Апология математики (сборник статей)

Вот характерный пример бессмысленного высказывания: «Рассмотрим совокупность всех слов, имеющих хотя бы одну общую букву». Это заявление бессмысленно, поскольку такой совокупности не существует. В самом деле, «рот» и «сыр» имеют общую букву «р» и потому должны принадлежать этой совокупности. Слово «око» должно принадлежать этой совокупности, поскольку имеет общую букву со словом «рот», и не должно ей принадлежать, поскольку не имеет общих букв со словом «сыр».

Мы потому назвали пример характерным, что подобные псевдоконструкции, ничего на самом деле не конструирующие, были довольно типичны для литературы по языкознанию несколько десятилетий назад. Возникало даже парадоксальное удовлетворение, когда некоторое утверждение можно было квалифицировать всего лишь как ложное. Чувство удовлетворения возникало потому, что ложность утверждения свидетельствовала о его осмысленности.

Преподавателю-математику, ведущему диалог со студентом-гуманитарием, зачастую приходится просить студента вдуматься в то, что тот только что сказал, и затем спрашивать, понимает ли студент, чтó сказал. Не столь уж редко честные студенты, поразмыслив, в некоторой растерянности признаются, что не понимают.

Когда знаменитого педиатра доктора Спока спросили, с какого возраста следует воспитывать ребёнка, он, узнав, что ребёнку полтора месяца, ответил: «Вы уже опоздали на полтора месяца». Не следует ли способность отличать осмысленное от бессмысленного и истинное от ложного неназойливо прививать уже с начальных классов школы? И не является ли это главным в школьном преподавании?

Надо сказать, что квалификация высказывания как ложного, бессмысленного или непонятного, как правило, требует некоторого усилия – иногда почти героического. Как же так, уважаемый человек что-то говорит или пишет, а ты осмеливаешься его не понимать или, поняв, возражать? Не все и не всегда способны на такое усилие.

XVI

Способность к усилию, о котором только что говорилось, вырабатывается (во всяком случае должна вырабатываться) на уроках математики и при общении с математиками. Дело в том, что математика – наука по природе своей демократическая. На её уроках воспитывается (а при косвенном воздействии – прививается) демократизм.

Внешние формы такого демократизма произвели большое впечатление на автора этих строк в его первые студенческие годы, когда в конце 1940-х гг. он стал обучаться на знаменитом мехмате – механико-математическом факультете Московского университета. Если почтенный академик обнаруживал, что выступающий вслед за ним студент собирается стереть с доски им, академиком, написанное, он с извинениями вскакивал с места и стирал с доски сам. Для профессора мехмата было естественно самому написать и вывесить объявление, но не для профессора гуманитарного факультета.

Эти внешние проявления косвенно отражают глубинные различия. Ведь математическая истина не зависит от того, кто её произносит – академик или школьник. При этом академик может оказаться неправ, а школьник – прав.

Реакция Колмогорова на третьекурсника, опровергнувшего его на лекции, была такова: он пригласил студента к себе на дачу, там покатался с ним на лыжах, накормил обедом и взял себе в ученики.

С горечью приходится признать, что подобный демократизм имеет свои издержки, на что указывает Андрей Анатольевич Зализняк:

Мне хотелось бы высказаться в защиту двух простейших идей, которые прежде считались очевидными и даже просто банальными, а теперь звучат очень немодно.

1. Истина существует, и целью науки является её поиск.

2. В любом обсуждаемом вопросе профессионал (если он действительно профессионал, а не просто носитель казённых титулов) в нормальном случае более прав, чем дилетант.

Им противостоят положения, ныне гораздо более модные:

1. Истины не существует, существует лишь множество мнений (или, говоря языком постмодернизма, множество текстов).

2. По любому вопросу ничьё мнение не весит больше, чем мнение кого-то иного. Девочка-пятиклассница имеет мнение, что Дарвин неправ, и хороший тон состоит в том, чтобы подавать этот факт как серьёзный вызов биологической науке[19].

Чем наука дальше от математики, чем она, так сказать, гуманитарнее, тем сильнее убедительность того или иного высказывания начинает зависеть от авторитета высказывающего лица. На гуманитарных факультетах подобная персонализация истины ещё недавно ощущалась довольно сильно. «Это верно, потому что сказано имяреком» или даже «Это верно, потому что сказано мною» – такие категорические заявления, высказанные в явной или чаще неявной форме, не столь уж редки в гуманитарных науках. (И имярек в первой фразе, и первое лицо во второй фразе обычно относились как раз к одному из тех «носителей казённых титулов», о которых говорит Зализняк.)

В естественных науках и в математике подобные заявления невозможны. Впрочем, в тоталитарном обществе принцип верховенства мнения того, кто на должность авторитета назначен властью, применялся с печальными последствиями и к естественным наукам – достаточно вспомнить лысенковщину. Проживи Сталин дольше, возможно, изменению подверглась бы и таблица умножения. Предпринимались же попытки отменить теорию относительности.

Нет в математике и «царского пути». Здесь я ссылаюсь на известную историю, то ли подлинную, то ли вымышленную, которую одни рассказывают про великого математика Архимеда и сиракузского царя Гиерона, другие про великого математика Евклида и египетского царя Птолемея.

Царь изъявил желание изучить геометрию и обратился с этой целью к математику. Математик взялся его обучать. Царь выразил недовольство тем, что его учат совершенно так же, в той же последовательности, как и всех других, не принимая во внимание его царский статус, каковой особый статус, по мнению царя, предполагал и особый способ обучения. На что математик, по преданию, ответил: «Нет царского пути в геометрии».

Эпилог

Первоначальный вариант этого очерка был напечатан в 2007 г. в декабрьском номере журнала «Знамя». Даже самые доброжелательные критики не могли не предъявить автору упрёка в односторонности. Хотя и чувствуется, говорили они, что автор желает примирить «физиков» и «лириков» на основе презумпции равенства сторон, но на деле из этого ничего не получилось. Сколь бы благими ни были намерения автора, декларируемое им преодоление барьера вылилось в агрессию математики: математическое проламывает барьер и, вторгшись на территорию гуманитарного, начинает устанавливать там свои порядки.

Такое положение вещей автору определённо не нравилось и, главное, не отвечало его замыслу. Автор стал размышлять, почему так сложилось. Результатами своих размышлений он и хотел бы поделиться с читателем в эпилоге.

Дело в том, что слова «математик» и «гуманитарий» употребляются в тексте в двух значениях или смыслах. Эти смыслы не указаны явно, но при желании легко извлекаются из контекста. Первое (прямое, терминологическое) значение подразумевает математика и гуманитария как носителей определенных профессий, второе (переносное, бытовое) – как обладателей характерного для этих профессий склада мышления. В своём переносном значении слова «математик» и «гуманитарий» имеют значительной больший объём, поскольку первое слово включает в себя уже не только профессиональных математиков, но и просто людей с математически ориентированными мозгами; а второе распространяется почти на всех остальных представителей человеческого рода.

Каждая из двух трактовок – и строгая, и расширительная – намечает своё направление преодоления барьера. Иными словами, выбор трактовки определяет, с какой стороны происходит или должно происходить преодоление: математическое влияет на гуманитарное, его математизируя, или же, напротив, гуманитарное влияет на математическое, его гуманизируя.

Математик в широком смысле этого слова вряд ли поможет широко понимаемому гуманитарию, но вот как профессионал профессионалу может помочь. Только не следует понимать это в вульгарном смысле: мол, математик – это ментор, который с высоты своего величия подаёт гуманитарию непрошеные советы. Говоря здесь о математике, мы скорее имеем в виду абстрактную персонификацию математического. Математическое же может проявляться в разных формах, в том числе и в виде реального лица, в пессимальном случае действительно, увы, ментора, а в случае оптимальном – доброжелательного критика, обращающего внимание гуманитарного исследователя на неясности, нелогичности или неточности. Наилучший результат математического влияния, к коему надлежит стремиться, состоит в усвоении гуманитарием дисциплины мышления, о которой шла речь в настоящем очерке, в пестовании им некоего «внутреннего математика», математического начала в своём мозгу. (Теоретически дисциплина мышления должна вырабатываться на уроках математики в школе, практически же этого не происходит, поскольку математика редко когда преподаётся интересно, да и вообще преподаётся не та математика, которой следовало бы обучать школьников.)

Гуманитарий же, напротив, вряд ли поможет математику в его профессиональной деятельности, но способен прямо или косвенно приобщить его к общепринятым нормам выстраивания и интерпретации синтаксических конструкций. Например, тем, которые требуют учитывать контекст («предлагаемые обстоятельства», как сказал бы Станиславский) и предписывают купить не десять батонов, а десять яиц. А также к нормам словоупотребления: например, употребления слова «неподалёку».

Возможно, слово «норма», даже с эпитетом «общепринятая», здесь слишком узко. Потому что, скажем, рекомендации по составлению инструкций вряд ли поддаются жесткой регламентации, предполагаемой термином «норма». Ведь одна из главных рекомендаций состоит в том, что текст инструкции должен быть лёгок для понимания, а именно этой лёгкости была лишена электоральная инструкция, о которой мы говорили выше. Безупречная с точки зрения синтаксиса и семантики, а потому полностью устраивающая математиков (в широком смысле слова), она оказалась, как выявила практика, трудна для понимания гуманитариями (опять-таки в широком смысле слова), а значит, неудачна. Лингвист сказал бы, что текст инструкции неудовлетворителен с точки зрения прагматики.

И ещё одно немаловажное обстоятельство. Нисколько не умаляя роли школы (роли, впрочем, не реальной, а желательной) и прочих общественных институтов, заметим, что влияние математического на гуманитарное главным образом опосредуется через личность математика-человека. Такое положение вещей не может не поставить его в незавидное положение высокомерного ментора, каковым он не является. Напротив, основная форма влияния гуманитарного на математическое деперсонализирована и не выглядит как личное влияние какого-то гуманитария. Влияние гуманитарного на математическое выражается в мощном давлении среды при условии, что среда эта, в широком смысле преимущественно гуманитарная, сумеет победить желание математика от неё отгородиться.

Апология математики, или О математике как части духовной культуры

Мира восторг беспредельныйСердцу певучему дан.Александр Блок. Роза и крест

Наука умеет много гитик.

Ключ к карточному фокусу

Глава 1

Ватсон против Холмса

«Человек отличается от свиньи, в частности, тем, что ему иногда хочется поднять голову и посмотреть на звёзды». Это изречение принадлежит Виктору Амбарцумяну (в 1961–1964 гг. президенту Международного астрономического союза). А почти за 200 лет до него на ту же тему высказался Иммануил Кант, который поставил звёздное небо по силе производимого впечатления на один уровень с пребывающим внутри человека – и прежде всего внутри самого Канта – нравственным законом. Эти высказывания объявляют усеянное звёздами небо частью общечеловеческой духовной культуры, более того, частью, обязательной для всякого человека. Трудно представить индивидуума, не впечатлявшегося видами неба. Впрочем, воспоминания переносят меня в осень 1947 г., на лекцию по астрономии для студентов первого курса механико-математического факультета МГУ. Лекцию читает профессор Куликов. Он делает нам назидание. «В прошлом веке профессор Киевского университета Митрофан Хандриков, – говорит он, – на экзамене спросил студента, каков видимый размер Луны во время полнолуния, и в ответ услышал, что студент не может этого знать, поскольку никогда не видал Луны»[20].

Приведённые выше высказывания о роли звёздного неба в духовной культуре человека декларируют если не прямо, то косвенно, принадлежность к ней сведений об устройстве небесного свода. Неотъемлемой частью человеческого знания является то или иное представление об этом устройстве, хотя бы и признаваемое в наши дни совершенно фантастическим, как, например, такое: «А Земля – это только лишь плесень в перевёрнутой неба корзине; звёзды – это свет другого мира, к нам просвечивающий сквозь дно корзины, сквозь бесчисленные маленькие дыры, не затёртые небесной глиной». Человек, вовсе не имеющий представления об устройстве мироздания, признаётся выпадающим из культуры. Вспомним, как изумился доктор Ватсон, когда вскоре после вселения в знаменитый дом 221b по Бейкер-стрит узнал: Холмс понятия не имеет, что Земля вертится вокруг Солнца. И даже полагает это знание совершенно излишним. «Ну хорошо, пусть, как вы говорите, мы вращаемся вокруг Солнца, – возражал Холмс. – А если бы я узнал, что мы вращаемся вокруг Луны, много бы это помогло мне или моей работе?» Вот здесь очень важный момент. Холмс признаёт нужным только то знание, которое может быть использовано в практических целях. Ватсон считает – и, очевидно, исходит из того, что читатели его записок разделяют эту точку зрения, – что некоторые знания обязательны независимо от того, имеют они практическое применение или нет. При всём уважении к великому сыщику, согласимся с доктором.

Итак, есть определённый объём непрактических знаний, обязательный для всякого культурного человека[21] (выражение «культурный человек» в силу расхожести и затрёпанности отдает дурновкусием, но ради ясности изложения приходится его употреблять). Мы полагаем, что в этот объём входят и некоторые математические представления, не нашедшие утилитарного использования. Это не только факты, но также понятия и методы оперирования с ними.

Роль математики в современной материальной культуре, как и роль её элементарных разделов в повседневном быту, достаточно известна, так что на ней можно не останавливаться. В этом очерке мы собираемся говорить о математике как о части культуры духовной.

Математические идеи способны вызывать эмоции, сравнимые с теми, что вызывают литературные произведения, музыка, архитектура. К сожалению, косные методы преподавания математики редко позволяют ощутить её эстетическую сторону, доступную, хотя бы отчасти, не только математикам. Математиками же эта сторона ощущается с полной ясностью. Вот что писал выдающийся математик, учитель великого Колмогорова Николай Николаевич Лузин (1883–1950): «Математики изумляются гармонии чисел и геометрических форм. Они приходят в трепет, когда новое открытие открывает им неожиданные перспективы. И та радость, которую они переживают, разве это не есть радость эстетического порядка, хотя обычные чувства зрения и слуха здесь не участвуют. ‹…› Математик изучает свою науку вовсе не потому, что она полезна. Он изучает её потому, что она прекрасна. ‹…› Я говорю о красоте более глубокой [чем та, которая поражает наши чувства. – В. У.], проистекающей из гармонии и согласованности воедино всех частей, которую один лишь чистый интеллект и сможет оценить. Именно эта гармония и даёт основу тем красочным видимостям, в которых купаются наши чувства. ‹…› Нужно ли ещё прибавлять, что в развитии этого чувства интеллектуальной красоты лежит залог всякого прогресса?»

Являясь (через Колмогорова) научным «внуком» Лузина, автор настоящего очерка с сочувствием относится к формуле «математика для математики», образованной по аналогии с известным слоганом «искусство для искусства». Однако всё не так просто. Следует огорчить поклонников чистого разума и утешить приверженцев практической пользы. Опыт развития математики убеждает, что самые, казалось бы, оторванные от практики её разделы рано или поздно находят важные применения. Всю первую половину XX в. математическая логика рассматривалась как наука, занятая исключительно проблемами логического обоснования математики, своего рода философский анклав в математике; в СССР борцы со всевозможными «-измами» ставили её под подозрение, и первая кафедра математической логики была открыта лишь в 1959 г. Сегодня математическая логика переплетена с теоретической информатикой (theoretical computer science) и служит для последней фундаментом. Теория чисел, одна из древнейших в математике, долгое время считалась чем-то вроде игры в бисер. Оказалось, что без этой теории немыслима современная криптография, равно как и другие важные направления, объединённые названием «защита информации». Специалисты по теоретической физике интересуются новейшими разработками алгебраической геометрии и даже такой абстрактной области, как теория категорий.

Применение математики в физике не ограничивается числовыми формулами и уравнениями. Её (математики) абстрактные конструкции позволяют лучше понять природу тех физических явлений, исследования которых составляют передовой край науки. Поясним сказанное с помощью исторической аналогии. Когда-то считалось, что Земля плоская. Ничего другого в то время просто не могло прийти в голову. Затем люди пришли к мысли о её шарообразности. Вряд ли эта мысль затеплилась бы в человеческом сознании, не обладай оно представлением о шаре. Точно так же долгое время считалось очевидным, что окружающее нас физическое пространство есть самое обычное трёхмерное евклидово пространство, известное из школьного курса геометрии. В этом были уверены все, включая тех, кто, не владея учёной терминологией, ведать не ведал, что это за «евклидово пространство» такое. (Вспомним мольеровского Журдена, не подозревавшего, что он говорит прозой.) И действительно, а как же может быть иначе? Первыми прониклись сомнением в XIX в. независимо друг от друга в России великий геометр Лобачевский, а в Германии – великий математик Гаусс и, возможно, юрист и математик Швейкарт[22]. Они первыми осознали не только существование неевклидовой геометрии как математического объекта, но и возможность неевклидового строения нашего мира (мы ещё коснёмся этой темы в главе 8). Лобачевского тогда никто не понял, кроме Гаусса, сам же Гаусс, предчувствуя непонимание, ни с кем не делился своим прозрением. Теория относительности подтвердила неевклидовость мироздания, предсказав искривление пространства под воздействием массивных тел, что, в свою очередь, было подтверждено наблюдаемым отклонением луча света вблизи таких объектов. Некоторые свойства пространства-времени оказались парадоксальными, другие остаются неизвестными. Вместе с тем познание этих свойств может оказаться жизненно важным для человечества. Математика предлагает уже готовые модели, позволяющие лучше понять подобные свойства, в особенности же свойства парадоксальные, противоречащие повседневному опыту. Более точно, в математике построены структуры, обладающие требуемыми свойствами.

В частности, математические модели позволяют понять два непривычных качества окружающего нас пространства – его признанную сообществом физиков кривизну и его возможную четырёхмерность (нельзя исключать, что измерений ещё больше). Говоря о четвёртом измерении, мы не имеем в виду время (которое иногда не без оснований так называют), а ведём речь об измерении в прямом, пространственно-геометрическом смысле. Не исключено, что в реальности[23] пространство, в котором мы живём, четырёхмерно (или даже имеет пять, шесть, а то и больше измерений), хотя непосредственному наблюдению, по крайней мере до сих пор, было доступно лишь его трёхмерное подпространство. Осознание подлинной размерности пространства (оставим в стороне вопрос о смысле слова «подлинный») может оказаться важным для познания мира. Представим себе двумерную поверхность (например, плоскость или сферу), по которой ходит слон. Его следы на поверхности имеют вид пятен. Двумерным, не обладающим толщиной существам, живущим в (не на, а именно в!) поверхности, появление этих пятен покажется необъяснимым. Наиболее проницательные двумерные мудрецы предположат наличие третьего измерения и передвигающегося в нём «слона». Возможно – всего лишь возможно! – некоторые явления в доступном нашим чувствам трёхмерном пространстве получат аналогичное объяснение на основе представлений о «четырёхмерном слоне», т. е. как следы процессов, развивающихся в четырёхмерном пространстве.

Здесь мы прикоснулись к важной философской, а точнее, гносеологической теме. Выше говорилось, что мысль о шарообразности Земли не возникла бы в человеческом сознании, если бы ещё раньше в нем не появилось представление о шаре. Само же это представление, в свою очередь, опиралось на повседневный опыт, а именно на наблюдение шарообразных тел природного происхождения (плодов и ягод, катимых скарабеями навозных шариков и т. п.). И когда человек задумался над формой Земли, ему оставалось лишь воспользоваться названным представлением. Иначе обстоит дело с попытками познать строение Вселенной. Повседневный опыт не даёт требуемых геометрических форм. Но хотя такими формами и не обладают предметы, доступные непосредственному созерцанию, оказалось, что этим формам отвечают уже обнаруженные математиками структуры. Поскольку указанные математические структуры точно описаны, при желании нетрудно понять, как в них реализуются предполагаемые свойства мироздания – даже те, которые кажутся парадоксальными. А тогда остаётся допустить, что геометрия реального мира хотя бы отчасти выглядит так, как геометрия этих структур. Таким образом, математика, не давая ответ на вопрос, как оно есть в реальном мире, помогает понять, как оно может быть, что не менее важно, ведь как оно есть, мы вряд ли когда-нибудь узнаем до конца. (Мы вернёмся к этой теме в главе 12.) И помощь, которую оказывает математика в познании мира, также следует вписать в перечень её практических приложений.

Как говорил один из самых крупных математиков XX в. Джон фон Нейман (1903–1957), «в конечном счёте современная математика находит применение. А ведь заранее и не скажешь, что так должно быть».

Нередко утверждают, что математику следует рассматривать как часть физики, поскольку она описывает внешний физический мир. Но с тем же успехом её можно считать частью психологии, поскольку изучаемые в ней абстракции суть явления нашего мышления, а значит, должны проходить по ведомству психологии. Взять, например, такое основное (и, может быть, самое главное) понятие математики, как понятие натурального числа, т. е. числа, являющегося одновременно и целым, и положительным (иногда к натуральным числам причисляют ещё и число ноль, для чего есть серьёзные основания). Ведь показать, скажем, число пять невозможно, можно только предъявить пять пальцев или пять иных предметов. Уже здесь не такая уж малая степень абстракции. Ещё более высокая степень абстракции в числе пять септиллионов: ясно, что предъявить столько предметов невозможно. И уж совсем высокая (и одновременно глубокая) абстракция заключена в понятии натурального числа вообще и натурального ряда как совокупности всех натуральных чисел. Здесь поле, которое психология только начала распахивать. Упоминавшийся уже Лузин, который был не только математиком, но и философом (и даже его избрание в 1929 г. в Академию наук СССР произошло «по кафедре философии»), так высказывался на эту тему: «По-видимому, натуральный ряд чисел не представляет собой абсолютно объективного образования. По-видимому, он представляет собой функцию головы того математика, который в данном случае говорит о натуральном ряде».

Тем не менее два математика на разных континентах приходят к одним и тем же выводам о свойствах натурального ряда чисел, хотя могут наблюдать числа никак не внешним зрением, а лишь зрением внутренним, мысленным. В этом труднообъяснимом единстве взглядов на идеальные сущности некоторые усматривают доказательство существования Бога. (Как пишет Ю. И. Манин, «мы [математики. – В. У.] изучаем идеи, с которыми можно обращаться так, как если бы они были реальными предметами»[24]. Весь вопрос в том, почему это возможно.)

Итак, мы отстаиваем два тезиса. Первый: математика – вне зависимости от того, находит ли она практическое использование, – принадлежит духовной культуре. Второй: отдельные разделы математики входят в общеобязательную часть этой культуры.

Задаваться же вопросом, что именно из математики, причём неприкладной, должно входить в общеобязательный культурный минимум, вряд ли стоит, потому что однозначного ответа на него не найти. Каждый должен определять этот минимум для себя. Задача общества – предоставить каждому индивидууму ту информацию о математических понятиях, идеях и методах, из которой можно было бы отобрать этот субъективный минимум. Вообще, приобретение знаний есть дело добровольное, и насилие тут неуместно. На ум приходит замечательное высказывание Сухарто (второго президента Индонезии – не путать с первым её президентом Сукарно): «В наше время чрезвычайно трудно заставить кого-либо сделать что-либо добровольно». Тем не менее дальше вам встретятся рекомендации о включении в математический минимум тех или иных знаний; это отнюдь не категорическое требование, а скорее, примеры и материал для дальнейшего обсуждения. Школьная программа по математике – слишком болезненная тема, чтобы её здесь затрагивать (хотя она не может не волновать, поскольку касается миллионов наших детей). Ограничусь тем, что скажу: хорошо бы в этой программе устранить перекос в сторону вычислений и уделить больше внимания качественным моментам, с вычислениями непосредственно не связанным.

Замечу в заключение, что математика составляет часть мировой культуры и благодаря своему этическому аспекту. Хотя существование такового может показаться странным, он есть. Математика не допускает лжи, т. е. ложных утверждений. Более того, математика требует, чтобы утверждения не просто провозглашались, но доказывались. Она учит задавать вопросы и требовать разъяснений, если ответ оказался тёмен. Она по природе демократична, её демократизм обусловлен характером математических истин. Их непреложность не зависит от того, кто их провозглашает – академик или школьник. Вот поучительный эпизод из жизни механико-математического факультета (знаменитого мехмата) Московского университета, относящийся к концу 1940-х гг. Великий Колмогоров читает специальный (т. е. необязательный) курс по теории меры. Он объявляет некоторую теорему и говорит, что, поскольку дальнейшее изложение на неё не опирается, он её доказывать не будет, а просит поверить на слово. Один из слушателей, третьекурсник, строит опровергающую конструкцию и в перерыве показывает её лектору. Вторую половину лекции Колмогоров начинает с изложения этой конструкции, а третьекурсника приглашает к себе на дачу, где производит в ученики.

Здесь прошу читателя остановиться и подумать, следует ли ему читать дальше. А помочь в этом раздумье способно мнение другого читателя, содержащееся в приложении к этой главе, которое помещено в конце очерка. Того, кто решит продолжить чтение, прошу прочесть (или перечесть) тот абзац предисловия, где говорится о точности и понятности.

Глава 2

Теорема Пифагора и теорема Ферма

Весьма и весьма поучительным, а потому достойным войти в «джентльменский набор» математических фактов нам представляется знание того, почему треугольник со сторонами 3, 4, 5 называют египетским. (Пусть даже нас упрекнут в непоследовательности, ведь раньше мы настойчиво подчёркивали, что в данном очерке речь пойдет о непрактических, неприкладных аспектах математики.) А всё дело в том, что древнеегипетским строителям пирамид нужен был простой и надёжный способ построения прямого угла. И вот как они это делали. Верёвку разбивали на 12 равных частей, пометив границы между соседними частями; концы верёвки соединяли. Затем три человека натягивали верёвку так, чтобы она образовала треугольник, причём расстояния между каждыми двумя людьми, натягивающими верёвку, составляли соответственно 3 части, 4 части и 5 частей. Получался прямоугольный треугольник с катетами в 3 и 4 части и гипотенузой в 5 частей. Естественно, прямым был угол между сторонами в 3 и 4 части. Как известно, древнеегипетских землемеров, которые, помимо измерения земельных участков, занимались построениями на местности, греческие писатели называли гарпедонаптами (что буквально означает «натягивающие верёвки»). Гарпедонапты занимали третье место в жреческой иерархии Древнего Египта.

Но почему треугольник со сторонами 3, 4, 5 окажется прямоугольным? Боюсь, пытаясь ответить на этот вопрос, большинство читателей сошлётся на теорему Пифагора: ведь три в квадрате плюс четыре в квадрате равно пяти в квадрате. Однако теорема Пифагора утверждает, что если треугольник прямоугольный, то сумма квадратов двух его сторон равна квадрату третьей. Здесь же используется теорема, обратная к теореме Пифагора: если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей, то тогда треугольник – прямоугольный. (Не уверен, что эта обратная теорема занимает должное место в школьной программе.)

В начале данной главы мы упоминали, что рискуем навлечь на себя упрек в непоследовательности, поскольку, обещав говорить о неутилитарном аспекте математики, сразу же перешли к её практическому применению. Однако эта непоследовательность кажущаяся, потому что описанное практическое приложение обратной теоремы Пифагора принадлежит далёкому прошлому. Едва ли кто-либо строит прямые углы указанным способом сегодня. Он переместился из мира практики в мир идей, подобно тому как многое из материальной культуры прошлого вошло в духовную культуру настоящего.

Тему египетского треугольника можно подразделить на три подтемы: прямой угол, треугольник и равенство 3² + 4² = 5². В каждой из этих подтем усматриваются элементы, относящиеся к тому, что автор этих строк понимает под общечеловеческой культурой. Подкрепим сказанное примерами.

Сперва о понятии «прямой угол». Оно может быть использовано для интеллектуального обогащения. Поставим такую задачу: объяснить, какой угол называется прямым, но не на визуальных примерах, а вербально, например по телефону. Вот решение. Попросите собеседника мысленно взять две жерди, соединить их крест-накрест и заметить, что в точке соединения сходятся четыре угла; если эти углы равны друг другу, каждый из них и называют прямым. «При чем тут духовная культура, если речь идёт о жердях?!» – возмутится критически настроенный читатель. Но суть здесь, конечно же, не в жердях, а в опыте вербального определения одних понятий через другие. Такой опыт поучителен и полезен, а возможно, что и необходим. Математика вообще удобный полигон для оттачивания искусства объяснения. Адресата объяснений следует при этом представлять себе тем внимающим афинскому софисту любопытным скифом, о котором писал Пушкин в послании «К вельможе». Объяснение признаётся успешным, если есть надежда, что любопытный скиф его поймёт. Кстати, если скиф окажется не только любопытным, но и глубокомысленным, он заявит, что ему непонятно, какие углы называются равными, а непонятно потому, что каждая сущность может быть равной только сама себе. И в этом мы согласны со скифом. Ведь когда говорят, скажем, о равенстве людей, то всегда прибавляют (хотя бы мысленно), в чем они равны. Вспомним, например, первую фразу 1-й статьи Всеобщей декларации прав человека: «Все люди рождаются свободными и равными в своём достоинстве и правах». Поэтому скиф вправе требовать разъяснений. Вербальные разъяснения здесь таковы: имеется в виду равенство угловых размеров углов, но поскольку неизвестно, что такое угловой размер, то равенство углов понимается как возможность их совпадения при перемещении. («А как же они могут совпасть, если все четыре расстояния от точки пересечения до конца жерди различны?» – не унимается скиф. Продолжить беседу с ним предоставляем читателю.)

Теперь – пример, относящийся к треугольникам. Речь пойдёт о триангуляции. Триангуляция – это сеть примыкающих друг к другу, наподобие паркетин, треугольников различного вида; при этом существенно, что примыкают лишь целые стороны, так что вершина одного треугольника не может лежать внутри стороны другого. Триангуляции сыграли важнейшую роль в определении расстояний на земной поверхности, а тем самым – и в определении фигуры Земли.

Потребность в измерении больших, в сотни километров, расстояний – как на суше, так и на море – появилась ещё в древние времена. Капитаны судов, как известно из детских книг, меряют расстояния числом выкуренных трубок. Близок к этому метод, применявшийся во II в. до н. э. знаменитым древнегреческим философом, математиком и астрономом Посидонием, учителем Цицерона: морские расстояния Посидоний измерял длительностью плавания (с учётом, разумеется, скорости судна). Но ещё раньше, в III в. до н. э., другой знаменитый древний грек, заведовавший Александрийской библиотекой математик и астроном Эратосфен, измерял сухопутные расстояния по скорости и времени движения торговых караванов. Можно предполагать, что именно так Эратосфен измерил расстояние между Александрией и Сиеной, которая сейчас называется Асуаном (если смотреть по современной карте, получается примерно 850 км). Это расстояние было для него чрезвычайно важным. Эратосфен хотел измерить длину меридиана и считал, что эти два египетских города лежат на одном и том же меридиане; хотя это в действительности не совсем так, но близко к истине. Найденное расстояние он принял за длину дуги меридиана. Соединив эту длину с наблюдением полуденных высот солнца над горизонтом в Александрии и Сиене, он далее путём изящных геометрических рассуждений вычислил длину всего меридиана и, как следствие, радиус земного шара.

Ещё в XVI в. расстояние (примерно 100 км) между Парижем и Амьеном определялось при помощи счёта оборотов колеса экипажа. Приблизительность результатов подобных измерений очевидна. Но уже в следующем столетии голландский математик, оптик и астроном Снеллиус изобрёл излагаемый ниже метод триангуляции и с его помощью в 1615–1617 гг. измерил дугу меридиана, имеющую угловой размер 1°11′30''.

Посмотрим, как триангуляция позволяет определять расстояния. Сперва выбирают какой-нибудь участок земной поверхности, включающий в себя оба пункта, расстояние между которыми хотят найти, и доступный для проведения измерительных работ на местности. Этот участок триангулируют, т. е. покрывают сетью треугольников, образующих триангуляцию. Затем выбирают один из треугольников триангуляции; будем называть его начальным. Далее выбирают одну из сторон начального треугольника. Она объявляется базой, и её длину тщательно измеряют. В вершинах начального треугольника строят вышки с таким расчётом, чтобы каждая была видна с других вышек. Поднявшись на вышку, расположенную в одной из вершин базы, измеряют угол, под которым видны две другие вышки. После этого поднимаются на вышку, расположенную в другой вершине базы, и делают то же самое. Так, путём непосредственного измерения получают сведения о длине одной из сторон начального треугольника (а именно о длине базы) и о величине прилегающих к ней углов. По формулам тригонометрии вычисляют длины двух других сторон этого треугольника. Каждую из них можно принять за новую базу, причём измерять её длину уже не требуется. Применяя ту же процедуру, можно теперь узнать длины сторон и углы любого из треугольников, примыкающих к начальному, и т. д. Важно осознать, что непосредственное измерение какого-либо расстояния проводят только один раз, а дальше уже измеряют только углы между направлениями на вышки, что несравненно легче и может быть сделано с высокой точностью. По завершении процесса оказываются установленными величины всех участвующих в триангуляции отрезков и углов. А это, в свою очередь, позволяет находить любые расстояния в пределах участка поверхности, покрытого триангуляцией.

В частности, именно так в XIX в. была найдена длина дуги меридиана от широты Северного Ледовитого океана (в районе Хáммерфеста на норвежском острове Квáлё) до широты Чёрного моря (в районе дельты Дуная). Она была составлена из длин 12 отдельных дуг. Процедура облегчалась тем, что для измерения длины дуги меридиана вовсе не требуется, чтобы составляющие дуги примыкали друг к другу концами; достаточно, чтобы концы соседних дуг находились на одной и той же широте. (Например, если нужно узнать расстояние между 70-й и 40-й параллелями, то можно на одном меридиане измерить расстояние между 70-й и 50-й параллелями, на другом меридиане – расстояние между 50-й и 40-й параллелями, а затем сложить полученные расстояния.) Общее число треугольников триангуляции равнялось 258, длина дуги оказалась равной 2800 км. Чтобы исключить неточности при измерениях неизбежные, а при вычислениях возможные, десять баз были подвергнуты непосредственному измерению на местности. Измерения проводились с 1816 по 1855 г., а результаты были изложены в двухтомнике «Дуга меридиана в 25°20′ между Дунаем и Ледовитым морем» (СПб., 1856–1861), принадлежащем перу замечательного российского астронома и геодезиста Василия Яковлевича Струве (1793–1864), осуществившего российскую часть измерений.

Формулы тригонометрии, упомянутые выше, входят в школьную программу. Подавляющему большинству после школы они никогда не понадобятся, их можно спокойно забыть. Знать – и не только знать, но и осознавать, понимать – надо следующее (и именно это должно входить в обязательный, на наш взгляд, интеллектуальный багаж): треугольник однозначно определяется заданием любой его стороны и прилегающих к ней углов, и этот очевидный факт может быть использован и реально использовался для измерения расстояний методом триангуляции. Если всё же кому-нибудь когда-нибудь и понадобятся формулы тригонометрии, их легко найти в справочниках. Учат ли в наших школах пользоваться справочниками? А ведь это умение несравненно полезнее, чем затверженные наизусть формулы.

Наконец, о равенстве 3² + 4² = 5². Если положительные числа a, b, c обладают тем свойством, что a² + b² = c², то, по обратной теореме Пифагора, они представляют собою длины сторон некоторого прямоугольного треугольника; если они к тому же суть числа целые, их называют пифагоровыми, а саму тройку (a, b, c) таких чисел – пифагоровой тройкой. Если будем последовательно умножать члены нашей «египетской» тройки (3, 4, 5) на 2, 3, 4, 5 и т. д., получим бесконечный ряд пифагоровых троек: (6, 8, 10); (9, 12, 15); (12, 16, 20); (15, 20, 25) и т. д. Но и количество «первичных» пифагоровых троек, не получающихся друг из друга умножением на число, также бесконечно; вот несколько примеров таких троек: (5, 12, 13); (8, 15, 17); (7, 24, 25); (20, 21, 29); (12, 35, 37); (9, 40, 41). Известен способ, позволяющий получить все пифагоровы тройки.

Возникает естественный вопрос: а что будет, если в соотношении, определяющем пифагоровы числа, заменить возведение в квадрат на возведение в куб, в четвёртую, пятую и более высокие степени? Можно ли привести пример таких целых положительных чисел a, b, c, чтобы выполнялось равенство a³ + b³ = c³, или равенство a4 + b4 = c4, или a5 + b5 = c5 и т. п.? Любую тройку целых положительных чисел, для которых выполняется одно из указанных равенств, условимся называть тройкой Ферма. Более точно, условимся называть тройкой Ферма для показателя n любую тройку целых положительных чисел a, b, c, для которой выполняется равенство an + bn = cn. Таким образом, пифагоровы тройки суть не что иное, как тройки Ферма для показателя 2. Итак, вопрос состоит в том, существует ли тройка Ферма для какого-либо показателя, большего двух.

Этим вопросом заинтересовался великий французский математик середины XVII в. Пьер Ферма (вообще-то, занятия математикой, а заодно и оптикой для него были хобби, служебные его обязанности состояли в заведовании отделом петиций тулузского парламента). Поиски требуемых примеров ни к чему не привели, и Ферма пришёл к убеждению, что их не существует. Утверждение о несуществовании троек Ферма принято называть Великой теоремой Ферма. Строго говоря, его следовало бы называть Великой гипотезой Ферма, поскольку автор утверждения не оставил нам его доказательства. Ферма оставил потомкам лишь две латинские фразы, написанные им около 1637 г. на полях изданной в 1621 г. в Париже на двух языках, греческом и латинском, «Арифметики» древнегреческого математика Диофанта. (Поля в книге были широкими, и Ферма делал на них заметки по ходу чтения.) И вот какие две фразы он, в частности, написал (приводим их в переводе): «Невозможно для куба быть записанным в виде суммы двух кубов, или для четвёртой степени быть записанной в виде суммы двух четвёртых степеней, или вообще для любого числа, которое есть степень больше двух, быть записанным в виде суммы двух таких же степеней. Я нашёл поистине удивительное доказательство этого предложения, но оно не уместится на полях [hanc marginis exiguitas non caperet (букв. скудость поля его не вмещает)]». В бумагах Ферма после его смерти было найдено лишь доказательство Великой теоремы для показателя 4, т. е. невозможности равенства a4 + b4 = c4 ни при каких целых положительных a, b, c (а в нашей терминологии – отсутствия троек Ферма для показателя 4).

Своих математических открытий Ферма никогда не публиковал, часть их, да и то, как правило (если не всегда), без доказательств, сообщалась им в личной переписке, а часть стала известной только после его смерти в 1665 г. К числу последних принадлежит и Великая теорема: в 1670 г. старший сын Пьера переиздал в Тулузе Диофантову «Арифметику», включив в издание и 48 примечаний, сделанных его отцом на полях. Так Великая теорема стала известна человечеству. Могла ли она не привлечь внимания ореолом романтической тайны, окружавшим её появление? Неочевидность наблюдения гения, соединённая с простотой и наглядностью, короткая запись на полях книги Диофанта, утверждение о наличии «поистине удивительного» доказательства, тщетность попыток обнаружить это доказательство… Всё это чем-то напоминало записку из бутылки, выловленной в океане, с точными, но частично размытыми водой указаниями о месте, где зарыт клад.

Лишь через 100 лет дело сдвинулось с мёртвой точки: в 1770 г. великий математик Эйлер доказал теорему Ферма (т. е. отсутствие троек Ферма) для показателя 3. Ещё через 55 лет было установлено отсутствие троек Ферма для показателя 5, затем, в 1839 г., – для показателя 7. Читатель, несомненно, обратит внимание и на медленность продвижения вперед, и на его ускорение. Но как бы ни убыстрялся прогресс, речь шла об отдельных показателях, тогда как Великая теорема в своём полном объёме провозглашала отсутствие троек Ферма для любого целочисленного показателя, начиная с трёх. Впрочем, с самого начала было очевидно, что если тройка Ферма найдётся для какого-то показателя kn, кратного числу n, то и для самого n найдётся тройка Ферма.

Действительно, если a, b, c служат тройкой Ферма для kn, то это значит, что akn + bkn = ckn, или (ak)n + (bk)n = (ck)n, так что тройка чисел ak, bk, ck служит тройкой Ферма для показателя n. Из полученных к 1839 г. результатов следовало поэтому, что Великая теорема доказана для бесконечных рядов чисел 3, 6, 9, 12, 15, 18, …; 4, 8, 12, 16, 20, 24, …; 5, 10, 15, 20, 25, 30, …; 7, 14, 21, 35, 42, 49, ….

Задача доказать гипотезу Ферма составила содержание проблемы Ферма. В XIX – начале ХХ в. несколько выдающихся исследователей внесли свой вклад в изучение этой проблемы. Из них мы выделим двух немецких математиков – Куммера и Линдемана.

Эрнст Эдуард Куммер (Ernst Eduard Kummer, 1810–1893), создатель алгебраической теории чисел, начал заниматься проблемой Ферма в 1837 г. Он впервые предложил некие общие методы, позволившие ему, в частности, доказать теорему Ферма для всех показателей в пределах первой сотни, а стало быть, как мы знаем, и для всех показателей, делящихся на какое-нибудь число в пределах первой сотни. А главное, он проложил дорогу для дальнейших исследований.

Среди учеников Фердинанда Линдемана (Carl Louis Ferdinand von Lindemann,1852–1939) были и великий математик Давид Гильберт, и великий геометр Герман Минковский (создатель геометрической теории чисел и той четырёхмерной геометрической модели, которая легла в основу теории относительности). Сам Линдеман совершил одно из величайших открытий в истории математики – доказал, что проблема квадратуры круга, о которой мы расскажем в главе 5, не имеет решения. Но Линдемана мы назвали здесь по совсем иной причине, нежели Куммера. Дело в том, что у него была жена. Ей оказалось недостаточно той всемирной славы, которую принесло мужу его открытие (вспомним «Сказку о рыбаке и рыбке»), и она заставляла его доказывать Великую теорему Ферма. Он страдал, но вынужден был подчиняться. Результатом были недостойные такого замечательного математика публикации с ошибочными доказательствами. Последнее из них относится к 1907 г., а его 66-страничная публикация состоялась в 1908 г. (читатель вскоре поймёт, зачем нам нужны эти даты). Вот уж точно «Не корысти ради, а токмо волею пославшей мя жены», как говаривал в погоне за 12 стульями окарикатуренный Ильфом и Петровым несчастный иерей Фёдор Иванович Востриков. («Бывают странные сближения»[25].) Корыстный мотив возникнет хотя и близко по времени, но всё же позже.

Вскоре в среде математиков появилось ощущение, что доказать теорему Ферма невозможно. (Предпринимались даже попытки эту невозможность обосновать.) Заниматься этой проблемой среди профессионалов сделалось почти так же неприлично, как изобретать вечный двигатель. Я ещё помню, как, поступив в 1947 г. на мехмат, почувствовал это разлитое в воздухе ощущение. (Впрочем, ходили слухи, что, не афишируя того, проблемой Ферма всерьёз занимается Александр Осипович Гельфонд, один из крупнейших мировых специалистов по теории чисел и один из очень немногих советских математиков, удостоенных статьи в Британской энциклопедии[26].)

И раз уже профессионалы заниматься проблемой Ферма не желали, в назидание (или в наказание) им за неё взялись дилетанты – так называемые ферматисты.

Всё началось с того, что Пауль Вольфскель (Paul Friedrich Wolfskehl), родившийся 30 июня 1856 г. в Дармштадте в состоятельной и образованной семье, в 1880 г. заметил у себя симптомы рассеянного склероза. Для истории теоремы Ферма это имело два последствия. Во-первых, Вольфскель, в том году получивший в Гейдельберге степень доктора медицины, понял, что практикующего врача из него не выйдет, поскольку в недалёком будущем он окажется прикован к инвалидному креслу-каталке. Поэтому он перешёл от занятий медициной к занятиям математикой, которой вскоре весьма увлёкся. Он изучал математику в Бонне и Берлине, где слушал лекции того самого знаменитого Куммера (сам читал какие-то лекции, опубликовал несколько математических статей). Но главным увлечением его сделалась теорема Ферма. Говорят, чтение работы Куммера, ей посвящённой, в последний момент спасло Вольфскеля от самоубийства, совершить каковое он намеревался из-за неудач на любовном фронте и безуспешных попыток доказать Великую теорему. Как бы то ни было, именно занятия проблемой Ферма скрасили последние годы жизни Вольфскеля, к тому времени почти полностью парализованного. Итак, первым следствием болезни стало увлечение проблемой Ферма. А вторым – решение родственников, обеспокоенных прогрессирующей неподвижностью Пауля, подыскать наконец ему жену. (Вот уже второй раз в истории долгой осады проблемы Ферма возникает тема жены. Возникнет и в третий.) Предполагалось, что жена будет присматривать за больным. В супруги ему подобрали 53-летнюю старую деву. Брак был заключён 12 октября 1903 г. Родственники крупно просчитались: новобрачная оказалась… как бы это помягче сказать? Короче, она оказалась сущей ведьмой и сумела превратить жизнь мужа в подлинный ад. Поэтому в январе 1905 г. он изменил свою последнюю волю, завещав значительную часть состояния, а именно 100 тысяч марок, научному обществу в Гёттингене для награждения того, кто первым докажет Великую теорему Ферма[27].

Пауль Вольфскель умер 13 сентября 1906 г. А 27 июня 1908 г. Королевское научное общество в Гёттингене (Königliche Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen) обнародовало условия конкурса (из девяти пунктов), считавшегося с того дня открытым. Они были затем опубликованы в нескольких научных журналах. Современный читатель отыщет их в увлекательной и доступной самой широкой аудитории книге Саймона Сингха «Великая теорема Ферма»[28]. Из них мы приведём лишь пятое и девятое:

5. Премия присуждается Обществом не ранее чем через два года после опубликования мемуара, удостоенного премии.

9. Если премия не будет присуждена до 13 сентября 2007 г., в дальнейшем заявки приему не подлежат.

Слух о более чем внушительной награде вскоре широко распространился и привёл к последствиям, которых никто не ожидал. В первый же год поступила 621 (!) рукопись с «решениями». Ведь в пятой статье положения о премии речь идёт лишь об окончательном решении присудить, а самоё рукопись каждый автор стремился прислать как можно раньше, чтобы застолбить свой приоритет. Ещё в 1997 г. ежемесячно приходило в среднем четыре рукописи. Несчастные аспиранты и ассистенты Института математики должны были читать каждую рукопись, комментировать ошибки (потому что рукописей без ошибок не встречалось) и отвечать автору. Автор не сдавался, писал вновь и вновь, посылал новые варианты, исправления, исправления к исправлениям. Рекорд поставил претендент, отправивший в Гёттинген более 60 заявок.

Так возникла эта особая разновидность людей – ферматисты. Не принадлежа к числу математиков и не обладая должным (а часто вовсе никаким) математическим образованием, они свято убеждены в том, что им удалось доказать теорему Ферма, и навязывают своё ложное доказательство чуть не силой. Спорить с ферматистами бесполезно, разубедить их невозможно. Как правило, они рассылают свои сочинения сразу по нескольким адресам. Например, после 1908 г. значительное число их адресовали свои сочинения Королевскому обществу наук в Берлине, доказав тем самым, что в первую очередь ими руководила не корысть. Премия Вольфскеля призвана была не столько указать новый способ заработать (хотя и это тоже), сколько привлечь внимание к знаменитой проблеме, которая оставалась нерешённой, хотя и имела простую для понимания формулировку. Действительно, проблему Ферма можно объяснить школьнику младших классов. Это вам не проблема Пуанкаре, которую мы попытаемся растолковать в главах 9–11: всякое компактное односвязное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере. (Может статься, миру была бы явлена новая общность людей – пуанкаристы, если бы достаточное число вдохновенных любителей не сочли за труд вникнуть в проблему Пуанкаре. Впрочем, это маловероятно. Сумевший до конца выучить и уразуметь все необходимые определения, скорее всего, приобретёт вместе с ними и способность отличать правильные рассуждения от неправильных.) По своей формулировке проблема Ферма ощутимо проще даже тех очень простых нерешённых проблем теории чисел, о которых пойдёт речь в следующей главе (поскольку не использует представления о бесконечности). Внешне она напоминает школьную задачу на решение уравнений. Вот эта обманчивая простота и сделала её привлекательной для широкого круга желающих «срубить деньжат по-лёгкому» да при этом ещё и прославиться.

Феномен ферматизма представляет интерес для специалистов той относительно новой междисциплинарной области исследований, которая зовется социальной психиатрией. Нечто подобное наблюдается сейчас в России: люди, не имеющие лингвистического образования, не осознающие подлинных механизмов развития языка и подлинной сложности связанных с этим проблем, берутся эти проблемы решать и приходят к несокрушимому убеждению, что они их решили. Проводимые при этом лжеобоснования противоречат не только принятым в науке взглядам (которые в отдельных частях, возможно, и неверны), но и просто здравому смыслу. Термина для этого историко-филологического аналога ферматизма пока ещё не придумано.

Что же движет ферматистами? Как уже отмечалось, материальный интерес, по нашему мнению, здесь на вторых ролях (хотя именно 100 тысяч марок Вольфскеля породили само явление ферматизма). На первом плане стоит желание славы, а для начала – хотя бы признания. Признания ферматисты, естественно, не получили. Хуже того, заваленные рукописями математические кафедры ряда крупных западных университетов перешли в глухую оборону – стали заворачивать любые доказательства Великой теоремы Ферма, прилагая к ним стандартное письмо с указанием, что доказательство будет рассмотрено только после получения денежного залога. А известный гёттингенский профессор Эдмунд Ландау (избранный в 1932 г. иностранным почётным членом Академии наук СССР) даже изобрёл специальный бланк, который поручал заполнять аспирантам: «Дорогой сэр (Дорогая мадам)! Мы получили Ваше доказательство Великой теоремы Ферма. Первая ошибка допущена на странице …, строка …».

Мне наблюдать одного из ферматистов довелось в студенческие годы. (Скептически настроенный читатель может попенять автору за то, что слишком далеко отошёл от заявленной темы – места математики в общечеловеческой духовной культуре. И будет неправ. И ферматизм являет собой часть человеческой культуры, но не материальной же, а значит, духовной.) Произошло это в 1950 г. (или около того) в Москве. Я заглянул в редакцию на Большой Калужской улице (сейчас это начало Ленинского проспекта). Следом вошёл другой посетитель и попросил разрешения позвонить по телефону – в те годы вход в офисы ещё не стерегли ни охранники, ни кодовые замки. Посетитель был живописен: худой, длинноволосый, в руках сетчатая авоська, а в ней – скрипка. (Как мне потом расскажут знающие люди, он зарабатывал на жизнь, играя на скрипке на палубе речных теплоходов. А ещё позже я узнал его фамилию – Добрецов. Оказалось, что как ферматист он был довольно известен.) Я стал свидетелем того, как он сделал два звонка. Первый: «Это Московский университет? Попросите, пожалуйста, к телефону ректора. Ах, ректор занят и не может подойти? Дело в том, что я посылал на его имя ценное письмо с решением проблемы Ферма и хотел бы узнать результат. Ну хорошо, я позвоню позже». Второй звонок: «Это Академия наук? Попросите, пожалуйста, к телефону президента. Ах, президент занят и не может подойти? Дело в том, что я посылал на его имя ценное письмо с решением проблемы Ферма и хотел бы узнать результат. Ну хорошо, я позвоню позже». Позвонив, он вежливо благодарит и удаляется.

Отнюдь не все советские ферматисты были столь безобидны. Часто, не найдя поддержки, они писали жалобы в управлявший нашей страной так называемый директивный орган – ЦК КПСС. В жалобе указывалось, что имеется возможность показать Западу кузькину мать и в очередной раз продемонстрировать всему миру приоритет советской науки, предъявив решение знаменитой проблемы, а нехорошие люди чинят этому препятствия. К жалобе прилагалась рукопись. А иной раз всё ограничивалось посылкой рукописи. В любом случае ЦК переправлял её тому же ректору Московского университета или тому же президенту Академии наук. А далее она, украшенная грозными резолюциями, спускалась вниз, на кафедру или в отдел. Теперь уже отмахнуться от неё было невозможно и приходилось разбираться в заведомо ложном доказательстве, отыскивая в нём ошибку. Когда-то я прикинул, сколько времени профессиональные математики вынуждены тратить на переписку с ферматистами (переписку бесплодную, поскольку истинного ферматиста переубедить невозможно), – прикинул и ужаснулся.

Сейчас в ЦК КПРФ не пишут – находят новые адреса. Но общий тон безграмотной и агрессивной риторики сохраняется. Вот, например, что я прочел на интернет-сайте «Независимой газеты» (http://www.ng.ru/ng_politics/2008-02-05/23_theorema.html):

Теоремой – по ракетам!

Об абстрактной математике Ньютона и универсальной математике Ферма

2008 02 05

Еще немного – и все сотрудники «НГ» будут вполне сносно разбираться в математических джунглях Великой теоремы Ферма. По крайней мере саратовец Николай Андреев[29] к этому стремится, неустанно пытаясь объяснить главному редактору газеты, а заодно и всем её сотрудникам причину недолётов отечественных ракет, которую усматривает именно в неспособности учёного мира оценить суть его собственного доказательства загадочной формулы. А чтобы не быть голословным, наш уважаемый читатель прислал в редакцию всевозможные ответы из самых различных ведомств, включая Госдуму и Минобороны. И поскольку ни в одном из ответных писем доказательная база автора явно не опровергается, мы приводим дополнительные аргументы Андреева в пользу теоремы Ферма. Ибо судьба российских ракет и снарядов нам тоже небезразлична.

И далее на сайте (а может, и в самой «Независимой газете») приведено письмо Андреева главному редактору. Мы помещаем это письмо ниже, пометив сделанные нами купюры угловыми скобками.

Видимо, действительно учёные математики моим направлением доказательства великой теоремы в рамках дифференциального исчисления, опубликованной в «НГ» 20.11.2007 г., оказались застигнутыми врасплох ‹…› Учёные математики, консервативно следуя ньютоновской математике, не проявляют интерес к универсальной математике Ферма с новым исчислением, представленным им за 35 лет до ньютоновской математики. Если бы высшая математика развивалась по Ферма, то, наверное, за 340 лет можно было достичь большего в прикладных науках. ‹…› Может быть, тогда спускаемые космические аппараты умели обнаруживать в радиусе не в десятках км от заданной точки приземления, а в значительно меньшем радиусе.

Возможно, что учёные стремятся не допустить обсуждения интересной темы о концептуальных направлениях развития высшей математики по той причине, что такое обсуждение может привести к разоблачению специалистов Российской академии ракетных и артиллерийских наук и других специалистов в области внешней баллистики. ‹…› В результате чего реактивные снаряды «Смерч» и «Ураган» могут не долететь на 10 км и более. ‹…› Подтверждается не только нежелание ученых РАН и Роснауки заниматься научными вопросами, но и их безразличие к предотвращению огромного ущерба, причиняемого государству, и к безопасности стрельбы реактивными снарядами, которые могут не долететь на 10 км и обрушиться на свои войска.

В сравнительно редких случаях ферматисту удавалось опубликовать свой труд. (Это сейчас за счёт автора можно опубликовать что угодно, а в советское время даже светокопировальные аппараты находились под строжайшим контролем, что уж говорить об издательствах и типографиях.) В частности, это удалось Виктолию Будкину. В 1975 г. расположенное в Ярославле Верхне-Волжское книжное издательство выпустило пятитысячным тиражом его брошюру «Методика познания "истины". Доказательство Великой теоремы Ферма». Написанное в ней на с. 45 весьма типично для самосознания ферматиста: «Итак, сменилось 13 поколений людей, а Великая теорема Ферма осталась ещё недоказанной. Только в настоящей работе впервые приводится полное доказательство теоремы в общем виде». Полагаю, читатель понимает, что никакого доказательства на самом деле не было.

Мы уже говорили, что формулировка Великой теоремы доступна школьникам младших классов. Одним из таких школьников был английский мальчик Эндрю Уайлс (Andrew John Wiles), родившийся 11 апреля 1953 г. в Кембридже в семье либерального теолога. В Кембридже он и жил, там же ходил в школу и там же, будучи школьником, познакомился с теоремой Ферма. Это случилось в 1963 г. Через 30 лет он расскажет Саймону Сингху, чья книга упоминалась выше, о своём ощущении от этого знакомства: «Она выглядела такой простой, и всё же великие умы в истории математики не смогли доказать её. Передо мной была проблема, понятная мне, десятилетнему мальчику, и я почувствовал, что с того самого момента никогда не смогу от неё отступиться. Я должен был решить её». И он её решил. Шестого октября 1994 г., в день рождения своей жены, он преподнёс ей подарок, который она хотела получить больше всего, – рукопись с доказательством теоремы Ферма. Но тому предшествовали драматические обстоятельства, с большой экспрессией изложенные в книге Сингха.

Систематическую работу над проблемой Ферма Уайлс начал поздней весной 1986 г., держа свои занятия в тайне от всех, кроме жены, да и её он посвятил в них не сразу. Он забросил все дела, кроме необходимых повседневных, и семь лет углублённо и конспиративно занимался проблемой. Использовал самые современные методы и математические теоремы, связывающие теорему Ферма с алгебраической геометрией, а именно с теорией алгебраических кривых. Наконец Уайлс пришёл к убеждению, что доказал теорему Ферма. В январе 1993 г. при запертых на ключ дверях он поделился этим убеждением с коллегой по Принстонскому университету Ником Катцем (Nicholas Michael Katz). В конце мая Уайлс сообщил о том, что доказал Великую теорему Ферма, жене.

Публично же основные идеи доказательства были изложены им в трёх лекциях, состоявшихся 21, 22 и 23 июня 1993 г. в Институте имени Ньютона Кембриджского университета. (Чтобы учёные споры и размышления не прекращались ни на минуту, доски в этом институте висят даже в лифтах и санузлах.) Успех был феноменальным. Потрясающая новость немедленно облетела весь математический (да и не только математический) мир. Уайлс сразу стал звездой первой величины. Комиссия в Гёттингене была немедленно оповещена о решении проблемы. Мир с нетерпением ожидал публикации текста с изложением полного доказательства. (Напомним, что премия Вольфскеля могла быть выплачена лишь по прошествии двух лет после публикации.)

Однако публикация явно затягивалась. Впоследствии выяснилось, что Уайлс послал 200-страничный текст в журнал Inventiones Mathematicae, где ввиду экстраординарности события работу отдали на отзыв сразу шести рецензентам – рекордное число. Каждый отвечал за свою часть статьи. Одним из рецензентов был упомянутый Катц (привлёкший ещё и седьмого рецензента). Он и обнаружил в своей части пробел в доказательстве. Редакция и рецензенты тщательно скрывали этот факт: была надежда, что автор залатает прореху. Математический мир был взбудоражен неопределёнными слухами. В конце концов, 4 декабря 1993 г. Уайлс был вынужден признать возникшие трудности, но обещал вскоре их преодолеть. Был ли он сам уверен, что сумеет это сделать? Неизвестно. К тому же теперь он не мог вести свои исследования в тайне, каждый встречный норовил спросить: «Ну как?», – что отнюдь не помогало в работе. В январе 1994 г. Уайлс призвал на помощь своего ученика Ричарда Тэйлора (Richard Lawrence Taylor), кстати, одного из шести рецензентов. Начались интенсивные обсуждения, но окончательное решение ускользало. К тому же в начале апреля появилось сообщение, что теорема Ферма опровергнута: для гигантского показателя, большего чем 1020, найдена тройка Ферма. Все пребывали в шоке и унынии, пока не выяснилось, что это первоапрельская шутка.

Всё же дискуссии с Тэйлором начали давать плоды. Как пишет сам Уайлс, 19 сентября 1994 г. на него снизошло озарение, и он понял, что теперь теорема Ферма действительно доказана. В мае 1995 г. в 141-м томе журнала Annals of Mathematics были опубликованы две статьи подряд, одна за другой. Первой, на с. 443–551, шла статья Уайлса «Модулярные эллиптические кривые и Великая теорема Ферма» («Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem»), поступившая в редакцию 14 октября 1994 г., а сразу за ней, на с. 553–572, совместная статья Уайлса и Тэйлора «Теоретико-кольцевые свойства некоторых алгебр Гекке» («Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras»), полученная 7 октября 1994 г. В совокупности эти работы содержали полное доказательство Великой теоремы Ферма. Двадцать седьмого октября 1995 г. Уайлс был награждён призом Ферма (Prix Fermat) в Тулузе, а на следующий день посетил городок Бомон-де-Ломань (Beaumont-de-Lomagne), побывал в доме, где родился Ферма, и посетил его могилу, на надгробии которой высечена в виде формулы Великая теорема.

А премия Вольфскеля, как и предусматривалось условиями конкурса, была вручена лишь через два года после публикации – 27 июня 1997 г., в то же число этого месяца, когда 89 лет назад было объявлено о её учреждении. Уайлс получил награду уже от Гёттингенской академии наук (Akademie der Wissenschaften zu Göttingen), в каковую к тому времени было переименовано Королевское научное общество. За прошедшие годы премия значительно обесценилась и составила 75 тысяч немецких марок[30]. Уайлс удостоился и многих других премий и знаков признания, в частности рыцарского звания в 2000 г. (после чего он стал именоваться сэром Эндрю).

Казалось бы, после того как доказательство теоремы Ферма было не только найдено (в сентябре 1994 г.), но и опубликовано (в 1995 г.), а также признано мировой математической общественностью, ферматизму пришёл конец. И что же вы думаете? Ряды ферматистов хотя и поредели, но не изничтожились вовсе. Сведения о том, что Великая теорема доказана, дошли не до всех, ведь, повторяю, ферматисты не математики (хотя люди, имеющие техническое образование, часто считают себя таковыми). А многие из тех, до кого новость и дошла, продолжали искать какое-нибудь простое доказательство. В России ферматизм дал неожиданную вспышку в августе 2005 г. К «Новой газете» я питал уважение и – до того августа – доверие и не думал, что когда-либо выступлю её оппонентом; но приходится. Номер 61 от 22 августа 2005 г. открывался крупным и чуть ли не цветным заголовком «ЧЕЛОВЕЧЕСТВО МОЖЕТ РАССЛАБИТЬСЯ?». Далее сообщалось, что «омский академик Александр Ильин предложил простое доказательство знаменитой теоремы Ферма». Заместителю главного редактора газеты Олегу Никитовичу Хлебникову я пытался объяснить накануне, 21 августа, что если доктор технических наук Александр Иванович Ильин и является академиком, то академиком одной из десятков тех академий, кои как грибы после дождя выросли у нас в постсоветское время (одних только академий энергоинформационных наук две – Международная и Сибирская), но никак не членом Российской академии наук (РАН); попытки мои успеха не имели; Олег Никитович отвечал, что знает точно: Александр Иванович Ильин – член РАН. Более того, через неделю, в № 63 от 29 августа 2005 г., та же газета уведомила, что «академики Новиков и Никитин решение теоремы Ферма уже видели и ошибок в нём не нашли». Надо ли объяснять читателю, что г-да Новиков и Никитин (как, впрочем, и Ильин) не являлись не только членами РАН, но и математиками? Некоторое время сенсация сверкала на экранах телевизоров и на страницах различных газет, не говоря уже об интернете. Потом всё как-то тихо сошло на нет.

А в январе 2008 г. нижегородский профессор Г. М. Жислин прислал мне письмо, извещавшее: «К сожалению, не только в Ярославле было опубликовано "доказательство" теоремы Ферма. Недавно, в 2007 г., в Нижнем Новгороде Академией новых технологий выпущен межвузовский сборник "Новое в науке XXI века". В него вошла статья В. Б. Моторова и Э. А. Моторовой "О некоторых соотношениях между конечными суммами целочисленных степеней нецелочисленных аргументов", где "доказывается" ещё более общее, чем теорема Ферма, утверждение». В следующем письме профессор Жислин уточнил, что на с. 83 названной статьи выписано соотношение dm = gn – bn, которое, как утверждается, не может быть выполнено ни при каких положительных целочисленных значениях d, g, b, m и n, для которых n > 2, (n + 1) > m > 1; при m = n это утверждение превращается в теорему Ферма. Профессор любезно сообщил мне также, в чём состоит присутствующая в «доказательстве» элементарная ошибка. Внимательный читатель, несомненно, заметит, что очередное «доказательство» теоремы Ферма не обошлось без участия одной из институций, носящих гордое название академии. (А читатель въедливый не оставит без внимания то обстоятельство, что как издательство, опубликовавшее сочинение В. И. Будкина, так и то, что напечатало сборник со статьёй Моторовых, расположены на берегах одной и той же реки. С тех же берегов посылались и письма в «Независимую газету».)

В качестве завершения темы снова вернусь в 1950-е гг. Посетителя редакции на Большой Калужской мне довелось увидеть ещё один раз, теперь уже на третьем этаже дома 9 по Моховой улице, в канцелярии мехмата, на котором я тогда учился. Всё с той же скрипкой в авоське он вошёл в канцелярию, попросил лист бумаги и, примостившись у стола, стал писать. Не в силах сдержать любопытства, я заглянул ему через плечо. Каллиграфическим почерком он вывел: «Бывшего студента… императорского университета прошение…» (какого именно университета, не помню). Затем попросил указать ему специалиста по теории чисел. В качестве такового ему был назван заведующий кафедрой теории чисел член-корреспондент Гельфонд. В это время по коридору шёл член-корреспондент Гельфанд, к теории чисел отношения не имеющий. Услышав его фамилию, бывший студент императорского университета бросился к нему навстречу. Всем было известно, что Гельфанд – математик великий, но человек непредсказуемый и легко может нахамить. Я не стал дожидаться катастрофического столкновения двух тел и в страхе убежал.

Глава 3

Проблемы нерешённые и проблемы нерешимые

Проблема – это всегда требование что-то найти, указать, предъявить. Это «что-то» может иметь самую различную природу; этим «чем-то» может быть ответ на заданный вопрос, законопроект, доказательство теоремы, число (при решении уравнений), последовательность геометрических построений (при решении геометрических задач на построение). Опыт математики позволяет провести чёткую грань между проблемами нерешёнными и проблемами нерешимыми. Первые ждут своего решения, вторые же решения не имеют и иметь не могут, у них решения просто-напросто не существует. Вот одна из наиболее знаменитых нерешённых проблем: дать ответ на вопрос, есть ли жизнь на Марсе. А вот два простых примера нерешимой проблемы: указать целое число, квадрат которого равен 17; указать наибольшее целое число.

К числу нерешённых долгое время относилась проблема Ферма. В математике таких проблем много, но понять формулировки абсолютного большинства из них может лишь тот, кто получил специальное образование. Нерешённых проблем с простыми формулировками гораздо меньше. Из них наиболее известны, пожалуй, четыре обсуждаемые ниже проблемы теории чисел: две проблемы совершенных чисел и две – чисел простых. Теория чисел (в ортодоксальном понимании этого термина) занимается только положительными целыми числами. Поэтому только такие числа разумеются в данной главе под словом «число». Желание сделать текст понятным как можно более широкому кругу читателей побуждает нас для начала напомнить некоторые определения и факты, каковые теоретически должны быть известны из курса средней школы.

Напоминание: делимость, чётность и простота

Некоторые числа нацело делятся на другие. Предлагаем читателю дать по возможности строгую, недвусмысленную формулировку того, чтó это значит – число a делится на число b. Математик ответит так: говорят, что (вариант: по определению) число a делится на число b, если (вариант: коль скоро) существует такое число s, которое в произведении с числом b даёт число a:

a = b · s.

Например, 48 делится на 1, 2, 3, 16, 48 и ряд других чисел. Всякое число делится на единицу и на само себя (почему?). Выражение «a делится на b» имеет тот же смысл, что и «b является делителем числа a»; так что 1, 2, 3, 16, 48 и некоторые другие числа являются делителями числа 48. Ясно, что делитель не может быть больше того числа, делителем которого он является. Если a делится на b, а b делится на c, то и a делится на c. Попробуйте это доказать исходя из определения слова «делится». Никакие два соседних числа (т. е. n и n +1) не могут делиться на одно и то же число, кроме как на единицу (почему?). Числа, делящиеся на 2, называются чётными, все остальные – нечётными. В натуральном ряду 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,… нечётные и чётные числа чередуются друг с другом. Сумма любого количества чётных чисел есть чётное число (почему?). А вот при суммировании нечётных чисел чётность результата зависит от чётности количества слагаемых: если это количество чётно, то и сумма будет чётным числом, а если оно нечётно, то и сумма окажется нечётной (почему?).