Уравнения движения в расширяющейся Вселенной

Петр Путенихин

Уравнения движения в расширяющейся Вселенной

1. Закон Хаббла в формализме ОТО

В предыдущих разделах мы использовали уравнения движения сверхновых и других объектов в расширяющейся Вселенной, из которых выводятся уравнения закона Хаббла. Уравнениями движения мы называем зависимость удалённости некоторого объекта от наблюдателя и его скорость в расширяющейся Вселенной.

Можно сказать, что закон Хаббла и эти уравнения взаимосвязаны, то есть, буквально выводятся друг из друга. Изначально закон Хаббла выводится в общей теории относительности из базового уравнения для масштабного фактора и параметра Хаббла:

Сначала принимаем, что параметр Хаббла является константой, которая ранее так и называлась – постоянная Хаббла. Известно соотношение между современным значением постоянной Хаббла H₀ и возрастом нашей Вселенной T₁₄:

Считается, что гипотеза о Большом Взрыве возникла после того, как было обнаружено расширение Вселенной. Обратив этот процесс в обратном направлении времени, учёные обнаружили, что примерно 13,7 млрд. лет назад все объекты Вселенной находились в одной точке. Однако это не совсем верно. Закон Хаббла, который выводится из приведённого выше уравнения ОТО, приводит к несколько иным выводам. Действительно, приведём это уравнение к виду обычного дифференциального уравнения:

Для H = const это уравнение имеет простое решение, которое можно назвать стандартным законом Хаббла общей теории относительности для расширения пространства-времени и которое имеет следующий вид

Величина постоянного множителя a₀ определяется по значению масштабного фактора в начальный момент времени t = 0:

Для проверки подставим в исходное уравнение найденный масштабный фактор и его производную:

Всё верно. Далее из уравнения для масштабного фактора дифференцированием по времени можно вывести версию стандартного закона Хаббла с масштабными факторами:

Строго говоря, масштабный фактор является довольно абстрактной величиной, размерность которой явно не просматривается, хотя производный от него параметр Хаббла определённо имеет размерность, обратную времени. Считая для определённости масштабный фактор безразмерным, придадим уравнению (2) принудительно вид современного закона Хаббла, с помощью дополнительного множителя χ, которому присвоим значение, например, 1 метр. Смысл этой манипуляции достаточно прост. Абстрактный масштабный фактор имеет смысл отношения пространственных интервалов в разные эпохи к некоторому исходному интервалу. Иными словами, этот параметр – масштабный фактор – относится ко всей Вселенной целиком. Поскольку сопоставляемые интервалы явно не обозначены, то об их размерности говорить вряд ли уместно. Но эти отношения абстрактных "масштабных интервалов" можно перевести в реальные физические отрезки, имеющие реальную размерность – метры, километры, например, используя переводной множитель – χ.

Подставив в уравнение (2) этот множитель, мы получаем уравнение движения с реальными метрическими дистанциями:

В этом варианте константа r₀ также определена из начальных условий для t = 0. Из него теперь уже мы выводим стандартный закон Хаббла для реальных физических скоростей между объектами в расширяющейся Вселенной:

В этих уравнениях мы фактически задали, постулировали, что масштабный фактор – это количество единичных интервалов, пропорциональное масштабному фактору, то есть метрическое расстояние между объектами в некоторый момент времени, в зависимости от начального. Как видим, в начальный момент времени оно определённо не равно нулю и не может быть равным нулю в принципе, поскольку тогда никакого последующего удаления быть не может. Это не совсем соответствует гипотезе о Большом Взрыве из бесконечно малой точки. То есть, в начальный момент времени, в момент начала хаббловского расширения Вселенная, вообще говоря, уже имела бесконечно большие размеры.

Таким образом, мы можем записать окончательно три уравнения: два уравнения движения для объекта, удаляющегося от наблюдателя в расширяющейся Вселенной: для удалённости и для скорости удаления, и закон Хаббла:

где:

H = H₀ – параметр Хаббла, равный современному значению;

r₀ – расстояние в момент начала расширения до объекта, удаляющегося от наблюдателя, либо расстояние между точкой пространства, где в будущем появится наблюдатель, Земля, и точкой пространства, где в будущем появится удаляющийся объекта – некоторая звезда, сверхновая.

Заметим, что решение уравнения (1) мы получили, исходя из неизменного, постоянного значения параметра H. Из этого же условия можно получить решение и в более общем, но несколько завуалированном виде для переменного значения параметра.

Для этого мы подменим величину Ht в экспоненте другой, интегральной величиной:

Правильность уравнения контролируем по размерности величин: слева и справа – они тождественно безразмерные. Величина t₁ слева обязательно равна верхнему пределу интегрирования. Смысл интеграла состоит в том, что на каждом интервале времени dt новое расширение испытывает пространство, уже расширившееся на предыдущих этапах.

Математически здесь произведение Ht, как и раньше, является константой для наблюдаемого (!) момента (интервала) времени – t₁. Величина этой безразмерной константы определяется, по существу, интегральным значением реального параметра Хаббла, изменяющегося на интервале времени от начального t₀ до конечного t₁. В частности, для всего времени существования Вселенной, то есть, принимая t₀ = 0, t₁₄ = 14, и современного постоянного значения параметра H₀ = 1/t₁₄, мы получим:

Подставляем в уравнение (3) и находим, что удалённость всех галактик во Вселенной за время её существования возросла примерно в 3 раза:

Это уравнение относится к любой единичной галактике во Вселенной. Например, галактика, находившаяся в начале расширения на удалении ~ 14 млрд. световых лет от Земли, сегодня находится на удалении ~ 42 млрд. световых лет.

Есть и ещё один подход к записи уравнения движения (4) (в терминах масштабного фактора):

В этом случае параметр H(x) не является чётко выраженной функцией времени, а значение интеграла после его вычисления просто обозначается, именуется в дальнейшем как функция H(t). Вид функции H(t) отличается от вида функции H(x), именовать которую параметром Хаббла вряд ли уместно.

В космологии вместо реальных, физических скорости и удалённости используются соответствующие наблюдательные параметры – яркость удаленной галактики и её красное смещение. Яркость является математически тождественной величиной для удалённости. Определяя яркость стандартной свечи – сверхновой типа Ia, получают точное значение её удалённости. Чем ярче звезда, тем она ближе к нам. Второй параметр – красное смещение в точности соответствует скорости, с какой галактика удаляется от нас: чем больше смещение, тем выше скорость удаления. Иначе говоря, фактически в законе Хаббла присутствуют не скорости и расстояния, а красные смещения и яркости. Главным основанием для утверждений об ускоренном расширении Вселенной как раз и стал тот факт, что яркость дальних сверхновых типа Ia оказалась ниже, чем это должно следовать из закона Хаббла.

2. Закон Хаббла в физике Ньютона

Следует отметить, что закон Хаббла, полученный в формализме общей теории относительности, может быть выведен и средствами физики Ньютона. В интернете и в литературе нередко приводится условная иллюстрация расширения пространства на примере резинового шара с наклеенными на него монетками-галактиками. Раздувание шара приводит к тому, что расстояние между монетами возрастает, причём каждая из них может считать себя центром, от которого удаляются все остальные.

Используем эту аллегорию для получения закона Хаббла без использования уравнений общей теории относительности. Действительно, резиновый шар – вполне реальный физический объект, к которому применимы все положения физики Ньютона.

Вырежем из этого шара достаточно большого размера, диаметра узкую полосу, шнур с монетами-галактиками. Закрепим один конец полосы, то есть, формально перейдём в систему отсчёта галактики, находящейся на этом конце шнура. Галактику на противоположном конце начнём оттягивать, растягивая полосу. Запишем уравнение для постоянной или средней скорости этой движущейся галактики следующим образом:

Или инверсно:

Замечаем, что эти уравнения описывают также и скорость движения каждой точки шнура, галактики. Если, например, галактика-монета находится ровно посредине шнура, то и её скорость также будет в 2 раза меньше, чем у галактики на его конце. Следовательно, уравнение будет иметь такой же вид:

Уравнение можно переписать в более общем виде, тогда они будут верны и для мгновенной скорости, изменяющейся во времени:

Теперь все переменные в уравнении являются функциями от времени. В таком виде уравнение означает, что в любой момент времени t скорость тела на расстоянии r от начальной, неподвижной точки равна v. Если обозначить величину справа через H, то получим уравнение для дистанций, тождественное уравнению ОТО (1):

Преобразуем полученное уравнение Ньютона в обычное дифференциальное уравнение, как это сделали для уравнения ОТО:

Это уравнение Ньютона имеет такое же простое решение, которое в точности совпадает со стандартным законом Хаббла для расстояний: