Решение проблемы турбулентности, отсутствие аналитического решения уравнений Навье-Стокса / The solution to the pboblem of turbulence, lack of analytical solution of navier-stokes equations

Константин Ефанов

Решение проблемы турбулентности, отсутствие аналитического решения уравнений Навье-Стокса / The solution to the pboblem of turbulence, lack of analytical solution of navier-stokes equations

Введение

В настоящей работе доказана невозможность существования и гладкости решения уравнений трехмерной задачи Навье-Стокса в пределах поля R3.

Институтом Клея этой задаче присвоение наименование задачи тысячелетия в числе некоторых других.

Доказательство выполнено на основании применения теоремы Курата Гёделя о неполноте, использован системный подход.

Рассмотрено физическое обоснование вывода уравнений Навье-Стокса, физические процессы течения турбуленоного потока. Для сопоставления и применения теоремы Гёделя двум указанным физическим процессам назначен уровень системы.

Показано, что уравнения Навье-Стокса не предназначены для решения проблем системы, соответсвующей уровню пространства R3.

Проблема решения уравнений Навье-Стокса

Уравнения Навье-Стокса, как показано в работе [1,с.73] Л.Н. Ландау, получаются записью баланса поступающей и выходящей жидкости с учетом диссипации энергии при вязком трении в жидкости. Вместе с тем, Л.Д. Ландау было отмечено, что впервые формулировка уравнений для несжимаемой жидкости была записана на основе модельных представлений Анри Навье (о молекулярных взаимодействиях).

Запишем уравнение Навье-Стокса для сжимаемой жидкости:

Для сжимаемой жидкости в уравнении

Обозначения в уравнении и его вывод – см. работу Л.Н. Ландау [1].

А.Н. Колмогоров в работе [2,с.294] показал физическую модель турбулентности (в соответствии с Тейлором и Ричардсоном), состоящую В накладывании различных по масштабу турбулентных пульсаций на осредененный поток. Наибольшим масштабом является мастшаб L «пути перемешивания», наименьшим масштабом является масштаю λ, на котором вязкость оказывает влияение. Пульсации от курупных масштабов передают энергию пульсациям меньших масштабов. В результате этого возникает поток энергии, диссипация которой происходит за счет сил вязкого торения на масштабе λ. Колмогоров предложил следующие уравнения турбулентного движения исходя из локальных свойств турбулентности [2,с.295]:

В уравнениях – обозначения согласно цитируемой работе А.Н. Колмогорова.

Л.Д. Ландау отметил [2,с.296], что эти уравнения верны для локальной струкруты турбулентности, однако в турбулентном потоке наличие ротора скорости ограничивается конечной обдастью пространства и уравнения должны показывать именно такое распределение турбулентных вихрей.

Анри Навье в работе [3] при формулировке уравнений движения жидкости исходил из записи для одной точки пространства сплошной среды.

Ландау называет представления Анри Навье модельными [2,с.73] (в сноске).

Покажем модель физической картины течения, на которой основаны уравнения Навье:

То, что описывается этой моделью, для этого может быть найдено решение уравнений Навье-Стокса. Этой моделью прекрасно можно описать частные случаи.

Сравним модель движения из работы А.Навье с моделью турбулентности, предложенной А.Н. Колмогоровым.

Модель Колмогорова:

Некоторые авторы указывают, что уравнения Навье-Стокса содержит турбулентность. Как видно, это не так. Уравнения Навье-Стокса могут быть применены на самом низком уровне модели Колмогорова. В целом, модель Анри Навье физически некорректна по сравнению с верной моделью Колмогорова. О её верности отметил Ландау [1,с.296] (на рассмотрении присутствовал Капица).

Главная проблема – уравнения Навье не предназначены для турбулентности и решения на пространстве R3, где турбулентность по-умолчанию есть (хотя и не оговаривается).

Метод DNS работает почти как модель Колмогорова, только энергия считается не сверху вниз, а снизу вверх (от ячеек до интегрального масштаба). Отсюда видно, почему численно легко уравнения Навье-Стокса решаются по DNS.

Объем, для которого составляются уравнения Навье-Стокса выбран с минимальными размерами, обеспечивающими сплошность среды. Однако это не принципиально. Очевидно, что куб несопоставимо меньше пространства R3.

Для куба описание физического процесса состоит в описании поступления в него и выхода из него жидкости, а также влияния вязкости.

Для пространства R3 со сложной структурой турбулентного течения физический процесс намного более сложен и для его описания недостаточно тех описаний, которые применены для куба при выводе уравнений Навье-Стокса!

В существующих попытках решения уравнений Навье-Стокса пространство R3 условно разбивают (дискретизируют) сеткой с кубичиескими элементами.

Попытки аналитического решения, например, в работе [4], сводятся к назначению граничных условий для уравнений и поиску решений.

Граничные условия для куба со сторонами x, y, x и шагом Q записываютcя в виде:

Очевидно, что движение жидкости в пространстве R3 и в любом пространстве, моделью Навье и его представлениями не описывается. Область вокруг точки не превышает колмогоровского масштаба.

Уравнения Навье-Стокса сооставлены для физической модели мелкого колмогоровского масштаба и не соответсвуют физическим процессам турбулентного движения больших объемов жидкости.

В случае аналитически точного решений Уравнений Навье-Стокса для случая течения Пуазёйля, решение выполняется для физического процесса, описываемого процесс для куба.

Существут методы прямого численного решения уравнений Навье-Стокса [5], [6], [7].

В этих методах (конечно-разностных) выполняется дискретизация пространства сеткой. Производная заменяется на алгебраическое отношение.

Очевидно, что в численных методах для пространства R3 решаются уравнения Навье-Стокса, не описывающие физического процесса на пространстве R3. Однако, результаты решений для каждого сеточного куба переносятся для интегрального решения для всей сетки, т.е. для пространства R3.

Для модели турбулентности Колмогорова такой подход означал бы расчет рассеянной энергии на всех мелких масштабах и суммирование полученных значений для верхнего масштаба. Модель Колмогорова описывает реальную картину течения жидкости.

Ошибка в численных методах решения находится в самом их теоретическом основании. Решается модель с физическим процессом, не описывающим течение на пространстве R3, для каждой ячейки сетки и затем получения результата расчета для всей сетки, а следовательно и для пространства R3. То есть к решению на пространстве R3 в численном методе применяется некорректная физическая модель, которая не описывает процессов на пространстве R3.

Доказательство отсутствия решения уравнений Навье-Стокса на пространстве

R

3 на основанииприменения теоремы Курта Гёделя о неполноте

Для решения проблемы используем теорему Курта Гёделя о неполноте. Теорема Гёделя приведена в работе [7].

Система уравнений и в том числе система уравнений Навье-Стокса является формальной системой. Как известно, в пределах формальной системы существуют вопросы, на которые в пределах этих систем нельзя найти ответа.

Считаем, что система уравнений Навье-Стокса является непротиворечивой. Из этого следует, что ответить на возможность или не возможность решения для пространства R3 в рамках данной системы нельзя. Для ответа необходимо выйти за пределы системы – в расширенную систему. И в рамках расширенной системы можно решить проблему о наличии или отсуствии решения уравнения Навье-Стокса для пространства R3. Выполним эту задачу. А результат будет доказательсвом и решением задачи тысячалетия (задача тысячалетия в формулировке института Клея).

Рассматривая модель турбулентности, предложенную Колмогоровым,как единую систему, выстроим иерархию этой системы. Нижний уровень обозначим базовой системой, верхний уровень обозначим расширенной системой.

Вывод уравнений Навье-Стокса был выполнен для базовой системы, для кубического элемента. Все предпринятые ранее разными авторами попытки решения уравнений Навье-Стокса являлись попыткой получить решение для расширенной системы средствами базовой системы.

В решении численным методом на расчетной сетке в компьютерной программе происходит решение для базовых систем, которыми являются ячейки расчетной сетки. Затем по решению для ячеек находится решение для все сетки, то есть для расширеннной системы. Решением для всей сетки является интегральный уровень.

Решение в расчетной сетке обеспечивает правильность соблюдения решения по иерархии системы.

Но решение по расчетной сетке не обеспечивает корректность физической стороны процесса турбулентного течения. Так как уравнения Навье-Стокса справедливы для элементарного объема, как указывалось ранее. А для пространства R3 требуется решать систему уравнений, учитывающую физические явления, которые не учитывались при выводе уравнений Навье-Стокса.

Для корректности численного расчета в расчетный аппарат компьютерной программы требуется ввести систему уравнений, описывающую иерархический переход энергии от вихрей крупного масштаба к более мелким и последующую диссипацию энергии за счет сил вязкого трения.

Утверждения ряда авторов, о том, что в уравнениях Навье-Стокса по-видимому содержится полное описание турбулености в корне не верно.

Полученные результаты для пространства R3 могут быть распространены на поверхность тора.

Заключение

1. Приведены физические принципы, на основе которых выведены уравнения Навье-Стокса (баланс энергии с учетом вязкого трения). Приведены взгляды Анри Навье, пользуясь которыми он вывел свои уравнения.

2. Приведена схема турбулености Колмогорова с описанием физических принципов передачи энергии от вихрей верхнего уровня к мелким и переходом энергии в теплоту за счет сил вязкого трения.

3. Показано для уравнений Навье-стокса несоответствие описсываемых им физических принципов – принципам турбулентного течения потока, на примере модели турбулентности Колмогорова. То есть уравнения Навье-Стокса не отвечают физической картине течения на уровне пространства R3.

2. Для применения теоремы Гёделя, модель турбулентности Колмогорова рассмотрена системно, составлена иерархия уровней.

Уравнения Навье-Стокса отнесены к самому мелкому уровню системы, назанному базовой системой.

Верхний уровень назван расширенной системой по отношению к базовой системе.

3. Показано, что решение численными методами соответсвует иерархии модели, но не учитывает того, что уравнения Навье-Стокса не могут описывать течении жидкости на верхнем уровне, то есть в основе численных методов заложено некоррктное теоретическое основание.

5. Показано, что на основании теоремы Курта Гёделя о неполноте, средствами базовой системы нельзя получить решение для расширенной системы.

6. Полученные результаты для пространства R3 могут быть распространены на поверхность тора.

Фомулировка доказательства:

Существование и гладкость решения уравнения Навье-Стокса на пространстве R3 отсуствует на основании:

– уравнения Навье-Стокса не описывают в отличии от модели Колмогорова турбулентность;

– уравнения Навье-Стокса выведены для базовой системы (нижний уровень в иерхии модели Колмогорова), средсвами которой нельзя получить решение для решения расширенной системы (верхний уровень по Колмогорову).

Библиография

1 Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. – изд. 3-е. М.: Наука, 1986. – 736 с. – Теоретическая физика, т. VI.

2 Колмогоров А.Н. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости // Избранные труды. Механика и математика. М. Наука. 1985. – 470 с.

3. Navier. Mémoire sur les lois du mouvement des fluides // Mémoires de l'Académie des sciences de l'Institut de France. 1822. Vol. 6.

4 М. Отелбаев. Существование сильного решения уравнения Навье-Стокса. // Математический журнал. 2013. Том 13. №4 (50). Алматы.

5. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. Т.1. М.: Мир, 1991. – 504 с.

6. Монин А.С., Яглом А.М. Статическая гидромеханика. Теория турбулентности. Т.1. СПб.: Гидрометеоиздат, 1992. – 696 с.

7. А.Н. Колмогоров, А.Г. Драгалин. Математическая логика. Изд.3. М.: КомКнига. 2006. – 240 с.

Introduction

In this paper, it is proved

the impossibility of existence and smoothness of solving the equations of the three-dimensional Navier-Stokes problem within the field R3.

The Institute Gives this task the name of the Millennium challenge, among others.

The proof is based on the application of Kurt Goedel's incompleteness theorem, and a systematic approach is used.

The physical justification for the derivation of the Navier-Stokes equations and the physical processes of the turbulent flow are considered. To compare and apply the gödel theorem, the two physical processes are assigned a system level.

It is shown that the Navier-Stokes equations are not intended to solve the problems of a system corresponding to the level of space R3.

Problem of solving Navier-Stokes equations

The Navier-Stokes equations, as shown in [1, p. 73] By L. N. Landau, are obtained by recording the balance of the incoming and outgoing liquid, taking into account the energy dissipation under viscous friction in the liquid. At the same time, L. D. Landau noted that for the first time the formulation of equations for an incompressible liquid was written on the basis of model representations of Henri Navier (on molecular interactions).

Write down the Navier-Stokes equation for a compressible fluid: