Эрвину Шредингеру в его великолепной статье, увидевшей свет в 1926 г., выпала честь первому написать в явном виде волновое уравнение волновой механики и вывести из него строгий метод решения квантовых задач. Чтобы получить уравнение для волн, связанных с частицей, можно исходить из идеи о том, что с точки зрения новой теории старая механика эквивалентна приближению геометрической оптики. В теории Якоби траектории частиц рассматриваются как световые лучи, которые соответствуют поверхности, определяемой полным интегралом уравнения первого порядка второй степени в частных производных, названного уравнением Якоби. Мы уже отмечали (см. гл. II п. 2), что уравнение Якоби по форме совершенно аналогично основному уравнению геометрической оптики и что именно это обстоятельство – причина аналогии между теорией Якоби и теорией распространения волн в ее геометрическом приближении. Поэтому волновое уравнение волновой механики нужно записать таким образом, чтобы соответствующее уравнение геометрической оптики, справедливое в условиях, которые мы уже уточнили, совпадало с уравнением Якоби. Чтобы получить уравнение распространения, удовлетворяющее этому условию, Шредингер проделал следующее: прежде всего он установил соотношение, которое для данной задачи в классической механике давало бы энергию как функцию координат частицы и компонент ее импульса. Далее в этом выражении, которое носит в механике название гамильтониана, каждая компонента импульса в декартовой системе координат заменялась символом производной по соответствующей координате, умноженной на константу, пропорциональную постоянной Планка. Таким образом, гамильтониан был превращен в некий оператор, оператор Гамильтона. Теперь достаточно было применить этот оператор к волновой функции системы (которая обычно обозначается греческой буквой «КСИ») и приравнять полученный результат производной волновой функции по времени, умноженной на упомянутую константу.
Полученное таким образом уравнение можно принять в качестве волнового уравнения частицы, ибо в приближении геометрической оптики оно сводится к уравнению Якоби, которое можно написать для рассматриваемой задачи в классической механике.
Здесь следует сделать несколько замечаний по поводу полученного таким способом уравнения распространения связанных с частицей волн. Во-первых, это уравнение определяет волновую функцию как функцию скалярную, а не векторную. Это приводит к существенному различию между волной, связанной с частицей, и световой волной. Правда, известно, что волновая теория света также вначале исходила из того, что световые колебания описываются скалярной функцией. Такая точка зрения и сегодня может объяснить многие явления дифракции и интерференции. И только лишь при рассмотрении поляризации нужно учитывать векторный характер волновой функции. Итак, можно предположить, что в один прекрасный день скалярная волновая функция будет заменена волновой функцией нескольких компонент при соответствующем обобщении теории. Ниже мы покажем, что это предсказание подтвердилось рождением теории электрона Дирака. Как мы увидим, эта теория не одинакова для случаев электрона и фотона.
Следует сделать еще одно замечание по поводу уравнения распространения волн. Дело в том, что оно комплексно, т е. его коэффициенты не являются действительными числами, в них фигурирует величина (корень из –1). Это обстоятельство, на первый взгляд совершенно случайное, показывает, насколько трудно придать «КСИ»-волне волновой механики такой же физический смысл, какой приписывает волнам классическая физика. Действительно, в классической физике распространение волны связано с переносом свойств колеблющейся среды, существование которой либо совершенно очевидно, либо предполагается (последнее только в случае классической теории света). Они описывают действительные процессы и должны быть выражены действительными функциями. Если же, как это часто делают при описании оптических явлений, иногда полезно заменить указанные действительные функции комплексными величинами, действительной частью которых они являются, то это только вычислительный прием, без которого всегда можно обойтись.
В волновой механике все наоборот. Из-за мнимых коэффициентов в самом волновом уравнении комплексный характер «КСИ»-функции, по-видимому, является существенным. Он приводит к тому, что все попытки рассматривать волны волновой механики как физическую реальность, соответствующую колебаниям какой-то среды, оказываются несостоятельными. В ходе развития волновой механики функцию «КСИ» стали рассматривать как некую вспомогательную величину, значение которой позволяет вычислить другую величину. Эта последняя уже действительна, она имеет физический смысл, причем, как правило, статистического характера. Мы еще должны будем вернуться к этому пункту. Здесь же уместно было просто отметить, почему волновое уравнение волновой механики уже по своей форме вынуждает нас отказаться от идеи дать этим волнам непосредственное физическое толкование.
Мы объяснили, как Шредингер добился успеха в выводе для самого общего случая уравнения распространения связанной с частицей «КСИ»-волны. Однако при написании этого уравнения он исходил из формул ньютоновой механики. Поэтому его уравнение распространения не удовлетворяет требованиям теории относительности и естественно ожидать, что оно справедливо лишь для частиц, обладающих очень малой скоростью, т е. для волн не очень большой частоты. Теперь встал вопрос о том, чтобы найти уравнение распространения, имеющее релятивистский характер и содержащее уравнение Шредингера как первое приближение для низких частот. Уравнение такого типа, которое казалось естественным с точки зрения здравого смысла, было предложено почти одновременно несколькими учеными. Однако это релятивистское уравнение, будучи уравнением второго порядка по времени, приводило к ряду трудностей. Правильное релятивистское обобщение уравнения Шредингера было получено Дираком совсем другим путем.
Шредингер предложил также волновое уравнение (нерелятивистское), которое описывало систему, ансамбль взаимодействующих между собой частиц. Однако поскольку мы ввели новые понятия, требующие специального разбора, отложим изложение волновой механики систем частиц до главы XII.
Вооружившись своим волновым уравнением, Шредингер приступил к строгому решению задачи определения стационарных состояний квантовой системы, предположив в соответствии с приближенной теорией, что эти стационарные состояния соответствуют связанным с частицами стационарным волнам. Рассмотрим в качестве квантовой системы атом водорода. Мы знаем уравнение распространения волн, соответствующих этой системе. Естественно предположить, что, так как система ограничена некоторой областью пространства, «КСИ»-функция при удалении от центра системы быстро стремится к нулю. Если мы также предположим, как это обычно делают в математической физике, что «КСИ»-функция должна быть везде однозначна и непрерывна, то нахождение стационарных состояний сводится к отысканию монохроматических решений уравнения распространения, конечных и однозначных во всем пространстве и обращающихся в нуль на бесконечности. Шредингер, использовав известные методы анализа, блестяще решил эту задачу для нескольких типов квантовых систем. Он обнаружил, что монохроматические решения, удовлетворяющие наложенным условиям, существуют лишь для некоторых определенных значений частоты. Эти значения являются собственными значениями волнового уравнения в частных производных данной задачи с граничным условием обращения «КСИ» в нуль на бесконечности. Собственной частоте системы в соответствии с общим соотношением между свойствами волны и характеристиками частицы сопоставляется квантованное значение энергии частицы, которое получается умножением частоты на
Любопытное совпадение натолкнуло Шредингера на мысль, которая привела его к самым замечательным открытиям. Незадолго до этого Гейзенберг сформулировал свою квантовую механику. Его новый метод, внешне совершенно отличный от волновой механики, дал точно такие же результаты для квантованных значений энергии атомных систем, что и метод Шредингера, тем самым подтвердив и уточнив результаты старой квантовой теории. Шредингер интуитивно чувствовал, что это совпадение не случайно. Ему мастерски удалось показать, что квантовая механика Гейзенберга, несмотря на совершенно иной внешний вид представляет собой всего лишь математическую перефразировку волновой механики.
Важность эффекта Зеемана и его электрического аналога, эффекта Штарка, хорошо известна. Шредингер попытался с помощью волновой механики развить теорию этих явлений. С этой целью он разработал прекрасный метод возмущений, волновой вариант классического метода небесной механики. Действительно, магнитные и электрические поля, которые мы можем создавать, ничтожно малы по сравнению с электромагнитными полями, действующими внутри атомных систем. Чтобы получить эффект Зеемана или Штарка, на атомы воздействуют однородным магнитным или электрическим полем, и это поле можно рассматривать как очень малое возмущение собственного поля атомной системы. Если нам уже известны квантованные значения энергии данной системы в отсутствие внешнего поля, то необходимо лишь учесть очень слабое изменение этих величин, которое вызывается возмущающим полем.
Шредингер, применив свой метод возмущений, решил эту задачу и получил таким образом детальную теорию эффектов Зеемана и Штарка. Что касается эффекта Штарка, то результаты полностью совпали с предсказаниями старой квантовой теории. В некоторых отношениях теория, по-видимому, оказалась более точной. В случае эффекта Зеемана снова в согласии со старой квантовой теорией получаем результат Лоренца. Это вполне удовлетворительно, поскольку в данном случае явление протекает в основном так, как его предсказал Лоренц (нормальный эффект Зеемана).
Однако кроме нормального эффекта Зеемана, предсказанного Лоренцом, в некоторых случаях обнаруживается более сложный аномальный эффект. Ни классическая, ни старая квантовая теории не способны были объяснить эти явления. В руках Шредингера волновая механика добилась в этом пункте не большего успеха. Для объяснения аномального эффекта Зеемана понадобилось ввести еще одну характеристику – спин электрона.
4. Дифракция электронов
Итак, мы показали, как идеи автора этой книги о связи между волнами и частицами и о необходимости создания новой механики волнового характера приобрели к 1926 г. благодаря превосходным работам Шредингера необычайную полноту и точность. Однако какими бы замечательными ни были руководящие идеи и основные методы, какими бы точными ни казались подтверждения, которые были получены благодаря правильным предсказаниям атомных явлений, прямое экспериментальное доказательство этих представлений все же отсутствовало. Такое доказательство принес 1927 г., когда Дэвиссон и Джермер открыли явление дифракции электронов.
Поскольку движение частиц неразрывно связано с распространением волны, было бы очень странно, если бы материальные частицы, например электроны, не проявляли интерференционных и дифракционных свойств подобно тому, как это происходит с фотонами и изучением которых занимается физическая оптика. Чтобы выяснить, какие из этих явлений можно реально наблюдать, нужно было прежде всего оценить длину волн, связанных с электронами. Формулы волновой механики немедленно дают ответ на этот вопрос: длина волны, связанной с электронами, при обычных условиях всегда очень мала, порядка длины волны рентгеновских лучей. Поэтому можно было надеяться наблюдать у электронов те явления, которые происходят с рентгеновскими лучами.
Известно далее, что фундаментальное явление физики рентгеновских лучей – это дифракция на кристаллах. Необычайно малая длина волны рентгеновских лучей почти исключает возможность использования для наблюдения их дифракции приборов, сделанных руками человека. К счастью, сама природа позаботилась о том, чтобы создать годные для этих целей дифракционные решетки – кристаллы.
Действительно, в кристаллах атомы и молекулы расположены в правильном порядке и образуют трехмерную решетку. Причем оказалось, что расстояние между частицами в кристалле как раз порядка длины волны рентгеновских лучей. Направляя пучок рентгеновских лучей на кристалл, можно получить дифракционную картину, совершенно аналогичную картине дифракции обычного света на трехмерной точечной решетке.
Явление дифракции рентгеновских лучей было открыто в 1912 г. фон Лауэ, Фридрихом и Книппингом, и теперь оно служит основой широкого развития рентгеновской спектроскопии. Исходя из всего этого, можно было ожидать, что совершенно аналогичное явление можно наблюдать для электронов. Взяв пучок электронов с заданной кинетической энергией, мы должны были бы наблюдать явление дифракции, такое же, как дифракция рентгеновских лучей. Поскольку структура кристаллов, применяемых в экспериментах такого типа, хорошо изучена различными методами, главным образом с помощью рентгеновских лучей, мы могли бы из полученной при дифракции электронов картины вычислить длину волны, связанную с электронами, и, следовательно, подтвердить правильность соотношения, которое волновая механика предполагает для движущихся частиц и связанных с ними волн.
Дэвиссону и Джермеру, сотрудникам лаборатории «Белл-телефон» в Нью-Йорке, выпала честь открытия дифракции электронов на кристаллах. Бомбардируя кристалл никеля пучком моноэнергетических электронов, они твердо установили, что электроны дифрагируют как волны, и показали, что длина этих волн в точности совпадает с той, какую дают формулы волновой механики. Так было установлено существование этого тонкого явления, предположение о котором за несколько лет до этого вызывало удивление и недоверие физиков.
Повторенное почти одновременно в Англии Дж. П. Томсоном, сыном Дж.Дж. Томсона, применившим совершенно иной метод, явление дифракции электронов вскоре стали наблюдать почти во всех странах. Это явление в разных условиях и при различной постановке опытов изучали Понт во Франции, Рупп в Германии, Кикучи в Японии и многие другие. Вскоре стали известны все его детали. Постепенно было устранено большинство мелких трудностей объяснения этого явления, которые вначале возникли. Этого удалось добиться, когда приняли во внимание, что внутри кристалла показатель преломления волн, связанных с электроном, отличен от единицы. Дифракцию электронов удалось получить и на обычной решетке, использовав почти касательное падение (Рупп), как это было ранее проделано с рентгеновскими лучами (Комптон, Тибо). Таким путем можно прямо сравнить длину волны, связанной с электроном, с шириной линий, нанесенных на металлической поверхности механическим способом.
Как это часто бывает, явление дифракции электронов, как вначале казалось, очень трудно наблюдаемое и требующее высокого искусства экспериментатора, теперь стало относительно простым и повседневным. Приборы для наблюдения явления дифракции стали настолько совершенными, что сегодня это явление можно демонстрировать студентам на лекции. Наконец, условия этих экспериментов варьировались в таких широких пределах, что справедливость основной формулы, выражающей соотношение между свойствами волны и характеристиками частицы, можно считать теперь доказанной во всем интервале энергий от нескольких электрон-вольт до миллиона электрон-вольт. Для больших значений энергии необходимо учитывать релятивистские поправки. Таким образом, косвенно подтверждаются и результаты теории относительности.
Справедливость формулы для длины волны, связанной с частицей, считается сегодня настолько очевидной, что явление дифракции электронов используется уже не для подтверждения этой формулы, а для изучения структуры некоторых кристаллических или частично ориентированных сред. Однако это уже технические применения. Ограничимся замечанием, что эксперименты по дифракции электронов дали великолепное прямое подтверждение представления о связи волн и частиц, которое послужило исходным пунктом для создания новой механики.
Заканчивая этот параграф, уместно отметить, что была получена дифракция не только электронов, но и других частиц. Так же, как и электроны, явление дифракции испытывают протоны и атомы. Подобные эксперименты очень сложны и не столь многочисленны, однако установлено, что даже здесь подтверждаются формулы волновой механики. Это не должно нас удивлять. Связь между волнами и частицами – это, по-видимому, великий закон природы, причем такой дуализм тесно связан с существованием и внутренней сущностью кванта действия. Нет никаких причин считать, что только электроны обладают такими свойствами. Неудивительно, что мы встречаемся с дуализмом волна – частица при изучении всех физических объектов.
5. Физическое объяснение волновой механики
Попытаемся теперь показать, что можно извлечь из знания волновой функции системы. Старая механика соответствует приближению геометрической оптики, и все представления и понятия, которыми она пользуется, должны быть отброшены, когда мы выходим за пределы этого приближения. Поэтому мы уже не можем применять, во всяком случае безо всяких предосторожностей, понятия положения, скорости и траектории частицы. Мы снова должны рассмотреть эти понятия и исследовать, что можно сказать, зная волновую функцию, о величинах, характеризующих частицу. Те постулаты, которые мы сформулируем, должны удовлетворять важнейшему условию: они должны вновь приводить к понятиям и результатам старой механики, как только «КСИ»-волна станет удовлетворять законам геометрической оптики.
Интерпретация волновой механики носит вероятностный характер. Какие же постулаты приходится принять физикам, чтобы пользоваться уравнениями волновой механики?
Прежде всего, поскольку «КСИ»-функция существенно комплексна, она непосредственно не пригодна для изображения физических колебаний. Однако можно попытаться образовать с помощью «КСИ»-функции действительные выражения, которые уже имеют физический смысл. Одно из них, которое в первую очередь, естественно, приходит в голову, это квадрат модуля комплексной величины «КСИ», который получается умножением волновой функции на комплексно сопряженную величину. Эту величину можно рассматривать как квадрат амплитуды «КСИ»-функции, т е. ее интенсивность в обычном смысле теории колебаний. Чтобы понять, какой смысл следует приписать этой важной величине, мы снова должны вернуться к теории света, которая нам так часто служила путеводной звездой, и выяснить с ее помощью, что означает интенсивность световых волн, если предположить существование фотонов.
Рассмотрим классический опыт по дифракции или интерференции света. Волновая теория определяет (и мы знаем, с какой огромной точностью) положение светлых и темных полос на экране. Это делается при помощи расчета интенсивности световых волн в каждой точке экрана в предположении, что энергия световых волн распределена в пространстве пропорционально их интенсивности.
Эту гипотезу, которая подтверждается различным образом в различных теориях света, упругих и электромагнитных, можно рассматривать в качестве постулата – принципа интерференции.
Теперь введем понятие фотона. Луч света можно рассматривать как поток фотонов. Тогда эксперименты по интерференции и дифракции света представляются как опыты, в которых фотоны под воздействием приборов распределяются в пространстве неравномерно, уходя из темных мест и концентрируясь в светлых. Поскольку предсказания теории подтверждаются очень точно, можно сказать, что интенсивность волн, рассчитанная по этой теории в каждой точке, пропорциональна плотности фотонов.
С другой стороны, мы уже говорили о таких удивительных экспериментах, которые обнаруживают возможность получения картины интерференции с помощью необычайно слабых световых потоков. В этих опытах интерференция происходит даже, когда фотоны проходят через интерферометр поодиночке. Поэтому для объяснения картины обычной интерференции, которая получится после большой экспозиции, нужно предположить, что интенсивность волны, связанной с каждым фотоном, в каждой точке представляет собой вероятность того, что фотон находится в этой точке. Таким образом, от статистической точки зрения мы приходим к вероятностной. Принцип же интерференции оказывается принципом, определяющим вероятность локализации фотонов. Если теперь вернемся к теории частиц, то увидим, что и здесь мы должны ввести точно такой же принцип, ибо дифракция электронов на кристалле происходит совершенно таким же образом, как дифракция фотонов той же длины волны. Таким образом, и в этом случае интенсивность волны, связанной с электронами, определяет вероятность их локализации в пространстве. Итак, мы приходим к следующему утверждению: квадрат модуля «КСИ»-функции в каждой точке и в каждый момент времени определяет вероятность того, что соответствующая частица будет наблюдаться в этой точке в тот же момент времени.Не следует закрывать глаза на то, сколько изменений вносит подобный постулат в наши представления.
Так как «КСИ»-функция, вообще говоря, отлична от нуля в целой области пространства, то частицу можно найти в любой точке этой области. В данный момент времени частице нельзя приписать точное положение в пространстве. Можно только сказать, что ее можно найти в данной точке с такой-то вероятностью. Вместе с отрицанием понятия строго определенного положения в пространстве исчезают и понятия скорости и траектории. Во всяком случае, они становятся весьма смутными. Вообще все достоверные представления старой механики становятся вероятностными. Здесь мы приоткрыли завесу над важным изменением метода, который наука использует для описания и предсказания явлений природы, изменением, заключающим в себе глубокие философские следствия.
Оставляя за собой право вернуться к этим вопросам в дальнейшем, сформулируем здесь второй принцип, который физики вынуждены принять в их интерпретации волновой теории. Впервые этот второй принцип, насколько нам известно, был сформулирован Борном, когда он начал свое блестящее исследование методами волновой механики задачи о столкновениях частиц. Этот принцип можно назвать принципом спектрального разложения.
Чтобы понять природу этого нового постулата, рассмотрим сначала простой случай частицы, движущейся в отсутствии внешнего поля. Если волна, связанная с частицей, является плоской монохроматической волной, то мы знаем, что энергия частицы строго определена и равна произведению частоты волны на постоянную Планка
Борн предложил разрешить эту трудность, вновь обратившись к вероятности. Согласно теории Борна частица не обладает определенной энергией. Она может иметь одну из энергий, соответствующую одной из частот «КСИ»-волны. Более точно это означает, что при определении энергии частицы можно найти одну из этих величин, не зная a priori, какую именно. Единственно, что можно сказать a priori, это какова вероятность обнаружить то или иное из возможных значений энергии. В этом заключается введенный Борном новый принцип.
В сущности утверждение, что волна, связанная с частицей, представляет собой суперпозицию плоских монохроматических волн, означает, что «КСИ»-функция математически изображается в виде суммы членов, каждый из которых описывает монохроматическую волну. Каждый из этих членов характеризуется коэффициентом, который можно назвать парциальной амплитудой этой монохроматической компоненты спектрального разложения «КСИ»-волны. Квадрат модуля этой амплитуды будет определять соответствующую парциальную интенсивность. Принцип, сформулированный Борном, состоит в утверждении, что вероятность того, что измерение энергии частицы даст определенную величину, соответствующую одной из монохроматических компонент «КСИ»-волны, дается соответствующей парциальной интенсивностью в спектральном разложении этой волны. Этот принцип снова находится в полном согласии с положениями оптики.
Действительно, предположим, что на призму или дифракционную решетку падает немонохроматическая световая волна. После прохождения луча через прибор оказывается, что различные монохроматические компоненты волны отделяются друг от друга. Очевидно, вероятность того, что фотон первичного луча попадет в тот или иной отклоненный луч, пропорциональна интенсивности соответствующей монохроматической компоненты в спектральном разложении падающей волны.
Этот вопрос можно рассмотреть также с более общей точки зрения. Примененный к квантовым атомным системам, этот принцип дает ключ к разрешению трудности, о которой уже говорилось. В квантовом атоме существует набор частот, соответствующих стационарным значениям квантованной энергии. Однако для такой системы, как и для колеблющейся струны, можно легко представить себе, как некоторое состояние образуется суперпозицией стационарных состояний. В самом деле, взяв в качестве «КСИ»-функции сумму подходящих колебаний, можно снова получить решение волнового уравнения, поскольку оно линейно. Правда, о состоянии атома, которое описывается этой «КСИ»-функцией, уже нельзя сказать, что оно стационарно. Оно представляет собой нечто вроде нескольких стационарных состояний в один и тот же момент времени. Совершенно непонятно, что это означает с классической точки зрения.
Принцип спектрального разложения позволяет разрешить эту трудность совершенно неожиданным образом: атом в рассматриваемом состоянии может иметь любое из квантованных значений энергии, которые соответствуют спектральному разложению его «КСИ»-волны, с вероятностью, пропорциональной интенсивности соответствующих спектральных компонент. Здесь это снова означает, что эксперимент, позволяющий нам приписать атому определенную энергию, дает ее значение, соответствующее спектральному разложению. Вероятностный характер этой трактовки позволяет вновь почувствовать ту совершенно новую форму, которую должна принять физическая теория.
Сопоставление только что установленных двух принципов ведет к соотношениям неопределенности, связанным с именем Гейзенберга. Изучение этого важнейшего вопроса будет более уместным в разделе, который посвящен вероятностной трактовке новой механики.
6. Теория Гамова
Следует сказать несколько слов об одном замечательном применении волновой механики, которое нашел Гамов. Эта теория представляет интерес не только потому, что она объяснила некоторые явления радиоактивности. Она показала так же, как видоизменяется постановка некоторых задач при переходе от старой механики к новой.
Рассмотрим частицу, движение которой тормозится некоторым силовым полем. Пусть силовое поле, которое мы предполагаем статическим, в некоторой точке обращается в нуль, а затем меняет знак. При этом потенциал, определяющий это поле, вначале растет, затем проходит через максимум и, наконец, падает. Фигурально говоря, мы имеем здесь дело с потенциальным барьером. Сможет ли поднимающаяся на этот барьер частица перейти через него? Классическая механика отвечает на этот вопрос следующим образом: да, если эта частица обладает энергией, достаточной, чтобы достигнуть вершины, она опустится по другую сторону, перевалив, таким образом, через барьер. Однако если энергии у частицы недостаточно, чтобы достигнуть вершины, то она никогда не преодолеет этот барьер, ибо, истощив весь свой запас энергии, она застрянет на подъеме и в конце концов скатится назад.
Совсем иначе обстоит дело в волновой механике. Здесь мы должны наглядно представить себе, как распространяется волна, связанная с частицей. Можно показать, что до тех пор, пока высота потенциального барьера меньше энергии частицы, для такой волны этот барьер является аналогом преломляющей среды. Если энергия частицы больше, чем значение потенциала на вершине, то она легко переходит с одной стороны на другую. С этой точки зрения нет никакой разницы между старой и новой теориями. Однако если энергия частицы ниже, чем высота потенциального барьера, то избыточная часть высоты барьера играет для волн роль поглощающей среды. Но согласно волновой теории при падении на поглощающую среду волна все же через нее проходит, правда в сильно ослабленном виде. Это затухание волны таково, что если толщина поглощающей среды достаточно мала, то некоторая часть волны, в действительности очень малая, может просочиться сквозь эту поглощающую среду. Этот факт бесспорно подтвержден в оптике. Переходя к нашей задаче волновой механики, мы видим, что частица, энергия которой слишком мала, чтобы перевалить через вершину потенциального барьера, может пройти через него, если его ширина не слишком велика. Точнее говоря, частица, отскакивающая от потенциального барьера, если ее энергии недостаточна, чтобы перевалить через вершину, имеет, однако, определенную вероятность (конечно, очень малую, но не равную нулю) появиться с другой стороны барьера. Это следует из вероятностей трактовки, связанной с частицей волны, и принципа интерференции. Описанное явление – следствие волновой природы материи часто образно называют туннельным эффектом.
Допустим теперь, что частица заключена в пространстве, со всех сторон ограниченном потенциальными барьерами, высота которых больше ее энергии. Классическая механика утверждает, что частица никогда не сможет вырваться из этой потенциальной ямы. Согласно же волновой механике частица, наоборот, имеет вполне определенную, небольшую вероятность покинуть яму. Волновая механика позволяет вычислить вероятность выхода за единицу времени.
Теперь посмотрим, как Гамов (и почти одновременно с ним Кондон и Гарни) применил эту теорию к изучению задачи радиоактивного распада. Известно, что большое число радиоактивных веществ распадается с испусканием «альфа»-частиц. Можно предположить, что «альфа»-частицы еще до распада заключены в ядрах радиоактивных атомов как в потенциальной яме. Поскольку закон Кулона действует вблизи ядра вплоть до самых близких расстояний от него, вид внешнего склона потенциальной горы известен. Весьма вероятно, что потенциал на определенном расстоянии от ядра в конце концов перестает быть кулоновским: потенциал должен пройти через максимум и затем упасть, однако закон изменения внутреннего склона барьера совершенно неизвестен. Величайшее удивление вызывал у физиков такой факт: энергия «альфа»-частиц, выходящих из распадающихся ядер, была, по-видимому, гораздо ниже той, которая позволила бы им перевалить через окружающий ядро потенциальный барьер. Действительно, можно достаточно далеко исследовать внешний склон потенциального барьера, чтобы обнаружить, что вершина его заведомо превосходит некоторую определенную высоту. Вылетающие же из ядра «альфа»-частицы не обладают энергией, достаточной, чтобы достичь этой высоты. Если исходить из классических представлений, то мы попадаем в тупик. А вот туннельный эффект сразу все объясняет. Заключенные в радиоактивном ядре «альфа»-частицы находятся в потенциальной яме с очень высокими стенками. Тем не менее они имеют определенную вероятность за единицу времени выскочить наружу. Эта вероятность, очевидно, равна постоянной распада радиоактивного вещества. Итак, волновая механика позволяет при условии, если мы точно знаем форму потенциального барьера, вычислить постоянные «альфа»-распада радиоактивных веществ. Сделав разумные предположения о форме этих барьеров, Гамов показал, что результаты теории очень близки к наблюдаемым.
Одним из важнейших успехов теории Гамова явилось объяснение закона Гейгера – Неттола, согласно которому скорость вылетающих «альфа»-частиц для элементов с малым периодом полураспада больше, чем для долгоживущих. Этот закон математически выражается соотношением между постоянной распада и энергией «альфа»-частиц, испущенных при распаде, соотношением, из которого следует, что постоянная распада очень сильно зависит от энергии «альфа»-частиц.
Теория Гамова очень хорошо объясняет этот закон. Причину такого согласия легко понять: чем больше энергии недостает частице, заключенной в потенциальной яме, чтобы достичь высоты барьера, тем меньше вероятность ее вылета. И эта вероятность очень быстро падает с уменьшением энергии заключенной в яме частицы. Но так как вероятность равна постоянной распада и так как частица, вышедшая благодаря туннельному эффекту, обладает той же энергией, что и до выхода, мы находим, таким образом, соотношение между постоянной распада и энергией «альфа»-частицы, испущенной при распаде ядра. Вид формулы согласуется с экспериментом. Правдоподобные гипотезы относительно профиля потенциала ядра позволяют достичь и численного соответствия. Конечно, теория Гамова очень неполна, ибо ядра тяжелых радиоактивных элементов гораздо более сложны, и их нельзя рассматривать просто как потенциальные ямы, наполненные «альфа»-частицами. Тем не менее, успех теории Гамова в объяснении некоторых фактов показывает значение новых понятий волновой механики и необходимость вероятностной трактовки при разрешении некоторых несомненных трудностей, возникающих в экспериментах.
Глава IX. Квантовая механика Гейзенберга
1. Основные идеи Гейзенберга
Первая работа Гейзенберга по квантовой механике появилась в 1925 г., когда уже были сформулированы первые идеи волновой механики, но еще не были опубликованы статьи Шредингера. Правда, казалось, что цель Гейзенберга совершенно отличается от той, которую ставил себе Шредингер. Основные идеи Гейзенберга не имели фактически никакой видимой связи с теми, которые положили начало успехам волновой механики, а развитый им формализм имел весьма специальный вид.
Рассмотрим идеи, которыми руководствовался Гейзенберг. Как мы знаем, Гейзенберг принадлежал к «копенгагенской школе», которая сформировалась вокруг Бора. Свои первые шаги в науке он посвятил применению метода соответствия. Поэтому вполне естественно, что сам дух этого метода, сколь оригинального, столь и глубокого, насквозь пропитал его мысли. Одна из существенных идей, возникших из изучения принципа соответствия, заключалась в следующем. В то время как классическая теория выражает величины, относящиеся к квантованной системе, в виде разложения в ряд Фурье, члены которого соответствуют непрерывному и одновременному испусканию различных излучений, квантовая теория разлагает те же величины на элементы, отвечающие различным возможным переходам атома, причем каждый из этих элементов связан с дискретными и индивидуальными актами испускания излучения. Как мы уже поясняли раньше, цель знаменитого боровского принципа заключалась в установлении соответствия, по крайней мере асимптотического, между этими двумя столь различными представлениями.
По-видимому, Гейзенберг столкнулся с тем обстоятельством, что при переходе от классической точки зрения к квантовой нужно разложить все физические величины я свести их к набору отдельных элементов, соответствующих различным возможным переходам квантованного атома. Отсюда идея, на первый взгляд весьма сомнительная: представлять каждую физическую характеристику системы таблицей чисел, аналогичной той, которую математики называют матрицей. Подобно этому в классической теории ряды Фурье представляют собой разложение физической величины на бесконечные множества дискретных элементов, причем вся совокупность этих элементов изображает рассматриваемую величину. Конечно, эти элементы должны удовлетворять некоторым условиям, а именно, для больших квантовых чисел классические и квантовые разложения должны асимптотически совпадать. Как показал Бор, этим устанавливается соответствие между различными переходами и компонентами классического ряда. Фурье.
Гейзенберг увидел еще одно преимущество этого нового представления величин набором матричных элементов; он надеялся, применяя его, исключить из теории ненаблюдаемые величины, которые обременяли прежнюю квантовую теорию. Пользуясь довольно громоздким выражением, взятым из философского словаря, он занял строго феноменологическую позицию и хотел исключить из физической теории все, что нельзя наблюдать непосредственно.
Зачем нужно вводить в наши атомные теории положение, скорость или траекторию атомных электронов, если мы все равно не можем ни измерять эти характеристики, ни наблюдать их? Единственно, что нам известно об атоме – это его стационарные состояния, переходы между ними и излучения, которые сопровождают эти переходы. Поэтому в наши расчеты нужно вводить только величины, связанные с этими реально наблюдаемыми величинами. Такую задачу поставил себе Гейзенберг. В его матрицах элементы располагаются в строки и столбцы, причем каждый из них имеет два индекса: один соответствует номеру столбца, другой – номеру строки. Диагональные элементы, т е. те индексы которых совпадают, описывают стационарное состояние. Недиагональные элементы с разными индексами описывают переходы между стационарными состояниями, соответствующими этим индексам. Что же касается величины этих элементов, то ее нужно связать по формулам, полученным с помощью принципа соответствия, с величинами, характеризующими излучение при этих переходах. Таким путем будет создана теория, в которой все величины будут описывать наблюдаемые явления.
Конечно, было бы удивительно, если бы Гейзенбергу действительно удалось исключить из теории все ненаблюдаемые величины. Наличие в формализме его квантовой механики матриц, изображающих координаты и импульсы атомных электронов, оставляет в этом смысле некоторые сомнения. Однако эта попытка Гейзенберга, даже если ему и не удалось полностью выполнить свою философскую программу, привела к созданию новой механики, механики совершенно особого вида. Она дала замечательные результаты и представляет собой значительную ступень в развитии новых квантовых теорий.
2. Квантовая механика
Очень трудно даже совершенно поверхностно излагать квантовую механику, не пользуясь математическим формализмом, потому что можно сказать, сущность этой новой механики заключается именно в ее формализме. Тем не менее мы попытаемся дать читателю хотя бы смутное представление о том, что такое квантовая механика, механика матриц, рождением которой мы обязаны Гейзенбергу, а дальнейшим развитием – Гейзенбергу, Борну в Иордану.
Итак, Гейзенбергу принадлежит идея замены физических величин, с которыми имеют дело в атомной теории, таблицами чисел, матрицами. Исходя из принципа соответствия, он пытался вначале установить правила сложения и умножения различных матриц, каждую из которых нужно рассматривать как единое математическое целое. Он обнаружил, что эти правила сложения и умножения в точности совпадают с правилами для матриц, которыми пользовались математики в теориях алгебраических уравнений и линейных преобразований. Этот результат, a priori, отнюдь не очевидный, очень упростил задачу, ибо свойства алгебраических матриц были уже с давних пор хорошо известны.
Необычным оказалось одно свойство этих матриц – произведение их некоммутативно, оно зависит от порядка сомножителей. Произведение первой матрицы на вторую не равно произведению второй на первую.
Таким образом, Гейзенберг представил физические величины числами, не обладающими свойством коммутативного умножения. Этот факт можно рассматривать как самую основу квантовой механики, и Дирак в своей первой работе отстаивал именно эту точку зрения. Он считал, что переход от классической физики к квантовой заключается просто в представлении физических величин не обычными числами, а квантовыми числами, произведение которых не обладает свойством коммутативности.
Огромное большинство физиков того времени находило, что произвести подобную замену далеко не так просто.
Гейзенберг должен был найти также способ введения в свою теорию кванта действия, И снова он пошел по пути, которым постоянная
Результат оказался очень точным, хотя на первый взгляд несколько удивительным. Нужно было предположить, что при перемножении матрицы, соответствующей координате, на матрицу, соответствующую канонически сопряженной компоненте импульса, порядок множителей не безразличен и что разность между произведением этих двух величин, взятых в одном порядке, и их произведением в противоположном порядке равна постоянной Планка, умноженной на некоторое число.
Все другие канонические переменные квантовой механики коммутируют между собой, т е. их произведение не зависит от порядка сомножителей. Только когда рассматриваются произведения двух величин, канонически сопряженных в смысле аналитической механики, в результате их перестановки получается величина, отличающаяся от исходной так, что их разность пропорциональна
Уточнив таким образом свойства матриц, представляющих физические величины, Гейзенберг должен был вывести уравнения, описывающие их изменение со временем: иными словами, он должен был построить динамику. Он сделал это, смело предположив, что его матрицы подчиняются уравнениям, по виду совпадающим с уравнениями классической механики.
Согласно этой гипотезе для матриц можно написать канонические уравнения Гамильтона.
Однако эта идентичность динамических уравнений скорее кажущаяся, чем реальная, ибо в классической механике в уравнениях фигурируют обычные числа, а в механике Гейзенберга – матрицы. В этом корень важнейших различий. Тем не менее можно показать, что канонические уравнения квантовой механики позволяют вновь получить принцип сохранения энергии, и они не противоречат боровским соотношениям для частот. Кроме того, для атомных систем эти уравнения по причинам, на которых мы не можем здесь останавливаться, удовлетворяются лишь для некоторых определенных значений энергии. Итак, мы снова приходим к существованию стационарных состояний с квантованной энергией, и у нас есть метод вычисления этих энергий.
Сразу применив свой метод к самым классическим квантовым системам, Гейзенберг и его соратники вычислили квантованную энергию линейного осциллятора, атома водорода и т д. Часто их результаты оказывались в полном согласии со старой квантовой теорией, однако иногда совершенно от них отличались. Гак, например, в случаях линейного осциллятора, они получили вместо закона целых квантов, который предполагал Планк, закон полу целых квантов, о котором мы уже упоминали и который лучше согласуется с экспериментальными фактами.
Воодушевленные очень интересными результатами квантовой механики, строгостью и точностью ее формализма, толпы теоретиков бросились вслед Гейзенбергу, внося в его теорию все новые важные дополнения.
Шредингер опубликовал свою работу и с изумлением заметил, что метод квантования волновой механики ведет к тем же результатам, что и метод квантовой механики, хотя они различаются по духу. Он интуитивно почувствовал, что этот факт не случаен, и блестяще сумел объяснить его.
3. Тождество квантовой и волновой механики
В своей работе Шредингер руководствовался идеей, что с помощью волновой функции волновой механики можно построить величины, обладающие свойствами матриц квантовой механики. При этом квантовая механика оказывается методом, позволяющим вычислять эти величины и оперировать ими, не обращаясь явно к волновой функции. Таким образом, можно доказать идентичность этих двух форм новой механики.
Изучая проблему квантования в волновой механике, находят различные стационарные волны рассматриваемой системы и вычисляют соответствующие волновые функции. Эти функции называются собственными функциями системы: они образуют некую, как будем предполагать, дискретную последовательность. Во многих важных случаях это действительно так. Допустим теперь, что мы скомбинировали эти собственные функции во всевозможные пары. Получим, таким образом, два типа пар: пары, построенные из одинаковых собственных функций, и пары из различных собственных функций. Первые относятся к одному стационарному состоянию, вторые – к двум различным стационарным состояниям. Поэтому можно считать, что последние описывают переход между этими двумя стационарными состояниями.
Таким образом, из этих парных комбинаций волновых функций получим набор элементов, который можно поставить в однозначное соответствие с элементами гейзенберговской матрицы. Но поскольку, согласно Гейзенбергу, каждой физической величине отвечает своя матрица, то, следовательно, для каждой величины мы должны образовать разные комбинации собственных функций.
Следовательно, возникает существенно новая и важная идея. Она заключается в том, что каждой физической величине необходимо поставить в соответствие некий символ операции, определенный оператор. Для того чтобы, не задумываясь, написать уравнение распространения волны, связанной с частицей, Шредингер заменил компоненты импульса оператором, пропорциональным производным по сопряженным координатам, причем множитель пропорциональности содержал постоянную
Естественно также предположить, что каждой координате соответствует умножение на эту координату. Поскольку все механические величины. Характеризующие поведение частицы, можно выразить с помощью координат и компонент импульса (сопряженных импульсов Лагранжа), то только что сформулированные правила позволяют нам найти оператор, соответствующий любой механической характеристике частицы. Если образовать оператор энергии, то получим оператор Гамильтона, с которым мы встречались при построении волнового уравнения. Обобщая этот вывод, приходим к принципу, согласно которому всем физическим величинам сопоставляются операторы. Этот принцип положен в основу новой механики.
Теперь уже можно понять, как Шредингер построил матрицы, которые он хотел отождествить с матрицами квантовой механики. Пусть имеется некоторая механическая величина, характеризующая движение частицы и соответствующий ей оператор, правило построения которого мы знаем. Каждой паре собственных функций рассматриваемой системы можно, таким образом, сопоставить величину, образованную следующим образом. Оператор, о котором идет речь, действует на одну из функций пары, результат множится на комплексно сопряженное значение другой функции и интегрируется по всему пространству.
Повторяя подобную операцию со всеми парами собственных функций, получаем систему элементов, одни из которых относятся к одному стационарному состоянию, другие – к двум стационарным состояниям, т е. к переходам. Эти элементы располагают в таблицу, причем элементы первого типа помещают на диагонали (диагональные элементы). Каждой механической величине сопоставляется, таким образом, матрица. Вопрос теперь заключается лишь в том, можно ли отождествить эти матрицы и матрицы квантовой механики.
Ответ на этот вопрос утвердительный. Шредингер прежде всего показал, что матрицы, построенные только что описанным способом, должны удовлетворять, как и матрицы Гейзенберга, правилам сложения и перемножения алгебраических матриц. Кроме того, несколько странный путь, которым постоянная Планка проникла в квантовую механику, получил в концепции Шредингера немедленное объяснение. Произведение двух операторов, вообще говоря, не коммутирует: полученный результат зависит от порядка сомножителей.
Тем не менее во многих случаях два оператора, соответствующих механическим величинам, коммутируют. Однако имеется исключение, когда этими величинами являются координата и сопряженная компонента импульса, ибо оператор, отвечающий последнему, пропорционален производной по сопряженной координате, а операция «производная по некоторой переменной» не коммутирует, как легко видеть, с операцией умножение на эту переменную.
Отсюда немедленно следуют сформулированные Гейзенбергом правила перестановки. Чтобы завершить отождествление рассматриваемых матриц, остается лишь показать, что матрицы волновой механики подчиняются каноническим уравнениям квантовой механики. Вот как это было сделано: Шредингер показал, что из канонических уравнений строго следует, что волновые функции, использованные при конструировании матриц, обязательно удовлетворяют волновым уравнениям волновой механики. Короче говоря, канонические уравнения квантовой механики эквивалентны волновым уравнениям волновой механики.
Таким образом, оказалось, что обе формы новой механики сводятся одна к другой. Теперь больше не вызывает удивления тот факт, что они приводят в проблеме квантования к одинаковым результатам. Метод квантовой механики, оперирующий прямо с матрицами и не имеющий дела с промежуточными величинами – волновыми функциями, более компактен и часто быстрее приводит к желаемым результатам. Метод же волновой механики лучше удовлетворяет интуиции физиков и лучше согласуется с образом их мыслей. Поэтому на первый взгляд он кажется более естественным и удобным для работы. Действительно, большинство физиков пользуется волновым методом и при расчетах явно использует волновые функции.
4. Принцип соответствия в новой механике
Новая механика позволяет придать гораздо более точную форму принципу соответствия и частично устранить поводы для критики, которой он подвергался в рамках старой квантовой теории. Мы уже видели, как Бор пытался использовать разложение в ряд Фурье электрического момента, соответствующего в классической модели начальному или конечному состоянию квантового перехода, чтобы предсказать поляризацию и интенсивность излучения при этом переходе. В случае больших квантовых чисел этот метод вполне удовлетворителен и свободен от всяких неопределенностей.
Однако в случае средних и малых квантовых чисел, практически наиболее важном, возникают трудности и двусмысленности. Наоборот, в новой механике сразу получается весьма ясный способ применения принципа соответствия. Действительно, в матрице, отвечающей компоненте электрического момента, каждый переход описывается одним и только одним элементом. Рассматривая матричный элемент, соответствующий определенному переходу, как амплитуду данной компоненты дипольного момента для данного перехода, можно, пользуясь формулой, аналогичной классической формуле, дать необычайно точное и недвусмысленное предсказание характера излучения при данном переходе. Конечно, в этом способе остается недоказанным, насколько законно применять для расчета указанных интенсивностей формулы классического типа. Однако это утверждение – один из наиболее существенных постулатов метода соответствия. Если принять эту гипотезу, то больше не останется никакого произвола и нестрогости в применении принципа соответствия.
В такой строгой форме принцип соответствия был установлен Гейзенбергом при создании матричной механики. На язык волновой механики его «перевел» Шредингер. Эти выдающиеся физики даже предложили одно наглядное объяснение роли матричных элементов в расчете излучения. Электрон в атоме нельзя больше считать локализованным в каждый момент времени. Есть лишь определенная вероятность найти его в той или иной точке, вероятность, пропорциональная согласно принципу интерференции квадрату модуля волновой функции. Это позволяет нам считать электрон как бы размазанным внутри атома, а его электрический заряд – в среднем распределенным непрерывным образом. Согласно Шредингеру, можно было бы применить принцип соответствия, сказав, что все происходит таким образом, как будто электрическая система (изменяющаяся во времени) излучает в соответствии с классическими законами. На первый взгляд такая точка зрения кажется вполне удовлетворительной, ибо она позволяет нам вновь» получить боровский закон частот. Однако, изучив ее внимательнее, мы видим, что на этом пути возникают серьезные трудности, и от него приходится отказаться. В действительности процесс излучения при квантовых переходах является по своей сущности настолько дискретным, что его нельзя строго представить себе как излучение некоторым, пусть фиктивным, распределением электричества, происходящим по классическим законам. Единственная поистине корректная интерпретация роли матричных элементов заключается в том, что согласно идеям, установленным в связи с принципом соответствия, матричные элементы позволяют вычислить вероятность того, что некоторое состояние претерпевает в единицу времени определенный квантовый переход.
Принцип соответствия новой механики позволяет вычислить интенсивность и поляризацию спектральных линий и, что особенно важно, вновь получить правила отбора. 0:1 позволяет также решить огромное число задач, касающихся взаимодействия вещества и излучения, среди которых я укажу лишь на задачу рассеяния света и дисперсии. Теперь можно строго получить формулу Крамерса – Гейзенберга, выведенную ранее с помощью приближенных соображений соответствия.
Применение метода соответствия к изучению взаимодействия вещества и излучения дало вполне удовлетворительные результаты и определенно содержит большую долю истины. Тем не менее нельзя не заметить, что, систематически применяя формулы электродинамики, записанные соответствующим образом, постоянно упускают из виду корпускулярную природу света. Действительно, рассеяние света атомом можно было бы рассматривать как задачу о соударении фотона с атомом, рассмотренную методами волновой механики. Чтобы успешно решить поставленный вопрос с этой точки зрения, необходимо попытаться ввести понятие о фотонах в электромагнитные колебания, иными словами, проквантовать электромагнитное поле.
Глава X. Вероятностная интерпретация новой механики
1. Общие идеи и основные принципы
Понятие вероятности играло важную роль в первых физических трактовках волновой механики. Чувствовалось, что возникла общая теория, в которой все законы новой механики имеют вероятностный характер. К этой теории, внешне очень новой и отвергающей многие классические идеи, постепенно приковывалось внимание всех физиков. Можно сказать, что сегодня ее приняли все, даже те, кто поверил в нее временно, и не оставляют надежды в один прекрасный день возвратиться к классическим представлениям.
Начнем с внешне почти банальной идеи о том, что для точного знания какой-либо физической величины нужно ее измерить. А для ее измерения всегда нужен некий прибор, который как-то воздействует на эту величину, в результате чего она становится известной с такой-то степенью точности. В классической физике a priori предполагалось, что, приняв соответствующие меры предосторожности, всегда можно так провести эти измерения, чтобы существенно не нарушить состояния, которое было до измерения. При этих условиях процесс измерения лишь устанавливает существование некоторого состояния, не внося ничего нового.
В макроскопических масштабах этот постулат, неявно допускаемый классической физикой, правилен. В этой области способный экспериментатор всегда может количественно исследовать явление, не внося значительных искажений. Это следует из того, что возмущения, которые возникают в процессе измерения, можно всегда уменьшить настолько, чтобы сделать их пренебрежимо малыми по сравнению с измеряемыми величинами. Напротив, когда мы имеем дело с микроскопическими величинами, из существования кванта действия следует, что возмущения, возникающие в процессе измерения, бесконечно уменьшать нельзя. Поэтому каждое измерение существенно искажает исследуемое явление.
Эти идеи будут отчетливо сформулированы несколько ниже, когда мы будем приводить примеры в пользу соотношений неопределенности, данные в основном Бором и Гейзенбергом. Пока же достаточно заметить, что ниоткуда не следует, что операция измерения является простым и хорошим способом получения сведений о существовавшем до этого измерения состоянии. Вполне возможно, что операция измерения сама участвует в создании нового состояния, извлекая из существовавшего до этого состояния одну из содержащихся в нем возможностей. А теперь попытаемся строго сформулировать роль измерений с новой точки зрения.
Для этой цели будет полезно вернуться к некоторым классическим экспериментам физической оптики. Снова, как и раньше, начав с дуализма фотонов и световых волн, мы будем иметь больше возможностей разобраться в этом вопросе. Представим себе вполне обычный эксперимент: спектральный анализ сложного луча света с помощью призмы (или дифракционной решетки). Прибор разделяет (как это было известно еще со времен Ньютона) различные монохроматические компоненты, содержащиеся в падающем пучке. В XIX в. много обсуждали вопрос о том, разделяет ли призма монохроматические компоненты, существовавшие в падающем пучке уже до этого, или они образуются под воздействием призмы. На этот вопрос не было дано сколько-нибудь удовлетворительного ответа. В конце концов наиболее осторожная позиция заключалась в следующем: монохроматические компоненты существуют в падающем свете виртуально, в некоем потенциальном состоянии. Это мнение подтверждается анализом квантовой природы света.
По существу мы попытаемся ввести в объяснение разложения света призмой идею фотонов. С этой точки зрения можно сказать, что призма разделяет фотоны на строго определенные цветовые группы: она выделяет из падающего пучка красные, желтые и синие фотоны. Но можно себе представить такой эксперимент, когда пучок настолько слаб, что фотоны попадают на призму поодиночке. Каждый фотон соответствует падающей волне, которая согласно предположению не монохроматическая. Поэтому падающему фотону нельзя приписать ни определенной частоты, ни согласно соотношению Эйнштейна определенной энергии. Падающий фотон обладает как бы несколькими возможными частотами, появляющимися в спектральном разложении соответствующей световой волны. Однако, пройдя сквозь призму, падающий фотон становится одним из фотонов монохроматических пучков, разделенных воздействием призмы. Теперь, следовательно, он обладает вполне определенной частотой.
Таким образом, призма оказывается инструментом, позволяющим измерить частоту (или энергию) фотонов: этот прибор как раз и извлекает из состояния, которое существовало до измерения, одну из содержащихся в нем возможностей. Теперь необходимо вычислить вероятность такого действия призмы на падающий фотон, чтобы он имел определенный цвет. Волновая теория немедленно дает количественный ответ на этот вопрос. Падающую волну можно представить в виде разложения Фурье, в котором каждая монохроматическая компонента обладает определенной амплитудой. Действие призмы заключается в разделении этих монохроматических компонент без изменения их амплитуды. Энергия же падающего на призму света на выходе разделяется между различными выходящими монохроматическими пучками пропорционально квадратам этих амплитуд, т е. интенсивностям различных компонент Фурье. Можно поэтому сказать: вероятность, что фотон, пройдя через призму, будет иметь определенную частоту, пропорциональна парциальной интенсивности, соответствующей этой частоте в разложении Фурье падающей световой волны. Это рассуждение, переведенное на язык волновой механики и соответствующим образом обобщенное, позволяет понять происхождение общей теории вероятностной трактовки квантовой механики.
Новая механика ставит в соответствие каждой механической величине некий оператор, который можно построить во всех случаях. Все операторы, о которых идет речь, относятся к классу линейных эрмитовских операторов. Математическая теория собственных значений позволяет поставить в соответствие этим операторам собственные значения и собственные функции. Поскольку эти операторы эрмитовские, собственные значения их будут действительными числами, образующими непрерывную, дискретную или смешанную последовательность, которая называется спектром этого оператора.
Собственные функции образуют, по крайней мере в общем случае, полный набор ортогональных функций, т е. какой бы ни была любая непрерывная функция, ее можно разложить в ряд по этим собственным функциям. С этими свойствами собственных функций и собственных значений мы уже встречались, когда говорили о собственных значениях и собственных функциях оператора Гамильтона в шредингеровском методе квантования. В этом методе предполагалось, что лишь некоторые, значения энергии квантованной системы являются собственными значениями оператора Гамильтона, который соответствует ее энергии. Обобщая эту идею, общая вероятностная теория волновой механики выдвигает следующий первый основной постулат, который можно назвать принципом квантования: точное измерение какой-либо механической величины может дать в качестве значения этой величины лишь одно из собственных значений соответствующего оператора.
Поделиться книгой: