История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных

Позднее знаменитый индийский математик Бхаскара (Бхаскарачарья) (1114 — ок. 1185) улучшил эти методы, создав «циклический» метод, известный как «чакравала» (метод нахождения наименьшего нетривиального решения). Он привел решение известной задачи — уравнения 61х2 + 1 =у2. Это та самая задача, над которой Пьер Ферма бился в семнадцатом столетии и решение которой было найдено Жозефом Луи Лагранжем лишь сто лет спустя. Но даже и в восемнадцатом веке алгоритм «чакравала» был намного более эффективен. Наименьшие решения: х = 226 153 980, у = 1 766 319 049.

Ни в «Ариабхатии», ни в «Брахма-спхута-сиддханте» не доказываются представленные там результаты. Но это не означает, что их авторы не знали доказательств или не понимали, насколько важно продемонстрировать обоснованность приведенных правил. То, что индийские математики осознавали необходимость доказательств, видно хотя бы из того, что Бхаскара отклонил джайнистское приближенное значение π, представленное как √10: хотя и численно близкое, оно не сопровождалось никакими внятными объяснениями. В любом случае индийские математики не ограничивались только лишь представлением методов расчета и результатов, эти результаты проверялись и перепроверялись много раз, что, в свою очередь, способствовало возникновению еще более строгих методик.

Бхаскара из Удджайны был выдающимся математиком. Ему приписывается открытие некоторых понятий из области вычислений, которые стали широко известны намного позже. Трактаты Бхаскары издавались даже в девятнадцатом столетии. Одним из аспектов индийской астрономии было исследование мгновенных движений планет, особенно Луны. Были сделаны удивительно верные расчеты времени затмений, поэтому будущие затмения могли быть предсказаны с невероятной точностью. И Ариабхата, и Брахмагупта использовали для этого одну и ту же формулу, а Бхаскара усовершенствовал метод расчета, выведя то, что можно считать дифференциалом синуса. В его трактате «Сиддханта-широмани» («Венец учения») используется «бесконечно малая» единица измерения — «трути», равная 1/33,750 секунды. По сути, в определенном смысле трактат Бхаскары можно рассматривать как предварение математического анализа, но, похоже, этот «пред-анализ» не рассматривался как самостоятельная тема и не распространялся на другие ветви математики.

Впоследствии Ньютон в своем математическом анализе будет активно использовать бесконечные ряды. Особенно полезным достижением индийской математики была аппроксимация синусов и косинусов полиномами с бесконечным числом членов — работы именно в этом направлении мы можем увидеть у математиков Кералы. После Бхаскары успехи индийской математики были невелики — страну охватил политический хаос. Но юго-западная Индия оставалась в значительной степени защищенной от этих потрясений, так что там математика могла развиваться вплоть до четырнадцатого — семнадцатого веков. Керала была центром морской торговли, туда стекались люди из самых разных стран. Конечно, необходимо более точно изучить историческую роль Кералы в продвижении математических идей, но некоторые результаты указывают на то, что математика там процветала.

Мадхава из Сангамаграма (ок. 1340–1425), известный более поздним астрономам как Голавид, или «Повелитель сфер», был одним из величайших средневековых математиков. Его работы по исследованию бесконечных рядов были утеряны, но постоянно цитировались более поздними авторами вплоть до шестнадцатого века. Многие результаты, которые были названы в честь европейских математиков, возможно, должны были носить имя Мадхавы. Сюда входят разложение синусов и косинусов в бесконечный многочлен, считающееся заслугой Ньютона, а также формулы малоуглового приближения, представляющие собой часть рядов Тейлора. Эти формулы позволяли составлять тригонометрические таблицы с любой желательной точностью; таблицы Мадхавы были составлены с точностью до восьми десятичных знаков. Мы также находим у него бесконечный ряд, выражающий значение числа π. Один пример, приведенный в стихотворной форме, иллюстрирует, как определенные объекты традиционно использовались для того, чтобы обозначить числа и способствовать их последующему вспоминанию:

Боги [33], глаза [2], слоны [8], змеи [8], огни [3], тройка [3], качества [3], веды [4], наксатры [27], слоны [8] и руки [2] — мудрые говорят, что это длина окружности, когда диаметр круга — 900 000 000 000.

Прочтение чисел справа налево и деление получившегося числа на указанный диаметр приводят к значению π с точностью до одиннадцати десятичных знаков. Такое вычисление с использованием бесконечного ряда сразу напоминает о гениальном индийском математике-самоучке из Кералы — Сринивазе Рамануджане (1887–1920), невероятные способности которого позволили ему поступить в Кембриджский университет.

7. Дом Мудрости

В седьмом веке нашей эры на Аравийском полуострове возникла новая монотеистическая религия, которая должна была втиснуться между христианским и персидским мирами. В 622 году пророк Мухаммад бежал из Мекки и нашел прибежище в Медине. Восемь лет спустя он возвратился во главе армии и триумфально вошел в Мекку. Вдохновленные прозрениями Мухаммада, его последователи распространили слово Корана и создали Арабский халифат, который в пору своего расцвета раскинулся от Кордовы до Самарканда. С 661 года империей, со столицей в Дамаске, правила династия Омейядов, но в 750 году они были свергнуты Аббасидами, которые перенесли столицу в Багдад (с 762 года). Омейяды бежали в испанские земли, где создали Кордовский халифат.

Халифы династии Аббасидов стремились построить в Багдаде новую Александрию и основали там астрономическую обсерваторию, библиотеку и исследовательский центр под названием «Байт аль-Хикма» («Дом Мудрости»). Был задуман и осуществлен гигантский проект, согласно которому на арабский язык были переведены все лучшие научные труды того времени, какие только можно было найти. В арабской математике мы можем увидеть влияние вавилонских, индийских и греческих идей. Их синтез и развитие привели к созданию фундаментальных трудов, особенно по алгебре и тригонометрии. Хотя алгебраическая символика, какой мы ее знаем сегодня, — это намного более поздняя европейская разработка, создание алгебраических рассуждений с большой долей вероятности можно приписать арабским математикам. Более ранняя математика нередко могла алгебраически интерпретироваться, но явное признание того факта, что геометрические проблемы могут быть выражены алгебраически, что геометрические процедуры могут быть преобразованы в алгебраические алгоритмы и что алгебраические процедуры могут выйти за рамки своих геометрических корней, — это вклад арабов в математику.

Очень важной работой в истории алгебры был труд Диофанта Александрийского (ок. 200 — ок. 284) «Арифметика». При том, что даты жизни Диофанта, казалось бы, известны, тем не менее до сих пор нет окончательной ясности, к какому столетию следует его отнести, хотя решение математической загадки, которая, по слухам, была начертана на его могиле, указывает на его возраст в момент смерти. «Арифметика» считается новой ветвью греческой математики, она посвящена решению определенных и неопределенных уравнений в числовой форме, независимо от геометрических обоснований. Ограничение на целочисленные решения ныне сформировалось в отдельную ветвь математики, известную как диофантовы уравнения. Примером таких уравнений может служить поиск пифагоровых троек. Диофант также использовал то, что называют синкопированной алгебраической записью, то есть промежуточной стадией между риторической и полностью символической алгеброй. Эта работа была переведена на арабский язык и тщательно изучалась арабскими математиками.

Одним из наиболее значительных арабских математиков был Абу Джафар Мухаммад ибн Муса ал-Хорезми (ок. 783 — ок. 850). По его имени можно понять, что он приехал из Хорезма — города в Средней Азии. Похоже, что большую часть своей жизни ал-Хорезми провел в Багдаде, где занимал должность директора библиотеки недавно основанного там Дома Мудрости. Его трактат по алгебре «Ал-китаб ал мухтасар фи хисаб ал-джабр ва-л-мукабала» («Книга о восполнении и противопоставлении») позднее оказал огромное влияние на развитие математики в Европе. Наше слово «алгебра» возникло от латинской транслитерации слова «ал-джабр». Ал-Хорезми стремился решить практические задачи, возникающие в торговле, при наследовании и в использовании земли. В алгебраических разделах рассматриваются линейные и квадратные уравнения — термины «восполнение» и «противопоставление» относятся к алгебраическим преобразованиям. Ал-Хорезми разделяет квадратные уравнения на шесть различных групп. В арабской математике требовалось, чтобы все коэффициенты и все ответы были положительными, поэтому вместо того, чтобы писать общий вид уравнения ах2 + bx + с = 0, где х — неизвестная величина, и а, b,с — коэффициенты, что было бы бессмысленным, поскольку сумма положительных элементов никогда не могла быть равна нолю, ал-Хорезми рассматривал уравнения ax2 + bx = с и ax2 + с = bx как два различных типа уравнений. Алгебраические решения для каждого типа уравнения приводятся отдельно, они сопровождаются геометрической иллюстрацией, возможно используя работы Евклида, но он также применяет методы, похожие на вавилонские и индийские. Геометрические иллюстрации алгебраических методов пока еще риторические: ал-Хорезми не развил символический язык, но непринужденность, с которой он перемещается между царствами алгебры и геометрии, значительно отличается от греческого стиля математики.

Ко времени ал-Караджи (953-1029) арабские математики пытались освободить алгебру от геометрических рассуждений и превратить ее в общепринятую технику арифметической работы с неизвестными. Выдающийся персидский математик Фахр ад-Дин Абу Бакр Мухаммад ибн ал-Хусайн ал-Караджи основал очень влиятельную школу алгебры в Багдаде. Его главная работа «Ал-Фахри» содержит учение об алгебраическом исчислении и об определённых и неопределённых уравнениях. Ал-Караджи дал правила для определения суммы арифметической прогрессии, а также суммы квадратов и кубов последовательных чисел, хотя он не сумел определить, что х0 = 1. Ал-Караджи вывел формулу бинома и привел таблицу биномиальных коэффициентов, известную ныне как треугольник Паскаля, — интересно, что персидский математик пришел к этому индуктивным методом. Его доказательство, строго говоря, нельзя назвать доказательством по индукции, тем не менее это числовая и алгебраическая процедура без ссылки на геометрию.

Ко времени Гиясаддина Абу-ль-Фатха Омара ибн Ибрахим ал-Хайяма Нишапури, более известного как Омар Хайям (1048–1131), турки-сельджуки захватили Багдад и объявили там ортодоксальный мусульманский султанат. После обучения в Нишапурском медресе Хайям в 1070 году оставил эти политически опасные земли и перебрался в относительное спокойствие Самарканда. Хотя он больше известен как поэт и автор рубаи, Хайям главным образом был ученым и философом. Именно в Самарканде он написал свою «Алгебру», самая оригинальная часть которой была посвящена решению кубических уравнений геометрическими средствами. Его открытие состояло в том, что решение кубического уравнения можно было найти путем определения точки пересечения двух конических сечений, с которыми он познакомился, читая перевод труда Аполлония Пергского. Например, уравнение вида х3 + ах = с решалось как пересечение соответственно построенного круга и параболы. Он разделил по типам кубические уравнения и их решения, создал алгебраические методы для того, чтобы упростить некоторые сложные кубические уравнения до уже известных типов или до более простых квадратных уравнений. Хотя с точки зрения развития алгебры это может показаться шагом назад, многие аспекты делают вклад Хайяма уникальным. Он утверждал, что древние не оставили никаких сведений относительно решения кубических уравнений, так что нам следует предположить, что у него был достаточный доступ к лучшим библиотекам в империи. Хайям также заявлял, что геометрическое решение кубических уравнений не может быть найдено с использованием только циркуля и линейки — доказательство этого факта будет получено только через семьсот лет. Хайям первым сумел понять, что в кубическом уравнении может быть больше одного решения, но не сумел уловить, что их может быть три. Хайям признавал, что его работа не закончена, и искал полное алгебраическое решение кубического уравнения и уравнений более высокого порядка, аналогичное формуле для решения квадратных уравнений. Но это достижение будет сделано только в эпоху итальянского Ренессанса. Аналитическая геометрия Хайяма стала кульминацией арабского сплава алгебраических и геометрических познаний. Затем до Декарта не было сделано практически ни одного серьезного шага.

Арабские математики в основном интересовались астрономией, их достижения в области тригонометрии позволили им построить более точные астрономические таблицы. Исламский календарь был основан на лунных месяцах. Каждый месяц начинался с первого появления лунного месяца после новолуния. Ежедневно, в зависимости от положения Солнца, должны были читаться пять молитв: например, дневная молитва должна происходить в тот момент, когда длина тени, отбрасываемой предметом в полдень, увеличилась на величину, равную высоте самого предмета. Верующий должен произносить молитву, обратившись лицом в направлении Каабы в Мекке. Все три этих правила требовали астрономических знаний и понимания движений планет, а также географии Земли. Поначалу они в основном использовали методы наблюдения, а из греческих и индийских источников пришли таблицы. Арабы значительно улучшили и таблицы, и методы наблюдения, в мечетях в тринадцатом веке работали астрономы, профессионально использовавшие астролябии, секстанты и солнечные часы.

Стало очевидно, что любой шаг вперед в области астрономических вычислений требовал создания более точных тригонометрических таблиц. Давайте оценим это развитие по методам, используемым для вычисления синуса 1°. Были даны определения синуса, косинуса и тангенса, были выведены различные формулы, вроде синуса суммы и разницы двух углов. Общие методы начинали создаваться с тех синусов, которые были точно известны из геометрических вычислений, вроде синуса 60° = √3/2 или синус 30° = 1/2, а затем использовались формулы для уменьшения угла вдвое. Угол последовательно делился пополам, пока не доходил до значения в 1° или становился близок к этому значению. Один из крупнейших математиков и астрономов средневекового Востока Абу-л-Вафа (Абу-л-Вафа Мухаммад ибн Мухаммад ибн Яхья ибн Исмаил ибн Аббас ал-Бузджани) (940–998) начал с известного значения синуса 60° и уже вычисленного значения синуса 72°, и, применяя подходящие формулы, он смог вычислить синус 2°. Используя формулу двойного угла, он постепенно вычислил синус 1°30′ и синус 45'. Поскольку эти два угла достаточно близки, он предполагал, что промежуточные значения будут подчиняться относительно линейным соотношениям и арифметический метод, таким образом, привел бы к необходимому значению синуса 1°. При использовании подобных методов Абу-л-Вафа смог построить полную таблицу синусов, с углами около 1/4°, или 15' в шестидесятеричной системе. Он добился точности в 5 шестидесятеричных знаков или 8 десятичных знаков.

Следующий серьезный шаг был сделан только через триста лет, несмотря на то что теория была полностью разработана. К тому времени Багдад находился уже под властью монголов, которые разорили и разрушили его. Внук Тимура Улугбек (Султан Мухаммед ибн Шахрух ибн Тимур Улугбек Гураган) (1394–1449) — выдающийся астроном и астролог — в 1409 году был объявлен правителем Мавераннахра со столицей в Самарканде. Став правителем державы Тимуридов, Улугбек перенес центр науки в Самарканд. Математик и астроном Ал-Каши (1380–1429), первый директор новой Самаркандской обсерватории, значительно уточнил значения синусов в таблице. Используя формулу синуса тройного угла, он составил кубическое уравнение, чтобы найти синус 1° исходя из синуса 3°. Затем, используя повторяющуюся процедуру, он вычислил синус 1° до 9 шестидесятеричных знаков, что эквивалентно 16 десятичным знакам. Остальную часть таблицы можно было завершить с помощью уже установленных взаимоотношений, однако в любом случае это был феноменальный вычислительный подвиг. Аналогичный метод использовал Иоанн Кеплер двести лет спустя. Помимо увеличения точности вычислений, арабы усовершенствовали астролябию и использовали ее не только как инструмент для астрономических наблюдений, но и как аналоговый калькулятор, с помощью которого определяли время. Впрочем, звезда Багдада уже закатилась. За монгольским завоеванием последовало нашествие оттоманских турок, которые сделали столицей и интеллектуальным центром Стамбул.

…я был лишен возможности систематически заниматься этим делом и даже не мог сосредоточиться на размышлении о нем из-за мешавших мне превратностей судьбы. Мы были свидетелями гибели ученых, от которых осталась малочисленная, но многострадальная кучка людей. Суровости судьбы в эти времена препятствуют им всецело отдаться совершенствованию и углублению своей науки. Большая часть из тех, кто в настоящее время имеет вид ученых, одевают истину ложью, не выходя в науке за пределы подделки и притворяясь знающими. Тот запас знаний, которым они обладают, они используют лишь для низменных плотских целей. И если они встречают человека, отличающегося тем, что он ищет истину и любит правду, старается отвергнуть ложь и лицемерие и отказаться от хвастовства и обмана, они делают его предметом своего презрения и насмешек.

Омар Хайям. Трактат о доказательствах задач алгебры и алмукабалы (ок. 1070)[7].

8. Семь свободных наук и искусств

В 529 году Юстиниан, римский император и христианин, закрыл языческие философские школы, включая Академию в Афинах. Так подошла к концу тысячелетняя история греческой математики. Многие ученые покинули страну и двинулись на Восток, в более интеллектуально развитую Персидскую империю. За двести лет до этого Константин Великий сделал христианство официальной религией римского мира и переместил административный центр из Рима в Византий, который он переименовал в Новый Рим, Константинополь. Карл Великий, император Священной Римской империи (742/747 или 748–814), впервые объединил в своих руках духовную и светскую власть. В то время Константинополь входил в состав зарождающейся исламской империи, а Багдад был научной столицей известного мира того времени. Как правитель западноевропейской империи, Карл Великий был обеспокоен интеллектуальной неполноценностью христианского мира и стимулировал проведение образовательных реформ, опиравшихся на соборные школы. Отвечал за эти реформы ученый и поэт Алкуин Йоркский (735–804), глава придворной школы Карла Великого в Ахене. Алкуин также разработал каролингское строчное письмо, легшее в основу современных латинских прописных букв. После смерти Карла Великого три его сына перессорились и снова разделили Европу на части. Образование не входило в список их важнейших интересов, но в соборных школах и монастырях все же бился скудный огонек научных знаний.

Список научных дисциплин состоял из семи гуманитарных наук. Учебный план их изучения был расписан еще в римские времена. Список был разделен на «тривиум» — грамматика, риторика и логика, и «квадривиум» — геометрия, арифметика, астрономия и музыка. Можно предположить, что математика была ключевой частью учебного плана, но в действительности уровень знаний был очень низким. Боэций (Аниций Манлий Торкват Северин Боэций) (ок. 480–524) — вероятно, лучший математик римского мира — определил то, что должно было стать стандартными текстами для каждой ветви квадривиума. Его трактат «Наставление в арифметике» был просто сокращенной копией «Введения в арифметику» — последней работы известного неопифагорейца Никомаха Герасского (ок. 60 — ок. 120). «Наставление в геометрии» базировалось на первых четырех книгах Евклида (причем доказательства были исключены). «Наставление в астрономии» представляло собой сильно сокращенную версию «Альмагеста» Птолемея, а «Наставление в музыке» — сборник греческих источников. Казалось, эта программа была разработана для того, чтобы соответствовать минимальным стандартам, а не создать трамплин для движения к новым открытиям. Математика использовалась, главным образом, для того, чтобы обслуживать календарь и вычислять дату Пасхи — обе задачи требовали астрономических знаний. Научная мысль Западной Европы начала возрождаться благодаря проникновению идей через границу между христианским и исламским мирами.

Вдохновленные пророком Мухаммадом и учением Корана, арабы выплеснулись за пределы своего полуострова, стремясь завоевать Персидскую и Восточную Римскую империи. Границы с Западной Европой шли от южной Испании и Сицилии до восточных регионов. Именно в Испании, особенно в городе Толедо, шел интенсивный интеллектуальный диалог между двумя культурами, которые в то же время находились практически в бесконечном конфликте друг с другом. Почти чудо, что удалось достичь такого климата научной терпимости в период, включавший два столетия крестовых походов. Прежде чем в восьмом веке нашей эры арабские войска захватили Толедо, город был столицей вестготов. В конце одиннадцатого века христианские армии отбили Толедо. Кордова стала столицей иберийского арабского государства, и его правители — Омейяды — планировали превзойти управляемый Аббасидами Багдад по блеску и учености. Гранада, столица султаната Насридов, последний оплот ислама на Иберийском полуострове, просуществовала как таковая до 1492 года, когда насридский правитель Мохаммед XII капитулировал перед испанцами и передал город королеве Изабелле Кастильской и королю Фердинанду II Арагонскому, после чего мусульмане и евреи были изгнаны из католической Испании. Однако за предшествовавшие века этот западный форпост арабской империи добился многого и, уж во всяком случае, сравнялся с Багдадом как пристанище искусств и наук. Христианские, мусульманские и еврейские ученые тесно сотрудничали здесь, стремясь свести воедино все наиболее важные научные работы на всех основных языках того времени. Тексты работ переводились с языка на язык, а основными языками науки того времени были арабский, латынь, греческий, еврейский и кастильский. Для Европы то был важнейший период: повторно открывалась утерянная греческая математика, впервые прочитывались оригинальные арабские и индийские математические труды. Космополитический характер Толедо XI–XII веков можно понять, перечислив имена некоторых ведущих ученых того времени: Роберт Честерский, Майкл Скот, Герман Каринтийский, Платон Тиволийский, Евгений Палермский, Рудольф из Брюгге, Иоанн Севильский, Герард Кремонский, Аделард Батский.

Аделард Батский (ок. 1080 — ок. 1160) — вероятно, самый известный переводчик, который тем не менее отсутствует на «доске почета» толедских переводчиков. Считается, что он выучил арабский язык на Сицилии, где столетием раньше власть перешла от арабов к норманнам, однако сохранился дух исламской науки. В 1126 году Аделард перевел с арабского языка на латынь астрономические таблицы ал-Хорезми, а в 1142 году — «Начала» Евклида. Приблизительно в 1155 году он перевел «Альмагест» Птолемея с греческого на латынь. О жизни Аделарда известно очень немного, за исключением того, что он много путешествовал по Франции, Италии и Турции.

Возможно, самым блестящим переводчиком был Герард Кремонский (1114–1187), которому приписывается выполнение более чем 85 переводов. Первоначально он пришел в Толедо, чтобы изучить арабский язык, — Герард хотел прочитать «Альмагест» Птолемея, перевода которого на латынь в то время не существовало. Герард так и остался в Толедо до конца жизни, переводя работы по математике, естественным наукам и медицине. Помимо прочего, он перевел переработанную арабскую версию «Начал» Евклида, выполненную астрономом, математиком и врачом Сабитом ибн Коррой (836–901), усовершенствовав более раннюю работу Аделарда. Первый перевод «Книги о восполнении и противопоставлении» ал-Хорезми был сделан в 1145 году Робертом из Честера. Именно в это время в европейский словарь вошли многие слова, ставшие ныне привычными, часто в результате недопонимания или неправильной транслитерации. Такие слова, как «алгоритм» и «алгебра», были искажением имени ал-Хорезми и слова «ал-джабр» из названия его труда «Ал-китаб ал мухтасар фи хисаб ал-джабр ва-л-мукабала». В полном арабском названии термин «ал-джабр» означает «завершение» и относится к методу удаления отрицательных элементов из уравнения. В тот же период в обиход вошли и другие арабские слова, такие, как «надир», «зенит», «зеро» («ноль») и «цифра».

Вскоре после этого переводы вдохновили людей на поиски новых знаний. Ранние доктрины Церкви впитали в себя значительную дозу платоновской философии, тем не менее в 529 году, спустя девятьсот лет после основания платоновской Академии в Афинах, император Юстиниан закрыл ее из страха распространения языческих воззрений. Приблизительно в то же время логика Аристотеля была бережно сохранена в «тривиуме» Боэция. Учения Платона и Аристотеля были, хотя и по-разному, тесно переплетены с христианским богословием. В результате критическая переоценка греческой науки и философии считалась в некоторых регионах атакой на власть самой Церкви. Аристотель писал работы на самые разные научные темы, включая механику, оптику и биологию. К сожалению, несмотря на то, что он делал особый акцент на наблюдения, многие из его теорий противоречили реальному опыту. Платон же весьма немного писал на темы науки и часто весьма презрительно относился к ее практическим аспектам, однако именно он подчеркивал примат математики при описании Вселенной. Согласно Аристотелю, математика должна была быть подчинена физике. Ситуация еще более усложнялась наличием переводов арабских и греческих работ, которые противоречили друг другу. Выдающимися научными центрами в то время были Париж и Оксфорд, и мы уделим особое внимание движению, известному как Оксфордская школа. Эта школа прежде всего связана с научной деятельностью членов Мертонского колледжа при Оксфордском университете. В возникающем научном подходе математика играла центральную роль.

Начало этой новой философии рационального познания положил Роберт Гроссетест (ок. 1175–1253). Он получил образование в Мертонском колледже, с 1215 по 1221 год был канцлером Оксфордского университета, с 1224 по 1232 год — первым ректором оксфордского францисканского колледжа, а затем стал епископом Линкольна — епархии, к которой относится Оксфорд. Сама по себе математика в значительной степени теологически нейтральна, но сочетание математики и физики бросило серьезный вызов общепринятым космологическим доктринам того времени. Это отлично иллюстрирует средневековая оптика. Гроссетест демонстрирует некоторую симпатию к идеям неоплатонизма, вследствие важности, которую он приписывает свету как основе всей Вселенной. Он создал космологическую теорию, напоминающую нашу концепцию Большого взрыва, согласно которой Вселенная началась как вспышка света и, расширяясь, уплотнилась до материи. В основном Гроссетест был последователем таких арабских авторов, как, например, Ибн ал-Хайсам (965–1039, возможно, более известна латинизированная версия его имени — Альхазен), и отдавал предпочтение грекам — главным образом, конечно, Аристотелю. Он утверждал, что свет — это пульсация материи, распространяющаяся в воздухе по прямой линии подобно тому, как распространяется звук. И свет, и звук двигаются с постоянной скоростью, но ясно, что свет движется быстрее. Гроссетест экспериментировал с линзами и описал их использование для увеличения предметов. Арабы делали линзы в одиннадцатом веке, а в тринадцатом веке в северной Италии уже умели изготовлять очки, хотя и не очень хорошего качества. Гроссетест считал, что радуга создается облаком, работающим как линза, поскольку свет дважды преломляется, входя в облако и выходя из него, — в отличие от Аристотеля, который полагал, что радуга возникает за счет отражения света от капелек воды. Самый знаменитый ученик Гроссетеста — Роджер Бэкон (ок. 1214 — после 1294) — пошел еще дальше. Он изучал видимый центр радуги, ее диаметр и пространственные отношения с Солнцем и наблюдателем. Более того, Бэкон считал, что радуга создается за счет внутреннего преломления в каждой капельке воды, а не во всем облаке. В трудах Бэкона, который в свое время был известен как «удивительный доктор» (doctor mirabilis), рассматривается широкий спектр математических и естественно-научных вопросов. Его рассуждения о подводных лодках и самолетах можно сравнить со значительно более поздними трудами Леонардо да Винчи (1452–1519). В конце тринадцатого века немецкий монах Теодорих (Дитрих, Тьерри) Фрейбургский (ок. 1250 — ок. 1310) экспериментировал со сферическими стеклянными флягами, заполненными водой, и хрустальными шарами, пытаясь смоделировать капли воды. Его наблюдения привели к теории внутреннего преломления света и расщепления света на цветные лучи внутри капли воды или в стекле. Сейчас эта теория обычно приписывается Рене Декарту, но мы можем видеть, что за триста лет до Декарта ученые Средневековья достигли огромных успехов в оптике.

В некоторых регионах звезда Аристотеля начала гаснуть. Роджер Бэкон писал: «Если бы я имел власть, то сжег бы все работы Аристотеля». Он видел в них тормоз на пути прогресса из-за чрезмерной самоуверенности Аристотеля, предпочтения философских догм наблюдению и опыту. Его откровенные и решительные идеи привели его в тюрьму, что в ту эпоху нередко происходило и с другими интеллектуалами. Уильям Оккам (ок. 1285–1349) продолжал нападать на Аристотеля, утверждая, что богословие и натурфилософия должны быть отделены друг от друга, поскольку первая имеет дело со знанием, полученным в результате откровения, а вторая — на основании опыта. То, что теперь известно как «бритва Оккама», было уже заявлено Гроссетестом — это философия, согласно которой в науке нужно искать самое простое решение, соответствующее фактам. Богословие и схоластическая философия стремились объяснить физическую действительность посредством дедуктивной системы, основанной на чистых предположениях. Средневековые ученые искали индуктивный переход от экспериментальных данных к физической гипотезе, который, будучи выраженным на языке математики, позволил бы вывести следствия, поддающиеся проверке. Можно увидеть, что эти средневековые ученые предпринимали колоссальные усилия, чтобы создать реальную эмпирическую философию.

Уильям из Оккама умер преждевременно в 1349 году от чумы — Черной смерти, которая неистовствовала по всей Европе. Неясно, чума была виновата в угасании математики и естественных наук, или их погубило убеждение церковников, что эта напасть была наказанием за непокорство и свободный дух. Какой бы ни была причина случившегося, но средневековая наука была пресечена в корне, и потребовалось еще двести лет, прежде чем она снова смогла расцвести.

9. Перспектива в эпоху Возрождения

Очень много писалось об итальянском Ренессансе как о периоде, определившем направление европейского сознания. Пробуждение интереса к классическим наукам соединилось с желанием выйти за пределы простого подражания и изучить новые стили, новые идеи и новые направления исследования. Этот новый путь отлично иллюстрирует взаимодействие между искусством и геометрией, и, в частности, использование перспективы. Натурализм Ренессанса был заметен в искусстве еще до того, как исследование перспективы принесло свои плоды, но перспектива усилила реалистичность изображения, формально включив точку зрения зрителя в ткань живописи. Перспектива была также очень важна для архитекторов. Возрождение классического стиля в архитектуре в значительной степени основывалось на трактате римского архитектора и инженера Марка Витрувия Поллиона (ок. 80/70 до н. э. — после 15 н. э.) «Десять книг об архитектуре» и возобновившемся интересе к изучению оставшихся классических зданий. Одними из первых авторов, писавших о перспективе, были великий итальянский архитектор Филиппо Брунеллески (1377–1446) и итальянский же ученый Леон Баттиста Альберти (1404–1472), которые соединили практическую математику каменщиков и архитекторов с геометрическими построениями, однако считается, что первым трудом, посвященным вопросам перспективы и предназначенным для живописцев, был математический трактат «О перспективе в живописи» итальянского художника и теоретика Пьеро делла Франчески (ок. 1415–1492).

Пьеро делла Франческа был сыном торговца из Борго-Сан-Сеполькро, городка под Флоренцией, и, вероятно, чтобы занять место в семейном бизнесе, изучал математику в одной из многочисленных школ практической математики, которые возникали в Италии в то время. Он выказал большой талант и, возможно, стал бы математиком, специализирующимся на задачах из области торговли, но вместо этого решил пойти в обучение к местному художнику. Уникальная комбинация его навыков сделала Пьеро одним из немногих людей, упоминающихся одновременно в анналах как искусства, так и математики. Скорее всего, он провел некоторое, очень короткое время во Флоренции, и большинство его известных работ находили в небольших городках вроде Урбино. До нас дошли только три его трактата, причем не известны ни точные даты их написания, ни их оригинальные названия. Прежде чем мы обратимся к его работе о вопросах перспективы, стоит упомянуть одно новшество в геометрии. Считается, что Пьеро вновь открыл пять из архимедовых тел, которые называются так потому, что в четвертом веке нашей эры математик Папп Александрийский (ок. 290 — ок. 350) приписал их открытие Архимеду. В работе Иоганна Кеплера 1619 года приводятся тринадцать архимедовых тел — в это число входят и пять Платоновых тел. Пять архимедовых тел строятся путем усечения ребер Платоновых тел. До Пьеро эти фигуры описывались риторически — просто заявлялось об использовании необходимых многоугольников, — но Пьеро описывает их построение и изображает его. Не все фигуры изображались с правильной перспективой, однако это был огромный шаг вперед в то время, когда в работах по практической геометрии фигуры нередко иллюстрировались схематично, например, конус изображался как треугольник, стоящий поверх круга. Работа Пьеро была использована в трактате итальянского математика Луки Пачоли (1445–1517) «О божественной пропорции», изданном в Венеции в 1508 году. В трактат были включены иллюстрации друга Пачоли — Леонардо да Винчи — и рисунок шестого архимедова тела — ромбокубоктаэдра.

Рукопись дела Франчески «О перспективе в живописи» сохранилась до наших дней. Трактат был написан Пьеро как на латыни, так и на тосканском диалекте. Во введении сказано, что в нем объясняется только использование перспективы живописцами. Но Пьеро и его современники видели в правилах перспективы часть более общей науки — оптики. Речь идет не только о создании натуралистических картин — дело в том, что, для того чтобы картины выглядели естественно, они должны подчиняться правилам, объясняющим, как глаз видит мир. Таким образом, глаз наблюдателя — центр всей работы. Если на картине изображается сценка, увиденная в окно, существует только одна точка в пространстве, с которой зритель может видеть ее правильно. Глаза зрителя должны располагаться на той же высоте, что и горизонт картины, и фокусироваться на точке схода. Трансверсали, которые помогают в построении изображений объектов с учетом перспективы, сходятся в одной точке на горизонте. Обычно эта точка находится за рамками изображения, и расстояние между этой точкой и точкой схода — оптимальное расстояние от холста, с которого следует рассматривать картину. Трактат «О перспективе в живописи» написан на манер «Начал» Евклида, в виде теорем и их доказательств. Пьеро представляет множество конструкций, отображающих реальные «идеальные фигуры» на плоскость картины, таким образом, создавая «ухудшенные» фигуры, которые должны быть изображены на холсте, с линиями взгляда, сходящимися в глазу зрителя. Он использует квадратные плитки мощеного пола — pavimento, — чтобы показать, как плитки, более удаленные от зрителя, выглядят в перспективе с увеличением расстояния. Затем он рассматривает другие многоугольники, приводя как их надлежащую форму, так и их «ухудшенные», искаженные формы. Далее Пьеро рассматривает призмы, от куба до различных форм колонн, например шестиугольную призму, и показывает, как длинный ряд колонн выглядел бы с учетом перспективы. Он заканчивает рядом изображений человеческой головы с множества различных точек зрения.

Работа Пьеро позднее использовалась живописцами и архитекторами, а также художниками-декораторами в театрах. На картинах той эпохи уже использовался эффект перспективы. Мы видим, что он использовался и до Пьеро, на таких картинах, как «Благовещение» (ок. 1445–1447) Доменико Венециано (1410–1461) и «Битва при Сан Романо» (1456–1460) Паоло Уччелло (1397–1475). Мы видим его на картине Пьеро «Бичевание Христа» (1469), которую можно считать практическим воплощением его трактата, но на его же фреске «Благовещение» (1464) мы видим, что фигуры святых намного больше, чем они были бы в случае реалистической живописи, — художник сделал это, чтобы подчеркнуть важность святых. Микеланджело утверждал, что мало обращал внимания на математическую точность, потому что «циркуль — в глазах, не в руке, ибо руки работают, а глаз оценивает». Однако Сикстинская капелла расписана в строгом соответствии с перспективой; и в «Страшном суде» Микеланджело сделал фигуры в верхней части картины намного большими, чем фигуры внизу, заранее предположив: они будут рассматриваться с большего расстояния, — цель не очевидная, если смотреть на фреску как на изображение в книге. Хотя художники очень быстро изучили эту новую технику, они не жертвовали живописностью в угоду математической точности.

В шестнадцатом веке о Пьеро помнили уже скорее как о математике, чем как о художнике. В эпоху Ренессанса его трактат не издавался, но циркулировал в форме рукописи, а содержание работы часто цитировалось в публикациях других авторов. Однако многие его построения самых сложных фигур было трудно повторить, и содержащие их разделы — наиболее трудные для понимания — часто опускались. Однако возрастал интерес к измерительным инструментам, подобным тем, которыми пользуются землемеры, — они помогали художникам изображать предметы в перспективе. В трактате Альбрехта Дюрера «Руководство к измерению циркулем и линейкой» изображено множество таких инструментов. В большинстве из них натянутая веревка представляла собой линию взгляда, упирающуюся в рамку с подвижным перекрестьем нитей; изображение при этом наращивалось точка за точкой. Художник мог также рассматривать сцену через квадратную сетку, которая действовала наподобие системы координат. Такое устройство уже использовалось и ранее — как способ привести рисунок к определенному масштабу, перед тем как наносить краски.

Альбрехт Дюрер (1471–1528) был одним из восьми детей, рожденных в Нюрнберге в венгерской семье. По всей видимости, он должен был, как и его отец, заниматься торговлей украшениями. Однако к тринадцати Альбрехт проявил себя как очень хороший художник. Позднее он был направлен на учебу к нюрнберскому живописцу и граверу Михаэлю Вольгемуту (1434–1519), и Альбрехт освоил не только живопись, но и гравирование по дереву и меди. В начале 1490-х годов Дюрер предпринял путешествие по Германии, Швейцарии и Нидерландам и начал разрабатывать планы создания нового искусства, основанного на математике. После возвращения в Нюрнберг он принялся изучать работы Евклида, Витрувия, Пачоли и Альберти. Позднее Дюрер даже посетил Пачоли в Болонье и планировал сам написать крупный труд по вопросам математики и искусства. Ко времени создания его известной гравюры «Меланхолия» (1514) он был уже известным мастером. Дюрер получал очень хорошие заказы от курфюрста Саксонии Фридриха Мудрого и от императора Священной Римской империи Максимилиана I, владел процветающей печатной компанией. В 1523 году он уже закончил свой трактат «Четыре книги о пропорциях» (издан в 1528 году), но посчитал его математическую составляющую слишком сложной для читателей и потому приступил к редактированию и сокращению своего труда. В результате получилось более легко читаемое «Руководство к измерению циркулем и линейкой», которое Дюрер издал в 1525 году. Если не считать книг о применении арифметики в торговле, которые уже выходили к тому времени, это была первая книга по математике, напечатанная на немецком языке, что сделало Дюрера одним из крупнейших математиков эпохи Возрождения. Работа по большей части охватывала проблемы планиметрии и стереометрии, включая методы построения фигур. Один из ее разделов был посвящен перспективе. Значительная часть работы отдана изображению пространственных фигур в плане и в проекциях — это та ветвь математики, которая ныне носит название начертательной геометрии, — а также решению практических задач, стоявших перед архитекторами и инженерами.

Брак начертательной геометрии с коническими сечениями — рассечениями конуса, которые создают фигуры вроде круга, эллипса и параболы, — привел к рождению другой новой ветви математики — проективной геометрии. Математик и военный инженер Жерар Дезарг (1591–1661) из Лиона за свою жизнь опубликовал немного работ, однако он был в курсе математических событий, узнавая о них от физика и философа Марена Мерсенна, который вел обширную переписку с выдающимися учеными того времени — Галилеем, Декартом, Паскалем, Ферма и многими другими. В 1639 году Дезарг издал брошюру с забавным названием «Первоначальный набросок попытки разобраться в том, что получается при встрече конуса с плоскостью». Читать этот текст было очень тяжело, поэтому было напечатано только пятьдесят экземпляров, которые Дезарг раздал знакомым.

Основой начертательной геометрии был тот факт, что с точки зрения зрителя «идеальные» и «ухудшенные» фигуры кажутся одинаковыми. Распространение этого результата за пределы плоскости живописи означает, что исходное изображение может быть спроецировано на бесконечное число плоскостей и все еще казаться неподвижному наблюдателю неизменным. Дезарг изучал, какие свойства фигур оставались неизменными, или инвариантными, при таких проективных преобразованиях. Одним из его достижений было объединение конических сечений — он рассматривал их как проективные преобразования круга, движущегося по световому конусу. Наклонный круг действительно становился эллипсом.

Красота этого подхода заключается в том, что, сформулировав теорему для одного конического сечения, скажем для круга, можно было просто выполнить соответственную проекцию и перетолковать теорему. Однако достижением Дезарга было скорее развитие нового метода, чем создание новаторских теорем. В то же время алгебраическая геометрия Декарта оказалась таким мощным инструментом, что сам Декарт высказал предположение: не исключено, работа Дезарга станет несколько более ясной, если ее перевести на язык алгебры. Позднее Декарт признал, что, возможно, это была придирка к стилю, а не к содержанию. Однако математика того времени двигалась совсем в ином направлении, и работа Дезарга затерялась. И его проективная геометрия, и начертательная геометрия Дюрера возродились позднее, в начале девятнадцатого столетия, уже на надежной математической основе.

Когда великие и искусные художники созерцают свои столь нелепые творения, можно заслуженно высмеивать слепоту этих людей. Нет ничего столь ненавистного, как картины, написанные хотя и с большим усердием, но без наличия технических познаний. Ныне же единственная причина, почему подобные живописцы не знают о своей ошибке, заключается в том, что они не изучали геометрию, без которой никто не может быть совершенным художником, но вина за это должна быть возложена на их учителей, которые сами не осведомлены в этом искусстве.

Альбрехт Дюрер. Руководство к измерению с помощью циркуля и линейки в линиях, плоскостях и целых телах, составленное Альбрехтом Дюрером и напечатанное на пользу всем любящим знания с надлежащими рисунками в 1525 году. (Из Посвящения Пиркгеймеру)[8].

10. Математика для общего блага

Шестнадцатый век в Европе отмечен обещанием бесконечных возможностей. В предшествующие два столетия континент сотрясался различными бедствиями, как природными, так и созданными руками человека: в середине четырнадцатого столетия Черная смерть выкосила фактически половину населения, не обращая внимания на социальный статус и богатство, закончилась Столетняя война между Англией и Францией, вымотав население этих двух стран и физически, и морально. В 1453 году под ударами оттоманских турок пал Константинополь, что стало концом Византийской империи. Одновременно мы можем увидеть расцвет итальянского Ренессанса и гуманистических традиций, сочетание почтения к античности со вновь открытой верой в личную свободу и образование. Изобретение печати и гравюры означало, что новые идеи могли распространяться шире, чем было возможно до этого. Европа с интересом смотрела на остальной мир, увеличивалось количество заморских путешествий, открытий, завоеваний, расширялась торговля. Но навигация требовала точных карт морей и неба, торговля нуждалась в эффективной бухгалтерии — в то время все это было практически не развито. Алгебра, тригонометрия, начертательная геометрия, логарифмы и исчисление — все это либо появилось впервые, либо активно развивалось. Прежде чем повести рассказ об этих достижениях, стоит сказать о возрастающем в то время статусе математики.

Как мы уже видели ранее, математика была неотъемлемой частью обучения в монастырях, она входила в квадривиум, состоящий из арифметики, геометрии, гармонии и астрономии. Но рабское почтение к древним текстам и тесные границы требований к математике духовных властей ограничивало то, что можно было достичь в рамках этой схоластической традиции. Термин «mathematicus» использовался для того, чтобы обозначить или математика, или астролога (Кеплер жаловался, что получал гораздо больший доход от вычисления астрологических диаграмм, чем от своей работы астронома). Хотя в то время не было пока такого явления, как профессиональный математик, экономический рост в Европе создал потребность в большом количестве людей, обученных вычислениям, которые могли заниматься финансовыми и коммерческими расчетами. Эти должности занимали люди не из университетов, а из гильдий и ремесленных цехов. В эпоху Ренессанса сыновья торговцев получали образование, изучая элементарную математику в школах или цехах. Именно там стало очень популярным использование индо-арабских цифр.

Новые числа пришли в Европу в двенадцатом веке вместе с переводами на латынь из арабских текстов. В 1202 году увидела свет «Книга аббака» (Liber abbaci) Леонардо Пизанского (ок. 1170 — ок. 1250), известного также как Фибоначчи. Теперь эту книгу считают поворотной вехой в истории математики, но в то время она была намного менее популярной, чем достаточно простая книга «Алгоритм» математика и астронома Джона Холивуда (Халифакса) (ок. 1195 — ок. 1256), более известного как Сакробоско. Название Liber abbaci, к сожалению, скорее вводит в заблуждение. Термин abbacus, с двумя b, относится к методам вычисления, в которых используются новые цифры, и не имеет никакого отношения к вычислительному устройству, известному как «абака». Действительно, существовала конкуренция между сторонниками двух форм вычисления, и лучше использовать термин «алгоритмист» для того, кто использовал технику abbacus, и «мастер абаки» для обозначения человека, который все еще предпочитал абаку или счетную доску. Математика, опытного в использовании техники abbacus, называли maestro d’abbaco — «мастером аббака».

В «Книге аббака» Фибоначчи отвел значительное место коммерческой математике. В международной торговле коммерсантам приходилось иметь дело со множеством различных систем мер и весов, осуществлять сделки в различных валютах, и им нужны были эффективные методы вычислений, чтобы избежать серьезных ошибок. В 1494 году Лука Пачоли издал свой труд «Сумма арифметики, геометрии, учения о пропорциях и отношениях», ныне известный как первая работа о методах бухгалтерии, например о двойной бухгалтерии[9], но это также был свод полезных математических методов того периода, включая приемы из области арифметики, алгебры и геометрии. За шестнадцать лет до этого, в 1478 году, в Тревизо был анонимно напечатан самый ранний учебник по арифметике. В то время нотация была все еще неустойчивой, дроби по-прежнему записывались в шестидесятеричной нотации или в виде дробных единиц. В шестнадцатом веке стали популярны десятичные дроби, хотя шестидесятеричная запись сохранилась в астрономических вычислениях, а Джон Непер[10] сделал популярной десятичную точку.

Возникла тенденция писать учебники по математике на местном языке, а не на латыни, что делало их более доступными для обычных людей, хотя одновременно препятствовало их распространению вследствие языковых барьеров. Германский математик, выдающийся учитель арифметики Адам Ризе (1492–1559) повлиял на распространение индо-арабских цифр на территориях, где говорили на немецком языке. Уэльский врач и математик Роберт Рекорд (ок. 1510–1558) был, по-видимому, первым популяризатором математики. Он написал самые ранние учебники по математике на английском языке, и его работа «Основа искусств» (ок. 1540), посвященная арифметике, переиздавалась больше ста пятидесяти лет. Большинство книг Рекорда были написаны в форме диалога, в них входили схемы и примеры, помогавшие ему в педагогической деятельности, — в каком-то смысле он был первым ведущим первого в истории курса «дистанционного обучения». Наиболее известная его работа — книга «Точильный камень мудрости» (1557). Это учебник по элементарной алгебре, в котором мы находим первое использование = — знака равенства.

Как торговцы садятся на корабли, чтобы обрести огромные богатства, Так и я мог бы с полным правом на встать на их место. Корабли в море, те, что с парусами и драгоценной рудой, Были впервые созданы и с тех пор делаются благодаря познаниям в практической геометрии. Их компас, их карты, их блоки, их якоря Были созданы с помощью практических навыков мудрых геометров. Плотники, резчики по камню, столяры и каменщики, Живописцы, иллюстраторы рукописей, если уж они этим занимаются, Вышивальщицы, золотых дел мастера, если они хотят быть искусны в своих ремеслах, Должны применять геометрию при обучении мастерству. Хорошие и точные карты, а также межи между полями Можно сделать только с использованием геометрии. И она также нужна Портным и обувщикам, что бы они ни делали, Их работу не похвалят, если не соблюдены правильные пропорции. Ткачи используют геометрию при создании тканей, Их ткацкий станок — устройство, созданное удивительным воображением. Гончарный круг, который вращается, жернов, который вращается, Мельница, что мелет зерно, приводимая в действие ветром или водой, — Их работа стала возможной благодаря геометрическим расчетам. Немногие смогли бы сделать такие же устройства, если бы эти еще не были изобретены. И все, что требует для изготовления измерений веса или размеров, Не может быть надежно сделано без знания геометрии. Часы, измеряющие время, — это самое хитроумное устройство Из всех, что когда-либо выведал человек. Теперь, когда они стали обычными, их не ценят, на мастерство часовщика смотрят свысока, его работа не вознаграждается. Но поскольку они были созданы с помощью геометрии, то люди должны знать: Нет искусства более изумительного и мудрого, а также более нужного людям, чем добрая геометрия. Роберт Рекорд, из книги «Путь к знанию» (1551)[11]

В этом стихотворении мы можем обнаружить два противоположных взгляда на математику, сохранившиеся и в более позднее время: математика как прикладная наука и как исследование, осуществляемое органами чувств. Рекорд всегда оставался верен поиску истины, несмотря ни на какие авторитеты. Он считал математику благородным искусством, призванным искать и открывать подлинные знания. По-видимому, такое отношение к науке разделяли не все, потому что, хотя он занимал пост управляющего Королевского монетного двора и был к тому же Генеральным контролером шахт и денежного обращения в Ирландии, Рекорд провел последние дни своей жизни в тюрьме, скорее всего, в результате политического доноса.

У современника и коллеги Рекорда, Джона Ди (1527–1609), была похожая успешная карьера, закончившаяся не менее головокружительным падением. Они оба были консультантами в Московской компании, где занимались вопросами навигации и картографии. В 1577 году Ди опубликовал книгу «Искусство навигации». Но больше всего его занимали оккультные науки, на которые в Елизаветинскую эпоху был направлен основной научный интерес ввиду распространения неоплатонических традиций Ренессанса. Ди изучал каббалу и алхимию. Он занимал пост Королевского астролога при королеве Елизавете I, составлял гороскопы и давал советы относительно календарных реформ. Но, вследствие его репутации при дворе, он одновременно вызывал восторженное восхищение и страх, и, хотя он был советником Елизаветы с тех времен, когда она еще не была королевой, Ди понимал, что его враги не дремлют. Он часто чувствовал необходимость публичной защиты, старательно доказывая всем, что его исследования направлены на пользу государства. Действительно, по возвращении из путешествий по Европе ему обещали пенсию, но он так никогда и не получил ее и умер в бедности в 1608 году. В предисловии к «Началам» Евклида в переводе Генри Биллингсли, который позже стал лорд-мэром Лондона, Ди провозгласил неоценимое значение математики. Эта книга была первым академическим выпуском «Начал» на английском языке, и, вероятно, ее отредактировал сам Ди.

Джон Непер был не профессиональным математиком, а богатым помещиком, шотландским бароном (восьмым лэрдом Мерчистона), и большую часть жизни занимался управлением своим поместьем. Однако он находил время и для того, чтобы писать труды на самые разные темы, и даже был втянут в антипапские богословские дебаты. Хотя к тому времени уже активно использовались индо-арабские цифры, тем не менее вычисления выполнялись с помощью ручки и бумаги, и люди искали способы ускорить порой очень длинные процедуры вычислений. Неперу приписывают два изобретения, которые очень облегчили вычисления, — кости Непера и логарифмы. Кости Непера, также известные как палочки Непера, — это прутки, на которых были вырезаны таблицы умножения. Они могли быть разложены в виде решетки так, чтобы можно было быстро произвести любое громоздкое умножение. Палочки, по существу, превращали длинное умножение в простые сложения. Изобретение логарифмов также было навеяно жгучим желанием ускорить вычисления. Сам термин был придуман Непером и представляет собой слияние слов logos («слово, пропорция») и arithmos («число»). Многих математиков поражали взаимоотношения между арифметическими и геометрическими рядами и то, что вычисление произведения двух степеней может быть сокращено до вычисления суммы степеней. Открытие Непера заключалось в том, что оно могло относиться к любым степеням, и он составил таблицу логарифмов Непера, которая была опубликована в 1614 году в его книге «Описание удивительной таблицы логарифмов» (на латинском языке).

В исходном рассуждении он не использует основание системы счисления: вместо этого он делит числовую ось до 107, получая части, которые дают вполне удовлетворительный результат для большинства вычислений. Затем он определил отношение: N = 107 (0,9 999 999) L, где L — логарифм N. При этом логарифм 107 = 0, логарифм 9 999 999 = 1. Промежуточные значения варьируются от 0 до 1. В его таблицах описаны скорее логарифмы тригонометрических функций, чем натуральных чисел, что отражает раздражавшие его проблемы с утомительными вычислениями, необходимыми в астрономии и навигации. Одним из больших поклонников Непера был Генри Бриггс, первый савильянский профессор геометрии в Оксфорде (иначе говоря, первый профессор Савильянской кафедры геометрии, учрежденной в Оксфордском университете в 1619 году). Они оба пришли к выводу, что можно построить более практичную таблицу, задав соответствие log 1 = 0 и log 10 = 1. Но в 1617 году Непер умер, и именно Бриггсу выпало составить первую таблицу логарифмов с основанием 10, которая служит основой для той таблицы, что мы знаем теперь. Эта таблица была составлена для чисел от 1 до 1000; в 1624 году Бриггс расширил ее до 100 000. Оба набора логарифмов были вычислены до 14 десятичных знаков. Преимущество наличия фиксированного основания заключалось в том, что удаление из вычислений множителя 107 продемонстрировало фундаментальное правило логарифмов — логарифм произведения двух чисел равен сумме отдельных логарифмов. Сегодняшние калькуляторы сделали ненужными таблицы логарифмов, тригонометрических функций и обратных чисел, равно как и логарифмические линейки, но в то время таблицы Бриггса считались замечательным бытовым прибором, существенно ускоряющим и облегчающим вычисления. Штурманы на кораблях, которые должны были постоянно высчитывать синусы и косинусы, увидели, что привычная для них задача умножения двух семизначных чисел сократилась до обращения к логарифмам, выполнения одного сложения, а затем повторного обращения к таблице, где обратный логарифм даст необходимый ответ. Прежде, когда вычисление могло занять целый час, полученный ответ на целый час отличался от положения корабля в настоящий момент. Теперь вычисления сократились всего до нескольких минут.

Фрэнсис Бэкон (1561–1626) не был ни математиком, ни ученым и все же, как и Платон, имел огромное влияние на философию науки. Во времена господства королевы Елизаветы он был членом палаты общин и одним из советников королевы, хотя без соответствующих полномочий. Его карьера резко пошла в гору после вступления на престол короля Якова I. Он последовательно занимал ряд весьма влиятельных постов. Самым значительным его карьерным достижением было получение в 1618 году поста лорд-канцлера. Во времена, когда покровительство и раздача постов своим людям были совершенно обычным явлением, кажется странным, что в 1621 году Бэкона привлекли к ответственности за взяточничество. Несмотря на это, Яков I продолжал платить ему пенсию, и отставка, похоже, больше ударила по гордости Бэкона, чем по его карману. Его публикации инициировали процесс, благодаря которому натурфилософия стала важной темой как для правительства, так и для Короны. Его труды «О достоинстве и приумножении наук» (1605) и «Великое восстановление наук. Новый Органон» (1620) были посвящены Якову I и служили призывом к королю стать покровителем науки. Труды Бэкона повлияли на более поздних ученых вроде Ньютона и Галлея, которым приписывается честь быть английским краеугольным камнем научной революции, духовной основой создания Королевского общества. Его положение также означало, что наука получила мощного защитника с политическим и финансовым влиянием. Знание было силой, и наука стала цениться как двигатель к дальнейшему процветанию, ко Всеобщему Благу, представление о котором Бэкон ввел в своем труде «Новый органон». Взгляды Бэкона на математику были чрезмерно прагматичными — он считал математику языком науки и инструментом, находящимся в ее распоряжении. Но он также обладал достаточной скромностью и предвидением, предсказав, что математика — не статичная дисциплина и наверняка будут возникать новые ветви этой науки. Использование математики торговцами, навигаторами и учеными считалось зримой помощью для создания большего богатства нации. Развитие математики больше не было заботой всего лишь нескольких ученых, это был набат, который услышали практически все.

Если начинать знакомить дитя с числами с той           минуты, когда оно лишь пробует лепетать, это, возможно, не обогатит государство, отдельного           человека или ребенка, но послужит пополнению копилки мудрости всего           человечества. Числа есть повсюду — от важнейших деяний           до мелких дел, Так что тот, у кого нет навыков счета, может быть           уподоблен животному: Ведь что может быть более скотоподобным,           чем нежелание людей Изучать искусство, которое должно помочь им           намного превзойти всех остальных тварей. Неумение считать отбрасывает человека к его           изначальному состоянию. Умение считать — это (почти) все, что отделяет           человека от животного, Каждому мужчине необходимо научиться считать.           Нужно постичь это искусство, Если ты решил стать военным или тебя ждут           при дворе, На службе или в деревне, где ты обитаешь, или           если ты решил посвятить дни своей жизни физике, философии либо           изучению законов, будь уверен, что без этого искусства ты никогда           не сможешь добиться успеха. Я не сказал еще об астрономии, а также о геометрии,           космографии, географии и многом другом, О музыке с ее приятными мелодиями, то есть           обо всем, что, не изучив искусство счета, Ты никогда не сможешь постичь ни полностью,           ни даже частично. Не зная чисел, ты не сможешь также быть аудитором           или сделать правильные наблюдения, Произвести правильные подсчеты. Если ты хочешь быть торговцем, не расставайся           с этой книгой, И ты найдешь в ней необходимые тебе правила,           любые, какие только пожелаешь. Если ты всего лишь ремесленник, даже тогда ты           найдешь здесь такие вещи, Которые сослужат тебе добрую службу и обогатят           твой разум. Даже если ты пастух, тебе будет довольно трудно Выполнять свои обязанности без помощи чисел. Чтобы перечислить все выгоды, которые числа           приносят человеку, здесь пришлось бы потратить очень много места,           намного больше, чем я могу сделать. Вот почему я говорю только одно и отбрасываю все           остальное: без этого искусства человек — не человек,           а каменный валун. Томас Хиллес. Искусство обыкновенной арифметики (1592)[12]

11. Бракосочетание алгебры и геометрии

Начиная со времен древней Греции математика была раздроблена на две основных ветви — геометрию и арифметику. Первая оперировала размерами, вторая — числами. Но между ними никогда не существовало полного разрыва — мы видели, как в разных культурах одна ветвь порой развивалась быстрее и активнее, чем другая, в зависимости от конкретных нужд и обстоятельств. Развитие алгебры и ее взаимоотношений с геометрией можно проиллюстрировать с помощью истории решения кубического уравнения, которое сегодня записывается так: ах3 + bx2 + сх + d = 0.

Слово «аль-джабр» («восстановление») взято из заглавия алгебраического трактата ал-Хорезми «Ал-китаб ал мухтасар фи хисаб ал-джабр ва-л-мукабала» («Книга о восполнении и противопоставлении») (см. Главу 7), именно от него происходит название дисциплины «алгебра».

В книге ал-Хорезми отсутствуют формулы — он объяснял решения уравнений риторическим способом. Степеням неизвестных значений он давал названия, такие, как «shay» («вещь») для х, «mal» («богатство») для х2 и «ka'b» («куб») для х3. Названия степеней никто не утвердил навечно, и в своей «Книге аббака», написанной в 1202 году (см. Главу 10), Фибоначчи для обозначения степеней использовал как заимствования из арабского языка, так и некоторые собственные изобретения. Мы ведь, например, называем радикал квадратным корнем, а х3 — кубом. «Книга аббака» — очень важная работа, познакомившая Европу с индо-арабскими цифрами: в ней были описаны девять индийских цифр и «zephirum», или ноль.

В тексте ал-Хорезми, написанном в первой половине IX века, решения квадратных уравнений делятся на шесть типов, ограничивая положительными значениями и числовые коэффициенты, и заключительные решения (см. Главу 7). Последние объясняются геометрическими иллюстрациями, которые, по сути, то же самое, что и вавилонское дополнение квадрата (см. Главу 1). В одиннадцатом веке Гиясаддин Абу-ль-Фатх Омар ибн Ибрахим ал-Хайям Нишапури, более известный как Омар Хайям, открыл метод геометрического решения кубических уравнений: ответы находились на точках пересечения двух конических сечений, — например, решение уравнения х3 + ах = с может быть найдено путем пересечения круга и параболы. Но и в этом случае коэффициенты и решения — только положительные числа. Хайям не нашел общего алгебраического решения кубического уравнения, однако он использовал достаточно сложный метод — применил греческую геометрию в решении алгебраических уравнений. По его словам, «алгебра — это доказанная геометрия». Он надеялся, что простое общее алгебраическое решение кубического уравнения будет найдено его потомками-математиками. К сожалению, «Алгебра» ал-Хайяма была одной из немногих арабских книг, не переведенных на латынь.

Общий алгебраический способ решения кубического уравнения — то есть конечная последовательность алгебраических шагов, ведущих к получению окончательного решения, — был действительно найден, но только в эпоху итальянского Ренессанса, почти 400 лет спустя. Но приблизительные решения были известны и ранее. Например, в 1225 году Фибоначчи издал трактат о решении кубического уравнения, в котором описывал приблизительное решение конкретного случая, но, к сожалению, без описания метода. Рассматривая историю решения кубического уравнения, мы погружаемся в конкурентную борьбу эпохи итальянского Ренессанса. Новые результаты редко издавались, поскольку «придерживание» открытий поднимало репутацию математика в глазах покровителей. Научное общение приняло вид соревнований — математики бросали друг другу вызов, обмениваясь списками вопросов, а победа на таких соревнованиях еще больше укрепляла репутацию ученого и возносила его над другими.

Решение кубического и, конечно, квадратного уравнений впервые было опубликовано Джироламо Кардано (1501–1576) в книге «Великое искусство» (1545). Однако эти решения не были открытием самого Кардано. Впервые решить уравнения удалось Сципиону дель Ферро (1465–1526), профессору математики из Болоньи. Он никогда не публиковал их и завещал своему студенту, Антонио Марии Фиоре. Тот посчитал, что при помощи такого наследства сможет обрести известность и благополучие, и вызвал других математиков на соревнование по решению задач. Однако Фиоре был, похоже, довольно посредственным ученым, полагавшимся лишь на одно тайное оружие. Над решением кубических уравнений работал также математик Никколо Фонтана (1499–1557), более известный как Тарталья, что означает «заика». Прозвище было дано ему из-за дефекта речи, приобретенного в детстве, когда во время нападения на город Брешию его ударили мечом по нижней части лица. В 1535 году Фиоре и Тарталья встретились на соревновании, и вечером 12 февраля Тарталья заявил, что также решил кубическое уравнение. Он выиграл соревнование, решив все задачи Фиоре, в то время как Фиоре не смог решить ни одной задачи Тартальи.

В те времена кубическое уравнение не выделяли особо — все уравнения делились на типы, согласно приравниваемым элементам, что больше походило на квадратные уравнения ал-Хорезми. Именно поэтому Тарталья решил не один тип, представленный Фиоре, но и множество других кубических уравнений. Новости о победе Тартальи достигли ушей Кардано, который в конечном счете убедил Тарталью обнародовать свою тайну в обмен на рекомендательное письмо предполагаемому покровителю. Однако на встрече в Милане в 1539 году Тарталья взял с Кардано клятву никогда не публиковать решение, которое тот получил в форме зашифрованного стиха. Позднее Кардано обнаружил, что зять дель Ферро обладал оригиналом этого стиха, и получил позволение прочитать его. Он и его помощник Лодовико Феррари (1522–1565) также значительно продвинулись в поиске общего решения кубических и квадратных уравнений. Кардано отдавал должное работе Тартальи, но, узнав о том, что первым уравнение решил дель Ферро, больше не был связан обязательством хранить секрет. Тарталья был рассержен предательством и решил отомстить Феррари в собственной книге, где по-своему изложил всю историю поиска решения в виде длинного ожесточенного диалога. Он заявил, что Феррари отнял у него приоритет открытия, в то время как самого Феррари нельзя считать серьезным математиком. В 1548 году Тарталье удалось оставить свою непритязательную должность учителя математики в Венеции и получить пост лектора в Брешии. Он решил, что, бросив вызов Феррари, сможет еще больше прославиться и отомстить, но сильно недооценил помощника Кардано, так что ему пришлось бежать, не дожидаясь, пока судьи на соревновании вынесут свое решение. Для Тартальи все это имело весьма неприятные последствия — власти Брешии отказались платить ему заработную плату. Он возвратился в Венецию, где и продолжил преподавание математики.

В отличие от Тартальи, бедняка, постоянно искавшего покровителей, Кардано удалось достичь известности и сколотить небольшое состояние. Кардано был настоящим сыном своего времени — математиком, врачом, астрологом, игроком и еретиком. В течение почти пятнадцати лет его отказывались принимать в медицинский колледж, якобы из-за того, что он был незаконнорожденным, но, скорее всего, из-за его репутации откровенного и неуживчивого человека. Он был настолько азартен в игре, что почти разорился, однако ему удалось наладить процветающую частную медицинскую практику, а в 1543–1552 годах Кардано читал лекции по медицине в Милане и Павии. Затем его вызвали в Шотландию лечить архиепископа Сент-Эндрюсского. По возвращении он получил звание профессора медицины в университете Павии благодаря известию о выздоровлении архиепископа. Однако его карьерным успехам помешали серьезные семейные проблемы. Он не смог спасти своего любимого старшего сына от казни по обвинению в отравлении жадной и скупой жены. Ее семья потребовала от Кардано совершенно грабительской компенсации. В результате ему пришлось покинуть Павию и стать профессором в Болонье. Затем его младший сын обокрал дом отца, чтобы заплатить долг за проигрыш. На сей раз рассерженный Кардано сообщил о сыне властям, и тот был выслан. У Кардано в Болонье почти не было друзей, а в 1570 году ученый был арестован за ересь — он составил гороскоп Иисуса Христа и восхвалял императора Нерона. Удивительно, но впоследствии ученый обосновался в Риме, и папа согласился выплачивать ему пенсию. Тяга Кардано к игре подрывала семейный бюджет, но она же, скорее всего, дала ему богатый материал для написания книги по теории вероятности. Его автобиография — откровенное повествование об удивительной жизни на пороге математической революции.

Успешный штурм кубического уравнения, предпринятый Кардано, был, по существу, геометрическим «дополнением до полного куба», аналогичный методу дополнения до полного квадрата. Однако описание метода было выдержано все еще в стиле ал-Хорезми, с длинными риторическими объяснениями и уверенностью, что кубические уравнения следует разбить на несколько групп, поскольку отрицательные коэффициенты все еще не считались допустимыми. Преобразовывая более сложные кубические уравнения в более простые разрешимые типы, Кардано смог вырваться на шаг вперед по сравнению с дель Ферро и Тартальей. Кардано также заметил, что иногда промежуточные шаги в решении требовали вычисления квадратного корня из отрицательного числа. Сталкиваясь с этими сложными числами, он выказал определенную интеллектуальную брезгливость. Считая подобные ответы бессмысленными, он все же не отвергал их полностью. В одном случае он зашел достаточно далеко и понял: при умножении того, что мы теперь называем комплексным числом, получается реальное число. Он описал условия, при которых кубическое уравнение имеет комплексные решения, но не стал исследовать эти новые типы числа. В 1572 году Рафаэль Бомбелли (ок. 1526–1572) издал трактат «Алгебра», в котором расширил область чисел, дополнив их квадратными и кубическими корнями, а также комплексными числами. Он также сделал решающий шаг в алгебраическом решении геометрических задач и наоборот, но, к сожалению это не было замечено современниками, поскольку значительная часть его работы была опущена и издана только в двадцатом веке.

В Европе развитие алгебры шло бок о бок с использованием новых индо-арабских цифр. В 1494 году монах Лука Пачоли издал свой труд «Сумма арифметики, геометрии, учения о пропорциях и отношениях», который считают первой книгой по алгебре. Трактат Пачоли все еще представляет собой смесь риторических и алгебраических объяснений (это называют синкопированием). Неизвестное в уравнении часто называлось на латыни «cosa» («вещь»), а затем — в онемеченном варианте — «coss». После появления книги «Die Coss», написанной знаменитым «счетным мастером» Адамом Ризе (1492–1559), в Германии в XVI веке стало быстро развиваться так называемое «коссическое искусство». В то время впервые появились многие символы, которые мы сегодня считаем алгебраическими. Знаки «+» и «-» пришли в математику из Германии, знак «=» — из Англии. В целом переход от риторической алгебры через различные виды синкоп к стандартизированной и однозначной символической алгебре занял несколько сотен лет. Серьезной проблемой была, например, роль степеней выше третьей. Поскольку алгебраические методы полагались на геометрические доказательства, а измерений свыше третьего не существовало, казалось неразумным приписывать какое-либо значение четвертой или более высоким степеням. Важность этой проблемы подчеркивали сами термины, которые использовали для обозначения таких степеней. Четвертая степень числа обычно упоминается как «квадрат квадрата». В середине XVI века Роберт Рекорд чувствовал необходимость чем-нибудь подкрепить свое стремление к использованию более высоких степеней. Он объяснял, что площадь квадрата, стороны которого также квадраты некоего числа, — это число, возведенное в четвертую степень, и, следовательно, называется «квадратом квадрата».

Отход от чисто геометрического подхода начался с публикации «Геометрии» Рене Декарта (1596–1650). Эта важная работа была всего лишь приложением к основополагающему труду Декарта «Рассуждение о методе» (1637) (полное название «Рассуждение о методе, позволяющем направлять свой разум и отыскивать истину в науках») и нередко выбрасывалась из последующих переизданий. Декарт писал «Рассуждение…», чтобы изложить философию науки, которая позволит получить знания о Вселенной вещества и движения. А правильное описание Вселенной на языке математики требовало, чтобы сам этот язык «базировался на надежном фундаменте». Несмотря на то что приложение называлось «Геометрия», по существу, оно знаменовало брачный союз алгебры и геометрии, появление дисциплины, которая теперь называется аналитической геометрией. В сущности, она доказывает эквивалентность геометрических построений и алгебраических преобразований. Кривые в ней описываются уравнениями. Декарт также перестал оценивать степени как числа, а не как геометрические объекты: х2 больше не обозначало площадь — оно стало числом, возведенным во вторую степень, его геометрическим эквивалентом была парабола, а не квадрат.

Итак, желая решить какую-нибудь задачу, следует сперва ее рассматривать как уже решенную и дать названия всем линиям, которые представляются необходимыми для ее построения, притом неизвестным так же, как и известным. Затем, не проводя никакого различия между этими известными и неизвестными линиями, нужно обозреть трудность, следуя тому порядку, который показывает наиболее естественным образом, как они взаимно зависят друг от друга, до тех пор, пока не будет найдено средство выразить одну и ту же величину двояким образом: это то, что называется уравнением, ибо члены, полученные одним из этих двух способов, равны членам, полученным другим.

Декарт. Геометрия (1637)[13]

Это освобождало алгебру от обязательств перед однородностью размерности — ограничения, согласно которому все члены уравнения должны были иметь одинаковую размерность. Мы находим, например, выражения вроде ххх + аах = bbb: каждый элемент здесь — куб. Действительно, Декарт с удовольствием рассуждал о кривых любой степени, то есть об xn. И это новшество имело огромное значение. Сейчас мы больше не считаем в математике х2 фактическим квадратом. Алгебра Декарта кажется нашим современникам знакомой — он использовал начальные буквы алфавита для обозначения коэффициентов, а последние буквы алфавита для обозначения переменных. Единственный символ, который кажется нам странным, — это ∞, знак бесконечности: Декарт использовал его в качестве знака равенства.

Задача с кубами по-прежнему могла быть решена с помощью пересечения конических сечений, по методу ал-Хайями, однако теперь любому было по силам построить кубическое уравнение. Декарт изо всех сил старался связывать алгебраические манипуляции с геометрическими преобразованиями, и в итоге формула Кардано выполняла не «дополнение куба», но преобразования кубической кривой. Более того, Декарт освободил геометрию от использования построений с помощью циркуля и линейки. В «Геометрии» Декарта вы не найдете многое из того, что теперь известно как алгебраическая геометрия, например координатные оси, формулы для вычисления расстояний между точками или углов между прямыми. Важно понимать, что Декарт подарил математикам будущего новый язык постановки математических проблем и установил определенный паритет между алгебраическими и геометрическими методами.

Когда куб и «нечто» вместе равны некоторому числу, найдите два других числа, отличающиеся от него. Затем вам надо взять за правило, что его произведение всегда будет точно равно кубу одной трети этого «нечто». Тогда остаток в большинстве случаев, будучи вычтенным из кубических корней, будет равным вашему исходному «нечто». Во втором из этих действий, когда куб остается одиноким, вы будете наблюдать другие согласования: вы сразу разделите число на две части так, чтобы вторая произвела точно куб трети «нечто». Тогда у этих двух частей, по обыкновенному правилу, Вы возьмете кубические корни и сложите их вместе. Эта сумма и будет вашей целью. Третье из этих вычислений Рассчитывается с помощью второго, если вы                   все сделали аккуратно, поскольку по своей природе они почти согласуются. Эти «нечто» я нашел, шагая энергичной походкой, в году одна тысяча пять сотен четыре и тридцать с прочным и надежным обоснованием в городе, опоясанном морем. Решение кубического уравнения, переданное Никколо Тартальей Джероламо Кардано в 1539 году

12. Вселенная как часовой механизм

В шестнадцатом веке основным источником информации об орбитах планет оставался «Альмагест» Птолемея (см. Главу 2). Громоздкая структура Птолемеевой системы эпициклов и деферентов просуществовала в различных формах почти две тысячи лет — вероятно, потому, что и тригонометрические таблицы, и собранные в процессе наблюдения данные не были достаточно точными, чтобы продемонстрировать глубокие недочеты этой системы. Стеклянные сферы Аристотеля находились в постоянном и равномерном круговом движении — «мотором» был Аристотелев перводвигатель. Теперь же на место перводвигателя заступили ангельские силы — небесные тела стали приводиться в движение небесными духами. Для Птолемея математика была средством описать явление, а не объяснить его, и он успешно объединил философские требования Аристотеля и данные, полученные в результате наблюдения. Революция представлений о Вселенной в буквальном смысле поменяла местами небо и землю. Ключевым аспектом была роль математики — может ли точная математическая модель что-то рассказать нам о физической действительности?

Одна из самых очевидных проблем с Птолемеевой системой заключалась в том, что пока планета перемещается вокруг эпицикла, ее расстояние от Земли значительно изменяется, и, таким образом, ее видимый размер на небе также должен меняться. Это изменение наиболее очевидно в случае Луны, и, скорее всего, именно оно побудило Николая Коперника (1473–1543) выдвинуть предположение о гелиоцентрическом (с Солнцем в центре) устройстве Вселенной. Коперник получил образование в престижном Краковском университете, он также учился в Италии, а затем занял пост каноника во Фрауенбурге (Фромборке) — маленьком городке на побережье Балтийского моря. В действительности система Коперника практически не отличалась от Птолемеевой, поскольку он тоже строил орбиты как круги с эпициклами. Однако размещение Солнца в центре Вселенной изначально упростило число необходимых циклов, хотя, когда Коперник уточнил свою модель, в ней получилось даже больше эпициклов, чем у Птолемея. Система Коперника также правильно предсказывала расположение орбит планет в порядке их удаления от Солнца и позволяла оценить относительные расстояния каждой планеты от этого светила. Видимое ретроградное движение планет теперь частично объяснялось в терминах их движения относительно перемещающейся Земли, а не в терминах движения по эпициклам относительно неподвижной Земли. Великая работа Коперника «Об обращении небесных сфер» была издана только в 1543 году, в год его смерти, и отчасти вопреки его желанию.

Коперник дал свое имя революции, в которой он, похоже, играл не самую главную роль. Идеи, которые будут сформулированы в сочинении «Об обращении небесных сфер», Коперник сначала изложил в конспекте своей теории, названном «Малым комментарием о гипотезах, относящихся к небесным движениям». Эта рукопись рукописи была создана в начале 1510-х годов и распространялась среди друзей, переходила из рук в руки. Похоже, Коперник стремился не перестроить систему Птолемея, а уточнить ее, сделать лучше, «более греческой»! Каламбур заключался в том, что в модели Птолемея планеты перемещались с переменной скоростью по эпициклам, тогда как Коперник был привержен идее аристотелевского равномерного движения по идеальным окружностям с постоянной скоростью. Именно эти требования заставили его выдвинуть предположения, из-за которых нам, живущим пятьсот лет спустя, его взгляды кажутся очень современными. Согласно этим предположениям, Солнце помещается в центре Вселенной, а Земля вращается вокруг Солнца, равно как и вокруг своей собственной оси. Этот гелиоцентрический макет был, однако, не менее громоздким, чем система Птолемея, — в нем было 34 эпицикла (у Птолемея их было 40), и это для семи небесных тел плюс сфера неподвижных звезд! «Малый комментарий» был всего-навсего схемой, которую Коперник обещал детально описать позднее. Но с годами его желание издать этот труд уменьшалось, несмотря на поддержку церковных властей и самого Ватикана.

В 1514 году Коперник был приглашен участвовать в Пятом Латеранском Соборе по преобразованию календаря, но отказался приехать на том основании, что календарь не может быть преобразован должным образом до тех пор, пока не будут точно определены движения планет. В конечном счете он не был уверен в своей системе, потому что не нашел реального доказательства того, что она хоть немного лучше или точнее Птолемеевой. Коперник полагался на астрономические таблицы древних и, похоже, мало занимался самостоятельными наблюдениями. Лишь благодаря энтузиазму и усилиям его лучшего и любимейшего ученика Ретикуса труд «Об обращении небесных сфер» был издан в Нюрнберге, который к тому времени стал лютеранским городом. Однако незадолго до выхода книги Ретикус переехал из университета Виттенберга в Лейпциг, и печать труда была поручена Андреасу Осиандеру, одному из последователей Лютера. Именно тогда в книгу было вставлено известное предисловие — скорее всего, это сделал сам Осиандер. Предисловие предупреждало читателя: не важно, правдива ли система Коперника, — сравнение между различными системами полезно, чтобы решить, какую из систем легче использовать в вычислениях. Фактические движения небесных тел якобы должны оцениваться с помощью иных, философских и теологических критериев. Справедливости ради следует сказать, что подобные сомнения были и у самого Коперника, но предисловие, скорее всего, вставили, чтобы успокоить Мартина Лютера, резко возражавшего против коперниканского представления о Вселенной, а не для защиты от Ватикана, который, казалось, поддерживал предположения Коперника. Не стоит забывать, что работу астронома не помещали в ватиканский список еретических трудов до тех пор, пока не утвердилась Контрреформация, то есть приблизительно на протяжении 80 лет после ее публикации.

В «Малом комментарии» Коперник замахнулся на утверждения, которые почти не смог подтвердить в «Об обращении…». В заключительной версии системы у Коперника было даже больше эпициклов, чем у Птолемея, и планеты теперь вращались не вокруг Солнца, а вокруг точек, удаленных от Солнца (он в некотором смысле предвосхитил открытие истинной природы орбит — планета следует по эллиптической орбите, а Солнце находится в одном из фокусов эллипса, а не в его центре). В книге было одно полезное утверждение — видимое ретроградное движение планет есть следствие движения планет и Земли по отношению друг к другу. Труд оказался полностью провальным. В то время движение по земле и астрономическое движение считались двумя совершенно различными явлениями. Решающее открытие Коперника — в том, что Земля действительно движется, а его трагедия в том, что он не смог понять, как именно. Имя Коперника оставалось на слуху благодаря публикации в 1551 году его астрономических таблиц. Труд «Об обращении небесных сфер» бесследно исчез.

«Моя цель — показать, что небесная машина не некое божественное живое существо, а скорее часовой механизм (а тот, кто верит, что у часов есть душа, приписывает славу творца творению), поскольку почти все из ее многочисленных движений вызываются простейшей материальной силой, так же, как все движения часов вызываются весом гири».

Иоганн Кеплер. Письмо к Герварту фон Гогенбургу, 10 февраля 1605 года[14]

Наш сдержанный каноник невольно запустил процесс медленного тления, позднее отозвавшийся взрывами. Иоганн Кеплер (1571–1630), горячий последователь Коперника, был оскорблен анонимным предисловием, создавшим у излишне доверчивого читателя впечатление, будто оно написано самим Коперником. Кеплер все-таки осмелился восстать против тирании греческой астрономии. Детство у него было безрадостное, здоровье слабое, но тем не менее он обладал блестящим интеллектом, и недавно созданное протестантское государство помогло ему получить образование. Он хотел стать священником, но декан теологического факультета в Университете Тюбингена явно был проницательнее своего студента и, как только представилась возможность, назначил его преподавателем математики в Граце. В научном мировоззрении Кеплер придерживался промежуточной позиции. С годами его представление об астрологии менялось: он не сомневался, что планеты оказывали какое-то духовное влияние, но не понимал, каким образом. Его работы — удивительная демонстрация того, как успешно могут развиваться идеи ученого, при том что все тупики теории в ней же — в теории — и остаются!

В 1595 году Кеплера впервые посетило видение космической гармонии — в тот момент, когда он вел занятие в аудитории. На доске ученый начертил фигуру, которая состояла из равностороннего треугольника со вписанным в него кругом, и другим кругом, описанным вокруг него. Внезапно его осенило, что соотношение этих двух кругов такое же, что и известное тогда соотношение орбит Сатурна и Юпитера. Эта вспышка вдохновения привела Кеплера к его знаменитой модели Солнечной системы, в которой расстояния между орбитами шести известных в то время планет можно получить, вписывая в определенном порядке пять Платоновых тел в орбиту Сатурна. Со времен Евклида было известно, что существует только пять идеальных тел, и тут имеются шесть известных планет (включая Землю и исключая Солнце и Луну). Вокруг каждого правильного тела можно описать сферу, которая касалась бы всех вершин этого тела, а внутрь тела можно также вписать сферу, которая касалась бы центра каждой грани. Если бы Кеплер мог определить истинный порядок тел, он мог бы упаковать их одно в другое как матрешки, и сферы соответствовали бы орбитам планет. Кеплер был опьянен этой идеей и тем, как математическая точность соединилась с космической гармонией. В 1596 году, когда ученому было двадцать пять лет, он изложил новую идею в своей первой книжке «Тайна мира». Во вступлении Кеплер впервые поддержал идею гелиоцентрической системы и таким образом заложил основу посмертной славы Коперника. Хотя Кеплер последовал доброму совету и не стал посвящать целую главу примирению коперниканства со Священным Писанием, в своей работе он заявил, что гелиоцентрическая Вселенная абсолютно и физически верна. Он верил не в то, что правильные Платоновы тела между планетами в каком-то смысле существовали на самом деле, а в то, что лежавшая в основе этой модели структура была знаком, подаваемым самим Великим Архитектором. После долгих метафизических рассуждений на темы вроде пифагорейской гармонии сфер «Тайна мира» внезапно меняет тональность и становится похожей на книгу по современной математической физике. Кеплер описывает все выполненные им вычисления и умозаключения. Например, Сатурн вдвое дальше от Солнца, чем Юпитер, но ему требуется в два с половиной раза больше времени, чтобы совершить один оборот вокруг Солнца. Таким образом, Сатурн не только дальше, но и движется медленнее. Кеплер ищет физическое решение, отвергая предположение, что по мере удаления от Солнца ангелы больше устают вращать планеты. Мы находим здесь первые предположения о своего рода гравитационной силе, исходящей от Солнца и уменьшающейся с расстоянием. Источником этой силы был сам Бог — в виде Бога Отца, эманирующего Святой Дух по всей Вселенной. Создатель, который ранее был «переселен» в зазвездное царство — царство, располагающееся за сферой неподвижных звезд, — теперь снова находился в самом сердце Солнечной системы. В финале «Тайны мира» Кеплер возвращается к астрологическим проблемам — он делает набросок гороскопа, определив днем творения воскресенье, 27 апреля 4977 года до нашей эры. Эта книга была настоящим шедевром. Правда, шедевром с большим изъяном: теория вписанных Платоновых тел оказалась ложной, а кеплеровская версия закона тяготения не работала. Кеплер хорошо понимал это, но, чувствуя, что он близок к истине, начал эксперименты.

Ученый нуждался в точных таблицах, полученных в результате астрономических наблюдений, а они были только у одного человека — великого датского астронома, астролога и алхимика Тихо Браге (1546–1601). Получив книгу Кеплера, Тихо признал гений молодого человека, и три года спустя Иоганн уже работал в Праге помощником Тихо. Трудно представить себе более непохожих друг на друга людей. Тихо, с золотым протезом, заменяющим потерянную на дуэли часть носа, был очень яркой личностью. Он стремился узнать точное строение небес. Кеплер был поглощен мистической физикой. У Тихо были лучшая обсерватория в мире и данные, в которых нуждался Кеплер. А еще у него была собственная теория движения планет, и он не только отказывался издать ее, но даже не рассказывал о ней почти никому из своих коллег и помощников. Тихо был преисполнен благоговейного страха перед затмением, произошедшим во времена его юности, но еще больше его очаровывал тот факт, что это затмение было предсказано. В 1600 году Кеплер и Браге наконец встретились. Кеплеру поручили разобраться с данными, касавшимися Марса и его самой сложной орбитой. Отношения между двумя учеными всегда были напряженными, но Тихо, экспериментатор до мозга костей, знал, что ему придется завещать работу всей своей жизни Кеплеру, чтобы тот смог спроектировать новую модель Вселенной. Они были нужны друг другу. Спустя всего восемнадцать месяцев после их встречи Тихо умер, и Кеплер стал новым придворным астрономом и астрологом императора Рудольфа II.

Данные, полученные Браге в результате наблюдений, теперь принадлежали Кеплеру, но превращение чисел в орбиты заняло довольно много времени. В 1609 году Кеплер издал свой великий труд — книгу «Новая астрономия». Как и предыдущая его работа, это сочинение скорее дневник, чем учебник. Здесь отражался каждый прихотливый поворот его творческой мысли — читатель словно бы слышит каждый возглас радости и каждый крик отчаяния ученого, вступившего в жестокое сражение с орбитой Марса. Трудность последней заключается в том, что она самая короткая и, следовательно, сильнее прочих отклоняется от круга. Однако она должна была дать ключ к определению всех остальных орбит. Кеплер не мог накладывать эпицикл на эпицикл, как его предшественники. Его задача состояла не в том, чтобы «зафиксировать явление», а в том, чтобы найти законы движения планет и выразить их языком геометрии. Достижение Кеплера в «Новой астрономии» заключалось в следующем утверждении: каждая планета обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Это первый закон Кеплера. Он впервые употребил в этом смысле латинское слово «фокус» (то есть «огонь»). Хитроумные пируэты планет из древней астрономии были заменены изящными эллипсами. В этой же книге Кеплер представил второй закон, названный его именем: линия, соединяющая планету с Солнцем, описывает равные площади за равные промежутки времени. Он невероятно близко подобрался к теории притяжения, совершенно верно связав приливы и отливы с притяжением Луны и признав, что та же сила гравитации не дает земным морям утечь в космос. Но он не сформулировал закон, что сила тяготения обратно пропорциональна квадрату расстояния, хотя знал, что такому закону подчиняется интенсивность света. Это сделает уже Ньютон. Кеплер понимал, как движутся планеты, но его волновали силы, стоящие за этим движением. Он так и не узнал, почему орбиты имеют форму эллипсов, зато из астрономии теперь убрали невидимых ангелов и неподвижный перводвигатель. Теперь это была Вселенная геометрии и приложенных сил.

В 1618 году Кеплер вернулся к делу всей своей жизни, опубликовав «Гармонию мира» — сплав математики, физики и мистики, пик пифагорейской мечты. В этой работе мы находим третий закон Кеплера о движении планет: квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит. В совокупности трех его законов была спрятана теория всемирного тяготения, но Кеплер не сумел четко сформулировать ее. Труд «Коперниканская астрономия» в трех томах, выходивших с 1618 по 1621 год, дал полное описание кеплеровской астрономии, орбит Марса и всех известных планет и стал самым важным астрономическим трактатом после «Альмагеста» Птолемея. Но Кеплер, по крайней мере, на поколение опередил своих современников, продолжавших верить в доктрины Птолемея. Даже в «Диалоге о двух главнейших системах мира — птолемеевой и коперниковой» (1632) Галилео Галилея все еще упоминались циклы и эпициклы.

Несмотря на то что Кеплер и Галилей были современниками, скорее всего, они никогда не встречались. В 1597 году Кеплер послал Галилею экземпляр своей «Тайны мира». В то время Галилей еще не был уверен в необходимости публично поддерживать идеи Коперника. В целом его отношение к Кеплеру было в лучшем случае недобрым: он делал вид, что коллега ему симпатичен, а сам отказывался послать Иоганну новый телескоп и даже экземпляры собственных работ, предпочитая расположение потенциальных покровителей дружбе с немецким ученым. В 1609 году Галилей начал свои известные наблюдения при помощи недавно изобретенного телескопа; один экземпляр новинки он представил венецианскому сенату. В ответ сенат удвоил его жалованье и сделал его пожизненным профессором. В течение года Галилей увеличил мощность телескопа и опубликовал свою работу «Звездный вестник». Наблюдения Галилея показали, что Луна не была идеально гладкой сферой — планету покрывали горы. У Венеры, как и у Луны, были повторяющиеся фазы, а Юпитер располагал собственной системой спутников. Галилей даже считал, что Сатурн был тройной планетой, потому что в его довольно грубом телескопе кольца Сатурна казались двумя выпуклостями на диске планеты. Галилей стал придворным математиком Медичи. В Риме его приняли в «Академию деи Линчеи», первое научное общество в мире. Он стал очень широко известен, потому что писал свои книги не на латыни, а на родном итальянском языке.

Церковь была обеспокоена тем, что система Коперника противоречила толкованиям из Священного Писания, но иезуиты были готовы принять гелиоцентрическую систему, если отыщется неопровержимое доказательство. Не в первый раз религиозная доктрина менялась под напором научных фактов, так было, например, когда церковь признала сферичность Земли. Иезуиты проверили все наблюдения Галилея и поддерживали работу Кеплера. О разыгравшейся впоследствии трагедии было написано очень много книг, так что я обозначу ее достаточно кратко. Церковь признала, что система Кеплера «описывала явление» более точно, чем система Птолемея, но не видела достаточно веской причины, чтобы поверить в физическую реальность системы движения планет. Чтобы опрокинуть многовековое мировоззрение и начать переубеждать мирян, приучая их к новому миропредставлению, необходимо было найти больше доказательств. Новшества критиковали многочисленные богословы, обладавшие серьезной властью и стоявшие на аристотелевских позициях. Галилео неблагоразумно и жестоко насмехался над ними. Галилей стремился к богатству и всеобщему признанию, но, лишившись поддержки при дворе, потерял многих друзей в академических кругах. В 1616 году Галилея обязали никогда более не излагать систему Коперника, а в 1632 году ученый нарушил запрет, издав свой труд «Диалог о двух главнейших системах мира — птолемеевой и коперниковой». Эта работа фактически была манифестом системы Коперника и содержала очень тонко завуалированную критику ряда самых влиятельных богословов того времени. Терпение Ватикана лопнуло, и Галилео был немедленно вызван в Рим. В следующем году он отрекся от своих взглядов и был посажен под домашний арест. Ученый продолжал жить достаточно комфортно, к нему допускались многочисленные посетители, однако Галилео не мог ничего публиковать и заниматься преподаванием. В его записях того времени говорится, что он совершенно сломлен. Галилей недооценил и свое влияние, и изменение в настроениях общества. Пришло время инквизиции, и преследование за ересь было очень жестоким. Кеплер несколько лет потратил на то, чтобы защитить свою мать от обвинения в колдовстве, а когда началась Тридцатилетняя война, ему пришлось покинуть Прагу и уехать в Австрию. Коперник и Кеплер работали в условиях относительной свободы и могли писать то, что им хотелось, не бросая вызов религиозной власти. Когда орден иезуитов встал во главе инквизиции, Римская коллегия инквизиции попыталась ограничить научную свободу. Власти папы и Ватикана была придана метафизическая легитимность — ведь и сама Вселенная строится иерархически! Этой власти угрожала не только Реформация, но и новая физика, посему подавление системы Коперника не было следствием невежества — оно диктовалось иезуитским пониманием целесообразности. Это подтверждается тем, что вскоре после суда над Галилеем иезуиты принялись изучать систему Коперника: им очень хотелось научиться делать астрономические прогнозы, чтобы производить впечатление на народы отдаленных стран, вроде Китая и Японии.

Философия написана в величественной книге (я имею в виду Вселенную), которая постоянно открыта нашему взору, но понять ее может лишь тот, кто сначала научится постигать ее язык и толковать знаки, которыми она написана. Написана же она на языке математики, и знаки ее — треугольники, круги и другие геометрические фигуры, без которых человек не смог бы понять в ней ни единого слова; без них он был бы обречен блуждать в потемках по лабиринту.

Галилео Галилей. Пробирных дел мастер (1623)[15]

В последние годы жизни Галилей все-таки сумел написать труд «Беседы и математические доказательства двух новых наук» (1638), который контрабандой был вывезен из Италии и напечатан в Лейдене. В нем ученый возвращается к механике, предмету, который волновал его больше всего, и анализирует ускорение. Анализ колебания маятника, который он создал еще в юности, показал, что время, затраченное на каждое колебание, не зависит ни от амплитуды, ни от веса груза — на него влияет только длина маятника. Время колебания обратно пропорционально квадратному корню длины маятника. Эксперименты Галилея с телами, скатывающимися по различным плоскостям и находящимися в свободном падении, привели его к двум важным открытиям: во-первых, скорость тела пропорциональна времени, в течение которого оно двигается, а во-вторых, пройденное расстояние пропорционально квадрату времени движения. Также считалось, что более тяжелое тело упадет быстрее, чем легкое, но Галилей показал ложность этого утверждения, заявив, что эти тела упадут с одной и той же скоростью, если не учитывать сопротивление воздуха. В реальной жизни пушечное ядро падает быстрее, чем перо, но не из-за разницы в весе, а вследствие разного сопротивления воздуха — маленький шарик одного веса с перышком упал бы так же быстро, как и пушечное ядро. Галилей различал две силы, действующие на предмет, и это привело его к анализу движения снаряда в полете. Разделив горизонтальную и вертикальную компоненты силы, он обнаружил, что снаряд движется по параболе. Это подтолкнуло его к дальнейшим работам по баллистике.

Закончим говорить об авторитете Священного Писания. Ныне скажем о том, что касается мнения святых относительно природы. Я говорю только одно: в богословии важна значимость авторитета, но в философии весом только авторитет разума. Святой Лактанций отрицал округлость Земли; святой Августин допустил округлость, но отрицал существование антиподов. Священная канцелярия наших дней свята, она допускает ограниченность размеров Земли, но отрицает ее движение. Но для меня священнее всех их будет Истина, когда я, при всем уважении к отцам церкви, демонстрирую с помощью философии, что Земля круглая, что на обратной ее стороне живут антиподы, а сама Земля — маленький межзвездный скиталец.

Иоганн Кеплер. Новая астрономия. Вступление (1609)

Исаак Ньютон родился в год смерти Галилея. Ему выпало свести все разрозненные элементы в единую теорию. Чтобы понять, какой беспорядок царил в то время в науке, следует представить, что в то время еще существовало две отдельные науки — земная и астрономическая механика. По мнению Кеплера, планеты перемещались по эллиптическим орбитам, их двигала таинственная магнитная сила, исходящая от Солнца, при этом инерция планет замедляла их движение относительно скорости вращения самого Солнца. По мнению Галилея, планеты перемещались по кругам, потому что такое движение идеально и присуще их природе, а инерция поддерживала движение планет. Все еще сильнее запуталось, когда Декарт, уточняя модель Кеплера, объявил, что инерция заставляет тела двигаться по прямой линии, а пути планет изогнуты вихрями, бушующими в Солнечной системе. Новаторская работа Галилея в области ускорения и земной механики, казалось, не могла иметь никакого отношения к механике небесной. Согласования в определениях ключевых физических понятий — таких, как масса и вес, инерция и импульс, сила и энергия, магнетизм и гравитация, не существовало.

В 1687 году после долгих уговоров и при финансовой поддержке со стороны Эдмунда Галлея (1656–1742) Ньютон издал свой труд «Математические начала натуральной философии», более известный под сокращенным названием «Начала». Он стал широко известен только в 1720-е годы, после двух последующих переизданий. В этой главе я коснусь лишь механики, об исчислении же поговорим позже. В «Началах» приводятся три закона движения, выведенные Ньютоном. Согласно традиционно принятому порядку (хотя появились они в иной последовательности), первый закон гласит: «Всякое тело продолжает удерживаться в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменить это состояние». Это согласуется с представлениями Декарта и учитывает как статическое, так и динамическое равновесие сил. Второй закон звучит так: «Изменение количества движения пропорционально приложенной силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует». Теперь он записывается следующим образом: F = та. А третий закон говорит о том, что «действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе взаимодействия двух тел друг на друга между собой равны и направлены в противоположные стороны». Затем Ньютон рассуждает о различных типах силовых полей и законе тяготения. Его мастерский ход заключался в том, что он уравнял в правах силы Кеплера и силы Галилея. В третьей книге «Начал», носящей название «О системе мира», изложены ключевые моменты его теории, приравнивающей силу, которая действует на падающее тело, и силу, которая действует на движущиеся по орбитам планеты. Итак, две механики внезапно стали единой наукой — земная и небесная разновидности, оказывается, подчиняются одним и тем же законам. Невидимым клеем, соединившим их, оказалась тогда еще загадочная сила гравитации.

Ньютон прославился изобретением (или со-изобретением, если можно так сказать) дифференциального и интегрального исчислений, но доказательства в «Началах» все еще геометрические, хотя чертежи часто отображают бесконечно малые изменения силы и перемещения, показывая, что получающееся движение должно считаться гладким. Но в космологии Ньютона все еще оставались нерешенные проблемы. Например, он не смог объяснить, что все планеты вращаются в одном и том же направлении, и не знал, почему они движутся именно по тем орбитам, на которых их наблюдают. Что касается силы гравитации, Ньютона беспокоила столь мощная сила, действующая на огромном расстоянии без посредства какой-либо передающей среды. Он не считал возможным действие на расстоянии в космическом вакууме. Скорее, ученый полагал, что есть некая среда (эфир), через которую передается сила, хотя вопрос, была ли она материальна, оставался нерешенным. Образ ангелов, двигающих планеты, заменили на универсальный дух. Кроме того, если бы тяготение было столь всепроникающим, то все объекты стремились бы притянуться друг к другу и Вселенная погибла бы. Ньютон обратился к Богу, назвав его защитником Вселенной от этой силы Судного дня. Теорию тяготения можно было бы легко отвергнуть, если бы математическая модель тяготения не соответствовала наблюдаемым фактам, но все было как раз наоборот: физическая реальность полностью совпадала с научным анализом этой самой реальности. Вихри Декарта были в конечном счете отвергнуты, потому что тяготение работало лучше. Математика действительно отлично «отражала явление». Новая механика шла в ногу с очередной ветвью математики — дифференциальным и интегральным исчислениями. Сейчас мы узнаем историю их изобретения.

Я, Галилео Галилей, сын покойного Винченцо Галилея из Флоренции, 70 лет, самолично поставленный перед судом, преклонив колена перед их эминенциями, досточтимыми кардиналами генерал-инквизиторами против еретической злобы во всем христианском мире, имея пред глазами Святое Евангелие, коего касаюсь собственными руками, клянусь, что всегда веровал, ныне верую и с помощью Божьею впредь веровать буду во все, что Святая Католическая и Апостольская Римская церковь за истинное приемлет, что проповедует и чему учит. Но так как я — после того, как мне от сего судилища сообщено было повеление, чтобы совсем оставил ложное мнение, будто Солнце есть центр мира и недвижно, Земля же не центр и движется, и чтобы не смел держаться того ложного мнения, не защищал его, не преподавал каким-либо способом или писанием и после того, как мне указано было, что учение это противно Священному Писанию, — написал и напечатал книгу, в которой излагаю это осужденное уже учение и привожу с настойчивостью аргументы в его пользу, не давая опровержения оных, то посему подвергся суду, как сильно заподозренный в ереси, а именно, что держусь мнения и верю, будто Солнце центр мира и недвижно, Земля же движется. Желая изъять из умов ваших эминенций и всякого христианина католика сие сильное возникшее против меня подозрение, я с чистым сердцем и верою неложною отрекаюсь от упомянутых заблуждений и ересей, проклинаю их и отвращаюсь от них и вообще от всяких заблуждений и сект, противных сказанной Святой Церкви. Клянусь, что в будущем ни устно, ни письменно не выскажу чего-либо, способного возбудить против меня подобное подозрение. И если узнаю какого-либо еретика или внушающего подозрение в ереси, не премину донести о нем сему священному судилищу или инквизитору или ординарию того места, где буду находиться. Клянусь, кроме того, и обещаю все эпитимии, наложенные на меня, или кои будут наложены, с точностью исполнять и соблюдать. А если, сохрани Боже, совершу что-либо противное сим моим обещаниям, протестациям и клятвам, то подлежу всем наказаниям и казням, кои Священными Канонами и другими общими и частными постановлениями установлены и обнародованы против такого, рода нарушителей. Да поможет мне Бог и Святое Его Евангелие, коего касаюсь руками.

В удостоверение того, что я, Галилео Галилей, как выше приведено, отрекся, поклялся, обещал и обязал себя, я собственноручно подписал сей акт и от слова до слова прочел его в Риме в монастыре Минервы сего 22-го июня 1633 года.

Публичное отречение Галилея от гелиоцентрической теории[16]

13. Математика в движении

Мы уже упоминали, что Ньютон и Кеплер моделировали орбиты планет исключительно геометрически. Однако в космическом пространстве не существует реальных эллипсов, они — лишь невидимые пути, по которым движутся планеты. Поэтому, чтобы больше не строить орбиты геометрически, по точкам, было бы очень полезно найти математический инструмент для описания движения планет. Те, кто пытался перейти от последовательности прямолинейных движений к действительно плавному пути, снова столкнулись с проблемой бесконечности и бесконечно малых величин.

Прежде чем обратиться к изобретению дифференциального и интегрального исчислений, стоит вспомнить более ранние попытки решить общие задачи с площадями и тангенсами. Это «до-дифференциальное и до-интегральное счисление» можно найти уже у Архимеда, разработавшего два метода определения площадей, ограниченных кривыми линиями. Их нередко называли геометрическим и механическим методами. Одна из самых известных задач, доставшихся нам от древних, — вычисление площади круга, так называемой квадратуры круга. В коротком трактате «Об измерении круга» Архимед приводит доказательства двух важных результатов. Во-первых, площадь круга равна площади прямоугольного треугольника, основание которого равно окружности круга, а высота — радиусу круга, что эквивалентно нашей формуле πr2, но без необходимости вводить собственно число π. Второй важный результат — доказательство, что числовое значение π находится между 3 1/7 и 3 10/71. В обоих случаях использовался геометрический метод: строились описанные и вписанные в круг многоугольники; затем, последовательным удвоением числа сторон каждого многоугольника они постепенно приближались к окружности. Помимо всего прочего, эти два многоугольника постепенно сближаются, в некотором смысле получается бутерброд из многоугольников с окружностью, прослоенной между ними, так что, если процесс продолжить до бесконечности (то, что математики называют «в пределе»), площади многоугольников постепенно сближаются с площадью круга. Чтобы найти значение π, Архимед начал с описанного и вписанного шестиугольников и закончил процесс, когда достиг 96-стороннего многоугольника, хотя мог бы продолжать до тех пор, пока бы не достиг любого задуманного уровня точности. Архимед использовал метод последовательных элиминаций, за который мы должны благодарить Евдокса (см. Главу 4), но старался не заявлять, что многоугольники постепенно становятся кругом, приходя к результату посредством длинной логической аргументации. Это умалчивание понятно, поскольку, с точки зрения греков, многоугольник и круг были совершенно разными фигурами.

Механический метод Архимеда иллюстрируется в работе, носящей название «Послание к Эратосфену о методе». Она считалась утерянной, но в 1906 году была обнаружена в Константинополе. Этот труд был палимпсестом, пергаментом десятого века; он содержал различные работы Архимеда, а затем его использовали в качестве молитвенника, но тексты древнего грека соскребли не окончательно, так что их еще можно было разобрать. (В 1998 году «Послание к Эратосфену о методе» было продано с аукциона за два миллиона долларов.) Метод, который обсуждает Архимед, — по существу, разборка площади на линии, преобразование этих линий, а затем восстановление их в виде другой площади. Точное преобразование было выполнено путем использования Архимедова правила рычага. В некотором смысле ученый уравновесил известную площадь с неизвестной. Положение точки опоры определяет относительные размеры площадей — отсюда термин «механический метод». Архимед утверждал, что это очень полезный эвристический инструмент для получения новых результатов, однако он понимал, что его метод ненадежен, и, когда встал вопрос о получении безупречного результата, вернулся к геометрическому методу. Главная проблема в том, что приходится принять: площадь фигуры может быть составлена из неделимых линий, поскольку линия — это длина без ширины, одномерный объект, и, когда мы мысленно соединяем линии, сумма одномерных объектов остается одномерной и не может дать двумерную площадь. Несмотря на это, Архимед сумел правильно вычислить множество площадей и объемов, включая площадь сегмента параболы, а также центры тяжести объемных тел вроде конуса.

К началу XVII века вырос интерес к построению различных кривых и вычислению их длин, ограничиваемых ими площадей и объемов фигур, получаемых в результате их вращения. Стимулом послужило решение различных задач механики — как статики, так и динамики. Определение центра тяжести предмета математическими методами было очень важным для решения вопроса о его устойчивости и, естественно, представляло большой интерес в таких областях, как архитектура и судостроение. Используемые методы в принципе можно было разбить на две Архимедовы категории, но все сильнее чувствовалось, что, несмотря на логическую форму задачи, методы, в той или иной форме использующие неделимые или бесконечно малые величины, легче приводили к более правильным результатам, чем геометрические методы.

Математика больше не могла избегать понятий бесконечности и бесконечно малых величин — Сциллы и Харибды греческой математики. Кеплер использовал инфинитезимальный метод при вычислении площади сектора эллиптической орбиты, по которому планета проходит за определенное время. Вот еще более впечатляющий пример. В книге под названием «Новая стереометрия винных бочек» (1615) Кеплер рассчитал объем винной бочки, используя бесконечно большое число бесконечно малых дощечек. Галилей верил в реальное существование бесконечности, приводя в пример круг, который он считал многоугольником с бесконечным числом сторон. В то же самое время итальянский математик Бонавентура Франческо Кавальери (1598–1647), ученик Галилея, а с 1629 года — профессор математики в Болонье, издал свой труд, здоровенный том почти в семьсот страниц, посвященный методам вычисления площадей и объемов. В этой работе, именуемой «Геометрия, развитая новым способом при помощи неделимых непрерывного» (1635), обсуждались различные методы вычисления неделимых бесконечно малых величин, причем площади плоских фигур считались составленными из неделимых линий, а объемные фигуры предполагались состоящими из неделимых плоских объектов. Самым главным его результатом стала формула площади фигуры, ограниченной кривыми: у = хn при любом целочисленном n.

Теперь давайте хотя бы бегло рассмотрим, как развивались события, предшествовавшие рождению дифференциального и интегрального исчислений, — например, каким образом определялись тангенсы кривых. Пьер де Ферма (1601–1665) добился некоторых важных результатов, однако не стал публиковать их. Вместо этого он активно делился своими открытиями в переписке со многими математиками того времени. Эту корреспондентскую сеть организовал Маренн Мерсенн (1588–1648). Ферма разработал методы, позволяющие найти тангенс в любой точке полинома, а также методы определения максимума и минимума этой кривой. Он также вновь открыл правила Кавальери для вычисления площадей фигур, ограниченных кривыми вида у = хn, расширив их множество таким образом, что теперь n могло быть как положительным, так и отрицательным. Единственным случаем, выходящим за рамки общего правила, был случай n = -1 — эта кривая, как известно, представляет собой логарифмическую функцию. Методы Ферма очень близки тем к современному дифференциальному исчислению, за исключением того, что у Ферма не использовалось понятие предельного перехода. Ни в одном из трудов ученого, посвященных анализу бесконечно малых величин, не упоминается, что задачи построения тангенсов и вычисления площадей, по существу, обратны по отношению друг к другу. При этом он не расширил диапазон используемых функций.

Изобилие до-дифференциальных и до-интегральных методов вскоре сформировалось в новую ветвь математики. Как это часто бывает в истории, революционные методы уже витали в воздухе и только и ждали человека, способного уловить их и придать им зримую форму. В данном случае честь изобретения метода отдается сразу двум ученым — Исааку Ньютону и Готфриду Лейбницу. Как в случае любого совместного изобретения, всегда есть некоторое сомнение в том, кто из них все-таки оказался первым, так что споры об этом шли по всей Европе.

Исаак Ньютон родился на Рождество 1642 года — в год смерти Галилея. В 1661 году он поступил в Тринити-колледж в Кембридже, а в 1664-м — получил диплом о высшем образовании. В течение последующих двух лет колледж был закрыт из-за чумы, и Ньютон возвратился домой в Линкольншир. Позднее он писал, что именно тогда совершил известные прорывы в науке — открыл уравнение с бесконечным рядом членов, закон всемирного тяготения, а также дифференциальное и интегральное исчисления. Это могло бы показаться чрезмерным упрощением, но в 1669 году он написал работу «Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов», в которой он рассматривал бесконечный полином так же, как конечный, и позднее распространил бином Ньютона на любую рациональную степень. «Анализ…» также содержал первое описание дифференциального и интегрального исчислений, основанных на методе, похожем на метод Ферма, однако в нем использовались большие степени вследствие работы с бесконечными рядами. Именно в этом труде вычисление площади фигуры, ограниченной кривой, впервые было представлено как задача, обратная нахождению тангенса. В 1671 году Ньютон написал другой труд о том, что он назвал флюентами и флюксиями — переменными, или текущими, величинами (флюент — от лат. fluo, «теку»), и скоростями их изменения. В этой работе он изображал величины х и у как функции времени, а х´ и у´ — как скорости их изменения. Величины, насколько изменяются сами х и у — собственно производные, — были обозначены х´ и у´. Ньютон пришел к этой идее, рассматривая линию как местоположение точки, перемещающейся в пространстве. Время служит в этой системе невидимым хронометром и не появляется в качестве отдельной переменной t. К сожалению, Ньютон держал все рассуждения при себе, показывая коллегам лишь некоторые из своих работ. «Анализ…» не издавалась вплоть до 1711 года, а описание метода вычисления производных появилось на английском языке лишь в 1736 году. Впервые ученый кратко опубликовал свои выводы — в виде нескольких, крайне трудных для понимания пассажей — в «Началах», изданных в 1687 году. В самих «Началах» дифференциальное и интегральное исчисления практически не фигурируют. Ньютон описывал все свои построения в области математической физики, пользуясь терминами геометрии. Его упорный отказ издавать свои работы можно объяснить отвращением к публичным спорам и дрязгам, которые могли за ними последовать. Он уже конфликтовал с Робертом Гуком по вопросам оптики (Ньютон дождался смерти коллеги и лишь затем опубликовал свою «Оптику»). Даже «Начала» никогда не появились бы на свет, если бы не настоятельные требования и финансовая поддержка Эдмунда Галлея. Ньютон хотел лишь одного — чтобы его оставили в покое и не мешали работать. В итоге это привело к самому решительному сражению в его жизни.