Теорема Белого Кота

x2 – 2x + 4 = 0

Вычисляем параметры: h = 1; v = 2

Мне лень опять рисовать, давайте сделаем построения мысленно.

1. откладываем h по оси OX

2. проводим перпендикуляр (все равно – вверх или вниз)

3. на перпендикуляре откладываем v

4. циркуль раздвигаем на размер h

5. проводим дугу окружности для получения пересечения с осью абсцисс

6. убеждаемся, что пересечения не произошло, т.к. радиус окружности h=1 меньше v = 2

Ясно, что уравнение x2 – 2x + 4 = 0 не имеет решения. (получен довольно простой метод определения решаемости уравнений).

---

Теорема

Теперь внимательнее посмотрим на многострадальное подкоренное выражение.

Согласно теореме Виета:

b = x₁ + x₂; c = x₁*x₂ (для ПКУ)

Отсюда под корнем будет:

Смотрите!

 (x₁+x₂)/2 - это среднее арифметическое.

А корень из произведения x₁ * x₂ - среднее геометрическое.

Теперь задачу Диофанта можно сформулировать по-другому:

 Дано: среднее арифметическое и геометрическое двух чисел.

  Найди эти числа.

В нете нашел графический метод вычисления среднегеометрического.

Рис. 3.

Сравните с рисунком 2 - полное соответствие, что совершенно естественно, т.к. это одна и та же задача только заданное и искомое поменялись местами, а от перемены мест рисунок не изменился.

В том же  неиссякаемом источнике нашел способ графического извлечения корня.

!Гениально просто!

a = 1; b - исследуемое число ..... в результате под корнем 1 * b

И из b извлекается корень!!!

Совместим рисунки 3 и 1. т.е вначале найдем корень квадратный из c , а затем корни квадратного уравнения x2 - 10x + 16 = 0.

Рис. 4.

Два средних встречаются под одним корнем - это 'жу-жу' неспроста.

Поискал, посмотрел. Вся сеть заполнена рефератами восьмиклассников о многообразии средних и о том, что они происходят от одной формулы:

Среднее степенное  -

Там же нашел вариант рисунка 3 в коем кроме арифметического и геометрического представлены: гармоническое и квадратичное средние, но выглядит это как-то неуклюже искусственно. И совсем по-другому, понятно и логично эти величины отображаются в трапеции:

Рис. 5.

ABCD - трапеция, AD = a, BC = b

(1) среднее гармоническое

проходит через точку пересечения диагоналей O

(2) среднее геометрическое

трапеция ALTD подобна трапеции LBCT

(3) среднее арифметическое

средняя линия трапеции (L - середина AB, T - середина CD)

(4) среднее квадратичное

линия равновесия (площадь AMND равна площади MBCN)

{на рисунке 5 кроме (1) линии нарисованы ОЧЕНЬ приблизительно }