Математика и искусство

Рафаэль. Мадонна со щегленком. 1507. Деталь

Свое воплощение эстетический идеал находит в искусстве. Ни природа, ни общество часто не дают человеку его эстетического идеала. Вспомним слова Рафаэля: "Я скажу вам, что для того, чтобы написать красавицу, мне надо видеть многих красавиц... Но ввиду недостатка как в хороших судьях, так и в красивых женщинах я пользуюсь некоторой идеей, которая приходит мне на ум". Ясно, что "идея", о которой говорит Рафаэль, и есть эстетический идеал художника. Так красота через эстетический идеал приводит нас к искусству. Именно это и имел в виду Лев Толстой, когда говорил, что "для среднего человека кажется ясным и понятным, что искусство есть проявление красоты".

Да, вне красоты нет искусства. Но искусство — особая и своеобразная область прекрасного. В жизни прекрасное нередко уживается с безобразным, и истинное искусство — "учебник жизни" — не может ограничить себя одною лишь красотой. Художник не имеет права ни брезгливо отворачиваться, ни трусливо сдаваться перед безобразным. Победа над безобразным — одно из средств утверждения красоты. Мастерство и эстетическое осуждение безобразного ведут художника к торжеству его эстетического идеала — красоте. Вот почему образы искусства прекрасны всегда, даже если они рисуют истерзанные жизненными невзгодами, изможденные лица стариков на полотнах Рембрандта. Хорошо сказал об этом французский скульптор Огюст Роден (1840-1917): "Но стоит великому артисту или великому писателю прикоснуться к какому-нибудь безобразию, чтобы оно мгновенно преобразилось: ударом волшебного жезла безобразие превращается в красоту: это алхимия, это колдовство! "

Рембрандт. Портрет старика в красном. 1652-1654. В изможденном лице и натруженных руках старца — красота и мудрость прожитой им жизни

Мы должны определить красоту как преображение материи через воплощение в ней другого, сверхматериального начала.

Вл. Соловьев

Кеплер говорит: "Geometria est archetypus pulchritudinis mundi",- то есть, если перевести его слова более обобщенными терминами: "Математика есть прообраз красоты мира".

В. Гейзенберг

Итак, красота начинается с формы, но не сводится к ней. Красота — это форма, взятая в единстве с содержанием, от которого она не может быть оторвана. Попытки рассмотреть красоту только с формальной точки зрения никогда не оканчивались успехом. Еще немецкий философ Иммануил Кант (1724-1804), указав четыре формальных признака "чистой красоты", был вынужден обратиться и к содержательной стороне прекрасного, когда "нравится не только форма продукта природы, но также само существо его...".

Красивая форма стремится сделать прекрасным и содержание, которое, по выражению Белинского, становится "опоэтизированным". Мысль о диалектическом единстве формы и содержания в прекрасном, кажущаяся сегодня аксиомой, была впервые разработана Гегелем. Но эта мысль "витала в воздухе" и до Гегеля. Ее мы находим, например, у Шекспира:

Прекрасное прекрасней во сто крат, Увенчанное правдой драгоценной.

Да, нелегко раскрыть сущность прекрасного. И в жизни, и в искусстве проявления красоты необычайно разнообразны. Трудно установить сходство, например, между очарованием лесного озера и благородным поступком рыцаря, между совершенными формами кристалла и волшебством гармонии античной статуи. Это абсолютно различные явления, а вызываемые ими чувства удивительно похожи. Еще Платон указывал на то, как легко отыскать нам примеры прекрасного, но как трудно объяснить, почему они прекрасны.

Еще труднее найти математические закономерности в прекрасном — "законы красоты". Попытки хотя бы приблизиться к объективным "законам красоты" предпринимались человечеством с древности: это и математические законы Пифагора в музыке, и геометрическая модель Вселенной Кеплера — трепетная песнь красоте в науке, это и система пропорций в архитектур, и пропорции человека, и геометрические законы живописи. И несмотря на весьма скромные результаты, энтузиазм исследователей не ослабевает и сегодня: ведь слишком волнующая тема их интереса — красота. И сегодня вместе с лауреатом Нобелевкой премии, немецким физиком Вернером Гейзенбергом (1901-1976) большинство ученых верят: "Математика есть прообраз красоты мира".

Естественно, что все попытки отыскать математические законы в искусстве (а значит, и в прекрасном)начинались с простейшего компонента прекрасного — формы прекрасного, еще точнее, структуры формы прекрасного. Например, рассмотренные в части III пропорции античной и готической архитектуры есть структурно-математические объективные законы формы прекрасного. Вопрос же о субъективном отношении к этим формам, как и о субъективном отношении к тому содержанию, которое несут эти формы, каждый вправе решить для себя сам.

Здесь уместно вспомнить высказывание выдающегося французского математика Анри Пуанкаре (1854-1912): "Математиков занимают не предметы, а отношения между ними. Поэтому они вправе заменять одни предметы другими, лишь бы отношения их остались при этом неизменными. Содержание их не волнует, они интересуются только формой". Действительно, в следующих трех частях мы увидим, например, что закон золотого сечения справедлив и в музыке, и в архитектуре, и в изобразительных искусствах. Это структурно-математическая характеристика, которая отражает форму прекрасного независимо от того содержания, которое несет эта форма.

Что касается математического анализа содержания прекрасного, то вряд ли в обозримом будущем этот анализ будет возможен: слишком запутан клубок сплетенных здесь вопросов. Да и нужно ли его распутывать? Пожалуй, ответом на этот вопрос могут быть слова Е. Фейнберга, Которыми заканчивается его статья "Искусство и познание": "В наше время, которое — удачно или неудачно — иногда называют эпохой научно-технической революции и которое действительно является временем огромного развития научного знания, нет никакой опасности ослабления авторитета дискурсии[3]: ее ложность слишком очевидна. Но есть

опасность гиперболизации ее роли, принижения значения интуиции, ослабления способности к целостному и верному интуитивному суждению. Поэтому в наше время роль искусства особенно велика ".

Эстетика: наука о прекрасном

А вот мнение по тому же вопросу философа А. Гулыги: "Феномен красоты содержит в себе некоторую тайну, постигаемую лишь интуитивно и недоступную дискурсивному мышлению". Просто замечательно, сколь единодушными делают чары искусства и тайна прекрасного и "физиков", и "лириков". (Такое бывает далеко не всегда, в чем легко убедиться, прочитав главу 3.)

И в заключение отметим одну важную мысль, впервые высказанную К. Марксом: первые шаги человечества к красоте сделаны благодаря труду. Именно в результате трудовой деятельности человек начинает находить и в природе, и в общественной жизни разнообразные эстетические ценности.

Приведем знаменитые слова К. Маркса, указывающие на отличительные особенности человеческого труда: "Животное, правда, тоже производит. Оно строит себе гнездо или жилище, как это делают пчела, бобр, муравей и т. д. Но животное производит лишь то, в чем непосредственно нуждается Оно само или его детеныш; оно производит односторонне, тогда как человек производит универсально... Животное строит только сообразно мерке и потребности того вида, к которому оно принадлежит, тогда как человек умеет производить по меркам любого вида и всюду он умеет прилагать к предмету присущую мерку; в силу этого человек строит также и по законам красоты".

"И по законам красоты"... Эти слова Маркса являются девизом творческой деятельности человека на любом поприще. Они означают, что сфера эстетических закономерностей, сфера прекрасного, выходит далеко за пределы искусства и распространяется на все без исключения области человеческой деятельности. Но если это так, то существует еще одна не менее удивительная область проявления прекрасного. Это — наука. Есть ли красота в науке? Можно ли говорить об эстетике науки? На эти вопросы мы попытаемся ответить в следующей главе.

Эстетика: наука о прекрасном

2. Математика: прекрасное в науке

Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой — красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства.

Б. Рассел

Французский энциклопедический словарь Ларусс определяет прекрасное как то, что "радует глаз или разум". Просто и ясно. Не будем обсуждать достоинства еще одного определения красоты, а обратим внимание на вторую часть данного определения, на то, что красота радует разум. Да, кроме красоты, постигаемой чувствами, есть и другая красота, постигаемая разумом. Это особый вид красоты — красота науки.

Как ни удивительно, но и эту необыкновенную красоту, красоту разума, успели прочувствовать древние греки. В диалоге Платона "Пир" мы читаем о том, как "беременный духовно" (говоря современными штампами — "ученый-теоретик, разрабатывающий сложнейшую проблему") "ищет везде прекрасное, в котором он мог бы разрешиться от бремени". Платон взволнованно говорит о том, как происходит восхождение к высшей красоте — красоте разума, красоте познания. "Начав с отдельных проявлений прекрасного, надо все время, словно бы по ступенькам, подниматься ради самого прекрасного вверх — от одного прекрасного тела к двум, от двух — ко всем, а затем от прекрасных тел к прекрасным нравам, а от прекрасных нравов к прекрасным учениям, пока не поднимешься от этих учений к тому, которое и есть учение о самом прекрасном, и не познаешь наконец, что же это — прекрасное. И в созерцании прекрасного самого по себе.. . только и может жить человек..."

Слова Платона — вдохновенный гимн торжеству Разума, стремлению к прекрасному, которое неотделимо от научного творчества. Раздумья о красоте научного поиска, о величии человеческого духа никогда не переставали волновать мыслящих людей. И через два тысячелетия в унисон Платону звучат слова великого представителя нашего столетия М. Горького: "Наука — высший разум человечества, это солнце, которое человек создал из плоти и крови своей, создал и зажег перед Оою для того, чтобы осветить тьму своей тяжелой Пзни, чтобы найти из нее выход к свободе, справедливей, красоте".

Кто, наставляемый на пути любви, будет в правильном порядке созерцать прекрасное, тот, достигнув конца этого пути, вдруг увидит нечто удивительно прекрасное по природе... Он увидит прежде всего, что прекрасное существует вечно, что оно не возникает, не уничтожается, не увеличивается, не убывает...

Платон

Математика: прекрасное в науке

В чем же заключается красота науки? И если таковая существует, то есть ли эстетика науки, изучающая законы этой необычной красоты? Как самостоятельной дисциплины науки эстетики нет. И сегодня категории эстетики применяются главным образом к искусству, реже — к технике (техническая эстетика) и как исключение — к науке. Мысли о красоте науки, как говорят, только витают в воздухе, иногда они оседают на бумаге в виде отдельных высказываний некоторых ученых, но философскому анализу эти мысли практически не подвергались. Почему? Видимо, и потому, что великие ученые, которым прежде всего и "дано" увидеть истинную красоту науки, лишь останавливаются на мгновение, завороженные ее красотой. Нечасто позволяют они себе такие остановки, еще реже — философские или поэтические размышления об их причинах. Ведь научный поиск — это беспрерывное восхождение к истине, постоянная работа разума на пределе сил и возможностей, работа, не терпящая расслабления и отдыха. Так альпинисты на восхождении к вершине лишь на мгновение останавливаются, пораженные красотой и величием гор. Останавливаются, молча вытирая со лба струи соленого пота, и вновь устремляются к вершине, не имея возможности на неспешное наслаждение красотой.

И тем не менее в богатой истории человеческой цивилизации находились люди, бравшие на себя смелость заняться анализом красоты науки. В их числе следует назвать Френсиса Хатчесона (1694-1747), шотландского философа эпохи Просвещения, автора "Исследования о происхождении наших идей красоты и добродетели в двух трактатах". Для нас особый интерес представляет раздел "О красоте теорем" первого трактата Хатчесона "О красоте, порядке, гармонии, целесообразности", начинающийся словами: "Красота теорем, или доказательств правильности всеобщих истин, заслуживает отдельного рассмотрения, поскольку по природе своей она значительно отличается от ранее рассмотренных видов красоты; и, однако, нет такой другой, в которой мы могли бы увидеть такое поразительное разнообразие при единообразии..."

Внимательно читая раздел "О красоте теорем", можно выделить три признака красоты науки, установленых Хатчесоном: 1) красота есть единство в многообразии; 2) красота заключена во всеобщности научных истин; 3) научная красота — это обретение неочевидной истины.

Принцип единства в многообразии Хатчесон считает универсальным эстетическим принципом, равно применимым и к неживой, и к живой природе, и к эстетической оценке науки. Действительно, любая математическая теорема содержит в себе бесчисленное множество истин, справедливых для каждого конкретного объекта, н0 в то же время эти конкретные истины собраны в единой общей для всех истине, устанавливаемой теоремой. Например, теорема Пифагора справедлива для бесчисленного множества конкретных прямоугольных треугольников, но все это многообразие треугольников обладает единственным общим свойством, описываемым теоремой. Вероятно, каждый школьник испытывал чувство радости, чувство научной красоты, когда впервые обнаружил, что, например, переместительное свойство сложения, замеченное им на множестве конкретных арифметических примеров, есть не что иное, как единый универсальный закон алгебры: a+b = b+a, справедливый для любых чисел.

Перейдем ко второму признаку красоты — всеобщности научных истин. "У теорем,- читаем мы у Хатчесона,- есть еще одна красота, которую нельзя обойти и которая состоит в том, что одна теорема может содержать огромное множество следствий, которые легко из нее выводятся. .. Когда исследуют природу, подобной красотой обладает познание определенных великих принципов или всеобщих сил, из которых вытекают бесчисленные следствия. Таково тяготение в схеме сэра Исаака Ньютона... И мы наслаждаемся этим удовольствием, даже если у нас нет никаких перспектив на получение какой-либо иной выгоды от такого способа Дедукции, кроме непосредственного удовольствия от созерцания красоты". Как точно сказано! И как чутко предвидит Хатчесон в 1725 г. могущество закона тяготения Ньютона, который пока еще называется "схемой Ньютона": ведь прощло только 38 лет со дня его опубликования (1687) — срок не столь уж большой для осознания столь грандиозного открытия!

Математика: прекрасное в науке

Каждый может проиллюстрировать эту мысль Хатчесона своими примерами: в математике — это любая из теорем, например теорема Пифагора, в физике — закон тяготения или законы электромагнетизма, в химии — периодический закон Менделеева, в биологии — законы генетики, всеобщность которых мы постигаем на самих себе. Возвращаясь к теореме Пифагора, заметим, что существование около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т. д.) свидетельствует об огромном числе конкретных реализаций этой теоремы и ее следствий.

Наконец, третий признак — обретение неочевидной истины. Любой из нас согласится с тем, что постижение очевидной истины (ее символом стало утверждение, что дважды два — четыре) не доставляет ему эстетического наслаждения. В аксиомах мало красоты, утверждает Хатчесон, ибо их справедливость очевидна. Немного удовольствия доставляют нам и легкие теоремы, истинность которых видна "невооруженным глазом". Только открытие истин, спрятанных от нас наукой или природой, открытие, требующее поиска и серьезных усилий, доставляет нам в конце пути истинное наслаждение — познание неведомой истины. В этом и состоит радость и красота познания. Свою мысль Хатчесон подтверждает интересным примером. Ясно, что объем цилиндра больше объема вписанного в него шара, объем которого больше объема конуса, вписанного в цилиндр. Это очевидная истина, не приносящая нам никакого удовлетворения. Но когда мы установим, что объемы этих тел относятся как 3:2:1, т. е. когда мы обретем неочевидную истину, мы почувствуем, как прекрасна эта теорема и какое мы получаем удовольствие от ее первого открытия. Напомним, что первая часть этой теоремы, связывающая объемы цилиндра и вписанной в него сферы, была доказана Архимедом и почиталась им как лучшее из всех своих замечательных открытий.

В заключение Хатчесон делает важный вывод: красота науки неравнозначна научному знанию. Красота науки заключается не в собрании застывших законов, а в обретении новых знаний, в открытии новых истин, в обнаружении стройности и порядка там, где еще недавно царил хаос. Только беспрерывное движение вперед, а точнее вверх, к новым вершинам истины,- такова формула прекрасного в науке.

Отметим еще одно существенное обстоятельство. Ясно, что все три выведенных Хатчесоном эстетических принципа справедливы для любой науки, но получены они Хатчесоном для математики. И дело здесь не в том, что остальные науки во времена Хатчесона были еще недостаточно развиты по сравнению с математикой. Дело в том, что математика во все времена была и остается "первой красавицей" среди наук и, следовательно, эстетические принципы науки наиболее ярко проявляются в математике. Чуть позже мы попытаемся обосновать эту мысль.

Хатчесон оказал заметное влияние на формирование эстетических взглядов последующих философов: Давида Юма (1711 — 1776), Адама Смита (1723-1790). Мысль Хатчесона о красоте единства в многообразии мы находим и в трудах родоначальника немецкой классической философии, "кенигсбергского затворника"[4] Иммануила Канта. В книге "Естественная история и теория неба" Кант признается в том, что космогонические проблемы для него являются не только предметом научных исследований, но и источником светлой радости. Многие строки этой книги представляют собой непревзойденные образцы вдохновенных научных стихотворений в прозе, вечный и немеркнущий сплав логики науки и поэзии искусства.

Но перенесемся из XVIII века в век XX. В 1931 г. в Москве вышла в свет небольшая книга драматурга и искусствоведа В. М. Волькенштейна "Опыт современной эстетики". Авторское введение прекрасно рисует дух того времени: "...автор ищет прежде всего определение той новой красоты, которая характеризует нашу бурную эпоху... Эта новая красота перед нами в еще невиданных произведениях искусств, в удивительных изобретениях техники, в новых методах мышления..." Последнее для нас является самым главным. Впрочем, это было отмечено и в предисловии первого наркома просвещения, писателя, искусствоведа, академика А. В. Луначарского (1875-1933), которым открывалась книга: "Само оглавление книги показывает, что Волькенштейн стремится распространить понятия эстетического на область мышления, считая возможным оценивать с эстетической точки зрения понятия: математические, физические, шахматную игру, всякое научное построение или формулу. Не подлежит сомнению, что это так. Беспрестанно у самих ученых... с уст срываются замечания: красивая теория, изящное разрешение затруднений и т. д. и т. д. Восхищение перед силой человеческого ума есть, конечно, глубоко эстетическое явление, своеобразное, но ничем радикально не различающееся от восхищения перед физической ловкостью человека, перед красотою здания и т. д.".

Вселенная своей неизмеримой громадностью, безграничным разнообразием и красотой, которые сияют в ней со всех сторон, повергает дух в немое удивление.

И. Кант

Две вещи наполняют душу всегда новым и все более сильным удивлением и благоговением...- это звездное небо надо мной и моральный закон во мне.

И. Кант

Математика: прекрасное в науке

Математика: прекрасное в науке

Итак, стремясь дать новое определение прекрасного, Волькенштейн пытается найти признаки красоты в науке: математике, физике, химии. Эти признаки, по Волькенштейну, таковы: 1) эстетическое впечатление "возникает только в связи с целесообразным, сложным (трудным) преодолением"; 2) "красиво сведение сложности к простоте"; 3) "всякое математическое оформление научных достижений, если оно наглядно и гармонично, вызывает эстетическое впечатление".

Легко видеть, что формула "красота есть целесообразное, трудное преодоление" перекликается с формулой Хатчесона "красота есть обретение неочевидной истины". Да, Природа прячет свои законы в сокровенных тайниках и открываются они только тому, у когс хватает сил на трудное преодоление. И как вознаграждение в конце пути ожидает ученого красота открывающейся истины. Альберт Эйнштейн (1879-1955) любил повторять, что Бог (т. е. Природа) изощрен но не злонамерен (эта надпись была сделана у Эйнштейна на камине). Изощренность Природы состоит в том что она ловко скрывает от человека свои законы, а ю внешнее проявление выглядит поначалу как полный хаос. Не злонамеренность же Природы означает существование у нее законов и принципиальную возможность их обнаружения в конце целесообразного и трудное преодоления. Познание гармонии Природы, когда лиш нее и кажущееся отпадает, когда истина обретает вели чавую простоту и ясность, и есть высшая красота научного поиска.

Знай же, художник, что нужны во всем простота и единство.

Гораций

"Красиво сведение сложности к простоте". Это принцип, видимо, является главным эстетическим принципом науки. Впрочем, вот мнение Эйнштейна: "Наш опыт убеждает нас, что Природа — это сочетание самых простых математических идей", "Бог ни за что не упустил бы возможности сделать Природу такой простой", другой выдающийся соотечественник Эйнштейна Гей-зенберг в одной из своих работ писал: "Все еще может считаться лучшим критерием корректности новых концепций старая латинская пословица "Simplex sigillum veri" ("Простота — признак истинности"), которая была выведена большими буквами в физической аудитории Геттингенского университета ".

В родстве со всем, что есть, уверясь И знаясь с будущим в быту, Нельзя не впасть к концу, как в ересь, В неслыханную простоту... (Б. Пастернак)

Блестящим примером торжества простоты в науке является развитие взглядов человечества на устройство мироздания. Первой научной моделью Вселенной была геоцентрическая система великого александрийского ученого Клавдия Птолемея (II в. н. э.). Для своего времени это была красивая теория, так как она объясняла сложное и непонятное движение планет на небосводе достаточно простым образом — вращением планет вокруг Земли по основным кругам (деферентам) и вспомогательным кругам (эпициклам). Кроме того, теория Птолемея могла предсказывать положение планет на небосводе и ею с успехом пользовались мореплаватели более 1000 лет. Однако гелиоцентрическая система Николая Коперника (1473-1543) позволяла гораздо проще объяснять суть истинного Движения планет относительно неподвижных звезд, она не нуждалась в эпициклах и как более простая научная теория была более красивой[5]. Законы Иоганна Кеплера (1571-1630) уточнили систему Коперника и придали ей математическую строгость, а Исаак Ньютон (1643-1727)в свою очередь показал, что законы Кеплера является логическим следствием законов механики и закона тяготения. Законы Ньютона являются вершиной красоты и простоты в научном описании Солнечной системы! А на очереди уже стоят тайны устройства Вселенной... Таким образом, эстетическая ценность науки непрерывно возрастает. Каждая новая, более простая теория воспринимается как более красивая.

Система мира по Птолемею. Иллюстрация из 'Небесного атласа' Целлариуса. Амстердам. 1708

Математика: прекрасное в науке

Согласно третьему признаку Волькенштейна, математика несет красоту в любую науку. Строго говоря, этот тезис является следствием предыдущего: красиво сведение сложности к простоте, ибо математика и есть тот инструмент науки, который позволяет, говоря словами основоположника кибернетики Норберта Винера (1894-1964), "находить порядок в хаосе, который нас окружает". Волькенштейн отмечает эту особую роль математики в науке и, следовательно, ее особую эстетическую ценность: "Математика есть область утонченной красоты. Ее формулы выражают сложные соотношение чисел в определенной форме. Поэтому они могут быть красивы, или, как говорят математики, "изящны".

Широко известно, какой эстетический восторг испытывал выдающийся немецкий физик Людвиг Больцман (1844-1906) при виде уравнений Максвелла: "Не Бог ли начертал эти письмена? " Мы позволим себе привести здесь эти уравнения без необходимых пояснений, а просто как "письмена" — красивые, но непонятные иероглифы:

Система мира по Копернику. Иллюстрация из 'Небесного атласа' Целлариуса. По сравнению с гелиоцентрической моделью Птолемея это была более простая и более красивая научная теория.

Математика: прекрасное в науке

Что же восхищало Больцмана в этих уравнениях? Конечно, и красота формы, которую можно оценить, не понимая сути уравнений. Действительно, сами уравнения просты по форме. Части уравнений, содержащие пары , почти полностью равноправны, а сами уравнения почти полностью симметричны. Но главное, конечно, в красоте содержания уравнений, которая раскрывается далеко не каждому. Эта красота содержания заключается в том, что сами уравнения подсказали английскому физику, основателю классической электродинамики Джеймсу Клерку Максвеллу (1831 — 1879) идею электромагнитных волн и позволили связать воедино электричество, магнетизм и свет.

Более доступным примером красоты формы и содержания в науке, а также красоты математического оформления являются структурные формулы в химии, в особенности структурная формула бензола С₆Н₆ как основа многих формул органической химии:

Внешняя красота этой формулы видна с первого взгляда. Объясняется она прежде всего ее математическим оформлением: в основе формулы лежит правильный шестиугольник — геометрическая фигура, обладающая многими видами симметрии. Но помимо внешней красоты эта формула излучает и красоту внутреннюю. В чем она? В том, что структурная формула отражает взаимное расположение атомов в молекуле и порядок связи между ними. Таким образом, структурная формула определяет свойства вещества, объясняет внутреннее строение вещества, и в этом ее внутренняя красота, красота содержания.

А кто сегодня занимается вопросами эстетики науки? Пожалуй, пальму первенства здесь следует отдать академику А. Б. Мигдалу — физику-теоретику, основоположнику многих научных направлений в ядерной физике. Будучи человеком широких интересов, Мигдал ходит Время и на интенсивную научную и организаторскую деятельность, и на занятия альпинизмом и горными лыжами, и на поиски красоты в науке. В статье Мигдала "О красоте науки" мы читаем: "Что можно сказать о красоте науки, красоте мысленных построений, которых не нарисовать на бумаге, не высечь на камне, не переложить на музыку? Красота науки, как и искусства, определяется ощущением соразмерности и взаимосвязанности частей, образующих целое, и отражает гармонию мира".

В книге "Поиски истины", адресованной юношеству, Мигдал высказывает интереснейшую мысль о том, что "понятие красоты играет важную роль для проверки правильности результатов и для отыскания новых законов и является отражением гармонии, существующей в природе". Это, вообще, любимая мысль всех современных физиков, начиная от Альберта Эйнштейна и английского физика Поля Дирака, которому принадлежит афоризм о том, что красота является критерием истинности физической теории. Более того, красота являлась путеводной звездой в поисках истины и для Платона, и для Кеплера, к чему мы еще вернемся на страницах этой книги.

Отдавая должное признакам внешней красоты математических формул, Мигдал считает, что "гораздо важнее не внешние, а более глубокие признаки красоты результатов. Красиво, если выражение связывает в простой форме разнородные явления, если устанавливаются неожиданные связи. Одна из красивейших формул теоретической физики — это формула теории тяготения Эйнштейна, связывающая радиус кривизны пространства с плотностью материи... Требование красоты" не являясь абсолютным, играет важнейшую роль как для отыскания новых законов природы, так и для проверки полученных результатов".

Наконец, Мигдал анализирует понятие симметрии как источник красоты в физике. Следует сказать, что истинная роль симметрии в науке стала проясняться только в XX веке. В 1918 г. немецкий математик Эмми Иетер (1882-1935) доказала замечательную теорему, согласно которой каждому виду симметрии соответствует свой закон сохранения. Например, знаменитый закон сохранения энергии является следствием однородности времени, т. е. симметрии относительно сдвигов по времени. В 1963 г. американский физик-теоретик Юджин Пол Вигнер получил Нобелевскую премию по физике за исследования принципов симметрии, лежащих в основе взаимодействия элементарных частиц. Выдающаяся роль симметрии в искусстве известна давно: симметрия сопровождает искусство едва ли не с момента его зарождения. И вот в XX веке человечество убеждается в огромной роли симметрии в формировании законов природы. Таким образом, симметрия является едва ли не единственным общепризнанным критерием красоты как в науке, так и в искусстве. (Этот важный вопрос мы рассмотрим подробнее в главе 4.)

Геометрия есть познание всего сущего.

Платон

Нам остается ответить еще на один вопрос, который следует из заголовка этого параграфа: почему именно математика претендует на роль "первой красавицы" среди остальных наук?

Математика: прекрасное в науке

Конечно, проще всего было бы ответить на данный вопрос известным афоризмом "короля математиков" Карла Гаусса (1777-1855): "Математика — царица всех наук... Она часто снисходит до оказания услуг астрономии и другим естественным наукам, но при всех обстоятельствах первое место, несомненно, останется за ней". Однако ясно, что это не объяснение, а декларация, и, чтобы разобраться в существе дела, мы должны вновь спросить себя: что такое математика? Гораздо легче ответить на аналогичный вопрос биологу или геологу. Первый скажет, что биология — это наука о живой природе, а второй — что геология — это наука о недрах Земли. А вот у математики нет своего материального предмета исследования, его нельзя потрогать руками или увидеть глазами. Тем не менее значительная часть математических понятий и теорий родилась при изучении реальных явлений (всем известна история возникновения и развития арифметики и геометрии). Как это ни парадоксально, но именно математика в процессе своего развития лишилась материального предмета изучения, и это сделало ее всемогущественной наукой. Сегодня любой человек, даже совершенно далекий от математики, знает, что математика представляет собой могучую силу, сфера влияния которой практически не ограничена.

"Что такое математика?" — так называется книга американских математиков Р. Куранта и Г. Роббинса, которую мы рекомендуем всем, кто захочет увидеть математику во всем блеске ее красоты и могуществе ее приложений, ибо, как сказано в авторском введении, "и для специалистов, и для любителей не философия, а именно активные занятия математикой смогут дать ответ на вопрос: что такое математика?"

Тем не менее попробуем немного пофилософствовать. Известно классическое определение математики, данное Ф. Энгельсом: "Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира". Это определение указывает не только на предмет математики, но и на его происхождение — реальный мир. Однако за сто лет своего интенсивного развития математика ушла далеко вперед, у нее появились новые нетрадиционные разделы, и стало ясно, что данное определение нуждается в уточнении.

Математика: прекрасное в науке

Новое определение математики предложила группа французских математиков, объединившаяся под псевдонимом Никола Бурбаки, которая определяет математику как науку о математических структурах. К великому удовольствию любителей искусства, мы должны констатировать, что история повторяется: эстетику по-новому определяют как науку об эстетическом, а математику — как науку о математических структурах! Но не надо спешить иронизировать по этому поводу. Вспомним предостережение выдающегося американского математика Рихарда Куранта (1888-1972), данное им в статье "Математика в современном мире": "На вопрос "Что такое математика?" невозможно дать обстоятельный ответ на основе одних лишь только философских обобщений семантических предложений или с помощью обтекаемого газетно-журнального многословия. Так же как нельзя дать общее определение музыке или живописи: никто не может оценить эти виды искусства, не понимая, что такое ритм, гармония и строй в музыке или форма, цвет и композиция в живописи. Для понимания же сути математики еще в большей степени необходимо подлинное проникновение в составляющие ее элементы".

Определение математики, предлагаемое Бурбаки страдает еще одним важным дефектом: оно не отражает отношения математики к окружающему нас миру, еэкду тем если исходить из определения Ф. Энгельса, т. е. в вопросе об отношении математики к действительности занимать материалистические позиции, то ановится понятным, почему "книга природы написана языке математики" (Галилей). "Но совершенно неверно,- указывал Ф. Энгельс,- будто в чистой математике разум имеет дело только с продуктами своего собственного творчества и воображения. Понятия числа и фигуры взяты не откуда-нибудь, а только из действительного мира" (т. 20, с. 37). Зародившись в реальном мире и пройдя путь абстракции и развития в самой математике, математические понятия вновь "спускаются на землю" и идут по ней в своем триумфальном шествии. Именно "земным происхождением" и объясняется поразительная эффективность математики в естествознании.

Ни одно человеческое исследование не может называться истинной наукой, если оно не прошло через математические доказательства.

Леонардо да Винчи

Среди всех наук Математика пользуется особенным уважением; основанием этому служит то единственное обстоятельство, что ее положения абсолютно верны и неоспоримы, в то время как положения других наук до известной степени спорны, и всегда существует опасность их опровержения новыми открытиями.

А. Эйнштейн

Математика: прекрасное в науке

Вот как важно даже в такой абстрактной науке, как математика, стоять на правильных философских позициях. Несмотря на непререкаемый авторитет группы Н. Бурбаки в современном математическом мире и беспрецедентную задачу, решаемую этой группой,- попытку изложить главнейшие разделы математики на основе единого формального аксиоматического метода, некоторые философские воззрения Н. Бурбаки нельзя назвать бесспорными. Но бесспорно в этом определении математики следующее: "математическая структура" в математике, так же как и "бытие" в логике Гегеля или "прекрасное" в эстетике, является той изначальной категорией, с которой начинается восхождение от абстрактного к конкретному в математике, начинается "проникновение в составляющие элементы", о котором говорил Р. Курант.

Так что же такое математика и в чем ее особая красота? "Математика — это больше, чем наука, это язык" — так определил место математики в системе наук знаменитый датский физик Нильс Бор (1885-1962). Математика может быть языком любой науки, умеющей на нем разговаривать. В этом универсальность и могущество математики, но в этом и особая красота математики, выделяющая ее среди других наук. Ибо всякий язык красив уже сам по себе как средство общения.