Искусство большего. Как математика создала цивилизацию

Эти уравнения устанавливают числовые отношения между всеми неизвестными, и Фибоначчи утверждает, что задача имеет целый ряд решений, но минимальные значения таковы: “У второго – 4, у третьего – 1, у четвертого – 4, в кошельке – 11, а дебет первого – 1”. Любопытно, что здесь появляется понятие “дебет”. Фибоначчи подчеркивает, что “задача не имеет решения, если не допустить, что у первого человека может быть дебет”, и показывает, что наличие дебета предполагает осуществление арифметических действий с отрицательными числами.

Хотя, написав книгу, Фибоначчи сумел распространить некоторые математические идеи в европейской среде, с отрицательными числами у него почти ничего не вышло. Запад не принимал их еще несколько сотен лет. Так, французский математик Блез Паскаль полагал, что, если вычесть 4 из 0, получится 0, – и презрительно отзывался обо всех, кто считал иначе. В своих “Мыслях” он сказал: “Я знаю людей, которые не могут понять, что если от нуля отнять четыре, останется ноль”[24]. И это в середине XVII века, в эпоху микроскопов, телескопов, законов Ньютона и электричества. Даже в период научных открытий и появления технологических инноваций некоторые из лучших западных умов не желали признавать существование отрицательных чисел.

Ситуация начала меняться, лишь когда Джон Валлис, Савильский профессор геометрии Оксфордского университета, понял, что людям думается проще, когда они могут представить картину происходящего. В 1685 году он опубликовал “Трактат по алгебре”, в котором выстроил числа в ряд и позволил им уйти в отрицательную область. Он отметил, что в абстрактной форме осознать это сложно. Но если представить какую-нибудь физическую величину, например расстояние, все сразу станет понятно. Разумеется, он выразился несколько иначе. Вот его слова:

Нельзя, однако, сказать, что гипотеза (об отрицательных числах) бесполезна или абсурдна, если правильно ее трактовать. Хотя в чисто алгебраической записи она добавляет величину, которая меньше нуля, в физическом приложении она обозначает величину столь же реальную, как если бы знаком ее был +, только трактуемую в противоположном смысле[25].

Иными словами, это положительное число наоборот. По сути, так бы сказали и мы. В качестве “физического приложения” он измеряет расстояние по прямой от заданной точки, а затем обратно – и дальше. Он спрашивает, как далеко от стартовой позиции окажется человек, если отойдет на 5 ярдов от точки A, а затем вернется на 8 ярдов назад. Он получает ответ –3, который, несомненно, дали бы и вы.

Числовая прямая Джона Валлиса

Любопытно читать длинное объяснение, сопровождающее утверждение Валлиса. “Получается, что он прошел на три ярда меньше, чем ничего”, – говорит он и пускается в рассуждения, всячески разжевывая свою мысль. Если сегодня для ответа достаточно было бы поставить галочку в нужной клетке детского задачника, то Валлис прикладывает немало усилий, чтобы разложить все по полочкам, и еще на целых 17 строк расписывает значимость ответа –3. Он явно понимал, насколько радикальна его мысль.

Сегодня знак минуса кажется нам лишь камешком в гигантской пирамиде математических инструментов. Мы настолько привыкли к нему и так хорошо понимаем его смысл, что теперь нам сложно увидеть в нем принципиальную инновацию. Признание существования отрицательных чисел не только дало нам способ подсчитывать долги, но и позволило простым и естественным образом математически описывать множество различных явлений. К примеру, физические силы: работая с положительными и отрицательными числами, мы можем прогнозировать дальность полета артиллерийских снарядов с учетом гравитации. Мы также можем возводить крепкие, устойчивые архитектурные сооружения, в которых будут сбалансированы все силы и нагрузки. Всякий раз, когда друг другу противостоят две вещи – космический корабль и сила тяготения, доход и расход, ветер в парусах и сопротивление океана, которое судну приходится преодолевать, рассекая волны, – отрицательные числа упрощают расчеты.

Однако, несмотря на силу отрицательных чисел, одни они не могли подарить нам современный мир. Возможно, вы заметили, что на числовой прямой Валлиса нет чисел – есть лишь отрезки, отмеченные буквами A, B, C и D. Буквы соответствуют тому, что мы обозначили бы числами 0, 5, 3 и –3, и Валлис неспроста решил отказаться от них. Еще один важнейший математический инструмент – ноль – пока не получил признания.

Значимое ничто

История нуля восходит к моменту, когда царь Шульги ввел в своем математическом государстве “позиционную систему счисления”. Мы очень быстро усваиваем, что, записывая число, такое как 1234, мы можем присваивать отдельным цифрам разные значения в зависимости от того, какую позицию они занимают. Низшую позицию здесь занимает цифра 4, которая обозначает четыре элемента, например четыре яблока. Если выражаться математическим языком, наша система имеет основание 10 и называется десятичной, поскольку мы группируем числа в десятки, и потому цифра в следующей позиции обозначает три десятка, то есть 30. Двигаясь дальше влево, мы получаем результат умножения предыдущей позиции на десять, то есть десять десятков, или сотню. В числе 1234 их две. Наконец, остается одна группа из десяти сотен, то есть тысяча. В итоге получается число 1234.

Позиционная система счисления царя Шульги была шестидесятеричной, а не десятичной. Сложно сказать, почему именно такая техника записи чисел обрела в древности такую популярность. Одни историки математики видят причину в том, что число 60 дает целые частные при делении на любое из целых чисел с 1 до 6 (и еще на шесть чисел). Благодаря этому с ним легко работать, особенно при делении товаров, цен и мер. Другие предполагают, что удобство шестидесятеричной системы объясняется примерным числом дней в году. Какой бы ни была причина, эта система оставила наследие: именно в ближневосточных царствах, которые в итоге образовали Вавилон, круг разделили на 360 градусов, градус и час – на 60 минут, а минуту – на 60 секунд.

Вавилонская шестидесятеричная система похожа на нашу десятичную: например, число 34 в ней записывается тремя символами, обозначающими десятки, и четырьмя символами, обозначающими единицы. Но условных знаков в ней хватает лишь для записи чисел до 59, поэтому десятичное число 424 000 в шестидесятеричной системе состояло бы из сорока единиц, 46 групп по шестьдесят, 57 групп по шестьдесят на шестьдесят (602) и 1 группы по шестьдесят на шестьдесят на шестьдесят (603).

Такая запись (как и наша) удобна, пока в числе нет отсутствующих “групп”. Но как же записать в десятичной системе число 4005, в котором нет ни сотен, ни десятков? Нам нужно было найти способ обозначать “отсутствие” при записи числа. Так мы и начали использовать знак, который сегодня называем нулем.

Нулем он был не всегда. В этой истории много белых пятен, но, судя по всему, в Вавилоне пустая позиция обозначалась наклонным клинописным символом (хотя даже это оспаривается)[26]. Майя и инки также обозначали пустую позицию абстрактным символом или глифом. Ни один из этих символов, однако, не был знакомым нам нулем, который, как считается, пришел к нам из Индии, где точкой – шуньей – обозначалась пустота. Самый ранний из известных нам документов, в которых этой круглой заглушкой обозначаются пустые позиции, – манускрипт Бакхшали, индийский текст, написанный на 70 листах бересты. Он датируется 224–383 годами нашей эры и, возможно, служил учебным пособием для буддийских монахов. Но шунья не сразу стала математическим нулем. В написанном в 628 году трактате Брахмагупты, где признается существование отрицательных чисел, также впервые используется ноль – в этом случае индийская шунья, – который обозначает не просто пробел. Он входит в числовую последовательность и сам по себе считается величиной, которая подчиняется тем же законам арифметики, что и другие величины. Брахмагупта объясняет, как ноль взаимодействует с другими числами, как положительными, так и отрицательными:

Долг минус ноль – это долг.

Достаток минус ноль – это достаток.

Ноль минус ноль – это ноль.

Ноль минус долг – это достаток.

Ноль минус достаток – это долг.

При умножении нуля на долг или достаток получается ноль.

При умножении нуля на ноль получается ноль.

Запад с нулем познакомил персидский математик и астроном X века Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми. В своих книгах он использовал цифры, которые теперь называются арабскими или индо-арабскими, и включал в их число ноль, подчеркивая его значимость для позиционной системы счисления. Он называл его “сифр”, что в переводе значит “пустой”. В латыни это слово превратилось в zephyrum, и от него итальянцы образовали слово zero, то есть “ноль”.

Но аль-Хорезми использовал ноль не только для записи чисел. Как и Брахмагупта, он применял его в качестве алгебраического инструмента, тем самым закрепляя его значимость при проведении манипуляций с числами, и называл его “десятой цифрой с форме круга”. Аль-Хорезми явно считал ноль одной из цифр, и ноль играет ключевую роль в его “Краткой книге о восполнении и противопоставлении”. Именно от его арабского названия – “Китаб аль-джебр ва-ль-мукабала” – произошло слово “алгебра”, а слово “алгоритм” стало производным от имени автора: аль-Хорезми, несомненно, оказался весьма влиятелен. Он считал, что пользоваться его трактатом сможет кто угодно, ведь в нем содержались числовые инструменты, применимые “при дележе наследств, составлении завещаний, разделе имущества и судебных делах, в торговле и всевозможных сделках, а также при измерении земель, проведении каналов, строительстве и прочих разновидностях подобных дел”[27]. Однако, несмотря на широкий спектр возможных применений, западные умы не спешили принимать концепцию нуля.

Сегодня ноль кажется нам настолько очевидным и знакомым инструментом, что сложно представить себе системы счисления, которые обходились бы без него. Когда в X веке французский монах Герберт Орильякский прибыл в Испанию, чтобы изучить исламскую математику, он познакомился с нулем, но оставил его без внимания. Герберт оценил математические идеи аль-Хорезми и распространил многие из них среди европейских купцов. И все же ноль он в Европу не принес, а предпочел вместо этого научить людей искусству счета на абаке.

Даже через двести лет после путешествия Герберта ноль все еще не принимали: считается, что английский историк Вильям Мальмсберийский называл его “опасным сарацинским колдовством”[28]. И даже когда Фибоначчи продемонстрировал европейцам силу нуля, он все же поостерегся включать его в числовой ряд. В “Книге абака” Фибоначчи пишет: “Индийских цифр девять: 9 8 7 6 5 4 3 2 1. С помощью этих девяти цифр и знака 0… можно записать любое число”. Он называет ноль “знаком”, и это свидетельствует, что он, в отличие от аль-Хорезми, пока не решался включить его в число цифр.

Сложно сказать, почему именно. Отчасти из-за неприятия идеи о том, что отсутствие чего-либо можно рассматривать аналогично присутствию. В математической философии Древней Греции отрицательным числам не находилось места среди священных целых положительных чисел, и точно так же она не терпела попытки превратить ничто в какую-то сущность, заслуживающую внимания. Аристотель в своем трактате “Физика” отметил, что невозможно осуществлять осмысленное деление на ноль, а следовательно, ноль нельзя считать числом[29]. Но важнее, пожалуй, то, что нулю не находилось места на абаке – главном счетном инструменте образованной публики в средневековой Европе.

Абак не всегда был таким, каким мы представляем его сейчас: с бусинами или камушками, нанизанными на нитки. Считается, что его название произошло от древних ближневосточных слов “пыль” и “доска”, и можно предположить, что изначально на плоской поверхности рассыпали пыль, на которой затем писали пальцем или раскладывали камни, а после этого стирали написанное и начинали счет заново.

Устройство абака позволяет обходиться без нуля. Видя ровные ряды камней или отметок, человек мгновенно получает позиционную информацию, не нуждаясь в специальном знаке для обозначения пустого разряда. Освоив все алгоритмы работы с абаком, он, конечно, уже не захочет разбираться в новомодном способе записи чисел.

Раньше умение считать на абаке было весьма востребованным навыком. В нем было даже нечто соблазнительное. При работе над “Рассказом мельника”, который входит в сборник “Кентерберийские рассказы”, Джеффри Чосер постарался сделать главного героя беззастенчивым (во всех смыслах) интеллектуалом. У Душки Николаса были астролябия для проведения астрономических измерений и греческий учебник, которым он руководствовался при работе. Чосер отмечает, что у изголовья его кровати стояли счеты с приведенными в порядок костяшками: он всегда был готов приступить к расчетам. По сути, он был занудой. При этом он сумел наставить рога богатому, но заурядному плотнику, у которого снимал комнату, и по меркам современной культуры это весьма неожиданный поворот. Но в “Рассказе мельника” Чосер делает Николаса неотразимым в глазах прекрасной молодой жены плотника.

Ученые предполагают, что в Николасе воплотились все черты, которые ценил близкий друг Чосера король Ричард II. Чосер написал “Кентерберийские рассказы”, когда входил в ближний круг короля и, что более интересно в нашем случае, служил главным таможенным контролером в лондонском порту. Счеты появились в рассказе неспроста: в 1380-х ими владели лишь образованные люди, в число которых входил и Чосер.

Сегодня в мире используются разные счетные доски: китайский суаньпань, японский соробан, русские счеты и так далее. Во многих регионах младших школьников по-прежнему учат с их помощью визуализировать основные арифметические действия, и есть свидетельства тому, что работа со счетной доской перестраивает мозг человека[30]. Лучшие современные счетоводы – главным образом школьники из Восточной Азии – так умело используют счеты, что многим из них сам инструмент уже не нужен. Они переставляют костяшки в уме, подобно тому, как опытный шахматист разыгрывает партию в голове, не используя ни доску, ни фигуры. Опытные счетоводы не только складывают и вычитают на счетах, но и извлекают с их помощью квадратные корни. Однако, несмотря на чудеса абака, уже многие века мы обходимся без него – главным образом потому, что ноль указал нам на его несовершенства. Математическая запись, в которой есть необходимое количество нулей, позволяет нам работать с числами любой величины и проводить расчеты любой сложности.

Насколько нам известно, впервые на Западе ноль и арабские цифры ввели в официальный обиход в 1305 году на предприятии Галлерани в Пизе[31]. Римские цифры, однако, остались в моде и все следующее столетие господствовали в сфере счетоводства: купцы и банкиры не слишком любят перемены. Но постепенно люди стали понимать, что римские цифры и другие системы без нуля усложняют арифметику. Появление арабских цифр позволило проводить письменные расчеты, поддающиеся проверке. Записывая числа с помощью цифр от 1 до 9 с добавлением 0, мы получили возможность разрабатывать алгоритмы – рецепты для расчетов, – облегчающие умножение и деление огромных чисел. Со временем необходимость в счетах исчезла, и уже к 1500 году администраторы банка Медичи ввели четкое правило: в их банковских книгах должны были использоваться только арабские цифры[32]. Медленно, но верно их влияние росло. Через несколько сотен лет арабские цифры, включая ноль, обойтись без которого так и не удалось, захватили весь мир.

Не случайно это совпало с беспрецедентным ускорением развития человеческого общества. Когда в наш инструментарий вошли ноль и отрицательные числа, мы получили возможность вести учет чисел, которые хлынули к нам в эпоху международной торговли и процветания, и свидетельствами тому стали банк Медичи, Великая французская революция и блестящие финансовые нововведения Александра Гамильтона.

Бухгалтерский учет

Ускорение, как ни странно, началось после перехода к двойной записи. В простейшей форме это способ вести бухгалтерию безошибочно. Каждая транзакция записывается на двух отдельных счетах, чтобы можно было сверять их друг с другом. Основы этого метода прекрасно изложены в опубликованной в 1494 году “Сумме” Луки Пачоли, о которой мы упоминали, когда рассматривали знаки для счета на пальцах: “Из всякой статьи, составленной тобою в Журнале, всегда следует сделать две в Главной книге; одну в «Дать» и другую в «Иметь». Должник всегда обозначается словом «на», а веритель – «от»… Тот и другой образуют отдельные статьи, причем статья должника помещается по левой, а верителя – по правой стороне”[33].

Первыми такую систему, вероятно, применили корейские купцы. Согласно документам, хранящимся в банке “Дэхан Чеонил”, они использовали так называемый четырехсторонний кэсонский метод ведения учета при торговле с Китаем и Аравией в XI веке. На четырех сторонах записывались имя получателя, имя отправителя, количество полученного товара или денег и количество переданного товара или денег. Все транзакции обязательно записывались дважды.

К несчастью, непосредственных подтверждений этому нет: документы банка “Дэхан Чеонил”, по сути, не слишком отличаются от записанных баек, а самые старые из сохранившихся корейских торговых записей относятся к середине XIX века. Но у нас есть созданный в XV веке текст, в котором описывается метод двойной записи. Хорватский математик Бенко Котрульевич (Бенедетто Котрульи), родившийся в Дубровнике в 1416 году, в 1458 году написал трактат “О торговле и совершенном купце”[34]. Котрульевич предлагает систему, в которой каждая транзакция упоминается в книге дважды. Купив мерную рейку, в одной колонке надлежало записать ее цену в качестве кредита, а уплаченную сумму внести в другую колонку в качестве дебета.

Впрочем, Европа пользовалась этой системой и до публикации книги Котрульевича. Об этом нам говорит целый ряд примеров, включая некоторые финансовые документы венецианского купца Джакомо Бадоера[35]. Его учетные книги, составленные с применением метода двойной записи (или чего-то подобного), относятся к периоду 1436–1439 годов, полностью написаны арабскими цифрами с нулями и документируют его транзакции в Константинополе. Оттуда он экспортировал специи, шерсть, рабов и другие товары в Венецию, где его брат занимался импортом и продажами.

Бадоер был лишь одним из сотен, если не тысяч, предпринимателей, которые работали в финансовом центре, сформировавшемся в XV веке на севере Италии. Именно там пересекались торговые пути между Востоком и Западом, там останавливались крестоносцы на пути в Иерусалим и обратно, и там в торговых операциях приходилось пользоваться множеством валют. Внедрение системы, позволяющей отслеживать все числа – и включающей концепцию долга, выражаемую отрицательными числами, – не могло не подстегнуть развитие предпринимательства.

Двойная запись не только стимулировала торговлю, но и изменила принципы роста и работы предприятий. В основе этого метода лежит бухгалтерское уравнение Активы = Обязательства + Собственный капитал. Иными словами, состояние предприятия оценивается по сумме его долгов и текущих активов, которые пересчитываются после каждой транзакции. Это позволяет любому, кто связан с предприятием, сразу понимать, какова его стоимость. Следовательно, если вы решаете, стоит ли ссуживать компании деньги или предоставлять в аренду имущество, вы можете сразу понять, с чем имеете дело, оценив задолженности, операционные издержки, активы, ссуды и чистый капитал. Не нужно больше ни верить владельцу на слово, ни полагаться на репутацию семьи. Если баланс сходится и увиденное вас устраивает, можно проводить транзакцию. То же относится и к покупке бизнеса. Поскольку бухгалтерия с применением двойной записи основана на принципе, в соответствии с которым бизнес существует независимо от владельца, владелец может в любой момент назначить за него цену и продать свое дело. Сложно даже представить себе, насколько революционной была эта идея, когда система впервые получила широкое распространение. Больше не было нужды ни сохранять дело в семье, ни придерживаться выбранного курса: можно было открыть фирму и считать ее своим свободным капиталом. Если вам хотелось открыть еще одно дело в дополнение к первому, учетные книги могли служить доказательством вашей предпринимательской хватки и даже предоставляться в качестве гарантии при получении ссуды.

Точный бухгалтерский учет подтолкнул и развитие других отраслей, таких как морское страхование. Мореходство было рискованным делом, ведь пираты только и ждали удобной возможности украсть ценный груз, а силы природы грозили пустить его ко дну. Благодаря точному учету всего, что находилось на борту, было проще оценивать риски и страховать плавания. Более ценными стали и сами корабли, а системы учета собственности и исполнения налоговых обязательств позволили оберегать их от захвата монархами, которые часто охотились за активами для пополнения пустеющей военной казны. Торговые классы согласились вносить в королевскую казну все причитающиеся налоги и оформлять все нужные документы, а взамен попросили гарантии того, что монарх не сможет присваивать никакие частные активы. На суше то же произошло с сельскохозяйственными угодьями: возможность обозначать, подтверждать и передавать право собственности создала рынок земли и труда, необходимого, чтобы сделать ее прибыльной, а также положила конец самовольному переделу земли правящими классами.

Шли столетия, и открытость и доступность цифр при ведении двойной записи подстегнули развитие капитализма. Одним из главных поборников двойной записи был миллиардер Джон Рокфеллер, владелец компании Standard Oil: на заре своей карьеры он работал бухгалтером и часто объяснял свой успех привычкой к строгому контролю и глубоким пониманием балансовых таблиц[36]. Однажды Рокфеллер признался, что он отточил свои деловые навыки, внимательно изучая бухгалтерские книги своего первого работодателя, на которого работал несколько лет. Бухгалтерское дело приносило ему такую радость, что он каждый год устраивал праздник 26 сентября – в день, когда в 1855 году устроился на первую работу помощником бухгалтера.

Другим примером того, насколько важно точно вести бухгалтерию, служит Джозайя Веджвуд, сколотивший состояние на производстве керамики. В 1772 году он провел глубокий и комплексный анализ счетов своего предприятия, которые велись по методу двойной записи, использовал их, чтобы улучшить положение, и добился впечатляющих результатов[37]. Цифры в книгах позволили Веджвуду выявить растущие затраты и задержки по платежам, которые вредили его растущему предприятию. Он внедрил ряд мер – в том числе первым попытался перейти к массовому производству – и таким образом максимизировал свою прибыль. И хотя это принесло ему исключительное богатство, деньги Веджвуда не просто текли к нему в карман. Он направлял средства на социальные нужды, в частности на кампанию за отмену рабства. Кроме того, Веджвуд внес великий вклад в науку: благодаря его состоянию подающий надежды натуралист смог отправиться в кругосветное путешествие на корабле “Бигль”. Контроль над числами – а следовательно, над прибылью, – который обеспечила бухгалтерия с двойной записью, спонсировал разработку теории эволюции путем естественного отбора, предложенной Чарльзом Дарвином. Кто бы мог подумать, что благодаря изобретению цифр человек сможет узнать, откуда он появился!

Наконец, стоит отметить, что бухгалтерское дело увлекало и Карла Маркса. Изучая истоки капитализма, Маркс попросил своего друга Фридриха Энгельса, семья которого владела хлопкопрядильной фабрикой на севере Англии, предоставить ему “пример итальянской бухгалтерии с пояснениями”[38]. Именно анализируя счета предприятия Энгельсов, Маркс пришел к такому же, как Рокфеллер, мнению: контроль над производственными расходами и их оптимизация, ставшие возможными благодаря знаниям, полученным при ведении бухгалтерских книг, являются важнейшими элементами капиталистического предприятия. Стоит ли говорить, что Маркс не был от этого вывода в восторге. Он считал капитализм инструментом, который позволяет небольшому числу людей – собственникам средств производства – накапливать богатство. И за это богатство приходилось платить: капиталистическое производство могло развиваться “лишь таким путем, что оно [подрывало] в то же самое время источники всякого богатства: землю и рабочего”[39], отмечал Маркс. При этом Маркс винил в расцвете капитализма исключительно систему двойной записи. Он понимал, что тот, кто контролирует цифры, контролирует всех и вся.

Утверждение Маркса, что капитализм истощит землю, по которой мы ходим, оказалось до странности пророческим. В последние годы высказываются мнения, что экологический кризис – катастрофическое изменение климата, беспрецедентные темпы вымирания, ускоряющееся обезлесение и значительное снижение плодородия почв (среди прочего) – также стал следствием перехода к бухгалтерии с применением двойной записи. Мы одержимы силой чисел и потому ценим лишь то, что можем записать цифрами в таблице. Это привело к тому, что мы обесцениваем активы, которые не можем представить в форме чисел, поддающихся манипуляциям, и принимаем меры, не соответствующие стоящим перед ними задачам. В итоге мы сводим экономику государств к одному случайно определенному числу – валовому внутреннему продукту, – которое, по крайней мере по мнению экономистов консервативного толка, нужно во что бы то ни стало увеличивать. Мы управляем мировой экономикой посредством институтов, которые подчиняются цифрам, то есть банков, практически имеющих карт-бланш на регулирование экономик целых стран. При этом мы не учитываем ценность наших почв, лесов, природы – особенно насекомых – и таких транснациональных активов, как полярные льды. Есть мнение, что мы таким образом лишь приближаем экологический коллапс[40].

Нельзя, однако, сказать, что корпорации – зло, да и банки сами по себе не так уж плохи. Напротив, без банковских услуг у многих из нас не было бы дома и нам не довелось бы жить в относительной роскоши. Неудивительно, что лишь немногие из нас когда-либо задумывались о жизни вне капиталистической системы. Но в ней есть и минусы. Да, числа и сопутствующие им инструменты позволяют вести бухгалтерский учет. Да, бухгалтерский учет позволяет проводить проверки и предоставлять отчетность. Но без честного аудита он также позволяет осуществлять воображаемые транзакции, искать возможности для повышения прибыли и находить способы реализовывать их даже в отсутствие необходимых средств. Проблема в том, что порой эти воображаемые деньги оказываются востребованными – и банки лопаются.

Мы не усвоили урок краха банка Медичи, и на протяжении последних четырех столетий влияние и значимость людей, которые контролируют наши цифры, только росли. Во время финансового кризиса 2007 года на балансе у каждого из лопающихся банков было столько активов – денег, собственности и долговых обязательств, – что совокупные чистые активы даже нескольких из них превышали активы стран, в которых они работали. С экономической точки зрения, если бы правительства позволили им лопнуть, эти банки лишили бы огромное количество людей средств к существованию, обанкротили бы огромное количество важнейших для экономики компаний и разрушили бы огромное количество надежд своих стран на экономический рост. В связи с этим их пришлось признать “системообразующими” и спасать непомерной ценой, погружая весь мир в хаос.

Этот хаос показывает, какую власть получили над нами числа с тех пор, как мы изобрели их. И сразу становится понятно, как счетовод дал толчок к началу Великой французской революции, как американская борьба за независимость была связана с банковской системой и почему смерть одного-единственного бухгалтера привела к финансовому кризису в средневековой Европе.

Но несмотря на все достижения бухгалтерского дела и его влияние, многие из нас предпочитают оценивать развитие цивилизации по более эффектным критериям. Так, часто показателями степени развитости общества считаются архитектура, живопись, скульптура и музыка. Но и здесь стоит упомянуть о странном совпадении. И бухгалтерское дело, и искусство пережили судьбоносное перерождение в одно и то же время и в одном месте: на севере Италии на заре эпохи Возрождения. Как мы видели, развитие отчетности можно связать с прогрессом в искусстве счета. Но наиболее известные красоты Ренессанса подарила нам другая математическая инновация. Чтобы изучить эту революцию, мы должны вернуться в Древнюю Грецию – на родину предмета, который в первые годы изучения математики казался мне совершенно банальным. Я никак не мог понять, зачем нам вообще геометрия. Скоро мы это узнаем.

Глава 2. Геометрия. История завоеваний и творений

Все началось с поиска совершенных форм и чисел, составляющих фундамент Вселенной, но геометрия недолго пребывала в абстрактных сферах. Стоит, например, постичь природу треугольника, как появляется возможность составлять карты неба и Земли и прокладывать путь в непостижимые дали. Если добавить к этому таинственные свойства круга, можно будет строить, рисовать и завоевывать все, что только хочется. История геометрии начинается с предрассудка, проходит сквозь эпоху безрассудной алчности и амбиций, а затем дарит нам величайшие произведения искусства – и позволяет носить весь мир в своем кармане.

Знакомо ли вам имя пресвитера Иоанна? Возможно, вы встречали упоминание о нем в комедии Шекспира “Много шума из ничего”, где Бенедикт намекает на иллюзорность этого странного персонажа. “Не угодно ли вашему высочеству дать мне какое-нибудь поручение на край света? – говорит он. – Я готов за малейшим пустяком отправиться к антиподам, что бы вы ни придумали; хотите, принесу вам зубочистку с самой отдаленной окраины Азии, сбегаю за меркой с ноги пресвитера Иоанна, добуду волосок из бороды Великого Могола, отправлюсь послом к пигмеям? Все будет мне приятнее, чем перекинуться тремя словами с этой гарпией”[41].

Пресвитера Иоанна, не говоря уж о его ноге, никто и никогда не видел. Долгое время считалось, что он был царем и правил где-то в Африке, этакий средневековый король Артур[42]. Хотя никто не знал, где он живет – и существует ли он вообще, ведь легенды рассказывались веками, – короли, папы и императоры слали ему письма и просили его присоединиться к ним в борьбе с мусульманской угрозой. Дело в том, что в их представлении в царстве пресвитера Иоанна текли изумрудные реки, все было усыпано золотом, а жили там праведные христиане, которые превосходили в битве любого. Иными словами, пресвитер Иоанн был христианским правителем, которого все остальные христианские правители хотели заполучить в друзья. К несчастью, это было почти наверняка невозможно, поскольку они оказывались жертвами мистификации, которая владела умами на протяжении целых сотен лет.

В 1165 году византийский император Мануил I Комнин переслал одно письмо императору Священной Римской империи Фридриху Барбароссе. Сообщалось, что автором письма был пресвитер Иоанн (“пресвитер” – это звание священнослужителя), который рассказывал о своем царстве в Индии. В письме говорилось, что он был невероятно богатым потомком одного из трех волхвов, навестивших новорожденного Христа. Взволнованный Фридрих сразу написал ответ и отправил его с послом. Неизвестно, что случилось с этим посланием, но этот случай оказался лишь первым из множества разочарований, связанных с пресвитером Иоанном.

К началу XV века имя пресвитера Иоанна было у всех на устах. Так, в 1400 году король Англии Генрих IV написал письмо “пресвитеру Иоанну, царю Абиссинии”, надеясь установить англо-абиссинские отношения. (Оговорюсь, пожалуй, что прошествие двух веков его не смутило, поскольку в первом письме пресвитер Иоанн сообщил, что владеет источниками вечной жизни.) В 1402 году флорентиец Антонио Бартоли прибыл в венецианский Дворец дожей и привлек всеобщее внимание. Бартоли привез с собой нескольких африканцев, а также жемчуг, леопардов, звериные шкуры и экзотические травы. Он назвался посланцем пресвитера Иоанна, властителя Индии, который хотел заключить союз с христианскими правителями Европы. Дож отправил его назад с дарами, включая серебряную чашу, фрагмент Животворящего Креста и 1000 дукатов, и послал к пресвитеру нескольких умелых ремесленников и оружейников.

По всей видимости, Бартоли бежал с добычей, поскольку больше о нем не было ни слуха ни духа. Тем не менее молва о богатствах пресвитера Иоанна и его желании увидеть, как христиане противостоят мусульманскому натиску, никак не стихала. В конце концов легенда дошла до Португалии, где нашла благодарного слушателя в лице принца Генриха – набожного, аскетичного, образованного третьего сына короля. Генрих почти сразу решил, что именно ему суждено наконец отыскать пресвитера Иоанна и привлечь его на сторону католиков, даже если для этого ему придется обойти всю Землю вдоль и поперек.

Историки не сходятся во мнениях насчет того, что именно предпринял Генрих (известен еще как Энрике Мореплаватель)[43]. Одни говорят, что он основал в Сагрише школу для обучения мореходов, судоводителей и корабельщиков. Другие считают, что он ограничился более общими, не столь формализованными мерами. Как бы то ни было, Генрих стремился задействовать все математические знания Южной Европы, чтобы покорить океаны и найти призрачное царство пресвитера Иоанна. Генрих привез в Португалию целый сонм специалистов, которые учили моряков корабельному делу, искусству навигации и картографии. Он сделал так много, что даже папский секретарь Поджо Браччолини отметил его достижения. “Как же славно быть единственным, кому достало отваги, решимости и целеустремленности, чтобы осмелиться сделать то, к чему никто прежде не подступался, – написал он в 1448 году. – Вы в одиночку [открыли] неведомые моря в невиданных странах, неведомые расы за пределами знакомого мира и дикие племена, живущие в самых дальних его уголках, куда не доходит солнце и куда еще никто не прокладывал путь”.

Вас вряд ли удивит тот факт, что Генрих так и не нашел пресвитера Иоанна. Зато он подготовил почву для европейского завоевания мира. Как? Применив геометрию, которую все мы изучаем в школе: синусы, косинусы и тангенсы прямоугольных треугольников и отношения между длинами окружности и диаметрами кругов и сфер.

В руках Генриха геометрия стала способом картографировать территории, прокладывать пути и устанавливать господство над миром. Так, потерпев кораблекрушение у берегов Португалии, Христофор Колумб осел на новом месте и нашел прекрасное применение картам, знаниям и навыкам, доступным благодаря основанной Генрихом школе в Сагрише. Вы уже знаете, к чему это привело. В последующие столетия те же знания дали нам кое-что даже получше: золотые века искусства и архитектуры.

Тайная сила треугольников

Когда мне было восемь лет, я обожал легенду о короле Артуре. Помню, как я продирался сквозь эпопею Т. Х. Уайта “Король былого и грядущего” и представлял себя одним из рыцарей (чуть ли не каждый день выбирая себе нового героя). Я помню и комнату, где в том же возрасте меня впервые заставили заняться геометрией.

Слово “геометрия” в буквальном переводе значит “измерение Земли”. Но в школе все, как правило, сводится к изучению двух- и трехмерных фигур и их свойств. Главным образом это треугольники и круги, но можно строить и другие фигуры, например квадраты, конусы, пирамиды и даже, если вы готовы к авантюре, додекаэдры. Можно также рассматривать графики, учиться делить пополам отрезки и углы и осваивать техники измерения расстояния между точками на прямой. Все перечисленное вызывало во мне сильнейшее чувство, противоположное обожанию. Геометрия казалась мне скучной. Я готов был признать, что в теореме Пифагора что-то есть. Но как только я познакомился с ней и узнал, что квадрат гипотенузы – самой длинной из сторон прямоугольного треугольника – равняется сумме квадратов катетов, я снова отключился и мыслями вернулся к королю Артуру и его Круглому столу, где все равны. Такое применение геометрических фигур мне было больше по душе.

Возможно, в восемь лет я проявил бы больше интереса, если бы мой учитель представил Пифагора как героя легенды, этакого греческого короля Артура. Оказывается, нет даже однозначных доказательств того, что человек, который сделал все, что приписывается Пифагору, вообще когда-либо существовал. Говорят, что он был апологетом вегетарианства, понял, что и утренняя, и вечерняя звезды – это Венера, осознал, что Земля имеет форму шара, и предположил, что планеты движутся по математическим законам. Однако нам почти ничего не известно о Пифагоре наверняка, поскольку ни одно из его сочинений не сохранилось[44]. Мы не знаем даже простых вещей – например, где он родился. Мы лишь полагаем, что он родился на острове Самос в Эгейском море и был сыном огранщика. Историки относительно уверены лишь в том, что кто-то в итоге основал школу его имени в городе Кротон в современной Калабрии.

Ее основатель был очарован числами. Члены этого кружка, связанные тайными клятвами, входили в школу через арку, на которой значилось: “Все есть число”. По мнению пифагорейцев, числа управляли космосом. Степень их одержимости иллюстрирует рассказ – возможно, также легендарный – о судьбе ученого, который нарушил клятву, данную сообществу.

Его история, как и все хорошие геометрические истории, начинается с прямоугольного треугольника. Длина двух его сторон равна 1. По теореме Пифагора, если возвести длины двух коротких сторон (A и B) в квадрат и сложить получившиеся числа, получится квадрат гипотенузы (C). Запишем это уравнение:

A2 + B2 = C2

Поскольку и A, и B равны 1, вывод таков: если C2 равно 2, то C – это число, которое при умножении на само себя дает 2, то есть квадратный корень из двух, или √2.

Мы не видим в этом ничего особенного. Но для пифагорейцев это было огромной проблемой. Они могли записывать числа, только если числа были целыми – 1, 2, 3 и так далее – или если они представляли собой отношение двух целых чисел. Вы точно сталкивались с математическими отношениями и их равенствами – пропорциями: например, при готовке мы в правильной пропорции смешиваем муку и масло, а еще не отступаем от пропорции, когда делаем сложные коктейли. Так, для “Манхэттена” нужны две части бурбона и одна часть сладкого вермута, а следовательно, пропорция здесь 2:1, и ее также можно выразить в виде дроби: 1/2 часть вермута при одной части бурбона. Пифагорейцы пытались найти пропорцию двух чисел, которая была бы числовым эквивалентом 2, и записать ее в виде дроби, такой как 1/3 или 5/6. Но у них ничего не получалось, несмотря на все старания.

Затем ситуация изменилась к худшему. Один из ученых Пифагорейской школы сумел доказать, что отчаянный поиск решения задачи о квадратном корне из 2 никогда не увенчается успехом. Оказывается, что √2 просто невозможно выразить отношением двух целых чисел, как ни пытайся. Дело в том, что сегодня мы назвали бы его “иррациональным” числом, то есть числом, которое невозможно записать в форме пропорции. Другой пример – число π (пи), да и вообще современная математика вообще богата на иррациональные числа, которые нередко играют в ней значимые роли.

Пифагорейцев так оскорбил этот выпад против универсальности целых чисел, что они решили держать существование иррациональных чисел в тайне. Однако, как гласит легенда, пифагореец Гиппас из Метапонта раскрыл этот секрет человеку, не входящему в их узкий круг. Когда его товарищи узнали о проступке Гиппаса, его сбросили за борт и оставили умирать посреди Адриатического моря. Мораль истории ясна: треугольники, по крайней мере прямоугольные, – это дело жизни и смерти.

Хотя нам точно не известно, чем занимались Пифагор и члены его кружка, один человек, которого занимали треугольники, действительно существовал, и это Фалес Милетский. Фалес был очень умен и предприимчив и жил на территории западного побережья современной Турции. Он родился около 640 года до нашей эры и ныне считается отцом философии науки. В глазах современников, однако, он был прирожденным дельцом. Считается, что однажды, заметив, что урожай оливок обещает быть особенно обильным, Фалес заранее скупил все прессы для отжима оливкового масла. Потом он сдавал их в аренду фермерам, заламывая огромные цены. Если же они отказывались брать пресс в аренду, он выкупал у них оливки по минимальной цене. В итоге Фалес сколотил состояние, которое позволило ему отойти от дел в среднем возрасте. Остаток жизни он посвятил науке. Новое хобби Фалеса благотворно повлияло на философию, естественные науки и математику: он первым стал использовать поддающиеся проверке гипотезы и теории для объяснения законов природы и первым записал несколько ключевых положений геометрии, которые мы изучаем и сегодня.

Скорее всего, Фалес сформулировал эти положения, странствуя по Египту. За тысячи лет до этого геометры играли важнейшую роль при проектировании таких великих египетских сооружений, как пирамиды. Но Фалес дополнил египетскую геометрию практической демонстрацией работы различных принципов. Так, он показал, что в треугольнике, который сегодня называется равнобедренным, углы при основании равны. Для этого он перевернул точную копию такого треугольника, и копия осталась идентичной. Он также продемонстрировал, что, зная длину основания и величины углов по обе стороны от него, можно получить все необходимые сведения о треугольнике. Это полезная информация. Если вы хотите узнать, насколько далеко корабль ушел в море, постройте треугольник с вершиной возле корабля. Возьмите известную длину побережья за основание треугольника, встаньте на одном конце этого основания и измерьте угол между основанием и кораблем. Затем перейдите на другой конец основания и снова измерьте, под каким углом находится корабль. Теперь постройте – если хотите, нарисуйте на песке – треугольник поменьше, в котором углы при основании равны только что измеренным. Определите отношение его высоты к основанию и умножьте полученное число на расстояние, отмеренное на побережье при построении первого треугольника. У вас получится расстояние от берега до корабля.

С помощью подобных треугольников можно определять расстояние до корабля в море

Применив другой вариант этой техники, Фалес показал, что такие “подобные треугольники” содержат полезные пропорции. По легенде, он поразил египетского фараона Амасиса II, вычислив высоту пирамиды, зная лишь высоту шеста, помещенного на кончик тени этой пирамиды.

Фалес показал, как вычислить высоту пирамиды, измерив длины теней

Длина тени от пирамиды P и длина тени от шеста S относятся друг к другу так же, как высота пирамиды H и длина шеста L. Можно записать это следующим образом:

Перестроим эту формулу и получим: