Помоги проекту - поделись книгой:
«БЫСТРАЯ МАТЕМАТИКА: СЕКРЕТЫ УСТНОГО СЧЕТА»
Предисловие
Многие люди спрашивают у меня, похожи ли мои методы на те, что были разработаны Яковом Трахтенбергом[1]. Он вдохновил миллионы людей своими методами и революционным подходом к математическим вычислениям. Книга Трахтенберга вдохновила и меня, когда я еще был подростком. Прочитав ее, я с восторгом обнаружил, что способен производить сложные вычисления в уме, которые без его методов казались невозможными. Его идеи привили мне подлинный интерес к экспериментам над числами. Я очень многим обязан ему.
Мои методы в целом отличаются от тех, что разработал он, хотя в некоторых областях наши подходы аналогичны или пересекаются. Мы с ним, например, используем ту же формулу для возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на пятерку. Трахтенберг также использовал метод выбрасывания девяток для проверки полученного ответа. Он предлагал различные правила для умножения на любое число от 1 до 12, я же использую одно-единственное правило. Должен сказать, что всякий раз, когда кто-нибудь приравнивает мои методы к системе Трахтенберга, я воспринимаю это как комплимент.
Мои методы являются сугубо личной разработкой, так же как моими собственными являются общий подход и стиль. Любые недостатки, которые вы, возможно, встретите в настоящей книге, также мои собственные.
В настоящее время я работаю над книгой для учителей, где объясняю, как использовать мои методы в учебном процессе. Она содержит множество практических примеров. Если вас заинтересовала моя разработка, пишите мне по электронной почте, и я вышлю вам подробные сведения.
Введение
Вообразите, что вы способны умножать большие числа в уме — при этом быстрее, чем успели бы набрать их на калькуляторе. Вообразите, что вы молниеносно можете проверить — опять-таки в уме — полученный результат. Как бы отреагировали ваши коллеги, если бы вы извлекали квадратные и даже кубические корни в уме? Не приобретете ли вы благодаря этому репутацию очень умного человека? Разве не начнут ваши друзья и коллеги относиться к вам по-другому, с большим уважением? А как насчет преподавателей, лекторов, клиентов, вашего руководителя?
Люди приравнивают математические способности к интеллекту. Если вы в состоянии выполнять операции умножения, деления, возведения в квадрат и извлечения квадратного корня в уме быстрее, чем ваши друзья успеют достать из кармана калькулятор, вас сочтут человеком высочайшего интеллекта.
Я научил одного ребенка некоторым подходам, с которыми вы познакомитесь в данной книге, до того, как он пошел в первый класс, и в результате на протяжении всей учебы в школе многие принимали его за вундеркинда.
К людям, овладевшим подобной техникой, начинают по-иному относиться в семье, школе и на рабочем месте. И поскольку к ним
Однажды я был приглашен на радиопередачу. После беседы со мной ведущий поинтересовался у присутствовавшего в студии представителя математического факультета одного из ведущих австралийских университетов, что он думает обо мне и моих методах. Тот сказал, что учить студентов правилам вычислений — это пустая трата времени. Зачем кому-то уметь возводить в квадрат, перемножать числа, извлекать квадратный корень и делить числа в уме, если существуют калькуляторы? Многие родители затем звонили в студию и говорили, что подобное отношение преподавателя объясняет, почему их детям так трудно дается математика в школе.
Мне также доводилось обсуждать с педагогами значение базовых операций с числами. Многие утверждают, что детям необязательно знать, что 5 плюс 2 равняется 7 или что произведение 2 на 3 равно 6.
Когда такие мнения высказываются учениками в классе, я прошу их достать из портфелей калькуляторы. Затем я велю им нажимать соответствующие кнопки, пока диктую задачу: «Два плюс три, умноженное на четыре, равняется…»
У некоторых учеников калькулятор выдает 20 в качестве ответа. У других же в ответе получается 14.
Какой из этих двух ответов является правильным? Как калькулятор может давать два различных ответа, если вы нажимаете одни и те же кнопки?
Это происходит потому, что существует определенный порядок, в котором следует производить арифметические операции. Сначала надо умножать или делить, а уж потом складывать и вычитать. Одни калькуляторы учитывают эту особенность, другие — нет.
Калькулятор не способен думать за вас. Необходимо отдавать себе отчет, в каком порядке вы производите вычисления. Если вы не знаете математики, калькулятор мало чем сможет вам помочь.
Ниже приводится несколько причин, которые дают мне основания утверждать, что математика не просто нужна, а очень важна для любого человека, независимо от того, учится он или нет.
• Люди считают математические способности признаком высокого интеллекта. Если вам хорошо дается математика, люди склонны считать вас человеком большого ума. К учащимся, успешно сдающим математику, обычно с повышенным уважением относятся как преподаватели, так и сокурсники. Преподаватели часто относят их к потенциально более способным студентам, и сами они зачастую учатся лучше — не только по математике, но и по другим предметам.
• Овладение методами работы с числами — особенно это касается вычислений в уме — помогает лучше понять законы математики.
• Вычисления в уме повышают способность к концентрации, укрепляют память и развивают умение удерживать в голове сразу несколько идей одновременно. Человек, который осваивает методы таких вычислений, обучается работе одновременно с несколькими мыслительными конструкциями.
• Вычисления в уме научат вас «чувствовать» числа, а также быстро оценивать правильность результата.
• У человека, понимающего математику, лучше развита способность к латеральному мышлению. Подходы, которые предлагаются в данной книге, помогут вам развить способность к мышлению по альтернативным на правлениям; в результате вы научитесь искать нестандартные подходы к решению задач и выполнению вычислений.
• Математические знания придадут вам уверенности в своих силах, в результате чего повысится ваша самооценка. Методы, предлагаемые здесь, укрепят вашу уверенность в своих умственных способностях, интеллекте и умении решать математические задачи.
• Методы проверки позволяют тому, кто выполняет вычисление, немедленно распознать ошибку. Если вы допустили ошибку, проверка позволит мгновенно определить ее и исправить. Если ход решения верен, проверка это подтвердит и подарит вам дополнительное удовлетворение от осознания корректности ваших действий. Возможность распознавать ошибки параллельно выполнению вычислений дарит лишнюю мотивацию тому, кто выполняет вычисления.
• Математика имеет очень большое значение в повседневной жизни. Смотрите ли вы спортивную программу или покупаете продукты в магазине, вычисления в уме всегда находят применение. Нам всем приходится время от времени делать быстрые вычисления в уме.
Правда ли, что не все люди рождаются с математическим складом ума, что некоторые имеют исходное преимущество перед другими в плане лучшего освоения математики? И наоборот, верно ли, что некоторые люди в меньшей степени наделены способностью решать математические задачи?
Различие между теми людьми, кто добивается в математике многого, и теми, кто достигает малого, состоит не в мозге, с которым они рождаются, а в том, как они его используют. Те, кто добивается большего, используют более эффективные подходы, чем остальные.
Данная книга научит вас более эффективным подходам. Методы, о которых идет речь, гораздо проще, чем те, которым вас учили ранее, так что в итоге вы будете решать задачи на вычисление гораздо быстрее, допуская при этом меньше ошибок.
Представьте себе двух учеников и преподавателя, который только что задал им задачу. Ученик А говорит: «Трудная задача. Учитель не научил нас решать задачи такого рода. Как же мне ее решать? Получается, что учитель ставит перед нами задачи непомерной сложности».
Ученик Б говорит: «Трудная задача. Учитель не научил нас решать задачи такого типа. Как же мне ее решить? Учитель знает уровень наших знаний и то, какие задачи мы умеем решать, поэтому того, чему он нас научил до сих пор, должно быть достаточно, чтобы мы справились с решением самостоятельно. С чего же мне начать?»
Кто из учеников, по-вашему, скорее решит задачу? Очевидно, что ученик Б.
Что случится в следующий раз, когда им будет предложена аналогичная задача? Ученик А скажет: «Я не могу ее решить. Это такая же задача, что и в прошлый раз. Она слишком трудная. Такие задачи я плохо решаю. Почему бы вам не задать нам что-нибудь полегче?»
А ученик Б скажет: «Это напоминает мне прошлую задачу. Думаю, я смогу ее решить. Я уже более или менее научился решать такие задачи. Они не очень легкие, но решать их можно. Итак, как же мне к ней подступиться?»
У обоих учеников выработался шаблон поведения: у одного — пораженческий, у другого — ориентированный на победу. Связано ли это каким-то образом с их интеллектуальным потенциалом? Возможно, но необязательно. Они вполне могут быть равны интеллектом. Речь в большей степени идет об отношении учеников к задаче, которое может определяться тем, чему их научили в прошлом, а также зависеть от опыта — положительного и отрицательного. Недостаточно просто предложить людям поменять свое отношение. Это лишь вызовет у них раздражение. Я предпочитаю говорить им, что они в состоянии добиться более высокого результата, и затем показываю, как это сделать. Пусть положительный опыт меняет их отношение, а не увещевания. От положительного опыта лица у людей светлеют и они восклицают: «Ура! Я могу!»
Мое первое правило математики выглядит так:
Чем проще метод, используемый вами для решения задачи, тем быстрее вы ее решите и тем меньше вероятность того, что вы допустите ошибку.
Чем сложнее метод, который вы используете, тем больше времени уйдет на решение задачи и тем выше ваши шансы допустить ошибку. Люди, использующие более совершенные методы, быстрее получают ответ и допускают меньше ошибок, тогда как те, кто применяет менее эффективные методы, медленнее получают ответ и допускают больше ошибок. Связь с интеллектом здесь не такая большая, тут вовсе не требуется особого, математического, склада ума.
Данная книга написана простым и доступным языком. Прочитав ее, вы станете понимать математику, как никогда ранее, и будете поражены, насколько простой она может быть. Вычисления начнут доставлять вам удовольствие, какого вы и представить себе не могли.
В каждой главе предлагается целый ряд примеров для решения. Пытайтесь решать их самостоятельно после разобранных мною учебных примеров, вместо того чтобы просто пассивно читать. Вы обнаружите, что примеры я даю вовсе не сложные. Прорабатывая решение каждого примера под моим руководством, вы по-настоящему освоите методы и принципы, лежащие в основе решения, а также обретете стимул продолжать чтение дальше. Лишь путем проработки решения этих примеров вы сможете осознать, насколько просты предлагаемые здесь методы.
Я настоятельно рекомендую потратить время на то, чтобы самостоятельно решить примеры как на бумаге, так и в уме. Изучив данную книгу, вы удивитесь, насколько совершенными стали ваши математические навыки.
Глава 1
Умножение: часть первая
Насколько хорошо вы знаете таблицу умножения?
Хотелось бы вам освоить таблицу умножения для чисел от 1 до 10 менее чем за 10 минут? А таблицу для чисел от 10 до 20 менее чем за полчаса? Все это возможно, используя методы, о которых я рассказываю в этой книге. Я лишь предполагаю, что вы достаточно хорошо знаете таблицу умножения для числа 2, а также что вы владеете операциями сложения и вычитания для небольших чисел.
Начнем с того, что научимся умножать всевозможные числа от 1 до 10 вплоть до 10 х 10. Метод состоит в следующем.
Возьмем в качестве примера произведение 7 х 8.
Запишем 7 х 8 = на листе бумаги и нарисуем кружки под каждым из двух перемножаемых чисел.
Рассмотрим первый из множителей, число 7. Сколько ему недостает до числа 10? Ответ: 3. Впишем 3 в кружок под числом 7. Теперь обратимся к числу 8. Что надо вписать в кружок под числом 8? Сколько недостает до 10? Ясное дело, что 2. Вписываем 2 в кружок под множителем 8.
Вот что у нас получилось:
Теперь выполним вычитание накрест. Это значит, надо вычесть любое из чисел в кружке (3 или 2) из числа не прямо над ним, а из того, что расположено по диагонали, то есть над другим числом в кружке. Иными словами, вы вычитаете либо 3 из 8, либо 2 из 7. Делать это нужно всего один раз, поэтому выбирайте тот вариант, который вам кажется легче. В любом случае результат получается один и тот же: 5. Это первая цифра вашего ответа.
8 – 3 = 5 или 7 – 2 = 5
Теперь перемножим числа в кружках. 3 на 2 дает 6. Это будет последняя цифра вашего ответа. Таким образом, ответом будет 56. Вот так выглядит решенная задача:
Если вы умеете без труда перемножать 2 на другие числа до 10, то с легкостью сможете запомнить таблицу умножения от 1 до 10 и выше. Закрепим освоенное на еще одном примере: 8 х 9.
Сколько не хватает в каждом случае до 10? Ответ: 2 и 1. Вписываем 2 и 1 в кружки под перемножаемыми числами. Что мы делаем теперь? Производим вычитание накрест.
8 – 1 = 7 или 9 – 2 = 7
7 является первой цифрой ответа. Запишем ее. Теперь перемножим оба числа в кружках:
2 х 1 = 2
2 является последней цифрой нашего ответа. Таким образом, ответом является 72.
Легко, не так ли? Теперь попробуйте решить несколько примеров самостоятельно. Вместо того чтобы записывать ответы прямо здесь, в книге, вы можете сделать это на отдельном листе бумаги или в блокноте — впоследствии можно снова вернуться к примерам в книге и не знать заранее ответов.
а) 9 х 9 = __; б) 8 х 8 = __; в) 7 х 7 = __; г) 7 х 9 = __; д) 8 х 9 = __; е) 9 х 6 = __; ж) 5 х 9 = __; з) 8 х 7 = __
Решите каждый из примеров, даже если вы и так помните таблицу умножения. Речь идет о базовом методе, которым вы будете пользоваться в дальнейшем при перемножении чисел.
Как прошло решение? Вот ответы к примерам:
а) 81; б) 64; в) 49; г) 63; д) 72; е) 54; ж) 45; з) 56
Не это ли самый простой способ выучить таблицу умножения?
Теперь, когда вы овладели методом перемножения чисел, значит ли это, что вам не нужно учить таблицу умножения?
По правде сказать, и да, и нет.
Не нужно потому, что теперь вы в состоянии, после некоторой тренировки, вычислить произведение любой пары чисел практически мгновенно. Если же вы уже выучили таблицу умножения, тогда освоение данного метода принесет дополнительную пользу.
Если же вы еще не знаете таблицы умножения, то у вас появился шанс выучить ее в рекордные сроки. После того как вы просчитали произведение 7 х 8 = 56 десять и более раз, обнаружится, что вы запомнили ответ раз и навсегда. Иными словами, вы выучили часть таблицы умножения. Повторяю, что это самый простой известный мне способ изучения таблицы умножения, к тому же самый занимательный. И вам не надо переживать за то, что не запомнили таблицу назубок, — вы всегда сможете вычислить необходимое произведение так быстро, будто знаете ответ наизусть.
Поделиться книгой: