Большая Советская Энциклопедия (МН)

Большая Советская Энциклопедия (МН)

«Мнатоби»

«Мнато'би» («Светоч»), 1) грузинский научно-популярный журнал, издававшийся в 1869—72 в Тбилиси под редакцией Н. Авалишвили. Журнал обличал экономическое неравенство, призывал к просвещению народа, ставил вопрос о социальных правах женщин. В «М.» печатались произведения А. Церетели, А. Пурцеладзе, И. Чавчавадзе, М. Гуриели, Н. Ломоури, Г. Эристави и др. 2) Грузинский общественно-политический и литературно-художественный ежемесячный журнал, орган СП Грузии. Издаётся в Тбилиси с 1924. В 20—30-е гг. сыграл важную роль в консолидации представителей различных литературных групп на платформе советской литературы. Журнал публикует лучшие произведения грузинских советских писателей, а также переводы (в нём печатались произведения М. Горького, В. В. Маяковского и др.). Тираж (1973) около 14 тыс. экземпляров.

Мндоянц Ашот Ашотович

Мндоя'нц Ашот Ашотович [28.12.1909(10.1.1910), Батуми, — 29.9.1966, Москва], советский архитектор. Учился на архитектурном факультете Политехникума изобразительных искусств и в институте инженеров гражданского и коммунального строительства (1928—32) в Одессе. В 1932—1935 работал в Батуми (в 1934—35 — главный архитектор города), затем в Москве.

  Работы в Москве: высотный жилой дом на площади Восстания (1950—54; проект — Государственная премия СССР, 1949), Кремлёвский Дворец съездов (1959—61; Ленинская премия, 1962), застройка проспекта Калинина (1964—1969; см. илл. ) с комплексом зданий СЭВ (1969), кинотеатром «Октябрь» (1967; см. илл. ), магазинами и ресторанами — все совместно с архитектором М. В. Посохиным и др. Награжден 3 орденами, а также медалями.

М. В. Посохин, А. А. Мидоянц и др. Проспект Калинина в Москве. 1964—69.

А. А. Мндоянц.

Кинотеатр «Октябрь» в Москве. 1967. Архитекторы М. В. Посохин, А. А. Мндоянц, В. А. Свирский, инженеры Ю. В. Рацкевич, С. Я. Школьников.

Мнемогенезис

Мнемоге'незис (от греч. mnēmē — память и генезис ), идеалистическая теория, согласно которой в основе явлений наследственности лежат психические процессы (так называемая бессознательная память).

«Мнемозина»

«Мнемози'на», русский литературный альманах, издававшийся В. К. Кюхельбекером и В. Ф. Одоевским в Москве в 1824—25 (вышло 4 книги). Сотрудничали А. С. Пушкин, А. С. Грибоедов, Е. А. Баратынский и др. В альманахе нашли отражение, с одной стороны, философские и эстетические взгляды декабристов, изложенные в первую очередь в статье Кюхельбекера «О направлении нашей поэзии, преимущественно лирической», с другой стороны — позиции кружка «любомудров» . Публикации «М.» были встречены одобрением декабристской критики (А. А. Бестужев, К. Ф. Рылеев).

  Лит.: Степанов Н. Л., «Мнемозина», в кн.: Очерки по истории русской журналистики и критики, т. 1, Л., 1950; Гирченк о И. В., «Мнемозина», в кн.: Декабристы в Москве, М., 1963.

Мнемоника

Мнемо'ника (греч. mnēmoniká — искусство запоминания), система различных приёмов, облегчающих запоминание и увеличивающих объём памяти путём образования искусственных ассоциаций. Например, известный приём заучивания числа 3,1415926536, выражающего величину p, с помощью двустишия «Кто и шутя и скоро пожелает(ъ) пи узнать, число уж(ъ) знает(ъ)», где число букв очередного слова (по рус. орфографии, действовавшей до 1918) соответствует очередной цифре запоминаемого числа. Уже в глубокой древности люди пользовались сначала внешними (зарубки, узлы и пр.), а затем и внутренними (представления предметов, действий) опорами как средствами запоминания. Попытки создать определённую систему мнемонических приёмов были у древних египтян, греков, римлян. В средние века М. не разрабатывалась. Её возрождение началось в 16 в., и она получила большое развитие в 17—19 вв. В современной науке интерес к М. утрачен. Ею пользуются только отдельные лица для демонстрации искусства запоминания, достигаемого в результате упорной и длительной тренировки (см. Мнемотехника ). См. также Запоминание , Память .

  П. И. Зинченко.

Мнемоническая схема

Мнемони'ческая схе'ма, мнемосхема, условное изображение управляемого объекта с помощью символов и индикаторов, размещенных на лицевой стороне диспетчерского щита или специальных панелях перед пультом оператора (диспетчера). М. с. наглядно показывает состояние (положение) объекта или ход производственного процесса (см. Отображения информации устройство ). Оборудование объекта и его внутренние связи изображаются на М. с. в соответствии с общепринятыми обозначениями электрических, технологических, транспортных и других схем. Состояние контролируемого процесса автоматически отображается на М. с. сигнальными устройствами. М. с. — упрощённая модель объекта, облегчающая запоминание его схемы, назначения различных приборов и оборудования, а также органов управления и способов действия при различных режимах работы. М. с. применяют в тех случаях, когда управляемый объект имеет сложную структуру, производственный процесс контролируется по большому числу параметров, а также тогда, когда быстро меняющееся состояние объекта требует оперативного управления, что во многих случаях трудно и даже невозможно сделать «на память». М. с. используют также как демонстрационные модели на технических выставках и в качестве учебных пособий, на которых наглядно показываются порядок и последовательность включения и отключения нагрузки, потоки сырья и готовой продукции, движение транспорта, функциональные связи и ритмичность работы отдельных частей и элементов моделируемого объекта.

  М. с. подразделяют на операторские и диспетчерские, которые различаются сложностью и масштабом отображаемых объектов (в первом случае объект, как правило, — сосредоточенный технологический комплекс, во втором — территориально распределённая система, состоящая из многих объектов и технических комплексов), подробностью отображения отдельных объектов и наличием в операторских М. с. встроенных органов управления. По принципу действия и технологии изготовления М. с. делятся на мимические, световые и комбинированные (полусветовые).

  На мимические М. с. условные обозначения и соединительные линии наносят красками либо выкладывают цветными плитками (накладками). Непосредственно у изображения отдельных устройств и объектов управления на М. с., как правило, помещают сигнальные лампочки двух цветов: красного — обозначающего, что схема, машина или аппарат включены, и зелёного — соответствующие устройства выключены. Смена состояния объекта управления (контроля) может быть показана также с помощью различных механических указателей, например отклонением стрелок, смещением накладок, поворотом дисков с цветными секторами на них и т. д. Мимическую М. с. применяют главным образом там, где по характеру производственного процесса достаточно отобразить сам факт изменения состояния или положения объекта (например, заслонка «открыта» или «закрыта», «есть ток» в цепи или «нет тока» и т. д.), т. е. там, где контрольная информация имеет дискретный характер.

  Гораздо большими демонстрационными возможностями обладают световые М. с., на которых информация о состоянии контролируемого объекта отображается изменением цветности или яркости свечения элементов М. с., перемещением светового зайчика или неравномерной подсветкой по участкам (линиям, секторам) М. с., изменением конфигурации или размеров светового пятна и т. п. К световым М. с. относятся также электролюминесцентные, проекционные, в том числе кинопроекционные, телевизионные и другие М. с. Перспективным является использование в М. с. достижений оптоэлектроники и элементов волоконной оптики .

  В полусветовых М. с. светящимися делают только основные узловые элементы, а прочие части, как и на мимических М. с., выполняются красками пли накладками.

  Выбор того или иного типа М. с. зависит эт структуры системы управления и характера производственных процессов, от функциональной схемы, назначения и степени автоматизации объекта управления. Нередко М. с. сочетают с измерительными приборами и устройствами, что улучшает условия наблюдения за объектом и повышает информативность М. с.

  Лит.: Венда В. Ф., Средства отображения информации, М., 1969.

Мнемоническая схема на пульте управления тепловой электростанции.

Мнемосина

Мнемоси'на, Мнемозин, а в древнегреческой мифологии богиня из поколения титанов , мать муз, родившихся от её связи с Зевсом. Олицетворяла память. Иносказательно М. — память.

Мнемотехника

Мнемоте'хника (от греч. mnēmē — память и téchnē — искусство, мастерство), в цирке и на эстраде номера, построенные на искусстве запоминания; специально разработанные приёмы и способы, облегчающие запоминание («отгадывание» различных чисел, названий предметов, номеров денежных купюр и др.). Номера М. исполняются обычно двумя артистами, один из которых (находясь среди зрителей) задаёт вопросы, а другой «отгадывает». В основе М. — различные системы шифра (т. н. ключа), скрытого в формулировках вопросов, интонациях голоса, темпе разговора, иногда в музыкальном сопровождении. Приёмы М. были известны уже в древности, использовались преимущественно жрецами. Как зрелище номер утвердился первоначально на эстраде (в театрах варьете) во 2-й половине 19 в., позже стал исполняться в цирках. Номер подавался как «чтение мыслей на расстоянии», исполнители называют «ясновидящими». В сов. цирке номера М. ставятся в занимательной, лёгкой, часто шутливой форме. Среди известных исполнителей М.: Жанна Дюкло, Арраго (Р. С. Левитин), Г. и Р. Греголи, Н. Страйт, Инза Сун и Г. Д. Агаронов (Агароновы).

  Лит.: Гетманский М., Математические аттракционы, [М.], 1928; Лурия A. Р., Маленькая книжка о большой памяти, М., 1968.

  Ю. А. Дмитриев.

Мнесикл

Мнеси'кл (Mnēsiklēs), древнегреческий архитектор 2-й половины 5 в. до н. э., представитель стиля высокой классики . Участвовал в сооружении ансамбля афинского Акрополя , построив монументальные входные ворота — Пропилеи (437—432 до н. э.; в которых два наружных дорических портика (один обращен к городу, другой — к Акрополю) расположены на разных уровнях и связаны внутренней ионической колоннадой. В северном крыле Пропилеи находилась пинакотека .

  Лит.: Роговин Н. Е., Пропилеи Акрополя в Афинах, М., 1940; Вundgаard J. A., Mnesicles, Kbh.,1957.

Мнимая беременность

Мни'мая бере'менность, ложная беременность, состояние организма женщины, симулирующее беременность (прекращение менструаций, напряжение молочных желёз, тошнота, ощущение движений плода и т. д.). Результат самовнушения и одно из свидетельств влияния психики на состояние различных органов. В большинстве случаев наблюдается у женщин, страдающих бесплодием. Отличают от истинной беременности с помощью акушерского исследования и специальных биологических реакций, которые при М. б. отрицательны.

Мнимая единица

Мни'мая едини'ца, число i , квадрат которого равен отрицательной единице; таким образом,

Мнимая сделка

Мни'мая сде'лка, см. в ст. Сделка .

Мнимая часть

Мни'мая часть комплексного числа z = х + iy , множитель у при мнимой единице i ; М. ч. обозначается Im z .

Мнимое изображение

Мни'мое изображе'ние предмета (воспринимается глазом как предмет) образуется пересечениями геометрических продолжений световых лучей, прошедших через оптическую систему, в направлениях, обратных действительному ходу этих лучей. Подробнее см. Изображение оптическое .

Мнимое кормление

Мни'мое кормле'ние, предложенный И. П. Павловым (1890) метод исследования роли центральной нервной системы (ЦНС) в регуляции желудочной секреции, а также других вопросов нейрофизиологии (например, уровня глюкозы в крови, состояния пищевых депо, распределения воды в организме в условиях, когда поглощаемая пища или вода не поступает в желудочно-кишечный тракт). М. к., как и мнимое питье, заключается в поглощении пищи (или жидкости) оперированным животным с перерезанным пищеводом, концы которого выведены наружу на шее и приживлены в коже (такая хроническая операция называется эзофаготомией). Опыт обычно ставят на собаке, которой предварительно накладывают фистулу желудка (см. рис. ). Через несколько минут после начала М. к. начинает выделяться желудочный сок , секреция которого не прекращается 2—3 часа, даже при кратковременном М. к. (если же продолжать М. к. несколько часов, то от собаки можно получить до 1 л чистого, т. е. не смешанного с пищей, сока, используемого для лечебных целей). Как показал И. П. Павлов с сотрудниками, после двусторонней перерезки блуждающих нервов, по которым импульсы из ЦНС поступают к желудку, сокоотделение при М. к. отсутствует. Это подтверждает рефлекторный характер первой фазы сокоотделения, в ходе которой выделяется примерно 1 /₄ нормального количества желудочного сока (т. н. запальный сок). См. также Желудок , Пищеварение .

  Лит.: Павлов И. П., Полн. собр. соч., т. 5, М. — Л., 1952.

  О. М. Бенюмов.

Опыт мнимого кормления (схема).

Мнимые числа

Мни'мые чи'сла, числа вида х + iy , где  х и у — действительные числа и у ¹ 0, т. е. комплексные числа , не являющиеся действительными; М. ч. вида iy называются чисто мнимыми (иногда только их называют М. ч.). Термин «М. ч.» возник, когда эти числа уже вошли в употребление, однако реальный смысл их ещё не был раскрыт.

Мнишек Марина

Мни'шек (Mniszech) Марина (около1588 — 1614), политическая авантюристка, дочь польск. воеводы Ежи (Юрия) Мнишека, одного из организаторов интервенции против России в начале 17 в. Брак М. с самозванцем Лжедмитрием I давал возможность польско-литовским магнатам и католическому духовенству контролировать своего ставленника; в мае 1606 М. короновалась в Москве. За отказ от царского титула (после гибели Лжедмитрия I) отпущена на родину (июль 1608), но оказалась в Тушине, где признала Лжедмитрия II «спасшимся» мужем. После его смерти (декабрь 1610) М. нашла покровителя в лице атамана И. М. Заруцкого , который пытался поддержать кандидатуру её сына Ивана (родившегося в январе 1611) на русский престол. Вместе с Заруцким и сыном М. бежала в Астрахань, а затем (в мае 1614) на р. Яик (Урал), где они были выданы казаками русскому правительству. Заруцкий и сын М. были казнены в Москве, а М. умерла в заточении.

Многоатомные спирты

Многоа'томные спирты', спирты жирного ряда с несколькими группами — ОН в молекуле; так же, как и другие многоатомные соединения, содержащие в молекуле более одной функциональной группировки, подразделяются на двухатомные (гликоли ), трёхатомные (глицерины ), четырёхатомные (тетриты), пятиатомные (пентиты), шестиатомные (гекситы ) и т. д. Из спиртов, содержащих не менее четырёх групп — ОН, наибольшее значение имеют пентаэритрит С(СН₂ ОН)₄ и генетически связанные с моносахаридами пентиты (например, ксилит , адонит, арабит) и гекситы (маннит, сорбит, дульцит и др.). М. с. — бесцветные кристаллические вещества сладкого вкуса, легко растворимые в воде; многие из них синтезируются растениями; для каждого спирта известно большое число стереоизомеров. М. с. обладают всеми свойствами одноатомных спиртов (они легко, например, этерифицируются и окисляются). Нитраты М. с. обладают взрывчатыми свойствами. М. с. в промышленности получают обычно восстановлением соответствующих альдоз и кетоз; применяют в производстве полимеров (пентаэритрит, ксилит), взрывчатых веществ, используют в качестве заменителей сахара для больных диабетом (сорбит, ксилит), в косметической и фармацевтической промышленности (как увлажнители, а эфиры М. с. — как эмульгаторы).

Многобородник

Многоборо'дник (Polypogon), род растений семейства злаков. Однолетние или многолетние травы с плоскими листовыми пластинками. Соцветие — густая, большей частью цилиндрическая щетинистая метёлка из мелких одноцветковых колосков. Колосковые чешуи почти равные, на спинке округлые, нижняя цветковая чешуя плёнчатая, с 5 жилками, без ости или с очень короткой остью. 8—10 (по др. данным, до 15) видов в умеренных (на юге), субтропических и тропических областях. В СССР — 3 однолетних вида на юге Европейской части, Кавказе, юге Западной Сибири и в Средней Азии; растут по сырым солончаковатым лугам, приречным пескам, солончакам и как сорняки в посевах. Молодые растения М. хорошо поедаются скотом.

Многоборья

Многобо'рья спортивные, установленные международными или государственными спортивными классификациями сочетания физических упражнений в одном или нескольких видах спорта. М. имеют целью выявление разносторонних психофизических качеств и двигательных навыков спортсменов и физкультурников. Впервые соревнования в М. — пентатлон (бег, прыжки, метание копья и диска, борьба) были включены в программу древнегреческих Олимпийских игр в 708 до н. э. Существующие в современной спортивной классификации М. в одном виде спорта условно подразделяются на 3 группы: неоднократное выполнение однородных упражнений (М. в акробатике, бобслее, прыжках в воду и на батуте, в парусном и санном спорте, фигурном катании и др.); выполнение однородных упражнений на разных дистанциях или из разных положений (в конькобежном спорте, стрельба из лука и др.); выполнение разных упражнений в разных условиях, на разных снарядах или дистанциях (в лёгкой атлетике, гимнастике, конном, воднолыжном, горнолыжном и парашютном спорте, тяжёлой атлетике, комплексном плавании и др.). М., состоящие из упражнений в разных видах спорта, условно подразделяются на выполняемые с одного старта (например, биатлон) и с разных стартов (лыжное двоеборье, современное пятиборье, комплекс ГТО и др.).

  Особую группу М. составляют военные и военно-прикладные М., культивируемые в Вооружённых Силах СССР и организациях ДОСААФ. Военные М. впервые появились в отдельных воинских частях после окончания Гражданской войны 1918—20, широкое распространение получили в Советской Армии в период Великой Отечественной войны 1941—45 как средство повышения боевой подготовки подразделений. С середины 40-х гг. включаются в программы первенств военных округов, с 50-х гг. в программы чемпионатов Вооружённых Сил СССР, спартакиад и чемпионатов Спортивного комитета дружественных армий (СКДА). В 1964 в Вооружённых Силах СССР введена Военно-спортивная классификация, в которую включены троеборье (стрельба, преодоление полосы препятствий, метание гранат), пятиборье (стрельба, гимнастика, плавание, кросс, фигурное вождение автомобиля), офицерские М. (летнее — стрельба, кросс, плавание, гимнастика; зимнее — стрельба, лыжные гонки, гимнастика) и др. Массовое развитие в СССР в 50—70-е гг. военно-технических видов спорта обусловило появление различных военно-спортивных М.: автомобильное, мотоциклетное, радиомногоборье, морское, подводное, летние военно-прикладные троеборье и пятиборье, малокалиберный биатлон, военизированная эстафета и др. Как правило, военно-спортивные М. включают упражнения из различных видов спорта, например: автомобильное — фигурное вождение автомобиля, соревнование на экономичность движения, кросс, стрельбу, метание гранаты; морское — греблю на морских ялах, парусные гонки на ялах, кросс, плавание, стрельбу. Все виды военно-прикладных М. включены в Единую всесоюзную спортивную классификацию . См. также Десятиборье , Пятиборье и статьи о видах спорта, например Лёгкая атлетика , Конькобежный спорт .

  К. П. Жаров, Л. Л. Чистый.

Многобугорчатые

Многобуго'рчатые (Multituberculata), отряд вымерших млекопитающих. Жили с юры до среднего эоцена. Самые крупные из мезозойских млекопитающих (достигали величины сурка). М., подобно грызунам, имели по паре крупных резцов в верхней и нижней челюстях и крупные коренные зубы с многочисленными бугорками, расположенными правильными продольными рядами (отсюда название). По характеру питания и образу жизни, очевидно, были сходны с появившимися позднее грызунами; строение конечностей указывает на древесный образ жизни. Вероятно, были яйцекладущими, подобно современным клоачным . Однако ряд черт строения сближает их с сумчатыми . Были распространены в Западной Европе, Центральной Азии и Северной Америке. М. — своеобразная боковая ветвь класса млекопитающих, не оставившая потомков.

Многоглазки

Многогла'зки, червонцы (Chrysophanus), род бабочек семейства голубянок .

Многогласие

Многогла'сие, в русском богослужении одновременное исполнение нескольких различных песнопений, отличающихся как по тексту, так и по напеву. Возникло в начале 16 в., когда был распет полный круг песнопений и мелодии из речитативных переросли в распевные, в связи с чем певческое исполнение всей церковной службы занимало очень много времени. На протяжении 16—17 вв. велась борьба с М., которое приводило к антихудожественному смешению музыки песнопений и полной неразборчивости для слушателей их текстов. Полностью М. перестало применяться лишь в 1-й половине 18 в.

  Лит.: Преображенский А. В., Вопрос о единогласном пении в русской церкви XVII-го века. Исторические сведения и письменные памятники, [СПБ], 1904.

Многоголосие

Многоголо'сие, склад музыки, основанный на сочетании в одновременности нескольких голосов ; противостоит монодии . Различают несколько типов М.: гетерофонию , гомофонию и полифонию . Гетерофоння характерна для различных народных культур, в том числе русской (подголосочное М. русской народной песни); гомофония и полифония ведут своё происхождение от неё. Возможно сочетание в одновременности различных типов М.

Многогранник

Многогра'нник в трёхмерном пространстве, совокупность конечного числа плоских многоугольников, такая, что каждая сторона любого из многоугольников есть одновременно сторона другого (но только одного), называемого смежным с первым (по этой стороне); от любого из многоугольников, составляющих М., можно дойти до любого из них, переходя к смежному с ним, а от этого, в свою очередь, — к смежному с ним, и т. д. Эти многоугольники называются гранями, их стороны — рёбрами, а их вершины — вершинами М.

  Приведённое определение М. получает различный смысл в зависимости от того, как определить многоугольник . Если под многоугольником понимают плоские замкнутые ломаные (хотя бы и самопересекающиеся), то приходят к первому определению М. (вопросы, связанные с определяемыми таким образом М., будут рассмотрены в конце статьи). Основная часть статьи построена на основе второго определения М., при котором его грани являются многоугольниками, понимаемыми как части плоскости, ограниченные ломаными. С этой точки зрения М. есть поверхность, составленная из многоугольных кусков. Если эта поверхность сама себя не пересекает, то она есть полная поверхность некоторого геометрического тела, которое также называется М.; отсюда возникает третья точка зрения на М. как на геометрические тела, причём допускается также существование у этих тел «дырок», т. е. — что эти тела не односвязаны.

  М. называется выпуклым, если он весь лежит по одну сторону от плоскости любой его грани; тогда грани его тоже выпуклы. Выпуклый М. разрезает пространство на две части — внешнюю и внутреннюю. Внутренняя его часть есть выпуклое тело. Обратно, если поверхность выпуклого тела многогранная, то соответствующий М. — выпуклый.

  Важнейшие теоремы общей теории выпуклых М. (рассматриваемых как по верхности) следующие.

  Теорема Эйлера (1758): число вершин минус число рёбер плюс число граней выпуклого М. — эйлерова характеристика М. — равно двум; символически: в — р + г = 2.

  Теорема Коши (1812) (в современной форме): если два выпуклых М. изометричны друг другу (т. е. один М. может быть взаимно однозначно отображён на другой М. с сохранением длин лежащих на нём линий), то второй М. может быть получен из первого движением его как жёсткого целого (или движением и зеркальным отражением). Отсюда, в частности, следует, что если грани выпуклого М. жестки, то он сам жёсток, хотя бы его грани были скреплены друг с другом по ребрам шарнирно. Это предполагал верным ещё Евклид и знает всякий, клеивший картонные модели М., но доказал Коши только через 2000 лет после Евклида.

  Теорема А. Д. Александрова (1939): если взять конечное число плоских выпуклых многоугольников (сделанных, например, из бумаги) и указать, какую сторону какого из них с какой стороной какого другого мы будем склеивать (склеиваемые стороны, конечно, должны быть одинаковой длины), т. е. если рассмотреть развёртку (выкройку) М., то для того, чтобы так склеенную замкнутую поверхность можно было, соответственно расправив (т. е. изогнув, если нужно, но не растягивая, не сжимая, не разрывая и больше не склеивая), превратить в поверхность выпуклого М., необходимо и достаточно, чтобы: а) удовлетворялось условие Эйлера в — р + г = 2 и б) чтобы сумма плоских углов, сходящихся при склеивании в одной вершине, для любой вершины была меньше 360°. Эта теорема есть теорема существования, т. е. она показывает, с какими развёртками существуют выпуклые М., а теорема Коши есть для неё теорема единственности, т. е. она показывает, что существует только один (с точностью до движения и отражения) выпуклый М. с такой развёрткой.

  Теорема (существования) Минковского (1896): существует выпуклый М. с любыми площадями граней и любыми направлениями внешних нормалей к ним, лишь бы сумма векторов, имеющих направления нормалей и длины, равные площадям соответствующих граней, была равна нулю и эти векторы не лежали бы все в одной плоскости. Эти условия необходимы.

  Теорема (единственности) Минковского (1896): выпуклый М. вполне определяется площадями своих граней и направлениями внешних нормалей к ним; и углубляющая её теорема (единственности) А. Д. Александрова: два выпуклых М. с попарно параллельными гранями не равны друг другу только в том случае, если для одной из пар параллельных граней с одинаково направленными внешними нормалями одна из этих граней может быть при помощи параллельного переноса вложена в другую.

  Теорема Штейница (1917): существует выпуклый М. с любой наперёд заданной сеткой. При этом сеткой выпуклого М. называют сетку, составленную его ребрами. Два М. принадлежат к одному и тому же типу, если топологически тождественны сетки их рёбер, т. е. если один из них отличается от другого лишь длиной своих рёбер и величиной углов между ними. Сетку рёбер выпуклого М. можно спроектировать на плоскость из внешней точки, весьма близкой к внутренней точке какой-либо его грани. Сама эта грань спроектируется тогда в виде внешнего выпуклого многоугольника, а все остальные — в виде малых выпуклых многоугольников, которые его заполняют, не налегая друг на друга, и смежны друг с другом целыми сторонами. Тип сетки рёбер М. при таком проектировании не меняется. Число m типов М. с данным числом n граней ограничено, а именно: если n = 4, 5, 6, 7, 8, ..., то m = 1, 2, 7, 34, 257,... На рис. даны сетки всех типов для n = 4, 5, 6.

  Наиболее важны следующие специальные выпуклые М.

  Правильные многогранники (тела Платона) — такие выпуклые М., все грани которых суть конгруэнтные правильные многоугольники. Все многогранные углы правильного М. правильные и равные. Как это следует уже из подсчёта суммы плоских углов при вершине, выпуклых правильных М. не больше пяти. Указанным ниже путём можно доказать, что существуют именно пять правильных М. (это доказал Евклид). Они — правильные тетраэдр , куб , октаэдр , додекаэдр и икосаэдр .

  Куб и октаэдр дуальны, т. е. получаются друг из друга, если центры тяжести граней одного принять за вершины другого или обратно. Аналогично дуальны додекаэдр и икосаэдр. Тетраэдр дуален сам себе. Правильный додекаэдр получается из куба построением «крыш» на его гранях (способ Евклида), вершинами тетраэдра являются любые четыре вершины куба, попарно не смежные по ребру. Так получаются из куба все остальные правильные М.

  В приведённой ниже таблице указаны радиус описанной сферы, радиус вписанной сферы и объём всех правильных М. (а — длина ребра М.).

  Изоэдры и изогоны. Изоэдром (изогоном) называется такой выпуклый М., что группа его поворотов (первого и второго, т. е. с отражениями, родов) вокруг центра тяжести переводит любую его грань (вершину) в любую другую его грань (вершину). Каждому изоэдру (изогону) соответствует дуальный изогон (изоэдр). Если М. одновременно и изогон и изоэдр, то он правильный М. Комбинаторно различных изоэдров (изогонов) имеется 13 специальных типов и две бесконечные серии (призмы и антипризмы). Оказывается, что каждый из этих изоэдров может быть реализован так, что все его грани суть правильные многоугольники. Полученные так М. называются полуправильными многогранниками (телами Архимеда).

Радиус описанной сферы	Радиус вписанной сферы	Объём
Тетраэдр
Куб
Октаэдр
Додекаэдр
Икосаэдр

  Параллелоэдры (выпуклые; найдены рус. учёным Е. С. Федоровым в 1881) — М., рассматриваемые как тела, параллельным перенесением которых можно заполнить всё бесконечное пространство так, чтобы они не входили друг в друга и не оставляли пустот между собой, т. е. образовать разбиение пространства. Таковы, например, куб или правильная 6-угольная призма. Топологически различных сеток рёбер параллелоэдров пять. Число их граней — 6, 8, 12, 12, 14. Для того чтобы М. был параллелоэдром, необходимо и достаточно, чтобы он был выпуклым М. одного из пяти указанных топологических типов и чтобы все грани его имели центры симметрии.

  Если параллелоэдры разбиения смежны целыми гранями, разбиение называется нормальным. Центры параллелоэдров такого разбиения образуют решётку, т. е. совокупность всех точек с целыми координатами относительно какой-то, вообще говоря, не прямоугольной декартовой системы координат. Множество точек пространства, из которых каждая отстоит от некоторой данной точки О рассматриваемой решётки L не дальше, чем от всякой другой точки этой решётки, называется областью Дирихле (или областью Вороного) D_o L точки О в решётке L. Область D_o L является выпуклым М. с центром в точке О . Совокупность областей Дирихле всех точек произвольной решётки образует нормальное разбиение пространства. Существует замечательная теорема: произвольное (даже n -мерное) нормальное разбиение на параллелоэдры, в каждой из вершин которого сходится n + 1 параллелоэдр, может быть аффинным преобразованием превращено в разбиение Дирихле для некоторой решётки.

  Всякое движение, переводящее в себя решётку L и оставляющее на месте её точку О , преобразует в себя область D_o L и обратно. Группу всех таких движений называют голоэдрией решётки. Их всего семь: кубическая, ромбоэдрическая, квадратная (или тетрагональная), ортогональная (или ромбическая), моноклинная, триклинная и гексагональная.

  Кристаллографические многогранники. Каждая из семи рассмотренных групп имеет подгруппы, всех различных таких групп и их подгрупп 32; их называют кристаллографическими классами. Пусть какой-нибудь кристаллографический класс есть подгруппа некоторой голоэдрии, тогда говорят, что он принадлежит этой голоэдрии (или входит в состав её сингонии), если этот класс не является подгруппой никакой голоэдрии, содержащейся в данной. Если взять плоскость, не проходящую через точку О , и подвергнуть её всем поворотам какого-нибудь кристаллографического класса, то полученные плоскости ограничивают либо некоторый изоэдр с центром в точке, либо бесконечное выпуклое призматическое тело, либо многогранный угол. Полученные тела называются простыми формами кристаллов, в первом случае замкнутыми, во втором и третьем — открытыми. Две простые формы считают одинаковыми, если они имеют один и тот же комбинаторный тип, порождены одним и тем же кристаллографическим классом и повороты этого класса одинаковым образом связаны с формой. Существует 30 различных в этом смысле замкнутых форм и 17 открытых, каждая из них имеет вполне определённое название (см. Кристаллы ).

  Основываясь на первом (указанном в начале статьи) определении М., можно указать ещё четыре правильных невыпуклых многогранника (т. н. тела Пуансо), впервые найденных французским математиком Л. Пуансо в 1809. Доказательство несуществования других невыпуклых правильных М. дал французский математик О. Коши в 1811. В этих М. либо грани пересекают друг друга, либо сами грани — самопересекающиеся многоугольники. Для изучения вопросов, связанных с площадями поверхностей и объёмами таких М., удобно пользоваться именно первым определением М.