Четыре дамы и молодой человек в вакууме. Нестандартные задачи обо всем на свете

Закатили потеху в Руане

Французский физик Блез Паскаль (1623–1662) показывал жителям города Руана, в котором тогда жил, остроумные опыты по гидростатике. Толпа в несколько сот человек собиралась на его демонстрации как на праздничные представления. Один из самых известных опытов Паскаля, поразивший воображение жителей Руана, состоял в следующем. В большую бочку наливалась доверху вода, бочка закупоривалась крышкой, в которую была вставлена длинная тонкая стеклянная трубка. В трубку наливали воду, и когда ее уровень достигал определенной высоты, крепкая бочка разрывалась.

Объясните это явление. Можно ли разорвать бочку с помощью стакана воды?

Электроны спешат на работу

Петя и Вася заспорили, за какое время электроны, находящиеся в проводе непосредственно около выключателя, попадают в электрическую лампочку на потолке, когда зажигают свет. Вася был уверен, что за ничтожные доли секунды, а Петя утверждал, что за гораздо большее время. Чтобы понять, кто из них прав, нужно ответить на вопрос, с какой примерно скоростью происходит направленное движение электронов в проводе:

а) 0,1 мм/с;

б) 330 м/с;

в) 100 км/с;

г) 300 000 км/с.

Дошли до лампочки

1. В первый день каникул, от нечего делать, Вася измерил сопротивление электрической лампочки при помощи тестера (небольшого прибора, который совмещает в себе функции амперметра, вольтметра и омметра; его можно использовать в домашних условиях) и получил значение 50 Ом. «Сейчас я тебя проверю, – сказал Петя. – На лампочке написано: 60 Вт, 220 В. Из этих данных легко рассчитать ее сопротивление без всякого прибора. Ну вот, у меня получилось совсем другое. Значит, одно из двух: или ты не умеешь пользоваться тестером, или прибор неисправен».

Какое значение сопротивления получилось у Пети (ошибок в расчетах он не сделал)? Какое из предположений Пети вы считаете правильным? А может быть, вы предложите другую причину расхождения?

2. На следующий день Петя стал объяснять Васе, как чаще всего перегорают лампочки. Поверхность вольфрамовой спирали лампочки не идеально ровная и гладкая. Где-то она чуть тоньше, где-то на ней есть бороздки, ямки и царапины, пусть и микроскопические. Дальше в дело вмешиваются простые законы электротехники: там, где спираль стала чуть тоньше, ее электрическое сопротивление увеличивается. Мощность (Р), выделяющаяся при прохождении тока через проводник, прямо пропорциональна сопротивлению (R): P = I2R, где I – сила тока. Поэтому более тонкие места спирали нагреваются до более высокой температуры, чем соседние участки, и, следовательно, они начинают «худеть» еще быстрее. Как известно, «где тонко, там и рвется»: когда температура какого-то участка спирали достигает температуры плавления вольфрама, этот участок оплавляется, капля металла вбирает в себя вещество с соседних участков, и очень скоро в этом месте спираль перегорает. Иногда такие наплывы бывают настолько заметными, что их можно увидеть и невооруженным глазом.

Вася внимательно слушал, а потом задал вопрос, поставивший Петю в тупик. Он сказал, что в соответствии с законом Ома зависимость мощности от сопротивления можно ведь записать и иначе: P = U2/R, и тогда мощность, а следовательно, и нагрев будут не прямо, а обратно пропорциональны сопротивлению! Почему же Петя использовал именно первую, «нужную» ему формулу? Как бы вы ответили Васе?

3. До начала учебы оставался всего один день – и тогда Петя показал Васе хитрый фокус. Он соединил последовательно на небольшой доске два патрона с лампочками на 220 В мощностью 15 Вт и два выключателя. И после включения в сеть продемонстрировал «чудо»: каждый выключатель мог включать и выключать только «свою» лампочку. Вася так и не смог догадаться, как это возможно. А вы сможете раскрыть секрет?

Полюса «поплыли»

Если компас поднести вплотную к нижней части чугунной батареи отопления, его стрелка будет показывать уже не на север – юг, а на батарею. То же, конечно, будет, если поднести компас к верхней части батареи. Но вот что удивительно: теперь компас показывает на чугун другим концом стрелки! Этот же эксперимент можно провести с чугунной ванной. Попробуйте объяснить такое удивительное явление, которое вполне можно показывать как фокус. Подсказка: «фокус» не удастся, если подносить компас к железному корпусу автомобиля, на котором хозяин каждый день ездит на работу.

Голос камертона

Для настройки музыкальных инструментов используют камертон: двойной металлический штырь, который при ударе издает звук определенной частоты. Звук этот довольно тихий и слышен только вблизи. Если же камертон установить на пустом деревянном ящике (резонаторе), то звук настолько усиливается, что его можно демонстрировать на лекции в большой аудитории. За счет чего берется энергия для усиления звука?

Страсбургский опыт

В журнале «Квант» (1981, № 4) описан красивый опыт, который академик Л. И. Мандельштам (1879–1944) показывал на своих лекциях в Страсбурге в 1908 году. Два камертона стояли рядом на резонаторных ящиках (коробки с отверстием в передней стенке). Периодически открывая и закрывая рукой отверстие ящика, на котором стоял первый камертон, лектор заставлял звучать второй, вызывая восхищение публики. Объяснение этого опыта автор статьи в журнале начинает так: «Периодически открывая и закрывая ящик, Мандельштам изменял амплитуду колебаний, приходящих ко второму камертону. Что же собой представляют колебания с меняющейся амплитудой – модулированные по амплитуде колебания?»

1. Найдите погрешность в тексте, объясните и исправьте ее (она никак не связана с физикой).

2. Чем сейчас известен Страсбург? В какой стране он находится?

3. Мандельштам на лекции не пользовался услугами переводчика; на каком языке он должен был говорить, чтобы в аудитории понимали его?

«Волна вослед волне»

1. На шкалах радиоприемников обозначены длины радиоволн в метрах и (или) частоты в герцах; вернее, в тысячах герц – килогерцах (кГц), и в миллионах герц – мегагерцах (МГц). Откуда появилось название «герц»? Как перевести длину волны в частоту и обратно?

2. Радиостанции работают в разных диапазонах – длинные волны, средние, короткие и ультракороткие (УКВ). Чему равны длины этих волн? Многие радиостанции вещают в FM-диапазоне (этот технический термин обыгрывался в музыкальной передаче под названием «FМ-Достоевский»). Что значит FM? Какова длина радиоволны, на которой ведется передача в FM-диапазоне на частоте 90,2 МГц? А что такое АМ?

3. Может ли частота электромагнитной волны, по которой радио- или телевизионная станция передает музыку, совпадать с частотой передаваемого этой станцией звука? Свой ответ подтвердите расчетом.

4. Каков физический смысл совпадения или несовпадения частот?

Сияние/зияние

Водитель ехал ночью по асфальтовому шоссе, включив фары. Вдруг он резко остановился: впереди зияла огромная черная дыра. Водитель вышел из машины, чтобы посмотреть, в чем дело. Оказалось, что никакой дыры на шоссе нет, а вместо нее – большая неглубокая лужа. Почему же она показалась водителю дырой?

Небо над Москвой

Однажды на радио выступал кинорежиссер; он рассказывал о Доме ветеранов кино в Матвеевском (на юго-западе Москвы): «Место там замечательное – тихое, много зелени. И небо над Москвой очень необычное – красновато-оранжевое. Я уж не знаю, что там светится, но это точно не рубиновые звезды Кремля!»

Каков на самом деле источник этого свечения?

Непрозрачный вопрос

В лазерной технике используются так называемые нелинейные эффекты. Один из них заключается в том, что растворы некоторых красителей (например, фталоцианина в бензоле) прозрачны для мощных световых пучков, но непрозрачны для света малой интенсивности. Предложите механизм этого странного на первый взгляд явления.

Пара кюри

В 1908 году английский физик Эрнест Резерфорд и немецкий физик Ханс Гейгер провели эксперимент, который позволил установить число альфа-частиц, испускаемых 1 г радия за 1 с (впоследствии эту величину приняли за единицу радиоактивности и назвали 1 кюри, но сейчас она определяется иначе). В одном из опытов радиоактивный образец (0,154 мг радия) укрепили на кончике иглы в конце трубки длиной 3,5 м. На другом ее конце было отверстие диаметром 1,25 мм, через которое альфа-частицы от источника излучения выходили из трубки и ударялись о специальный экран, покрытый флуоресцирующим составом. В темноте попадание на экран каждой альфа-частицы сопровождалось хорошо видимой вспышкой света. В одном из экспериментов за 10 минут было зарегистрировано 25 вспышек. На основании этих данных определите, чему равен 1 кюри. Почему эта единица получила такое название?

«Непостоянная» постоянная

Через несколько лет, в 1911 году, Резерфорд и его американский коллега Болтвуд измерили скорость выделения гелия из радия. При распаде каждого атома радия выделяется одна альфа-частица, а затем довольно быстро – еще три альфа-частицы (их выделяют продукты распада радия). Все альфа-частицы превращаются в атомы гелия, объем которого можно измерить. В одном из опытов из 192 мг радия за 83 дня образовалось 6,58 мм3 гелия (при нормальных условиях). Определите значение постоянной Авогадро, считая, как и Резерфорд, что 1 г чистого радия за 1 с выделяет 3,4 ∙ 1010 альфа-частиц.

Ожерелье из молекул

Диаметр молекулы водорода равен примерно 0,3 нм (нанометр – миллиардная часть метра). Какой примерно длины надо взять нитку, чтобы на нее, как бусы, можно было вплотную нанизать все молекулы водорода, содержащиеся в 1 см3 этого газа при нормальных условиях? Сможете ли вы протянуть эту нитку в своей комнате? А какого размера должен быть стол, чтобы это же число молекул плотно расположить на его поверхности? Такой стол в вашей комнате поместится? Наконец, какого размера был бы кубик, содержащий все эти молекулы водорода плотно упакованными? Поместится ли он в комнате? Какова была бы его плотность, если плотность газообразного водорода равна 0,09 г/л? Сравните полученное значение с плотностью твердого водорода (0,062 г/см3) и, если есть расхождение, объясните его. (При решении считайте для простоты молекулы водорода не гантелями и даже не шариками, а кубиками со стороной 0,3 нм.)

Атом водорода «набирает вес»

В справочниках и учебниках, выпущенных в разные годы, приводятся не совпадающие данные об относительных атомных массах элементов.

* IUPAC (International Union of Pure and Applied Chemistry) – Международный союз теоретической и прикладной химии.

1. Как вы думаете, почему в XIX веке атомная масса водорода была равна ровно 1 (с приведенной точностью), а кислорода – меньше 16? И почему в словаре Брокгауза нет атомной массы гелия?

2. Почему в 1933 и 1958 годах, наоборот, атомную массу кислорода считали точно равной 16, а для атомной массы водорода приводили значение больше 1? (Указание: подсчитайте отношение атомных масс кислорода и водорода, полученное в разные годы.)

3. Почему в таблице 1958 года изменились (по сравнению с 1933 годом) атомные массы гелия и углерода?

4. Известно, что природный водород представлен двумя стабильными изотопами с массовыми числами 1 и 2 (99,984 % 1H и 0,016 % 2H); гелий представлен также двумя стабильными изотопами с массовыми числами 3 и 4, причем 4He в природе всего 0,00013 %; углерод представлен двумя стабильными изотопами (98,892 % 12C и 1,108 % 13C); кислород представлен тремя стабильными изотопами (99,759 % 16O, 0,037 % 17O и 0,204 % 18O). Почему же тогда современное значение относительной атомной массы гелия больше 4, а кислорода – меньше 16?

5. Как вы думаете, почему относительная атомная масса гелия в таблицах дается с точностью до шестого знака после запятой, а углерода – с точностью только до четвертого знака? (Для сведения: до шестого знака после запятой в таблице 2005 года приведены относительные атомные массы Be, Na, Al, P, Sc и ряда других элементов, а для фтора – даже до седьмого знака, тогда как для германия, селена, стронция и некоторых других элементов – с точностью только до второго знака после запятой.)

6. Что означает последняя цифра в скобках в данных таблицы 2005 года?

Калий согревает Землю

Калий, один из самых распространенных на Земле элементов (2,5 массовых процента в земной коре), имеет три изотопа со следующими характеристиками:

Относительная атомная масса природного калия A_r = 39,0983. Один из его изотопов – 40K – радиоактивен; период полураспада равен 1,275 млрд лет.

1. Увеличивается или уменьшается значение A_r для калия со временем?

2. Распад 40K происходит на 95 % путем испускания из ядра бета-частиц (электронов) со средней энергией 1,3 МэВ (мегаэлектронвольт; 1 эВ = 96 500 Дж/моль). Какой элемент образуется в результате этого распада? Напишите уравнение соответствующей реакции.

3. Каково было значение A_r для калия при образовании нашей планеты? (Возраст Земли составляет 4,54 млрд лет, но для простоты расчетов можно взять значение 5,1 млрд лет.) Ответ дать с той же точностью, что и в условии.

4. Насколько приблизительно нагрелась бы земная кора только за счет радиоактивного распада 40К в результате распада 5 % от имеющегося сейчас количества 40К, если бы не было потерь тепла в окружающее пространство? Считайте, что калий распространен в Земле равномерно; теплоемкость земных пород примите равной 1 Дж/(г ∙ К).

Звезды и планеты

Четыре дамы и молодой человек в вакууме

Вокруг одной из звезд обращается множество небесных тел, не обладающих собственным свечением. Четыре из них (Церера, Паллада, Юнона и Веста) были открыты в период с 1801 по 1807 год, Икар – в 1949 году.

1. Назовите эту звезду и поясните свой ответ.

2. Какое общее название есть у всех этих небесных тел? Объясните его этимологию.

3. В честь кого было названо пять перечисленных небесных тел? Попытайтесь восстановить логику названия Икара.

Прямиком от Солнца

Возможно ли в Солнечной системе равномерное прямолинейное движение нерукотворного объекта относительно Солнца? Свой ответ поясните.

Неторопливый свет

18 марта 2021 года восход солнца в Москве наблюдался в 6:35. В какое время наблюдался бы восход солнца, если бы свет распространялся вдвое медленнее? (Расстояние от Земли до Солнца – 150 млн км, скорость света – 300 000 км/с.)

Заторможенная Земля

Известно, что смена дня и ночи вызвана вращением Земли вокруг оси. А что произойдет, если вращение Земли вокруг оси прекратится? Рассмотрите два варианта: мгновенное и очень медленное торможение.

Держи атмосферу!

Примем за исходное условие, что в отсутствие источников пополнения атмосферного воздуха атмосферное давление упало бы вдвое за миллиард лет. Оцените, сколько примерно воздуха покидает Землю ежесекундно в результате «сдувания» его солнечным ветром.

Испарившийся метеорит

Оцените, с какой скоростью должен влететь в атмосферу Земли железный метеорит, чтобы он полностью испарился. Температура плавления железа – 1538 ℃, температура кипения – 2870 ℃, теплоемкость твердого железа – 456 Дж/(кг · К), жидкого – 820 Дж/(кг · К), теплота плавления – 272 кДж/кг, теплота испарения – 6095 кДж/кг.

Стремление к глубине

Ваша задача – оказаться как можно ближе к центру Земли относительно вашего текущего местоположения, используя современные технические средства. Как это можно сделать?

Осторожнее с солнцепоклонниками!

Прочтите внимательно отрывок из заметки, посвященной истории празднования Рождества. Где автор допустил фактическую ошибку?

«Почему мы празднуем Рождество Христово именно 7 января (25 декабря по старому стилю)? Ведь ни в одном из четырех Евангелий не сказано, что Иисус Христос родился именно в этот день.

Ответ надо искать в ранней истории церкви, в IV веке. В то время римский император Константин, бывший язычником, принял христианство и специальным указом узаконил религию Иисуса. Новая церковь сразу повела борьбу с существовавшими культами, используя для этого и наполняя новым христианским смыслом традиционные языческие обряды и праздники.

Один из главных праздников тогдашние солнцепоклонники отмечали в последние дни декабря, в период зимнего солнцестояния, когда начинается приближение Земли к Солнцу и становится светлее. Эти дни воспринимались язычниками как победа света над тьмой. Именно тогда и стали христиане праздновать Рождество как рождение подлинного Солнца, вхождение в мир духовного света истинного Бога».

Одолженный свет

Задача 1 (вспомогательная). Скорее всего, вы баловались в детстве с солнечными зайчиками и при этом, наверное, заметили, что чем дальше стенка от зеркальца, тем больше размер зайчика на этой стенке. Как вы думаете, почему так происходит и при каких условиях размер зайчика не будет увеличиваться с увеличением расстояния от зеркала?

Задача 2 (основная). Оцените, хотя бы приблизительно, во сколько раз освещенность земной поверхности в яркий солнечный день больше, чем ночью при полной луне. Расстояние от Земли до Луны равно в среднем 380 000 км, диаметр Луны – 3500 км, ее поверхность отражает лишь 7 % падающего на нее света (остальное поглощается лунным грунтом). Рассеянием света в атмосфере Земли пренебречь. Подсказка: вспомните, как для наблюдателя на Земле выглядит полное солнечное затмение.

«Эти недавние затмения, солнечное и лунное!»

Астрономам известно, что полные солнечные затмения происходят в полтора раза чаще лунных. Почему же человек в течение своей жизни может наблюдать намного больше лунных затмений, чем солнечных?

«На луне полутьма и дома опрятней…»

1. Как вы думаете, наблюдаются ли на Луне восходы и заходы Солнца и Земли?

2. А фазы Земли, аналогичные лунным фазам для земного наблюдателя? И если наблюдаются, как они соотносятся с лунными фазами на Земле?

Светопреставление в космосе

На каком примерно расстоянии от Земли наша планета еще может полностью «затмить» от космического наблюдателя Солнце (его диаметр в 110 раз больше диаметра Земли)?

«Ужасная» осведомленность

У Марса есть два спутника – Фобос и Деймос. Они названы в честь сыновей бога войны в древнегреческой мифологии. Один из кратеров на Деймосе получил имя английского писателя Джонатана Свифта. В романе о приключениях Гулливера (1726) он так описал открытие этих спутников: «Кроме того, они открыли две маленькие звезды, или два спутника, обращающиеся около Марса. Ближайший из них удален от центра этой планеты на расстояние, равное трем ее диаметрам, второй находится от нее на расстоянии пяти таких диаметров. Первый совершает свое обращение в течение десяти часов, второй – 21,5 часа»[9].

По современным данным, средний диаметр Марса – 6794 км; Фобос удален от центра Марса на 9280 км, что в 1,38 раза больше диаметра планеты, а Деймос – на 23 460 км, что в 3,45 раза больше диаметра Марса. Так что в обоих случаях Свифт ошибся всего в 1,5–2 раза. Далее: период обращения Фобоса вокруг Марса равен 7,7 часа, Деймоса – 30,3 часа. Здесь ошибка еще меньше – всего на 30–40 %.