Помоги проекту - поделись книгой:
Каждое отдельное событие, изложенное в отрывке, само по себе имеет небольшую, но значимую вероятность. Самая маленькая из них — это выпасть из самолета из-за несовершенства дверей. Пусть авиаинженеры фыркнут от негодования, но, наверное, один-два подобных случая за историю авиации были.
Остаться живым при свободном падении?.. Насколько мне не изменяет память, такие происшествия также фигурируют в истории воздухоплавания.
Встретиться случайно с пропавшей без вести любимой супругой? Что ж, и такое событие не исключено.
В отрывке же все эти крайне маловероятные события происходят одновременно. А вероятность сложного события, как мы знаем, равняется произведению составляющих его элементов. Значит, если вероятность каждого из событий одна миллионная (с этой вероятностью мы условились считаться), то вероятность нашего рассказа измеряется единицей, поделенной на единицу с восемнадцатью нулями. А это уж, простите, стопроцентная невозможность.
Разумный человек обычно делит события на правдоподобные и выдуманные без учета данных теории. В критических рецензиях писатели иногда обвиняются в том, что они не считаются с художественной правдой. Мы же часто убеждаемся, что нарушения художественной правды — это просто использование крайне невероятного сюжета, невероятного в самом что ни на есть математическом смысле этого слова.
А вот рассказ Ю. Нагибина «Перекур». Что же происходит в рассказе? А примерно то же, что и в моем рассказе, только без падения героя из самолета. Сорокапятилетний герой после двадцатилетнего перерыва понял, что по-настоящему он любил лишь один раз. Хотя любовь была всего лишь каких-то там двадцать лет назад, она вспыхнула вновь, и с пожаром в груди Климов едет в поезде на далекий полустанок, где протекал в свое время его юношеский роман. Приехал, сошел с поезда, зашагал через лес, а Маруся тут как тут. «Надо же было ей так точно рассчитать!» — пишет читатель Квашнин. Автор письма совершенно справедливо говорит: «Когда через двадцать лет герой выходит на полустанке и ровно в тот же час, минуту и секунду здесь же оказывается и героиня, читатель прищуривает глаза: хитро придумано — и перестает верить многому».
Примеров, подобных моему «сочинению» или вот этому рассказу Нагибина, нет числа. Авторов обвиняют в художественной неправде. А их стоит осуждать лишь за незнание теоремы умножения вероятностей. Они иногда оперируют несколькими маловероятными (но все же возможными) событиями и достигают сногсшибательного эффекта (а вместе с ним и отхода от художественной правды), заставляя эти события пересекаться.
Подобные приемы можно оправдать лишь в том случае, когда автор и не пытается убедить нас, что так было, а просто придумывает такие события, что у читателя дух захватывает. Прочитав подобную книгу, мы иногда говорим: «Бог мой, какая чушь, но до чего здорово закручено!» Блестящий пример такого произведения — «Сердца трех» Джека Лондона. Одна завязка что стоит, когда автор приводит в одно время и в одно место двух братьев и сестру, которые ничего не знают о связывающих их родственных узах.
«Но ведь и в шедеврах литературы случайности играют важную роль», — скажет читатель. Несомненно. Но это случайности, которые могут произойти; события, вероятность которых вполне значима. Скажем, у Л. Толстого раненый Болконский оказывается в хирургической палате рядом с Курагиным. Толстому нужна была эта встреча, чтобы показать душевный перелом князя Андрея. Вероятно ли это событие? Без сомнения. Офицерских палат вблизи поля боя было немного, а может быть, даже и одна. Вероятность очутиться в одной палате двум офицерам, грубо говоря, равняется вероятности быть раненными в один день. Если раненых офицеров в этот день был один процент, то вероятность попасть в один процент для каждого из них равняется 0,01, а обоих сразу — 0,0001; вполне разумное число, с которым надо считаться.
Нисколько не сомневаюсь, что Л. Толстой этих вычислений не производил. Но настоящий художник чувствует правду без расчетов.
Я далек от мысли писать инструкцию литераторам, как добиваться художественной правды в произведениях. Мне хотелось лишь подчеркнуть, что важным элементом жизненности произведений является приемлемое значение вероятности происходящих событий.
Пока использование невероятных пересечений приводит лишь к пустяковым результатам, вроде встречи потерявших друг друга влюбленных, то бог уж с ним: читатель развлечется, а то, что такого в жизни не бывает, он и сам знает. Лишний рассказ или роман такого рода вреда не принесет, хотя, конечно, и вкладом в литературу не будет.
Но в ряде случаев авторы используют пересечения сюжетных линий для того, чтобы подвести читателя к мысли, что происшедшее есть явление высшего порядка. Они прекрасно понимают, что если останутся в рамках законов природы, то сюжет их «не проходит». И, вместо того чтобы сказать «не проходит» — значит, нет такого, — намекают, что, мол, «по законам, конечно, „не проходит“, а вот у меня прошло, значит, не все подчиняется этим законам, есть что-то и сверх законов».
К счастью, откровенно религиозные или мистические произведения сейчас не в моде, и романов или рассказов, в которых чудесные явления преподносились бы на полном серьезе, в последнее время тоже нет.
Мы говорили о нарушении художественной правды из-за непонимания теоремы об умножении вероятностей, из-за отнесения события, вероятность которого практически равна нулю, к событиям возможным. Но более распространенным является другое заблуждение, а именно поиск детерминистского истолкования явлений, носящих случайный характер.
Можно с большой уверенностью утверждать, что есть категория людей, у которых не совсем правильные представления о случайности.
Человеческому разуму свойственно возвышенное объяснение случайным явлениям. Иногда можно услышать: «Попал, бедняга, под автомобиль. Значит, так ему на роду было написано». Встречаются суждения по поводу несчастного случая более глубокомысленные: «Человек был плохой. Мать родную из дому выгнал. Как жил плохо, так и кончил плохо». Во всем этом имеется в виду, что в жизни есть какая-то сила, способная мстить человеку за дурные его поступки. Религиозному человеку мораль подобного типа весьма близка. Рационалистически же мыслящему ясно, что никакого закономерного воздаяния со стороны судьбы, бога, рока и прочего не существует. Однако романам и повестям, подводящим читателей к мысли: «Что-то в этом есть!» или: «От судьбы не уйдешь!» — нет числа. За примерами ходить не приходится, но, чтобы не быть голословным, напомним про роман Макса Фриша «Homo Фабер», в котором герой был наказан за то, что во время фашизма он бросил свою жену-еврейку.
Судьба расправилась с героем основательно, хотя и неоригинально (было такое уже в древнегреческой литературе). Что же она сделала с этим трусливым немцем? А вот что. Ей угодно было, чтобы он спустя двадцать лет познакомился с молодой красивой девушкой и влюбился в эту девушку. Далее судьба разъяснила герою, что он согрешил со своей родной дочерью, которая родилась после того, как он сбежал от своей супруги, Герой был доведен до такой степени отчаяния, что покончил жизнь самоубийством.
В конце концов можно было рассказать сей драматический случай, изложив его под флагом «чего только в жизни не бывает». Правда, и в этом случае вряд ли роман можно было удостоить названия художественно правдивого, ибо случай уж очень редкий и нетипичный. Но все же это бы еще куда ни шло. Но Макс Фриш не для этого написал свой роман, а захотел встать в ряды авторов, заставляющих судьбу раздавать награды и шлепки в пропорции с делами героев. Позиция не заслуживает уважения. Ничем она не отличается от направленности сочинений откровенно религиозных авторов.
С моей точки зрения, любой писатель, который вмешивает «перст судьбы» в жизнь своих героев, никогда не может написать стоящую вещь. Разумеется, всегда проще командовать героями, если перипетии романа определяются тем, кто с кем «случайно» встретился, кто в какой момент догадался погибнуть или спастись… Легко навести героя на путь истинный, заставив его сломать ногу в то время, когда он направляется свершить прелюбодеяние или идет на рынок загнать налево продукцию своего завода. Гораздо труднее обосновать сюжет романа психологией героев и социальным фоном, на котором развиваются события. А только на этом пути рождаются стоящие художественные произведения.
Все попытки даже самых великих писателей, таких, как Л. Толстой, создать литературное произведение, в котором случайности были бы возведены в ранг предопределенностей судьбы, кончались крахом. Анна Каренина бросается под поезд вовсе не потому, что судьба наказывает ее за измену супругу. Вся ткань романа показывает, что такой конец естествен для Анны, что он возможен лишь потому, что Анна принадлежит к обществу именно с такой, а не иной моралью. Читателю ясно — будь Анна не Анной или принадлежи она не к российскому дворянству, а к другой среде, конец романа был бы иным, и отмщение не состоялось бы.
И одна из задач нашей книги, темой которой является вероятность, как раз и состоит в том, чтобы развенчать всяческую разновидность фатализма, предостеречь читателя от поисков обоснования событий там, где это обоснование невозможно, где события являются чисто случайными.
В своей очень интересной статье, посвященной мифотворчеству Томаса Манна, Станислав Лем показывает, что непонимание законов случая лежит в основе многих мифов. Лем приводит характерный пример. Жители одной африканской страны верят в то, что львы делятся на две категории: на львов, которые просто львы, и на львов, в которых переселились души умерших людей. Обыкновенные львы кушают людей, а львы с человеческой душой не питаются своими духовными родственниками.
Таким образом случайность изгоняется, и трапезы львов получают свое истолкование. К сожалению, миф не дает нам возможности заранее узнать, с каким львом мы имеем дело; его категория выясняется лишь после его обеда.
Понимание законов вероятности ставит все на свои места и является важнейшим оружием против мифов, против религии, против фатализма.
С одной стороны, нельзя и не надо искать объяснения случайным событиям, вероятность которых хотя и мала, но вполне разумна. Скажем, очень соблазнительно приписать всесильности материнской любви чудесное избавление от гибели ее ребенка. Ребенок играл под балконом, мать отозвала его, а через пять секунд от карниза оторвался огромный кусок штукатурки и упал на то самое место, где играло дитя. Так и хочется сказать, что «Сердце матери — вещун», или «Материнская любовь — большая сила», или «Бог не допустил гибели невинного младенчика» и так далее и тому подобное. Но происшедшее не нуждается в таких ремарках, ибо вероятность события вполне приемлема и иного объяснения не требует.
С другой — владение законами вероятности позволяет с уверенностью отнести определенный класс событий к невозможным. И если большое число случайных линий все же пересеклось, вероятность события ничтожно мала, а невозможное событие все же совершилось, то, значит, не «что-то в этом есть», а «что-то здесь не так!».
Математик спешит на свидание
— Ты не забыл, что завтра мы идем в консерваторию?
— Ну конечно, нет.
— Заедешь за мной?
— Дел невпроворот. Давай мне билет, я приду один.
— Вот так всегда. Опять подруги надо мной посмеются. Завела, скажут, кавалера, который с тобою и показаться не желает.
— Ну ладно, давай встретимся. Где?
— У входа в продуктовый, что поближе к Никитским воротам.
— Так это на другой стороне улицы.
— Конечно. Мне не хочется, чтобы видели, как я тебя жду.
— Неизвестно, кто кого будет ждать… Но знаешь, завтра мне и правда время рассчитать трудно. От 18:00 до 19:00 я буду на месте как штык, а точнее — не скажу.
— Выходит, я час тебя буду ждать?
— Я и говорю: встретимся на месте.
— Не хочу.
— Тогда предлагаю компромиссное решение. Оба приходим между 17:40 и 18:40. И ждем не более двадцати минут.
— А если ты придешь в 18:00, а я в 18:30?
— Значит, я буду уже в зале.
— Да так мы никогда не встретимся на улице.
— Вероятность встречи довольно значительная. Хочешь, подсчитаю?
— Да не берись за карандаш, горе ты мое. И надо было влюбиться в математика…
Я, конечно, был бы рад продолжить рассказ о радостях и горестях влюбленных математика и девушки, далекой от чисел и интегралов. Тут бездна интересных психологических моментов. Но увы! Тема книги вынуждает вернуться к «сухой» науке.
Как же действительно подсчитать вероятность встречи математика с его любимой? Мы уже выяснили, что вероятность — это отношение числа благоприятных случаев к общему числу событий. А здесь как быть? Ведь встреча может состояться или не состояться в любой момент часового интервала.
Благоприятным исходом рассматриваемой задачи является мгновение встречи. Но мгновений бесконечно много. Ведь часовой интервал я могу разбить на минуты, на секунды и даже на микросекунды. Значит, здесь бесконечное число исходов, а не два, как в опыте с монетой, и не шесть, как в опыте с кубиком (игральной костью). Как же определяются вероятности в задачах такого рода? Оказывается, геометрическим путем. А поскольку геометрия требует наглядности, нам придется прибегнуть к нехитрому рисунку.
Отложим по горизонтали время прибытия девушки на свидание. На вертикальной прямой отметим минуты появления нашего героя. Если бы не было условия — ждать не более двадцати минут, то встреча могла бы произойти в любой точке квадрата, обнимающего часовые ожидания. При наличии же дополнительного условия моменты встречи попадут в заштрихованную область. Пожалуйста, проверяйте.
Девушка пришла без двадцати шесть. Встреча состоится, если кавалер явится до шести. Этому соответствует первый отрезок.
Девушка пришла в 18:00. Встреча состоится, если кавалер явится от 17:40 до 18:20. Такой встречи соответствует второй отрезок, построенный на рисунке.
Если девушка пришла в 18:20, то встреча состоится при условии, если математик явится к продуктовому магазину между 18:00 часами и крайним сроком — 18:40. Вот вам третий отрезок.
Теперь еще одна точка, и заштрихованная область будет готова: девушка успела прибежать на свидание в 18:40. Она застанет своего возлюбленного, если он явился не раньше 18:20.
Что же дальше? Где же искомая вероятность? Нетрудно догадаться, что она будет равняться частному от деления площади заштрихованной области на площадь всего квадрата.
По сути дела, определение вероятности остается тем же — благоприятные варианты относятся ко всем возможным. Но если ранее мерой было число случаев, то теперь мерой является площадь на графике.
Два незаштрихованных треугольника образуют квадрат со стороной, соответствующей 40 минутам. Его площадь 402. Таким образом, искомую вероятность получим, поделив (3600–1600) на 3600. Итого 5/9.
Будем надеяться, что математик встретится со своей девушкой.
Применение теории вероятностей к событиям с непрерывным рядом исходов намного расширяет ее возможности.
Одной из исторически первых задач такого рода была проблема, поставленная и решенная французским естествоиспытателем XVIII века Бюффоном.
На большом листе бумаги начерчен ряд параллельных линий. Наобум бросается игла, длина которой много меньше расстояния между линиями на бумаге. Игла может пересечь одну из линий, а может очутиться и между линиями. Надо оценить вероятность того, что пересечение произойдет.
Предполагается, что центр иглы с равной вероятностью может попасть в любое место бумажного листа. Так же точно считается, что угол наклона иглы к начерченным линиям может принять какое угодно значение. Если игла попадет на середину между линиями, то она не пересечет линии, как бы она ни оказалась повернутой. Если же центр иглы очутился вблизи линии, то пересечение не произойдет, если игла установится параллельно линии или около того, и напротив, игла пересечет линию, если образует угол, близкий к прямому. Получается так: чем ближе к линии попадет центр иглы, тем больше вероятность ее пересечения.
Задача может быть решена без всякой математики. Попробуйте свои силы.
Треугольник Паскаля
Однажды я медленно шел по Парижу, разглядывал витрины магазинов и читал вывески. Цветастая надпись над входом грязновато-серого здания настойчиво приглашала зайти и попытать счастья. Я удивился, что игорный дом работает среди бела дня, — это не соответствовало сведениям, почерпнутым мною из классической литературы — и… я зашел. Взору представилась поразительная картина: десятки людей стояли лицом к стене, и перед каждым находился цветной ящик. Подойдя ближе, я увидел, что они либо нажимали кнопку, либо дергали за ручку, будто заводя заглохший лодочный мотор.
Через несколько минут я понял, в чем дело: люди играли с автоматами. Зрелище это неприятное, но великолепное поле для наблюдений психолога. Человек играет с судьбой. Один на один. Все побочные обстоятельства отсеяны. Нет ни соперничеств, ни личной неприязни, ни необходимости скрывать свои чувства.
Есть автоматы, у которых вы можете выиграть только конфетку или сигареты, есть такие, которые играют на деньги, и, наконец, существует возможность наслаждаться игрой безгранично, вступив в единоборство с автоматом, выигрыш у которого дает лишь право дальнейшей игры. Бессмысленно, не правда ли? Но вот так оно есть. Эти автоматы вы можете найти в любом баре, в любом кафе любого города Америки и Западной Европы.
В чем же состоит игра? В принципе она сводится к следующему. Выпускается на волю шарик, который под действием силы тяжести или щелчка пружины движется по доске, на которой установлены препятствия. От каждой преграды шарик может отскочить куда попало. Получив несколько десятков таких случайных щелчков, шарик добирается до дна ящика и успокаивается в каком-то положении.
В зависимости от формы преград и от того, как они установлены, разные места дна ящика будут достижимы в различной степени. Определив из многочисленных опытов значения вероятностей окончания путешествия шарика в том или ином конечном пункте, нетрудно построить правила игры, которые позволят автомату уверенно обыгрывать своего живого партнера.
В самой простой своей форме игровой автомат похож на так называемую доску Гальтона, которую используют в лекционных демонстрациях.
Прошу взглянуть на рисунок. В воронку насыпаются шарики. По очереди они мчатся вниз, отскакивают то вправо то влево от препятствий и наконец достигают ка — кой-то ячейки. В качестве препятствий можно брать шестиугольные бляшки или вбить в доску гвоздики. Для доски Гальтона разработана детальная теория. Мы попытаемся обойтись без нее и предположить, что от каждого гвоздика шарик с равной вероятностью может отскочить влево или вправо. Отклонение вправо и влево будет происходить совершенно по тем же законам, что и появление в рулетке красного и черного. На одну комбинацию лллллл… или пппппп… приходится множество комбинаций, состоящих из примерно равного числа отклонений влево и вправо. Поэтому чаще всего шарик будет попадать в среднюю пробирку и реже всего в самые крайние.
Можно провести большое число опытов, и каждый раз шарики будут распределяться примерно одинаково. Если усреднить результаты, то получим гладкую симметричную колоколообразную кривую, которая называется кривой Гаусса или кривой нормального распределения. Не кажется ли вам, читатель, странным, что какой-то кривой мы уделяем так много внимания. На небольшом клочке бумаги можно начертить сколько угодно самых разнообразных кривых, и никому не придет в голову присваивать им имена или названия. А наша этой чести удостаивается. Почему? Не имеет ли она какой-то математический признак, раз она заслужила специальное название. Несомненно. Сейчас мы поясним, в чем состоит ее математическая общность, только разрешите от реального опыта перейти к абстрактной схеме. И пожалуйста, имейте в виду, что так поступают всегда физики-теоретики, поэтому абстрагированием мы не нарушаем канонов науки.
Упрощение, которое мы введем, состоит в следующем: будем считать, что каждый столбик отличается от соседнего на единицу отклонений. Положим для конкретности, что доска состоит из 10 рядов препятствий. Будем считать, что шарик обязательно встречается с одним из препятствий каждого ряда и с равной вероятностью отскакивает вправо или влево, при этом отклонения происходят всегда на один интервал.
Тогда шарик, который попал в среднюю пробирку, отклонился 5 раз влево, 5 раз вправо. Следующая ячейка заполнена шариками, путь которых состоял из шести отклонений в одну сторону и четырех в другую. Далее идут пробирки, заполняющиеся шариками в соответствии с вариантами 7–3, 8–2, 9–1 и 10–0.
Вариант 5–5 осуществляется максимальным числом способов, 6–4 — уже несколько меньшим, 7–3 — еще меньшим…10–0 — самая редкая комбинация. Отсюда и характерный вид кривой, проходящей через вершины столбиков.
Высоты столбиков пропорциональны числу комбинаций, с помощью которых осуществляется тот или иной вариант. Об этом мы уже говорили (обратитесь, пожалуйста, к с. 16), рассматривая все возможные варианты серии из 5 игр в рулетку.
Надо было бы для ясности выписать все комбинации для серии из 10 опытов. Пожалуй, мы пойдем на большее. На следующей странице изображен так называемый треугольник Паскаля, с помощью которого можно определять числа комбинаций для любых рядов испытаний. Для того чтобы продолжить этот треугольник хоть до бесконечности, нужно лишь время и умение складывать. Даже таблицу умножения знать не обязательно, поскольку каждое число треугольника равно сумме двух чисел, а именно соседних левого и правого верхней строки.
В результате этих наипростейших арифметических операций мы получаем числа комбинаций левого и правого, красного и черного и вообще любых статистических «да» и «нет».
Как же пользоваться треугольником? Любая из его строк дает числа комбинаций для определенного числа элементов. На рисунке выделена пятая строка. Она отвечает на все вопросы, касающиеся рядов из пяти испытаний. Числам 1, 5, 10, 10, 5, 1 (мы помним их) пропорциональны вероятности появления красного цвета в пяти последовательных поворотах колеса рулетки 0 раз, 1 раз, 2 раза, 3 раза, 4 раза и 5 раз. Значение вероятностей мы получим, поделив каждое число треугольника Паскаля на общее число испытаний, которое равно сумме чисел строки.
Возвращаясь к доске Гальтона, мы можем сказать, что при десяти случайных встречах с препятствиями число шариков, которые попадут в крайние пробирки (все встречи привели к одним лишь левым или к одним лишь правым отклонениям), будет в среднем в 252 раза меньше числа шариков, попавших в средний приемник.
С гауссовой кривой приходится сталкиваться во всех областях знания. Универсальность ее объясняется очень просто: на нее укладываются вероятности отклонений от среднего во всех случаях, если только отклонения «вправо» и «влево» равновероятны. Если же отклонения от среднего невелики, как это бывает очень часто, то подобное требование осуществляется всегда. Сейчас мы продолжим знакомство с этой замечательной кривой, лежащей в основе любой статистики.
Случайные отклонения
Вкусы у людей, как известно, чрезвычайно разные. Одни сникают при взгляде на длинные колонки цифр, на графики с ниспадающими и вздымающимися вверх ломаными и плавными кривыми, на масштабные столбики, высота которых описывает все, что угодно, — урожаи, рост, потребление водки или посещаемость театров. У других же, и их немало, глаза загораются при взгляде на это богатство информации. Жадно рыщут они взглядом вдоль цифровых столбцов, просматривают графики и приходят к интересным и важным выводам в области экономики страны, понимания человеческого характера или еще в чем-нибудь. Люди эти — статистики, нужное и важное племя работников, значительный отряд министерств и ведомств.
Задачи статистики (так называются не только люди, но и область деятельности) разнообразны и обширны. На десятках тысяч библиографических карточек приведены данные о промышленном производстве, о народном образовании, о смертности населения, о функционировании поликлиник и больниц, об автомобильных катастрофах, о посещаемости кинофильмов и бог весть еще о чем. Статистиков интересуют самые разные вещи: динамика роста тех или иных показателей, сопоставление данных по значению какого-либо параметра в разные времена года, или в разные часы дня, или среди мужчин и женщин, или среди лиц разного возраста.
Особое место занимают в статистике измерения
Один из скучных рисунков, фигурирующих в сочинениях по статистике, нам придется привести. Мы долго ломали голову над тем, как сделать это масштабное построение более приемлемым в книге серии «Эврика». Результат творчества изображен на странице 77. Рисунок показывает диаграмму и кривую, которая носит название кривой статистического распределения.
Чтобы рисунок лучше рассмотреть, поверните, пожалуйста, книжку на 90 градусов. Правда, новобранцы очутились в лежачем положении. Но, ей-богу, ничего более толкового не придумаешь. Теперь (в повернутом положении) высота кривой показывает число будущих солдат определенного роста. Величины роста нанесены на уровне носа. Выбран конкретный пример измерения роста 1375 ребят. Столбики — это результат измерения, а плавная линия — наиболее близкая к опыту — гауссова кривая.
Поделиться книгой: