Занимательная арифметика [Загадки и диковинки в мире чисел]

12 х 8 = 96,

12 х 9 = 108.

Число 12 удовлетворяет всем требованиям. Нет ли еще таких чисел? Испытаем 13:

13 х 8 = 104,

13 х 9 = 117.

Оба произведения трехзначные; следовательно, 13 не годится. Ясно, что неподходящими являются и все числа, большие чем 13.

Итак, единственный возможный делитель — 12. Зная делитель, частное и остаток, легко находим делимое и восстанавливаем весь случай деления.

Итак,

делимое = 90 809 х 12 + 1 = 1 089 709.

Случай деления:

Как видим, по двум известным цифрам нам удалось установить смысл 26 неизвестных цифр.

АРИФМЕТИКА ЗА ЗАВТРАКОМ

Перед нами ряд действий над числами, обозначенными предметами сервировки стола (см. рисунок). Вилка, ложка, нож, кувшинчик, тарелка — все это знаки, каждый из которых заменяет определенную цифру.

Глядя на эту группу ножей, вилок, посуды и т. п., попробуйте угадать: какие именно числа здесь обозначены?

Разгадайте, над какими числами производятся обозначенные здесь арифметические действия!

С первого взгляда задача кажется очень трудной: приходится разгадывать настоящие иероглифы[5], как сделал некогда француз Шампольон[6]. Но ваша задача гораздо легче. Вы ведь знаете, что числа здесь, хотя обозначены вилками, ножами, ложками и т. п., написаны по десятичной системе счисления, то есть вам известно, что тарелка, стоящая на втором месте (считая справа), есть цифра десятков, что предмет направо от нее — цифра единиц, а по левую сторону — цифра сотен. Кроме того, вы знаете, что расположение всех этих предметов имеет определенный смысл, который вытекает из сущности арифметических действий, производимых над обозначенными ими числами. Все это может значительно облегчить вам решение предложенной задачи.

Вот как можно доискаться значения расставленных здесь предметов. Рассматривая первые три ряда на нашем рисунке, вы видите, что "ложка", умноженная на "ложку", дает "нож". А из следующих рядов видно, что "нож" без "ложки" дает "ложку " или что "ложка прибавленная к "ложке", дает "нож". Какая же цифра дает одно и то же и при удвоении и при умножении сама на себя? Это может быть только 2, потому что 2 х 2 = 2 + 2. Таким образом узнаём, что "ложка" обозначает 2 и, следовательно, "нож" — 4.

Теперь идем дальше. Какая цифра обозначена "вилкой"? Попробуем разгадать это, присмотревшись к первым трем рядам, где "вилка" участвует в умножении, и к рядам III, IV и V, где та же "вилка" фигурирует в действии вычитания. Из группы вычитания вы видите, что, отнимая в разряде десятков "вилку" от "ложки", получаем в результате "вилку", то-есть при вычитании "вилки" из двойки получается "вилка". Это может быть в двух случаях: либо "вилка" обозначает 1, и тогда 2 – 1 = 1; либо же "вилка" обозначает 6, и тогда, вычитая 6 из 12 (единица высшего разряда занимается у "чашки"), получаем 6.

Что же выбрать: 1 или 6? Испытаем, годится ли 6 для "вилки" в других действиях. Обратите внимание на сложение V и VI рядов: "вилка" (то-есть 6), прибавленная к "чашке", дает "тарелку"; значит, "чашка" должна быть меньше 4 (потому что в рядах VII и VIII при вычитании "вилки" из "тарелки" получается "чашка"). Но "чашка" не может обозначаться двойкой, так как двойка обозначена уже "ложкой"; не может "чашка" быть и единицей — иначе вычитание IV ряда из III не могло бы дать трехзначного числа в V ряду. Не может, наконец, "чашка" обозначать и 3 — вот почему_: если "чашку" принять за 3, то "бокальчик" (ряды IV и V) должен быть принят за единицу, потому что 1 + 1 = 2, то-есть "бокальчик", прибавленный к "бокальчику", дает "чашку", убавленную на единицу, которая была занята у него при вычитании в разряде десятков; "бокальчик" же не может быть принят за единицу, потому что тогда "тарелка" в VII ряду будет обозначать в одном случае цифру 5 ("бокальчик", сложенный с "ножом"), а в другом — цифру 9 ("вилка", прибавленная к "чашке"), чего быть не может. Значит, нельзя было "вилку" принимать за 6, а надо было принять ее за единицу.

Узнав путем таких — довольно, правда, долгих — поисков, что "вилка" обозначает цифру 1, мы дальше идем более уверенно и быстро. Из действия вычитания в III и IV рядах видим, что "чашка" обозначает либо 6, либо 8. Но 8 приходится отвергнуть, потому что тогда вышло бы, что "бокальчик" должен обозначать 4, а мы знаем, что цифра 4 обозначена "ножом". Итак, "чашка" обозначает цифру 6, а следовательно, "бокальчик" — цифру 3.

Какая же цифра обозначена "кувшинчиком" в I ряду? Это легко узнать, раз нам известно произведение (III ряд, 624) и один из множителей (II ряд, 12). Разделив 624 на 12, получаем 52. Следовательно, "кувшинчик" обозначает 5.

Значение "тарелки" определяется просто: в VZ/ряду «вилка", прибавленная к "чашке", и "бокальчик", прибавленный к "ножу", дают порознь "тарелку", то-есть "тарелка" обозначает число, равное 1 + 6 = 3 + 4 = 7.

Итак, мы путем нехитрых арифметических вычислений разгадали иероглифическую надпись из предметов столовой сервировки:

"кувшин " обозначает 5, "чашка " — 6,

"ложка " — 2, "бокальчик" — 3,

"вилка" — 1, "тарелка" — 7.

"нож" — 4,

А весь ряд арифметических действий, изображенный этой оригинальной сервировкой, приобретает такой смысл:

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ РЕБУСЫ

То, что я называю арифметическими ребусами, — занимательная игра школьников: отгадывание задуманного слова решением задачи вроде той, какую мы решили в предыдущей статье. Загадывающий задумывает слово, состоящее из 10 неповторяющихся букв, — например, "трудолюбие", "специально", просвещать". Приняв буквы задуманного слова за цифры, загадывающий изображает посредством этих букв какой-нибудь случай деления. Если задумано слово "просвещать", то можно взять такой пример деления:

Можно взять и другие слова:

Буквенное изображение определенного случая деления вручается отгадчику, который и должен по этому, на первый взгляд бессмысленному, набору букв угадать задуманное слово. Как следует в подобных случаях доискиваться числового значения букв, читатель уже знает: мы объяснили это, когда решали задачу предыдущей статьи. При некотором терпении можно успешно разгадывать эти арифметические ребусы, если только пример достаточно длинен и дает необходимый материал для догадок и испытаний. Если же выбраны слова, дающие чересчур короткий случай деления, например:

то разгадывать очень трудно. В подобных случаях надо просить загадывающего продолжить деление до сотых или тысячных долей, то-есть получить в частном еще два или три десятичных знака. Вот пример деления до сотых долей:

Если бы в этом случае мы остановились на целом частном (со), отгадка задуманного слова едва ли была бы возможна.

Что касается слов, пригодных в качестве "ключа* для подобных ребусов, то выбор их не так беден, как может казаться; кроме прежде указанных, можно использовать слова:

республика, пятидневка,

демократия, струбцинка.

Как далеко может идти изобретательность в этом направлении, показывает следующий пример. Один из читателей прислал мне остроумно составленный арифметический ребус, разгадка которого представляет собой… лозунг для пропаганды идеи межпланетных путешествий. Ребус состоит из трех частей, последовательно развертывающих этот близкий мне лозунг. Вот они:

Читатель, который пожелает разгадать этот тройной (и весьма нелегкий) ребус, узнает в итоге, что

Предлагаю далее читателю самостоятельно разгадать следующий ряд ребусов:

_{1 Хотя в этой задаче ключ состоит из 12 букв и включает в себя повторяющиеся буквы, тем не менее задача вполне разрешима.}

Решения этих ребусов см. в ответах.

ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА В КНИЖНЫХ ШКАФАХ

Особенность десятичной системы счисления остроумно используется даже в такой области, где с первого взгляда этого и ожидать не приходится, — именно, при хранении книг в библиотеке.

Существует такая система распределения книг по номерам, при которой одна и та же книга должна иметь одинаковый номер в любой библиотеке. Это так называемая "десятичная система классификации книг".

Система эта чрезвычайно удобна и весьма несложна. Сущность ее в том, что каждая отрасль знания обозначается определенным числом и притом так, что цифровой состав этого номера сам говорит о месте данного предмета в общей системе знаний.

Книги, Согласно этой международной десятичной классификации, прежде всего разбиваются на 10 обширных классов, обозначенных цифрами от 0 до 9.

0. Сочинения общего характера.

1. Философия.

2. Религия (у нас — история религий и антирелигиозный отдел).

3. Общественные науки. Право.

4. Филология. Языки.

5. Физико-математические и естественные науки.

6. Прикладные науки (медицина, техника, сельское хозяйство и т. п.).

7. Изящные искусства.

8. Литература.

9. История, география, биографии.

В обозначении номера книги по этой системе первая цифра прямо указывает на ее принадлежность к тому или иному классу из перечисленных выше: каждая книга по философии имеет номер, начинающийся с 1, по математике — с 5, по технике — с 6. И наоборот, если номер начинается, например, с 4, то, не видав книги, мы можем утверждать, что перед нами сочинение из области языкознания.

Далее, каждый из 10 перечисленных классов книг подразделяется на 10 главных отделов, отмеченных цифрами; эти цифры ставят в обозначении номера на втором месте. Так, 5-й класс, включающий физико-математические и естественно-научные книги, разделяется на следующие отделы:

50. Общие сочинения по физико-математическим и естественным наукам.

51. Математика.

52. Астрономия. Геодезия.

53. Физика. Механика теоретическая.

54. Химия. Минералогия.

55. Геология.

56. Палеонтология.

57. Биология. Антропология.

58. Ботаника.

59. Зоология.

Сходным образом разбиваются по отделам и остальные классы прикладных наук (6): отдел медицины обозначается цифрой 1 после 6, то-есть числом 61, по сельскому хозяйству — 63, по домоводству — 64, торговле и путям сообщений — 65, химической промышленности и технологии — 66 и т. п. Точно так же в 9-м классе все книги по географии и путешествиям относятся к отделу 91 и т. п.

Присоединяя к двум первым цифрам третью, характеризуют содержание книги еще точнее указывая, к какому разряду данного подотдела она относится. Например, в подотделе математики (51) цифра 1 на третьем месте (511) говорит о том, что книга относится к арифметике; шифр 512 обозначает книги по алгебре; 513 — по геометрии. В отделе физики (53) книги по электричеству имеют шифр 537, по оптике — 535, по теплоте — 536.

Ящичек карточного библиотечного каталога, организованного по десятичной системе.

В библиотеке, устроенной по десятичной системе, нахождение нужной книги до крайности упрощается. Если вы интересуетесь геометрией, вы прямо идете к шкафам, где шифры начинаются с 5, отыскиваете тот шкаф, где хранятся книги с шифром 51…, и пересматриваете в нем только те полки, где стоят книги с шифром 513,— здесь собраны все книги по геометрии, имеющиеся в данной библиотеке. Как бы обширна ни была библиотека, никогда не может случиться, чтобы какая-либо книга выпала из этой системы обозначений.

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ЗНАКИ И НАЗВАНИЯ У РАЗНЫХ НАРОДОВ

Принято думать, что арифметические знаки до известной степени интернациональны, что они одинаковы у всех народов европейской культуры. Это верно лишь по отношению к большинству знаков, но не ко всем. Знаки + и —, знаки х и : употребляются в одинаковом смысле и немцами, и французами, и англичанами. Но точка как знак умножения применяется не вполне тождественно разными народами. Одни пишут 7.8, другие — 7∙8, поднимая точку на середину высоты цифры. То же приходится сказать о знаке дробности, то-есть о знаке, отделяющем десятичную дробь от целого числа. Одни пишут, как мы, 4,5; другие — 4.5; третьи — 4∙5, помещая точку выше середины. Англичане и американцы совсем опускают ноль перед десятичной дробью, чего на континенте Европы никто не делает. В американской книге вы встречаете такие обозначения, как.725, или ∙725, или даже ,725 — вместо нашего 0,725.

Расчленение числа на классы обозначается также неоднообразно. В одних странах разделяют классы точками (15.000.000), в других — запятыми (15,000,000). У нас привился разумный обычай не помещать между классами никакого знака, а оставлять лишь пробел (15000000).

Поучительно проследить за тем, как меняется способ наименования одного и того же числа с переходом от одного языка к другому. Число 18, например, мы называем "восемнадцать"[7], то-есть произносим сначала единицы (8), потом десятки (10). В такой же последовательности читает это число немец: achtzehn, то-есть 8-10. Но француз произносит иначе: 10-8 (dix-huit). Насколько разнообразны у разных народов способы наименования того же числа 18, показывает следующее извлечение из таблицы, составленной одним исследователем:

по-русски… 8 - 10

по-литовски… 8 сверх 10

по-армянски… 10 + 8

по-немецки… 8 - 10

по-французски… 10 - 8

по-гречески… 8 + 10

по-латыни… без 2 20

по-новозеландски… 11 + 7

по-валлийски… 3 + 5 - 10

по-коряцки… 3 – 5 сверх 10

Курьезно наименование для того же числа 18 у одного гренландского племени: "с другой ноги 3". При всей своей необычности это название, естественно, объясняется способом счета по пальцам рук и ног. Раскроем его смысл:

число пальцев обеих рук… 10

-""- одной ноги… 5

-""- другой ноги… 3

Итого… 18