Таким образом, при переходе атома из одного стационарного состояния в другое он испускает фотон, энергия которого равна разности энергий начального и конечного состояний атома. Отсюда непосредственно следует так называемое правило частот Бора: частота спектральной линии, соответствующей переходу атома из некоторого состояния A в состояние B, равна разности энергии атома в состояниях A и B, деленной на постоянную Планка
Согласно этому правилу частот спектральные термы атома равны энергиям стационарных состояний этого атома, деленным на постоянную Планка. Тем самым становится понятным комбинационный принцип Ритца.
Итак, Бор построил свою квантовую теорию атома на двух основных положениях: 1) атом обладает последовательностью стационарных состояний, соответствующих движениям, удовлетворяющим условиям квантования Планка, и только эти состояния могут быть физически реализованы; 2) спектральное излучение может испускаться лишь при переходе атома из одного стационарного состояния в другое, причем частота этого излучения определяется вышеуказанным правилом частот. Задача заключалась теперь в определении энергий стационарных состояний различных атомов. Самым простым, очевидно, был случай атома водорода, атомный номер которого равен единице. В этом случае атом обладает всего одним единственным электроном-планетой, описывающим вокруг ядра кеплеровскую траекторию. Но даже для этого наиболее простого случая поставленная задача не была полностью решена в первых работах Бора. Это объяснялось тем, что кеплеровское движение не одномерное, а определяется двумя переменными, например величиной радиус-вектора и азимутальным углом электрона-планеты. Правила же квантования для двухмерного движения к тому времени еще не были известны. Бор обошел эту трудность, предположив, что движение чисто круговое, т е. считая величину радиус-вектора постоянной. В этом случае движение будет целиком определяться, очевидно, только одной переменной, азимутальным углом, т е. становится одномерным, для которого правила квантования были известны. Приравнивая интеграл действия, взятый по полному периоду движения, произведению постоянной Планка на целое число, Бор нашел выражение для энергий, соответствующих стабильным различным состояниям, как функцию целого числа, изменяющегося от единицы до бесконечности. Разделив полученное выражение для энергии на
Однако Бор этим не ограничился и распространил свою теорию на случай ионизованного атома гелия. Гелий занимает второе, после водорода, место в таблице Менделеева, где все элементы расположены в порядке возрастающего атомного веса. Его атомный номер равен двум, и согласно планетарной модели гелий состоит из ядра, заряд которого равен удвоенному заряду протона, и двух электронов-планет.
С математической точки зрения определение квантованных движений атома гелия представляет собой весьма сложную задачу, поскольку мы имеем здесь не два, а три тела. Однако для однократно ионизованного атома гелия, т е. для атома, потерявшего под действием каких-либо внешних причин один из своих электронов, мы снова возвращаемся к проблеме двух тел, и все существенно упрощается. Для однократно ионизованного атома гелия задача сводится к рассмотренной в случае водорода с той лишь разницей, что заряд ядра в этом случае в два раза больше. Так Бор показал, что расположение спектральных линий в спектре однократно ионизованного гелия нужно описывать соответственно формулами Бальмера и другими, аналогичными, в которых вместо постоянной Ридберга должно стоять произведение этой постоянной на четыре. Это позволило установить, что серия Пиккеринга, открытая в спектрах некоторых звезд и неправильно приписанная ранее водороду, принадлежит однократно ионизованному гелию. Таким образом, квантовая теория атома помогла разобраться в некоторых опытных данных, толкование которых оставалось до тех пор сомнительным.
Наконец, теория Бора объясняла еще один, хотя и не столь существенный, но весьма странный на первый взгляд факт. Дело в том, что постоянная Ридберга, определенная из спектральных измерений с однократно ионизованным гелием, имела значение, хотя и весьма близкое, но все же в пределах точности эксперимента, отличное от того, которое было найдено из измерений с водородом (с учетом, конечно, четверки, о которой мы упоминали выше). Бор указал, что причина этого расхождения кроется в необходимости учитывать движения ядер водорода и гелия, имеющих различные массы.
Простейший вариант теории, исходящий из предположения о неподвижности ядра, является лишь первым приближением, тем более точным, чем больше отношение массы ядра к массе электрона. Поэтому для получения точных выражений нужно учесть движение ядра, совершающееся под влиянием сил, действующих со стороны электрона. Действительно, проведенный Бором более точный расчет, позволил получить соответствующие поправки, пропорциональные отношению массы электрона к массе ядра. А так как масса ядра гелия примерно в четыре раза превышает массу ядра водорода, то и поправка оказалась для водорода заметно отличающейся от той, которая возникает в случае гелия. Исправленные значения постоянной Ридберга блестяще совпали с определенными экспериментально. Таким образом, расхождение в численных значениях этой постоянной, полученное из опытов с гелием и водородом, было объяснено.
Теория атома, развитая Бором, позволила также, по крайней мере в общих чертах, понять структуру оптических спектров и других элементов. Однако при попытке непосредственно распространить расчеты Бора на атомы, обладающие большим числом электронов, мы сталкиваемся с серьезными трудностями, поскольку, с одной стороны, задача определения движения электронов чрезвычайно усложняется, а то и вовсе становится неразрешимой, а, с другой стороны, сами правила квантования движения в этом случае представляются сомнительными. И, тем не менее глубокая аналогия, существующая между спектрами различных элементов, свидетельствует об их единой природе и позволяет надеяться, что метод, увенчавшийся столь блестящими успехами в случае атома водорода, может быть обобщен на случай атомных систем, состоящих из большого числа электронов.
В частности, следуя теории Бора, можно предложить, например, следующий, правда весьма приближенный, метод решения этой проблемы. Пусть имеем некоторый атом с атомным номером, равным N. Будем считать, что ядро и N–1 электронов образуют систему, эквивалентную некоторому эффективному ядру, в поле которого движется N-й электрон. Иначе говоря, влияние ядра и всех остальных N–1 электронов сводится в первом приближении к созданию некоторого эффективного кулонова поля. Переходы N-го электрона из одного стационарного состояния в другое и определяют оптический спектр этого элемента. Таким образом, для спектральных термов мы получаем выражения, подобные тем, которые были получены в случае водорода. Это и объясняет, правда довольно грубо, наблюдаемую на опыте аналогию между оптическими спектрами различных элементов.
Теория Бора позволила также понять происхождение рентгеновских спектров, являющихся, подобно оптическим спектрам, характеристикой внутриатомной структуры. Не желая вдаваться в детальное обсуждение этого вопроса, отметим лишь, что идеи Бора позволили понять природу одного из основных законов, которому подчиняются рентгеновские спектры атомов – закона Мозли. Подобно оптическим спектрам, рентгеновские спектры также делятся на серии, общая структура которых одинакова для всех химических элементов. После того как фон Лауэ, Фридрих и Книппинг в 1912 г. открыли явление дифракции рентгеновских лучей в кристаллах, позволившее точно определить длину волн рентгеновского излучения, молодой английский ученый Мозли обратил внимание на тот факт, что смещение рентгеновских спектров различных элементов на шкале частот с достаточной точностью прямо пропорционально квадрату их атомного номера. Иначе говоря, частота какой-либо определенной линии некоторого элемента в четыре раза меньше частоты соответствующей линии элемента с удвоенным атомным номером. Из выражения для частот, полученного с помощью теории Бора, легко видеть, что, во всяком случае в первом приближении, частоты всех линий рентгеновских спектров действительно должны быть примерно пропорциональны квадрату атомного номера элемента. Закон Мозли нашел свое объяснение, и таким путем теория атома Бора оказалась применимой во всех областях спектра.
3. Развитие теории Бора. Теория Зоммерфельда
В своем математическом выражении теория Бора обладала одним серьезным недостатком. Действительно, даже в наиболее простом случае атома водорода, она позволяла найти энергию стационарных состояний лишь для чисто кругового движения. Причина этого заключалась в отсутствии необходимых методов квантования, поскольку метод квантования действия, предложенный Планком, годился лишь для одномерного движения. Поэтому для дальнейшего развития теории Бора необходимо было найти методы квантования, применимые в общем случае многомерного движения.
Эта задача была решена в 1916 г. почти одновременно Вильсоном и Зоммерфельдом. Они обратили внимание на то, что все механические системы, рассматриваемые в квантовой механике, относятся к классу квазипериодических систем с разделяющимися переменными. Системы такого рода характеризуются периодическим изменением всех переменных, хотя величины этих периодов, вообще говоря, отличны друг от друга. Более того, надлежащим выбором этих переменных интеграл действия удается разбить на ряд интегралов, каждый из которых зависит только от одной переменной. Проводя в каждом из этих интегралов интегрирование по полному периоду соответствующей переменной и приравнивая каждый из них произведению постоянной Планка на целое число, получаем, очевидно, условия квантования для случая систем со многими степенями свободы. В частном случае одной степени свободы они переходят, как легко видеть, в условие квантования Планка.
Метод квантования Вильсона – Зоммерфельда, который мы только что описали в общих чертах, позволяет в принципе разрешить все задачи, стоящие перед теорией атома Бора. Практически же в случае более или менее сложного атома задача, как и прежде, остается, строго говоря, неразрешимой. Но это связано уже не с отсутствием необходимых правил квантования, а с математическими трудностями, возникающими при решении уравнений движения.
Зоммерфельд использовал предложенный им метод для решения более сложных задач теории атома, которые оказались не под силу ранней теории Бора. Прежде всего, он показал, что учет эллиптичности электронных орбит в атоме водорода не изменяет выражений для энергии различных стационарных состояний и, следовательно, абсолютно не сказывается на результатах, полученных Бором. Далее он показал, что более строгий учет движения электронов приводит к замене формул типа Бальмера другими, более точно описывающими истинное расположение спектральных линий оптического спектра и совпадающими с найденными ранее эмпирическими формулами Ридберга и Ритца.
Но наибольший успех завоевала, разумеется, его теория тонкой структуры линий. Тщательное изучение спектра водорода, проведенное с помощью спектрографов, обладающих высокой разрешающей способностью, показало, что некоторые спектральные линии оказываются не простыми, а имеют более тонкую структуру и сами состоят из ряда очень близко друг от друга расположенных линий. Однако формулы Бальмера и другие, теоретически найденные Бором, не учитывали этой тонкой структуры линий. Тогда Зоммерфельд высказал предположение, что тонкая структура спектральных линий связана с релятивистскими эффектами и для учета ее необходимо вместо уравнений Ньютона воспользоваться уравнениями релятивистской механики Эйнштейна. И действительно, проведенные им расчеты показали, что учет релятивистских поправок приводит к расщеплению некоторых энергетических уровней. Иначе говоря, некоторые спектральные термы водорода, найденные Бором, распадаются на два, хотя и очень близких между собой, но все же отличных друг от друга спектральных терма. Это, очевидно, и объясняет явление тонкой структуры. Вычисленное Зоммерфельдом значение разности частот, соответствующих линиям дублета серии Бальмера, оказалось в достаточно хорошем согласии с экспериментальными данными.
Обнадеженный этими успехами Зоммерфельд попытался также объяснить тонкую структуру рентгеновских спектров, что имело еще большее значение, чем интерпретация оптических спектров, поскольку в рентгеновских спектрах наблюдаются дублеты, легко разрешимые для всех элементов таблицы Менделеева. Некоторые из этих дублетов, называемые правильными дублетами, обнаруживают по мере перехода от одного элемента к другому, определенные закономерности. В частности, разность частот, соответствующая линиям одного дублета, быстро растет с увеличением атомного номера элемента, приблизительно как его четвертая степень. Обращение к релятивистским уравнениям движения вместе с найденными им условиями квантования позволило Зоммерфельду объяснить как причину возникновения этих дублетов, так и указанную выше зависимость разности частот от атомного номера. В частности, расположение дублетов серии
Замечательные результаты, полученные Зоммерфельдом и опубликованные в 1916 г., явились полным подтверждением справедливости как квантовых методов, так одновременно и релятивистской динамики и привлекли к квантовой теории всеобщее внимание. Но более глубокий анализ этой теории обнаружил в ней много недостатков. В частности, последовательное применение используемых в этой теории (которая в настоящее время известна как старая квантовая теория) принципов и методов встречает на своем пути определенные трудности принципиального характера. Но даже безотносительно к этим трудностям общего характера теория Зоммерфельда может вызывать возражения более частного порядка.
Прежде всего, тонкая действительная структура оптического и рентгеновского спектров носит более сложный характер, чем это следует из теории Зоммерфельда. Полученная им картина спектральных линий, хотя и более полная, чем у Бора, все же гораздо беднее той, которая наблюдается в действительности. Это оказывается очень серьезной трудностью, ибо теория Зоммерфельда не оставляет места для введения этих дополнительных термов, существование которых неоспоримо доказано экспериментом. Полнота и общность используемых методов не допускают, казалось бы, дальнейшего обобщения теории. Правда, Зоммерфельду удалось учесть эти дополнительные термы, введением некоторого дополнительного квантового числа, названного им внутренним квантовым числом. Однако оно было введено весьма искусственно и никак не следовало из самой теории. Только сделанное позже открытие собственного магнитного момента электрона позволило оправдать и объяснить введение этого нового квантового числа.
Таким образом, теория Зоммерфельда оказалась неспособной дать достаточно полное объяснение тонкой структуры спектральных линий. Но предсказание ее относительно дублетов в оптической и рентгеновской областях спектров, казалось, полностью оправдалось. К сожалению, проведенный позднее тщательный анализ структуры спектров показал, что совпадение не такое уж хорошее. Оказалось, что каждое устойчивое состояние атома характеризуется целой совокупностью квантовых чисел. Если это учесть, то мы приходим к следующему несколько странному выводу: теория Зоммерфельда точно предсказала дублеты серии Бальмера и рентгеновских спектров. Однако действительное положение их не совпадало с тем, которое следовало из теорий. Невозможно было приписать успех теории Зоммерфельда просто счастливой случайности и все же чувствовалось, что в этой теории что-то не так. Лишь теория Дирака, приняв во внимание новые свойства электрона, поставила все на свои места, сохранив все главные результаты теории Зоммерфельда. Таким образом, выяснилось, что направление мысли этого замечательного физика было совершенно правильным. Но в то время, когда он развивал свою теорию, квантовые представления, с одной стороны, и 'наши знания об электроне, с другой, не были еще достаточно полны для того, чтобы позволить ему окончательным образом завершить свое построение.
4. Теория Бора и строение атомов
Главным моментом теории Бора было утверждение, что электроны внутри атома могут находиться только лишь в стационарных состояниях, соответствующих определенным квантованным значениям энергии. Значит, существуют определенные энергетические уровни, на которых как-то располагаются различные электроны атома. Полное число элементов равно, как известно, 92. Атом каждого последующего элемента содержит на один электрон больше, чем атом предыдущего.
Таким образом, по мере возрастания атомного номера структура электронных оболочек соответствующих атомов все более и более усложняется. Знание этой структуры позволяет определить все химические и физические свойства этих элементов. Еще задолго до возникновения квантовых теорий русский химик Менделеев расположил все известные к тому времени элементы в таблицу по возрастающему атомному весу, т е. почти точно в порядке возрастания их атомного номера. При этом он обнаружил определенную периодичность в химических свойствах расположенных таким образом элементов. Иначе говоря, свойства элементов, разделенных в этой таблице некоторыми регулярными интервалами, оказываются во многом подобными.
Однако эта периодичность не совершенно строгая. Так, например, величина периода увеличивается по мере продвижения к концу таблицы Менделеева, а сама периодичность зачастую обнаруживает нерегулярные отклонения. Все это указывает на то, что физическая природа этой периодичности отнюдь не проста. Тем не менее, периодичность свойств существует и настоящая теория атома должна объяснить ее. Чтобы объяснить эти закономерности, теория Бора была дополнена еще одним и, как мы в дальнейшем убедимся, очень важным правилом, по которому на одном энергетическом уровне может находиться лишь ограниченное число электронов, т е. энергетические уровни как бы насыщаются электронами. Это было поистине новое и неожиданное свойство квантовых систем, глубокое содержание которого стало ясно значительно позже.
Пользуясь постулатом о насыщении уровней и опираясь на весьма общий физический принцип, согласно которому устойчивое состояние системы есть состояние с минимальной энергией, можно легко понять природу замеченной ' Менделеевым периодичности свойств различных элементов. В самом деле, если бы не существовало насыщения уровней, то в нормальном стабильном состоянии атома какого либо элемента все электроны находились бы на самом низшем уровне, соответствующем наименьшей энергии. Однако из-за насыщения уровней такая ситуация невозможна.
Когда по мере увеличения атомного номера, мы переходим от одного элемента к другому, новый электрон, который добавляется к структуре атома, обычно занимает место на уровне с наименьшей энергией, который еще не насыщен, или, как часто говорят, на уровне с наименьшей энергией, где еще есть свободное место. Как только низший уровень оказывается заполненным, электроны начинают располагаться на следующем, более высоком, пока его также не заполнят целиком. Затем наступает очередь следующего уровня и так далее. Таким образом, двигаясь по таблице Менделеева в направлении возрастания атомного веса элементов, мы можем заметить, как постепенно один за другим заполняются все низшие энергетические уровни. Здесь следует сделать одно существенное замечание. Тонкая структура спектральных линий указывает на то, что энергетические уровни внутриатомных электронов расщепляются на ряд очень близко расположенных подуровней. Электроны, заполняющие эти подуровни и обладающие, следовательно, почти одинаковой энергией, образуют, как говорят, оболочку.
Итак, заполняя один за другим все последующие уровни, электроны образуют постепенно различные оболочки. По мере построения одной и той же оболочки химические свойства элементов меняются вполне определенным образом. Как только эта оболочка оказывается заполненной, начинается построение следующей. Это построение протекает почти таким же образом, и химические свойства элементов в общих чертах повторяются. Следовательно, наблюдаемая при движении по таблице Менделеева периодичность свойств находит себе совершенно естественное объяснение. Различное число подуровней и, следовательно, различное число электронов, необходимых для заполнения той или иной оболочки, объясняет отмеченные выше вариации периода. Это объяснение изменения величины периода, характеризующего повторяемость химических свойств различных элементов, с помощью модели заполняющихся оболочек было предложено вначале Косселем, а затем более детально развито Бором, Стонером и Смитом.
Распределение электронов внутри отдельных оболочек и уровней тесно связано со структурой рентгеновских спектров. Действительно, согласно теории Бора их возникновение объясняется следующим образом. Пусть под влиянием каких-либо внешних причин один из электронов внутренней оболочки удален со своего уровня. Тогда в этой оболочке окажется одно свободное место, на которое теперь может перейти один из электронов внешней оболочки, обладающий, следовательно, большей энергией. Избыток этой энергии будет унесен испускаемым при таком переходе гамма-квантом. Это излучение и приводит к рентгеновским спектрам.
Таким образом, уже отсюда совершенно ясно, какое огромное значение для изучения внутреннего строения атома и структуры уровней играет детальное исследование и классификация этих спектров. В частности, можно сказать, что именно анализ рентгеновских спектров различных элементов позволил неопровержимо доказать справедливость важного принципа насыщения энергетических уровней, значение которого мы уже подчеркивали.
Гипотеза Бора о существовании квантовых энергетических уровней, а равным образом и его общая картина внутреннего строения атомов различных элементов хорошо подтвердились опытами по ударной ионизации. Явление ионизации при помощи удара, или ударной ионизации, состоит в отрыве одного из внутриатомных электронов в результате соударения атома с каким-либо другим телом, скажем, с другим атомом. При этом, чем глубже уровень, на котором находится электрон, тем большую энергию надо затратить для его удаления. Эта энергия носит название энергии ионизации данного атома. Представим себе пучок частиц с некоторой заданной энергией, падающий на газовую мишень. Тогда в результате соударений этих частиц с атомами газа будет происходить ионизация атомов, причем из них будут вырываться только те электроны, энергия ионизации которых меньше энергии падающих частиц, т е. при малой скорости падающих частиц электроны будут вырываться только с верхних уровней. Картина почти не будет меняться при увеличении энергии частиц, но только до тех пор, пока последняя не возрастет настолько, чтобы оказался возможным отрыв электронов, находящихся на следующем, более глубоком уровне. Так с ростом энергии постепенно будут вступать в игру все более и более глубокие уровни, причем картина будет носить ясно выраженный скачкообразный характер. Таким образом, эксперименты с ударной ионизацией позволяют в принципе определить расположение различных энергетических уровней.
Действительно, результаты опытов, поставленных Франком и Герцем, не только подтвердили существование энергетических уровней, но и оказались также в хорошем соответствии с данными о расположении этих уровней в различных атомах, полученными на основании спектроскопических измерений.
5. Критика теории Бора
Того, что было сказано в этой главе, вполне достаточно, чтобы понять все значение атомной теории Бора. Рождение ее ознаменовало новый важный этап в развитии современной физики. Уже с самого начала теория позволила понять природу атомных спектров и объяснить в общих чертах законы, которым они подчиняются. Дополненная затем общими правилами квантования, она приняла в каком-то смысле законченный вид и оказалась способной объяснить большое число новых явлений атомного мира.
Тем не менее, эта теория все же обладала некоторыми недостатками. Мы не собираемся говорить здесь о тех неудачах, которые постигли ее, например, при попытке Зоммерфельда объяснить наблюдаемую экспериментально тонкую структуру спектров или о противоречии с опытом, к которому после долгих вычислений пришел Крамерс, когда он хотел применить методы старой квантовой теории, чтобы теоретически определить потенциал ионизации нейтрального атома гелия. Хотя эти неудачи и не предвещали ничего хорошего, но речь пойдет не о них. Первоначальные концепции Бора встречают возражения гораздо более общего характера, свидетельствующие о неудовлетворительности старой квантовой теории. Остановимся в нескольких словах на наиболее существенных из этих возражений.
Прежде всего, теория Бора оказалась совершенно неспособной окончательно уточнить природу излучения, возникающего при переходах внутриатомных электронов из одного стационарного состояния в другое. Разумеется, она позволяет определить частоту излучения. Однако для полного описания процесса этого еще недостаточно. Необходимо знать также интенсивность излучения и его поляризацию. Но на эти вопросы теория Бора не дает никакого ответа. И в этом смысле она оказывается гораздо более несовершенной, чем классическая теория излучения. Бор отлично сознавал этот недостаток своей теории и попытался устранить его, предложив в 1916 г. известный принцип соответствия.
Но даже помимо этого у теории Бора есть еще слабые места. В частности, в ней одновременно используются чисто классические понятия и формулы и квантовые. Так, например, вначале внутриатомные электроны рассматриваются как материальные точки (как они понимаются классической механикой), движущиеся под действием кулоновых сил по вполне определенным орбитам, а атом представляется в виде миниатюрной солнечной системы чрезвычайно малых размеров. Затем в эту чисто классическую схему извне вводятся совершенно чуждые ей условия квантования и утверждается, что среди бесконечного многообразия различных траекторий, не противоречащих уравнениям классической динамики, устойчивы и физически реализуются лишь те из них, которые удовлетворяют условиям квантования.
Следовательно, изменение состояния атома может произойти лишь в результате внезапного перехода, сопровождаемого потерей энергии и излучением, описать который в рамках чисто классических представлений оказывается невозможно. В промежутках же между этими переходами атом находится в устойчивом состоянии, иначе говоря, в одном из стационарных состояний, где он как бы совершенно ничего не знает о существовании внешнего мира, ибо в противном случае по законам электродинамики он должен был бы непрерывно терять энергию на излучение электромагнитных волн. Все это уже никак не согласуется с классическими концепциями, служившими в определенной степени отправной точкой теории Бора. И очевидно, что подобную теорию, принимающую за основу совокупность определенных понятий, а в дальнейшем их начисто отвергающую, никак нельзя считать вполне удовлетворительной и внутренне непротиворечивой.
И наконец, вся эта динамическая картина, которая вначале была введена, все эти точечные электроны, описывающие некоторые траектории, в каждой точке которых они обладают вполне определенными значениями координат и скорости, оказались нужны лишь для вычисления энергии стационарных состояний и соответствующих спектральных термов. Причем только они могут быть сравнены с экспериментальными данными, полученными из спектроскопических измерений и опытов по ударной ионизации.
Не попытаться ли представить себе, что это описание, слишком подробное и искусственное, эти формы орбит и значения координат и скоростей электронов не соответствуют никакой физической реальности и только энергия стационарных состояний, которую в конце концов дает нам вся эта квантовая небесная механика, имеет реальный физический смысл?
Как это часто бывает, сам гениальный создатель квантовой теории атома первый заметил и подчеркнул слабости предложенной им теории. Он первый указал на искусственность планетарной модели, на своеобразие и новизну понятий стационарных состояний и переходов из одного состояния в другое и на невозможность последовательного введения этих понятий в обычных рамках пространства и времени и, наконец, на необходимость поисков новых путей, кардинально отличных от прежних. Его принцип соответствия указывал на одно из таких новых направлений. А несколько лет спустя один из учеников Бора, Вернер Гейзенберг, следуя идеям своего учителя, создал новую замечательную теорию квантов – квантовую механику.
Глава VII. Принцип соответствия
1. Трудность согласования квантовой теории и теории излучения
Электромагнитная теория, дополненная теорией электронов Лоренца, дает совершенно ясную и точную картину излучения, испускаемого системой движущихся зарядов. Если заданы структура и закон движения системы электрических зарядов, то можно точно вычислить частоты, интенсивности и поляризацию излучения. Для этого поступают следующим образом. Во-первых, в прямоугольной системе координат вычисляют компоненты вектора электрического момента системы, который в каждый момент времени определяется положением всех зарядов системы. Эти компоненты зависят от времени и по общим математическим теоремам о разложении в ряд или интеграл Фурье могут быть представлены в виде суммы (конечной или бесконечной), каждый член которой гармонически зависит от времени. Согласно электромагнитной теории система будет испускать излучение со всеми теми частотами, которые фигурируют в этом разложении Фурье. Кроме того, излучение одной из этих частот с электрическим вектором, параллельным одной из координатных осей, имеет интенсивность, которая определяется коэффициентом, соответствующим данной частоте в разложении Фурье, той компоненты электрического момента, которая параллельна рассматриваемой оси.
Этого достаточно, чтобы определить частоту, интенсивность и поляризацию излучения, испускаемого рассматриваемой системой.
Если электромагнитная теория Лоренца действительно применима к элементарным частицам электричества, то она должна позволить однозначно определить излучение, испускаемое атомом Резерфорда – Бора. Но, как мы уже видели, эта теория приводит к совершенно неправильным выводам. Действительно, поскольку атом должен все время терять энергию на излучение, электроны очень быстро упадут на ядро, а частота излучения будет непрерывно изменяться. Но тогда атом был бы нестабильным, и спектральные линии строго определенной частоты не могли бы существовать – абсурдный вывод.
Чтобы обойти эту основную трудность, Бор сделал предположение, что в стационарных состояниях атом не излучает. Это равносильно утверждению, что электромагнитную теорию излучения нельзя применять к электронам, движущимся по стабильным орбитам.
Порвав таким образом с электромагнитной теорией, квантовая теория атома оказалась совершенно не в состоянии объяснить свойства спектров излучения. Мы видели, каким образом Бору с помощью допущения, что каждый переход между квантовыми состояниями сопровождается испусканием кванта энергии излучения, удалось решить вопрос о частотах. Но это правило частот далеко не полностью описывает испускаемое излучение, оно ничего не говорит об интенсивности и поляризации. В 1916 г. Бор сумел отчасти восполнить этот недостаток, следуя очень странным и даже несколько непоследовательным путем. Этот путь состоял по существу в следующем: несмотря на неприменимость электромагнитной теории к внутриатомным явлениям, надо попытаться тем не менее установить определенное соответствие между квантовыми явлениями и формулами электродинамики с тем, чтобы понять, почему классическая электромагнитная теория дает прекрасное описание явлений большого масштаба. Таким образом, Бору удалось сформулировать удивительный принцип соответствия, сыгравший важную и благотворную роль в развитии квантовой теории.
Прежде чем перейти к рассмотрению принципа соответствия, мы должны строго очертить рамки той сложной задачи, решение которой пытался получить Бор. Необходимо ясно понимать, насколько различны представления о природе излучения классической теории, с одной стороны, и квантовой теории, с другой. Согласно классической теории движущийся в атоме электрон излучает целый набор частот. Классическое излучение, таким образом, происходит непрерывно и одновременно испускается свет разных частот. В квантовой теории, наоборот, атомный электрон, находящийся на стационарной орбите, не излучает. Когда же он перескакивает из одного состояния в другое, он испускает единственный квант монохроматического излучения: различные монохроматические излучения, испущенные группой атомов одного сорта (например, различные спектральные линии, испущенные одним элементом в газообразном состоянии), соответствуют, таким образом, переходам, которые происходят в разных атомах. Иными словами согласно квантовой теории, излучение спектральных линий какого-либо элемента есть процесс дискретный, происходящий в виде отдельных элементарных актов.
Пожалуй, трудно найти два других столь отличающихся друг от друга представления, как классическое и квантовое. Поэтому прежде всего следует спросить, можно ли вообще построить между ними какое-нибудь связующее звено.
Если мы подумаем, как установить соответствие между классической картиной спектрального излучения и столь не похожей на нее картиной, вытекающей из квантовых представлений, мы сразу же заметим, что это соответствие, если оно только возможно, может быть лишь статистическим. Действительно, соответствие с классической картиной нельзя, очевидно, установить иначе, как рассматривая одновременное испускание всех спектральных линий. Между тем с квантовой точки зрения испускание каждого кванта монохроматического излучения есть индивидуальный акт, и, чтобы получить одновременное испускание всех спектральных линий, нам придется рассмотреть ансамбль очень большого числа атомов одинаковой природы, ансамбль, в котором постоянно осуществляются индивидуальные переходы всех видов, приводящие к испусканию различных спектральных линий рассматриваемого элемента. Необходимое понятие об интенсивности различных линий можно также ввести в квантовую теорию, лишь рассматривая его статистически.
Квантовый атом, в котором происходит переход, испускает только один квант, единицу монохроматического излучения. Для такого индивидуального акта бессмысленно говорить об интенсивности излучения. Чтобы определить интенсивность, необходимо снова рассмотреть ансамбль, состоящий из большого числа одинаковых атомов. В таком ансамбле в секунду происходит большое число переходов всех видов. Рассматривая все переходы определенного вида и все кванты излучения одной и той же частоты, испускаемые при этих переходах, можно определить статистическое значение интенсивности как среднюю плотность этих квантов в пространстве. Эту интенсивность можно уже сравнивать с интенсивностью, вычисленной по классической теории.
Читатель, несомненно, начинает догадываться, как можно было бы установить требуемое соответствие. Рассмотрим, с одной стороны, ансамбль фиктивных атомов, подчиняющихся законам классической электромагнитной теории, а с другой – ансамбль реальных квантовых атомов. Попытаемся установить соотношение между частотами, интенсивностями и поляризацией излучения, испущенного каждым из этих двух ансамблей, таким образом, чтобы расчет спектра излучения первой системы хорошо известным методом классической электродинамики дал некоторые сведения об излучении второй системы, т е. об излучении реальных атомов. A priori ясно, что найти такое соотношение, конечно, нелегко. Однако необычайно проницательный ум Бора помог ему отыскать в этой труднейшей задаче, если не окончательное и вполне определенное, то по крайней мере предварительное решение, которое оказалось чрезвычайно полезным и полным глубокого физического содержания.
2. Принцип соответствия Бора
Сравним набор большого числа фиктивных атомов, которые подчиняются классическим законам, с набором такого же числа реальных квантованных атомов. Если нам известно, как движутся электроны в атомах первого типа, то мы знаем, как вычислить частоты, интенсивности и поляризацию испускаемого излучения. Теперь, воспользовавшись этими результатами, попытаемся выяснить, каковы частоты, интенсивности и поляризация излучения, испускаемого реальными атомами. Если бы мы ничего не знали об этих последних, то не существовало бы никаких средств решения этой задачи. К счастью, нам известны значения частот, излучаемых квантованными атомами. Они даются правилом Бора.
Таким образом, первое, что приходит в голову – это сравнить боровские частоты с теми, которые испускали бы фиктивные атомы согласно классической теории. Если такое сравнение проделать, то оказывается, что в общем случае между этими двумя категориями частот не существует простого соотношения. Других же путей для дальнейшего продвижения в нужном направлении мы не видим.
Именно здесь и проявилась изобретательность Бора. Он заметил, что электромагнитная теория всегда – очень хорошее приближение для описания явлений макроскопического масштаба. С квантовой же точки зрения макроскопические явления это те, в которых играют роль большие квантовые числа. Поэтому кажется вероятным, что результаты квантовой теории должны асимптотически стремиться к классическим в области больших квантовых чисел. В этой области и следует искать согласования двух рассматриваемых теорий. А так как мы знаем, как вычислять и классические, и квантовые частоты, то нужно прежде всего выяснить, совпадают ли эти частоты для случая стационарных состояний, отвечающих большим квантовым числам.
Рассмотрим теперь одну из внешних электронных траекторий квантового атома, соответствующую большому квантовому числу. Одновременно рассмотрим такую же траекторию электрона в фиктивном классическом атоме. В классическом атоме электрон непрерывно испускает целый набор частот, кратных определенным основным частотам, которые определяются движением электрона. В квантовом атоме электрон в стационарном состоянии не излучает, но он может совершать переходы, при которых произойдет излучение с частотами, определенными правилом Бора.
Оказывается, что каждой частоте, фигурирующей в классической теории фиктивного атома, соответствует определенный переход квантового атома, который приводит к испусканию излучения той же частоты. Таким образом, в области больших квантовых чисел существует хорошее согласие между частотами излучения, испускаемого по классическим законам, и частотами, которые может излучать в процессе перехода квантовый электрон. Но в то время как классический атом испускает все частоты, о которых идет речь, непрерывно и одновременно, квантовый атом может испускать при каждом отдельном акте излучения лишь одну из них. Правда, это глубокое различие механизмов испускания не мешает совпадению результатов: два мысленно сравниваемых ансамбля атомов будут испускать (в области больших квантовых чисел) одинаковые спектральные линии.
Подтвердив таким образом одинаковость предсказаний классической и квантовой теории в отношении частот при больших значениях квантовых чисел, Бор допустил, что предсказания классической теории в отношении интенсивностей и поляризации излучения ансамбля фиктивных атомов, по крайней мере в этой области, будут справедливы для ансамбля реальных атомов. В случае реальных атомов испускание спектральных линий происходит при отдельных переходах между квантованными состояниями. Интенсивность спектральной линии будет при этом зависеть от среднего числа атомов ансамбля, совершающих в единицу времени соответствующий переход, т е. от вероятности того, что каждый квантовый атом совершит в единицу времени упомянутый переход. Если предположить, следуя Бору, интенсивность данной спектральной линии, испущенной вторым ансамблем, равной вычисленной классически интенсивности той же спектральной линии для первого ансамбля, то это позволит нам оценить с помощью формул электродинамики вероятность данного квантового перехода.
Таким образом, нам удалось решить, по крайней мере для больших квантовых чисел, проблему вычисления интенсивности спектральных линий. Единственное, чего недоставало в первоначальной теории Бора, чтобы проделать это вычисление, – метод оценки вероятности квантового перехода. Идея установления соответствия между каждым из этих квантовых переходов и спектральными составляющими классического излучения привела в рассматриваемом асимптотическом случае к простому и строгому правилу оценки вероятностей перехода. Естественно по аналогии предположить поляризацию реально излучаемых спектральных линий совпадающей с поляризацией, полученной на основе классической теории, чтобы полностью решить вопрос и о поляризации.
К сожалению, этот замечательный способ согласования несовместимых на первый взгляд представлений, нужных для дополнения квантовой теории, имел значение только для области больших квантовых чисел. Практически же для теории атома эта область представляет наименьший интерес, так как, за исключением некоторых очень редких случаев высокого возбуждения, электроны в атоме находятся в стационарных состояниях, соответствующих гораздо меньшим значениям квантовых чисел, и обычные спектральные линии испускаются при переходах именно между такими состояниями. Поэтому для атома в начальном состоянии до перехода или конечном состоянии после перехода между реальными квантовыми частотами и частотами, вычисленными по классической теории, нет простого соотношения. Бор тем не менее смело предположил, что для приближенного вычисления реальной интенсивности и поляризации можно пользоваться классическими оценками интенсивностей и поляризаций, экстраполируя на область малых квантовых чисел соответствие, установленное для больших квантовых чисел. Мы не можем здесь детально объяснить, как Бор пытался уточнить вид этого принципа соответствия. Заметим лишь, что он взял некие средние значения классических величин, вычисленных для группы состояний (нестационарных), промежуточных между начальным и конечным стационарными состояниями, соответствующими данной спектральной линии. Хотя сформулированный таким образом принцип соответствия и привел к интересным и, вообще говоря, точным результатам, создается впечатление, что его вывод носит несколько искусственный характер и что в рамках старой квантовой теории невозможно найти его окончательной формулировки. В рамках новой механики было получено выражение, которое оказалось более обоснованным.
Однако важность выдвинутой Бором идеи скоро подтвердилась. Мысль о том, что электромагнитная теория, оказавшаяся, строго говоря, неверной, сохраняет важную направляющую роль и, подобно нити Ариадны, ведет нас к дальнейшему пониманию истинных квантовых законов элементарных частиц, оказалась весьма плодотворной. Она послужила основой формулировки настоящего метода соответствия, и ученики Бора, полагаясь на этот метод и проникнутые, по словам Гейзенберга, духом Копенгагена, сумели продвинуться вперед по этому пути и сделать замечательные открытия.
3. Некоторые приложения принципа соответствия
Принцип соответствия позволяет, по крайней мере приближенно, вычислить интенсивности различных линий нормальных спектров, а также спектров, измененных эффектами Штарка и Зеемана. Результаты таких вычислений оказались в хорошем согласии с экспериментом.
Одним из самых важных применений этих расчетов интенсивности было исследование спектральных линий, которые существуют по правилу частот Бора, однако испускаются с нулевой интенсивностью, т е. фактически отсутствуют в наблюдаемом спектре. Остановимся на этом подробнее. Если известны все стационарные состояния и, следовательно, все спектральные термы атома, то, попарно комбинируя согласно правилу Бора эти термы, мы получаем все линии спектра, которые может излучать этот атом. Если же сравнить полученные таким образом таблицы линий с таблицами реально наблюдаемых спектров, то оказывается, что не все вычисленные теоретически линии испускаются в действительности. Иными словами, комбинированием спектральных термов можно предсказать все частоты реального спектра. Обратное же утверждение неверно, ибо в реально наблюдаемой картине спектра не всегда представлены все комбинации спектральных термов.
Значит теория должна была бы дать правила отбора, позволяющие сказать, каким из комбинаций спектральных термов соответствуют реально испускаемые линии. Для этого предполагают, что отсутствие в реальных спектрах нескольких линий, предсказанных теорией, объясняется определенными обстоятельствами, при которых эти линии испускаются с нулевой интенсивностью.
Эта точка зрения подтверждается тем, что в исключительных условиях, например под действием особенно мощных электрических полей, атом начинает испускать линии, обычно в спектре отсутствующие. Принцип соответствия показывает, что при нормальных условиях интенсивность спектральных линий, отвечающих определенным переходам, равна нулю. Это означает, что равна нулю вероятность такого перехода в атоме.
Одно из квантовых чисел, определяющих стабильную орбиту электронов, носит название азимутального квантового числа. Принцип соответствия позволяет показать, что при обычных обстоятельствах отличную от нуля вероятность имеют лишь те переходы, в которых это азимутальное квантовое число увеличивается или уменьшается на единицу. Отсюда можно вывести следующее правило отбора: при обычных обстоятельствах все спектральные линии, соответствующие переходам, в которых азимутальное квантовое число не возрастает или не уменьшается на единицу, имеют нулевую интенсивность и фактически в спектре отсутствуют.
Это правило отбора, дополненное еще одним аналогичным правилом, нашло замечательное подтверждение при исследовании всех видимых и рентгеновских спектров и значительно облегчило классификацию еще не исследованных спектров. Принцип соответствия оказал неоценимую услугу, показав теоретическое значение этих правил отбора, которые были предложены еще раньше из совершенно других соображений (Рубинович).
Очень трудно было объяснить в квантовой теории явление дисперсии света. Коэффициент преломления данного вещества зависит от частоты света и очень сильно меняется вблизи некоторых критических частот, в точности равных частотам тех спектральных линий, которые может излучать это вещество. Прежние теории довольно хорошо объяснили эти изменения коэффициента преломления, и, таким образом, они давали явлению дисперсии удовлетворительное объяснение.
В частности, в электронной теории считалось, что атомы содержат электрические заряды, гармонически колеблющиеся вблизи положений равновесия (электронные осцилляторы). При этом частоты колебаний различных атомных осцилляторов должны быть равны частотам испускаемых атомом спектральных линий. Изучив, каким образом монохроматическая волна, падая на атом, вызывает вынужденные колебания его осцилляторов и каким образом эти вынужденные колебания внутриатомных вибраторов влияют на распространение падающей волны, электронная теория позволила вычислить коэффициент преломления как функцию частоты, причем формула дисперсии полностью согласовывалась с результатами эксперимента. В этой формуле критические частоты дисперсии равны собственным частотам электронных осцилляторов, т е. частотам спектральных линий данного вещества. Этот вывод совпадал с наблюдаемыми фактами. В теории Бора строгое объяснение дисперсии было гораздо более сложным. Действительно, в атоме Бора механические частоты вращения электронов на своих орбитах не находились в простой связи с оптическими частотами спектральных линий, связанных с переходами, а не с состояниями. Таким образом, теперь было трудно понять, как изменение механического состояния атома под действием падающего света может приводить к явлению дисперсии, где принципиальную роль играют не механические частоты атома, а оптические частоты спектральных линий. Бор и его последователи заметили эту трудность. Появление принципа соответствия позволило Бору найти решение на новом пути. Два ученика Бора, Крамерс и Гейзенберг, сумели получить в 1923 г. квантовую формулу дисперсии, которая не совпадала полностью с классической формулой, но находилась в полном согласии с результатами экспериментов. Впрочем, соображения Крамерса и Гейзенберга не были абсолютно бесспорными. Однако они постоянно руководствовались и вдохновлялись духом принципа соответствия. Как мы уже сказали, полученная таким образом формула не совсем совпадала с классической формулой: она содержала дополнительные члены. Впоследствии Ладенбург показал экспериментально, что этим членам отвечает определенная физическая реальность.
При исследовании формулы дисперсии Гейзенберг убедился, что полезно исключать из теории Бора все не наблюдаемые непосредственно величины, оставляя в ней по мере возможности лишь наблюдаемые величины, например исключить частоты вращения электронов на орбитах, заменив их спектральными частотами, связанными с квантовыми переходами правилом Бора. Эти соображения, очевидно, повлияли на молодого ученого, направив его мысль по тому пути, который привел его несколько позже к открытию квантовой механики.
Квантовая теория дисперсии – высший успех старой квантовой теории – уже содержала в зародыше принципы, триумф которых мы видим в новых волновой и квантовой механиках.
Глава VIII. Волновая механика
1. Основные идеи волновой механики
В 1923 г. стало почти ясно, что теория Бора и старая теория квантов лишь промежуточное звено между классическими представлениями и какими-то очень новыми взглядами, позволяющими глубже проникнуть в исследование квантовых явлений. В старой квантовой теории условия квантования в каком-то смысле чисто внешним образом накладывались на результаты классической теории. Существенно разрывная природа квантования, которая выражалась целыми числами, так называемыми квантовыми числами, находилась в разительном противоречии с непрерывной природой движений, описываемых старой динамикой, как ньютоновой, так и эйнштейновой. Стало совершенно очевидно, что требуется построить новую механику, где квантовые идеи войдут в самую основу построения, а не будут добавлены под конец, как в старой теории квантов.
И любопытно, что эта программа начала осуществляться почти одновременно двумя совершенно различными путями в работах ученых, наклонности которых по существу были совершенно различны. Так были созданы волновая механика, с одной стороны, и квантовая механика, с другой. На первый взгляд казалось, что обе теории совершенно противоположны и по внешнему виду и по применяемому формализму. Эти теории, такие разные по виду, следует на самом деле считать одними и теми же, потому что каждая из них есть лишь перевод другой на иной математический язык. Эти столь различные вначале попытки построить новую механику, по-настоящему насыщенную квантовыми понятиями, в конце концов слились в единое целое, в теорию, которая может быть названа новой квантовой теорией.
Рождение волновой механики (1923 г.) немного опередило квантовую механику (1925 г.). Кроме того, первая оказалась лучше подготовленной к применению математического аппарата.
Прежде всего хотелось бы обрисовать причины, которые привели в 1923…1924 гг. к установлению основных идей волновой механики. Открытый к этому времени эффект Комптона и изучение фотоэффекта рентгеновских лучей лишний раз замечательно подтверждали представление Эйнштейна о световых квантах. Теперь уже едва ли можно было оспаривать дискретную природу излучения и существование фотонов. Следовательно, с еще большей остротой встала грозная дилемма: что такое свет – волны или частицы? Хочешь не хочешь, а для полного описания свойств излучения нужно было применять поочередно картину то волн, то частиц. Соотношение Эйнштейна между частотой и энергией, введенное им на основе его теории фотонов, ясно показало, что этот дуализм излучения неразрывно связан с самим существованием квантов. Тогда возникает законный вопрос, не связан ли этот странный дуализм волн и частиц, примером которого так замечательно и несомненно явился свет, с глубокой и скрытой природой кванта действия? Не следует ли ожидать, что двойственность такого типа обнаружится везде, где только появляется постоянная Планка. Но тогда почти сам собой возникает вопрос: поскольку свойства электрона в стационарном состоянии атома описываются с помощью кванта действия, не можем ли мы предположить, что и электрон так же двойствен, как и свет? На первый взгляд такая идея показалась очень дерзкой. Ведь мы всегда представляли себе электрон в виде электрически заряженной материальной точки, которая подчиняется законом классической динамики (улучшенным в некоторых случаях релятивистскими поправками, которые ввел Эйнштейн). Электрон никогда явно не проявлял волновых свойств, таких, скажем, какие проявляет свет в явлениях интерференции и дифракции. Попытка приписать волновые свойства электрону, когда этому нет никаких экспериментальных доказательств, могла выглядеть как ненаучная фантазия. И тем не менее, как только возникла идея, что электрон, возможно, обладает такими свойствами, и не только электрон, но и вообще материальные частицы, так в голову начали приходить разные беспокойные соображения.
Мы объяснили в первой главе, каким образом теория Якоби позволяет в классической динамике, сгруппировать возможные траектории материальных точек в заданном поле так, что траектории каждой группы напоминают лучи волн, распространяющихся по законам геометрической оптики. Этот замечательный параллелизм позволил рассматривать принцип наименьшего действия как одну из форм принципа Ферма. Несомненно, это формальное сходство между способами описания динамики и геометрической оптики не ускользнуло от такого блестящего математика, как Гамильтон. Однако, по-видимому, он не пытался придать этому физического смысла. Кроме того, этому препятствовали некоторые обстоятельства. Во-первых, и прежде всего, теория Якоби установила связь между распространением волны и группой возможных траекторий данной частицы. Однако согласно классическим представлениям частица в любом физически осуществляющемся случае описывает совершенно строго определенную траекторию. Группа же возможных траекторий – это абстракция, рассматривать которую математик, конечно, имеет полное право, физик же, казалось бы, не должен придавать ей какой-либо конкретный смысл.
Во-вторых, некоторое расхождение в математической форме, по-видимому, указывало на то, что движение частицы нельзя на деле физически сопоставить с распространением волны. Если приравнять скорость частицы и скорость волны, то мы столкнемся с неприятным фактом: эти две скорости по-разному войдут в формулировку принципов Мопертюи и Ферма соответственно. И хотя эти трудности были хорошо известны, но появление тех новых идей, о которых мы уже говорили, придавало волнующую остроту мысли о том, что в классической аналитической механике формальная аналогия между траекториями частиц и световыми лучами устанавливается через посредство понятия действия, т е. в точности того самого понятия, которое послужило основой для введения квантов. Не подтверждает ли это в самом деле ту мысль, что квант действия служит соединительным звеном между корпускулярным и волновым представлениями о материальных частицах?
И, наконец, еще одно указание. Если правда, что электрон в макроскопических процессах всегда ведет себя как обычная частица, какие есть основания при описании поведения электрона внутри атома навязывать чуждые ему условия квантования, в которых появляются целые числа? Такой способ ограничения классической динамики, когда она применяется к электрону, ясно говорит о ее неполноте и указывает на то, что свойства электрона не всегда такие, как у простой частицы. Если вдуматься, то привлечение целых чисел для характеристики стационарных состояний атомных электронов оказывается уже весьма симптоматичным.
В самом деле, мы часто встречаемся с целыми числами в тех разделах физики, где рассматриваются волны: в теории упругости, акустике, оптике. Они появляются при описании стоячих волн, интерференции, резонанса. Поэтому вполне допустимо предположить, что интерпретация условий квантования может привести к волновой точке зрения на электроны внутри атома. Таким образом, попытаться приписать электрону или вообще всем частицам, подобно фотонам, двойственную природу, наделить их волновыми и корпускулярными свойствами, связанными между собой квантом действия, – такая задача представлялась крайне необходимой и плодотворной.
2. Частица и волна, связанная с ней
В чем же в основном заключалась задача? По существу в установлении определенного соответствия между распространением некоей волны и движением частицы, причем величины, описывающие волну, должны быть связаны с динамическими характеристиками частицы соотношением, которое содержит постоянную Планка
Прежде чем приступить к решению этой задачи, было естественно рассмотреть самый простой случай: задачу о равномерном и прямолинейном движении частицы с заданными постоянными значениями энергии и импульса. Из соображений симметрии следовало сопоставить ей волну, распространяющуюся в том же направлении. Теперь оставалось только определить, как связаны между собой частота и длина этой волны с динамическими характеристиками частицы. Аргументы, основанные на общих принципах теории относительности, приводят к следующему результату: частота волны, связанной с движущейся частицей, равна энергии частицы, деленной на постоянную Планка, а длина волны – частному от деления постоянной Планка на импульс частицы. Такая связь между частицей и соответствующей ей волной обладает еще и тем большим преимуществом, что она в точности совпадает с соотношением Эйнштейна для фотона и световой волны. Так был осуществлен знаменитый синтез, ибо оказалось, что для частиц материи и для света установлен один и тот же вид дуализма.
Есть еще один, совершенно независимый путь, который ведет к такому же способу установления связи между частицей и соответствующей ей волной. Мы уже говорили, что теория Якоби очень прозрачно намекает на идею о сходстве траекторий частиц с лучом некоей волны, отождествляя интеграл действия частицы с волновым интегралом Ферма, так что принцип наименьшего действия совпадает с принципом минимального времени. Если выполнить эту операцию, то мы снова тут же находим, что, с одной стороны, энергия пропорциональна частоте, с другой стороны, импульс обратно пропорционален длине волны. Остается только положить коэффициент пропорциональности равным
Из этих основных результатов легко вывести самое важное следствие, касающееся соотношения между скоростью частицы и скоростью связанной с ней волны. В волновой теории наряду с монохроматическими волнами данной частоты рассматриваются также волновые пакеты, представляющие собой совокупность различных монохроматических волн. Среди этих пакетов интересно рассмотреть те, которые образовались наложением монохроматических волн с частотами, лежащими внутри небольшого спектрального интервала вблизи основной частоты. В действительности, монохроматические волны – это абстракция, никогда не реализующаяся на практике. То, что мы называем монохроматическими волнами, всегда представляет собой группу волн, заполняющих небольшой спектральный интервал. Если изучать распространение волнового пакета в таких условиях, когда скорость распространения монохроматических волн есть функция их частоты, то оказывается, что группа волн в целом обладает скоростью, отличной от скорости распространения отдельных волн, составляющих эту группу. Эта групповая скорость определяется средней частотой группы волн и зависит от изменения индивидуальных волновых скоростей с изменением частоты. Указанная зависимость дается формулой Рэлея – знаменитого английского физика, впервые указавшего на это свойство. Можно попытаться применить эту теорию групповой скорости к волне, связанной с частицей, а затем установить соответствие между движущейся прямолинейно и равномерно частицей, обладающей заданной энергией, и распространением в том же направлении группы волн, средняя частота которых равна этой энергии, деленной на
Эти первые удовлетворительные результаты еще не полны. Они установлены пока только для очень специального случая прямолинейного равномерного движения частицы в отсутствии внешнего поля. Однако не составляет особого труда обобщить эти результаты. Рассмотрим, например, движение частицы в постоянном поле. Теория Якоби предлагает рассматривать траектории частиц как лучи распространения некоторых волн. Отождествляя принцип наименьшего действия и принцип Ферма, снова приходим к тому же соотношению, связывающему частицу с ее волной: энергия (постоянная) частицы равна частоте волны, умноженной на
Обобщая таким образом параллелизм между частицей и связанной с ней волной, мы идем по правильному пути. Действительно, если мы рассмотрим, как ведут себя внутри атома Бора волны, связанные с электронами, придем к пониманию внутреннего смысла условий квантования: связанная с электроном волна оказывается резонансной как раз на длине его траектории. Иными словами, волна, соответствующая стационарному состоянию атомного электрона, сама стационарна в смысле теории колебаний.
Чтобы осознать действительную важность этого результата, напомним кратко, что такое стоячая стационарная волна. Если в ограниченной среде могут распространяться волны какого угодно сорта, то в ней устанавливаются стоячие волны, т е. такие колебания, конфигурация которых в пространстве не меняется с течением времени. Форму этих колебаний можно сразу определить из характера уравнения, описывающего распространение, волны, геометрии границ среды и условий на этих границах. Например, часто бывает, что условия на границах среды требуют, чтобы колебания на этих границах обращались в нуль (колеблющиеся струны с закрепленными концами, радиоантенны, изолированные на обоих концах и т д.). В этом случае мы должны искать решения волнового уравнения, периодические во времени и обращающиеся в нуль на границах среды; их амплитуды везде должны быть конечными, однозначно определенными и непрерывными внутри среды. Нахождение этого решения представляет собой математическую задачу о собственных значениях уравнения в частных производных для определенной области пространства и определенных граничных условий. Всем физикам известно много простых примеров такого рода решений. Это, например, упругие стоячие волны, возникающие в колеблющейся струне с закрепленными концами, частота которых кратна основной частоте, или стоячие электромагнитные волны в антенне, изолированной на одном конце с заземленным другим; стоячие волны, длины которых равны учетверенной длине антенны, деленной на последовательные нечетные целые числа.
Применение только что рассмотренной теории колебаний к атому требует, чтобы мы считали стационарные боровские состояния соответствующими стационарным волнам, связанным с атомными электронами.
Несомненно, что такая интерпретация проливает свет на истинный смысл условий квантования и делает весьма вероятным уточнение основных идей, которые мы обрисовали выше, и того пути, по которому они привели нас к взаимосвязи волн и частиц. Однако для лучшего понимания материала последующих глав необходимо особо подчеркнуть две трудности.
Первая возникает, когда мы хотим убедиться в стационарном характере волн, связанных со стационарным состоянием атома, и пользуемся при этом формулой, сопоставляющей движение частицы распространению волны в смысле геометрической оптики. По существу, переводя на квантовый язык идеи, хорошо известные в аналитической механике, мы устанавливаем соответствие между траекториями частицы, какими их представляем себе классически, и лучами, по которым распространяются волны. Мы уже отмечали, что геометрическая оптика с точки зрения волновых представлений – лишь первое приближение, справедливое в том случае, когда волны распространяются свободно, не встречая никаких препятствий, и когда, кроме того, скорость распространения не меняется слишком быстро от точки к точке. Теперь уже легко видеть, что второе условие для волн, связанных с электроном внутри атома, конечно, не выполняется. Следовательно, путь, каким мы пришли к стационарному характеру волны, отвечающей стационарному состоянию атома, нельзя признать строгим.
Избежать этого можно, лишь получив уравнение распространения волны, связанной с электроном, и решив задачу о собственных значениях для волн внутри атома, которая при этом возникает.
Однако необходимо особо подчеркнуть главную идею, содержащуюся в предыдущем рассуждении. Эта важная идея заключается в следующем: так как геометрическая оптика есть только приближение, верное в определенных условиях, и соответствие установлено между классической динамикой и распространением волн по законам геометрической оптики, то вполне возможно, что классическая динамика тоже лишь приближение, имеющее те же пределы применимости, что и геометрическая оптика, перефразировкой которой она, в известном смысле, является.
Во всех случаях, когда волна, связанная с частицей, распространяется не по законам геометрической оптики (а мы уже видели, что это бывает как раз в случае волн, связанных с электронами в квантованных атомных системах), динамическое поведение частицы нельзя описывать, исходя из понятий и законов классической механики. Именно поэтому механику Ньютона и даже механику Эйнштейна нужно впредь называть старой механикой, и необходимо создать новую, в рамках которой эта старая будет первым приближением, справедливым в определенных условиях. Короче говоря, возникла необходимость, как мы писали в те годы, создать новую механику волнового характера, которая будет относиться к старой механике, как волновая оптика к геометрической оптике. Точно и тщательно эта идея была осуществлена в бессмертной работе Шредингера.
В чем же заключается вторая трудность? Прежде чем перейти к существу дела, рассмотрим в качестве простого примера систему, в которой возникают стационарные волны, – струну с закрепленными концами. В такой струне может возбуждаться бесконечное число стоячих волн. Случай, когда струна несет только одно стационарное колебание, т е. когда она движется строго по синусоиде, исключительный. Обычно струна после нескольких начальных колебаний начинает двигаться по очень сложному закону за исключением ее концов, которые, естественно, не двигаются вообще. Однако математическая теория рядов Фурье гласит, что движение струны, каким бы сложным оно ни было, может быть представлено в виде суммы стационарных колебаний. Математически этот результат выражают следующим образом: синусоидальные функции, описывающие отдельные стационарные волны, образуют полную систему ортогональных функций. Этот результат можно обобщить на случай систем более сложных, чем струна с закрепленными концами. Можно показать, что если в какой-либо области пространства возникают стационарные колебания, то, какова бы ни была их форма, ее можно представить в виде суперпозиции некоторого числа (конечного или бесконечного) стационарных колебаний.
Применение этих общих идей к квантованным атомным системам сразу же приводит к упомянутой трудности. По первоначальным представлениям Бора атом всегда находится в том или ином стационарном состоянии. При этом предполагается дискретность, как раз и означающая квантование. Такой взгляд ни в чем не противоречит классической картине состояния атома. Однако если предположить, что стационарное состояние соответствует стационарным колебаниям, то общая теория, которую мы только что бегло описали, приводит к такому выводу: состояние атома в данный момент времени может свестись к единственному стационарному состоянию только в исключительных случаях. В общем же случае оно представляет собой наложение определенного числа стационарных состояний. Можно сказать, что с точки зрения классических представлений такое утверждение лишено всякого смысла, ибо невозможно себе представить, что атом может в один и тот же момент времени находиться в нескольких состояниях. Эта трудность показывает, что развитие новой механики претендует на глубокую перестройку основных понятий классической физики, перестройку, необходимость которой, как мы уже говорили, в зародыше содержится уже в самом существовании кванта действия. И только вероятностная интерпретация новой механики позволит нам скоро придать суперпозиции нескольких состояний физический смысл.
3. Работы Шредингера
Поделиться книгой: