Относительность: для старших школьников и младших студентов

Рис. 8. Фото Боинга 737 после столкновения с птицей, http://novostey.com/auto/news425847.html

Сложные движения

Задача 9. Может ли свободно движущееся тело, например, снаряд, «облететь» препятствие?

Ответ. Подобная ситуация реализуется в артиллерии, при движении снаряда по «навесной» криволинейной траектории, в частности при использовании мортир, минометов и подствольных гранатометов. Схема движения снаряда, поражающего скрытую цель, представлена на рис.8.

В рассматриваемом случае движение тела – сложное. Оно состоит из суперпозиции (сложения) двух движений – равномерного по горизонтали и ускоренного по вертикали. Однако следует заметить, что такое движение возможно лишь в вертикальной плоскости. По горизонтальной плоскости такие траектории осуществимы лишь при использовании дополнительной вынуждающей силы. В настоящее время разрабатываются «умные» пули, меняющие траекторию движения по заданной программе.

Рис.9. Штриховая линия – траектория движения снаряда.

Дорожно-транспортные иллюзии

Задача 10. Легковой автомобиль обгоняет грузовой и при этом «подрезает» его. Схема движения изображена на рис.9. Произойдет ли ДТП? Насколько будут серьезны последствия? Скорость легкового автомобиля v_легк = 70 км/час, грузового составляет v_груз = 60 км/час. Руль при обгоне был повернут на угол α = 30 градусов.

Решение. На рис.9а изображена схема движения автомобилей, как она выглядит для внешнего наблюдателя, например, для сотрудника ГИБДД. Объекты двигаются с большой скоростью по сходящимся траекториям и пересекающимся, представленным на рисунке пунктирными линиями. Однако пересечение линий еще не означает реального столкновения. Ведь к моменту, когда грузовик пересечет траекторию движения легковушки, она может уже проскочить вперед или, наоборот, отстать и пропустить грузового монстра.

Однозначное решение задачи осложняется тем, что двигаются сразу два тела. Задач значительно упростится, если одно из тел покоится. Оказывается, принцип относительности позволяет это сделать. Ведь движение – относительно. Применим один из стандартных приемов кинематики относительного движения. Перейдем к системе отсчета, связанной с легковым автомобилем. В этой системе легковая машина покоится, а движется только грузовик.

Рис.10. Обгон грузового автомобиля легковой машиной; а – схема движения для внешнего наблюдателя, б – векторное вычитание скоростей, в – картина столкновения в системе отсчета, связанной легковым автомобилем.

Чтобы выполнить такую операцию, необходимо прейти в такую систему отсчета, в которой из скоростей всех тел вычитается скорость автомобиля v_легк. Вычитание можно произвести графически, так, как изображено на рис. «в». Направление и величину новой скорости относительного движения можно найти, произведя векторное вычитание v_отн = v_груз – v_легк , изображенное на рис. 9б. В результате приходим к картине движения, представленной на схеме 9в. На нем легковушка покоится, а движется лишь грузовик. Видно, что новая, «относительная», траектория грузовика пересекает силуэт его соседа. Столкновение произойдет! Левая точка переднего бампера грузового должна ударить в заднюю часть правого крыла легкового автомобиля.

Проведенные математические вычисления можно заменить видеорегистратором или просто пассажиром, сидящим в легковой машине. Они бы зафиксировали, что если отвлечься от окружающих дорогу предметов, то будет казаться, что кабина легкового автомобиля и все его содержимое покоятся, а грузовик приближается сбоку, слегка отставая и «целясь» в корму.

Ответ. Легковой автомобиль ожидает существенный ремонт кузовной части, грузовик лишится фары.

Движется ли Солнце по небу?

Перейдем к следующей задаче. На рис.11 изображена фотография заходящего Солнца. А все-таки, что движется – Солнце, или Земля? Обсудим этот вопрос.

Рис.11. Бога Ра везут. Фото автора (И.Н. Сачкова)

Вопрос 11. Правильно ли говорить: «утром солнце встает, а вечером – уходит за горизонт»? Ведь известно, что это Земля вращается вокруг своей оси и движется вокруг Солнца? Решил ли Коперник этот вопрос окончательно?

Обсуждение. На рис.12 изображены портреты двух великих людей. Они оба были очень хорошими математиками и механиками. Но на поставленный выше вопрос они дали бы взаимоисключающие ответы. Первый из ученых – Клавдий Птолемей, живший в 100 –170 гг. и работавший в знаменитом Александрийском Мусейоне. Он создал теорию, согласно которой Солнце вращается вокруг Земли.

Второй – Николай Коперник, 1473-1543 гг., государственный деятель Германии и Польши. Согласно его теории огромная Земля движется, как кораблик, вокруг солнечного диска.

Рис.11. Портреты двух великих астрономов; сверху – Клавдий Птолемей, создавший теорию вращения Солнца и планет вокруг Земли; снизу – Николай Коперник, предложивший схему вращения Земли и ее движения вокруг Солнца

Так кто же прав?

Обсуждение проблемы мы сделаем попозже. Там имеются нюансы. Но принципиальный ответ можно сделать уже сейчас. Любое движение относительно, можно считать, что Земля покоится, а можно утверждать, что летит вокруг Солнца. Так говорит закон относительности. А закон всегда есть закон!

Речь идет о важнейшей проблеме 17-го столетия. Из-за ее трактовки церковь сожгла на костре Джордано Бруно, замучила и сделала инвалидом Галилея. Лишь заступничество тогдашнего государя, герцога Лоренцо Медичи, спасло жизнь великому ученому. Проблему иллюстрирует

рис. 1.12, на котором сопоставлены две схемы. На верхней из них Солнце и Луна вращаются вокруг неподвижной Земли. Эта модель называется «геоцентрической». Ее разработал и усовершенствовал великий ученый античности, Клавдий Птолемей примерно в 100 – 170 гг. На нижней части рисунка представлен и схема, согласно которой Земля вращается и вместе с Луной движется вокруг Солнца. Эту теорию представил. Николай Коперник.

С точки зрения принципа относительности движения – обе схемы равноправны. Однако имеется один дополнительный фактор, который влияет на признание теории истинной. Дело в том, что теории должны еще быть связаны с другими теориями так, чтобы не противоречить им. Ситуация подобна детской игре – собрать картинку из кусочков, «пазлов».

В частности, любое положение кинематики не должно противоречить ни одному положению динамики или теории сохранения энергии.

Теория Птолемея противоречит и теории гравитации, и динамике Ньютона, и законам сохранения момента вращения. Оказывается, что не может тяжелое Солнце вращаться вокруг легкой Земли. Ну и, конечно, полеты космических кораблей окончательно делают правым Коперника.

Существует еще несколько доказательств правильности теории вращения Земли. Они заключены в эффектах закручивания атмосферных и океанических течений. Кроме того, известна общая особенность: если река течет с севера на юг в северном полушарии, то ее правый берег – крутой, а левый – пологий. Однако эти особенности требуют отдельного рассмотрения и выходят за рамки настоящей брошюры.

Необходимо сделать некоторые оговорки. Мы не учли некоторые эффекты, связанные с возникновением движения по виражу.

Кроме того, Они связаны с действием второго закона Ньютона и особенностями действия закона сохранения энергии. Они выходят за рамки настоящей брошюры. Интересны также следующие вопросы будут обсуждаться позднее, в следующих разделах книги.

При рассмотрении представленного Следует сделать ряд Обсуждение ряда подобных вопросов вынесено в раздел «Семинары и самостоятельные решения».

Как эти факторы влияют на обсуждаемый эффект. Заметим попутно, что скорость вращения не зависит от размеров и массы автомобиля, поскольку эти величины не вошли в формулу для ω.

Помимо движения по виражу, опасное вращение автомобиля может инициироваться состоянием шин и столкновением с другим автомобилем. Иллюстрацией служат задачи, вынесенные на самостоятельное решение.

Задача1.7. На вращающейся платформе находятся три детали. Внезапно они теряют сцепление с опорой. Опишите дальнейшее движение деталей.

Решение. До потери сцепления все три детали совершают вращение вместе с платформой. Угловые скорости их вращений одинаковы. В то же время поступательные скорости центров деталей – различны. Скорость равна нулю для детали в центре диска и максимальна – для третьей детали.

Вывод: деталь 1 будет вращаться, а центр ее останется на месте. Детали 2 и 3 будут двигаться параллельно касательной к ободу, вращаясь против часовой стрелки. Траектории и длины перемещений отражены пунктирными линиями.

Можно показать также, что расстояния, на которые отбросит детали, характеризуются формулой: длина перемещения равна S = 2 π r t / T, где r – расстояние от центра детали до оси вращения, t – время полета детали, T – период вращения платформы.

Ответ. То есть, чем дальше от центра диска находится деталь, тем выше ее поступательная скорость. При этом скорость вращения – одинаковая, не зависит от радиуса.

Рис. 1.7. Поведение деталей на вращающемся диске до (а) и после (б) потери сцепления, пунктир – траектории центров тяжести

Попутно заметим, что эти принципы, кажущиеся теперь очевидными, привели к множеству трагедий на рубеже 16-го – 17-го веков. Дело в том, что тогда решался важнейший вопрос естествознания. «Что движется? Солнце вокруг Земли, или Земля вокруг Солнца?». В те времена за неудачный ответ на него вполне могли сжечь на костре. Дело в том, что в тогдашней кинематике речь шла фактически об устройстве Мира, об авторитете Библии. Но об этом поговорим попозже. Отметим лишь, что потребовалось почти сто лет, чтобы эти правила утвердились в умах ученых! Почему так долго? Решим ряд следующих задач, которые иллюстрируют некоторые странности действия этого простого принципа.

Драматическая история открытия закона относительности была описана неоднократно. этих вещей была , открытая обстоятельства начале 17-го века Галилео Галилеем. Положения теории относительности Галилея довольно просты для нас. Их можно выразить, в частности, следующими утверждениями.

На второй – в центре мироздания расположено Солнце, а Земля вращается вокруг своей оси с периодом одни сутки и одновременно движется вокруг Солнца с периодом один год. Луна имеет период обращения – месяц. Система называется «гелиоцентрическая».

Теория правильная – если она соединяется с другими теориями, подобно пазлу в детской игре. Два пазла должны соединиться так, чтобы совпали все выступы и впадины, а также рисунки обеих деталей должны переходить одна в другую. Так же и две теории должны согласовываться друг с другом. Например, кинематика и динамика должны образовывать единую науку. Движение тел должно объясняться действиями сил. Электротехника должна использовать закон Кулона. Например, электрический ток может «пробить» электрическую изоляцию именно благодаря действию закона Кулона, а не какой-то «волей» электрического тока. Пробой происходит, когда сила Кулона, действующая на носители тока, превысит строго определенное значение.

Механика образует пазл-структуру, содержащую отдельные детали – кинематику, динамику, законы сохранения, которые должны в своих выводах согласовываться и дополнять друг друга.

Можно, конечно, рассматривать в форме отдельных казусов движение тела с постоянной скоростью, ускоренное, замедленное, движение по кругу. Но истинная теория должна требовать объяснения этих видов движения с динамикой и другими видами механики.

Теории, основанные на том, что «просто знаю» называются параномальными. Они не привлекают

Конечно, можно знать, что летающие тарелки существуют, но использовать подобные знания при прокладке трасс самолетов – будет себе дороже.

Паранормальные теории – не соединяются с другими теориями-пазлами. Они существуют изолированно, «для красоты».

Вы имеете право опрыскивать святой водой свой самолет пред посадкой на него, но нельзя требовать от авиаконструкторов введения подобного обязательного правила.

Так было не всегда. Например, охотник каменного века знал, что стрела летит сначала прямо в цель, а потом падает на землю. При этом его теория полета стрелы не использовала ни закона всемирного тяготения, ни аэродинамики. Он просто знал, что если сделать так – будет то. А если иначе – другое. В настоящее время при стрельбе из пушки необходимо, чтобы кинематика полета снаряда

Поэтому во времена охотника каменного века можно было считать, что солнце утром встает, а вечером – уходит за горизонт. В наше время, при создании кинематики движения Солнца необходимо учитывать, что существуют другие науки, с которыми необходимо согласовывать теорию движения.

В следующей главе мы представим результаты опытов, которые прямо указывают, что именно Земля вращается, а не Солнце ходит по горизонту.

Вопрос. На рис.1.15 изображены две картины движения планет. Какая из них – более правильная? Как это доказать?

Ответ 1.13. Считается, что с точки зрения математического описания – они обе дают правильные предсказания положений планет и Солнца. За неимением места, переадресуем читателя к другим книгам.

Согласно теории Птолемея, в центре Мира находится Земля, а вокруг нее вращаются Луна, планеты, Солнце и сфера звезд (на рис. не показана). Небесные тела совершают очень сложные движения. Во-первых, вся система совершает оборот вокруг Земли в течении суток. Во-вторых, все они, за исключением звезд, совершают вращение по большим окружностям, которые он назвал деферентам. В-третьих, планеты Венера, Марс и другие двигаются по окружностям меньшего радиуса, называемыми эпициклами. Далее предусматривалось, что и эпициклы вращаются по своим эпициклам. Получался очень сложный механизм со множеством своеобразных шестеренок.

Теория Птолемея оказалась научной, то есть достаточно точной. Она использовалась мореплавателями для ориентации по солнцу и звездам более 1500 лет. Эта «геоцентрическая» модель Вселенной, в которой Земля покоилась, а небесные светила двигались, была закреплена в христианской религии. Особенность любого верования – незыблемость принятых догматов. В отличие от науки, религия не доказывает, а принимает принципы.

Правильность теории

Как известно, практика – критерий истины. Правильной можно считать такую теорию, которая

Парадокс относительности движения. Можно считать, что звезды и Солнце двигаются по небу.

Ответ. Согласно принципу относительности, оба утверждения правильны. Правда, имеется оговорка, обсуждаемая в следующей главе. Это возможно, если считать Землю инерциальной системой отсчета. Обратимся в следующей главе к рассмотрению эффектов, связанных с действием закон инерции и к его нарушениям.

Необъяснимое вечное движение нашего светила стало основой множества религий. Солнце называли Гелиосом – у греков, Аполлоном – у римлян, Ра – в древнем Египте. Фараон Египта был Сыном Солнца. Появление первой кинематики в Египте было вызвано необходимостью предсказать движение Солнца и звезд по небосклону. Зачем это оказалось нужным?

Оказывается, движение бога Солнца Ра по небу было очень важно для древних египтян. Жрецы открыли, что именно по воле бога Ра происходили разливы Нила, приходила засуха, менялись времена года. Поэтому первые ученые на земле, жрецы, создали первую кинематику – науку о движении Солнца и звезд по небосклону. Теперь грамотные люди говорили земледельцу, как поступать, чтобы не засохла взошедшая пшеница. Или не погибла при наводнении.

Рассмотрим проблему описания движения светил.

Рис. 1.12. Движение солнца по небосклону – реальность, или иллюзия?

Жрецы Египта объясняли смену дня и ночи тем, что бог Амон-Ра движется по небу на колеснице , рис.1.13. Днем она плывет по небесной реке с востока на запад, и солнце освещает землю. Обратный путь – с запада на восток – Ладья проделывает ночью: она плывет под землей через Загробный Мир, и солнце согревает своими лучами мумии, лежащие в саркофагах. На рассвете Ладья через пещеру в восточных скалах вновь выплывает на небосвод, и все повторяется сызнова.

Рис.1.13. Ладья Ра; виньетка из папируса; http://www.wands.ru/txt/lnk_002r.html

Для описания движения Солнца и его положений в небе зимой и летом, жрецы создали Календарь – одно из первых научных учений. Эту теорию можно считать научной, потому что она правильно предсказывала времена года. Календарь дал тогдашним ученым людям невиданное могущество. Они могли сказать, когда нужно бросить семя в землю, чтобы не умереть с голоду!

В этом и состояло одно из главных достижений египетской науки. Жрецы определили, что год длится 365 дней. Каждый год они разделили на три сезона. Первый, равный нашим четырем месяцам, назывался «ахет» (что в переводе с языка древних египтян означает «наводнение»). Он совпадал с разливом Нила. В то время, которое теперь протекает с июля по октябрь, река затопляла берега. Следующий сезон, длившийся тоже около четырёх наших месяцев, назывался «перет» (появление суши). Вода спадала, увлажнив землю и удобрив её илом; сезон начинался севом и заканчивался сбором урожая. С марта со стороны Сахары начинал дуть иссушающий ветер, и наступал последний сезон года, «шему» (отсутствие воды). Таким образом был создан КАЛЕНДАРЬ – одно из великих открытий человечества.

Следует отметить, что создание этого Календаря было делом очень сложным, потребовало сотен лет. При этом жрецы догадались, что звезды вращаются вокруг Земли с периодом 365 дней, а Солнце, в свою очередь, перемещается относительно этой Звездной сферы. И хотя звезд днем не было видно, но жрецы знали, в каком созвездии «гостит» Солнце, в созвездии Козерога, Водолея или других. Таким образом, течение года означало движение Солнца мимо невидимых в этот момент созвездий, рис. 1.14.

Кроме астрономии и Календаря, жрецы предложили и еще одну науку, астрологию. Они сделали вывод, что поскольку движение Солнца и звезд так сильно влияет на великую реку Нил, то уж на жизнь ничтожных отдельных людей – подавно должно влиять. Жизнь людей запутана и противоречива. Хорошее и плохое – перемешано. Удача и неудача столь же относительны, как явление движения. Поэтому астрология и сохранила свое влияние до наших дней.

Решим попутно задачу, описывающую невидимое движение Солнца.

Вопрос 1.12. В какое время года, зимой или летом, можно увидеть на небе созвездие Льва?

Ответ. Период времени «Лев» относится к лету. В это время Солнце проходит по этому созвездию. Следовательно, лишь зимой Солнце достаточно удалится от этого созвездия, и «Лев» можно увидеть ночью.

Рис.1.14. Годовое движение Солнца через созвездия