Эйлера формулы
Э'йлера фо'рмулы в математике, важнейшие формулы, установленные Л. Эйлером .
1) Э. ф., связывающие тригонометрические функции с показательной (1743):
eix = cos х + i sin х ,
, .
2) Э. ф., дающая разложение функции sin х в бесконечное произведение (1740):
.
3) Тождество Эйлера о простых числах:
,
где s = 1, 2,..., и произведение берётся по всем простым числам р.
4) Тождество Эйлера о четырёх квадратах:
(a 2 +b 2 + c 2 + d 2 )(p 2 + q 2 + r 2 + s 2 = x 2 +y 2 +z 2 +t 2 , где
,
,
,
.
5) формула Эйлера о кривизнах (1760):
.
Она даёт выражение кривизны 1/R любого нормального сечения поверхности через её главные кривизны 1/R 1 и 1/R 2 и угол j между одним из главных направлений и данным направлением.
Эйлеру принадлежит также Эйлера—Маклорена формула суммирования, Эйлера—Фурье формулы для коэффициентов разложений функций в тригонометрические ряды .
Лит. см. при ст. Эйлер .
Эйлера функция
Э'йлера фу'нкция, число j(а ) натуральных чисел, меньших, чем а , и взаимно простых с а :
,
где p1 ,... , pk — простые делители числа а. Введена Л. Эйлером в 1760—61. Если числа а и b взаимно просты, тоj(ab ) = j(а ) j(b ). При т> 1 и наибольшем общем делителе (а , m ) = 1, а , m — взаимно просты, имеет место сравнение a j(m ) = 1 (mod m ) (теорема Эйлера). Э. ф. встречаются во многих вопросах чисел теории .
Эйлера числа
Э'йлера чи'сла в математике, целые числа Еп , являющиеся коэффициентами при t n /n !, в разложении функции 1/ cht (см. Гиперболические функции ) в степенной ряд:
Введены Л. Эйлером в 1755. Э. ч. связаны рекуррентным соотношением (Е +1) n +(E ¾1) n = 0, n = 1, 2, 3,..., E 0 = 1 (после возведения в степень надо вместо Ek подставить Ek ) и с Бернулли числами — соотношениями
,
и .
Встречаются в различных формулах математического анализа.
Эйлера число
Э'йлера число', один из подобия критериев движения жидкостей или газов. Характеризует соотношение между силами давления, действующими на элементарный объём жидкости или газа, и инерционными силами. Э. ч. Eu определяют формулой
(иногда 2p/ ru2 ), где p2 , p1 — давления в двух характерных точках потока (или движущегося в нём тела), ru2 /2— скоростной напор, r — плотность жидкости или газа, u — скорость течения (или скорость тела). В случае течений жидкости с кавитацией аналогичный критерий называется числом кавитации ,
где p0 — характерное давление, р н — давление насыщенных паров жидкости. В сжимаемых газовых потоках Э. ч. в форме Eu = 2p/ ru2 связано с другими критериями подобия — Маха числом М и отношением удельных теплоёмкостей среды g — формулой Eu = 2/ gM 2 , где g = c p /cv (c p — удельная теплоёмкость при постоянном давлении, cv — то же при постоянном объёме). Названо по имени Л. Эйлера .
Эйлера-Маклорена формула
Э'йлера—Макло'рена фо'рмула, формула суммирования, связывающая частные суммы ряда с интегралом и производными его общего члена:
где Bv —Бернулли числа , Rn — остаточный член. Э.—М. ф. применяется для приближённого вычисления определённых интегралов, для исследования сходимости рядов, для вычисления сумм и для разложения функций в ряд Тейлора. Например, при m = 1, р = 0, n = 2m + 1,
Э. — М. ф. даёт следующее выражение:
.
Э.—М. ф. была впервые приведена Л. Эйлером в 1738. Независимо формула была открыта позднее К. Маклореном (1742).
Эйлера-Фурье формулы
Э'йлера—Фурье' фо'рмулы, формулы для вычисления коэффициентов разложения функции в тригонометрический ряд (ряд Фурье). Э.—Ф. ф. названы по имени Л. Эйлера , давшего (1777) первый их вывод, и Ж. Фурье , систематически (начиная с 1811) пользовавшегося тригонометрическими рядами при изучении задач теплопроводности. См. Фурье коэффициенты , Тригонометрический ряд .
Эйлерова характеристика
Э'йлерова характери'стика многогранника, число ao —a1 +a2 , где ao — число вершин, a1 — число рёбер и a2 — число граней многогранника. Если многогранник выпуклый или гомеоморфен (см. Гомеоморфизм ) выпуклому, то его Э. х. равна двум (теорема Л. Эйлера, 1758, известная ещё Р. Декарту).
Э. х. произвольного комплекса есть число , где n — размерность комплекса, ao — число его вершин, a1 — число его рёбер, вообще ak есть число входящих в комплекс k -мерных симплексов. Оказывается, что Э. х. равна (формула Эйлера—Пуанкаре), где pk есть k -мерное число Бетти данного комплекса (см. Топология ). Отсюда следует топологическая инвариантность Э. х. Ввиду топологической инвариантности Э. х. говорят об Э. х. поверхности, а также полиэдра, подразумевая под этим Э. х. любой триангуляции этой поверхности (этого полиэдра).
Лит.: Александров П. С., Комбинаторная топология, М.— Л., 1947; Понтрягин Л. С., Основы комбинаторной топологии. 2 изд., М., 1976.
Эйлеровы интегралы
Э'йлеровы интегра'лы, интегралы вида
(1)
(Э. и. первого рода, или бета-функция, изученная Л. Эйлером в 1730—31, ранее рассматривалась И. Ньютоном и Дж. Валлисом ) и
(2)
[Э. и. второго рода, или гамма-функция , рассмотренная Л. Эйлером в 1729—30 в форме, эквивалентной формуле (2); сама формула (2) встречается у Эйлера в 1781]; название «Э. и.» дано А. Лежандром . Э. и. позволяют обобщить на случай непрерывно изменяющихся аргументов биномиальные коэффициенты и факториал n !, ибо, если а и b — натуральные числа, то
, Г (а +1) = а !
Интегралы (1) и (2) абсолютно сходятся, если а и b положительны, и перестают существовать, если а и b отрицательны. Имеют место соотношения
В (a , b ) = B (b , a ), ;
последнее сводит бета-функцию к гамма-функции. Существует ряд соотношений между Э. и. при различных значениях аргумента, обобщающих соответствующие соотношения между биномиальными коэффициентами. Э. и. можно рассматривать и при комплексных значениях аргументов а и b . Э. и. встречаются во многих вопросах теории специальных функций , к ним сводятся многие определённые интегралы, не выражаемые элементарно. Э. и. называется также интеграл
выражающий т. н. гипергеометрическую функцию .
Лит.: Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 2, М., 1969; Артин Е., Введение в теорию гамма-функций, пер. с нем., М.— Л., 1934; Уиттекер Е. Т., Ватсон Д. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963.
Эйлеровы углы
Э'йлеровы углы', углы j, q, y определяющие положение прямоугольной декартовой системы координат OXYZ относительно другой прямоугольной декартовой системы координат Oxyz с той же ориентацией (см. рис. ). Пусть OK — ось (линия узлов), совпадающая с линией пересечения координатной плоскости Оху первой системы с координатной плоскостью ОХУ второй системы и направленная так, что оси Oz , OZ , OK образуют тройку той же ориентации. Тогда Э. у. будут: j — угол собственного вращения — угол между осями Ox и OK , отсчитываемый в плоскости Оху от оси Ox в направлении кратчайшего поворота от Ox к Оу , q — угол нутации, не превосходящий p — угол между осями Oz и OZ ; y — угол прецессии — угол между осями OK и OX , отсчитываемый в плоскости ОХУ от оси OK в направлении кратчайшего поворота от OX к ОУ . При q = 0 или p Э. у. не определяются. Введены Л. Эйлером в 1748. Широко используются в динамике твёрдого тела (например, в теории гироскопа ) и небесной механике.
Рис. к ст. Эйлеровы углы.
Эйлер-Хельпин Ханс Карл Август Симон фон
Э'йлер-Хе'льпин (Euler-Chelpin) Ханс Карл Август Симон фон (15.2.1873, Аугсбург, Германия, — 6.11.1964, Стокгольм), шведский биохимик, член Королевской шведской АН. Потомок Л. Эйлера . Отец У. Эйлера . Окончил мюнхенскую АХ (1893), затем изучал химию и медицину в университетах Берлина, Страсбура и Гёттингена. Организатор и председатель (1908—63) Шведского химического общества. Профессор Стокгольмского университета (1906—29), директор Института органической химии и института витаминов (с 1929). Основные работы посвящены изучению механизма различных биохимических процессов. Исследовал кинетику и выяснил механизм ферментации сахаров. Отметил увеличение скорости химических реакций в живых организмах под действием ферментов и предложил назвать это явление биокатализом . Изучал структуру и механизм действия витамина А (совместно с П. Каррером ) и доказал, что b-каротин является провитамином А и содержится в пигменте глаза. Внёс значительный вклад в изучение биохимии опухолей. Нобелевская премия (1929, совместно с А. Гарденом ). Э.-Х. — иностранный член АН СССР (1927).
Соч.: Grundlagen und Ergebnisse der Pflanzenchemie, Tl 1—3, Braunschweig, 1908—09; Chemie der Enzyme, 3 Aufl., Tl 1—2, Münch., 1925¾34.
Лит.: Тютюнник В. М., Ганс Карл Август Симон фон Эйлер-Хелпин, «Журнал
Всесоюзного хим. общества им. Д. И. Менделеева», 1975, т. 20, № 6, с. 642—43.
Эймёйден
Эймёйден (Ijmuiden), город и порт в Нидерландах, в провинции Северная Голландия, на Северном море. Аванпорт Амстердама, с которым Э. связывает канал Нордзе (или Амстердамский). Входит в амстердамскую агломерацию. Центр чёрной металлургии; химическая, цементная промышленность.
Эймер Теодор Густав Генрих
Э'ймер (Eimer) Теодор Густав Генрих (22.2.1843, Штефа, близ Цюриха, Швейцария, — 29.5.1898, Тюбинген), немецкий зоолог. Изучал медицину и естественной науки в университетах Тюбингена, Фрейбурга, Гейдельберга, Берлина. Доктор философии (1869). Профессор политехникума в Дармштадте (с 1874) и университета в Тюбингене (с 1875). Основные труды по морфологии, гистологии и физиологии беспозвоночных и позвоночных животных, изучению вариаций окраски у кишечнополостных, чешуекрылых и ящериц. В теоретических работах отстаивал положение о наследовании приобретённых признаков и представления об автономном развитии признаков организмов в заранее заданном определённом направлении (см. Ортогенез ). В вопросе о происхождение организмов был сторонником полифилии . Представитель так называемого «классического трансформизма».
Соч.: Zoologische Studien auf Capri, [Tl] 1—2, Lpz., 1873—74; Die Entstehung der Arten auf Grund von Vererben erwerbener Eigenschaften..., Tl 1—3, Jena — Lpz, 1888—1901.
Эймери шельфовый ледник
Э'ймери ше'льфовый ледни'к (Amery Ice Shelf), в Восточной Антарктиде, между Берегами Ларса Кристенсена и Ингрид Кристенсен. Протяжённость более 200 км , толщина от 400 до 800 м. В глубину материка простирается на 250 км. На Ю. причленяется к леднику Ламберта (основному источнику питания). Площадь около 40 тыс. км 2 , в 1964 от Э. ш. л. откололся гигантский айсберг площадью около 11 тыс. км 2 . Открыт в 1931 Британско-австралийско-новозеландской экспедицией (БАНЗАРЭ). Назван в честь В. Б. Эймери — представителя правительства Великобритании в Австралии. В 1968 на леднике работала временная австралийская станция — База Эймери. С 1971 по 1974 в районе Э. ш. л. советская антарктическими экспедициями были выполнены комплексные геолого-географические исследования, для чего на леднике была создана временная станция Содружество.
Эймерии
Эйме'рии, внутриклеточные паразитические простейшие из отряда кокцидий .
Эйнар Йоунссон
Э'йнар Йо'унссон (Einar Jónsson) (11.5.1874, Гальтафедль, — 18.10.1954, Рейкьявик), исландский скульптор. В 1893—99 учился в Копенгагене у С. Синдинга и в АХ. В 1915—19 работал в США. Крупнейший исландский ваятель 20 в., Э. И. создавал монументальные композиции, близкие стилю «модерн» (памятник Ингольфру Арнарсону в Рейкьявике, см. илл. ), реалистические портреты («Э. К. Прайс», см. илл. ).
Лит.: [Gröndal В., Behrens С.], Einar Jónsson, Stockh., 1954.
Рейкьявик. Памятник Ингольфру Арнарсону. 1907. Скульптор Эйнар Йоунссон.
Эйнар Йоунссон. Портрет Э. К. Прайса. Мрамор. Ок. 1915—19. Филадельфийский музей искусства.
Эйнауди Луиджи
Эйна'уди (Eináudi) Луиджи (24.3.1874, Карру, близ г. Кунео, — 30.10.1961, Рим), политический и государственный деятель Италии, видный экономист. Окончил Туринский университет. Издавал ряд экономических журналов, преподавал в Миланском и Туринском университетах. С 1943 до 1945 в эмиграции, в Швейцарии. В 1945—48 управляющий Банком Италии. В 1945 стал член Консультативной ассамблеи, в 1946 избран в Учредительное собрание по спискам Либеральной партии. В 1947—48 заместитель председатель Совета Министров и министр бюджета. В 1948—55 президент Италии. В 1955 назначен пожизненно сенатором. Автор работ по вопросам экономики и финансов. Действительный и почётный член многих академий и научных обществ (итальянских и зарубежных).
Эйнгард
Э'йнгард, Эйнхард, Эгингард (Einhard, Eginhard) (ок. 770, Майнгау, — 14.3.840, Зелигенштадт), деятель «Каролингского возрождения» , сподвижник Карла Великого. Получил образование в школе Фульдского монастыря. При дворе Карла Великого обратил на себя внимание познаниями в различных областях науки и искусства, стал активным член «Академии». Руководил постройкой собора в Ахене, дворца в Ингельхейме и др. Написанная им после смерти императора «Жизнь Карла Великого» (на латинском яз.) пользовалась в средние века большой популярностью. Это сочинение насыщено большим фактическим материалом, однако ради прославления Карла Э. допускал искажения в описании его внешней политики, войн. Сохранилось несколько его произведений религиозного характера и более 60 писем.
Соч.: Vie de Charlemagne, P., 1923.
Лит.: Kleinclausz A., Eginhard, P., 1942.
Эйндховен
Э'йндховен (Eindhoven), город в Нидерландах, в провинции Северный Брабант, на р. Дроммел. 192,6 тыс. жит. (1977), в агломерации 360,7 тыс. жит. Важный транспортный узел. Крупный центр электротехнической и электронной промышленности (заводы концерна «Филипс», выпускающие радио- и телеаппаратуру, звукозаписывающую и звуковоспроизводящую аппаратуру, электронные компоненты, бытовые электроприборы и т.п.). Автостроение, производство велосипедов. Лёгкая (текстильная, кожевенная, обувная отрасли) и пищевая промышленность. Технический университет (с 1956). Музей концерна «Филипс».
Эйнзидель Иоганн Август фон
