстро забыли, — это еще не вся математика. Эта наука — неотъемлемая часть человеческой культуры, и ее становление в этом качестве происходило по крайней мере в течение пяти тысяч лет. И, в отличие от истории искусства, в течение этих пяти тысяч лет
В школьные годы я проводил много времени в местных библиотеках, отыскивая книги по математике. Никто не сказал мне, что подростки такими вещами не занимаются, а если бы мне сказали что-то в этом духе, я все равно не обратил бы на эти слова никакого внимания, потому что эта наука уже тогда очаровала меня. По правде говоря, тогда в продаже было не так много книг, посвященных математике, поэтому я прочитал все. Среди них было несколько историй математики. Из наиболее ярких (но часто грешивших неточностями) следует назвать книги Эрика Темпла Белла «Гении математики» и «Развитие математики». Но не было ничего похожего на «Историю математики», это потрясающее произведение, делающее основной упор на культурную составляющую, то есть на непрерывное взаимодействие между математическим мышлением и прочими видами человеческой деятельности.
Математика играла ключевую роль в таких важнейших областях, как картография и навигация, она помогла создать перспективу в искусстве, а также способствовала изобретению радио, телевидения и телефона. Без нее авиалинии не смогли бы работать так эффективно, спутниковое телевидение имело бы в десять раз меньше каналов, а пищевая промышленность мира не смогла бы обеспечить потребности современного населения Земли. Я не говорю, что мы обязаны всем этим только математике, но она стала одним из наиболее важных компонентов. И я не говорю, что все эти вещи однозначно
Математика — одна из самых длинных, самых блестящих нитей в гобелене человеческой истории; нить, которая прочно и глубоко вплетена в ткань человеческих достижений. Книга «История математики» простым и доступным языком рассказывает нам о многих значительных событиях и доказывает, что эта наука во все времена вызывала глубочайшее уважение.
Это одна из тех книг, которую я с огромным удовольствием прочитал бы в подростковом возрасте. Но — и я снова возвращаюсь к тому, с чего начал, — это книга для всех. Если вы уже взрослый человек, это не значит, что для вас все потеряно. Пора обретать
Предисловие
— Что толку в книжке, — подумала Алиса, — если в ней нет ни картинок, ни разговоров?
Эта книга была создана, потому что ничего подобного раньше не существовало. Я искал способ доступно изложить историю математики. Вместо того чтобы развернуть перед читателем последовательность «великих теорем», я хотел наглядно показать, что математика была тесно связана с интересами и устремлениями цивилизаций. Я считал, что всего этого можно будет добиться, сочетая наглядную сторону математики с комментариями ученых и разворачивая это повествование на фоне исторических периодов и ключевых событий из области математических идей. Границы пространства и времени не позволят мне пересказать всю историю математики. Поэтому я выбрал для освещения ключевые моменты истории — ее приливы и отливы совпадают с расцветом и закатом величайших цивилизаций.
С самого начала математика оказывала заметное влияние на все виды человеческой деятельности. Торговля, сельское хозяйство, религия, война — везде ощущалось влияние математики, а все аспекты человеческой жизни, в свою очередь, порождали математические понятия. Тем не менее история этой науки в значительной степени скрыта от нашего пристального взгляда. Возьму на себя смелость утверждать, что взаимное развитие философии, математики и других естественных наук намного важнее для истории человечества, чем бесконечная смена правителей и парад войн. Я надеюсь, эта книга внесет свой скромный вклад в научную культуру общества небывалых достижений.
Возможно, науки, и особенно математика, испытывали недостаток общественного внимания, которое уделялось в основном искусствам, и в результате не смогли занять в сердцах и умах людей столь же значимое место. Уже произошло своего рода «перекрестное опыление» таких понятий, как теория относительности, квантовая механика, искусственный интеллект, теорема неполноты, и они стали частью общепринятых современных представлений. Но когда математики говорят о красоте своего предмета, это часто списывается на остаточные эмоции тех, кто провел слишком много времени в разреженной атмосфере башни из слоновой кости. Лишь использование компьютеров наконец сделало красоту математики доступной для всех.
Математика — не наука о непонятных символах. Это наука идей: идей о пространстве, времени, числах и их взаимоотношениях. Это наука о количественных соотношениях, развитие и усложнение которых отражают поиски знания. Любые идеи рождаются из образа. С ростом вычислительных возможностей математика родилась заново — как визуальная наука. Самые невероятные структуры, которые можно отыскать в хаотических сложных системах, прорываются сквозь лес символов и открывают для всех и каждого возможность своими глазами увидеть математический пейзаж. Возникает новая эстетика, в которой математическая точность сочетается с художественной выразительностью. Большая часть этой книги подтверждает факт, что эта смесь в той или иной степени присутствует везде и всюду. Эти два аспекта культуры — точность и выразительность — обручились очень давно, хотя так и не сумели предстать перед алтарем.
1. Начало начал
В любой книге должна быть первая глава со вступительным словом. История — не слишком однозначный и четкий предмет, так что поиск первого использования чисел — это путешествие в туманное прошлое к истокам человеческой жизни и цивилизации. Археологи и другие ученые пытаются выложить мозаику нашей праистории из жалкой горстки мелких обломков. Новые открытия не просто становятся дополнительными кусочками головоломки, они могут радикально изменить всю картину прошлого и наше отношение к нему. Мы всегда должны помнить об этом, глядя на самые ранние свидетельства математической деятельности, а также на математические культуры Месопотамии и Египта.
Самое раннее свидетельство записи чисел было раскопано в Свазиленде (Южная Африка). Это малоберцовая кость бабуина с двадцатью девятью четкими пометами, относящаяся относящиеся к 35-му тысячелетию до нашей эры. Она напоминает календарные палочки, до сих пор использующиеся в Намибии, — они позволяют фиксировать ход времени. В Западной Европе также были найдены кости неолитического периода. На лучевую кость предплечья волка, найденную в Чешской Республике и датированную 30-м тысячелетием до нашей эры, нанесено пятьдесят пять меток, разбитых на два ряда из пяти групп. Возможно, это долговая палочка, а возможно, пометы говорят о количестве убитых животных. Одна из самых интригующих находок — так называемая «кость Ишанго», обнаруженная на берегу озера Эдвардс между Угандой и Демократической Республикой Конго. Ее возраст — более 22 000 лет, и, похоже, это не просто долговая палочка. Микроскопический анализ показал дополнительные отметки, связанные с фазами Луны. Предсказывать полнолуние тогда было необходимо — возможно, по религиозным причинам, а вероятней всего, потому, что видеть ночью было полезно из чисто практических соображений. Неудивительно, что сохранение знаний о движении великих небесных часов стало главной задачей народов неолита. Скорее всего, на становление математики самое большое влияние оказали небо и светила — за счет них развивались астрономия, астрология или космология.
Существуют записи, сделанные в Месопотамии — области, расположенной между реками Евфрат и Тигр, — и относящиеся приблизительно к 3500-м годам до нашей эры. В этом регионе сменилось несколько культур. На смену древним шумерам и аккадцам пришли мастера по работе с железом — хетты, которые, в свою очередь, отступили перед внушающими страх ассирийцами. За ними последовали халдеи и их известный царь Навуходоносор, которые были впоследствии изгнаны персами, а тех разбили армии Александра Великого. Центральная власть последовательно концентрировалась в городах Ур, Ниневия и Вавилон. Базовые математические знания пришли из древней Вавилонской империи (1900–1600 до н. э.), на которую заметно повлияли шумеры и аккадцы, а также из империи, которой правила династия Селевкидов — наследников сподвижника Александра Македонского, получивших власть над этим регионом в четвертом столетии до нашей эры. Эти знания явно сформировались под греческим и вавилонским влиянием. В тот период Вавилон занимал ключевое положение в этом регионе, а потому математика часто называется «вавилонской наукой».
Наша современная десятеричная система счисления — это система со знакоместом на основе 10. Другими словами, десять единиц на одном знакоместе эквивалентны одной единице на следующем, более высоком знакоместе, при этом положение цифры в числе определяет ее значимость. На основании самых ранних записей можно показать, что вавилоняне использовали шестидесятеричную, или базирующуюся на основании 60, систему счисления. Она и поныне живет в нашем способе исчисления времени. Таким образом, например, вавилоняне выразили бы число 75 как «1,15», мы тоже записываем 75 минут как 1 час и 15 минут. Приблизительно за 2000 лет до нашей эры появилась система знакоместа, в которой применялось только два клинообразных символа: Т для 1 и < для 10, при этом сохранялась шестидесятеричная основа. Таким образом, 75 записывалось как Т < Т Т Т Т Т Для обозначения ноля символа не существовало. Позиционный символ не использовался до времен новой Вавилонской империи, возникшей в шестом веке до нашей эры, так что следует соблюдать осторожность, читая древние вавилонские числа, поскольку позиционное значение символов надо оценивать в зависимости от контекста. Например, без ноля нам было бы трудно различить числа 18, 108 и 180. Мы не знаем точно, почему вавилоняне предпочитали работать с такой системой, однако она оказалась очень эффективной при вычислениях и выдержала испытание временем, преимущественно за счет использования основы 60 при расчетах минут и секунд и при измерении времени и углов.
Веским доказательством существования вавилонской математики служат глиняные таблички с клинописными надписями. Они очень широко использовались, и сотни тысяч экземпляров этих табличек выжили — от крошечных фрагментов до целых блоков размером с портфель. Повсюду было много глины, и, пока она оставалась влажной, можно было стереть вычисление и начать писать заново. Как только глина затвердевала, табличка или выбрасывалась, или использовалась в качестве строительного материала. Арифметические вычисления тогда были распространены не меньше, чем теперь. Вавилоняне были плодовитыми творцами математических таблиц. Они оставили нам несколько довольно сложных образцов, касающихся исчисления обратных величин, площадей, кубов и более высоких степеней чисел — такие степени полезны при вычислении прибыли по ссудам. Использование математических таблиц теперь в значительной степени ушло в прошлое из-за широкого распространения калькуляторов, но их важность в облегчении вычислений имеет долгую историю, восходящую к глиняным табличкам вавилонян. Этот народ был очень опытен в алгебре, хотя вопросы и методы решения были риторическими — они объяснялись словами, а не символами. Вавилоняне решали квадратные уравнения приемом, который сейчас, по существу, не что иное, как «наш» метод «дополнения до полного квадрата». Их обоснование этой процедуры основывалось на том, что прямоугольную область можно перестроить таким образом, чтобы получился квадрат. Некоторые уравнения более высокого порядка решались или числовыми методами, или путем упрощения их до уже известных типов.
В геометрии они знали процедуры, позволявшие найти площади плоских фигур. Многие задачи решались алгебраически. Иррациональные числа, дающие начало бесконечному разложению на десятичные дроби, изображались в цифровой форме путем усечения дробного шестидесятеричного разложения. Например, в десятичной системе счисления в выражении √
Математика древних вавилонян была сложной и применялась в практических целях — в бухгалтерских и финансовых расчетах, в определении весов и мер. Некоторые из проблем, которыми они занимались, показывают, что существовала также теоретическая традиция, плоды которой можно увидеть в вавилонской астрономии.
Для цивилизации, охватывающей приблизительно четыре тысячи лет, египтяне оставили удивительно мало свидетельств занятий математикой. Папирус — хрупкий материал, и то, что хоть какие-то древние папирусы сумели выжить, — просто чудо. Два главных источника информации известны как папирус Ринда и Московский папирус. Есть также несколько малозначимых документов и множество изображений на могилах и храмах, где можно увидеть коммерческие и административные задачи, решаемые с помощью математических навыков. Папирус Ринда был написан приблизительно в 1650-х годах до нашей эры писцом по имени Ахмес, который объясняет, что он копирует оригинал двухсотлетней давности. Во вступлении сказано, что этот текст — полное исследование всего сущего, прозрение относительно всего существующего, источник знаний обо всех непонятных тайнах. Нам это может показаться скорее преувеличением, но этот документ показывает, что искусство писцов было заповедником просвещенной элиты. В папирусе содержится 87 задач и их решения, он написан знаками повседневного жреческого письма, а не сложными иероглифическими символами, которые выбирались для декоративной письменности. Большинство задач — задачи на вычисления, например задача разделения нескольких ломтей хлеба между определенным числом людей. Есть также метод определения площади прямоугольного треугольника. Все решения проиллюстрированы конкретными примерами, не дается никаких явных общих формул. Московский папирус посвящен практически тем же самым вопросам, но включает также вычисление объема усеченной пирамиды, или усеченного конуса, а также, похоже, площади поверхности полусферы.
В использовании чисел египтянами сразу же выделяются два момента. Прежде всего, вычисления основаны только на сложении и использовании таблицы умножения на два, а также на дробных единицах (1/2,1/3 и т. д.). Умножение, таким образом, состояло в повторяющемся удвоении (и, в случае необходимости, делении пополам), а затем происходило сложение соответствующих промежуточных значений. Например, чтобы умножить 19 на 5, писец должен был написать:
/1 19
2 38
/4 76
Затем, поскольку 1+4 = 5, сложение 19 и 76 дает 95, что соответствует 19 х 5. Деление происходит точно так же, но теперь есть возможность дробного решения. Здесь используются дробные единицы. Египетский способ обозначать долю единицы заключался в рисовании черточки над числом: таким образом, 1/5 писалось как 5. Символа для обозначения нашего числа 2/5 или любой другой дроби, за исключением 2/3, не существовало. Папирус Ринда начинается с таблицы дробей вида 2/n, где n — нечетное число, разложенное на доли единицы. Так, 2/5 равно 1/3 плюс 1/15, и во всех случаях, когда задача имела решением число, которое мы записываем как 2/5, египетские писцы записали бы его как 3¯ 15¯. Все еще трудно понять, как эта схема функционировала на практике, хотя она явно срабатывала, и мы ждем дальнейших открытий, позволяющих разъяснить ее происхождение.
Одна из причин использования такой системы заключается в том, что при числовых расчетах, связанных с разделением наследства или распределением благ, использовались дробные единицы, поскольку они точнее, чем самое близкое приближение. У египтян не было никакой валюты, так что они совершали сделки, используя в качестве эквивалента другие товары, чаще всего хлеб и пиво. Это отлично видно в задаче из папируса Ринда о том, как разделить девять хлебов на десять едоков. Сейчас мы вычислили бы, что каждый получит по 9/10 хлеба, и распределили бы хлебы, отрезав от каждого по одной десятой доле, чтобы девять человек получили бы по одному неполному хлебу — по 9/10 буханки, а десятый — девять отрезанных ломтей по 1/10. Решение, приведенное в папирусе: 9/10 = 2/3 + 1/5 + 1/30. Такое деление потребует больше надрезов, зато каждый человек получит не просто равное количество хлеба, но и одинаковые куски.
Меры объема имели свои собственные обозначения, составленные из частей иероглифа, изображавшего око Гора. Здесь заметна двойная функция жречества — административная и религиозная. Гор — бог-сокол, и его глаз отчасти человеческий, отчасти соколиный. Каждый элемент иероглифа представлял дробь от 1/2 до 1/64, а сочетания этих элементов могли отобразить любое число долей 1/64. Но око Гора также имело мистическое значение. Этот бог, единственный сын Изиды и Осириса, поклялся мстить за смерть своего отца, убитого собственным братом Сетом. Во время одного из бесчисленных сражений Сет вырвал у Гора око, разорвал его на шесть частей и разбросал по всему Египту. Гор в ответ оскопил Сета. Согласно легенде, боги, вмешавшись, провозгласили Гора царем Египта, богом-опекуном фараонов. Кроме того, они велели Тоту, богу образования и магии, собрать око Гора. Таким образом глаз стал символом цельности, ясновидения, изобилия и плодородия. Писцы, чьим покровителем был Тот, использовали его как талисман, символизировавший дробные меры. Существует рассказ о том, как ученик писца однажды заметил своему учителю: все доли ока Гора составляют в целом не единицу, а скорее 63/64. Учитель ответил, что Тот вознаграждает недостающей 1/64 того писца, который добивался покровительства бога и принял его.
Наши знания о египетской математике ограничены ввиду недостаточного числа артефактов. В результате она кажется шагом назад по сравнению с уровнем, которого достигли вавилоняне. Но скорее всего, это неправильно, особенно учитывая точность, с которой египтяне строили пирамиды и управляли такой обширной империей. До нас дошли лишь обрывки свидетельств, позволяющие предположить, что они добились важных результатов. Например, вполне вероятно, что они могли вычислить объем усеченной пирамиды. Однако по-прежнему неясно, что это за результат — отдельный, вдохновленный интересом к пирамидам, или же часть более передовой, но, к сожалению, не дошедшей до нас совокупности знаний. Древние греки открыто признавали, что их математика, в особенности геометрия, уходит корнями в египетские знания. Но сейчас нас больше всего поражает не сходство между египетской и греческой математикой, а огромные различия в способе выражения и глубине их знаний. Похоже, «трудные тайны» Ахмеса и сегодня остаются неразгаданными.
109. Этот царь [Сесострис[3]], как передавали жрецы, также разделил землю между всеми жителями и дал каждому по квадратному участку равной величины. От этого царь стал получать доходы, повелев взимать ежегодно поземельную подать. Если река отрывала у кого-нибудь часть его участка, то владелец мог прийти и объявить царю о случившемся. А царь посылал людей удостовериться в этом и измерить, насколько уменьшился участок, для того чтобы владелец уплачивал подать соразмерно величине оставшегося надела. Мне думается, что при этом-то и было изобретено землемерное искусство и затем перенесено в Элладу. Ведь «полос» и «гномон», так же как и деление дня на 12 частей, эллины заимствовали от вавилонян.
2. Блюстители неба
В самом начале математика развивалась, обслуживая нужды торговли и сельского хозяйства, но, помимо того, она также была связана с выполнением религиозных обрядов и наблюдением за движением небесных светил. Созданием календарей занимались астрономы-священники — картография небес требовала разработки специальных математических знаний. Поскольку в древности космология была геоцентрической, термин «планета» относится к Солнцу, Луне и пяти небесным телам, видимым невооруженным взглядом, — Уран, Нептун и Плутон были обнаружены относительно недавно. Различные цивилизации, существовавшие в самых разных уголках Земли, фиксировали движения небесных тел и создавали календари, и все они должны были найти способ сопоставить два самых важных временных цикла — лунный месяц и солнечный год.
Классический период цивилизации майя, существовавшей в Центральной Америке и формировавшейся до десятого века до нашей эры, относится к 300–900 годам нашей эры. Испанское нашествие 1519 года пережило очень небольшое число документов (самый значительный из них — рукопись с астрономическими таблицами, известная как Дрезденский кодекс), но, к счастью, от майя также остались высеченные на камне барельефы. Каждые двадцать лет майя устанавливали каменные стелы, или столбы, на которых отмечались дата строительства, основные события предшествующих двадцати лет, а также имена знатных людей и служителей храмов. Иероглифы, при помощи которых делались надписи, были стилизованными изображениями богов майя. Но для обозначения чисел они часто использовали нотацию, ныне известную как «точка и черточка». В этой лаконичной системе счисления с соблюдением знакоместа точка изображала единицу, горизонтальная черта изображала «пять», а ноль отображался символом, похожим на раковину. Эта система счисления, похоже, использовалась приблизительно с V века до нашей эры и, по существу, была двадцатеричной, то есть с основой 20, кроме аномалии в третьем разряде. В настоящей двадцатеричной системе числа выстраивались бы в последовательности 1, 20, 202, 203 и так далее, но в системе майя используется последовательность 1, 20,18 х 20,18 х 202, и так далее. Это усложняет вычисления, но на основании того, что 18 х 20 = 360, мы можем понять то значение, которое майя придавали своему календарю.
У майя было три календаря. Священный год, состоящий из 260 дней, был получен путем наложения двух циклов: один цикл состоял из чисел от 1 до 13, а другой был 20-дневным циклом божеств. Таким образом, каждый день в священном году был уникальным образом определен числом и божеством. Этот календарь был не слишком полезен для фермеров, поэтому они ориентировались также на обычный год, состоявший из 365 дней. В нем было 18 месяцев 20 дней плюс дополнительные 5 дней, известные как «период без названия». Иероглиф, обозначающий дополнительные дни, также использовался для изображения хаоса и беспорядка, и любой человек, рожденный в эти дни, оставался проклятым до конца жизни. Третий календарь, используемый для «длинного счета», был основан на хронологии, начинающейся 12 августа 3013 года до нашей эры. В нем использовался цикл из 360 дней. Кроме того, существовали жертвенные циклы из 4, 9 и 819 дней. В результате большую часть своего времени писцы тратили на вычисление календарей и важных дат. Не сохранилось явных свидетельств использования дробей или тригонометрических функций, однако майя умели очень точно предсказывать циклы, основываясь на огромном объеме накопленных ими астрономических наблюдений. Например, астрономы майя утверждали: 149 лунных месяцев равняются 4400 дням, что эквивалентно одному лунному месяцу в 29,5302 дня — очень близко к вычисленному в наши дни значению 29,53 059 дня. В Дрезденский кодекс входят таблицы лунных и солнечных затмений, а также предсказанные положения Венеры, которую они называли «утренняя звезда» и «вечерняя звезда». К сожалению, больше о математической астрономии майя почти ничего не известно.
В египетском календаре использовалась такая же система, как у майя. У них было 12 месяцев по 30 дней и 5 дополнительных дней в конце года. Именно египтяне первыми начали делить день на 24 отрезка, хотя неясно, когда именно была зафиксирована длительность одного часа. Они использовали то, что можно назвать «сезонными часами», — делили как дневное, так и ночное время на 12 отрезков, поэтому в течение года отрезки светлого и темного времени суток были разными. У египтян был свой набор маленьких созвездий — деканов, которые восходили на небе с промежутком в десять дней. В эллинистические времена они были объединены с вавилонским зодиаком, так что каждое зодиакальное созвездие, занимающее 30 градусов небесного круга, делилось на три декана. Деканы изображены на потолках царских гробниц и на крышках усыпальниц Среднего царства (ок. 2100–1800 до н. э.). Но сопоставить деканы с известными сейчас звездами оказалось довольно трудной задачей. Единственное исключение — звезда Сириус, восход которой в определенное время года был связан с разливом Нила, что было очень важно для ирригации. На более поздних захоронениях мы находим подробное изображение звезд на сетке координат. Расшифровать эти надписи помог демотический папирус, созданный в греческую эпоху. Однако создается впечатление, что мастера, наносившие эти изображения на гробницы, слишком свободно подошли к интерпретации исходной астрономической информации, хотя базовые рисунки, лежавшие в основе изображений, были значительно точнее. У нас нет письменных свидетельств о том, проводили ли египтяне астрономические наблюдения и создавали ли таблицы; даже Птолемей, перечисливший использованные им источники древней астрономии, не упоминает никаких египетских трудов.
С момента падения Ассирийской империи и до эллинских времен вавилоняне занимались созданием астрономии, пригодной для эффективного прогнозирования. Птолемей упоминает о том, что начиная с VIII века до нашей эры они вели запись лунных затмений, но данные о планетах были не слишком надежными. Вавилонский календарь был исключительно лунным. Начальный день месяца выпадал на первое появление полумесяца, каждый день длился от заката до заката. Поэтому вавилонян больше всего интересовала возможность предсказать время появления полумесяца, а также определить в зависимости от положения Солнца и Луны, сколько дней будет в предстоящем месяце — 29 или 30. То же самое и в случае с другими планетами — самым интересным для вавилонян было их первое появление на небе. Особенно важное место в ранних таблицах занимала планета Венера. Для того чтобы составить эфемериды — так назывались таблицы местоположения планет, — зодиакальную область делили на три зоны, куда входили двенадцать поименованных созвездий, а положения планет указывались относительно звезд. Есть также таблицы восхода и захода созвездий. Самые ранние эфемериды относятся к периоду Селевкидов, чаще всего они описывают движения Луны, но есть таблицы и для других планет.
Одним из величайших достижений этого периода был анализ видимых путей Солнца и Луны по небу — основы для определения начала каждого месяца. Вавилоняне установили, что угол между горизонтом и эклиптикой — видимым путем Солнца по небу — в течение года меняется. Кроме того, путь Луны периодически отклоняется от эклиптики примерно на 5° в ту и другую сторону. Более того, перемещение обоих небесных тел варьируется. Эти периодические отклонения от курса, которые на самом деле представляют собой синусоиды, были с высокой степенью точности описаны так называемыми «зигзагообразными функциями». Они рассчитывались арифметически как возрастающие и убывающие последовательности чисел. На многих вавилонских табличках представлены упражнения на арифметические прогрессии, которые, возможно, были подготовкой к созданию таблиц движения Солнца и Луны. Эти таблицы могли использоваться, чтобы заранее, на три года вперед, предсказать появление нового месяца, зависящее от относительных положений Луны и Солнца. На основании имеющихся у нас свидетельств мы, вероятно, можем заключить, что методы арифметической интерполяции использовались для скругления орбит, созданных на основании доминирующих показаний. В теории Птолемея (см. ниже) применялся противоположный подход — попытка построить наиболее точную планетарную модель, на основании которой можно было бы определить положения планет в конкретные моменты времени.
Какой была самая поздняя планетарная теория вавилонян, неясно. Согласно ранним описаниям, это геоцентрическая вселенная с круговыми орбитами планет. В эллинском мире Аристарх Самосский (ок.310 — ок.230 до н. э.) предложил гелиоцентрическую систему, по-видимому основанную на собственных вычислениях, согласно которым Солнце было самым большим небесным телом. Но в то время его теория не получила одобрения современников и не была принята вплоть до шестнадцатого столетия. Греческая планетарная теория находилась во власти представлений Аристотеля (384–322 до н. э.), согласно которым планеты двигаются с постоянной скоростью по идеальным круговым орбитам. Это философское положение сохраняло свои позиции, несмотря на явные признаки переменной скорости движения планет, фактов их ретроградного движения и изменения видимой яркости. Несоответствия между теорией и наблюдениями сглаживались за счет введения эпициклов: планета больше не двигалась вокруг самой Земли, она вращалась по эпициклу — круговой орбите, центр которой двигался по деференту — воображаемой окружности, в центре которой находится Земля. Благодаря этой уловке постоянная скорость планеты преобразовалась в наблюдаемую скорость, и при этом планеты оставались на округлых, если не идеально круговых орбитах. Наиболее полное выражение эта система нашла в работе Птолемея.
Прежде чем обратиться к Птолемею, мы должны упомянуть одного из наиболее известных его предшественников — Гиппарха (ок. 190 — ок. 120 до н. э.), математика из Никеи, города, находящегося в современной Турции. Его считали величайшим астрономом своего времени. Считается, что именно он создал астрономию, базирующуюся на греческих геометрических принципах. Как основу тригонометрии он использовал деление круга на 360 градусов, где каждый градус делился еще на шестьдесят минут. Его трактат на эту тему включал таблицу хорд — аналог современных таблиц тригонометрических функций (хорды Гиппарха — это, по современным понятиям, синусы). Значения хорд были вычислены для круга с радиусом 3438 минут — именно такой радиус необходим для того, чтобы окружность составила 360 х 60 = 21 600 минут. Эти таблицы, очень похожие на те, что существовали в индийской математике, позволили Гиппарху более точно описать положения небесных тел. Он смоделировал движение Солнца и Луны, используя геоцентрическую систему эпициклов. Гиппарх признавал: его данные были недостаточно точными, для того чтобы рассуждать об орбитах других планет. К сожалению, до нас дошла лишь одна из незначительных его работ, и он, как многие другие греческие астрономы, потерялся в тени Птолемея.
Клавдий Птолемей (ок. 87–165) жил в Александрии, и мы знаем, что он начал заниматься астрономическими наблюдениями 26 марта 127 года. О его семье известно очень немногое, неясны также точные даты его рождения и смерти. Птолемей оставил несколько сочинений, самое известное из них называется «Синтаксис» («Математическое построение»). Эта работа была повсеместно признана, и впоследствии, около 820 года нашей эры, когда ее перевели на арабский язык, заслужила название «Аль-Маджисти» («Величайшая»). Затем, после перевода на латынь, она стала известна как «Альмагест». Этот труд Птолемея для астрономии — то же, что «Начала» Евклида для геометрии. В результате, б
3. Теорема Пифагора
Каждый из нас сталкивался в школе с этой теоремой. Сейчас ее называют «теоремой Пифагора», но она была широко известна в древности задолго до рождения знаменитого грека. Существование этой теоремы дает нам возможность сравнить стили математических рассуждений и основные направления работы некоторых древних математиков, относящихся к различным культурам.
Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике сумма квадратов двух более коротких сторон равна квадрату наиболее длинной стороны. Можно построить такие треугольники с целочисленными сторонами; самый известный из них — треугольник со сторонами 3, 4, 5. Существует бесконечное множество таких, как их называют, пифагоровых треугольников, например треугольники со сторонами 5,12,13 и 7, 24, 25, которые также были известны в древности.
Одна из самых восхитительных математических таблиц Вавилона, ныне известная как «Плимптон 322», хранится в Колумбийском университете Нью-Йорка. Числа на ней расставлены в четыре столбца и пятнадцать рядов. Похоже, что это лишь часть разбитой таблицы. Теперь принято считать, что на ней описан дробный пифагоровский треугольник — источник всех последующих. Этот сложный метод означает, что вавилоняне знали теорему Пифагора уже в 1800–1650 годах до нашей эры, то есть больше чем за тысячу лет до Пифагора. Это предположение было подтверждено еще одной табличкой, найденной около Вавилона и датируемой приблизительно тем же периодом, — в настоящее время это один из самых древних примеров теоремы Пифагора. Для геометрических вычислений и решений алгебраических уравнений вавилоняне использовали линейку, хотя такая алгебра была скорее риторической, чем символической. Некоторые считают, что вавилоняне, возможно, заложили фундамент самой ранней формы тригонометрии.
Обычно истоки ведического периода индийской цивилизации относят к началу первого тысячелетия до нашей эры. В то время закладывались основы индийской культуры и религии — создавались священные тексты (такие, как «Веды» и «Упанишады»), а также правила социального поведения, например «Законы Ману». Математические знания того периода записаны в книгах «Шульба-сутры» — дополнений к «Ведам». Неудивительно, что эти памятники в основном посвящены математике, которая должна была обеспечить точность исполнения ритуалов. Термин «шульба» означает «шнур» или «веревка» — ею обычно измерялись алтари. До нас дошли три версии этих текстов, самая ранняя предположительно была написана между 800 и 600 годом до нашей эры. Упрощенная теорема Пифагора звучит там следующим образом: веревка, натянутая по диагонали квадрата, порождает квадрат, вдвое превышающий по размеру исходный квадрат. Более поздняя и более общая теорема формулируется в книге «Катьяяна»: «веревка, натянутая по диагонали прямоугольника, формирует площадь, которую совместно образуют вертикальная и горизонтальная его стороны». Никакого доказательства не приводится, но описано множество практических применений этого принципа. Существовали правила, согласно которым строились алтари. Они были совершенно однотипными и строились по одному проекту, вследствие чего геометрические методы были предпочтительнее, чем числовые. Например, если вам необходимо удвоить площадь квадрата, проще всего построить квадрат, стороны которого были бы диагональю исходного квадрата, а не тратить время на вычисление, по которому сторону нового квадрата придется увеличить на √2. У индийцев были превосходные методы вычисления √2, но по религиозным мотивам требовалась абсолютная точность — приблизительного значения было недостаточно.
Самый ранний китайский математический текст — «Чжоу би суань цзин» («Канон расчета чжоуского/всеохватного гномона»), написанный предположительно между 500 и 200 годом до нашей эры. Он основан на тексте времен династии Шан, созданном, возможно, за 500 лет до этого. Как предполагает название текста, в основном в нем рассматриваются вопросы астрономии, однако есть там и некоторые предварительные указания по арифметике и геометрии. Предположительно этот труд был написан одним из многочисленных странствующих философов в период, известный как Период Сражающихся царств, в смутную эпоху вражды между династиями Чжао и Хань. Самым известным из таких философов был Конфуций — его философию единства и стабильности можно считать реакцией на те бурные времена.
Первая часть «Канона расчета чжоуского гномона» — диалог между правителем Чжоу-гуном и сановником по имени Шан Гао, в котором обсуждаются свойства прямоугольных треугольников. Там формулируется теорема Пифагора, известная как «гоугу», и дополняется геометрической иллюстрацией. Описан процесс, названный «накоплением прямоугольников», а на рисунке показано применение этого метода для треугольника со сторонами 3, 4 и 5 — самого маленького пифагорова треугольника. Распространение метода на другие длины сторон, как предполагалось, очевидно для читателя, но более общая формулировка была выполнена комментаторами, жившими в III веке нашей эры. Один из авторов, Лю Хуэй, приводит второе геометрическое доказательство теоремы, используя принцип «взаимоотклика внутреннего и внешнего»: два меньших квадрата разрезаются таким образом, чтобы выстроить больший квадрат. В числовых задачах использовалось правило roy2 + ry2 = сянь2 (наше а2 + b2 = с2). Эта теорема была очень важна для китайской математики, поскольку легла в основу других методов, вроде извлечения квадратных корней и решения квадратных уравнений. Одна классическая задача, известная под названием «сломанный бамбук», позднее появилась в европейских книгах — возможно, из китайской математики она просочилась на Запад через Индию и арабский мир.
Наконец мы подходим к легенде, имя которой Пифагор (ок. 570 — ок. 490 до н. э.). Возможно, этот древний грек был почти современником Будды, Конфуция, Махавиры, Лао Цзы и Заратустры. Его склонность сочетать математику и мистику получила продолжение — она проявляется в течении, которое в III веке нашей эры назвали неоплатонизмом. О личности Пифагора доподлинно ничего не известно. Упоминания о нем часто тенденциозны, даже Аристотель, всего двести лет спустя, не смог нарисовать нам портрет реального человека. Значимость Пифагора и его последователей видна в их философии математики. Вера в примат математики как единственного истинного источника знаний пришла к нам через таких философов, как Платон (428/427–347 до н. э.), Плотин (204/205–270), Ямвлих (245/280–325/330) и Прокл Диадох (412–485). Эта вера — краеугольный камень неоплатонизма, легшего в основу западного мышления.
После обучения у египтян и халдеев Пифагор обосновался в Кротоне (на юге Италии) и основал там свою школу. Она больше походила на тайное общество или культ — знания передавались только избранной группе посвященных. Пифагорейцы жили коммуной, имевшей строгий кодекс поведения. В него входили вера в метемпсихоз, или переселение душ, и строгое вегетарианство. Поскольку Пифагор не оставил никаких письменных трудов, мы можем только предполагать, какие результаты следует приписывать самому ученому. Существуют нередкие ссылки на пифагорейцев — это позволяет предположить, что члены школы позже ослабили запрет своего учителя на обнародование знаний. Одним из ключевых моментов обучения в пифагорейской школе было утверждение, что числа — это всё сущее, ничто нельзя придумать или узнать без помощи чисел. Наиболее уважаемым числом у пифагорейцев было десять, или «тетрактис», поскольку это сумма 1 + 2 + 3 + 4. Это — число точек, необходимое для формулировки измерений вселенной: 1 — это точка безразмерности и творец других измерений; две точки можно соединить, чтобы создать линию, имеющую одно измерение. Три точки можно соединить, чтобы создать двухмерный треугольник. Четыре точки можно соединить, чтобы создать трехмерный четырехгранник. Тетрактис стал символом пифагорейцев, которые пошли дальше всех своих предшественников в области мистики и нумерологии — они выстроили вселенную, и в ней числа имели особое значение для философского откровения. Пифагорейцам также приписывают числовой анализ музыки, в нем тетрактис символизировал важнейшие связи между нотами, например соотношение 1:2 для октавы. Из нумерологического описания музыки возникла общая концепция гармонии сфер, которая оказала влияние на планетарную модель Кеплера, созданную больше двух тысяч лет спустя.
Но теперь Пифагор более всего известен благодаря теореме, которая сейчас носит его имя. Как мы уже видели, в древности эта теорема была известна практически повсеместно. Считается, что Пифагор узнал о ней у представителей цивилизации, которую мы в этой связи не упоминали, — у египтян. Греческая литература постоянно ссылается на Египет как на источник знаний в области геометрии, но, к сожалению, у нас пока нет египетских документов, иллюстрирующих теорему Пифагора. Аристотель приписывает пифагорейцам первое доказательство того факта, что √2— иррациональное число. Если взять прямоугольный треугольник с основанием и высотой 1, его гипотенуза будет равна √2. На языке греческой математики пифагорейцы стремились выразить отношение гипотенузы к единице длины, то есть √2:1, как мы сейчас написали бы, то есть отношение целых чисел. В отличие от, например, пифагоровского треугольника со сторонами 3, 4, 5, где любая пара сторон составляет соотношение целых чисел, в треугольнике с катетами по единице этого достигнуть оказалось невозможно. Имеется в виду, что гипотенуза и любой катет несоизмеримы, то есть при наличии линейки с любыми одинаковыми делениями эти две стороны треугольника не могут быть измерены точно — если в гипотенузе откладывается целое число делений, то невозможно отложить целое число делений в катете, и наоборот. Историк Диоген Лаэртский рассказывает, что это открытие было сделано Гиппасом из Метапонта (574–522 до н. э.), последователем Пифагора, и что другие члены пифагорейской школы вывезли его в море и выбросили за борт, поскольку он разрушил их веру в то, что все может быть выражено целыми числами и их отношениями.
Эту историю теперь считают сомнительной, но отношения между соизмеримыми и несоизмеримыми длинами, и соответственно между рациональными и иррациональными числами, были важным вопросом математики. Действительно, определение иррациональных чисел в терминах рациональных чисел не было достигнуто в течение более двух тысяч лет (см. Главу 19).
Самым поразительным в греческом доказательстве теоремы Пифагора был метод, который описан в конце Первой книги «Начал» Евклида. В этом самом общем геометрическом доказательстве используется последовательность построений, преобразующих два меньших квадрата в два прямоугольника, которые стыкуются, образуя больший квадрат. Оно представлено без каких-либо ссылок на числовые значения, а характерную диаграмму «мельница», сопровождающую доказательство, позднее можно было найти в трудах по математике многих евразийских культур. Прокл оставил свой комментарий: «Хотя я восхищаюсь теми, кто первым понял истинность этой теоремы, я еще больше восхищаюсь автором „Начал“». Тем не менее этой теореме было дано имя Пифагора, ведь привлекательность пифагорейского идеала математической вселенной непреходяща.
4. Начала
Греки вошли в историю как захватчики с севера, обосновавшиеся на землях, что лежали между Ионийским и Эгейским морями. Они выказали жадность к знаниям и стремление учиться у своих более древних соседей, а также — что еще важнее — желание увеличивать мудрость, полученную от египтян и жителей Месопотамии. Греческий, или эллинский, мир объединяли скорее культурные, чем расовые узы. Его историю можно разделить на два обширных периода; переход от одного к другому ознаменовался началом царствования Александра Великого. Для наших целей назовем эти периоды афинским и александрийским.
Первые Олимпийские игры проводились в 776 году до нашей эры. К этому времени греческая литература могла похвастаться произведениями Гомера и Гесиода, но о математиках, творивших ранее VI века до нашей эры, мы ничего не знаем. Титул первого греческого математика, по-видимому, следует присудить Фалесу Милетскому (640/624–548/545 до н. э.) — предполагается, что именно он привел первые описания различных геометрических теорем, ставших прообразом великой дедуктивной системы Евклида. Но наши знания о греческой математике и вообще об этом периоде основываются по большей части на исторических слухах. Мало того что сочинения того времени до нас не дошли, мы вынуждены полагаться на комментарии, сделанные спустя тысячу лет после описываемых в них событий.
В IV веке до нашей эры, после основания Академии Платона, а позже Лицея его бывшего ученика, Аристотеля, Афины стали считаться центром средиземноморского интеллектуального мира. Роль Платона в истории математики — все еще тема жарких дебатов. От него не осталось никаких собственноручно написанных формальных математических сочинений, но он оказал сильное влияние на философию математики. В своем диалоге «Республика» он утверждал, что математика должна быть одной из основных наук, изучаемых будущими правителями, а в диалоге «Тимей» мы видим своего рода преобразованное пифагорейство плюс Платоновы тела, связанные с четырьмя стихиями, и додекаэдр как символ цельной Вселенной. Влияние философии Аристотеля было для математики не особенно полезным. То, что он требовал логики, имело положительный эффект, но отказ принять бесконечность и бесконечно малые величины, а также вера в то, что совершенное движение происходит по окружности и прямым линиям, поскольку это идеальные фигуры, пользы не принесли.
Академия и Лицей были и важными центрами математического образования и исследований. Аристотель был наставником Александра Великого, управлявшего империей, которая в период расцвета простиралась аж до Северной Индии. После смерти Александра обширное государство между собой поделили его враждовавшие друг с другом генералы. Но в одном из осколков огромной империи во времена просвещенного правления Птолемея I возник научный центр — новый город, Александрия, с ее Музеем и драгоценной Библиотекой. Во второй период классической эпохи Древней Греции, известный как Золотой век греческой математики, Александрия в значительной степени затмила Афины.
Самый выдающийся труд в греческой математике — это, несомненно, «Начала» Евклида (ок. 325–265 до н. э.). Несмотря на такую известность, о жизни математика известно очень немногое. Неясным остается даже место его рождения. Из текста более позднего комментатора Прокла Диадоха известно, что Евклид учился в Александрии во времена правления Птолемея. Когда царь спросил, как побыстрее изучить геометрию, Евклид ответил, что «не существует царского пути к геометрии». Известность «Начал» порой затмевала тот факт, что Евклид написал множество других работ, посвященных оптике, астрономии, механике и музыке. Но «Начала» стали стандартным учебником по геометрии, изучавшимся в течение многих последующих столетий. Он был настолько полным, что все предшествовавшие книги оказались избыточными, и их копий не сохранилось. Как и в случае многих других учебников, большая часть «Начал» — не оригинальная работа Евклида, но именно его мы должны благодарить за сведение результатов множества других источников и написание стройного труда, который стал общепринятой моделью логической, дедуктивной системы теорем и доказательств. «Начала» — это не краткое изложение всей греческой математики, в сочинении описаны только основы. В него не включены вычисления и многие более сложные математические задачи, такие, как конические сечения.
«Начала» состоят из 13 книг. В них охвачены вопросы планиметрии и стереометрии, теория чисел и теория непропорциональности. Книга начинается со списка, состоящего из 23 определений, например «точка — это то, что не делится на части», «линия — это длина без ширины». Затем следует пять аксиом и пять «общих понятий». У печально известного пятого постулата своя история. Фактически, каждый раздел книги открывается дальнейшими определениями, необходимыми для новых тем, которые рассматриваются в той или иной главе. Для Евклида определения были более очевидны, чем постулаты, хотя мы рассматриваем их одинаково — как аксиомы. Постулаты обычно описывают некое действие, например «от всякой точки ко всякой точке можно провести прямую», тогда как четвертое определение утверждает: «прямая линия есть та, которая ровно лежит на всех своих точках». В целом геометрия здесь сводится до методов построений с применением линейки и циркуля. Эти два простых инструмента послужили логическими генераторами целой системы. Круг и прямая считались самыми совершенными фигурами. Греки использовали и другие, так называемые «механические» методы построений, но в «Началах» они не описываются.
В книгах с первой по четвертую речь идет о построении плоскостных геометрических фигур, включая четырехугольники, треугольники, круги и многоугольники, созданные при помощи кругов. Утверждалось, что в некоторых книгах, особенно во второй, содержится намек на своего рода алгебраическую геометрию, где геометрические построения служат той же цели, что и алгебраические манипуляции. Независимо от того, верно это или нет, кажется, по крайней мере в ранних теоремах Евклид интересуется исключительно геометрическими понятиями. Термин «величина» используется для обозначения любого геометрического объекта — отрезка или фигуры, а теоремы связаны с построениями и выяснением отношений между этими величинами. В этом труде нет отсылок к числовым понятиям вроде длины; таким образом, например, квадрат рассматривается как геометрическое пострπоение, проистекающее из отрезка. Евклид нигде не заявляет, что площадь такого квадрата есть произведение его сторон, — это определение возникнет намного позже. Таким образом, величины — самое элементарное понятие в «Началах», фундамент, на котором построена остальная часть работы. В этом контексте интересно заметить, что доказательство теоремы Пифагора выполняется путем построений, в то время как обращение к фактическим площадям, возможно, привело бы к совершенно иной форме доказательства.
В пятой книге изложена общая теория пропорций, в том виде, в каком ее первоначально изложил Евдокс. Член Академии Платона, Евдокс Книдский (ок. 408 — ок. 355 до н. э.) был одним из известнейших математиков своего времени. Ему приписывают два фундаментальных открытия: теорию отношений и метод исчерпывания. Выход из очевидного кризиса несоизмеримостей был найден в значительной степени благодаря возможности манипулировать их произведениями и отношениями посредством отношений Евдокса. Евклид фактически цитирует множество различных правил для составления отношений и условий их использования. Предпочтение отношений по сравнению с дробями давало некоторые преимущества. Теперь можно было сформулировать правило вроде: «отношение площадей кругов пропорционально отношению квадратов их диаметров» и использовать его для доказательства самых разных теорем, не применяя иррациональное число
Теория чисел рассматривается в седьмой, восьмой и девятой книгах. У Евклида словом «числа» обозначались только целые величины. Определения в седьмой книге показывают, что работа с числами воспринималась в основном в геометрическом контексте. Евклид говорит, что «кратное число — большее от меньшего, если оно измеряется меньшим», а произведение двух чисел — площадь прямоугольника. Есть также знаменитое правило, известное как «Евклидов алгоритм», позволяющее найти наибольший общий множитель двух величин, или, по словам Евклида, «наибольшую общую меру между двумя величинами». В девятой книге мы находим известное доказательство, которое, говоря современным языком, утверждает существование бесконечного числа простых чисел. Евклид отчетливо избегает упоминания бесконечности. Он заявляет, что «простых чисел больше любого наперед заданного количества» (иными словами, мы можем выбрать любое число, и простых чисел будет все равно больше, чем это число), и переходит к доказательству этого тезиса, взяв три конкретных простых числа, лишь подразумевая, что решение будет таким же для «любого наперед заданного количества». В этой книге также приведено правило построения совершенных чисел. Совершенное число — это число, сумма множителей которого равна самому этому числу. Первое совершенное число — 6, второе — 28 (его множители — 1, 2, 4, 7 и 14, сумма которых равна 28).
Десятая книга содержит подробный анализ различных иррациональных длин, и именно здесь мы находим идею несоизмеримости между основными величинами, сводящуюся к понятию иррациональности между длинами (и площадями). Если некий отрезок определен как рациональный, тогда любой другой отрезок, несоизмеримый с ним, считается иррациональным. Приводятся длинные доказательства для всех типов иррациональности, от простых квадратных корней до кратных корней вроде
В заключительных трех книгах «Начал» рассматриваются вопросы стереометрии. Там используется метод исчерпывания Евдокса как способ найти площади и объемы путем последовательных приближений. Архимед приписал Евдоксу первое доказательство, что объем конуса равен одной трети объема цилиндра с теми же основанием и высотой. Считается, что большая часть двенадцатой книги основана на работах Евдокса. В тринадцатой книге приводится доказательство, что существует всего пять правильных Платоновых тел, построенных из треугольников, квадратов и пятиугольников[5]. Все они вписаны в сферу, и есть подробные указания по поводу относительных расстояний от граней каждого тела до центра сферы. Здесь используются иррациональные числа, описанные в десятой книге. Этим труд Евклида завершается.
«Начала» были самым влиятельным учебником всех времен. Они многократно переписывались, к ним писались новые комментарии, дополняющие более древние. Книги переводились на другие языки и редактировались таким образом, чтобы соответствовать интересам и культуре разных цивилизаций. Восстановить оригинальную работу Евклида стало практически невозможно — к девятому веку нашей эры остались только фрагменты исходного текста. Однако наиболее важен тот факт, что работа Евклида не только выжила, но и отодвинула в тень все другие учебники, существовавшие до нее.
В течение некоторого времени Александрия оставалась научным центром. Там сначала учился, а затем преподавал Аполлоний Пергский (262–190 до н. э.), которого часто называют Великим Геометром. Самая известная его работа — специализированное исследование в области геометрии под названием «Конические сечения» (в 8 книгах). Конические сечения — это фигуры, получаемые в результате рассечения конуса под различными углами: круг, эллипс, парабола и гипербола. В Александрии учились Архимед, Птолемей и Диофант Александрийский (предположительно III в. н. э.). В IV веке нашей эры блеск Александрии начал угасать. В то время, когда главой платоновской школы стала Гипатия (ок. 370–415 н. э.) — дочь Теона Александрийского, первая женщина-математик, если верить сведениям, дошедшим до наших дней, — набирающее силу христианское движение становилось все менее терпимым к тому, что считало языческой наукой и философией. Смерть Гипатии от рук членов местной христианской секты считается началом конца Александрии — столицы наук. Центр научного мира переместился в восточном направлении — в Багдад.
5. Десять книг счетного канона
Поначалу китайская цивилизация развивалась по берегам рек Янцзы (Длинная) и Хуанхэ (Желтая) во времена легендарной династии Ся во втором тысячелетии до нашей эры. Династия Чан правила примерно с 1520 по 1030 год до нашей эры, после чего ее вытеснили захватчики Чжоу, которые к восьмому веку до нашей эры начали постепенно терять власть. Затем, приблизительно с 400 по 200 год до нашей эры, империя превратилась в раздробленную путаницу враждующих государств. Именно к этому периоду, известному как Период Сражающихся царств, относится первый чисто математический текст «Чжоу би суань цзин» («Канон расчета чжоуского/всеохватного гномона»). То было время Конфуция, одного из многочисленных ученых-перипатетиков, которые вели опасную жизнь советников при небольших правителях. Во времена воссоединения Китая при императоре Цинь Шихуанди произошло как объединение разрозненных оборонительных стен в Великую Китайскую стену, так и беспричинное сжигание книг. При следующей династии Хань (200 до н. э. — 200 н. э.) ученые искали рукописи, избежавшие уничтожения, и нередко восстанавливали тексты по памяти. К этому периоду относятся как важный математический текст «Цзю чжан суань шу» («Правила счета / методы вычислений в девяти разделах» / «Девять глав о математическом искусстве»), так и комментарии к «Канону расчета чжоуского/всеохватного гномона». Следующий значительный текст появился в седьмом веке нашей эры, когда во времена династии Суй (581–618) и династии Тан (618–907) была проведена образовательная реформа, в результате которой математика стала преподаваться в «Школе для сынов государства». Там использовался учебник, носивший название «Суань цзин ши шу» («Десять книг счетного канона» / «Математическое десятикнижие») — компиляция наиболее значительных работ, известных в то время. В него входили «Канон расчета чжоуского/всеохватного гномона» и «Девять глав». Этот учебник считался важным учебным пособием в течение многих столетий. В седьмом веке был совершен величайший инженерный подвиг — две величайшие реки Китая были соединены Великим каналом. В конце концов люди восстали против тягот, которые принесло им строительство этого канала, и просуществовавшая совсем недолго династия Суй уступила место династии Тан. Столица империи Тан — город Чанань (современный Сиань) — стала интеллектуальным мостом между Китаем и Средней Азией, играя ту же роль, что и другой большой космополитический город, расположенный намного западнее, — Багдад. В период трехсотлетнего правления династии Тан произошло изобретение книгопечатания и пороха. Наша экскурсия заканчивается династией Цзинь, которая просуществовала до 1234 года. Сейчас мы рассмотрим «Девять глав о математическом искусстве».
Интерес китайцев к магическим квадратам, похоже, больше связан с предсказаниями, чем с математикой. Легенда гласит, что император Юй, правивший в третьем тысячелетии до нашей эры, стал обладателем двух важных диаграмм на нефритовых пластинках. Одну он получил от волшебного дракона-лошади, который поднялся из Хуанхэ, а другую император вынул из панциря черепахи, найденной в реке Лохэ — правом притоке Хуанхэ. Первые иллюстрации волшебного креста и квадрата относятся к десятому веку, и вплоть до тринадцатого века никакие магические квадраты размером больше 3 x 3 не обсуждались. К этому времени упоминания о предполагаемых магических свойствах квадратов уже прекратились, а математик Ян Хуэй сконцентрировался на числовых свойствах разнообразных числовых квадратов и кругов. Начиная с девятого века свойства магических квадратов изучали арабские математики, и недавно в Сиане был найден арабский магический квадрат, относящийся к периоду монгольского завоевания Китая (1279–1368).
«Девять глав» — важнейший труд китайской математики. Сейчас почти невозможно вычленить оригинал из массы позднейших комментариев. Комментатор третьего века нашей эры Лю Хуэй заявляет, что в его время работа была в значительной степени переписана, был включен новый материал и выброшены некоторые ненужные разделы. Самая ранняя сохранившаяся версия текста датируется тринадцатым веком, но это только часть книги; наиболее полный текст относится к восемнадцатому столетию. Это очень похоже на нехватку оригинальных греческих текстов, хотя в данном случае промежуток между повторами и оригиналами, которые, как утверждается, он отражает, намного длиннее. «Девять глав» содержат 246 задач. Каждый раздел начинается с заявленной задачи, после чего приводится числовой ответ и метод, позволяющий получить решение. Не приводятся никакие логические объяснения или доказательства. Большая часть книги состоит из практических вычислительных задач, вроде распределения земли, разделения товаров и управления крупномасштабными строительными работами. В данном случае мы рассмотрим методы извлечения квадратных корней и решения уравнений.
Вычисления проводились путем выкладывания счетных палочек на счетной доске. Иногда счетная доска выполнялась в виде специальной сетки, но в некоторых текстах упоминается, что для подсчетов могла использоваться любая поверхность. Главное — правильно выложить палочки во время вычисления, что позволяет возобновлять прерванное вычисление с того места, где оно было прервано, что особенно важно при длительных расчетах. Ответы записывались сразу же после того, как они появлялись на счетной доске. Получающееся изображение числа палочками по своему характеру относится к десятичной системе счисления, но цифры с 1 до 9 строятся при помощи сложения — вертикальные палочки обозначали каждую единицу, а горизонтальная палочка обозначала 5. В некоторых источниках приводятся иллюстрации, на которых направление палочек меняется, но палочка, обозначавшая 5, всегда была перпендикулярна единицам — это, несомненно, визуально облегчало процесс счета и ускоряло вычисления. Использование специального символа для 5 перенесено на абаку, которая, похоже, не стала общепринятым инструментом счета вплоть до шестнадцатого века. Как и вавилоняне, китайцы, по-видимому, не имели особого символа для обозначения ноля. При раскладывании счетных палочек, там, где должен быть ноль, оставляли пустое место, но это, похоже, не фиксировалось при записи ответа, и только из контекста можно было понять, был ли ответ, скажем, 18, 108 или 1800. Есть письменное свидетельство — китайский перевод индийского текста, — что в восьмом веке в качестве ноля использовалась точка. Круглый ноль появился намного позже, в тринадцатом веке, равно как и «квадратный» ноль, легко получающийся при работе со счетными палочками.
Извлечение квадратного и кубического корней начинается с определения порядка величины корня путем осмотра, и затем по очереди вычисляется каждая цифра. В примере из «Девяти глав» вычисляется квадратный корень из 71 824. Легко понять, что значение квадратного корня находится между 200 и 300, и потому ясно, что это число из трех знаков — abc — где
Эта геометрическая техника эквивалентна использованию биномиального разложения, числовые коэффициенты которого могут быть выражены тем, что сейчас известно как треугольник Паскаля. Этот алгебраический метод активно применялся в одиннадцатом столетии и, возможно, еще ранее, позволяя китайцам вычислить корень любой n-й степени, какой им было нужно. И снова неясно, был ли треугольник Паскаля получен из индийских источников или открыт самостоятельно. Каждый шаг извлечения квадратного корня требует решения квадратного уравнения. Аналогично извлечение корней более высокого порядка, например кубического корня, требует решения уравнений более высокого порядка, или полиномиалов. Соответственно подобный метод мог использоваться для того, чтобы решить любой полиномиал без применения геометрической структуры гномонов. Как и в других культурах, одного корня было всегда достаточно, и мы не можем сказать, знали ли китайцы о том, что полиномиал мог иметь несколько решений. Уравнения не записывались в терминах переменной воде «х», они выражались только в терминах числовых коэффициентов, которые выкладывались на вычислительной доске. Похоже, китайцев не интересовало, конечно или бесконечно решение, — алгоритм был одинаково эффективен в обоих случаях, и вычисление заканчивалось в тот момент, когда достигалась требуемая точность.
В «Девять глав» также входят задачи, представляющие собой системы линейных уравнений с более чем одним неизвестным. Лю Хуэй заявляет в своем комментарии, что общий метод трудно объяснить без обращения к конкретному примеру. В этом методе коэффициенты системы уравнений представлены счетными палочками, разложенными в виде матрицы. Затем с числами производятся определенные манипуляции, чтобы устранить некоторые из коэффициентов, оставляя явные числовые решения. Это очень похоже на современный метод, известный как Гауссово исключение (по имени математика Карла Фридриха Гаусса), но китайцы не развили идею до вычисления детерминанта матрицы, так что, возможно, более корректно расценивать конфигурацию счетных палочек не как матрицу, а как таблицу.
Есть также важная работа по неопределенным уравнениям, где существует несколько возможных ответов — иногда бесконечное их множество. В книге представлены два типа задач: первая — задача на остаток, вторая известна как «задача о сотне домашних птиц». Задача о сотне домашних птиц в самом разном виде встречается в самых разных уголках средневекового мира — в европейских, арабских и индийских текстах. В «Десяти канонах» сказано, что петушки стоят 5 цянь, курицы — 3 цянь, а 3 цыпленка — 1 цянь. Если 100 птиц куплены за 100 цянь, сколько каких птиц было куплено? Приводятся три решения. Одно из них — 4 петушка, 18 куриц и 78 цыплят. (Есть решение с отсутствующим элементом, когда можно купить 25 куриц и 75 цыплят, но ни одного петушка.) Эти ответы правильные, но объяснение, похоже, неверное.
При описании задачи на остаток приводится и результат, и общий метод, но снова без объяснения. В этой задаче, согласно описанию в «Девяти главах», приобретается неизвестное число предметов. Если посчитать их по три, остается две штуки, если посчитать их по пять штук, остается три, а если считать их по семь штук, остается два. Цель состоит в том, чтобы найти число купленных предметов. Решение скорее методологическое, чем объяснительное. В целом для решения задачи требуется найти наибольший общий сомножитель для чисел 3, 5 и 7. Странно, но в следующий раз эта же задача упоминается только в тринадцатом веке в работе Цинь Цзюшао.
Цинь Цзюшао родился в городе Аньюэ (ныне в провинции Сычуань). Его отец занимал множество различных административных постов, включая должность заместителя директора Дворцовой библиотеки. Цинь Цзюшао изучал астрономию в столице, Ханьчжоу, но в 1234 году вступил в армию, чтобы противостоять монгольским захватчикам. Это были десять тяжелых лет. В 1244 году он вернулся и стал «придворным чиновником с широкими полномочиями» (это высокий титул) в префектуре Цзянькан (ныне Нанкин), однако в том же году Цинь Цзюшао удалился от службы на три года, чтобы оплакать смерть матери. Вероятно, именно в этот период он составил свой труд «Шу шу цзю чжан» («Девять книг по математике»), структура которого напоминает «Десять канонов», но несколько сложнее.
В «Шу шу цзю чжан» описываются методы решения задач индивидуального сравнения и ряда одновременных сравнений, как в случае задачи на остаток. Сравнения, возможно, лучше известны в форме модульной арифметики (арифметические операции над абсолютными значениями чисел). Решения соответствуют тому, что теперь известно как китайская теорема остатка. Цинь Цзюшао утверждает, что он научился этому методу у составителей календарей, работавших в Императорском Астрономическом бюро в Ханьчжоу, но там использовали правило, не понимая его. Это правило было выведено для того, чтобы решить проблему сопоставления различных циклов вроде лунного месяца, солнечного года и искусственного шестидесятеричного цикла. Фактически даже Гаусс, который вновь открыл метод пять столетий спустя, использовал для примера задачи с календарными циклами. Неясно, где Цинь Цзюшао на самом деле узнал это правило. Подлинное новаторство первоклассного математика заключается в выходе за пределы традиции комментариев. Он применил давнюю китайскую вычислительную традицию для решения реальных проблем.
6. Математические сутры
Древнейшие свидетельства о наличии математики в Азии мы видим в следах цивилизации Хараппы, существовавшей в долине Инда; они датируются концом четвертого — началом третьего тысячелетия до нашей эры. Хотя самые ранние документы довольно трудно расшифровать, понятно, что это торговые счета, с весами и размерами, с особой ссылкой на передовую технологию производства кирпичей. Приблизительно в 1500-х годах до нашей эры культура Хараппы была уничтожена захватчиками с севера. Их называли ариями. Они были пастухами, говорили на индоевропейском языке, предшественнике санскрита и многих современных языков. Первая письменная кодификация языка была сделана великим филологом Панини в четвертом веке до нашей эры. Он в одиночку сумел сделать санскрит понятным языком, кодировавшим мысли целого субконтинента в течение более чем двух тысяч лет. Если можно сказать, что греческая математика проистекает из философии, то корни индийской математики уходят в лингвистику.
Самая ранняя ведическая литература прежде всего носит религиозный и церемониальный характер. Наиболее ценны с точки зрения математики — приложения к главным «Ведам», известные как «Веданги». Они записаны в виде сутр — коротких поэтических афоризмов, столь типичных для санскритских текстов, которые стремятся передать содержание в наиболее сжатой и запоминающейся форме. «Веданги» разделены на шесть областей: фонетика, грамматика, этимология, поэзия, астрономия и ритуалы. Последние два предмета дают нам возможность оценить уровень развития математики того времени. Раздел «Веданг», посвященный астрономии, называют «Джьотиша-сутра», в то время как раздел, посвященный ритуалам, носит название «Кальпа-сутра». Одна из его частей, посвященная строительству жертвенных алтарей, называется «Шульба-сутра».
Самый ранний текст «Шульба-сутры» был написан приблизительно в 800–600 годах до нашей эры, еще до кодификации санскрита Панини. Геометрия выросла из потребности соответствовать размеру, форме и ориентации алтарей, определенных в священных текстах «Вед». Абсолютная точность была столь же важна для эффективности ритуала, как и правильное произнесение мантр. Геометрия выражена тремя основными способами: явно сформулированные геометрические теоремы; процедуры, необходимые для того, чтобы строить различные формы алтарей; алгоритмы, связанные с предыдущими двумя группами. Самая важная теорема — теорема Пифагора прямоугольных треугольников.
Один пример иллюстрирует, как теоретические результаты шли бок о бок с практическими задачами. Используя теорему Пифагора, всегда можно построить квадрат, площадь которого равна удвоенной площади заданного квадрата. Но если мы начинаем с двух реальных квадратов, скажем сделанных из ткани, каков самый эффективный способ разрезать их и снова сложить куски так, чтобы составить больший квадрат? Хотя этот тип построения не приводится в «Шульба-сутре» в явном виде, существует свидетельство подобных конкретных способов рассуждения. Один из ключей — приближение, используемое для вычисления √2, которое осуществляется с точностью до пятого десятичного знака: «Увеличьте измерение на треть от него, а эту треть — на четверть от этой трети минус тридцать четвертую часть от этой четверти». Это могло отображать разделение одного из квадратов на подходящие прямоугольники и расположение их вокруг другого квадрата, чтобы построить квадрат двойной площади. Этот подход имеет аналоги в китайской геометрии, а результат очень близок к тому, который получали вавилоняне.
Учитывая выдающееся положение индо-арабских цифр в десятеричной системе со знакоместом, стоит кратко вспомнить раннюю историю индийских цифр. Цифры «кхарошти» можно увидеть на надписях, относящихся к четвертому столетию до нашей эры. В них есть особые символы для единицы и четверки, а также для десяти и двадцати. Числа свыше сотни получаются путем сложения. Самые ранние следы цифр «брахми» относятся к третьему столетию до нашей эры, их можно увидеть на колоннах Ашоки, разбросанных по всей Индии. Это более развитая система, в нее входили специальные символы для чисел, кратных десяти и ста, а также для значений второго десятка. Датировка чисел «бакшали» (по названию города, где они были обнаружены) крайне ненадежна, но если она все же верна, то эти числа, относящиеся к третьему веку нашей эры, — первая известная система с учетом знакоместа, где было специальное обозначение для ноля. Там было всего десять символов, но ими можно было выразить любое число, сколь угодно большое. Цифры «гвалиор» (тоже по названию города) девятого века нашей эры узнаваемо похожи на наши современные, это первое бесспорное появление ноля в индийской надписи, За пределами Индии, но тем не менее в рамках ее культурного влияния мы находим кхмерскую надпись в Камбодже, датированную 683 годом, в которой используется ноль.
Классический период индийской математики начался в середине первого тысячелетия. Большей частью Индии правила династия Гуптов, которые поощряли исследования в области наук и искусств. Математическая деятельность была сконцентрирована в трех центрах: в столице Паталипутре (современная Патна), в Удджайне на севере и в Майсуре на юге. Два самых крупных математика этого периода — это Ариабхата (476–550), автор «Ариабхатии» (499), и Брахмагупта (ок. 598–660), который в 628 году сочинил трактат под названием «Брахма-спхута-сидцханта» («Открытие Вселенной»). Основными задачами, которыми занимались эти ученые, были математическая астрономия и анализ уравнений.
«Ариабхатия» состоит из 123 стихов. Трактат начинается с восхваления богам, а затем в нем описываются алгоритмы для вычисления квадратов, кубов, квадратных и кубических корней. В работе приведены 33 правила по арифметике, алгебре и тригонометрии на плоскости. Семнадцать правил посвящены геометрии, 11 — арифметике и алгебре. В десятом правиле приводится значение π как отношение 62,832:20,000, что эквивалентно 3,1416, — это самое точное значение, вычисленное в то время, и оно останется таковым еще тысячу лет. Трактат включает также таблицу синусов. В отличие от Птолемея, использовавшего в качестве основной меры хорды, индусы использовали полухорды и выражали их в радиусах. Поэтому, за исключением постоянного множителя, индийские синусы намного ближе к нашим современным. Разделив четверть окружности на 24 равные части и начав с нескольких базовых результатов и формул, вроде sin 30° = 1/2, Арьябхата составил таблицу синусов для углов от 3°45′ и выше. Ему также приписывают создание формулы, позволяющей приблизительно оценить синус любого угла без использования таблицы с точностью до нескольких десятичных знаков.
Позже Брахмагупта создал формулу интерполяции, используя арифметический метод разностей, чтобы найти синусы промежуточных углов. В дальнейшем тригонометрию развивали арабы на севере и математики Кералы на юге. Арабы, а затем и западный мир познакомились с индийской математикой и астрономией отчасти благодаря переводу «Брахма-спхута-сиддханты».
Брахмагупта основал ставшую широко известной школу в Удджайне. Его «Брахма-спхута-сиддханта» — самый полный трактат по астрономии того времени. В некоторых разделах этого труда производится анализ неопределенностей, взятых из календарных вычислений и астрономии. Арьябхата решал линейные неопределенные уравнения, используя алгоритм Евклида, описанный в «Началах», — сокращение коэффициентов до тех пор, пока уравнения не будет удобно решать методом проб и ошибок. Брахмагупта приводит алгоритм для решения в целых числах уравнений вида ах2 ± с = у2, которые геометрически представляют собой гиперболы. В Европе эта формула получила известность под названием «уравнение Пелля»[6].
Поделиться книгой: