Темная сторона материи. Дирак. Антивещество

Дираку не было достаточно просто формулировки своего уравнения в написанной им статье 1928 года: ученый также доказал, что оно соблюдает свойство инвариантности при преобразованиях Лоренца. Так, уравнение Дирака представляет собой действительно удовлетворительное описание квантового поведения субатомных частиц: оно соблюдает релятивистское соотношение момента и энергии, из него вытекает плотность вероятности, имеющая положительное значение, с действительными значениями энергии, и, наконец, оно согласуется с принципом относительности Эйнштейна.

Спустя годы Дирак удивлялся: «Не могу понять, почему мне понадобилось столько времени, чтобы решить такой элементарный вопрос». Дирак довел математику до ее предела. Необходимость ввести новые размеры заставила его принять волновые функции, описанные через четыре составляющие, физический смысл которых (отбросив два возможных состояния спина) в последующие годы стал новой головоломкой для физиков. Теория электрона Дирака является примером того, что Вигнер назвал «иррациональной действенностью математики в естественных науках».

НЕОБЫКНОВЕННЫЙ УСПЕХ, НЕОЖИДАННЫЕ ПРОБЛЕМЫ

Уравнение Дирака ошеломило всех его коллег. Некоторые из них уже многие месяцы выводили квантовое релятивистское уравнение, и работа Дирака поставила их в тупик, породив глубокое чувство неудовлетворенности. Йордан заметил: «Я не прощу себе своей неспособности понять, что главным было найти линейное выражение». Тем не менее он признал качество работы Дирака: «Я бы предпочел сам вывести уравнение, но формулировка Дирака столь восхитительна, уравнение такое лаконичное, что мы все должны наслаждаться тем, что оно появилось на свет». Это мнение разделяли практически все физики. Гейзенберг заявил: «Я очень высоко ценю его последнюю работу о спине». А Эренфест сказал: «Я нахожу последнюю работу Дирака о спине электрона просто замечательной».

Работа о спине рассматривалась как чудо. Общее чувство было, что Дирак получил больший результат, нежели заслуживал. Никто до этого так не подходил к физике.

Леон Розенфельд, бельгийский физик, коллега Борна в Геттингене

Общее восхищение и уважение, вызванное уравнением Дирака, было связано не только с тем, каким именно методом ученый разработал его (главенство основополагающих принципов физики над всеми остальными эмпирическими методами), но также и с решениями этого уравнения. Свойство спина появлялось как естественное следствие самой структуры уравнения, которое в свою очередь было логическим результатом основополагающих принципов двух главных новаторских теорий физики — теории относительности и квантовой теории. Уравнение давало магнитный момент электрона и позволяло получить точное значение постоянной тонкой структуры.

Показатель взаимодействия между спином электрона и его кинетическим орбитальным моментом в атоме водорода также автоматически вытекал из уравнения. Это исключительно релятивистский эффект, связанный с преобразованием между системами отсчета, относящимися к электрону и протону (ядро), который надо было вводить «вручную» в уравнение Паули. Наконец, уравнение Дирака сводилось к уравнению Шрёдингера или уравнению Паули в пределах маленьких кинетических энергий, сопоставляемых с собственной энергией электрона. Оно несомненно было одним из самых значительных прорывов в физике XX века. Однако это же уравнение приводило в замешательство. Позднее Гейзенберг вспоминал:

«До начала 1928 года у меня было впечатление, что в квантовой теории мы твердо стоим на якоре в порту. Но уравнение Дирака снова выбросило нас в открытое море».

Трудности, связанные с уравнением Дирака, косвенно вытекали из его структуры. Если для описания спина достаточно двух составляющих, то в чем смысл двух дополнительных значений, появляющихся в уравнении? Должно было пройти несколько лет, чтобы стал очевидным физический смысл решений уравнения Дирака. Однако ясная и прозрачная математическая структура уравнения не оставляла никаких сомнений: его решения соответствовали одновременно и обычным электронам с положительным значением энергии, и электронам с отрицательным значением энергии.

Дирак с самого начала осознавал возникшую сложность. Он заметил, что возможность двух типов решения (положительные и отрицательные энергии) неизбежно появляется в любой релятивистской квантовой теории. В своих первых работах об электроне Дирак обозначил две главные трудности, которые подрывали предыдущую теорию Клейна — Гордона.

1. Их уравнение не было линейным по энергии или, что возвращает к тому же, по временной производной.

2. Уравнение действует одновременно и для электронов с зарядом +е, и для электронов с зарядом -е.

Дирак писал в своей статье:

«Некоторые из решений волнового уравнения представляют собой волновую группу, описывающую частицу с зарядом -е, тогда как другие соответствуют частице с зарядом +е. Для второго типа решений энергия В имеет отрицательное значение.

Заметим, что Дирак разобрался с первой трудностью, но не смог разрешить вторую. Поэтому в первое время он считал, что его теория является только приближением к решению проблемы, и писал:

«Истинное релятивистское волновое уравнение должно быть таким, чтобы его решения делились на две независимые группы, каждая из которых соответствовала бы частицам с зарядом -е и +е».

Кроме того, в своей статье Дирак обращал внимание на то, что все решения, относящиеся к электронам с зарядом +е, должны исключаться; однако он осознавал главные различия, которые существовали между классической теорией и квантовой, а также возможные последствия нового типа решений:

«В классической теории выходом в подобной ситуации является произвольное исключение всех решений, соответствующих отрицательной энергии. Подобного нельзя сделать в квантовой теории, потому что по общему правилу любое воздействие может привести к преобразованию состояния с положительной энергией в состояние с отрицательной энергией. В экспериментальном плане данный тип преобразования соответствуют процессу, в котором электрон вдруг меняет заряд с -е на +е. Такое явление еще не наблюдалось».

Приведенная выше цитата ясно свидетельствует о том, какую огромную концептуальную трудность породили уравнение Дирака и физическая интерпретация его решений. Сам Дирак, впрочем, представлял в своей статье противоречащие друг другу аргументы. В последующие после публикации уравнения месяцы проблемы решений уравнения с положительными и отрицательными значениями энергии стали настоящей головоломкой для сообщества физиков, занимавшихся квантовой теорией. Гейзенберг даже писал в письме Паули: «Самый мучительный раздел современной физики — это теория Дирака».

ГОДЫ ПУТЕШЕСТВИЙ И СМЯТЕНИЯ

Через месяц после открытия релятивистского уравнения электрона Дирак опубликовал вторую статью. В ней он применял свою теорию к некоторым конкретным проблемам: правилам отбора атомных переходов и эффекту Зеемана. Но уравнение Дирака и интерпретация решений с отрицательными значениями энергии продолжали сеять путаницу. Параллельно Дирак осуществил серию поездок в разные центры, где проводил семинары по своей новой теории. Весной и летом 1928 года он побывал в Копенгагене, Лейдене, Лейпциге и Геттингене. В Лейпциге Дирак встретил Гейзенберга, которого только что назначили университетским профессором, и они много обсуждали новую теорию. Гейзенберг тоже испытывал неудовлетворение, вызванное уравнением Дирака. В письме к Йордану он отметил:

«Приехал Дирак и провел много семинаров по новой теории, однако не смог разрешить существующие трудности».

В следующие месяцы замешательство и неудовлетворенность Гейзенберга только росли. В письме к Бору он даже утверждал:

«Теперь, после более глубокого изучения теории Дирака, трудности мне кажутся еще более значительными, нежели мне виделось вначале. [...] Нынешняя ситуация достаточно абсурдна и безнадежна. [...] Я решил поменять область исследования, и следующие месяцы посвящу ферромагнетизму».

Похожее чувство владело Дираком, пусть он никогда и не выказывал его так явно, как Гейзенберг. В июле 1928 года он признавался Клейну:

«До настоящего времени все мои попытки разрешить трудности положительных и отрицательных значений энергии провалились».

Когда пребывание в Геттингене подходило к концу, ученый решил поехать в СССР. В последующие годы, которые оказались очень непростым временем, Дирак регулярно осуществлял туда поездки.

ПАРАДОКС КЛЕЙНА

Одной из типичных проблем, которую ставят перед студентами на занятиях по квантовой физике, является проблема электрона, приближающегося к потенциальному барьеру определенной высоты (см. рисунок). Она возникла при описании электрона в уравнении Шрёдингера: анализируется поведение волновой функции в присутствии потенциального барьера. Также можно рассчитать коэффициент прохождения и отражения, то есть вероятность того, что электрон пройдет через барьер и количество отраженного потока. Полученные результаты ясно свидетельствуют о некоторых исключительно квантовых свойствах. Кроме того, можно наблюдать, что даже если выпущенный электрон обладает энергией немного меньшей, нежели высота потенциально барьера, есть ненулевая вероятность прохождения его через барьер. В классической физике такого произойти не может.

Как появился парадокс

«Парадокс Клейна» появился во время одного исследования с использованием уравнения Дирака. Клейн анализировал эту проблему и убедился в том, что результаты, получаемые им в определенных ситуациях, полностью отличаются оттого, что дает уравнение Шрёдингера: эти результаты очень трудно понять, они кажутся абсурдными. Так, он убедился, что для достаточно интенсивного потенциала, который превосходит общую энергию (кинетическую энергию плюс собственную энергию) электрона, передаваемая волновая функция не становится показательной убывающей функцией, как в случае уравнения Шрёдингера, но данная функция сохраняет колебание при отрицательных энергиях. Также изучение вероятностей прохождения и отражения электрона через барьер показывает, что отраженный поток больше, чем изначальный. Этот результат, который невозможно понять, напрямую связан с существованием потока от частицы с противоположным зарядом, нежели заряд выпускаемого электрона; иначе говоря, передаваемая волна связана с решениями с отрицательной энергией. Результаты парадокса Клейна проявлялись и при анализе с использованием уравнения Клейна — Гордона; таким образом, они — естественное следствие использования квантового релятивистского уравнения. Парадокс Клейна делает очевидной невозможность сохранения квантового релятивистского описания только одной субатомной частицы при взаимодействиях; другими словами, при взаимодействии могут рождаться частицы в соответствии с принципом эквивалентности массы и энергии Эйнштейна. Парадокс Клейна показывает нам, что при взаимодействии неизбежно происходит рождение пар или переход между двумя типами решений уравнения Дирака: с положительной и отрицательной энергией. Вспомним, что число частиц не сохраняется в квантовой релятивистской теории; в этом заключается ее главное отличие от нерелятивистской теории и уравнения Шрёдингера.

Среди западных физиков он более других поддерживал прямые контакты с советскими коллегами. С некоторыми из них, например с Капицей и Таммом, он на всю жизнь сохранил тесные дружеские отношения.

Осенью 1928 года Дирак вернулся в Кембридж, где провел шесть месяцев, начав работу над книгой о квантовой теории. В это время смятение, порожденное уравнением Дирака, стало еще больше. Клейн проанализировал проблему релятивистского электрона при туннелировании потенциального барьера.

Результаты в некоторых случаях казались абсурдными. Эта проблема получила название «парадокса Клейна».

Через несколько месяцев сам Клейн и японский физик Ёсио Нисина (1890-1951) развили, используя уравнение Дирака, теорию, которая позволила описать рассеяние фотонов свободными электронами. Полученные результаты согласовывались с экспериментальными данными только в той части, где были учтены решения с отрицательной энергией. Как теория, приводящая в некоторых ситуациях к, казалось, столь абсурдным результатам, могла одновременно так прекрасно описывать природные процессы, когда все ее составляющие учтены?

В течение почти всего 1929 года Дирак сохранял выжидательную позицию по отношению к трудностям, которые, казалось, чуть ли не ежедневно возникали из его уравнения. Он верил в последовательность и точность своей теории, но не знал, как найти ответы на вопросы, которые каждый день ставили перед ним его коллеги. В итоге Дирак решил сделать перерыв и провести несколько месяцев в Висконсинском университете в Мадисоне (США). Это была его первая поездка на американский континент. Там он снова встретился с Гейзенбергом, которого пригласил университет Чикаго.

В истории осталось много знаменитых анекдотов о первом американском путешествии Дирака. Один из них очень показателен и прекрасно характеризует странную личность физика. Однажды, после семинара Дирака, один человек встал и сказал: «Профессор Дирак, я не понимаю уравнение, которое Вы написали на доске». Дирак смотрел на него и молчал, а когда ситуация стала неловкой, модератор был вынужден вмешаться и попросить физика ответить на вопрос. Тогда Дирак заявил: «Это был не вопрос, а просто комментарий». Очевидно, ученый был неспособен читать между строк, что иногда казалось бестактным по отношению к другим.

Гейзенберг и Дирак решили поехать вместе из Штатов в Японию, куда их пригласили читать лекции в университетах Токио и Киото. Точно неизвестно, говорили ли они во время этой поездки о проблемах уравнения. Дирак вспоминал следующее:

«В 1929 году мы с Гейзенбергом пересекли Тихий океан и провели некоторое время в Японии. Мы не говорили о технических проблемах. Мы оба хотели наслаждаться каникулами и отстраниться от физики. Единственные наши разговоры о физике состоялись во время семинаров, которые мы оба проводили в Японии».

Дирак вернулся в Кембридж в октябре 1929 года и сразу же начал работать над новой идеей, способной, по его мнению, разрешить все трудности, связанные с положительными и отрицательными решениями. Точкой отсчета его изысканий было предположение Вейля, сделанное весной 1929 года:

«Кажется вероятным, что из двух решений уравнения Дирака одно соответствует электрону, а другое — протону».

Снова, спустя два года после публикации релятивистского уравнения электрона, Дирак поразил своих коллег идеей, которая не была принята с восторгом большинством физиков. Среди них сначала доминировали скепсис и даже некоторое неприятие. Но для решения концептуальной проблемы Дирак был вынужден сделать еще более смелое предположение, снова породившее множество вопросов. Эта идея содержала решение трудностей уравнения и заключала в себе невозможное по тем временам: открытие античастиц.

ТЕОРИЯ ДЫРОК. ЭЛЕКТРОН И ПРОТОН

Частицы с отрицательной энергией являлись прямым следствием релятивистского уравнения, которое нельзя было не принимать во внимание. Однако Дирак указал, что эти состояния невозможно прямо установить для физических частиц, как предполагал Вейль, избежав парадоксов и абсурдных ситуаций. Новая интерпретация Дирака состояний с отрицательной энергией излагалась в статье «Теория электронов и протонов.

Она была отправлена в журнал в начале декабря 1929 года. В отличие от большинства предыдущих статей физика, которые многие понимали с трудом, данная статья содержала мало уравнений, и чтение ее было гораздо более доступным.

Еще до публикации статьи Дирак начал переписываться с Бором, затрагивая во многих письмах главные идеи собственной теории. Бор был настроен скептически по отношению к интерпретации Дирака, а некоторые аспекты теории считал и вовсе абсурдными. И он не один придерживался такого мнения. В декабре 1929 года Гейзенберг написал Бору:

«Дирак написал новую статью о проблеме ±е [...]. Я настроен очень скептично, потому что в этом случае массы протона и электрона должны быть равными».

Гейзенберг также послал свои возражения и самому Дираку:

«Я думаю, что Ваша новая теория уводит слишком далеко от соответствия классическим законам, также как и от экспериментальной очевидности».

В чем же состояла новая теория, разработанная Дираком и вызвавшая столь суровую критику? Почему Дирак не мог просто принять изначальное предложение Вейля? Ученый заметил, что прямое отождествление решений с отрицательной энергией с протоном вело к недопустимым парадоксам. Например, он показал, что в рамках подобного отождествления переход электрона из состояния положительной энергии в состояние отрицательной энергии интерпретируется как переход электрона в протон, а это противоречит закону сохранения электрического заряда. Также вышесказанное означало, что чем больше электрон с отрицательной энергией перемещался, тем меньше у него энергии, а это было совершенно непонятно. Дирак указал в своей статье, что единственный способ обойти подобные трудности — пересмотр решений, соответствующих электронам с отрицательной энергией, и их отношений с физическими частицами.

У Дирака была следующая гипотеза: «Все состояния с отрицательной энергией заняты электронами». Его предположение означало, что никакой электрон с положительной энергией не может перейти в состояние с отрицательной энергией, поскольку данное состояние уже занято, — а принцип запрета Паули не позволяет электронам занимать одно и то же квантовое состояние. Таким образом, Дирак решил проблему перехода, введя бесконечное число электронов с состоянием отрицательной энергии. Несмотря на возражения Бора (электроны создавали бесконечную плотность отрицательного заряда), Дирак указал: плотность электронов с отрицательной энергией везде одинакова, и значит, эту однородную плотность наблюдать невозможно. Только небольшие изменения этой однородности, например через уменьшение числа незанятых состояний отрицательной энергии, производят эффекты, которые можно наблюдать.

Так Дирак использовал — впервые в квантовой физике — понятие квантового вакуума, включающего в себя бесконечное число электронов, занимающих состояния с отрицательной энергией. Такая ситуация соответствует ситуации максимальной стабильности, известной сегодня под названием «море Дирака». Эта изобретательная идея позволила ему «решить» возникшие раньше парадоксы. Однако большинство физиков высказывались скептически, если не отвергали полностью новую теорию. На самом деле трудно было принять, что состояние квантового вакуума может быть описано через бесконечное число электронов.

Как бы там ни было, Дирак заявил, что только незанятые электронами состояния отрицательной энергии производят физические эффекты. «Дырка» в море Дирака — то есть отсутствие электрона — вела себя во всех отношениях подобно частице с положительным зарядом. Из этого Дирак заключил:

«Мы приходим к выводу, что дырки в распределении состояний являются протонами».

Прямое отождествление пустот с протонами позволило Дираку заявить:

«Так мы можем решить трудности и парадоксальные ситуации, упомянутые раньше; достаточно представить один тип основополагающей частицы вместо двух, электрона и протона, как было необходимо раньше».

Иначе говоря, новая теория Дирака предоставляла единое объяснение двух частиц, электрона и протона, которые могут рассматриваться как два разных и дополняющих друг друга проявления одного основного состояния.

Теория дырок Дирака, в которой дырки отождествлялись с протонами, вела к двум дополнительным трудностям. Прежде всего, наличие дырки — то есть существования протона — означало, что электрон с положительной энергией может упасть в такую дырку. Это эквивалентно процессу аннигиляции электрона и протона. Также электрон в море Дирака мог поглощать излучение и таким образом переходить в состояние с положительной энергией. Другими словами, электрон и протон можно создать. Процессы рождения и аннигиляции частиц соблюдают принцип эквивалентности массы и энергии. Однако ни один из данных процессов никогда не был зафиксирован.

Другая трудность теории Дирака была связана с огромной разницей в массе электрона и протона. На самом деле протон примерно в 2000 раз тяжелее электрона. Дирак полностью осознавал эту проблему, которую он так описал в своей статье:

«Может ли настоящая теория объяснить огромную асимметрию, существующую между электроном и протоном? [...] Очевидно, что теория дырок имеет смысл только при симметричном обращении с двумя частицами. [...] Однако эта симметрия математически неидеальна, когда мы рассматриваем взаимодействие электронов и протонов. [...] Последствия этой асимметрии трудно представить в рамках релятивистской теории, но мы надеемся найти объяснение разнице в массе между протоном и электроном».

Четыре лауреата Нобелевской премии 1933 года. Слева направо: писатель Иван Бунин и физики Шрёдингер, Дирак и Гейзенберг.

Один из самых знаменитых снимков в истории физики: участники Сольвеевского конгресса 1927 года. Дирак сидит в центре.

Почему Дирак настаивал на отождествлении дырок с протонами, хотя понимал огромные трудности, вытекающие из такой интерпретации? Сам физик предоставил объяснение этому факту на заседании британской Ассоциации содействия развитию науки, которое состоялось в Бристоле в 1930 году.

РОЖДЕНИЕ И АННИГИЛЯЦИЯ ПАР В ТЕОРИИ ДИРАКА

Энергетический спектр, вытекающий из уравнения Дирака, представлен на рисунке 1. Мы можем видеть бесконечное количество состояний с положительной энергией, которая больше собственной энергии электрона, mс2. Данные состояния соответствуют физическим электронам, обладающим разной кинетической энергией. Впрочем, уравнение Дирака косвенно содержит также бесконечную группу решений с отрицательной энергией -mс2. Это бесконечное число состояний называется «морем Дирака». Понятие «квантового вакуума» соответствует всем состояниям, занятым электронами. Так Дирак объясняет стабильность вещества, используя принцип запрета Паули: никакой переход из физического состояния с положительной энергией в состояние с отрицательной энергией невозможен, поскольку эти состояния уже заняты.

РИС. 1

РИС. 2

Море Дирака соответствует полностью однородной ситуации, которую никоим образом нельзя наблюдать, если только в ней не происходят изменения, например когда одному из электронов «моря» не хватает (см. рисунок 2). Модель Дирака предполагает возможность рождения и аннигиляции частиц. Как интерпретировать эти процессы в рамках теории дырок Дирака? Наличие незанятого состояния в море Дирака допускает, что электрон с положительной энергией может упасть в дырку: в таком случае высвобождается разница в энергиях и испускается электромагнитное излучение. При рассмотрении дырки в море Дирака в качестве частицы это явление интерпретируется как аннигиляция электрона и положительной частицы, порождающая излучение (см. рисунок 3, справа). Когда Дирак определил дырки как антиэлектроны, то речь пошла об аннигиляции пары электрон/антиэлектрон. Впрочем, возможно нарушить состояние квантового вакуума. Так, электромагнитное излучение может выбить электрон из моря Дирака и заставить его перейти в состояние с положительной энергией (см. рисунок 3, слева). Для этого энергия излучения должна быть равной или больше 2mс2, минимальной широты запретной зоны, которую электрон должен перейти. В таком случае процесс сопровождается рождением электрона и дыркой в море Дирака, то есть положительной частицы: антиэлектрона Дирака. Упомянутый процесс называется «рождение пары частица/античастица».

РИС.З

«Мечтой философов всегда была возможность выстроить любое вещество из основополагающей частицы; наша теория, правда, оперирует двумя частицами (электроном и протоном). Однако есть серьезные причины полагать, что электроны и протоны являются разными проявлениями одного типа частиц. Эта связь вытекает из симметричности электрического заряда».

АНТИЭЛЕКТРОН: МИР АНТИЧАСТИЦ

В 1930 году Дирак считал главной разработку единой физической теории для электрона и протона (то, что он называл «мечтой философов»). Именно поэтому он продолжал верить в свою теорию, несмотря на очевидные проблемы и результаты (часть которых была получена им самим), доказывающие непоследовательность его интерпретации протонов. В феврале 1930 года американский физик Роберт Оппенгеймер (1904-1967) опубликовал короткую статью, в которой показал, что средняя жизнь атомного электрона, согласно теории Дирака, должна длиться всего примерно 10-9. Это было очевидным абсурдом, поскольку означало, что материя невероятно нестабильна. Оппенгеймер из вышесказанного заключил, что теорию Дирака следует изменить: протоны и электроны обязательно должны быть разными частицами.

В следующем месяце Дирак послал для публикации новую статью под названием «Об аннигиляции электронов и протонов». Он снова признавал, что большая разница в массе электронов и протонов представляет серьезное затруднение. Ученый нашел выражение вероятности аннигиляции электрона-протона:

«Невозможно представить точное численное выражение нашего результата, поскольку мы не знаем, относится ли появляющаяся в нем масса к электрону или протону. Как бы там ни было, полученная цифра слишком велика, чтобы объяснить стабильность электронов и протонов».

Однако Дирак не смирился и завершил статью следующими словами:

«Мы должны предположить, что взаимодействие между электронами и протонами должно значительно сокращать зону столкновения. [...] Возможно, для очень высоких энергий результат этой работы будет точным, когда массе будет присвоено значение».

Советский физик Игорь Тамм со своей стороны пришел к такому же выводу: средняя жизнь электронов и протонов в уравнении Дирака полностью противоречит действительности. Как Дирак и Оппенгеймер, Тамм полагал, что включение эффекта взаимодействия между электронами и протонами значительно улучшит результаты. Оппенгеймер и Тамм были среди немногих физиков, которые приняли теорию дырок Дирака. Поэтому они пытались найти ее подтверждение, несмотря на абсурдность результатов, к которым она приводила.

Дирак еще несколько месяцев продолжал верить в свою интерпретацию протонов как дырок в море с отрицательной энергией. Но он прекрасно знал, что очень небольшое число физиков разделяют его точку зрения. Со свойственной ему критичностью Паули сформулировал то, что впоследствии в узких кругах квантовой физики получит название «второго принципа Паули»:

«С того момента, как физик предлагает теорию, она должна быть сразу приложена к своему автору: так, Дирак должен быть аннигилирован».