Астрономия. Популярные лекции.

Важно не запутаться в терминах, потому что астрономы употребляют два похожих слова: «наклонение» и «наклон», которые означают вовсе не одно и то же. В отличие от наклонения, наклоном называют угол между осью собственного вращения планеты и перпендикуляром к ее орбитальной плоскости (например, наклон земной оси равен 23,4°). Пересечение орбитальной и базовой плоскостей называется линией узлов. Эта прямая проходит через два узла: восходящий и нисходящий. Восходящий узел — точка, где планета из южной полусферы неба переходит в северную, а нисходящий — где планета «ныряет» из северного полушария в южное. Обозначаются они соответственно символами ☊ и ☋.

Второй параметр, который надо указать для небесных координат, определяет ориентацию линии узлов в пространстве. Базовое направление мы можем задать на точку весеннего равноденствия, Солнце проходит через нее каждый год. Угол Ω между линией узлов и базовым направлением называется долготой восходящего узла.

Итак, орбитальную плоскость, наклонение и ориентацию мы определили. Теперь надо определить характер движения планеты в этой плоскости. В простейшем случае, когда система состоит из одной звезды и одной планеты, она движется по эллипсу, а у эллипса есть лишь две характеристики: размер и форма. Размер — это длина большой оси, а форму можно определить через параметр эксцентриситет.

Четыре параметра у нас есть — вроде бы достаточно? Ан нет! Как ориентирован в орбитальной плоскости сам эллипс? Надо указать угол его ориентации — например, между линией узлов и направлением на перицентр Π (точку орбиты, ближайшую к центру притяжения).

Итак, пять параметров указали; можем ли мы наконец произвести расчет движения планеты в будущее и в прошлое? Нет, нам надо знать, где планета на этом эллипсе находится в начальный момент времени, чтобы начать вычисления. Например, можно задать момент времени, когда она проходит через перицентр, апоцентр или какую-то другую определяемую точку, — это уже шестой параметр.

Таким образом, шесть величин задают полный набор начальных условий, ровно столько их было и в декартовых координатах. Но параметры в небесных координатах позволяют проще решать задачу, это можно сделать даже аналитически.

Как летают спутники

Если нам надо рассматривать движение искусственных спутников Земли, то определять базовую плоскость через эклиптику, т. е. брать в качестве базовой плоскость орбиты нашей планеты, особого смысла нет. Ведь спутники всегда летают не очень далеко от Земли, им нет никакого дела до того, как она сама движется вокруг Солнца. Поэтому наклонение плоскости орбиты спутников обычно отсчитывают от земного (он же — небесный) экватора (рис. 2.13). Плоскость земного экватора в этом отношении очень полезна, потому что планета у нас довольно симметрична относительно экватора, что упрощает математические расчеты. Остальные параметры определяют аналогично: например, направление линии узлов отсчитывают, как всегда, от точки весеннего равноденствия.

Теперь давайте посмотрим, как могут двигаться спутники после запуска. Подвешиваем тело над Землей и сообщаем ему импульс. Например, по какой линии движется камень, брошенный под углом к горизонту? Школьный учебник утверждает, что по параболе. Но так ли это?

По этой кривой тела движутся в однородном поле гравитации, когда ускорение свободного падения направлено везде одинаково. Но наша Земля — не плоскость бесконечной протяженности (как ее в древности представляли, лежащей на слонах и китах), а шар, т. е. она притягивает к своему центру как точка (выше мы говорили, что это следует из второй теоремы Ньютона). Поэтому, как бы мы ни кинули тело, оно полетит по эллипсу. Если с маленькой скоростью, то оно упадет, но все равно при этом будет двигаться по дуге эллипса.

Рис. 2.13. Геоцентрическая экваториальная система координат.

Давайте теперь будем бросать тело горизонтально со всё большей и большей скоростью. Сначала оно будет ударяться о поверхность Земли, заканчивая свое эллиптическое движение, при этом точка старта будет апоцентром (наиболее удаленная от центра точка эллипса). При некоторой скорости мы в конце концов добиваемся, чтобы тело летало по круговой орбите. А если придать еще бóльшую начальную скорость, то оно также полетит по эллипсу, только теперь точка старта станет не апо-, а перицентром.

Рис. 2.14. Параметры орбиты искусственного спутника Земли.

Кстати, в сообщениях ТАСС и других СМИ вам никогда не скажут, каково расстояние от перицентра или апоцентра орбиты того или иного спутника до центра Земли. У них своя особенность языка, они говорят в других терминах: «высота полета космического тела» — это расстояние от поверхности. На рис. 2.14 показана взаимосвязь этих величин. Но для физика важно знать истинные параметры эллипса — расстояние от центра тяготения, а значит, надо не забывать всегда прибавлять радиус Земли.

А что будет, если еще больше наращивать скорость (рис. 2.15)? При некоторой скорости мы получим параболическое движение: тело при этом отрывается, уходит в бесконечность и там замирает, потому что в пределе на бесконечном расстоянии скорость будет нулевой. А если задать еще бóльшую начальную скорость, то оно улетает по гиперболе и на бесконечности продолжает двигаться, потому что у него есть запас энергии. И, наконец, если мы метнули это тело с бесконечно большой скоростью, то оно уйдет по прямой линии, вообще «не ощущая» гравитации.

Рис. 2.15. Космические скорости.

Теперь подсчитаем, с какой скоростью надо запустить тело, чтобы оно вышло на круговую орбиту. Если тело движется по кругу, то надо приравнять центростремительное ускорение к отношению силы гравитации к массе тела:

Из этого уравнения получаем выражение для скорости, которая называется первой космической (V1):

Важно подчеркнуть, что это векторная величина, т. е. эту скорость надо сообщить спутнику обязательно в нужном направлении.

Однако в телерепортаже мы видим, что ракета стартует с космодрома всегда вертикально вверх, а потом говорят, что ракета набрала первую космическую скорость и вышла на круговую орбиту вокруг Земли. Что было бы дальше, если бы она набрала первую космическую в вертикальном направлении? Вышла бы она на круговую орбиту? Конечно, нет — она упала бы обратно.

Кстати, понятие первой космической скорости (называемой также круговой скоростью) v₁ определяют не только у поверхности планеты, поэтому всегда надо уточнять — в каком месте. В формулу входит расстояние до центра планеты; подставляйте сюда другие значения — и вы получите разные значения первой космической скорости. У поверхности Земли или на небольшой высоте (150–200 км), где уже почти нет воздуха, она составляет около 8 км/с, но при удалении от Земли уменьшается обратно пропорционально корню из расстояния.

Рис. 2.16. Зависимость формы орбиты от направления начальной скорости (при модуле, равном круговой скорости).

Итак, если мы придали телу первую космическую скорость точно в направлении, перпендикулярном вектору расстояния, то оно выйдет на круговую орбиту (рис. 2.16). Но если вы ошиблись с направлением, то получите вовсе не круг, а эллипс, хотя модуль скорости и был правильным! Это очень большая проблема для инженеров, которые планируют космические запуски: малейшее отклонение — и насмарку все труды: спутник может даже войти в атмосферу Земли и сгореть. Обратите внимание, когда запуск космической ракеты долго показывают: сначала она вертикально уходит в стратосферу, а потом постепенно поворачивает, поворачивает, поворачивает — и на высоте 50–70 км начинает двигаться уже параллельно поверхности Земли, и ей надо набрать соответствующую высоте первую космическую скорость, иначе она упадет обратно на планету.

Для тела, равномерно движущегося по круговой орбите, можно легко записать выражения для его кинетической и потенциальной (гравитационной) энергии:

Потенциальная энергия отрицательна, потому что это энергия связи двух тел. Полная энергия тела, движущегося с первой космической скоростью, в точности равна кинетической по модулю, но они имеют разные знаки. Мы вывели эту формулу только для кругового движения, но оказывается, что при усреднении по времени она справедлива для движения по эллиптической орбите (при этом нужно заменить R на a) и для стационарной системы гравитационно взаимодействующих точек, — это называют теоремой вириала. Это очень важная теорема, особенно для тех, кто занимается изучением одновременного движения многих тел — скажем, в звездном скоплении, содержащем миллионы звезд. Просчитать их движение по отдельности невозможно, разве что на суперкомпьютерах. Но даже не зная индивидуальных траекторий и скоростей, мы всегда можем быть уверены, что полная и кинетическая энергии этой кучи звезд равны по модулю.

Рис. 2.17. Соотношение масс ракеты-носителя и ее полезной нагрузки. Ракета весом более 300 тонн создается только для того, чтобы маленький космический аппарат достиг устойчивой орбиты.

Раз уж речь зашла о космонавтике, я напоследок расскажу одну интересную вещь о том, каких трудов стоит развить первую космическую скорость. Вот космический корабль, на котором летают наши космонавты (рис. 2.17). Вес его 7 тонн, там сидят три человека — и их надо разогнать до скорости 8 км/с. Так вот, чтобы это сделать, приходится строить космический аппарат для одноразового использования весом более 300 тонн, и вся эта машина — только для того, чтобы маленький космический аппарат достиг устойчивой орбиты. А состоит ракета из металлической конструкции и топлива. Их соотношение такое: сухой вес ракеты — 26 тонн, а залитого в нее топлива — почти 280 тонн. Таким образом, 90  % веса ракеты на старте — это ее топливо! Легковой автомобиль, например, весит около 1,5 т, а топлива в его баке около 50 кг, т. е. топливо составляет всего лишь 3  % веса автомобиля. При этом ракета не только несет в себе колоссальный объем взрывоопасного вещества, но и работает в гораздо более напряженных условиях, чем автомобиль. Рядом с сотнями тонн ее «взрывчатки» пылает гигантский факел реактивных двигателей. А на вершине этой «бочки с порохом» сидят отважные люди, желающие покинуть планету. И им это, как правило, удается. Одним словом, современная космическая ракета — удивительное творение инженерной мысли.

3. Космонавтика

К антиподам: на спутнике или на метро?

Есть одна интересная задача, которую я традиционно предлагаю на экзамене. Пусть нам требуется послать груз или пассажиров из одной точки Земли в точку, ей противоположную (т. е. к антиподам, потому что с нашей точки зрения все там ходят вверх ногами, притягиваясь к центру Земли). Как это сделать быстрее?

Казалось бы, самый быстрый способ — лететь по круговой орбите спутника. С первой космической скоростью спутник облетает Землю за полтора часа, значит, мы можем прилететь к антиподам через 45 минут плюс время на разгон и торможение. Быстрее не получится: если мы добавим спутнику скорости, он пойдет по дальней орбите и лететь будет дольше. К тому же для реализации этого способа потребуется много денег: надо каждый раз сооружать огромную ракету, тратить очень много энергии на запуск.

Рис. 3.1. Схема «метро» сквозь земной шар.

А вот представьте себе, что мы просверлили Землю насквозь и без начальной скорости просто отпустили снаряд. Он начнет ускоренно падать к центру Земли, затем, набрав скорость, по инерции пролетит через центр и выпрыгнет как раз в антиподальной точке — останется только его вовремя поймать. Такой канал потребуется сделать только один раз, откачать из него воздух, чтобы не замедлял движение, а потом совершенно бесплатно запускать кабину с людьми на ту сторону земного шара и обратно. Вопрос задачи: какое путешествие займет меньше времени — по низкой околоземной орбите искусственного спутника или через центр Земли?

Геостационарная орбита и космический лифт

Среди всех круговых орбит особенно интересна геостационарная орбита, на которой орбитальный период длится столько же, сколько оборот Земли вокруг своей оси, т. е. 23 часа 56 минут и примерно 4 секунды. Если вы запустили спутник на круговую орбиту, лежащую в экваториальной плоскости Земли на расстоянии примерно 36 тыс. км от земной поверхности (от центра планеты это будет 42 тыс. км), то, двигаясь в плоскости экватора с периодом в одни звездные сутки, он всегда будет висеть над одной и той же точкой земного шара (рис. 3.2). Таких спутников летают сотни. А зачем они нужны?

Это, например, спутники прямого телевизионного вещания, их специально запустили на геостационарную орбиту, чтобы нам не приходилось в течение суток крутить домашнюю антенну туда-сюда. Мы один раз нацеливаем свою спутниковую «тарелку» на такой спутник и уверены, что он всегда будет в одной и той же точке неба и никуда не денется.

Интересно, что эта особенность геостационарной орбиты открывает нам совершенно фантастические перспективы для космонавтики. С такого спутника можно протянуть на Землю трос, и он не будет наматываться на Землю, потому что спутник относительно земной поверхности не движется. Вдоль этого шнура или каната можно организовать космический лифт. Заметьте: не ракету, которая 98 % своей массы выбрасывает, чтобы отправить в полет оставшиеся 2 % массы в виде космического корабля, а просто электрический лифт. Прикиньте, сколько в этом случае киловатт-часов электроэнергии потребуется, чтобы подняться в космос: стоить это будет считанные копейки.

Рис. 3.2. Геостационарная орбита. Спутник виден в одной и той же точке неба.

Есть, правда, одна неприятная особенность такого спутника: вот запустили мы его на геостационарную орбиту, протянули канатик, но вдруг какая-то случайная небрежность заставила спутник немного опуститься. Что тогда произойдет? Спутник окажется ближе к центру Земли, его орбитальный период станет короче, т. е. спутник начнет опережать ту точку поверхности, к которой привязан, канат будет наматываться на Землю и тянуть спутник вниз. Тот начнет крутиться еще быстрее — и понятно, что закончится это нехорошо (рис. 3.3). Если привязанный к поверхности спутник опустился ниже геостационарной орбиты, то Земля начнет отставать, намотает на себя канат, затормозит спутник еще сильнее, и он свалится с небес.

Рис. 3.3. Если привязанный к поверхности спутник опустился ниже геостационарной орбиты, то Земля начнет отставать, намотает на себя канат, затормозит спутник еще сильнее, и он упадет. А что случится, если спутник поднимется выше геостационара?

А что случится, если спутник поднимется выше геостационара? Если немного подтолкнуть спутник вверх, он начнет отставать от поверхности Земли: чем больше расстояние, тем меньше скорость обращения и тем больше орбитальный период. Но будет ли это движение устойчивым, не станет ли Земля наматывать канат в обратную сторону? Это простая механическая задача, которую должен быть способен решить любой физик. Вычисления показывают такое развитие событий: если привязанный спутник окажется на чуть большей высоте, чем геостационарная орбита, и начнет отставать от Земли, она сначала за канатик немного подтянет его вперед, а потом он снова отойдет на исходное расстояние от поверхности. Но после этого спутник уже не отстанет от вращения Земли, потому что наряду с гравитацией добавляется сила, которая тянет его вперед, в сумме они создают более сильное центростремительное ускорение, чем одна только гравитация, и эта более высокая орбита становится геостационарной.

Рис. 3.4. Так будет меняться со временем высота привязанного к Земле спутника на орбите, близкой к геостационарной (r_g).

Так что идея космического лифта может быть прекрасно реализована. Осталось только найти материал для каната, чтобы 36-тысячекилометровый трос выдерживал свой вес плюс вес поднимаемого груза (железо для этого не годится, а вот наноуглеродные трубки могут быть перспективными: плотность их меньше, а прочность больше), — и тогда каждому человеку можно будет подняться на геостационарную орбиту за несколько тысяч рублей; по деньгам это все равно что слетать в соседний город на самолете. И это сразу изменит нашу космонавтику.

Рис. 3.5. Одна из многочисленных художественных иллюстраций, демонстрирующих возможную конструкцию космического лифта.

К другим мирам

Итак, чтобы оторваться от поверхности Земли и выйти в околоземное пространство, надо набрать первую космическую скорость. Следующая задача космонавтики — улететь от планеты. Для этого необходимо достичь скорости, которая называется второй космической (обозначается V₂ , или V_P , или V_∞ , или V_II). Чтобы рассчитать эту величину, используем закон сохранения энергии: кинетическую энергию тела приравниваем к гравитационной энергии его связи с планетой и находим отсюда значение второй космической скорости:

Как видим, она всего лишь в √2 раз больше первой космической, т. е. у поверхности Земли немногим превышает 11 км/с.

Кинетическая энергия — величина скалярная, она не зависит от того, куда направлен вектор скорости, т. е., полетев в любую сторону с такой начальной скоростью, мы покинем планету по параболической траектории.

Рис. 3.6. Вторая космическая скорость.

Если мы уже на околоземной орбите, а нам надо привести корабль на Марс или на более дальнюю планету, мы его просто «пинаем», т. е. добавляем ему такой импульс, чтобы корабль с круговой орбиты Земли вокруг Солнца вышел на эллиптическую орбиту, в апоцентре которой коснулся бы орбиты планеты назначения. Если мы правильно рассчитали время старта, планета приходит в ту же точку одновременно с нашим аппаратом (рис. 3.7). Но встречаются они с разными скоростями: планета движется быстрее, и если ничего не предпринять, то космический корабль тут же отстанет от нее. Значит, надо еще раз включить двигатели и уравнять скорость. Таким образом, надо придать всего два импульса — и вы оказались у соседней планеты. Такая траектория между планетами называется полуэллипсом Гомана — Цандера (по именам инженеров, рассчитавших эту орбиту).

Рис. 3.7. Полуэллипс Гомана — Цандера. Показаны точки приложения импульсов.

Рис.  3.8. Траектория перелета Штернфельда. Чтобы долететь с земной орбиты до орбиты вокруг дальней планеты, достаточно в нужные моменты сообщить кораблю три правильных импульса.

Казалось бы, эта простая классическая орбита должна быть энергетически оптимальной, т. е. наилучшей с точки зрения того, как меньше топлива потратить и при этом подальше улететь. Но — удивительное дело — оказалось, что есть более экономичные орбиты. Открыл их Ари Штернфельд, который увидел, что иногда выгоднее совершить трехимпульсный перелет: сначала улететь дальше той орбиты, куда собираемся попасть, затем еще немного добавить и спуститься к ней и потом уже уравнять скорость (рис. 3.8). Траектория, несомненно, более сложная. Но в сумме эти три импульса (а значит, и затраты топлива) иногда оказываются меньше, чем те два для простой полуэллиптической орбиты. Орбиты Штернфельда лучше, чем полуэллипсы Гомана — Цандера, лишь при большом отношении радиусов орбит планет старта и цели. Для большинства межпланетных перелетов в Солнечной системе они не годятся, но оказываются экономичными для полетов на Луну с околоземной орбиты и для «падения» с земной орбиты в околосолнечную область. Это удивительное открытие в небесной механике Штернфельд сделал, сидя у себя дома: это вообще был очень интересный человек и гениальный космический инженер.

Орбиты спутников

Рассуждения об эллиптической орбите спутников хороши, но природа на самом деле устроена сложнее: та же Земля — не идеальный шар, а сплюснутый, т. е. эллипсоид вращения. Из-за этого сила гравитации вблизи Земли обратно пропорциональна отнюдь не r2, а более сложной зависимости от r. Значит, если мы запустили спутник на полярную орбиту (проходящую над Южным и Северным полюсами), то в таком силовом поле, как мы уже видели в предыдущей лекции, эллипс орбиты постепенно поворачивается: происходит прецессия его оси вокруг центра тяготения (рис. 3.9).

Рис. 3.9. Из-за сплюснутой формы Земли полярная орбита спутника отличается от эллиптической.

Если орбитальная плоскость расположена под косым углом к экваториальной плоскости Земли, то реальные траектории спутников получаются намного более сложными. Россия обычно запускает спутники на орбиту со средним наклоном к экватору около 60° (например, спутник телевизионного вещания «Молния»). При этом сама орбитальная плоскость тоже прецессирует, т. е. поворачивается вокруг земной оси. Для точного расчета их орбиты приходится отказываться от теорем Ньютона и все время учитывать неидеальную форму планеты.

Рис. 3.10. Слева — орбита ИСЗ «Молния» (спутник связи). Наклон плоскости орбиты к экватору — около 63°. При таком наклоне отсутствует поворот линии апсид, поэтому спутник на высокоэллиптической орбите всегда «висит» над одним полушарием Земли (в данном случае — над северным). Орбитальная плоскость поворачивается вокруг полярной оси. Справа — орбита типичного ИСЗ. Расстояния между витками на рисунках увеличены для наглядности.

Движение двойных звезд

Законы небесной механики описывают движение не только планет и их спутников. Задача двух тел также может быть применена к двойным звездам, которых на небе очень много, больше, чем одиночных. Солнце среди них является скорее исключением. Ближайшая к нам звезда, Альфа Кентавра, тоже двойная.

Рис. 3.11. Изменение взаимного расположения компонентов двойной звезды Крюгер 60 (вверху слева) с 1908 по 1920 гг. Фото: Йерксская обсерватория, США.

Наблюдая двойную звезду (рис. 3.11) в течение 12 лет: 1908, 1915, 1920 гг., — мы видим, как происходит орбитальное обращение: оба компонента движутся относительно друг друга.

Рис. 3.12. Движение компонентов двойной звезды; невидимый центр масс отмечен крестом.

Астрономы всегда измеряют положения близких друг к другу звезд не в какой-то единой системе координат, а просто друг относительно друга — так получается проще и точнее. Навели телескоп на одну звезду, более яркую, теперь она у нас всегда в центре отсчета (в начале координат), а вторая кружится по орбите (рис. 3.12). Но на самом-то деле они обе «бегают» вокруг общего центра масс, который невидим и поэтому навестись на него невозможно. Значит, нам надо модифицировать уравнения небесной механики, из инерциальной системы отсчета перевести в неинерциальную, связанную с одним массивным компонентом. Взяли выражения для векторов обеих скоростей и нашли их разницу, т. е. относительную скорость, — и оказалось, что она точно так же зависит от всех параметров, как и в законе Ньютона: обратно пропорциональна квадрату расстояния, только теперь в качестве параметра массы фигурирует сумма масс этих двух объектов: