Дискретность есть подобно непрерывности момент количества, но она же сама есть также и все количество, именно потому, что она есть момент в последнем, в целом и, следовательно, как различное не выступает из этого целого, из своего единства с другим моментом. — Количество есть бытие вне-друг-друга в себе, а непрерывная величина есть это бытие-вне-друг-друга как продолжающее себя без отрицания, как в самой себе равная связь. Дискретная же величина есть эта внеположность как не непрерывная, как прерываемая. Однако с этим множеством одних у нас не получается снова множество атомов и пустота, вообще отталкивание. Так как дискретная величина есть количество, то сама ее дискретность непрерывна. Эта непрерывность в дискретном состоит в том, что одни суть равное друг другу или, иначе говоря, в том, что они обладают одной и той же единицей. Дискретная величина есть, следовательно, внеположность многих одних, как равных, не многие одни вообще, а положенные как многие некоторой единой единицы.
Примечание. Обычное разлучение этих величин
В обычных представлениях о непрерывной и дискретной величинах не принимают во внимание того обстоятельства, что каждая из этих величин имеет в себе оба момента, как непрерывность, так и дискретность, и их отличие друг от друга составляет только то, какой из двух моментов есть положенная определенность и какой есть только в-себе-сущая определенность. Пространство, время, материя и т. д. суть непрерывные величины, так как они суть отталкивания от самих себя, изливающееся исхождение из себя, которое вместе с тем не есть переход или отношение к некоторому качественно другому. Они имеют абсолютную возможность того, чтобы одно повсюду было положено в них, положено не как пустая возможность простого инобытия (как, например, говорят, что возможно, чтобы вместо этого камня стояло бы дерево), а они содержат принцип одного в самих себе; он есть одно из определений, из которых они конституированы.
Равным образом и обратно, в дискретной величине не следует упускать из вида непрерывность; этим последним моментом, как показано, служит одно как единица.
Непрерывная и дискретная величины могут быть рассматриваемы как виды количества, но лишь постольку, поскольку величина положена не под какой-нибудь внешней определенностью, а под определенностями ее собственных моментов. Обычный переход от рода к виду вводит в первый — согласно некоторому внешнему ему основанию деления, — внешние определения. Непрерывная и дискретная величины при этом еще не суть определенные величины; они суть лишь само количество в каждой из его двух форм. Их называют величинами постольку, поскольку они имеют вообще то общее с определенным количеством, что они суть некоторая определенность в количестве.
С. Ограничение количества
Дискретная величина имеет, во-первых, принципом одно и есть, во-вторых, множество одних; в-третьих, она по существу непрерывна, она есть одно, вместе с тем как снятое, как единица, есть продолжение себя как такового в дискретности многих одних. Она поэтому положена как единая величина, и ее определенность есть одно, которое есть в этой положенности и наличном бытии исключающее одно, граница в единице. Дискретная величина как таковая, как предполагается, непосредственно не ограничена: но как отличная от непрерывной величины она дана как некоторое такое наличное бытие и нечто, определенность которого есть одно, а как определенность в некотором наличном бытии есть также первое отрицание и граница.
Эта граница, помимо того, что она соотнесена с единицей и есть отрицание в последней, соотнесена как одно также и с самой собой; таким образом, она есть объемлющая, охватывающая граница. Граница здесь сначала не отличается от «нечто» ее наличного бытия, а как одно, она непосредственно есть сам этот отрицательный пункт. Но то бытие, которое здесь ограничено, дано по существу как непрерывность, в силу которой оно выходит за границу и за это одно, и безразлично к ним. Реальное дискретное количество есть, таким образом, некоторое количество или, иначе говоря, определенное количество — количество как некоторое наличное бытие и нечто.
Так как то одно, которое есть граница, объемлет собою многие одни дискретного количества, то она полагает их в такой же мере и как снятые в нем; она есть граница в непрерывности вообще как таковой, и тем самым различие между непрерывной и дискретной величинами здесь безразлично; или, правильнее, она есть граница непрерывности как одной, так и другой; обе переходят в ней к тому, чтобы быть определенными количествами.
Вторая глава. ОПРЕДЕЛЕННОЕ КОЛИЧЕСТВО
Определенное количество — ближайшим образом количество с некоторой определенностью или границей вообще — есть в своей совершенной определенности число. Определенное количество диференцируется (unterscheidet sich),
во-вторых, прежде всего на экстенсивное определенное количество, в котором граница дана (ist) как ограничение налично сущего множества, а затем, когда это наличное бытие переходит в для-себя-бытие, на интенсивное определенное количество, градус[64], которое, как «для себя» и в последнем как безразличная граница, столь же непосредственно оказывается вне себя, имеет свою определенность в некотором другом. Как это положенное противоречие, состоящее в том, что оно, таким образом, просто определено внутри себя и вместе с тем имеет свою определенность вне себя и отсылает за ней вне себя, определенное количество,
в-третьих, как в самом себе внешне положенное, переходит в количественную бесконечность.
A. Число
Количество есть определенное количество или, иначе говоря, обладает границей и как непрерывная и как дискретная величина. Различие этих видов пока что не имеет здесь никакого значения.
Количество как снятое для-себя-бытие уже само по себе безразлично к своей границе. Но тем самым ему также и не безразлично то обстоятельство, что оно имеет границу или, другими словами, что оно есть некоторое определенное количество; ибо оно содержит внутри себя одно, абсолютную определенность, как свой собственный момент, который, следовательно, как положенный в его (количества) непрерывности или единице, есть его граница, остающаяся, однако, одним, которым она теперь вообще стала.
Это одно есть, стало быть, принцип определенного количества, но одно как количественное одно. Благодаря этому оно, во-первых, непрерывно, оно есть единица; во-вторых, оно дискретно, представляет собою в-себе-сущее (как в непрерывной величине) или положенное (как в дискретной величине) множество одних, которые одинаковы друг с другом, обладают вышеуказанной непрерывностью, имеют одну и ту же единицу. В-третьих, это одно есть также и отрицание многих одних как простая граница, есть некое исключение из себя своего инобытия, определение себя по отношению к другим определенным количествам. Постольку одно есть (α) соотносящаяся с собою (β), объемлющая и (γ) исключающая другое граница.
Определенное количество, полностью положенное в этих определениях, есть число. Полная положенность заключается в наличном бытии границы как множества и, стало быть, в ее отличности от единицы. Число представляется поэтому дискретной величиной, но оно обладает также и непрерывностью в виде единицы. Оно поэтому и есть определенное количество в совершенной определенности, так как в числе граница выступает в виде определенного множества, имеющего своим принципом одно, т. е. нечто безоговорочно определенное. Непрерывность, в каковой одно есть лишь в себе, как снятое (положенное как единица), есть форма неопределенности.
Определенное количество, лишь как таковое, ограничено вообще; его граница есть его абстрактная, простая определенность. Но поскольку оно есть число, эта граница положена как многообразная в себе самой. Число содержит в себе те многие одни, которые составляют его наличное бытие, но содержит их не неопределенным образом, а определенность границы имеет место именно в нем; граница исключает другое наличное бытие, т. е. другие многие, и объемлемые ею одни суть некоторое определенное множество, численность[65], в отношении которой как дискретности, как она есть в числе, другим служит единица, его непрерывность. Численность и единица составляют моменты числа.
Что касается численности, то следует еще рассмотреть ближе, каким образом многие одни, из которых она состоит, заключены в границе. Относительно численности правильно выражаются, говоря, что она состоит из многих, ибо одни находятся в ней не как снятые, а суть в ней, только как положенные вместе с исключающей границей, к которой они относятся безразлично. Но граница не относится безразлично к ним. При рассмотрении нами наличного бытия отношение к нему границы оказалось ближайшим образом таким, что наличное бытие как утвердительное оставалось по сю сторону своей границы, а последняя, отрицание, находилась вне его, у его крал; точно так же во многих одних прерыв их и исключение других одних выступает как некоторое определение, которое имеет место вне объемлемых одних. Но там получился вывод, что граница пронизывает наличное бытие, простирается столь же далеко, как последнее, и что нечто вследствие этого ограничено по своему определению, т. е. конечно. — В области числовой количественности мы представляем себе, например, сто так, что только сотое одно ограничивает многие таким образом, что они составляют' сто. С одной стороны, это правильно; но, с другой стороны, среди ста одних никакое из них не обладает преимуществом, так как они только одинаковы; каждое из них есть в такой же мере сотое, как и другие; все они, следовательно, принадлежат к той границе, благодаря которой данное число есть сто; для получения своей определенности последнее не может обойтись ни без одного из них; прочие одни, следовательно, не составляют в сравнении с сотым одним такого наличного бытия, которое находилось бы вне границы или лишь внутри ее, вообще было бы отлично от нее. Численность не есть поэтому некоторое множество в противоположность объемлющему, ограничивающему одному, а сама составляет это ограничивание, которое есть некоторое определенное количество; многие образуют одно число, одну двойку, один десяток, одну сотню и т. д.
Итак, ограничивающее одно есть определенность в отношении другого, отличение данного числа от других. Но это отличение не становится качественной определенностью, а остается количественным, имеет место лишь в сравнивающей внешней рефлексии. Число как одно остается обращенным назад к себе и безразличным к другим. Это безразличие числа к другим есть его существенное определение; оно составляет его определенность в себе, но вместе с тем и его собственную внешность. — Число есть, таким образом, нумерическое одно как абсолютно определенное, которое вместе с тем обладает формой простой непосредственности и для которого поэтому соотношение с другим является совершенно внешним. Как такое одно, которое есть число, оно, далее, имеет определенность (поскольку она есть соотношение с другим) как свои моменты внутри самого себя, в своем различии единицы и численности, и численность сама есть множество одних, т. е. в нем самом имеется этот абсолютно внешний характер. — Это противоречие числа или определенного количества вообще внутри себя есть то качество определенного количества, в дальнейших определениях которого (качества) это противоречие получает свое развитие.
Примечание 1. Арифметические действия. Кантовские априорные синтетические суждения созерцания
Пространственная и числовая величина обыкновенно рассматриваются как два различных вида величин, причем понимают это различие таким образом, что пространственная величина, взятая сама по себе, есть столь же определенная величина, как и числовая величина. Их различие состоит согласно этому способу рассмотрения лишь в определениях непрерывности и дискретности, как определенное же количество они стоят на одной ступени. Геометрия имеет, говоря вообще, своим предметом в виде пространственных величин непрерывную величину, а арифметика в виде числовых величин — дискретную. Но вместе с этой неодинаковостью предмета они также не обладают одинаковым способом и совершенством ограничения или определенности. Пространственная величина обладает лишь ограничением вообще; поскольку она должна рассматриваться как безоговорочно определенное количество, она нуждается в числе. Геометрия как таковая не измеряет пространственных фигур, не есть искусство измерения, она лишь сравнивает их. В даваемых ею дефинициях определения также отчасти заимствуются ею из равенства сторон, углов, из равного расстояния. Так, например, круг, основывающийся единственно только на равенстве расстояния всех возможных в нем точек от одной центральной точки, не нуждается для своего определения ни в каком числе. Эти определения, основывающиеся на равенстве или неравенстве, суть подлинно геометрические. Но их недостаточно, и для определения других фигур, например, треугольника, четырехугольника требуется число, заключающее в своем принципе, в одном, самостоятельную определяемость, а не определяемость с помощью чего-то другого, стало быть, не определяемость через сравнение. Пространственная величина имеет, правда, в точке определенность, соответствующую одному; однако точка, поскольку она выходит вне себя, превращается в другое, становится линией; так как она есть по существу лишь одно пространства, то она в соотношении становится некоторой такой непрерывностью, в которой снята точечность, самостоятельная определяемость, одно. Поскольку самостоятельная определяемость должна сохраниться во вне-себя-бытии, приходится представлять себе линию как некоторое множество одних, и она должна получить внутри себя границу, определение многих одних, т. е. мы должны брать величину линии — и точно так же и других пространственных определений — как число.
Арифметика рассматривает число и его фигуры, или, вернее сказать, не рассматривает их, а оперирует с ними. Ибо число есть безразличная, косная определенность; оно должно быть приведено в действие и в соотношение извне. Способы этого соотнесения суть виды арифметических действий. Они излагаются в арифметике одно после другого, и ясно, что одно действие зависит от другого. Однако в арифметике не выделяется руководящая нить их последовательности. Но из самого определения понятия числа легко получается тот систематический порядок, на который справедливо притязает изложение этих элементов в учебниках. На эти руководящие определения мы должны здесь вкратце обратить внимание читателя.
Число есть вообще вследствие своего принципа, одного, некое внешне сочетанное, всецело аналитическая фигура, в которой нет никакой внутренней связи. Так как оно, таким образом, есть лишь некое порожденное извне, то всякое исчисление есть продуцирование чисел, считание или, говоря более определенно, сосчитывание. Разница в этом внешнем продуцировании, совершающем постоянно лишь одно и то же, может заключаться единственно только в различии по отношению друг к другу тех чисел, которые должны быть сосчитываемы; такое различие само должно быть заимствовано из чего-то иного и из внешнего определения.
Качественным различием, составляющим определенность числа, является то, с которым мы познакомились, а именно, различие единицы и численности; к этому различию сводится поэтому всякая определенность понятия, могущая иметь место в арифметических действиях. Различие же, присущее числам как определенным количествам, есть внешнее тождество и внешнее различие, равенство и неравенство, которые суть рефлективные моменты и должны быть рассматриваемы среди определений сущности там, где трактуется о различии.
Далее, нужно предпослать еще то замечание, что числа могут в общем быть произведены двояким образом, либо через присовокупление (Zusammenfassen), либо через разъединение уже присовокупленных; поскольку этот двоякий способ произведения чисел имеет место при одинаковым образом определенном виде считания, то совокуплению чисел (это можно назвать положительным видом исчисления) соответствует некоторое определенное разъединение их (это можно назвать отрицательным видом исчисления), причем само определение вида исчисления независимо от этой противоположности.
После этих замечаний переходим к указанию видов исчисления.
1. Первым порождением числа является совокупление многих как таковых, т. е. многих, каждое из которых положено лишь как одно, — нумерация. Так как одни внешни друг другу, то они представляются под каким-нибудь чувственным образом и операция, посредством которой порождается число, есть сосчитывание по пальцам, по точкам и т. п. Что такое четыре, пять и т. д., это может быть лишь показано. Остановка в счете, будет ли совокуплено столько-то одних или иное их количество, есть нечто случайное, произвольное, так как граница внешня. — Различие численности и единицы, появляющееся в дальнейшем развитии видов исчисления, служит основой системы чисел — двоичной, десятеричной и т. д.; такая система покоится в общем на произвольном выборе той численности, которая постоянно должна снова и снова быть взята как единица.
Возникшие посредством нумерации числа снова подвергаются нумерации; и поскольку они положены так непосредственно, они еще определены без всякого соотношения друг с другом, безразличны к равенству и неравенству, их величины по отношению друг к другу случайны; они поэтому вообще неравны; это — сложение. — Что 7 и 5 составляют 12, это узнают таким образом, что к 7 принумеровывают на пальцах или как-нибудь иначе еще 5 одних, результат каковой операции сохраняют затем в памяти, помнят наизусть, ибо здесь нет ничего внутреннего. И точно так же узнают посредством сосчитывания на пальцах и т. д., что 7 X 5 = 35; знают это тем путем, что к одной семерке принумеровывается еще одна семерка, повторяют это пять раз, и полученный результат также запоминается наизусть. С трудом этого нумерирования, нахождения сумм, произведений навсегда покончено готовой таблицей сложения или умножения, которую нужно лишь заучить наизусть.
Кант рассматривает (во Введении к «Критике чистого разума», раздел V) предложение: 7 + 5 = 12 как синтетическое предложение. «Можно было бы, — говорит он, — сначала, правда, подумать (конечно!), что это чисто аналитическое предложение, вытекающее, согласно закону противоречия, из понятия суммы пяти и семи». Понятие суммы ничего более не означает, кроме того абстрактного определения, что эти два числа должны быть совокуплены и притом как числа внешним, т. е. чуждым понятию образом, т. е. означает, что начиная; с 7 следует продолжать нумерацию до тех пор, пока не будут исчерпаны долженствующие быть прибавленными одни, численность которых определена числом 5; полученный результат носит уже заранее известное название двенадцати. «Однако, — продолжает Кант, — при ближайшем рассмотрении мы находим, что понятие суммы 7 и 5 ничего более не содержит в себе, кроме соединения этих двух чисел в одно единственное, чем вовсе еще не мыслится, каково это единственное число, соединяющее в себе те два числа». «Сколько бы я ни расчленял свое понятие о таковой возможной сумме, я все-таки не встречу в нем двенадцати». С мышлением суммы, с расчленением понятия, переход от указанной задачи к получающемуся результату в самом деле не имеет ничего общего. «Нужно выйти за пределы этих понятий, прибегнуть к помощи созерцания, пяти пальцев и т. д. и, таким образом, присоединить эти единицы данных в созерцании пяти к понятию семи», — прибавляет он. Пять в самом деле дано в созерцании, т. е. есть совершенно внешняя сочетанность произвольно повторявшейся мысли, одного; но 7 есть столь же мало понятие; здесь нет понятий, за пределы которых нужно было бы выходить. Сумма 7 и 5 означает чуждое понятию соединение этих двух чисел; это столь чуждое понятию нумерирование, продолжающееся от 7 до тех пор, пока не будут исчерпаны пять единиц, можно назвать сочетанием, синтезированием ровно с таким же правом, как и нумерацию, начинающую с одного, — синтезированием, которое, однако, носит совершенно аналитический характер, так как связь здесь всецело искусственная, в ней нет ничего такого и в нее не привходит ничего такого, что не наличествовало бы перед нами совершенно внешним образом. Требование сложить 7 с 5 относится к требованию считать вообще как требование продолжить прямую линию к требованию провести прямую линию.
Таким же бессодержательным, как выражение «синтезирование», является определение, что это синтезирование совершается a priori. Правда, считание не есть определение, принадлежащее области ощущений, которые согласно кантовскому определению созерцания единственно только и остаются на долю а posteriori, и считание есть несомненно операция, совершающаяся на почве абстрактного созерцания, т. е. такого созерцания, которое определено категорией одного и при котором абстрагируются как от всяких прочих определений, принадлежащих области ощущения, так и от понятий. «А priori» есть вообще нечто лишь смутное. Определение, принадлежащее области эмоций — влечение, склонность и т. д., в такой же мере имеет в себе момент априорности, а пространство и время как существующие, т. е. временное и пространственное, определены также и a posteriori.
В связи с этим мы можем прибавить, что в утверждении Канта о синтетическом характере основоположений чистой геометрии также нет ничего основательного. Признавая, что многие из них действительно аналитичны, он в доказательство представления о синтетичности других приводит только ту аксиому, что прямая линия есть кратчайшее расстояние между двумя точками. «А именно в моем понятии о прямой не содержится никакая величина, а содержится только качество; понятие о кратчайшем расстоянии всецело, следовательно, привходит извне, и никаким расчленением не может быть извлечено из понятия прямой линии; здесь, следовательно, приходится брать себе в помощь созерцание единственно лишь посредством которого возможен синтез». — Но здесь дело вовсе и не идет о понятии прямого вообще, а о прямой линии, последняя же есть уже нечто пространственное, созерцаемое. Определение (или, если угодно, понятие) прямой линии ведь и состоит ни в чем другом, как в том, что она есть безоговорочно простая линия, т. е. в том, что в своем выхождении вне себя (в так называемом движении точки) она безоговорочно соотносится с особою, что в ее протяжении не положено никакой разницы определения, никакого соотношения с некоторой другой точкой или линией вне ее; она есть безоговорочно простое внутри себя направление. Эта простота есть, разумеется, ее качество, и если кажется, что трудно дать аналитическую дефиницию прямой линии, то это происходит лишь из-за определения простоты или соотношения с самой собой и только потому, что при операции определения рефлексия прежде всего имеет преимущественно в виду некую множественность, операцию определения через другое. Но само по себе нисколько не трудно понять это определение простоты протяжения внутри себя, отсутствие в последнем определения через другое. Дефиниция Эвклида не содержит в себе ничего другого, кроме этой простоты. — Но переход этого качества в количественное определение (кратчайшего расстояния), который якобы составляет синтез, исключительно и всецело аналитичен. Линия как пространственная есть количество вообще; простейшим, что можно сказать об определенном количестве, является «наименьшее», а это последнее, высказанное о линии, есть «кратчайшее». Геометрия может брать эти определения как следствия из дефиниции; но Архимед в своих книгах о шаре и цилиндре (см. перев. Гаубера, стр. 4) поступил всего целесообразнее, выставив указанное определение прямой линии как аксиому; он делает это в таком же правильном смысле, в каком Эвклид поставил в числе аксиом определение, касающееся параллельных линий, так как развитие этого определения для того, чтобы оно стало дефиницией, также потребовало бы не непосредственно принадлежащих пространственности, а более абстрактных качественных определений (подобно тому как только что в применении к прямой линии потребовалось такое определение как простота), — одинаковости направления и т. п. Эти древние сообщили также и своей науке пластический характер, их изложение строго держалось своеобразия ее материи и поэтому исключало из себя все, что было бы ему гетерогенно.
Понятие, которое Кант выставил в своем учении о синтетических суждениях a priori, — понятие о различном, которое также и неотделимо друг от друга, о тождественном, которое в самом себе нераздельно есть различие, принадлежит к тому, что есть великого и бессмертного в его философии. В созерцании это понятие, разумеется, также имеется, так как это понятие есть само понятие, и всё есть в себе понятие; но те определения, которые выделены в приведенных примерах, не выражают его; число и считание есть, напротив, такое тождество и продуцирование такого тождества, которое безоговорочно есть лишь внешнее тождество, лишь поверхностный синтез, единство единиц, таких единиц, которые, напротив, положены как в самих себе не тождественные друг с другом, а внешние, сами по себе раздельные. В прямой линии в основании определения, что она есть кратчайшее расстояние между двумя точками, должен лечь скорее лишь момент абстрактного тождества, лишенного различия в нем самом.
Я возвращаюсь от этого отступления к самому сложению. Соответствующий ему отрицательный вид исчисления, вычитание, есть в свою очередь совершенно аналитическое отделение чисел, которые, как и в сложении, определены лишь как вообще неравные в отношении друг друга.
2. Ближайшим определением является равенство тех чисел, над которыми должно быть произведено действие нумерации. Благодаря этому равенству эти числа суть единицы, и в числе появляется различие единицы и численности. Умножение имеет задачей сосчитать воедино численность таких единиц, которые сами суть тоже численности. При этом безразлично, какое из двух чисел принимается за единицу и какое за численность, безразлично, говорим ли мы четырежды три, где четыре есть численность, а три — единица, или, наоборот трижды четыре. — Мы уже указали выше, что первоначальное нахождение произведения совершается посредством простого процесса нумерации, т. е. сосчитывания на пальцах и т. д.; получающаяся позднее способность непосредственно указать произведение покоится на собрании таких произведений, на таблице умножения и знании ее наизусть.
Деление есть отрицательный вид исчисления согласно тому же определению различия. Здесь также безразлично, какой из двух факторов, делитель ли или частное, мы примем за единицу и какой за численность. Делитель принимается за единицу, а частное — за численность, когда задачей деления объявляется желание узнать, сколько раз (численность) некоторое одно число (единица) содержится в данном числе; наоборот, делитель принимается за численность, а частное за единицу в том случае, когда говорят, что требуется разделить некоторое число на данную численность одинаковых частей и найти величину такой части (единицы).
3. Те два числа, которые определены одно относительно другого как единица и численность, еще непосредственны относительно друг друга и потому вообще неравны. Дальнейшим равенством служит равенство самих единицы и численности; таким образом, поступательное движение к равенству тех определений, которые заключаются в определении числа, завершено. Считание согласно этому полному равенству есть возведение в степень (отрицательным видом исчисления служит здесь извлечение корня) и притом ближайшим образом возвышение в квадрат; это — полная определенность нумерирования внутри самого себя, где (1) те многие числа, которые слагаются, суть одни и те же, и (2) само их множество или численность тождественно тому числу, которое берется многократно и служит единицей. Нет никаких иных определений в понятии числа, которые могли бы представлять собою некоторое различие, и не может также иметь место никакое дальнейшее выравнивание того различия, которое заключается в числе. Возведение в степени высшие, чем вторая, есть формальное продолжение, которое отчасти — при четных показателях — есть лишь повторение возведения в квадрат, и отчасти — при нечетных показателях — есть появление снова прежнего неравенства; а именно, при формальном равенстве (например, ближайшим образом в кубической степени) нового множителя как с численностью, так и с единицей, он как единица представляет собою нечто неравное по отношению к численности (по отношению к второй степени, 3 — по отношению к 3.3): еще большее неравенство имеется при кубической степени четырех, где численность (3), показывающая, сколько раз число, служащее единицей, должно быть помножено само на себя, отлична от последнего. — Эти определения имеются сами по себе, как существенное различие понятия, — численность и единица, и для того, чтобы выход из себя вполне возвратился в себя, они должны быть выравнены. В только что изложенном заключается, далее, основание, почему, с одной стороны, решение уравнений высших степеней должно состоять в приведении их к квадратным уравнениям и, почему, с другой стороны, уравнения нечетных степеней могут быть определены лишь формально, и как раз, когда корни рациональны, они могут быть найдены не иначе, как при помощи мнимых выражений, представляющих собою противоположность того, что суть и выражают собою корни. — Согласно сказанному единственно только арифметический квадрат содержит в себе всецелую определенность, вследствие чего уравнения дальнейших формальных степеней должны быть приведены к нему; точно так же, как в геометрии прямоугольный треугольник содержит в себе всецелую определенность внутри себя, выраженную в пифагоровой теореме, и поэтому для полного определения всех прочих геометрических фигур они должны быть приведены к нему.
В преподавании, подвигающемся вперед согласно логически построенному суждению, изложение учения о степенях предшествует изложению учения о пропорциях; последние, правда, примыкают к различию единицы и численности, составляющему определение второго вида исчисления, однако они выходят за пределы того одного, которое есть одно непосредственного определенного количества, в котором единица и численность суть лишь моменты; дальнейшее определение по этим моментам[66] остается для него самого также еще внешним. Число в отношении не есть уже непосредственное определенное количество; последнее имеет тогда свою определенность как опосредствование; количественное[67] отношение мы рассмотрим далее.
О вышеуказанном все дальнейшем и дальнейшем определении арифметических действий можно сказать, что оно не есть философствование о них, не есть, скажем, изложение их внутреннего значения, потому что оно на самом деле не есть имманентное развитие понятия. Но философия должна уметь различать то, что по своей природе есть внешний самому себе материал, должна знать, что в таком материале поступательное движение понятия может происходить лишь внешним образом и что моменты этого движения могут иметь бытие лишь в своеобразной форме их внешности, какова здесь форма равенства и неравенства. Различение сфер, к которым принадлежит та или другая определенная форма понятия, т. е. сфер, в которых она имеется как существование, служит существенным условием философствования о реальных предметах, необходимым для того, чтобы мы идеями не нарушали своеобразия внешнего и случайного и чтобы мы вместе с том не искажали этих идей и не делали их формальными вследствие несоответственности материала. Но тот внешний характер, который носит выступление моментов понятия в вышеуказанном внешнем материале, в числе, есть здесь соответственная форма; так как они представляют нам предмет в присущем ему смысле, а также ввиду того, что они не требуют никакого спекулятивного подхода и потому представляются легкими, они заслуживают применения в элементарных учебниках.
Примечание 2. Употребление числовых определений для выражения философских понятий
Как известно, Пифагор изображал в числах разумные отношения или философемы, да и в новейшее время философия применяла числа и формы их соотношений; как, например, степени и т. п., чтобы регулировать согласно им или выражать в них мысли. — В педагогическом отношении число признавалось наиболее подходящим предметом внутреннего созерцания, а занятие вычислением его отношений — деятельностью духа, в которой он делает наглядными свои наисобственнейшие отношения и вообще основные отношения сущности. — В какой мере числу на самом деле принадлежит эта высокая ценность, видно из его понятия, каким оно получилось выше.
Число обнаружилось для нас как абсолютная определенность количества, а его стихия — как ставшее безразличным различие; оно оказалось определенностью в себе, которая вместе с тем положена лишь вполне внешне. Арифметика есть аналитическая наука, так как все встречающиеся в ее предмете связи и различия не зависят от него самого, а учинены ему совершенно извне. Она не имеет конкретного предмета, который содержал бы в себе внутренние отношения, первоначально скрытые для знания, не данные в непосредственном представлении о нем, а долженствующие быть выявлены усилиями познания. Она не только не содержит в себе понятия и, следовательно, задачи для постигающего в понятиях (fur das begreifende) мышления, но есть его противоположность. Вследствие безразличия приведенного в связь к связи, которой недостает необходимости, мышление оказывается здесь занятым деятельностью, которая вместе с тем есть самое крайнее отчуждение от самого себя, занятым насильственной деятельностью, заключающейся в том, что оно движется в сфере безмыслия и приводит в связь то, что не способно носить характер необходимости. Предметом здесь служит абстрактная мысль о внешности как таковой.
Как таковая мысль о носящем характер внешности, число есть вместе с тем абстракция от чувственного многообразия; от чувственного оно ничего другого не сохранило, кроме абстрактного определения внешности; благодаря этому в числе чувственное наивозможно ближе подведено к мысли. Число есть чистая мысль о самоотчуждении мысли.
Поднимающийся над чувственным миром и познающий свою сущность дух, ища стихии для своего чистого представления, для выражения своей сущности, может поэтому раньше, чем он постигнет, что сама мысль является этой стихией и обретет для ее изображения чисто духовное выражение, вздумать избрать для этого число, эту внутреннюю, абстрактную внешность. Поэтому мы находим в истории науки, что уже рано применяли число для выражения философем. Оно составляет последнюю ступень того несовершенства, которое состоит в том, что всеобщее берется как обремененное чувственным. Древние определенно сознавали, что число находится посередине между чувственным и мыслью. Согласно Аристотелю («Метафизика», 1, 5) Платон говорил, что помимо чувственного и идей, посередине между ними, находятся математические определения вещей; от чувственного они отличаются тем, что они невидимы (вечны) и неподвижны, а от идей — тем, что они суть некоторое множественное и сходное, между тем как идея лишь безоговорочно тождественна с собою и едина внутри себя. — Более подробное, основательно продуманное рассуждение об этом Модерата Кадиксского приводится в «Malchi vita Pythagorae ed. Ritterhus», стр. 30 и сл.; то обстоятельство, что пифагорейцам пришла в голову мысль остановиться на числах, он приписывает тому, что они еще не были в состоянии ясно постигнуть в разуме основные идеи и первые начала, потому что трудно продумать и выразить эти начала; числа хорошо служат для обозначения при преподавании; пифагорейцы, между прочим, подражали в этом геометрам, которые, не умея выражать телесное в мысли, применяют фигуры и говорят, что это — треугольник, причем они требуют, чтобы не принимали за треугольник лежащий перед глазами чертеж, а лишь представляли себе с помощью последнего мысль о треугольнике. Так, например, пифагорейцы выразили как одно мысль о единстве, тождественности и равенстве, а также и основание гармонии, связи и сохранения всего, основание тождественного с самим собою и т. д. — Излишне заметить, что пифагорейцы перешли от выражения в числах также и к выражению в мыслях, к определенно названным категориям равного и неравного, границы и бесконечности; уже касательно вышеуказанного выражения в числах сообщается (там же, в примечаниях к стр. 31 цитированного издания, взятых из «Жизни Пифагора» у Фотия, стр. 722), что пифагорейцы различали между монадой и единицей; монаду они принимали за мысль, а единицу за число; и точно так же и число два они принимали за арифметическое выражение, а диаду (ибо таково, видимо, то название, которое оно у них носит) — за мысль о неопределенном. — Эти древние, во-первых, очень ясно усматривали неудовлетворительность числовой формы для выражения определений мысли, и столь же правильно они, далее, требовали настоящего выражения мысли вместо того первого выражения, являвшегося только крайним выходом; насколько опередили они в своих размышлениях тех, которые в наше время снова считают чем-то похвальным и даже основательным и глубоким замену определений мысли самими числами и такими числовыми определениями, как, например, степенями, а затем — бесконечно большим, бесконечно малым, единицей, деленной на бесконечность, и прочими подобного рода определениями[68], которые даже и сами по себе часто представляют собою превратный математический формализм, — считают основательным и глубоким возвращение к вышеупомянутому беспомощному детству.
Что касается вышеприведенного выражения, что число занимает промежуточное положение между чувственным и мыслью, имея вместе с тем то общее с первым, что оно есть по своей природе (an ihr) многое, внеположное, то следует заметить, что само это многое, принятое в мысль чувственное, есть принадлежащая ей (мысли) категория внешнего в самом себе. Дальнейшие, конкретные, истинные мысли, представляющие собою наиболее живое, наиболее подвижное, только соотнесением и занимающееся, превращаются в мертвенные, неподвижные определения, когда их перемещают в эту стихию вне-себя-бытия. Чем богаче становятся мысли определенностью и тем самым также и соотношением, тем более запутанным, с одной стороны, а с другой стороны, тем более произвольным и лишенным смысла становится их изложение в таких формах, как числа. Единица, два, три, четыре, генада или монада, диада, триада, тетрактис, еще близки к совершенно простым, абстрактным понятиям; но когда числа должны переходить к изображению конкретных отношений, тогда оказывается тщетным стремление сохранить связь между ними и понятием.
А когда для характеристики движения понятия, благодаря каковому движению оно только и есть понятие, обозначают определения мысли через одно, два, три, четыре, то этим предъявляется к мышлению самое жестокое требование. Мышление движется тогда в стихии своей противоположности, отсутствия соотношений. Его дело становится тогда работой безумия. Постигнуть, например, что одно есть три, а три — одно, потому так трудно, что одно есть нечто лишенное соотношений и, следовательно, не являет в самом себе того определения, посредством которого оно переходило бы в свою противоположность, а, напротив, состоит именно в полном исключении такого рода соотношения и отказе от него. Рассудок, наоборот, пользуется этим против спекулятивной истины (например, против истины, заключающейся в учении, называемом учением о триединстве) и перечисляет те определения последней, которые составляют одно единство, чтобы выставить ее как явную бессмыслицу, т. е. он сам впадает в бессмыслицу, превращая в лишенное соотношений то, что всецело есть соотношение. Слово «триединство» употребляется, конечно, не в расчете на то, что рассудок будет рассматривать одно и число как существенную определенность содержания. Это слово выражает собою презрение к рассудку, который в своем тщеславии, однако, упорно держится одного и числа как таковых и выставляет это тщеславие как оружие против разума.
Принимать числа, геометрические фигуры просто за символы, как это часто проделывали с кругом, треугольником и т. д. (круг, например, принимался за символ вечности, треугольник — за символ триединства), есть, с одной стороны, нечто совершенно невинное; но нелепо, с другой стороны, предполагать, что этим выражают нечто большее, чем то, что мысль способна постигнуть и выразить. Если в таких символах, как и в других, создаваемых фантазией в народной мифологии и вообще в поэзии, в сравнении с которыми чуждые фантазии геометрические фигуры сверх того скудны, — если в самом деле и в первых и в последних заключается глубокая мудрость, глубокое значение, но это как раз исключительно задача мышления сделать явной мудрость, которая в них лишь сокрыта (darin liegt) и притом сокрыта не только в них, но и в природе и духе. В символах истина в силу чувственного элемента еще помутнена и закутана; она вполне открывается сознанию только в форме мысли; их значением служит лишь сама мысль.
Но заимствование математических категорий с целью что-нибудь определить относительно метода или содержания философской науки уже потому оказывается по существу чем-то превратным, что, поскольку математические формулы обозначают мысли и различия понятия, это их значение, наоборот, должно быть сначала указано, определено и оправдано в философии. В своих конкретных науках последняя должна почерпать логическое из логики, а не из математики. Обращение для установления логического в философии к тем формам (Gestaltungen), которые это логическое принимает в других науках и из которых многие суть только предчувствия, а другие — даже искажения этого логического, может быть лишь крайним средством, к которому прибегает философское бессилие. Голое применение таких заимствованных формул есть сверх того внешний способ действия; самому применению должно было бы предшествовать осознание как их ценности, так и их значения; но такое осознание дается лишь мыслительным рассмотрением, а не авторитетом, который эти формулы получили в математике. Таким их осознанием, является сама логика, и это осознание совлекает их частную форму, делает ее излишней и никчемной, исправляет ее, и исключительно лишь оно сообщает им оправдание, смысл и ценность.
Какое значение имеет употребление числа и счета, поскольку оно должно составлять главную педагогическую основу, это из предшествующего само собою ясно. Число есть нечувственный предмет, и занятие им и его сочетаниями — нечувственное занятие; дух, следовательно, этим приучается к рефлексии в себя и к внутренней абстрактной работе, что имеет большое, но одностороннее значение. Ибо, с другой стороны, так как в основании числа лежит лишь внешнее, чуждое мысли различие, то указанная работа становится безмысленной, механической. Требуемое ею напряженное усилие состоит преимущественно в том, чтобы удерживать чуждое понятию, и комбинировать его, не прибегая к понятию. Содержанием здесь служит пустое одно; богатое содержание (der gediegene Inhalt) нравственной и духовной жизни и индивидуальных ее образований, которое, как благороднейшая пища, должно служить великим средствам воспитания юношеского духа, вытесняется бессодержательной единицей. Результатом этих упражнений, когда их делают главным делом и преимущественным занятием, может быть только то, что дух по форме и содержанию опустошается и притупляется. Так как счет есть столь внешнее и, стало быть, механическое занятие, то оказалось возможным изобрести машины, совершеннейшим образом выполняющие арифметические действия. Если бы о природе счета было известно хотя бы только одно это обстоятельство, то одним этим был бы решен вопрос, какова ценность зряшной мысли сделать счет главным средством воспитания духа и этим подвергать его пытке, заставляя его усовершенствовать себя до того, чтобы стать машиной.
B. Экстенсивное и интенсивное определенное количество
а) Различие между ними
1. Определенное количество, как оказалось в предшествующем, имеет свою определенность как границу в численности. Оно есть некое в себе дискретное, некое множественное, не имеющее такого бытия, которое было бы отлично от его границы и имело бы ее вне себя. Определенное количество, взятое таким образом со своей границей, которая есть некое многообразное в себе самой, есть экстенсивная величина.
Следует отличать экстенсивную величину от непрерывной. Первой непосредственно противоположна не дискретная, а интенсивная величина. Экстенсивная и интенсивная величины суть определенности самой количественной границы, определенное же количество тождественно со своей границей. Непрерывная и дискретная величины суть, напротив, определения величины в себе, т. е. количества как такового, поскольку мы, имея дело с определенным количеством, отвлекаемся от границы. — Экстенсивная величина имеет момент непрерывности в самой себе и в своей границе, так как ее множественное есть вообще непрерывное; постольку граница как отрицание выступает в этом равенстве многих как ограничение единства. Непрерывная величина есть продолжающее себя количество безотносительно к какой бы то ни было границе, и, поскольку мы ее представляем себе с таковой границей, последняя есть некое ограничение вообще, без того чтобы в нем была положена дискретность. Определенное количество, взятое лишь как непрерывная величина, еще не определено истинно для себя, так как в ней отсутствует одно, от которого зависит то обстоятельство, что имеется определенность для себя, а также отсутствует и число. И точно так же дискретная величина есть непосредственно лишь различенное многое вообще, которое, поскольку оно как таковое должно было бы иметь границу, было бы только некоторым множеством (eine Menge), т. е. некоторым неопределенно ограниченным; чтобы оно получило определенность определенного количества, для этого требуется совокупление многих воедино, благодаря чему они полагаются тождественными с границей. Каждая, и непрерывная и дискретная, величина, как определенное количество вообще, положила в себе (an ihr) лишь одну из тех двух сторон, которыми оно вполне определено и благодаря которым оно становится числом. Последнее есть непосредственно экстенсивное определенное количество, простая определенность, которая есть по существу численность, однако численность одной и той же единицы; оно отлично от числа только тем, что определенность в последнем явно положена как множественность.
2. Однако определение величины посредством числа не нуждается в отличии от какой-либо другой величины, так что выходило бы, что для определенности этой величины требуются она сама и некоторая другая величина; она в этом не нуждается потому, что определенность величины есть вообще для-себя-определенная, безразличная, просто с собою соотнесенная граница, а в числе она положена, как заключенная в для-себя-сущее одно, и имеет внешность, соотношение с другим, внутри самой себя. Далее, само это присущее границе многое, как и многое вообще, есть не неравное внутри себя, а непрерывное. Каждое из многих есть то же самое, что другое; поэтому оно, как многое, сущее друг вне друга или дискретное, не образует определенности как таковой. Это многое, стало быть, сливается само по себе в свою непрерывность и становится простым единством. — Численность есть лишь момент числа, но не как множество нумерических одних оно составляет определенность числа, а эти одни как безразличные, внешние себе, сняты в возвращенности числа в себя. Внешность, составлявшая характер одних во множестве, исчезает в одном как соотношении числа с самим собою.
Граница определенного количества, которое как экстенсивное имело свою наличие сущую определенность в виде внешней самой себе численности, переходит, следовательно, в простую определенность. В этом простом определении границы оно есть интенсивная величина; и граница или определенность, которая тождественна с определенным количеством, теперь так и положена как простое; это — градус.
Градус есть, следовательно, определенная величина, определенное количество, но не вместе с тем множество (Menge) или много [одних] внутри самого себя; он есть только некая многость (Mehrheit), причем многость есть многое, сжатое (zusammengenommen) в простое определение, наличное бытие, перешедшее обратно в для-себя-бытие. Его определенность должна быть, правда, выражена некоторым числом как полной определенностью определенного количества, но она дана не как численность, а просто есть лишь один градус. Когда говорят о десяти, двадцати градусах, определенное количество, имеющее столько градусов, есть десятый, двадцатый градус, а не численность и сумма этих градусов, — в таком случае оно было бы экстенсивным количеством, — а оно есть лишь один градус, десятый, двадцатый градус. Он содержит в себе определенность, заключающуюся в численности «десять», «двадцать», но содержит их не как многие, а есть число как снятая численность, как простая определенность.
3. В числе определенное количество положено в своей полной определенности; а как интенсивное определенное количество (которое представляет собою для-себя-бытие числа) определенное количество положено таким, каково оно согласно своему понятию или в себе. А именно, та форма соотношения с собою, которую оно имеет в градусе, есть вместе с тем его внебытие относительно себя. Число как экстенсивное определенное количество есть нумерическая множественность и имеет таким образом внешность внутри себя; эта последняя, как многое вообще, сжимается в неразличимость и снимает себя в том обстоятельстве, что число есть одно (in dem Eins der Zahl), в соотношении числа с самим собою. Но определенное количество имеет свою определенность в виде численности; оно, как было указано выше, содержит ее в себе, хотя она уже больше не положена в нем. Таким образом, градус, который, как простой внутри самого себя, уже больше не имеет этого внешнего инобытия внутри себя, имеет его вне себя и соотносится с ним как со своей определенностью. Внешняя ему множественность составляет определенность той простой границы, которой он сам по себе является. Что численность, которая в экстенсивном определенном количестве должна была находиться внутри числа, сняла себя в градусе, это определяется, следовательно, далее, так, что она положена вне его. Поскольку число положено как одно, как рефлектированное в себя соотношение с собою самим, оно исключает из себя безразличие и внешний характер численности и есть соотношение с собою как соотношение посредством самого себя с некиим внешним.
В этом определенное количество получает соответственную своему понятию реальность. Безразличие определенности составляет его качество, т. е. определенность, которая в самой себе дана как внешняя себе определенность. — Согласно этому градус есть простая определенность величины среди некоторого множества таких интенсивностей, которые суть разные и каждая из которых есть лишь простое соотношение с самим собою, но которые вместе с тем находятся в существенном взаимосоотношении с другими, так что каждая имеет свою определенность в этой непрерывности с другими. Это соотношение градусов посредством самих себя со своим другим делает поднятие и опускание по шкале градусов непрерывным поступательные движением, течением, представляющим собою непрерывающееся, неделимое изменение. Каждое из многих, различаемых в этом процессе, не отделено от других, а имеет свою определенность только в них. Как соотносящееся с собою определение величины каждый из градусов безразличен к другим; но он в такой же мере и соотнесен в себе с этой внешностью, он есть то, что он есть, только посредством нее; его соотношение с собою есть одновременно небезразличное соотношение с внешним, имеет в этом последнем соотношении свое качество.
b) Тождество экстенсивной и интенсивной величины
Градус не есть внутри себя некоторое внешнее себе. Он, однако, не есть неопределенное одно, этот принцип числа вообще, который не есть численность, разве только отрицательно, поскольку он не есть численность. Интенсивная величина есть прежде всего некоторое простое, одно из многих; имеются многие градусы; они, однако, не определены ни как простое одно, ни как многие, а определены лишь в соотношении этого вне-себя-бытия или, иначе говоря, в тождестве одного и множественного. Если, таким образом, многие, как таковые, и находятся вне простого градуса, то в его соотношении с ними и состоит его определенность. Он, таким образом, содержит в себе численность. Точно так же как двадцать в качестве экстенсивной величины содержит в себе двадцать одних как дискретных, так и определенный градус содержит их в себе как непрерывность, которую просто образует собою эта определенная множественность. Он есть двадцатый градус, и он есть двадцатый градус лишь посредством этой численности «двадцать», которая как таковая находится вне его.
Определенность интенсивной величины должна быть поэтому рассмотрена с двух сторон. Эта величина определена через другие интенсивные определенные количества и связана непрерывно со своим инобытием, так что в этом соотношении с последним и состоит ее определенность. И вот, поскольку она, во-первых, есть простая определенность, она определена в противопоставлении другим градусам; она их исключает из себя и имеет свою определенность в этом исключении. Но она, во-вторых, определена в самой себе; она определена в численности, как в своей численности, а не в ней как исключенной или, иначе говоря, не в численности других градусов. Двадцатый градус содержит двадцать градусов в самом себе; он не только определен как отличный от девятнадцатого, двадцать первого и т. д., а его определенностью служит его численность. Но поскольку эта численность есть его численность и определенность дана существенным образом как численность, он есть экстенсивное определенное количество.
Экстенсивная и интенсивная величины суть, следовательно, одна и та же определенность определенного количества: они отличаются между собою только тем, что одна имеет численность как внутри нее, а другая — как вне нее. Экстенсивная величина переходит в интенсивную, так как ее многое само по себе сжимается в единицу, вне которой выступает многое. Но и, наоборот, это простое имеет свою определенность только в численности и притом как в своей численности; как безразличное к иначе определенным интенсивностям, оно имеет внешний характер численности в самом себе; таким образом, интенсивная величина есть по существу также и экстенсивная величина.
Вместе с этим тождеством появляется качественное нечто, ибо это тождество есть единица, соотносящаяся с собою посредством отрицания своих различий, а эти различия составляют налично сущую определенность величины. Это отрицательное тождество есть, следовательно, нечто и притом нечто, безразличное к своей количественной определенности. Нечто есть некое определенное количество; но теперь качественное наличное бытие, как оно есть в себе, положено как безразличное к этому обстоятельству. Можно было раньше говорить об определенном количестве, о числе, как таковом, и т. д. без некоторого нечто, которое было бы его субстратом. Но теперь нечто как налично-сущее для себя выступает против этих своих определений, будучи опосредствовано с собою через отрицание последних, и ввиду того, что оно обладает некоторым определенным количеством, оно выступает как нечто, которое имеет и экстенсивное и интенсивное определенное количество. Его единая определенность, которую оно имеет как определенное количество, положена в различенных моментах единицы и численности; она одна и та же не только в себе, а полагание ее в этих различиях как экстенсивного и интенсивного количества есть возвращение в это единство, которое как отрицательное есть положенное безразличном к ним нечто.
Примечание 1. Примеры этого тождества
В обыденном представлении экстенсивные и интенсивные определенные количества различаются как виды величин таким образом, как будто есть одни предметы, обладающие только интенсивной величиной, и другие, обладающие только экстенсивной величиной. К этому прибавилось, далее, выдвинутое известным философским естествознанием представление, которое превращало множественное, экстенсивное, например, в основном определении материи, что она наполняет пространство, равно как и в других понятиях, — в некое интенсивное в том смысле, что интенсивное как динамическое есть истинное определение, и, например, плотность или, иначе говоря, специфическое наполнение пространства следует понимать по существу согласно этому естествознанию не как известное множество и численность материальных частей в определенном количестве пространства, а как известную степень (Grad) наполняющей пространство силы материи.
При этом следует различать двоякого рода определения. В том, что получило название преобразования механического способа рассмотрения в динамический, выступает понятие существующих друг вне друга самостоятельных частей, которые лишь внешне соединены в некое целое, и другое, отличное от первого, понятие силы. То, что в наполнении пространства рассматривается, с одной стороны, лишь как некоторое множество внешних друг другу атомов, рассматривается, с другой стороны, как проявление лежащей в основании простой силы. — Но этим отношениям целого и частей, силы и ее проявления, которые противополагаются тут друг другу, здесь еще не место, и они будут рассмотрены далее. Однако уже здесь можно указать на то, что хотя отношение силы и ее проявления, соответствующее понятию интенсивного, и есть ближайшим образом более истинное понятие по сравнению с отношением целого и частей, все же сила еще не становится вследствие этого менее односторонней, чем интенсивное, и проявление как внешность экстенсивного неотделимо также и от силы, так что в обеих формах, и в экстенсивном и интенсивном, имеется одно и то же содержание.
Другой выступающей здесь определенностью является количественная определенность как таковая, которая снимается как экстенсивное определенное количество и превращается в градус как в якобы истинное определение; но мы уже показали, что последнее определение содержит в себе также и первое, так что одна форма существенна для другой и, следовательно, всякое существование (Dasein) представляет собою как экстенсивное, так и интенсивное определенное количество.
Примером выставленного нами положения служит поэтому все на свете, поскольку оно выступает в некотором определении величины. Даже число необходимо имеет непосредственно в нем эту двоякую форму: оно есть некоторая численность и постольку оно есть экстенсивная величина; но оно есть также одно — десяток, сотня, постольку оно начинает переходить в интенсивную величину, так как в этой единице множественное сливается в простое. Одно есть в себе экстенсивная величина, его можно представить себе как любую численность частей. Так, например, десятое, сотое есть это простое интенсивное, имеющее свою определенность в находящемся вне его многом, т. е. в экстенсивном. Число есть десять, сто и вместе с тем в системе чисел — десятое, сотое; и то и другое есть одна и та же определенность.
Одно в круге называется градусом, потому что часть круга имеет по существу свою определенность в находящемся вне ее многом, определена как одно из замкнутой численности таких одних. Градус круга, взятый как простая пространственная величина, есть лишь обычное число; рассматриваемый же как градус, он есть интенсивная величина, имеющая смысл лишь как определенная численностью градусов, на которые разделен круг, подобно тому, как число вообще имеет смысл только в ряде чисел.
Величина более конкретного предмета проявляет свою двойственность (то обстоятельство, что она есть как экстенсивная, так и интенсивная величина) в двояком определении его существования (Dasein): в одном из этих определений предмет выступает как некое внешнее, в другом — как некое внутреннее. Так, например, масса как вес есть экстенсивная величина, поскольку она составляет некоторую численность фунтов, центнеров и т. д., и она же есть интенсивная величина, поскольку она оказывает известное давление. Величина давления есть нечто простое, некоторая степень, имеющая свою определенность в шкале степеней давления. Как оказывающая давление, масса выступает в качестве внутри-себя-бытия, субъекта, которому присуще различие интенсивной величины. — И обратно, то, что оказывает эту степень давления, способно сдвинуть с места известную численность фунтов и т. д. и этим измеряет свою величину.
Или, скажем, теплота имеет некоторый градус: градус теплоты, будь он 10-й, 20-й и т. д., есть некоторое простое ощущение, нечто субъективное. Но этот градус существует также и как экстенсивная величина, как расширение некоторой жидкости, например, ртути в термометре, воздуха или глины и т. д. Более высокая степень температуры выражается как более длинный ртутный столбик или как более узкий глиняный цилиндр; она нагревает большее пространство, таким же образом, как меньшая степень температуры нагревает лишь меньшее пространство.
Более высокий тон как более интенсивный есть вместе с тем большее число колебаний; или другой пример: более громкий тон, которому приписывается более высокая степень, слышен в более обширном пространстве. — Более интенсивной краской можно окрасить одинаковым образом большую поверхность, чем более слабой краской; или еще один пример: более светлое, представляющее собою другой вид интенсивности, видно далее, чем менее светлое и т. д.
Равным образом и в области духовного высокая интенсивность характера, таланта, гения имеет соответственно широкий охват, соответственно широкое действие и многосторонние соприкосновения. Наиболее глубокое понятие обладает наиболее общим применением и значением.
Примечание 2. Кантово применение определения степени к бытию души
Кант сделал своеобразное употребление из применения определенности интенсивного определенного количества к метафизическому определению души. В критике метафизических положений о душе, которые он называет паралогизмами чистого разума, он занимается, между прочим, рассмотрением умозаключения от простоты души к ее неуничтожаемости. Он выдвигает против этого умозаключения то возражение («Критика чистого разума», изд. 2-е, стр. 414), что «даже если мы и признаем, что душа обладает такой простой природой, так как она, именно, не содержит в себе никакого внеположного многообразия и, следовательно, никакой экстенсивной величины, все же ей, как и какому бы то ни было другому существующему, нельзя отказать в обладании интенсивной величиной, т. е. степенью реальности в отношении всех ее способностей и даже вообще в отношении всего того, что составляет существование, а эта степень может уменьшаться, проходя через все бесконечно многие меньшие степени, и мнимая субстанция может быть, таким образом, превращена в ничто, если и не путем деления, то путем постепенного ослабления (remissio) ее сил; ибо даже сознание всегда обладает некоторой степенью, которая все еще может уменьшаться, и, следовательно, может уменьшаться также и способность сознавать себя и таким же образом могут уменьшаться и все прочие способности». — Душа рассматривается в рациональной психологии, которая была абстрактной метафизикой, не как дух, а как некое лишь непосредственно сущее, как душа-вещь. Таким образом Кант имеет право применять к ней категорию определенного количества, «как к какому бы то ни было другому существующему», а поскольку это существующее определено как простое, Кант имеет право применять к нему категорию интенсивного определенного количества. Духу, правда, присуще бытие, но совершенно другой интенсивности, чем интенсивность интенсивного определенного количества, а именно, ему присуща такая интенсивность, в которой форма лишь непосредственного бытия и все его категории даны как снятые. Нужно было допустить устранение не только категории экстенсивного определенного количества, а и вообще категории определенного количества. Следует, однако, сделать еще и дальнейший шаг и познать, каким образом в вечной природе духа находятся и из нее проистекают наличное бытие, сознание, конечность без того, чтобы он вследствие этого становился вещью.
c) Изменение определенного количества
Различие между экстенсивными и интенсивными определенными количествами безразлично для определенности определенного количества, как таковой. Но вообще определенное количество есть определенность, положенная как снятая, есть безразличная граница, такая определенность, которая в такой же мере есть также и отрицание самой себя. В экстенсивной величине это различие развито, интенсивная же величина есть наличное бытие этой внешности, которую представляет собой внутри себя определенное количество. [В интенсивном определенном количестве] это различие положено как его собственное противоречие внутри самого себя, заключающееся в том, что оно есть такого рода простая, соотносящаяся с собою определенность, которая представляет собою отрицание самой себя, имеет свою определенность не в ней, а в некотором другом определенном количестве.
Определенное количество, следовательно, по самому своему качеству, положено в абсолютной непрерывности со своей внешностью, со своим инобытием. Оно поэтому не только может выходить за пределы всякой определенности величины, последняя не только может изменяться, но прямо положено, что она необходимо должна изменяться. Определение величины продолжает себя, непрерывно переходя в свое инобытие таким образом, что оно имеет свое бытие только в этой непрерывности с некоторым другим; оно есть не сущая, а становящаяся граница.
Одно бесконечно или, иначе говоря, оно есть соотносящееся с собою отрицание и поэтому отталкивание себя от самого себя. Определенное количество равным образом бесконечно, оно положено как соотносящаяся с собою отрицательность; оно отталкивает себя от себя самого. Но оно есть некоторое определенное одно; такое одно, которое перешло в наличное бытие и границу, есть, следовательно, отталкивание определенности от себя самой, порождение не равного себе самому, каково отталкивание одного, а своего инобытия; в нем самом теперь положено, что оно выводит за себя и становится другим. Оно состоит в том, чтобы увеличиваться или уменьшаться; оно есть внешность определенности в нем самом.
Определенное количество, стало быть, выводит само себя за себя; это другое, которым оно становится, само есть ближайшим образом некоторое определенное количество; но оно в такой же мере дано также и как некоторая не сущая, а выводящая сама себя за себя граница. Снова возникшая в этом выхождении граница есть, следовательно, безоговорочно лишь такая граница, которая снова снимает себя и выводит к дальнейшей границе, и так далее до бесконечности.
C. Количественная бесконечность
a) Ее понятие
Определенное количество изменяется и становится другим определенным количеством. Дальнейшее определение этого изменения, а именно, что оно продолжается до бесконечности, заключается в том, что определенное количество поставлено, как в самом себе противоречащее себе. — Определенное количество становится некиим другим; но оно продолжается в своем инобытии; другое есть, следовательно, также некоторое определенное количество. Но последнее есть другое не только некоторого определенного количества, но и самого определенного количества как такового, его отрицание как ограниченного, следовательно, есть его неограниченность, бесконечность. Определенное количество есть некоторое долженствование. Оно означает, что оно определено само по себе, и эта самостоятельная определенность (Fur-sich-bestimmtsein) есть скорее определенность в некотором другом, и, наоборот, оно есть снятая определенность в некотором другом, есть безразличная самодовлеющая устойчивость (Bestehen fur sich).
Конечность и бесконечность вследствие этого сразу же получают каждая в самой себе двоякое и притом противоположное значение. Определенное количество конечно, во-первых, как ограниченное вообще и, во-вторых, как то, что отсылает за пределы самого себя, как определенность в некотором другом. Бесконечность же его есть, во-первых его неограниченность и, во-вторых, его возвращенность в себя, безразличное для-себя-бытие. Если мы сразу же сравним между собою эти моменты, то окажется, что определение конечности определенного количества, отсылание за себя к некоторому другому, в котором заключается его определение, есть в такой же мере определение бесконечного; отрицание границы есть тот же выход за определенность, так что определенное количество имеет в этом отрицании, в бесконечном, свою последнюю определенность. Другим моментом бесконечности служит безразличное к границе для-себя-бытие; само же определенное количество есть ограниченное таким образом, что оно есть само по себе безразличное к своей границе и, значит, к другим определенным количествам и к своему выходу за самого себя. Конечность и (долженствующая быть отдельной от нее, дурная) бесконечность в лице определенного количества уже имеют в самих себе каждая момент другой.
Качественное и количественное бесконечное отличаются друг от друга тем, что в первом противоположность между конечным и бесконечным качественна, и переход конечного в бесконечное или, иначе говоря, их взаимоотношение имеется лишь во «в себе», в их понятии. Качественная определенность дана как непосредственная и соотносится по существу с инобытием как с другим для нее бытием; она не положена так, чтобы иметь свое отрицание, свое другое в себе самой. Напротив, величина есть, как таковая, снятая определенность; она положена так, чтобы быть неравной с собою и безразличной к самой себе, быть поэтому тем, что изменяется. Качественные конечное и бесконечное поэтому абсолютно, т. е. абстрактно, противостоят друг другу; их единством служит лежащее в основании внутреннее соотношение. Конечное поэтому продолжается в свое другое только в себе, а не в нем. Напротив, количественное бесконечное соотносится в нем самом со своим бесконечным, в котором оно имеет свою абсолютную определенность. Это их соотношение представляет собою ближайшим образом количественно-бесконечный прогресс.
b) Количественный бесконечный прогресс
Бесконечный прогресс есть вообще выражение противоречия, в данном случае — выражение того противоречия, которое заключается в количественно-конечном или, иными словами, в определенном количестве вообще. Он есть то взаимоопределение конечного и бесконечного, которое мы рассмотрели выше в качественной сфере, с тем различием, что, как мы только что указали, в количественном граница в самой себе выводит себя в свое потустороннее и продолжается в нем, и тем самым, наоборот, и количественно бесконечное положено имеющим в себе самом определенное количество; ибо определенное количество есть в своем вне-себя-бытии вместе с тем оно же само, его внешность есть его определение.
Бесконечный прогресс есть лишь выражение этого противоречия, а не его разрешение; но вследствие непрерывного продолжения одного определения в его другом он дает кажущееся разрешение в виде соединения обоих определений. В том виде, как он первоначально положен, он есть заданность бесконечного, а не его достижение, есть вековечное порождение его, причем он не выходит за само определенное количество, и бесконечное не становится некиим положительным и наличным. В понятии определенного количества подразумевают, что у последнего есть некое потустороннее ему. Это потустороннее есть, во-первых, абстрактный момент небытия определенного количества; последнее разлагается в самом себе; таким образом оно соотносится со своим потусторонним как со своей бесконечностью; это — соотношение по качественному моменту противоположности. Но, во-вторых, определенное количество находится в непрерывной связи с этим потусторонним; определенное количество именно и состоит в том, что оно есть другое самого себя, внешнее самому себе; стало быть, это внешнее равным образом есть не некое другое, чем определенное количество; потустороннее или бесконечное, следовательно, само есть некоторое определенное количество. Потустороннее, таким образом, возвращено назад из его бегства, и бесконечное оказывается достигнутым. Но так как это ставшее теперь посюсторонним потустороннее есть опять-таки некоторое определенное количество, то здесь в свою очередь положена лишь новая граница; последняя как определенное количество снова убежала от себя самой, вышла как таковое вне себя и оттолкнулась от самой себя в свое небытие, в свое потустороннее, которое столь же перманентно становится определенным количеством, сколь и последнее отталкивается от самого себя и становится потусторонним.
Непрерывное продолжение определенного количества в свое другое производит соединение обоих в выражениях: бесконечно большое или бесконечно малое. Так как в обоих еще имеется определение определенного количества, то они остаются изменчивыми и, стало быть, не достигается та абсолютная определенность, которая была бы некоторым для-себя-бытием. Это вне-себя-бытие определения положено в двояком бесконечном, противополагающемся по направлениям увеличения и уменьшения, — в бесконечно-большом и бесконечно-малом. В каждом из них, взятом само по себе, определенное количество сохраняется в вековечной противоположности к своему потустороннему. Как бы мы ни увеличивали какую-нибудь величину, она по сравнению с бесконечным сжимается до полнейшей незначительности. Поскольку она соотносится с бесконечным как со своим небытием, то противоположность качественна; расширившееся определенное количество поэтому ничего не отвоевало от бесконечного; последнее, как и раньше, есть его небытие. Или, иначе говоря, увеличение определенного количества не есть приближение к бесконечному; ибо различие между определенным количеством и его бесконечностью имеет по существу также и тот момент, что оно не есть количественное различие. Это — лишь более суженное выражение противоречия; бесконечно-большое должно быть некоторым большим, т. е. некоторым определенным количеством, и бесконечным, т. е. таким, которое не есть определенное количество. — И точно так же бесконечно малое есть как малое некоторое определенное количество и остается поэтому абсолютно, т. е. качественно, слишком большим для бесконечного и противоположно последнему. В обоих сохраняется противоречие бесконечного прогресса, который якобы нашел, в них свой последний этап (sein Ziel).
