Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни

Рис. 3.6. Вероятность приземления маслом вниз разных бутербродов с разными условиями в зависимости от высоты падения. Для каждой высоты проводилось 100 испытаний

Какая-то тенденция видна, но в глаза не бросается. При усреднении получается, что искомая вероятность от высоты стола почти не зависит и едва превышает 50 %. Можно ли доверять такому эксперименту? Опровергает ли он закон бутерброда? Может, мы недостаточно много бросали бутербродов — вон какие шумные получились данные![11] Увеличим число бросаний и посмотрим, что получится (рис. 3.7).

Рис. 3.7. Вероятность приземления маслом вниз разных бутербродов, посчитанная для большего числа испытаний (по 500 на каждую высоту)

Выбросов стало меньше, но еще отчетливее видно, что закон бутерброда какой-то невыразительный. Отклонения от 50 % не настолько значительны, чтобы стоило говорить о каком-то «законе». Что же, мы готовы его развенчать?

Метод Монте-Карло выглядит заманчиво простым: знай себе подставляй какие попало данные и смотри, что получается. Математика — честная штука: на какой попало вопрос она готова дать какой попало ответ. А вот имеет ли смысл этот ответ, сильно зависит от вопроса. Правильно ли мы проводили наши эксперименты?

Как правильно задавать вопрос природе?

Перед тем как приступать к экспериментам, не таким игрушечным, как у нас, а настоящим и дорогостоящим, использующим орбитальный спутник, ускоритель элементарных частиц или тысячу настоящих бутербродов с маслом, необходимо провести подготовительную работу. И один из мощных и красивых методов, позволяющих понять, как верно и оптимально провести эксперимент, — анализ размерностей задачи.

Механику бутерброда мы рассчитывали, пользуясь импульсами и силами — физическими величинами, которые, в свою очередь, связаны уравнениями аналитической механики. И вновь это не просто числа. В физике количественные величины, которые мы измеряем и подставляем в уравнения, не «умещаются» в поле чисел. Они оснащены дополнительной структурой, которая называется размерностью. Не все корректные математические выражения имеют смысл, если в них участвуют размерные величины. Скажем, нет смысла складывать скорость и массу, невозможно сравнить силу и расстояние. Однако можно рассмотреть произведение скорости и массы, получив новую размерную величину — количество движения, или импульс; можно возвести скорость в квадрат и поделить на расстояние, получив таким образом величину, имеющую размерность ускорения.

Анализ размерности и теория подобия родились давно. Со времен лорда Рэлея они используются в механике, электродинамике, астрофизике и космологии, позволяя с пугающей изящностью подходить к решению очень сложных задач. Однако исследования в этой области не завершены, и строгое определение структуры, образуемой количественными (размерными) величинами, было дано лишь в 2016 году испанским математиком Альваро Рапозо[12].

Ограничения, накладываемые размерностями на физические формулы, часто воспринимаются учениками и студентами как лишняя морока, за которой нужно следить. Но логически согласованные ограничения чрезвычайно полезны! Они отсеивают неверные выражения, позволяют «предвидеть» структуру решения физической задачи до ее детального разбора, это мощный инструмент при планировании и анализе экспериментальных данных.

Но вот что важно. Мы рассчитывали падение бутерброда в компьютерной программе, используя не размерные, а обыкновенные числа. Как можно «освободить» физическую величину от размерности и превратить в число? Для этого предназначены хорошо нам знакомые единицы измерения физических величин: все эти метры, фунты, минуты и ньютоны. Единицы измерения берут на себя размерную часть величины, оставляя нам множитель — вещественное число, с которым уже может иметь дело вычислительная машина. Например, скорость в выбранном направлении величиной 72 км/ч можно представить числом 72. Но тут есть тонкость: от выбора единиц измерения зависит числовое представление. При других единицах (скажем, метрах и секундах) эта же скорость будет представлена другим числом: 20. Числа разные, но величина одна, и она не зависит от конкретных единиц.

Возникает вопрос: существует ли в каком-либо смысле «самая лучшая» система единиц? Оказывается, да, но для каждой задачи она своя. При решении нужно использовать в качестве единиц измерения размерные величины, входящие в задачу.

В этой главе у нас летают бутерброды, в предыдущей — монетки. Приведем еще один пример из области полетов. Как сравнивать летные качества различных птиц? Понятно, что скорости, которые развивают птицы, различны: у голубя — 90 км/ч, у стрижа — 140 км/ч, у журавля, воробья или кряквы — 50 км/ч, у колибри — 80 км/ч. Но все эти птицы существенно различаются по размерам и манере полета. Если длину попугая измерять в попугаях, а время — в периодах взмаха его крыльев, можно получить некую, как говорят, собственную скорость попугая. Можно скорости, которые способны развивать эти птицы, разделить на собственные значения и получить безразмерную скорость, показывающую, на сколько длин корпуса может переместиться птица за один взмах крыльев. Вот что получается при таком сравнении.

Видно, что стриж по праву считается лучшим летуном, а вот колибри неэффективно расходует энергию. Впрочем, у этой птицы нет задачи лететь долго, как у голубя. Одинаковые абсолютные скорости журавля, воробья и утки существенно разнятся при переводе в безразмерные величины. Такого рода расчеты используются, чтобы моделировать настоящий большой самолет, испытывая маленькую модель в аэродинамической трубе. Если все безразмерные параметры этих двух систем близки, они могут считаться физически подобными, и моделирование имеет смысл. Мы уже пользовались таким подходом, отражая на диаграммах Лоренца относительные единицы вместо абсолютных. Это позволяло нам сравнивать различные явления и распределения.

Какой будет самая подходящая система единиц при анализе полета бутерброда? Длину и стола, и бутерброда надо измерять не в сантиметрах или метрах, а в бутербродах. За единицу времени можно взять величину где l — длина бутерброда, а g — ускорение свободного падения. Легко убедиться, подставив какие-нибудь единицы измерения, что эта величина имеет размерность времени. Получив результат таким путем, мы сразу можем обобщить его как для крошечного канапе, так и для солидного «лаптя». Итак, повторим наши вычисления, благо виртуальные бутерброды у нас не закончатся никогда, отражая на графике высоту стола в собственных единицах. Если мы всё сделаем правильно, то для двух разных по размерам бутербродов мы должны получить очень похожие графики. Проверим это (рис. 3.8).

Рис. 3.8. Вероятность приземления маслом вниз бутерброда некой фиксированной величины при различной высоте падения, определенной в собственных единицах задачи. Черные точки соответствуют бутерброду размером 5 см, белые — 10 см

В первоначальной постановке задачи мы, перебирая различные размеры, получали облако результатов, в котором оказалась скрыта интересующая нас зависимость. При увеличении числа испытаний мы это облако усреднили и получили неинтересный ответ, лишенный важных деталей. Чтобы ярче показать, в чем состояла методическая ошибка, представьте, что мы захотим вычислить вероятность падения бутерброда маслом вниз, перебирая случайным образом и начальные условия, и размеры бутерброда, и высоту. Это равносильно усреднению всех результатов разом. В итоге мы получим уверенную серединку — вероятность, очень близкую к 1/2, как при подбрасывании монеты! Очень логичный и ожидаемый результат, но он неинтересен. Усредняя множество данных для разных размеров, мы уже приблизились к такому выводу. Но если цель моделирования состоит в выявлении закономерности, то имеет смысл минимизировать число параметров.

Обезразмеренные данные теперь четко говорят в пользу нашего закона, ограничивая его, однако, определенным диапазоном высот: от 2 до 5 размеров бутерброда (от высоты локтя над столом до высоты руки сидящего человека). За пределами этого диапазона у бутерброда повышается шанс повернуться более выгодной для нас стороной перед падением.

А что, если заглянуть дальше и кидать бутерброды из окна? Понятно, что при падении с большой высоты уже неважно, какой стороной приземлилось то, во что превратится бутерброд, и сопротивление воздуха стабилизирует падение, но чисто теоретически: что мы ожидаем увидеть? Наверное, должны наблюдаться некие колебания вероятности по мере увеличения времени полета. Давайте посмотрим (рис. 3.9).

Рис. 3.9. Вероятность приземления маслом вниз бутерброда при падении с большой высоты

В целом форму зависимости мы угадали, но любопытно, что амплитуда колебаний вероятности уменьшается и она сходится к 50 %. О чем это может говорить? Тот же ли это эффект, что и в случае с монеткой, когда при увеличении длительности полета становятся более существенными последствия отклонений начальных условий? Оказывается, в данном случае природа выравнивания вероятностей иная.

Еще немного анализа размерностей

Какой бы несерьезной ни была тема нашей книги, мы говорим на языке математики, а он стремится к точным решениям. Можно встретить даже такую фразу: «Если для решения вам понадобился только компьютер, то это еще не математика». Метод Монте-Карло позволил нам получить представление о решении, но это то, что называется грубой силой. Это совсем не так интересно, как хоть какое-то, но аналитическое решение.

Анализ размерностей позволит нам построить теоретический вид зависимости, полученной методом Монте-Карло. Для этого не понадобится решать дифференциальные уравнения; более того, рассуждения не выйдут за пределы вполне примитивных и очевидных соотношений. В том и состоит очарование анализа размерностей — который, впрочем, иногда выглядит фокусничеством. Итак, приступим, ограничиваясь для простоты соскальзыванием бутерброда длины l со стола высоты H с нулевой горизонтальной скоростью.

1. Угол поворота падающего бутерброда зависит от времени и угловой скорости:

φ = tω.

2. Угловая скорость равна произведению времени соскальзывания и углового ускорения:

ω = t₀ε.

3. Время соскальзывания можно выразить через ускорение свободного падения и часть длины бутерброда, которая соприкасалась со столом, следующей пропорцией:

где l₀ — длина части бутерброда, лежавшей на столе. Здесь мы используем отношение пропорциональности, обозначенное знаком ∝. Выражение y∝x можно переписать как y = Cx, где C — некая неизвестная константа. Я очень люблю это отношение. Пропорциональность «вбирает в себя» все сложное, что превращается в константу: и то, что при повороте меняется момент силы тяжести, и то, что при соскальзывании перемещается центр вращения. Все это, конечно, нужно знать для точного расчета, но в результате получится только безразмерный коэффициент, а в нашем анализе он не играет роли. Одним значком мы избавили себя от утомительного интегрирования.

1. Угловое ускорение происходит от ускорения силы тяжести и зависит от плеча, к которому она прилагается:

И опять знак ∝ позволил нам не вычислять момент инерции пластины для оси, лежащей в ее плоскости, а также изменяющейся проекции силы тяжести (это еще два интеграла).

2. Наконец, время падения зависит от высоты стола и ускорения свободного падения:

3. Подставляя все эти выражения в первую формулу, получаем результат:

который, если измерять все длины в бутербродах, превращается в

Здесь l₀ = xl и H = hl. Что ж, все сходится: угол — величина безразмерная, и зависит она от безразмерных коэффициентов — но не от масштаба времени. Остается чистая геометрия. Знаменатель не опасен — при x > 0,5 бутерброд не упадет вовсе (мы рассматриваем нулевую горизонтальную скорость), так что 0 < x < 0,5.

То, какой стороной упадет бутерброд, определяется знаком синуса угла φ, то есть функцией sign(sinφ). Она возвращает –1 для случая «маслом вверх» и 1 для «маслом вниз». Мы можем использовать эту функцию для выражения вероятности падения детерминистического бутерброда, если приведем ее к диапазону от 0 до 1:

где стрелочка в индексе символически означает ориентацию масла. Коэффициент C, появившийся в формуле вероятности, выражает все то, что осталось спрятанным, с помощью знака пропорциональности. Это действительно очень хитрый ход, он избавил нас от утомительного интегрирования (и даже трех). Но как же нам теперь узнать, чему равен этот коэффициент? Из эксперимента. Причем достаточно одного испытания с измерением угла в момент падения, чтобы получить оценку этого значения! С помощью симулятора я легко выяснил, что C = 2,3.

Мы получили устрашающее двухпараметрическое распределение. Что же с ним теперь делать? Нас интересует вероятность того, что бутерброд упадет маслом вниз, если x будет равно 0,2; или 0,4; или любому числу от 0 до 0,5. Мы использовали союз «или», при этом каждый случай рассматривается как независимый и исключающий все прочие при проведении конкретного эксперимента. Вспомним, что вероятность — мера вероятностного пространства, а раз так, то она аддитивна. Это позволяет нам просто сложить вероятности P_↓(x,h) для всех значений x, умножив их предварительно на вероятность попадания в конкретный диапазон значений. Разобьем отрезок от 0 до 0,5 на n частей и вычислим оценку вероятности в виде суммы:

Здесь множитель 2/n выражает вероятность для случайной величины x попасть в отрезок ширины 1/n. Вот как выглядят результаты для значительного числа разбиений (n = 100) на фоне серии численных экспериментов с нулевой горизонтальной скоростью (рис. 3.10).

Рис. 3.10. Теоретическая и экспериментальная оценка вероятности приземления бутерброда маслом вниз при падении с большой высоты. Начальная горизонтальная скорость в экспериментах равна нулю

Решение, которое мы приводили до этого, содержит больше случайных параметров, поэтому оно оказалось более сглаженным и приближенным к 50 %, но в принципе подобный анализ можно провести и для более общего случая.

Обратите внимание на то, что вероятность P_↓ при увеличении h стремится к значениям, близким к 50 %. И это происходит вовсе не из-за неопределенности и влияния начальных ошибок. Вычисления показали, что это результат сложения множества гармоник, образуемых значениями x при суммировании P_↓(x,h). Если мы забудем про несчастный бутерброд и продолжим график P_↓, то увидим, что оценка вероятности так и продолжит колебаться вблизи 50 %, постепенно стремясь к этому значению.

А можно ли выяснить без прямых вычислений, будет ли вероятность продолжать сходиться к 50 % или когда-нибудь снова станет расти? И здесь тоже есть место нетривиальной и глубокой математике. Дело в том, что каждому значению x соответствует определенная частота колебаний[13], а весь набор формирует так называемый спектр суммарной функции. Если он дискретный, то есть состоит из отдельных частот, суммарная функция (она называется Фурье-образом) будет периодичной. Непрерывному спектру в виде константы на отрезке от 0 до 0,5 будет соответствовать апериодичная функция, похожая на убывающие колебания. Но это мы заглянули в другой большой и важный раздел математики — функциональный анализ. Больше он нам не понадобится, так что если вас напугал этот абзац, не переживайте. Его смысл выразим одной фразой: можно строго показать, что при падении бутерброда с большой высоты вам не удастся угадать, упадет он маслом вверх или вниз.

Великий итальянец Энрико Ферми, «дедушка» метода Монте-Карло (отцом считается польский математик Станислав Улам), приучал своих учеников проводить простые оценочные вычисления, прикидывать на клочке бумаги или на пальцах, что мы ожидаем получить, прежде чем приступать к точному решению задачи. Примечателен такой момент: если оценка окажется верной, станет понятно, что суть проблемы ухвачена; если же нет, то это тем более полезный результат — значит, задача оказалась интереснее, чем кажется!

В нашем случае простой оценки достаточно, задача о бутерброде не стоит более тщательного решения. Метод Монте-Карло продемонстрировал нам только наметки решения, анализ размерности очертил лишь некоторую его общую структуру, но вместе они смогли показать нам, как устроена искомая вероятность. В повседневной работе эрудиция позволяет математику видеть в подобных наметках решения готовые структуры, выбирать подходящие методы и делать далеко идущие предположения и выводы.

Роберт Мэтьюз в своем эпохальном исследовании тоже использовал анализ размерностей, чтобы показать, что закон бутерброда фундаментален. Его вывод основан на том, что предельная высота организма, вставшего на задние конечности с целью передними взять бутерброд с маслом, определяется прочностными свойствами биологических тканей и гравитацией. В свою очередь, характерный размер бутерброда должен соответствовать масштабу существа — и коренастые карлики на какой-нибудь тяжелой планете, и хрупкие дылды на планете с малой гравитацией будут выбирать себе бутерброды по размеру. Тут мы подходим к тому, что в науке называется спекуляцией. Это не перепродажа всякого добра втридорога, а сомнительные предположения, ложащиеся в основание логического построения. В частности, мы предполагаем наличие у существ рук, пропорции которых сходны с нашими, а это более чем спорно.

Виновато ли масло?

В мерфологии известно неправильное цитирование закона Менкена Гроссманом:

Сложные проблемы всегда имеют простые, легкие для понимания неправильные решения.

Очень часто можно услышать, что в законе бутерброда виновато масло, которое плотнее хлеба и потому «перевешивает». И хотя это не относится к предмету нашей книги, я хочу разобрать этот вопрос, чтобы поставить в нем наконец точку. Чтобы кто угодно потом мог сослаться на то, что «ученые доказали, что наличие масла не влияет на то, какой стороной шлепнется бутерброд»!

В детстве мы забавлялись тем, что подбрасывали высоко вверх голубиное маховое или хвостовое перо, воткнутое в кусочек пластилина диаметром один-два сантиметра. Перо подлетало метра на четыре, после чего красиво и плавно спускалось на авторотации, как вертолет с заглушенным двигателем. Потом мы подросли, и наши забавы стали менее безобидными. Мы раздобывали гайку и вкручивали в нее два болта с противоположных сторон, спрессовывая начинку из накрошенных спичечных головок. Оставалось привязать к одному из болтов ленту или кусок веревки, хорошенько раскрутить и запустить в небо метров на пятнадцать. В падении легкая лента стабилизировала вертикальное положение снаряда, обеспечивая качественный удар об асфальт и небольшой взрыв; порой гайка разлеталась на куски. (Будьте осторожны, если решитесь поделиться этим опытом со своими детьми!)

В обоих экспериментах мы видим, что легкое перо или лента быстро оказывались над тяжелой частью аппарата и стабилизировали падение. Это, видимо, и приводит к интуитивному мнению, что тяжелое масло и легкий хлеб тоже должны вести себя так. Представим себе воздушный шар: более плотная корзина всегда располагается под менее плотным шаром. Более того, опыт подсказывает, что если взяться двумя пальцами за геометрическую середину предмета с несимметрично распределенной массой, то он кувыркнется так, чтобы тяжелая часть оказалась внизу. Но ни одно из этих явлений не работает в случае падающего бутерброда.

Начнем со второго процесса — «перевешивания». Я не случайно занудно уточнил: «…если взяться за геометрическую середину предмета…». Здесь имеется в виду, что точки касания лежат на некой прямой, образующей ось вращения, которая проходит сквозь геометрическую середину предмета. В таком случае действительно устойчивым положением будет такое, в котором центр тяжести ниже оси. Но если образуемая пальцами ось вращения проходит через него, то система окажется в безразличном равновесии и ей будет все равно, как она ориентирована.

Что же заставляет ориентироваться «правильно» перышко с грузиком, мину из гайки или воздушный шар с воздухоплавателями в корзине? Воздух. Он «держит» наши предметы так, что ось вращения проходит выше центра тяжести. Точнее, набегающий поток воздуха, который создает силу, распределенную по площади тела. И условная точка ее приложения будет располагаться вблизи геометрического центра площади фигуры. Чтобы стало яснее, нарисуем силы, действующие на условный воздушный шар как на предмет с неравномерной плотностью (рис. 3.11).

Рис. 3.11. Силы, приводящие воздушный шар в устойчивое положение

А что бутерброд?

Во-первых, если мы «выключим» воздух, он будет просто падать. В свободном падении тело вращается именно вокруг центра масс, так что у бутерброда нет резона поворачиваться как-то по-особому. Как нам говорили в школе: «В падающем лифте наблюдается невесомость». Масло в бутерброде столь же «невесомо».

Плотное масло может повлиять на процесс соскальзывания, оно эффективно поднимет центр масс над точкой касания и изменит в выражении для углового ускорения l на где δ = d/l — относительная толщина бутерброда. При небольших значениях δ это выражение приближенно равно l(1 + δ2/2). Получаем, как говорят, эффект второго порядка. Для бутерброда с соотношением ширины к толщине 5 к 1 эти относительные изменения не превышают 2 %. И это максимальная верхняя граница эффекта: мы переместили центр масс на поверхность бутерброда, что соответствует бесконечно плотному маслу!

Теперь «включим» воздух обратно, оставив плотность масла бесконечно превышающей плотность хлеба. Имеем тонкую плотную пластину масла с невесомым, но сопротивляющимся воздуху «парашютом» хлеба. Пока плоскость бутерброда расположена горизонтально или близко к тому, на нее действует момент сил воздушного сопротивления, пропорциональный парусности — площади, с которой взаимодействует поток воздуха: M_-∝l2. В вертикальном положении парусность уменьшится и, соответственно, момент будет другим: M_|∝ld. Отношение этих моментов: M_| /M_-∝δ. Я использовал здесь знак пропорциональности, поскольку коэффициенты сопротивления для пластинки, расположенной поперек и вдоль потока, различаются, и мне они неизвестны. Но они и не нужны — уже видно, что влияние воздуха в вертикальном положении (а именно оно делает неравнозначным положение масла) слабее, чем в горизонтальном. Теперь вспомним, что бутерброд вращается, а значит, он подставляется потоку то торцом, то плоскостью. Мы можем ввести меру действия сил сопротивления. Если угловая скорость вращения несущественно изменяется за один период (а для воздуха это так), то имеет смысл в качестве меры взять изменение момента импульса, пропорциональное времени действия силы. В свою очередь, период действия пропорционален углу, «заметаемому» бутербродом в течение этого периода. В итоге меры действия моментов M_| и M_- будут пропорциональны M_|φ_| и M_-φ_-, а углы, которые заметают торец и плоскость, показаны на чертеже ниже. Мы могли бы в качестве меры использовать работу сил сопротивления и получили бы такое же соотношение. Отношение углов легко вычислить:

При малых значениях отношения d/l можно воспользоваться приближением: φ_| ≈ δ (используем свойство тангенса малого угла, выполняющегося с 10 % точностью при углах меньше 30°), а значит, имеем:

Опять получается, что влияние несимметричности для плоского бутерброда ограничивается эффектом второго порядка. Обычно плотность масла превышает плотность хлеба примерно вдвое. Таким образом, смещение центра масс не должно превышать трети толщины бутерброда при разумном слое масла (не больше толщины хлеба). Это уменьшит влияние масла до 0,2 %.

Если читателю показалось, что мы сейчас палили из пушки по воробьям, то я с ним полностью соглашусь. Но, во-первых, мне не хочется больше слышать о «перевешивающем» масле; во-вторых, я не желаю быть голословным; а в-третьих, я стремился показать, как физик оценивает величины, представляя процесс, но не обладая полными данными. Конечно, в момент приземления масло может прилипнуть к полу и не дать бутерброду подпрыгнуть и перевернуться вновь, но механику удара, упругой деформации и подскока кусочка хлеба я уж точно разбирать не буду. И так многовато анализа для этой проблемы. И вторую Шнобелевскую уже не дадут.

* * *

Не так важна была цель нашего пути: опровержение либо оправдание закона бутерброда, — как сам путь. Он показал, как совмещение разных математических методов позволяет взглянуть на задачу с разных сторон, и дает достаточно точное знание — даже без детального решения задачи. В согласованности различных математических дисциплин, подходов и точек зрения состоит сила и красота математики. Тут уместно вспомнить чудесные слова Марины Цветаевой: «Я не хочу иметь точку зрения, я хочу иметь зрение». Изучение разных областей математики способно дать исследователю настоящее «объемное» многомерное зрение, позволяющее заглянуть в кажущееся закрытым и скрытым пространство знаний.

Глава 4. Статистика как научный способ чего-либо не знать

Цифры обманчивы, особенно когда я сам ими занимаюсь; по этому поводу справедливо высказывание, приписываемое Дизраэли: «Существует три вида лжи: ложь, наглая ложь и статистика».

Марк Твен[14]

Как часто летом мы намереваемся на свои выходные выехать на природу, прогуляться в парке или устроить пикник, а потом дождь разбивает наши планы, заточив нас в доме! И ладно бы это случалось раз или два за сезон; порой складывается впечатление, что непогода преследует именно выходные дни, раз за разом выпадая на субботу или воскресенье!

Совсем недавно вышла статья австралийских исследователей «Недельные циклы пиковой температуры и интенсивность городских тепловых островов»[15]. Ее подхватили новостные издания и перепечатали результаты с таким заголовком: «Вам не кажется! Ученые выяснили: погода на выходных действительно хуже, чем в будние дни». В цитируемой работе приводится статистика температуры и осадков за много лет в нескольких городах Австралии, и вправду выявляющая понижение температуры на 0,3 °C в определенные часы субботы и воскресенья. Там же этому дается объяснение. Оно связывает локальную погоду с уровнем загрязненности воздуха из-за возрастающего транспортного потока. Незадолго до того подобное исследование проводилось в Германии[16] и привело примерно к тем же выводам.

Согласитесь, доли градуса — весьма тонкий эффект. Сетуя на непогоду в долгожданную субботу, мы обсуждаем, был ли день солнечным или дождливым. Такое обстоятельство проще зафиксировать, а позже вспомнить, даже не обладая точными приборами. Мы проведем собственное небольшое исследование на эту тему и получим замечательный результат: можно уверенно утверждать, что мы не знаем, связаны ли на Камчатке день недели и непогода. Исследования с отрицательным результатом обычно не попадают на страницы журналов и в новостные ленты, но нам важно понять, на каком основании мы можем что-либо уверенно заявлять о случайных явлениях. И в этом плане отрицательный результат ничем не хуже положительного.

Слово в защиту статистики

Статистику обвиняют во множестве грехов: и во лжи, и в возможностях манипуляций, и, наконец, в непонятности. Но мне очень хочется реабилитировать эту область знаний, показать, насколько сложна задача, для которой она предназначена, и как непросто понять ответ, который дает статистика.