Форма реальности

Начнем с интуитивного ощущения: если горизонтальная и вертикальная стороны определены, то известна и диагональ. Если вы пройдете 3 километра на юг, а потом 4 километра на восток, то однозначно удалитесь от исходной точки на какое-то конкретное расстояние.

Но на какое? Для этого нужна теорема Пифагора – первая реальная теорема геометрии. Она говорит, что если a и b – горизонтальная и вертикальная стороны прямоугольного треугольника, а c – диагональ (так называемая гипотенуза), то

a2 + b2 = c2.

Если a = 3, а b = 4, то c2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25. Мы знаем, какое число при возведении в квадрат дает 25: это число 5. Оно и есть длина гипотенузы.

Почему эта формула верна? Вы можете начать подниматься по градиенту уверенности, нарисовав треугольник со сторонами 3 и 4 и измерив его гипотенузу, она будет близкой к 5. Затем нарисуйте треугольник со сторонами 1 и 3 и измерьте его гипотенузу; если вы обращались с линейкой достаточно внимательно, то получите что-то близкое к числу 3,16, которое при возведении в квадрат дает 1 + 9 = 10. Благодаря этим примерам уверенность увеличится, но это еще не доказательство. А вот это уже оно:

Большой квадрат на обоих рисунках одинаков, но разбит на части двумя разными способами. На первом чертеже четыре копии нашего прямоугольного треугольника и квадрат со стороной c. На втором – тоже четыре копии, но иначе расположенные: остаток квадрата теперь занимают два меньших квадрата со сторонами a и b. Площадь, которая остается в большом квадрате после убирания четырех треугольников, должна быть одинаковой в обоих случаях, а значит, c2 (площадь, оставшаяся на первом чертеже) будет равна a2 + b2 (площадь, оставшаяся на втором чертеже).

При желании придраться можно пожаловаться на нестрогое доказательство того, что на первом рисунке квадрат (того, что длина сторон этой фигуры одинакова, недостаточно: сожмите пальцами противоположные углы квадрата – и получите фигуру под названием ромб: это явно не квадрат, но стороны по-прежнему равны). Но пусть так. До ознакомления с этой иллюстрацией у вас нет оснований считать, что теорема Пифагора верна, но, увидев ее, вы поймете, почему теорема верна. Подобные доказательства, когда геометрическая фигура разрезается на части, которые потом переставляются, называются доказательствами разрезания и ценятся за ясность и изобретательность. Математик и астроном XII века Бхаскара[57] показывает такую форму доказательства теоремы и находит изображение настолько убедительным, что для него не требуется словесное пояснение, просто подпись в виде одного слова «Смотри!»[58]. Любитель-математик Генри Перигал в 1830 году придумал собственное доказательство разрезанием, когда пытался, подобно Линкольну, квадрировать круг; он настолько высоко ценил свою схему[59], что спустя почти шестьдесят лет завещал вырезать ее на своем надгробии.

ЧЕРЕЗ МОСТ ОСЛОВ

Нам нужно знать, как решать геометрические задачи чисто формальными выводами, однако геометрия – это не просто последовательность чисто формальных выводов. Если бы это было так, то это был бы не лучший способ научить искусству систематических рассуждений в сравнении с тысячей других вещей. Мы могли бы объяснять шахматные задачи или судоку. Или создать систему аксиом, вообще не имеющую никакого отношения к какой-либо области человеческой деятельности, и заставлять учащихся выводить из нее следствия. Но вместо всего этого мы преподаем геометрию, поскольку она – формальная система, которая не просто формальная система. Она встроена в наши представления о пространстве, положении и движении. Мы не можем не быть геометрическими. Иными словами, у нас есть интуиция.

В эссе 1905 года геометр Анри Пуанкаре определил интуицию и логику как два незаменимых столпа математического мышления. Каждый математик склонен к той или иной стороне, и, как отмечает Пуанкаре, нам свойственно именовать геометрами тех, кто сильнее предрасположен к интуитивному мышлению. Нам нужны оба столпа. Без логики мы не могли бы ничего сказать о 1000-угольнике – объекте, который нам не представить ни в каком разумном смысле. Но без интуиции предмет теряет всю свою привлекательность. Пуанкаре объясняет, что Евклид – это мертвая губка:

Вы, несомненно, видели[60] те тонкие структуры кремниевых игл, которые формируют скелет некоторых губок. Когда органическая материя исчезает, остается только хрупкое и изящное кружево. Правда, там нет ничего, кроме оксида кремния, но интересна именно та форма, которую он принял, и мы не могли бы ее понять, если бы не знали живой губки, которая и придала ему такую форму. Именно так и старые интуитивные представления наших отцов – даже тогда, когда мы отказались от них, – все еще придают форму логическим построениям, которые пришли им на смену.

Каким-то образом нам нужно научить людей делать выводы, не отрицая наличия интуитивных способностей – той самой живой ткани губки. И все же мы не хотим, чтобы нами управляла исключительно интуиция. Здесь поучительна история постулата о параллельных. Евклид включил его в список аксиом: «Если дана прямая L и точка P вне ее, то через точку P можно провести одну и только одну прямую, параллельную прямой L»[61].

Это сложно и громоздко по сравнению с другими аксиомами, которые выглядят изящнее, например: «Через любые две точки можно провести прямую». Математикам казалось, что было бы лучше, если бы получилось вывести пятую аксиому из четырех других, которые считались более базовыми.

Но зачем? Ведь наша интуиция громко кричит, что пятая аксиома верна. Что может быть бесполезнее, чем пытаться это доказать? Это все равно что спрашивать, можем ли мы доказать, что 2 + 2 = 4. Мы это знаем!

И все же математики упорствовали, раз за разом безуспешно пытаясь показать, что пятая аксиома выводится из остальных. В итоге оказалось, что усилия изначально были обречены на неудачу, потому что существуют и другие геометрии, в которых прямая, точка и плоскость означают вовсе не то, что подразумевал под этими словами Евклид (и, вероятно, вы), однако они удовлетворяют первым четырем аксиомам, но не удовлетворяют пятой. В некоторых из этих геометрий через точку P проходило бесконечно много прямых, параллельных прямой L. В других не было ни одной такой прямой.

Нет ли тут обмана? Мы же не спрашиваем о каких-то геометрических сущностях других странных миров, которые извращенно называем прямыми. Мы говорим о настоящих прямых, для которых пятый постулат Евклида, безусловно, верен.

Да, конечно, вы можете пойти этим путем. Но, поступая таким образом, сознательно закроете себе доступ к целому миру геометрий просто потому, что это не та геометрия, к которой вы привыкли. Неевклидова геометрия – фундамент для обширных областей математики, включая и ту, что описывает физическое пространство, в котором мы реально живем. (Мы вернемся к этому вопросу через несколько страниц.) Мы могли бы отказаться открывать ее на основании своего жесткого евклидова пуризма. Но это была бы наша потеря.

Вот еще один пример, требующий нахождения баланса между формальной логикой и интуицией. Предположим, у нас есть равнобедренный треугольник, то есть его стороны AB и AC равны. Теорема: углы B и C тоже равны.

Это утверждение иногда называют pons asinorum, то есть мост ослов, потому что это штука, через которую почти всех нас нужно осторожно провести. Здесь доказательство Евклида поважнее, чем вышеописанная ситуация с прямыми углами. Мы сразу оказываемся in medias res[62], хотя в школе подходили к мосту ослов только после нескольких недель подготовки. Поэтому примем как данность Предложение 4 книги I Евклида, где говорится, что если вы знаете две стороны треугольника и угол между ними, то можете найти длину третьей стороны и два оставшихся угла. Иными словами, если я нарисую так:

то существует только один способ восстановить оставшуюся часть треугольника. Другой способ сказать то же самое: если у двух треугольников равны две пары сторон и углы между ними, то у них равны все углы и все стороны, то есть, как говорят геометры, треугольники равны, или конгруэнтны.

Мы уже обращались к этому факту, когда угол между двумя сторонами был прямым, но я думаю, что и в случае произвольного угла это кажется столь же понятным.

(Кстати, справедливо и следующее: если три стороны двух треугольников равны, то и треугольники равны; например, если длины сторон 3, 4 и 5 равны, то треугольник должен быть прямоугольным, как я нарисовал выше. Однако это менее очевидно, что Евклид и доказал несколько позднее: Предложение I.8. Если вам кажется, что это очевидно, подумайте о четырехугольнике: вспомните ромб, с которым мы недавно встречались, – у него такие же стороны, как у квадрата, но он же не квадрат.)

А теперь перейдем к pons asinorum. Доказательство в два столбца может выглядеть так:

[63]

Да, мы посреди доказательства, но у нас новая точка и новый отрезок AD, так что лучше обновить чертеж! Кстати, вспомните, что, по нашему предположению, треугольник равнобедренный, поэтому длина AB и AC одинакова; сейчас мы это используем.

QED[64].

Это доказательство посерьезнее, чем то, что мы видели, поскольку тут вам действительно приходится что-то делать: вы проводите новую линию L и придумываете название D для точки, где L пересекает BC. Это позволяет вам воспринять точки B и C как углы двух новых треугольников ABD и ABC, которые, как мы продемонстрируем далее, равны.

Однако существует и более хитрый способ, изложенный примерно через шестьсот лет после Евклида Паппом Александрийским, еще одним геометром из Северной Африки, в трактате Συναγωγή («Математическое собрание»). (Слово «синагога» означает «собрание», и в античном мире оно могло обозначать собрание математических предложений, а вовсе не собрание евреев на молитву.)

Погодите, что произошло? Казалось бы, мы ничего не делали, а нужное заключение появилось просто из ниоткуда, как кролик, выпрыгивающий при отсутствии шляпы. Это создает определенное беспокойство. Это не то, что понравилось бы Евклиду. Но так или иначе, на мой взгляд, это верное доказательство.

Ключ к идее Паппа – предпоследняя строка: треугольники BAC и CAB конгруэнтны. Кажется, что это просто утверждение о равенстве треугольника самому себе, которое выглядит тривиальным. Но присмотритесь более внимательно.

Что на самом деле мы имеем в виду, говоря, что два разных треугольника PQR и DEF конгруэнтны?

А вот что! Мы утверждаем сразу шесть вещей: длина PQ равна длине DE, длина PR равна длине DF, длина QR равна длине EF, угол P равен углу D, угол Q равен углу E, угол R равен углу F.

Конгруэнтен ли треугольник PQR треугольнику DFE? Нет, потому что на рисунке длина стороны PQ не равна длине соответствующей стороны DF.

Если мы серьезно воспринимаем определение конгруэнтности (а для нас, геометров, принимать определения всерьез – в некотором роде фирменная фишка), то треугольники DEF и DFE не конгруэнтны, несмотря на то что это один и тот же треугольник. Потому что DE и DF имеют разную длину.

Однако в нашем доказательстве с мостом ослов треугольник равнобедренный, а потому, когда мы воспринимаем его как треугольник BAC, он в точности тот же, что и в случае, когда мы его рассматриваем как треугольник CAB. Это не тривиальное утверждение. Если я говорю, что имя АННА читается одинаково в обоих направлениях, я в действительности сообщаю вам тот факт, что это палиндром. Возражать против самой концепции палиндрома, заявляя: «Ну конечно, это одно и то же, там две буквы А и две буквы Н, а порядок не важен», – чистое извращение.

На деле слово «палиндромный» было бы хорошим названием для треугольников типа BAC, который конгруэнтен треугольнику CAB, получаемому при записи вершин в обратном порядке. Именно благодаря такой идее Папп и сумел пройти через мост, не прибегая к дополнительным линиям и точкам.

И все же доказательство Паппа не вполне объясняет, почему равнобедренный треугольник имеет два равных угла. Представление о палиндромности равностороннего треугольника, то есть о том, что он остается таким же при записи вершин в обратном порядке, говорит вам то же, что (я уверен) и ваша интуиция: треугольник остается неизменным, когда вы берете его, переворачиваете и кладете обратно на то же место. Как и слово-палиндром, он обладает симметрией. Вот почему нам кажется, что углы должны быть равны.

На уроках геометрии нам обычно не разрешают говорить о переворачивании фигур[65], хотя делать это нужно. С какими бы абстракциями мы ни имели дело, математика – это то, чем мы занимаемся с помощью нашего тела. И прежде всего – геометрия. Иногда буквально: каждый математик обнаруживал, что рисует невидимые фигуры с помощью жестов, и как минимум одно исследование[66] показало, что дети, которым предлагали представить геометрическую задачу в движениях, чаще приходили к верному заключению[67]. Говорят, сам Пуанкаре в геометрических рассуждениях полагался на свое чувство движения. Он не был визуалом и плохо запоминал лица и фигуры, поэтому, когда ему требовалось[68] нарисовать картинку по памяти, он, по его словам, вспоминал не то, как она выглядела, а то, как по ней двигался его взгляд.

РАВНОБЕДРЕННОСТЬ

Что означает слово «равнобедренный» в названии треугольников? Прежде всего то, что две его стороны равны. В греческом языке используется слово σκέλη (скеле), что значит «ноги», отсюда и английское isosceles. В китайском слово составлено из иероглифов равный и талия, на русском языке у такого треугольника равные бедра, а на иврите – равные голени. В любом случае мы, похоже, согласны с тем, что быть равнобедренным означает иметь две равные стороны. Но почему? Почему бы не определить равнобедренный треугольник как треугольник, у которого равны два угла? Вы, вероятно, заметили (а весь смысл pons asinorum в том, чтобы это доказать!), что равенство двух сторон означает равенство двух углов, и наоборот. Другими словами, эти два определения эквивалентны и задают одно и то же множество треугольников. Но я бы не сказал, что это одно и то же определение. Существуют и другие варианты. Более современно было бы определить равнобедренный треугольник как палиндромный: треугольник, который вы можете взять, перевернуть, положить обратно, и он при этом не изменится. То, что у такого треугольника будут две равные стороны и два равных угла, следует почти автоматически. В этом геометрическом мире рассуждение Паппа показывало бы, что треугольник с двумя равными сторонами равнобедренный, а треугольники BAC и CAB совпадают.

Хорошее определение – то, которое проливает свет на ситуации, выходящие за рамки того, для чего оно было придумано. Идея, что равнобедренный означает не изменяющийся при переворачивании, дает нам хорошее представление о том, что такое равнобедренная трапеция или равнобедренный пятиугольник. Вы могли бы сказать, что равнобедренный пятиугольник – тот, у которого две стороны равны, но тогда вы соглашаетесь на перекошенные обвисшие пятиугольники наподобие этого:

Но хотите ли вы этого? К определению «равнобедренный» явно лучше подходит вот такой симпатичный пятиугольник:

И в самом деле, в школьном учебнике равнобедренная трапеция – это не фигура с двумя равными сторонами или двумя равными углами, а фигура, которую можно перевернуть, и она не изменится. Сюда прокралось постевклидово понятие симметрии, потому что наши мозги устроены так, что его замечают. Все чаще и чаще идея симметрии становится основанием для доказательств на уроках геометрии. Это не Евклид, но именно такова сейчас геометрия.

Глава 2. Сколько отверстий в соломинке?

Всем, кто профессионально занимается математикой, всегда приятно, когда весь интернет день или два решает какую-нибудь математическую задачку. Мы наблюдаем, как другие люди открывают для себя тот способ мышления, которым мы упиваемся всю жизнь (и наслаждаются им). Когда у вас красивый дом, вы ведь, как правило, радуетесь неожиданным визитам гостей.

Задачи, которые захватывают людей, обычно интересны, хотя на первый взгляд могут показаться пустячными. Привлекает и удерживает внимание именно ощущение встречи с реальной математической проблемой.

Например: сколько отверстий в соломинке?

Большинство из тех, кому я задавал этот вопрос, считают ответ очевидным. И бывают крайне удивлены, а иногда даже расстроены, когда узнают, что есть люди, чей очевидный ответ отличается от их собственного.

Насколько я могу судить, впервые вопрос об отверстиях в соломинке появился в статье[69] супругов Стефани и Дэвид Льюис, вышедшей в 1970 году в журнале Australasian Journal of Philosophy: обсуждаемым трубчатым объектом был рулон бумажных полотенец. Затем этот вопрос всплыл[70] в 2014 году в виде опроса на каком-то форуме бодибилдеров. Аргументы на форуме отличались по тону от аргументов из философского журнала, но общие контуры полемики оказались довольно сходными: все ответы «ноль отверстий», «одно отверстие» и «два отверстия» имели определенное обоснование.

Затем появился ролик[71], где два приятеля из колледжа распалялись все сильнее, споря, два отверстия или одно; в итоге он стал вирусным и набрал свыше полутора миллионов просмотров. Задача о соломинке появилась на Reddit, в Twitter и в газете The New York Times. Группа молодых, привлекательных и крайне сбитых с толку сотрудников новостной компании BuzzFeed сняла видео, которое тоже набрало сотни тысяч просмотров[72].

Вероятно, вы уже начали в уме формулировать основные аргументы. Давайте перечислим их здесь.

Ноль отверстий. Ваша соломинка – это пластиковый прямоугольник, который свернули в трубочку и склеили. В прямоугольнике никаких отверстий не было, и вы не делали в нем никаких отверстий, когда сворачивали трубку, поэтому в нем их нет.

Одно отверстие. Отверстие – это пустое пространство в центре соломинки. Оно занимает все место от верха до низа.

Два отверстия. Да просто посмотрите на нее! Одно отверстие вверху, а другое – внизу.

Моя первая цель – убедить вас, что вы заблуждаетесь насчет отверстий, даже если так не думаете. У каждого из этих вариантов есть серьезные проблемы.

Сначала разберемся с нулем. Предмет может иметь отверстие, даже если из него ничего не убирали. Вы же не делаете бублик, выпекая сначала булочку, а потом пробивая ее центр. Нет, вы раскатываете змейку из теста[73], а затем соединяете ее концы и получаете бублик. Если вы станете утверждать, что в бублике нет дырки, вас засмеют в любом уважающем себя магазине по всему миру. Считаю, что этот вопрос решен окончательно.

А как насчет теории с двумя отверстиями? Тут возникает такой вопрос: если в соломинке две дырки, то где начинается одна и заканчивается другая? Если это вас не беспокоит, подумайте о кусочке швейцарского сыра. Будете ли вы считать дырки в нем по отдельности сверху и снизу?

Или такой аргумент: заполним чем-нибудь низ соломинки. Иными словами, уберем то, что вы, двухдырочники, считаете нижним отверстием. Теперь соломинка – фактически высокий узкий стакан. Есть ли в стакане отверстие? Да, скажете вы: наверху как раз и есть отверстие. Хорошо, тогда давайте уменьшать высоту стакана, пока он не станет пепельницей. Вы однозначно не будете утверждать, что верх пепельницы представляет собой отверстие. Но если при переходе от стакана к пепельнице дырка пропала, то когда именно?

Вы можете заявить, что пепельница все равно имеет отверстие, поскольку в ней есть углубление – отрицательное пространство, где нет материала, который там мог бы быть. Вы настаиваете, что отверстие «не обязано проходить насквозь», ведь говорят же люди про отверстия в земле. Это справедливое возражение, но я думаю, что если мы станем воспринимать как дыру любую впадину или выемку, то понятие станет слишком широким, а потому бесполезным. Когда вы говорите, что ведро дырявое, то вовсе не имеете в виду какую-то вмятину в его дне, а указываете на то, что оно больше не удерживает воду. Если вы откусываете кусок от булочки, то она от этого не превращается в бублик.

Остается одно отверстие. Это самый популярный из трех вариантов, но я испорчу и его. Когда я задал вопрос о соломинке своей подруге Келли, она отвергла теорию одного отверстия очень просто: «Означает ли это, что рот и анус – одно и то же отверстие?» (Келли преподает йогу, поэтому склонна смотреть на вещи с анатомической точки зрения.) Это хороший вопрос.