Помоги проекту - поделись книгой:
Этот случай произошел на острове рыцарей, лжецов и обычных людей. Напомним, что рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут, а обычные люди иногда говорят правду, а иногда – ложь.
Трое жителей острова А, В и С предстали перед судом. Известно, что преступление мог совершить только один из них. Известно также, что совершивший преступление был рыцарем и что других рыцарей среди трех подсудимых не было. На суде А, В и С сделали следующие заявления:
А: Я невиновен.
В: Это правда.
С: В – не обычный человек.
Кто из троих виновен в совершенном преступлении?
Этот случай, самый интересный из всех, внешне напоминает предыдущие, но в действительности в корне отличен от них. Он также произошел на острове рыцарей, лжецов и обычных людей.
Главными действующими лицами были подсудимый, обвинитель и защитник. Судебный процесс проходил весьма необычно. Начать хотя бы с того, что один из его трех главных участников был рыцарем, другой лжецом, а третий обычным человеком, но кто из них рыцарь, лжец или обычный человек, не было известно никому. Еще более странным было другое обстоятельство: суду достоверно было известно, что если подсудимый невиновен, то виновен либо защитник, либо обвинитель. Было известно также, что виновный не лжец. В ходе судебного заседания подсудимый, обвинитель и защитник сделали следующие заявления:
П о д с у д и м ы й. Я невиновен.
З а щ и т н и к. Мой подзащитный действительно не виновен.
О б в и н и т е л ь. Неправда, подсудимый виновен.
Их заявления прозвучали вполне естественно. Присяжные удалились на совещание, но не смогли вынести никакого решения: сведений, содержащихся в трех заявлениях, сделанных на суде, для этого оказалось недостаточно. В те времена, когда происходил суд, остров входил в британские владения, поэтому правительство острова направило в Скотленд-Ярд телеграмму с просьбой направить к ним инспектора Крэга, чтобы тот помог разрешить возникшее затруднение.
Через несколько недель инспектор Крэг прибыл на остров, и суд возобновил свои заседания. Крэг решил во что бы то ни стало досконально во всем разобраться. Он вознамерился не только установить, кто виновен в совершении преступления, но и определить, кто из трех участников процесса рыцарь, кто лжец и кто обычный человек. Выяснить интересующие его сведения инспектор Крэг решил за минимальное число вопросов. Сначала он спросил у обвинителя: «Вы, случайно, не виновны?» Обвинитель ответил. Поразмыслив, инспектор Крэг обратился с вопросом к подсудимому: «Виновен ли обвинитель?» Подсудимый ответил, и инспектор Крэг узнал все, что его интересовало.
Кто виновен? Кто был обычным человеком, кто рыцарем и кто лжецом?
71. Покажем прежде всего, что по крайней мере один из А, С виновен. Если В невиновен, то ясно, что виновен кто-то из А, С (или оба), так как из высказывания (1) следует, что никто, кроме А, В и С, не может быть виновен. Если В виновен, то у него должен быть соучастник (так как В не умеет водить машину). Следовательно, и в этом случае А или С должен быть виновен. Таким образом, кто-то из А и С (или оба) виновен. Если С невиновен, то А должен быть виновен. С другой стороны, если С виновен, то в силу высказывания (2) А также виновен. Следовательно, А виновен.
72. Этот случай еще проще. Если А невиновен, то (так как С невиновен) виновным должен быть В – в силу высказывания (1). Если А виновен, то в силу высказывания (2) у него должен быть соучастник. Из высказывания (3) следует, что этим соучастником не мог быть С. Значит, им должен быть В. Итак, и в том и в другом случае В виновен.
73. Предположим, что В невиновен. Тогда должен быть виновен один из двух близнецов. У этого близнеца должен быть соучастник, а поскольку В не мог быть сообщником, то им должен быть другой близнец. Но это невозможно, так как одного из близнецов во время преступления видели в Дувре. Следовательно, В виновен. А поскольку В всегда «ходит на дело» в одиночку, то оба близнеца невиновны.
74. Не вызывает ни малейших сомнений виновность В. Доказать это можно при помощи любого из следующих рассуждений,
Рассуждение первое. Предположим, что В невиновен. Тогда если бы А был виновен, то С также был бы виновен в силу высказывания (1). Это означало бы, что вопреки высказыванию (3) А совершил преступление вместе с С. Следовательно, А должен быть невиновен. Но тогда вопреки высказыванию (2) С единственный, кто виновен. Значит, В виновен.
Рассуждение второе. Оно прямее приводит к ответу на вопрос задачи.
а) Предположим, что А виновен. Тогда в силу высказывания (1) В и С не могут быть оба невиновны, поэтому у А должен быть соучастник. Так как С в силу высказывания (3) не мог быть соучастником А, то им должен быть В. Следовательно, если А виновен, то В также виновен.
б) Предположим, что С виновен. Тогда в силу высказывания (2) у него должен быть соучастник, которым в силу высказывания (3) не мог быть А. Следовательно, им должен быть В.
в) Если ни А, ни С невиновны, то В несомненно виновен!
75. Инспектор Крэг выдвинул против мистера Макгрегора обвинение в попытке ввести полицию в заблуждение: никакого ограбления в действительности не было. Вот как рассуждал инспектор Крэг.
Первый шаг. Предположим, что А был бы виновен. Тогда в силу высказывания (2) у него был бы ровно один соучастник – не больше, не меньше. Следовательно, кто-то один из В, С виновен, а другой невиновен. Но это противоречит высказываниям (3) и (5), из которых, если взять их вместе, следует, что В, С либо оба виновны, либо оба невиновны. Значит, А должен быть невиновен.
Второй шаг. Из высказываний (3) и (5) следует, что В и С либо оба виновны, либо оба невиновны. Если бы они были оба виновны, то других виновных не было бы (так как А невиновен). Следовательно, виновных в этом случае было бы ровно двое. В силу высказывания (4) это означало бы, что А виновен. Тем самым мы пришли бы к противоречию, так как А невиновен. Следовательно, В и С оба невиновны.
Третий шаг. Итак, установлено, что А, В, С невиновны. Но, как следует из высказывания (1), в день ограбления никто, кроме А, В и С, в лавку не заходил и не мог совершить ограбления. Значит, никакого ограбления не было, и Макгрегор лгал.
Эпилог. Не устояв перед неопровержимыми доводами инспектора Крэга, Макгрегор признался в том, что он солгал в надежде получить страховку.
76. Если В виновен, то в силу высказывания (2) в преступлении замешаны ровно двое подозреваемых. Если же виновен С, то в силу высказывания (3) в преступлении замешаны трое подозреваемых. Поскольку ни того, ни другого быть не может, то по крайней мере один из В и С невиновен. Подозреваемый А также невиновен, поэтому виновных не может быть больше двух. Следовательно, у С не было ровно двух соучастников, и в силу высказывания (3) подозреваемый С должен быть невиновен. Если В виновен, то у него был ровно один соучастник. Им должен быть D (так как А и В оба невиновны). Если В невиновен, то А, В и С невиновны. Тогда D должен быть виновен. Итак, независимо от того, виновен или невиновен В, подсудимый D должен быть виновен. Следовательно, D виновен.
77. В действительности обвинитель сказал, что подсудимый не совершал преступления в одиночку. Защитник, отрицая высказывание обвинителя, тем самым утверждал, что подсудимый совершил преступление в одиночку.
78. Можно, причем очень просто. В силу высказывания (1), если А невиновен, то С виновен (поскольку если А невиновен, то дизъюнкция «либо А невиновен, либо В виновен» – истинна). В силу высказывания (2), если А невиновен, то С невиновен. Следовательно, если А невиновен, то С одновременно виновен и невиновен, что невозможно. Значит, А должен быть виновен.
79. Двое подсудимых, один из которых должен быть виновен, это А и С. Действительно, предположим, что В невиновен. Тогда в силу высказывания (1) А или С должен быть виновен. С другой стороны, предположим, что В виновен. Если А виновен, то по крайней мере кто-то один из А и С заведомо виновен. Но предположим, что А невиновен. Тогда В виновен, а А невиновен. Следовательно, в силу высказывания (2) С должен быть виновен, то есть и в этом случае либо В, либо С виновен.
80. Прежде всего докажем, что если А виновен, то С виновен. Предположим, что А виновен. Тогда в силу высказывания (2) либо В, либо С виновен. Если В невиновен, то виновен должен быть С. Но предположим, что В виновен. Тогда А и В оба виновны. Следовательно, в силу высказывания (1) С также виновен. Это доказывает, что если А виновен, то С виновен. Кроме того, в силу высказывания (3), если С виновен, то D виновен. Сопоставляя эти два факта, мы заключаем, что если А виновен, то D виновен. Но в силу высказывания (4), если А невиновен, то D виновен. Следовательно, независимо от того, виновен или невиновен А, подсудимый D должен быть виновен. Таким образом, виновность D не вызывает сомнений. Виновность всех остальных подсудимых остается под сомнением.
81. Все подсудимые виновны. Действительно, в силу высказывания (3), если D невиновен, то А виновен. В силу высказывания (4), если D виновен, то А виновен. Следовательно, независимо от того, виновен или невиновен D, подсудимый А должен быть виновен. Тогда в силу высказывания (1) В также виновен. Из высказывания (2) мы заключаем, что либо С виновен, либо А невиновен. Поскольку уже известно, что А не невиновен, то С должен быть виновен. Наконец, из высказывания (3) следует, что если D невиновен, то С невиновен. Но мы уже доказали, что С не невиновен, поэтому D должен быть виновен. Итак, все подсудимые виновны.
82. Вполне разумно: оно помогло подсудимому снять с себя все подозрения! Действительно, предположим, что подсудимый – рыцарь. Тогда его высказывание истинно, и виновный – лжец. Следовательно, подсудимый должен быть невиновен. С другой стороны, предположим, что подсудимый – лжец. Тогда его высказывание ложно, поэтому тот, кто совершил преступление, – рыцарь. Следовательно, и в этом случае подсудимый невиновен.
83. Предположим, что обвинитель был бы лжецом. Тогда высказывания (1) и (2) были бы ложными. Но если высказывание (1) ложно, то X невиновен, а если ложно высказывание (2), то X и Y оба виновны. Итак, X должен был быть виновным и невиновным одновременно, что невозможно. Следовательно, обвинитель должен быть рыцарем. Значит, X в действительности виновен, а поскольку X и Y не могут быть виновными одновременно, то Y должен быть невиновен. Следовательно, X виновен, Y невиновен, и обвинитель – рыцарь.
84. Если бы обвинитель был лжецом, то тогда:
1) X и Y оба были бы невиновны;
2) X был бы виновен.
И в этом случае мы бы опять пришли к противоречию. Следовательно, обвинитель – рыцарь, X неви новен, a Y виновен.
85. Предположим, что обвинитель был бы лжецом. Тогда высказывание (1) ложно, поэтому X виновен и Y невиновен. Следовательно, X виновен. Но высказывание (2) также ложно, поэтому X невиновен, и мы приходим к противоречию. Значит, в этой задаче, так же как и в предыдущей, обвинитель – рыцарь. Тогда в силу высказывания (2) X виновен. Из высказывания (1) (так как X не невиновен) мы заключаем, что Y виновен. Следовательно, в этом случае X и Y оба виновны.
86. Подсудимый А не может быть рыцарем, так как если бы он был рыцарем, то был бы виновен и не лгал бы, утверждая, что невиновен. Подсудимый А не может быть и лжецом, так как если бы он был лжецом, то его высказывание было бы ложным, и он был бы виновен и, следовательно, был бы рыцарем. Значит, А – обычный человек и невиновен. Поскольку А невиновен, то высказывание островитянина В истинно. Следовательно, В не лжец: он либо рыцарь, либо обычный человек. Предположим, что В был бы обычным человеком. Тогда высказывание островитянина С было бы ложным, и С был бы либо лжецом, либо обычным человеком. Это означало бы, что среди трех островитян А, В, С нет ни одного рыцаря. Следовательно, вопреки условиям задачи ни один из них не виновен. Отсюда мы заключаем, что В не может быть обычным человеком. Он должен быть рыцарем и, следовательно, виновен.
87. Пока Крэг не прибыл.[1] Прежде всего заметим, что А не может быть лжецом, так как если бы он был лжецом, то его высказывание было бы ложно и, следовательно, он был бы виновен. Мы пришли бы к противоречию с тем условием задачи, в котором говорится, что лжец невиновен. Значит, А – либо рыцарь, либо обычный человек.
Первый случай: А – рыцарь. Поскольку его высказывание истинно, то он невиновен. Тогда высказывание защитника В также истинно. Следовательно, В – либо рыцарь, либо обычный человек. Но А – рыцарь; поэтому В – обычный человек. Значит, С может быть только лжецом. А поскольку известно, что лжец невиновен, то В виновен.
Второй случай: А – обычный человек и невиновен. Высказывание защитника В истинно и в этом случае, поэтому В – рыцарь (поскольку А – обычный человек). Так как А невиновен и С, будучи лжецом, невиновен, то виновен В.
Третий случай: А – обычный человек и виновен. В этом случае высказывание обвинителя истинно, поэтому обвинитель должен быть рыцарем (он не может быть обычным человеком, так как «вакансия» обычного человека занята А). Следовательно, В может быть только лжецом.
Итак, вот что мы выяснили, рассматривая три возможных случая:
Все три случая согласуются с заявлениями, сделанными тремя главными участниками судебного процесса до прибытия Крэга.
После прибытия Крэга. Крэг спросил у обвинителя, виновен ли тот. Задавая свой вопрос, инспектор Крэг уже знал, что обвинитель невиновен (так как во всех трех случаях обвинитель невиновен), поэтому ответ обвинителя был нужен Крэгу лишь для того, чтобы установить, кто такой обвинитель: рыцарь или лжец. Если бы обвинитель правдиво ответил «нет», то инспектор Крэг понял бы, что случаи (1) и (2) можно исключить, и не стал бы задавать новых вопросов. Но инспектору Крэгу, после того как обвинитель ответил, понадобилось задать еще несколько вопросов. Следовательно, обвинитель должен быть лжецом и на вопрос инспектора ответить «да». Такой ответ заставил инспектора Крэга (а вместе с ним и читателя) исключить из рассмотрения случай (3) и в дальнейшем рассматривать только случаи (1) и (2). Это означает, что в действительности виновен защитник, но относительно подсудимого и защитника неизвестно, кто из них рыцарь и кто обычный человек. Затем Крэг спросил у подсудимого, виновен ли обвинитель и, получив ответ, смог до конца разобраться в ситуации. На вопрос Крэга рыцарь ответил бы «нет», в то время как обычный человек ответил бы либо «да», либо «нет». Получив ответ «нет», Крэг не смог бы определить, был ли подсудимый рыцарем или обычным человеком. Но поскольку для Крэга после ответа все стало ясно, то подсудимый должен был ответить «да». Следовательно, подсудимый – обычный человек, а защитник – рыцарь (хотя он и виновен).
VII. Как избежать оборотней и другие полезные практические советы
Эта глава посвящена не столько занимательным аспектам логики, сколько ее практическим приложениям. Во многих житейских ситуациях полезный совет был бы как нельзя кстати. Учитывая это, я обстоятельно, шаг за шагом научу вас: А) как избежать оборотней в лесу; Б) как выбрать невесту; В) как защищать себя на суде; Г) как жениться на дочери короля.
Разумеется, я не могу поручиться, что вам непременно представится случай убедиться, насколько полезны мои советы, но как мудро объяснил Алисе Белый Рыцарь, нужно быть готовым ко всему!
Предположим, что вы находитесь в лесу, каждый обитатель которого либо рыцарь, либо лжец. (Напомним, что рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут.) Кроме того, в лесу водятся оборотни, имеющие на редкость неприятную привычку иногда превращаться в волков и пожирать людей. Оборотень может быть как рыцарем, так и лжецом.
Вы берете интервью у трех обитателей леса А, В, С. Известно, что ровно один из них оборотень. В беседе с вами они заявляют:
А: С – оборотень.
В: Я не оборотень.
С: По крайней мере двое из нас лжецы.
Наша задача состоит из двух частей.
а) Кто оборотень: рыцарь или лжец?
б) Если бы вам предстояло выбрать одного из трех обитателей леса в попутчики и вопрос о том, не окажется ли ваш избранник оборотнем, волновал бы вас сильнее, чем вопрос, не окажется ли он лжецом, то на ком из трех вы бы остановили свой выбор?
Вы снова берете интервью у трех обитателей леса А, В и С. Известно, что каждый из них либо рыцарь, либо лжец и среди них имеется ровно один оборотень. В беседе с вами они заявляют:
А: Я оборотень.
В: Я оборотень.
С: Не более чем один из нас рыцарь.
Проведите полную классификацию А, В и С.
В этой и в двух следующих задачах мы снова встречаем трех обитателей леса А, В, С, каждый из которых либо рыцарь, либо лжец. Заявления делают только двое из них: А и В. В их высказываниях слово «нас» относится ко всем трем героям (к А, В и С), а не только к А и В.
Предположим, что А и В заявили следующее:
А: По крайней мере один из нас рыцарь.
В: По крайней мере один из нас лжец.
Известно, что по крайней мере один из них оборотень и ни один не является одновременно рыцарем и оборотнем. Кто оборотень?
На этот раз А и В сделали следующие заявления:
А: По крайней мере один из нас лжец.
В: С – рыцарь.
Известно, что ровно один из них оборотень и что он рыцарь. Кто оборотень?
Поделиться книгой: