Помоги проекту - поделись книгой:
Том шестой
ДИАЛЕКТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МАТЕМАТИКИ
ПРЕДИСЛОВИЕ
Выход в свет сочинения А. Ф. Лосева «Диалектические основы математики» представляет собою настолько необычное явление в нашей научно–философской литературе, что будет совершенно нелишним сделать ряд замечаний об этом авторе и об этом сочинении — в особенности со стороны лица, ближе других стоявшего и к тому и к другому.
Лосев — это одно из наиболее одиозных имен советской литературы и философии. Около 1930 г. в литературе была предпринята целая специальная кампания для расшифрования и разоблачения политической физиономии этого философа, имевшего к тому времени большое количество разнообразных философских сочинений и исследований. Эта кампания дала самые отрицательные результаты: Лосев оказался «небезызвестным вождем истинно русского идеализма»[1]. А. М. Горький даже покачал головой: «Профессор не успел умереть…»[2]
Тем не менее политическое разоблачение совсем не хотело касаться научно–философской стороны сочинений Лосева; и она так и осталась без раскрытия. Это видно из того, что Лосев квалифицировался и как платоник, и как гегелианец, и как шеллингианец, и как гуссерлианец, и [как] бергсонианец, и как мистик, [и] как схоластик, и даже как эклектик.
Вместе с тем не нужно преувеличивать легкости этого анализа. Лосев — это одна из самых сложных фигур не только у нас, но и на Западе. В нем всегда уживалось столько разных тенденций, идей и методов, что написанное им только в ничтожной степени отражает его подлинную философскую жизнь. Можно сказать, что это ничтожные аккорды огромной философской симфонии, да и сам Лосев ощущает себя так, что он по–настоящему и не начинал писать философски. Вместе с тем это один из завершительных, резюмирующих умов. Такие философы всегда появлялись в конце великих эпох для того, чтобы привести в систему вековую работу мысли и создать инвентарь умирающей культуры, чтобы передать его новой культуре, только еще строящейся. Отсюда давнишняя любовь Лосева к античному неоплатонизму, к Николаю Кузанскому и к немецкому идеализму, та любовь, которую его враги всегда объясняли его мистицизмом, но которая по существу была наполовину любовь к системе, к инвентарю, к архитектонике, к подведению итогов. Стоит просмотреть хотя бы только оглавления его основных сочинений: тут везде на первом плане широчайшая система при невероятном развитии отдельных деталей. Даже в своей историко–философской работе Лосев часто только подводит итоги. Свою совершенно своеобразную концепцию античного платонизма, производящую на многих какое–то дикое впечатление, он сам выводит не больше как почти только результат и сводку вековой работы над платонизмом вообще.
Все эти наклонности философа делают его работу громоздкой, тяжелой, невыносимо грузной, увесистой — и это при самом дотошном конструировании мельчайших деталей. Нужно быть очень большим любителем философии, чтобы вникать в эти нескончаемые гирлянды мыслей, в этот, как выражается сам Лосев, балет категорий, во все эти тончайшие извивы логических тенденций духа. У этого «патентованного мракобеса» всегда была самая напряженная логическая мысль; и никто у нас так не обнажал мыслительный остов философии, никто так не был влюблен в чистую мысль, как он. И в течение многих лет у него не было иной радости, как бесконечно нагромождать одну категорию за другой, разлагая на них все самое сложное, самое глубокое, самое невыразимое.
Две тенденции характерны для философии Лосева еще с молодых лет—это иррационализм и диалектика. Можно как угодно противопоставлять эти сферы, можно негодовать и восставать против самой возможности (не говоря уже о нужности) этого противопоставления. Но делать нечего, факт остается фактом. Будущий историк советской философии с удивлением отметит: у самого алогичного, у самого иррационального, у самого, если угодно, мистического философа 20—30–х годов была самая сухая, самая отвлеченная, самая логическая философия, был какой–то экстаз схематизма и систематики.
Свой алогизм Лосев всегда проводил решительно во всем; и, кажется, никто, как он, не имеет у нас такого развитого ощущения всего[3] бесформенного в жизни, всегда невыявленного, затаенного, только еще зачинающегося, сокровенного. Его любимую категорию «становление» нужно понимать именно так, и он сам много раз и не худо ее изображал как раз в таком духе. К концу 20–х годов этот иррационализм достиг самой крайней степени. В «Диалектике мифа», напечатанной в 1930 г., вся жизнь, все бытие, весь мир превращены в мифологию. Так прямо и утверждается: все телесное, все эмпирическое, все повседневное есть стихия мифа; и нужно было читать его многочисленные примеры и анализы в этой книге, чтобы понять всю естественность и всю необходимость этих выводов для Лосева. Сюда вошла и вся многоголосая древняя мифология, из которой он много лет любовно всматривался и вслушивался в самые дикие и в самые странные мифы; сюда вошла и вся история, где он вынюхивает затаенные мифические корни в самых позитивных и общепонятных формах жизни. Даже европейский либерализм и наш советский марксизм он безбоязненно «разъяснял» в упомянутой книге как типично мифологические теории.
Но вот эта мифология переплетается с рационализмом. И что же? Из отвлеченной философии берется у него самое логическое, самое дотошно–рациональное, самое утонченное смакование чистой мысли. Тогда оказывается, что Прокл, Николай Кузанский, Фихте, Шеллинг и Гегель, притом взятые в самом последнем логическом остове, начинают руководить Лосевым и давать ему философские образцы. Напечатанные тома его сочинений достаточно свидетельствуют об этой стихийной жизни категорий в философском сознании Лосева.
К числу этих сочинений, гипертрофированных в смысле логики и диалектики, и относятся издаваемые ныне «Диалектические основы математики».
Кто знаком со старыми трудами Лосева, тому ясно, насколько глубоко обоснована у него в сознании самая тема философии математики. Можно сказать, у него нет ни одного сочинения, где бы эта тема не затрагивалась. В «Музыке как предмете логики» ей посвящено несколько глав. Была напечатана целая книга о философии числа у неоплатоников. Да и где же было больше всего разгуляться этой мысли, как не в математике, которая ведь уже сама по себе есть чистая мысль? Лосев много работал над диалектическим обоснованием истории. Однако исторические материалы часто расплывчаты и слишком доступны различной интерпретации. На них труднее создать диалектическую систему, и для каждой системы всегда слишком много находится критиков и просто недовольных. Другое дело — математика. Здесь всегда можно точно удостовериться в правильности взятого предмета; и если владеть этим предметом, то уже нетрудно замечать, насколько близко диалектическая мысль подошла к его осознанию. Отсюда математика—давнишняя любовь Лосева. Не будь он философом, он, конечно, был бы математиком. Однако только теперь, когда философ уже не первой молодости, он сумел осуществить мечту своей молодости — философски понять математику. Это, несомненно, подвиг целой жизни.
«Диалектические основы математики» — тяжелое, громоздкое здание. Это какое–то перегруженное, могучее барокко. Эту крепость нельзя взять нашармака, мимоходом. Туг придется потрудиться читателям Лосева, и в особенности математикам, хотя для последних найдутся еще и свои специфические трудности. Прежде всего, автор довольно часто нападает на математиков, доказывает, что они не умеют мыслить, и разносит их за схоластику, формализм и т. д. Математики должны ему это простить. Ведь всем же известно, что в литературе нет и намека на такое произведение, которое создал тут автор. Все до сих пор философствовавшие в математике ограничивались только самым общим, самым отвлеченным подходом. Возьмите Канта, Гегеля; возьмите Конта, Вундта, Зигварта, 1уссерля, Когена, Наторпа, Кассирера. Все это рассуждения, главным образом, только о числе вообще, о пространстве вообще, о счете вообще и т. д. Если мы обратимся к философствующим математикам, то до сих пор мы находим здесь только эскизы, только проекты, только манифесты. Правда, часто это — прекрасные эскизы и весьма ценные проекты. Писать так глубоко и изящно по математике, как писал А. Пуанкаре, так утонченно скептично и прорицательно–художествен–но, как это может делать только гениальный француз, мудрый и порхающий одновременно, — так писать Лосев не может. Лосев—это тяжелый паровоз, который пыхтит, и шипит, и тащит сотню тяжело нагруженных вагонов. Лосеву как не математику недоступна проницательность Вейля, широта Гильберта, изворотливость Броуэра[4]. Больше того, он запинается в интеграциях и забывает ставить С при неопределенном интегрировании; он не сразу скажет о различии циклических точек с бесконечно удаленными, путается в рядах Фурье и не имеет навыка в интегрировании дифференциальных уравнений. Но тут–то и должна быть проявлена справедливость.
Уже зрелым философом Лосев не стеснялся засаживаться за университетские учебники и бегать за математиками с просьбой разъяснить те или другие вопросы. Пусть же и математики не постесняются затратить время на изучение его философии и пусть на время расстанутся со своей горделивой уверенностью в непререкаемости своей науки. Самая большая трудность для математиков будет заключаться в том, чтобы признать право кого бы то ни было из непрофессионалов–математиков говорить об этой науке. Тем не менее профессионалы–математики достаточно скандалятся в своих суждениях о философии математики. Я должна сказать, — кажется, в обиду для математиков, — что философские методы Гильберта для Лосева слишком наивны, чтобы он на них учился. Я не нахожу нужным скрывать также и то, что, например, борьба так называемых интуиционистов и так называемых формалистов часто вызывала у Лосева только снисходительную улыбку, — до того эти методы мысли кажутся ему детскими и наивными. Еще не скоро наступит то время, когда все признают, что философия тоже есть некая научная профессия и что никакому гениальному математику (не говоря уже о рядовых) совершенно не дано право философствовать о своей науке только на том основании, что он математик. Лобачевский писал какую–то эмпирическую наивную чушь о своем новом гениальном пространстве. Г. Кантор думал, что его теория множеств обосновывает католическую схоластику. Пуанкаре думает, что если бы не было твердых тел, то не было бы и геометрии. Он же «не знает», что такое мощность континуума. Η. Н. Лузину, хотя он и стал академиком, после 30–летней математической работы все еще «трудно судить об истинности взглядов Гильберта», почтенному академику до сих пор еще не ясно, «реальный» или «формальный» предмет у математики. После всего этого брезговать философами едва ли целесообразно. Уже давно чувствуется в науке потребность продумать математику всю целиком с точки зрения одного философского метода, потому что только применение последнего на цельном материале и может дать для него настоящую проверку и критику. Покамест метод применен только на отдельных проблемах и еще не видно, какой результат получился бы от соответствующего построения всей науки, до тех пор невозможно судить о подлинной ценности метода. Последний может быть хорош в одних случаях и совершенно не годится в других.
Метод Лосева—строго диалектический. Что этот метод для него органичен и что он играет на нем так, как виртуоз–пианист на своем инструменте, это признают даже его враги. Не только С. Л. Франк признал, что «со времени «Феноменологии духа» Гегеля почти не появлялось трудов с такой глубокой диалектикой, как «Философия имени» Лосева»[5], но и А. Деборин согласен, что это действительно диалектика, хотя и не материалистическая [6]. И вот этот метод применен для конструирования математики в целом. Только теперь, после работы Лосева, возникает вопрос о том, что такое диалектика в математике и как она реально возможна. Вместо рекламы и декларации, вместо ничего не говорящих манифестов Лосев бросается прямо в математическое море; и теперь можно уже реально судить, плавает ли диалектик в этом море и как плавает.
Суждения об этом плавании могут быть разные. Однако даже при самом отрицательном суждении все же надо сказать, что большего никто не смог сделать. Сделайте же хорошо, если Лосев сделал плохо.
Если позволено мне высказывать свои мнения, то я отнюдь не считаю эту работу безукоризненной. Ряд проблем получил у Лосева не то чтобы неправильную, а какую–то внутренно не законченную разработку. Так, например, учение о мнимых величинах и соответственно теория функций комплексного переменного, хотя, вообще говоря, это любимая тема Лосева и он потратил на нее массу времени и усилий, разработаны у него, на мой вкус, недостаточно. Правда, здесь были затрачены колоссальные усилив, чтобы добиться философской ясности, но, вероятно, просто еще не пришло время, чтобы об этом можно было говорить философски ясно и просто. В конце концов то, что дает тут Лосев, почти не выходит из пределов обычного гауссовского представления мнимостей.
Далее, мне кажется, тяжеловато разработана теория детерминантов и матриц. Тут хочется чего–то более прозрачного и элементарного, так как и сам детерминант слишком уже не хитрое математическое понятие. В теории групп интересна дедукция самого понятия группы, но детали вызывают сомнения. Кроме того, с точки зрения самого же автора, было бы выгоднее больше осветить непрерывные группы, которых он почти не касается. Непонятно мне положение гиперкомплексного числа в системе Лосева: почему он говорит о них после трансцендентных чисел, в то время как уже задолго до этого прошла категория мнимых, куда и было бы естественнее всего вставить и гиперкомплексы? В аксиоматике чувствуется пристрастие автора к множествам и к различным геометрическим пространствам и чувствуется нелюбовь к теории вероятностей и статистике. Некоторые отделы прямо производят впечатление схоластики, хотя я тут многого просто не понимаю. Например, учение о части и целом в § [ ], вероятно, было бы очень трудно опровергать, но в таком виде оно производит более веселое и прыгающее, чем основательное и солидное, впечатление. Лосеву вообще свойственно жонглирование категориями; и я всегда думала, что это доставляет ему удовольствие независимо от истинности самих категорий. Что ж? Эквилибристика и акробатика, в конце концов, не самое худшее, что есть в философии. По крайней мере умно и весело.
С другой стороны, однако, в «Диалектических основах математики» есть вещи, которые имеют неоспоримо серьезное значение; и ради них необходимо простить автору изъяны и недостатки в других отношениях. К числу этих безусловно удачных пунктов я отношу, прежде всего, анализ самого понятия числа. Пусть другие это изложат проще, понятнее, доступнее; пусть даже меняют терминологию. Но, безусловно, это один из шедевров в философской литературе, занимавшейся числом. Мне кажется, тут впервые дано в четкой форме и в железной системе все существенное, что есть в числе; и я пожелала бы каждому философу, каждому математику найти время и средства, чтобы усвоить этот отдел сочинения Лосева.
Далее, безусловно, заслуживает внимания и представляет огромный интерес (о деталях я не говорю) построение аксиоматики и, в особенности, то, что Лосев называет «выразительной формой».
Вообще я должна предупредить, что, не вчитавшись в Лосева (и, в частности, в его прежние сочинения), трудно рассчитывать на вхождение в его мир идей. Каждое понятие и каждый термин, употребляемые им, настолько переживаются им своеобразно и глубоко, что с обыденным представлением их никак нельзя осилить. Таковы термины «эйдос», «инобытие», «становление», «ставшее», «энергия», «эманация» и сюда же — «выражение». Когда Лосев говорит об эйдосе, ему всегда представляется какая–то умственная фигура, белая или разноцветная, и обязательно на темном фоне; это как бы фонарики с разноцветными крашеными стеклами, висящие на фоне темного сумеречного неба. «Инобытие» для Лосева всегда какое–то бесформенное тело или вязкая глина; он едва вытаскивает ноги из этой трясины, и она его ежесекундно засасывает. Со «ставшим» ему ассоциируется что–то твердое и холодное, не то стена, не то камень, при этом обязательно холодное и даже что–то мрачное: не свернешь, не объедешь. Но особенно надо учитывать то, что говорится о «выражении», так как классические типы философии почти не касаются этого понятия и оно — всецело достояние новейшей философии. Еще до революции Лосев развивал это понятие под влиянием Гуссерля и Кроче. В дальнейшем он углубил его под влиянием новейшей искусствоведческой литературы. Безусловно, многое он взял из неоплатонического и шеллингианского учения о символе и из последних неокантианских исследований «выразительных форм». Однако все это были только материалы, которые Лосев поглощал в неимоверном количестве. Свое же собственное учение о «выражении» он строит вполне оригинально, хотя если бы он захотел, то для каждой своей строки он мог бы дать десятки ссылок на всю мировую философскую и искусствоведческую литературу об этом предмете. От неоплатоников лосевское «выражение» отличается отсутствием панлогизма и, я бы сказала, каким–то акосмизмом, так что тут он ближе к современным феноменологам и языковедам. Но от них он отличается напряженной диалектикой и острейшим чувством самостоятельности всей выразительно–смысловой сферы, так что иному его выразительные «эманации» и впрямь покажутся какими–то физическими истечениями. Я, конечно, не могу производить анализа всех источников для системы Лосева (это не мешает сделать другим), но я считаю необходимым сказать одно: тут острейшее ощущение «выразительных» форм действительности, и это «выражение», может быть, самая яркая категория философии Лосева, синтезирующая у него в наиболее зрелой форме логическое и алогическое.
И вот эти «выразительные» отделы «Основ», я думаю, надо ценить больше всего — и по их новизне, и по их оригинальности, и по богатству философских идей, затраченных тут автором. Кроме упомянутой аксиоматики выразительных форм (§ [ ]), сюда относятся «выразительные» моменты в общей теории числа (§ [ ]), в натуральном ряде (§ [ ]), в типах числа (§ [ ]), в учении о композициях (§ [ ]) и пр. В лосевском «выражении» всегда есть что–то активное, идущее на зрителя и слушателя, что–то выходящее из глубины и почти остросверлящее, проникающее. Он все время твердит об «энергий–ности» выражения, и это недаром. Нужно только эту «энергию» понять не грубо вещественно, а чисто смысловым образом. Тут—одна из тайн этой многосложной философии, я бы сказала, что тут нечто психологическое, биографическое. Представьте себе, что есть люди, которые двигают и повелевают, поднимают и повергают ниц одним взглядом. Представьте себе, что одним выражением глаз можно отвести руку убийцы, можно заставить человека каяться за всю его прошлую жизнь, можно воскресить холодный и мертвый труп души, не способной, казалось бы, ни к какой жизни. Вот эта–то не вещественная, а смысловая сила выражения, которая и есть подлинно вещественная и жизненная сила среди живых людей, вот эта стихия смысловых энергий и есть один из самых основных предметов лосевского философствования. Углубляясь в стихию числа, он и здесь нашел эти выразительные силы (соответственно специфике этой сферы); и вот почему это, на мое ощущение, есть самое яркое и интересное во всей его системе.
Наконец, интереснейшим способом рассмотрения математических учений является у Лосева вскрытие интуитивной основы этих учений. Лосев полагает, что раньше всяких формулировок у математика образуется некая смутная интуиция, принимающая иногда и очень ясные, раздельные формы, но всегда обладающая непосредственно наглядным и совершенно недискурсивным характером. Эта интуиция бесконечно богаче всяких формулировок, и она–то и есть .подлинное творчество математика. Тут Лосеву тоже придется столкнуться со стеной непонимания. Так как творцов в математике (как и везде) очень немного, остальные же представители этой науки только усваивают чужие истины и передают их другим, то мало кто согласится с Лосевым относительно этой интуиции. Не имеющие этих интуиций, конечно, должны будут возражать, а когда им Лосев на это ответит, что они не творцы истин, а только их передатчики другим, то это, конечно, обидно. Тут, однако, невозможно примирение. Те немногие намеки на глубины математического творчества, которые он делает в § [ ] и для которых он мог бы привести десятки подкрепляющих мест из классиков математики, конечно, будут квалифицированы как мистицизм. Но Лосев никогда не сможет согласиться, что математическое творчество есть само по себе сухая и рациональная схема, лишенная внутреннего пафоса, летающей интуиции, а также того поднимающего и волнующего восторга ума, когда этот ум созерцает числовую идею. Но я знаю, что это бывает именно так, в большой или малой форме. Для этой творческой интуиции, реальной так же, как таблица умножения, должна быть найдена своя логическая категория в общей системе философии числа. И не нужно укорять Лосева за то, что он хочет эту реальнейшую вещь зафиксировать принципиально и терминологически.
Изучая то, что содержится в математических руководствах, Лосев естественно находит только какие–то обрывки истины, на которых невозможно построить никакой философской теории. Чтобы понять философский смысл теоремы, ему приходится привлекать и многое такое, что вовсе не требуется для обычного употребления этих теорем; и он в конце концов наталкивается на то основное, первоначальное и чисто интуитивное, рационализацией чего явилась сама теорема. Тогда он подвергает эту найденную им интуицию уже философской рационализации, и вот в результате получается философский дублет для математической теоремы. Такой способ изучения математики никак нельзя назвать неинтересным, и тут многому можно поучиться. Достаточно указать на то, что учение Дедекинда о непрерывности имеет под собой, по учению Лосева, интуицию цветного поля, в котором один цвет незаметно переходит в другой, что Кантор в своем континууме имеет в виду непрерывность раздельного целого, например, непрерывность и цельность букета, в котором много цветов соединены в одно целое, что под интегралами Эйлера лежит «эстетическая идея» Канта, что под признаком трансцендентности числа у Лиувилля—шеллингианское учение о мировых потенциях, что современные теоретики множества воспитаны под влиянием импрессионистического физио–номизма, что изобретатели исчисления бесконечно малых Лейбниц и Ньютон воспринимали мир как чистую фугу и сонату, а Коши — как программную симфонию, Гильберт с вещами вроде неархимедовой геометрии или кривой Пеано — Гильберта — как футуристическую патологию, и т. д. и т. д.
Во всем этом много условного и, может быть, произвольного, но невозможно отрицать самого метода. Вместо абстрактных споров об «интуиционизме» и «формализме» тут яснейшим образом показано, где реально в математике интуиция и где рациональная форма. После этого упомянутые споры теряют всякое значение. После Лосева надо будет спорить иначе об этих вещах.
Интуиция, иррациональное, внутреннее, символ[7]и миф и, с другой стороны, рационализация, систематика, диалектика — вот между какими пределами движется философия Лосева. Я не раз была свидетельницей того, как эта интуиция с восторгом обреталась после длительных поисков и как она вновь отменялась после новых соображений. Так, философ один раз не в переносном, а в буквальном смысле затанцевал, когда мы после мучительных усилий напали на интуитивную картину взаимного движения вещественных и мнимых фокусов в кривых второго порядка при последовательном переходе их одна в другую. В другой раз Лосев забил себе в голову какую–то совершенно непонятную картину интегрирования между мнимыми пределами. И когда я скромно напомнила ему, что то же явление происходит и в криволинейных интегралах, то первой реакцией со стороны философа было классическое, но ничего не говорящее: «Тем хуже для криволинейных интегралов!» Однако недоразумение обнаружилось тотчас же, и философу пришлось кое–что изменить в «интуитивной» картине интегралов с комплексными переменными. Одну общую идею из этой области я сама подала ему еще в 1924 г., занимаясь в тот период аналитическими функциями. Но впоследствии я и сама была этому не рада, так как мне же и приходилось постоянно вносить расхолаживающую струю математических формул и теорем в эту неистовую философию, когда она становилась чересчур интуитивной или чересчур диалектичной.
Не нужно преувеличивать достижения этой многолетней работы Лосева, но не нужно ее и приуменьшать. Если скажут, что это не диалектика, или что это — метафизика, или что математика в этом не нуждается, или что это настолько мракобесный идеализм, что в нем и поучиться нечему, то все это, конечно, будет вздор. Что логический аппарат, пущенный тут автором в ход, не везде работает одинаково хорошо, что местами он, может быть, и совсем не годится, — это вполне возможно. Но важно, что начато большое дело и начато сильно, глубоко, уверенно, со вкусом. И никто не сможет никому воспрепятствовать начинать его еще по–новому, если этот первый почин не везде удовлетворителен.
29.1.1936 г.
ВВЕДЕНИЕ (ОБЩЕЕ РАЗДЕЛЕНИЕ НАУК О ЧИСЛЕ)
Всякая вещь и всякий предмет мысли есть прежде всего нечто само по себе сущее, а затем он есть нечто существующее в мысли и в отношении с прочим бытием. Разумеется, полная действительность вещи не та, которая свойственна ей в ее абстрактно–изолированном состоянии, но та, которая принадлежит ей в ее всестороннем взаимоотношении со всем прочим. Однако в целях уразумения действительности мы разделяем ее на отдельные, более или менее абстрактные моменты и изучаем их изолированно, с тем чтобы потом, во–первых, объединить их в целое, а, во–вторых, не просто объединить, а воссоздать ту их общую жизненную связь, из которой они были извлечены первоначально.
Отсюда, как бы мы ни думали, что идее принадлежит лишь абстрактное существование, и как бы ни верили в то, что только материальное существование есть полная действительность той или другой идеи, мы все же с самого начала поставлены перед абсолютной необходимостью понять число в его идее, в его сущности, в его первоначальном смысловом содержании. Потом мы узнаем, как эта идея претворяется в действительность, что сначала надо знать, что же такое само–то число по себе, в чем его сущность и чем оно существенно отличается от всего прочего. Так возникает основная антитеза идеи, смысла, существа числа и его явления, его осуществления, числа как отвлеченного понятия и числа как предметного явления,, антитеза чистой математики и математического естествознания.
Диалектическая философия знает, однако, ту сферу, где обе эти области совмещаются, с точки зрения которой обе они являются только абстракцией. Обычно думают, что чистая идея числа абстрактна, а вот число в природе, например т. н. законы природы, — это не есть абстракция, это есть сама действительность. С современной точки зрения такой взгляд на действительность, однако, совсем не может быть защищаем. Это для нас очень бедная, очень плоская действительность. Наша действительность— только историческая, и только в истории всякая идея достигает своей последней конкретности. Поэтому «число в природе» для нас никак не есть последняя реальность. Это условная, нетвердая и глубоко временная реальность, гораздо менее «реальная» для нас, чем т. н. природа. Не человек есть часть природы, а природа есть часть человека. Человек богаче, конкретнее, реальнее, живее и жизненнее природы. И только в истории, в человеке, идея и природа сливаются в живое единое; только тут, в человечестве, действительность становится конкретно ощутимой, творимой, жизненной. Поэтому историческая точка зрения на число — необходимое завершение учения о числе — и учения о смысле его чистой идеи, и учения о смысле его природно–материаль–ной осуществленное.
Однако достигнуть полноты исторического исследования нельзя сразу, имея только материал логики числа и математическое естествознание. История числа включает в себя и преодолевает собою еще ряд дисциплин, и только при условии наличия этих дисциплин можно начинать строить подлинную историю числа. Именно, число должно быть сначала рассмотрено вообще как факт духовной культуры. Конечно, в логике числа и в математическом естествознании число есть тоже факт духовной культуры. Но в этих науках число в виде такого факта берется как непосредственная данность. Тут еще неизвестно, кто же и как создал такую науку о числе. Давая логическую структуру, например, интегрального уравнения, мы этим самым пока еще ровно ничего не говорим об интегральном уравнении как факте духовной культуры, хотя, несомненно, само по себе оно и есть этот факт. Мы его берем тут не исторически, но логически, так же как в другом случае мы взяли бы его физически и материально (как, например, в применении к математической физике) и опять не взяли бы исторически.
Но что же значит взять число исторически?
Для большинства яснее всего то обстоятельство, что в истории действуют люди, личности. Хотя отдельные личности и субъекты отнюдь еще не есть история и даже объединение субъектов не есть еще история, тем не менее сам по себе факт совершенно несомненный, что в истории действуют личности и субъекты. Возьмем эту несомненную сторону духовно–исторической деятельности человека и зафиксируем ее под названием психо–биологии числа. Сюда должны быть отнесены все биологические, физиологические, рефлексологические, психологические и пр. рассуждения, связанные с понятием отдельного, изолированного субъекта.
Можно только подивиться, как это люди, претендующие на научный объективизм, ограничиваются в изучении того или иного явления духовной культуры, например, одним рефлексологическим или психологическим подходом. Под этим лежит чисто индивидуалистическая и весьма абстрактная метафизика, закрывающая глаза на подлинную действительность изучаемого явления как факта духовной культуры. При полной законченности и самостоятельности всех этих психо–биологических наук они совершенно не имеют ничего общего с конкретно–историческим подходом и могут считаться только одним из многих абстрактных моментов, входящих в общее конкретное знание о числе.
Этой субъективно–человеческой действительности числа противостоит объективно–человеческая, или социологическая, действительность числа. В математическом естествознании мы тоже имеем объективность числа. Но там это была природная, естественная, физически–материальная действительность числа, противостоящая чистой идее числа, которая уже не объективна и не субъективна, ибо одинаково присуща и всякому объекту, и всякому субъекту. Не–объективная и не–субъективная, чистая идея числа, переходя в свое инобытие, превращается прежде всего в физически–материальное, пространственно–временное число.
По сравнению с чистой идеей это есть, конечно, гораздо большая реальность и конкретность числа. Однако реальность здесь вполне бессознательная, слепая. Собственно говоря, бессознательно и слепо также и чистое число, поскольку оно есть только определенная логиче–екая структура, создаваемая кем–то извне, не самим числом или числовым субъектом. В логической структуре числа не содержится ровно никаких непосредственных указаний, зафиксированных категориально относительно того, откуда получилась эта структура, где сознание работало над ее созданием и какая историческая действительность ее породила. В этом смысле и логика числа, и математическое естествознание совершенно бессознательны и слепы. Здесь дух человеческий создает самое число, но еще не рефлектирует над своим творчеством, еще не относится сознательно к процессу своего творчества. Он рефлектирует пока еще над числом как над некоей предметной структурой, но отнюдь не над самим актом создания этой предметной структуры, не над собственным сознанием, которое эту структуру создавало.
В психо–биологии, а также в социологии мы впервые сталкиваемся уже с подлинным человеческим творчеством, сталкиваемся с самим сознанием человека, творящим число и размышляющим над ним. Психо–биология и социология числа суть две уже чисто человеческие точки зрения на число, одна—субъективная, личная, другая— объективная, безличная и внеличная. Социологию в этом смысле надо резко противополагать всем психобиологическим дисциплинам и всячески изгонять из нее малейшие индивидуалистические подходы. Социология есть социология, а общество тем и отличается от индивидуума, что оно — вне–индивидуально, над–индивиду–ально, совершенно не считается с индивидуумом и совершает свой путь не только помимо воли и знания отдельных индивидуумов, но часто и совершенно вопреки этой воле и этому знанию. Социальная действительность меняется независимо от отдельных личностей. Отдельные субъекты могут говорить и делать что угодно, но все же общий результат и самый смысл этих слов и действий будет только тот, который продиктован очередной социальной категорией. Люди ставят себе свои сознательные цели и действуют в соответствии с теми или другими своими личными убеждениями или, по крайней мере, настроениями, но получается от этого нечто такое, что им и не приходило в голову. Ибо таково веление данной социальной действительности. Можно, например, лично очень любить или ненавидеть данный режим, и возможно, что даже подавляющее большинство его ненавидит; и все же он не только может от этого не разрушаться, но он может при этом крепчать и усиливаться до колоссальных размеров. Также и склонность большинства к данному культурно–социальному типу ровно ничего не решает в вопросе о судьбе этого типа. Социальная действительность, повторяю, потому и есть социальная, что она вне–индивидуальная, т. е. по самому существу своему не зависит от воли, знания, настроения и пр. психологических явлений в отдельных субъектах, даже если брать все субъекты вместе. Целое ведь нигде не делится механически на отдельные изолированные части и не возникает из них, если оно действительно живой организм, а не механизм. Социальная действительность потому тоже не делится на отдельных индивидуумов и не возникает из них, хотя, быть может, в ней и нет ничего, кроме этих индивидуумов. Это обычное отношение целого и частей.
Противостояние субъективно–человеческой и объективно–человеческой действительности числа, психо–биоло–гии и социологии числа не может, однако, остаться без всякого преодоления. Если оставить эти две сферы в их голой противоположности и не искать никакого их примирения, у нас получится метафизический дуализм, совершенно нетерпимый в науке и диалектике. Надо искать их примирения.
1. Психо–биология рассматривает условия осуществления числа и числовых представлений в сфере субъекта. Социология выявляет условия появления числовых представлений в обществе. Например, мы можем задаваться тут вопросом о том, когда и в какой форме появляются числовые представления у ребенка или какая связь античной геометрической математики с тогдашним рабовладельческим обществом. Но можно ли считать такие проблемы последними, окончательными по своей конкретности и нет ли дисциплин или, по крайней мере, точек зрения, которые подошли бы к числу еще конкретнее, еще, так сказать, интимнее? Субъективная действительность числа далека от конкретности своим изолированным положением. Объективная действительность числа далека от конкретности своей вне–сознательной, безличной и какой–то фаталистической стихией. Нельзя ли как–нибудь объединить социально–объективную действительность числа с ее сознательной и субъективной стороной, так чтобы объективизм, оставаясь собою, перестал быть фатализмом, а субъективизм, оставаясь собою, перестал быть изолированным?
Несомненно, такая наука о числе должна существовать, и только она и может спасти от того метафизического дуализма, к которому мы пришли и от которого можно отделаться только путем превращения его в диалектическое противоречие и противоположность, а диалектика, как известно, требует синтеза и совпадения противоположностей.
Следовательно, ставится задание: рассмотреть число как объективно–социальную действительность, но так, чтобы видны были все логические, сознательные и вообще смысловые скрепы этой объективной действительности. Если бы задание это было выполнимо, мы бы получили число (а значит, и математику) не как предметный продукт мышления и не как физический продукт природы, но как продукт саморефлектирования духа, как факт духовной культуры. Когда мы строим самое число, мы смотрим на него как на некоторую мысленную картину, не фиксируя затраченных усилий мысли и не рефлектируя над теми методами и категориями, которые мы пустили в ход, чтобы создать наше числовое построение. То же и в математическом естествознании. Можно, например, очень хорошо решать математические задачи и в то же время совершенно не отдавать себе отчета в логической значимости употребляемых здесь категорий. Нет ничего смешного в том, что человек в пожилом возрасте вдруг узнает, что он всю жизнь говорил прозой, и весьма этому удивится. Ибо «проза» (в отличие от «поэзии») есть очень сложная логическая категория, в которой можно и не отдавать себе никакого отчета, хотя в то же время и говорить в течение всей жизни именно прозой. Одно дело — мыслить и создавать объекты мыслей и совсем другое дело — мыслить о своей мысли и создавать, осознавать структуры и самые категории мысли. В первом случае всякая мысль, даже самая сознательная и самая законченная с точки зрения своего объекта, является вполне слепой и бессознательной, если применить сюда оценку со второй точки зрения.
Поэтому введение в объективно–социальную действительность числа этой социально–мыслительной методологии, этой методологии самосознающего духа, этого рассмотрения с точки зрения рефлектирующего сознания, осознающего и потому конструирующего всю ее логическую и смысловую структуру, — такое усложнение объективизма, ясно[8] и лишит нашу действительность слепо фаталистической стихийности и превратит наш субъективизм в то, что уже далеко выходит за пределы изолированного субъекта и что является смысловой структурой уже самой объективности. Несомненно, здесь преодоление обеих односторонних точек зрения и подчинение их высшему принципу, тому, где субъект и объект человеческой действительности сливаются в некое новое, обширнейшее обстояние. Человек действует субъективно. Но когда он нашел место своей субъективности в объективно–социальной действительности, когда он нашел, что его субъект со всеми своими отличиями призван творить волю этой самой действительности, то с этого момента он уже не просто субъект и его субъективная воля и знание уже не просто субъективность. Тут говорит и действует уже сама объективная и социальная действительность; и тут даже уже невозможно сказать, данный ли субъект говорит и действует или данная социально–объективная действительность. Тут диалектический синтез того и другого, совпадение противоположностей.
Эту науку о числе назовем философией числа.
2. Две особенности этой науки обеспечивают ей конкретность и интимную жизненность.
Во–первых, философия числа в этом понимании есть не просто познание или сознание, но и самосознание духа. Это значит, что дух видит здесь сущность своей собственной деятельности. В то время как сама математика есть совокупность чисто числовых операций, философия превращает эти числовые операции в понятийные, в принципиально логические. Математика в этом смысле есть знание как бы одномерное, одноплановое; философия же заново перестраивает этот математический план, превращает его из структуры–в себе в структуру–для себя, понимая числа как понятия и тем перекрывая числовую структуру структурой логической. Вот почему многое, столь понятное математику, совершенно непонятно философу; и иной раз приходится очень и очень много размышлять над тем, что с математической точки зрения является чем–нибудь очень простым, почти пустяком. Нечего и говорить о таких операциях, как интегрирование или разложение в ряд; достаточно взять простой математический факт: 2x2 = 4. В этой простейшей операции арифметического умножения функционирует целый ряд логических категорий, о которых умножающий не имеет ровно никакого представления, как бы хорошо и быстро он ни умножал. Если я скажу, например, что умножение так же отличается от возведения в степень, как понятие механизма от понятия организма, что возведение в степень и извлечение корня в логическом смысле есть аналогия органического роста (в отличие от внешнемеханического сопряжения), то это будет всякому математику без предварительного разъяснения по меньшей мере непонятно. А тем не менее логический (а не просто числовой) анализ простых арифметических действий приводит именно к такому заключению. И никакое числовое определение никогда не вскроет этой интимной значимости формально–математических построений. Оно в этом смысле слепо и бессознательно. И только философско–логический анализ, возводя числовое определение в сферу самосознания, устанавливает подлинно смысловую, содержательно–логическую и потому сознательно–интимную связь числовых моментов, фиксируя эту связь как осмысленно–понятийную. Можно очень хорошо различать цвета и совершенно ничего не знать из анатомии глаза и из физиологии процессов зрения. Точно так же можно быть великим математиком и совершенно не иметь никакого представления о том аппарате логических категорий, который им же самим пускается в ход во время собственных математических выкладок и построений.
Вторая особенность философии числа в нашем ее понимании заключается в том, что она доводит свои выводы до сознательного и исторического завершения. Философия числа должна знать не только логическую картину математики как науки, но она должна понять также и историческую природу этой науки, т. е. понять ее как определенный ряд некоторых историко–культурных типов, так чтобы на самих этих типах математики была видна печать породившей их эпохи и стиль данного исторического типа. При таком своем построении философия числа обладает не только смысловой интимностью, неведомой в прочих науках и подсматривающей самые затаенные логические связи, но этой интимностью проникнута тут сама социальная действительность, и делаются видными благодаря ей самые тайные, самые глубокие корни культуры, порождающей те или другие числовые представления.
Такова философия числа, синтезирующая самое ценное достояние и субъективного и объективного хода духовной культуры.
Но и этим не кончается цикл основных наук, изучающих математику. Остается еще один шаг—и мы можем закончить дальнейшее продвижение принципиально–математической мысли. Дело в том, что философия числа, хотя она и вбирает в себя весь исторический материал математики, отнюдь еще не есть сама история математики. Философия числа все же есть пока еще только теоретическая наука. Она теоретична в той же мере, в какой теоретичны и те две области, синтезом которых она является, т. е. психо–биологии и социологии. Вся эта основная триада: 1) чистая математика, 2) математическое естествознание и 3) философия числа (возникающая как диалектический синтез двух только что упомянутых дисциплин)—суть общая теория числа, построенная в значительной части на историческом материале, но сама отнюдь не является историей. Нужно, чтобы вся эта триада перешла в свое инобытие, чтобы она была вовлечена в инобытийный процесс становления; и только тогда мы достигнем последней и окончательной конкретности — истории. В истории ведь никакая идея не дается сразу. Если взять хотя бы математический анализ, то его теперешняя форма слишком резко отличается от построений Ньютона и Лейбница., чтобы можно было не говорить об истории в математике. А только тогда, когда математика взята не вообще, а именно так, как она есть, реально у данного математика в таком–то его сочинении, только тогда математика достигает своей последней конкретности.
Поэтому вся построенная нами математическая триада наук погружается во временной поток, в инобытие, в становление, как бы отчуждается от своей законченности и завершенности и воплощается в то, что эмпирически кажется таким случайным, разорванным и клочковатым. Бояться этого, однако, не стоит, потому что законченность эта была чисто теоретическая, а теория не может быть никогда чем–то абсолютно законченным, пока не закончилась сама история, рождающая и определяющая эту теорию. Один из основных провалов у Гегеля— то, что свою философию и свою эпоху он считал абсолютным завершением своего Абсолюта. Наше самочувствие гораздо скромнее. Мы претендуем только на то, чтобы теория адекватно осмыслила современный результат исторического развития человечества, а последний или не последний это результат, вопрос этот не может решаться в философии.
Таким образом, возникает следующее диалектическое разделение наук о числе: I. Чистая математика.
II. Математическое естествознание.
III. Число как факт духовной культуры:
a) психо–биология числа,
b) социология числа,
c) философия числа.
IV. История всех предыдущих дисциплин.
Настоящее сочинение посвящено философии числа. В преддверии этого огромного задания необходимо ориентироваться в самых общих проблемах этой науки, так как только строжайшая систематика и логическая методология могут спасти нас от головокружения в этой необозримой массе научного материала. Попробуем наметить основные вехи предстоящего исследования.
Эти вехи диктуются только что выведенной схемой. Устанавливая эту схему, мы уже начали заниматься философией числа. Предложенное разделение наук должно быть проведено и в области самой философии числа с вышеописанным изменением каждой отдельной научной методологии на чисто логическую. Таким образом, должны возникнуть следующие отделы философии числа.
I. Прежде всего, философия чистой математики, или логическое конструирование науки о числе, взамен ее чисто числовых конструкций.
И. Философия математического естествознания, обследование форм физически–математической значимости числовых категорий и операций.
III. Философия числа как факта духовной культуры с подразделением на философскую психо–биологию и социологию и, наконец, на теорию философии числа, или методологию. Философия философии числа есть теория философии числа, т. е. ее методология, т. е. теория диалектического метода.
IV. Философия истории наук о числе, практически сводящихся на диалектическое построение истории всех относящихся сюда дисциплин.
В сущности говоря, философия всех этих дисциплин — математики как таковой, математического естествознания и культурно–социальной науки о числе—должна бы сливаться с самими этими дисциплинами, поскольку она есть только более интимное, более связное логически и более понятийное построение тех же самых предметов. И в некоторых областях уже невозможно обойтись без философского метода. Тем не менее необходимо давать полную свободу развитию отдельных наук, предоставляя последним право рассматривать свой предмет своими специфическими методами. Из того, что математик, хорошо интегрирующий дифференциальные уравнения, не владеет логикой своего метода и не отдает себе отчета в диалектической природе своего интегрирования, совсем не следует, что ему во что бы то ни стало нужно заниматься диалектикой и что без этой диалектики он вообще не ученый. Математика есть математика, и предмет ее, хотя и вполне абстрактный и формальный, все же совершенно своеобразен и может быть построяем как таковой. Хорошо, конечно, если математик станет диалектиком; диалектика подскажет ему то, что он не мог проследить чисто математически, так что помимо самой логики числа он получит еще нечто новое и в чисто математической области. Хорошо также, если бы эти две области, математика как таковая и ее логика, или диалектика, слились бы вместе до полного синтеза. Однако до известного и притом очень далекого предела эти две области могут строиться и развиваться совершенно отдельно. И поэтому теоретическое разделение их вполне целесообразно.
Настоящее сочинение есть философия числа. Создать философию числа в том ее развитии, как это сейчас указано, есть задача едва ли посильная одному мыслителю, и если посильная, то совсем невыполнимая в одном или двух томах. Поэтому целесообразно ограничить свою задачу, и так как необходимо начинать с первых и элементарнейших построений, то достаточно поставить себе цель дать только первую часть философии числа, а именно логику чистой математики, дать диалектические основания математики как таковой, оставляя пока в стороне естествознание, психологию, социологию, теорию самой диалектики числа и историю. Это и так должно составить весьма обширное и очень нелегкое для его создания и для его усвоения философское исследование. Предлагаемое исследование есть поэтому диалектическое основание только математики как таковой, или, если угодно, чистой, или теоретической, математики.
Тут же наметим и основные области нашего исследования.
Само собою разумеется, что в самом начале должно быть поставлено исследование первичной сущности числа, должна быть вскрыта сама категория числа, чистая идея числа, число как общее понятие. Что такое число само по себе—вот основной вопрос, который должен быть решен в философии числа раньше всех других вопросов. Поэтому общая теория числа есть то, с чего мы и начнем.
Число как таковое, голое понятие числа, имеет, далее, свою очень сложную диалектическую судьбу. Эта судьба должна выявить все содержащиеся в числе логические возможности и должна как бы выявить это общее понятие числа, дать вместо него детально разработанную систему математики как некоего диалектического процесса. С этой точки зрения общая теория числа, как она ни фундаментальна для всего исследования, есть только введение в философию числа, как бы только зерно, которое почти забывается, когда вырастает из него целое растение, имеющее для философии самостоятельный и вполне оригинальный интерес.
Переход от числа вообще, от числа как общей и чистой категории, к числу в частности совершается, очевидно, путем утверждения полученного общего понятия в виде новой реальности. Как учит диалектика, каждая предыдущая категория должна быть положена, чтобы совершилось вообще дальнейшее логическое развитие. Понятие числа, положенное как таковое, взятое как тезис, есть, иообще говоря, интенсивное число, куда, как мы увидим ниже ([§ 80]), относится арифметика, алгебра и анализ.
Этому утверждению числа в виде раздельного акта противостоит отрицание числа в виде раздельного акта, т. е. утверждение его в виде особой числовой слитности и неразличимости — континуума, — на основании которой могут возникнуть свои собственные, уже не чисто числовые, но как бы в некотором роде материально–континуальные оформления, т. н. геометрические. Вся эта континуально–геометрическая сфера составляет прямую диалектическую противоположность интенсивному числу и может быть с полным правом названа экстенсивным числом.
Наконец, мысль требует и объединения числовых и континуальных построений. Должно быть такое число, которое совмещает в себе и числовую различенность, и ту разную «расставленность» числовых актов, которая не содержится в счетном числе как таковом, но которая привносится только материальной континуальной средой. Это есть то, что называется в математике множеством. Множество вполне арифметично, это не геометрия; и тем не менее оно мыслится с точки зрения упорядоченности, т. е. отдельные счетные моменты поставлены здесь в ту или иную определенную фигурацию, почти, я бы сказал, оптически данную (конечно, мысленно оптически) связь. Это и значит, что множество есть синтез интенсивного и экстенсивного числа. Так как «эйдос» есть термин, указывающий на такую «сущность», которая дана оптически–фигурно (мысленно или физически), то целесообразно это синтетическое число назвать эйдетическим числом, тем более что и сам Кантор, создатель этой дисциплины, употреблял здесь именно греческое обозначение 'αριθμοί είδητικοί, «эйдетические числа».
Интенсивное число вскрывает первую математическую сущность числа. Если общая теория дает сущность числа вообще, то теория интенсивности числа переводит нас в область самой математики, давая сущность уже математического числа. По сравнению с этим континуально–геометрическая система, или число экстенсивное, есть нечто внешнее, как бы материально сделанное. Что–бй считать, напр., до четырех, можно и не иметь представления о четырехугольнике; но чтобы иметь представление о четырехугольнике, уже надо понимать, что такое число «четыре», и надо уметь считать по крайней мере до четырех. Это значит, что число «четыре» есть нечто более первоначальное (в логическом смысле), более внутреннее, то, что лежит в глубине идеи четырехугольника. Четырехугольник внешними средствами выявляет арифметическую сущность числа «четыре», и выявляет ее инобытий–ными, континуально–геометрическими средствами. Это дает нам право называть экстенсивное число не сущностью числа (как интенсивное число), а его явлением.
Сущность и явление, опять–таки по железной необходимости диалектического процесса, должны неминуемо объединиться вместе, слиться в нечто третье, с точки зрения чего они — только абстракция. В диалектике сущность и явление синтезируются в действительность. Ибо то и другое—только абстрактно выделенные моменты из того, что реально существует. Нет ни сущности без явления, ни явления без сущности. Сущность должна как–то являться, а явление должно быть проявлением сущности. Избежать кантовского дуализма «вещи в себе» и «явления» можно только путем диалектики, которая умеет синтезировать обе эти абстрактные сферы в некую реальную, конкретно данную действительность. Эйдетическое число и есть действительность числа.
Этим, однако, все еще не заканчивается общая сфера числа. Существует еще одна модификация числа, которая еще ближе к конкретному бытию, ближе всего, что нами сейчас переименовано. И диалектическое место ее рисуется с неумолимой требовательностью. Именно, три основных сферы числа, число интенсивное, экстенсивное и эйдетическое, суть выявление перво–принципа числа, явленная идея чистого числа. Но уже помимо того что вся эта триединая область противостоит перво–началу, остается вместе с ним на степени некоего дуализма, помимо этого идея все же остается идеей, и она продолжает противостоять фактам так же, как перво–принцип противостоит ей самой. Это, разумеется, не значит, что математика есть часть естествознания. Такое утверждение было бы полным непониманием конкретной сущности математики. Вместо такого искажения мы должны в самой математике подыскать такую сферу, которая бы вместила в себя факты, оставаясь, однако, самой собой, т. е. чистым учением о чистом числе. И такая область действительно существует. Для ее дедукции важны два обстоятельства — синтетичность в отношении перво–принципа и противостоящей ему триединой числовой сферы (интенсивность, экстенсивность и эйдетичность) и вмещение—числовое же, конечно, — текучей и случайной стихии действительности.
Первое обстоятельство, по крайней мере как задание, элементарно ясно для всякой самой примитивной точки зрения в диалектике. Интенсивно–экстенсивно–эйдетическое число есть число так или иначе положенное—в сравнении с сверхполагаемым перво–началом; оно есть раздельность, и в этом смысле оно есть инобытие первоначала. В чем же их синтез? Какую форму примет гут «становление» и «ставшее» — категории, всегда, во всяком диалектическом построении являющиеся синтезом бытия и небытия? Перво–принцип есть вечное творчество, вечное возникновение, поток для всего возникающего; это базированное^ на самом себе и независимость ни от чего, т. е. полная свобода. С другой стороны, раздельность, царящая в триединой области числового бытия, есть всегдашняя связанность, взаимообусловленность, координирован–ность. Синтезом того и другого должно явиться нечто такое, что тоже дано в связанном и законченном виде, но так, чтобы это не мешало полной свободе протекания данного явления, чтобы ему была свойственна самопроизвольность и в этом смысле как бы случайность появления и протекания. Разумеется, если взять реальную человеческую действительность, и даже не человеческую, а просто общеживотную, то ведь тут решительно все факты и события именно таковы. Всякий животный индивидуум действует сам за себя и совершенно свободно, в то время как тут же мы видим полную связанность его с общей животной или социальной жизнью. Однако мы не можем считать ни биологию, ни социологию частью математики без уничтожения настоящей физиономии всех этих наук, и биологии с социологией, и самой математики. Мы должны, оставаясь на почве чистого же числа, дать такую его модификацию, которая бы совместила смысловую раздельность явления с произволом и самостоятельностью его возникновения и протекания. Это мы и имеем в т. н. теории вероятностей, где как раз теоретическая оформленность числа такова, что она учитывает и всю случайность протекания процессов действительности.
Второе обстоятельство, важное для выяснения формулируемой математической области, — это то, что не только сверху мы находим диалектический синтез перво–прин–ципа числа и его принципа, но и снизу данная область есть именно та, которая создана для учета самопроизвольно протекающих процессов действительности. Мы видели, что интенсивно–экстенсивно–эйдетическое число тоже осуществляется в действительности. Арифметика, алгебра, геометрия, анализ и теория множеств суть науки, не просто витающие где–то в пустотах рассудочного воображения, но они обязательно так или иначе, в том или другом виде воплощаются в действительности, как–то обусловливают ее, вносят в нее раздельность и осмысленность, т. е. делают ее ею же самой. Но в чем же разница? Что заставляет нас отделять от всех этих наук еще особую науку и ставить ее в какие–то совершенно специфические отношения к действительности?
Вопрос начнет разрешаться, как только мы вспомним, что единственная сфера бытия, где числовые конструкции триединой идеальной сферы находят для себя полное, адекватное и совершенно буквальное осуществление, это есть сфера природного бытия, природы. Ведь только там, где материя молчит, где она есть только абсолютный послушный выполнитель велений чистого числа, только там интенсивно–экстенсивно–эйдетическая сфера проявит себя целиком. Действительно, только математическое естествознание может напоминать нам действительность и общезначимость чистой математики; и только тут, где дана молчащая, неживая природа, где она механически и беспрекословно подчинена числу, где она механизм, только тут место той действительности, о которой говорит идеальная триединая сфера. Но ведь сейчас мы хотим трактовать нашу действительность не просто как механизм и материю нашу не просто как безгласную и пустую схему. Материя для нас есть нечто живое, саморазвивающееся, и настоящая действительность не пустой и равнодушный к себе и ко всему другому механизм. Потому–то мы и говорим тут об особой синтезированности с пер–во–принципом, т. е. об особой, а именно максимальной, его явленности, что тут мыслится живое движение, саморазвивающаяся жизнь (как это и дано первичнейшим и чистейшим способом в самом перво–принципе). Но тогда, очевидно, вся триединая идеальная числовая область является для такой действительности слишком отвлеченной. Она, конечно, тоже ее обусловливает, ибо вся математика базируется на арифметике, арифметика — на простом счете, а не умеет считать только тот, у кого еще или уже не действует разум. Все это, конечно, осуществлено не только в природе, но и в жизни, и в истории. Однако это все еще слишком отвлеченная структура для настоящей действительности. Настоящая действительность вмещает в себе самопроизвольность своего протекания, и потому ей всегда свойственна стихия случайности. Случайность же, данная в смысловой сфере, есть как раз вероятность. И потому теория вероятностей и статистика есть то в математике, что максимально близко отражает на себе действительность, и притом действительность не природы только, но и жизни, животной и социальной. Это уже будет не просто действительность числа, но история числа, понимая под этим как животное развитие и всю органическую жизнь, так и человеческую, социальную. Биометрика и пр. виды статистики имеют достаточно прочное место среди всех наук вообще.
Заметим, что возможна статистика и в применении к механическому миру. В особенности в современной науке приходится констатировать склонность к применению статистических методов в областях, где раньше безраздельно царили только одни механические законы. Это, однако, свидетельствует не о принципиальной тождественности тех или других методов, но о том, что и т. н. механическая действительность не всегда так уж механистична или что она отнюдь не всегда даег себя механизировать. Некоторые весьма важные добавления к проблеме вероятности мы укажем ниже, в § 49.
Итак, вот общее разделение всего нашего исследования:
A. Перво–принцип числа — общая теория числа.
B. Число в своем идеальном завершении.
I. Сущность числа, или интенсивное число (арифметика, алгебра, анализ).
II. Явление числа, экстенсивное число (теория континуума и геометрия).
III. Действительность числа, эйдетическое число (теория множеств).
C. Реальное число, или число историческое (теория вероятностей и статистика).
Заметим, что эта диалектическая триада — сущность, явление, действительность — проводима решительно везде, в любой математической и логической области. Так, уже указанное выше общее разделение на чистую математику, математическое естествознание и культурно–социальную историю числа есть именно это разделение, только проводимое здесь в более широком масштабе. В области, например, арифметики или анализа мы также столкнемся с этим же разделением, хотя тут возможны и иные термины, и разные добавления и детализация.
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЛА
Число является настолько основной и глубокой категорией бытия и сознания, что для его определения и характеристики можно брать только самые первоначальные, самые отвлеченные моменты того и другого. Математика— наука о числе—есть уже нечто вторичное по сравнению с самим числом. Если дана определенная диалектика числа, отсюда можно получить руководящие нити для диалектического анализа и самой математики как науки. Математика есть уже определенным образом скомбинированная теория и наука, а эта теория и наука предполагает, что уже есть определенный предмет для теоретизирования. И этот предмет надо вскрыть какими–то средствами, уже не просто математическими. Должно существовать определенное усмотрение предмета—той смысловой платформы, на которой будет разыгрываться математическая наука. И этой платформой может быть только вскрытие самого понятия числа, определение и философия его необходимых моментов — установок, без которых оно немыслимо. Этой до–теоретической задачей мы и должны заняться. Установивши прочно искомую платформу, т. е. получивши путем до–теоретического анализа то, что такое есть число в своем последнем существе, мы можем перейти к построению и науки о числе, именуемой как «математика», и выяснить диалектические основания этой последней как определенной системы.
Поделиться книгой: