PIC-микроконтроллеры. Все, что вам необходимо знать

Несмотря на то что эти знакомые методы прекрасно работают, при реализации их в цифровых схемах возникает ряд проблем:

• Что делать, если вычитаемое меньше уменьшаемого?

• Как нам различать положительные и отрицательные числа?

• Можно ли выполнить вычитание с помощью блока суммирования?

Чтобы понять суть описанных проблем, взгляните на следующий пример:

Обычно, если мы знаем, что уменьшаемое меньше вычитаемого, мы меняем операнды местами и добавляем знак минуса к результату, т. е. вычисляем выражение — (вычитаемое — уменьшаемое). Если мы не выполним такой перестановки, как показано в примере (а), приведенном выше, то результат окажется неверным. На самом деле число 41 является правильным в том смысле, что представляет собой разность между числом 59 (правильный результат) и 100. То есть число 41 представляет собой дополнительный код числа 59 в десятичной системе (10’s complement). Более того, сам факт заема из старшего разряда числа указывает на то, что результат операции отрицателен и представлен соответственно в дополнительном коде. Для преобразования числа, представленного в дополнительном коде, в «нормальный» вид достаточно просто проинвертировать каждый десятичный разряд и к полученному значению прибавить единицу. Инвертирование десятичного разряда заключается в вычитании его значения из 9. Таким образом, дополнительный код числа 3941 в десятичной системе равен —6059:

Как бы там ни было, единственной причиной, по которой мы не оставляем отрицательные числа в дополнительном коде, является непривычность для нас такого представления чисел.

Разумеется, использование дополнительного кода для представления отрицательных значений применимо и к двоичным числам. Причем, простота инвертирования (0 —> 1, 1 —> 0) делает этот метод очень привлекательным. Обратимся к приведенному выше примеру:

И опять же отрицательные числа следует оставлять в дополнительном коде (2’s complement)[17]. Обратите внимание, что операция преобразования в дополнительный код является обратимой, т. е.

дополнительный код <=> прямой код.

При работе с десятичными числами для обозначения положительных и отрицательных чисел используются знаки «+» и «—» соответственно. В системе же с двумя состояниями мы можем оперировать только единицами и нулями. Тем не менее, взглянув на последний пример, можно получить ключ к решению этой проблемы. Как уже было сказано, отрицательное значение получается в результате заема в старший разряд числа. Так что мы можем использовать этот разряд в качестве знакового бита (sign bit), причем 0 будет эквивалентен знаку «+», а 1 — знаку «—». Таким образом, число Ь’11000101’ будет соответствовать значению —59, а Ь’00111011’ — значению +59 (в примерах знаковый бит выделен полужирным шрифтом). Преимущество такого представления заключается в том, что при любых арифметических операциях с ним можно обращаться так же, как и с обычным битом. При этом результат операции будет иметь верный знак:

Из примера видно, что если отрицательное число представлено в дополнительном коде, то нам не нужно изобретать аппаратный «вычитатель», поскольку прибавление отрицательного числа эквивалентно вычитанию положительного. Другими словами, А — В = А + (—В). Более того, если числа будут записаны в дополнительном коде, результаты всех последующих арифметических операций также будут в дополнительном коде.

С арифметическими операциями над отрицательными числами, представленными в дополнительном коде, связаны две проблемы. Первая из этих проблем — переполнение (overflow). Она заключается в том, что при сложении двух положительных или двух отрицательных чисел может возникнуть переполнение в знаковом бите, например:

а) Сумма двух положительных чисел б) Сумма двух отрицательных чисел получается отрицательной получается положительной

В примере (а) результат сложения (+8) + (+11) равен —13. В данном случае произошло переполнение из четвертого значащего бита в знаковый (в действительности число 10011b = 19 является корректным результатом). В примере (б) показана та же ситуация при сложении двух отрицательных чисел. Переполнение может возникнуть только в том случае, если оба операнда имеют одинаковые знаковые биты. Поэтому для обнаружения переполнения следует отслеживать значение знакового бита результата, отличающееся от значения знаковых битов операндов. Логическая схема, реализующая обнаружение переполнения, показана на Рис. 1.5.

Вторая проблема касается выполнения арифметических операций над знаковыми операндами разной разрядности, например:

В обоих примерах показано сложение 8-битного числа с 16-битным. Если первый операнд положителен, его разрядность можно увеличить до 16 бит, заполнив свободные позиции нулями. Если же требуется расширить отрицательное число, то решение уже не так очевидно. В этом случае расширение числа производится путем заполнения пустых разрядов единицами. Общее правило звучит так: при расширении данных дополнительные разряды слева следует заполнять знаковым битом. Этот метод называется расширением знака (sign extension).

Умножение числа на n-ю степень двойки реализуется сдвигом исходного значения на n позиций влево. Таким образом, последовательность операций 00110 (6) << 01100 (12) << 11000 (24) эквивалентна умножению числа 6 на 22; оператор «<<» используется для обозначения сдвига влево. Это же правило применимо и к отрицательным числам:

Смена значения знакового бита означает переполнение в старшем бите модуля числа. Некоторые компьютеры (микропроцессоры) поддерживают операцию арифметического сдвига влево, которая сигнализирует о такой ситуации в отличие от обычной операции логического сдвига влево, используемой для сдвига беззнаковых чисел.

Умножение на число, не являющееся степенью двойки, можно реализовать, комбинируя операции сдвига и суммирования. В частности, как показано в предыдущем примере (в), выражение 3x10 вычисляется следующим образом:

(3 х 8) + (3 х 2) = (3 х 10) или (3 << 3) + (3 << 1).

Аналогичным образом деление числа на n-ю степень двойки реализуется сдвигом значения на n позиций вправо, т. е. 1100 (12) >> 0110 (6) >> 0011 (3) >> 0001.1 (1.5). Этот же способ применим к знаковым числам:

Обратите внимание, что освободившиеся при сдвиге влево позиции заполняются не нулями, а содержимым знакового бита. Таким образом, при сдвиге положительных чисел слева вдвигаются нули, а при сдвиге отрицательных чисел — единицы. Данная операция известна как арифметический сдвиг вправо, в отличие от логического сдвига вправо, при котором всегда вдвигаются нули.

Деление на число, не являющееся степенью двойки, показано в примере (в). Эта операция осуществляется аналогично операции деления столбиком в десятичной системе. При ее выполнении по аналогии с умножением используется комбинирование операций сдвига и вычитания.

Арифметические действия — не единственные операции, которые можно осуществлять над двоичными числами. Английский математик Джордж Буль[18] (George Boole) в середине 19-го столетия создал раздел алгебры, касающийся символической обработки логических отношений. Этот раздел алгебры, называемый Булевой алгеброй, оперирует величинами, которые могут иметь только два состояния: истина или ложь. В 30-х годах стало понятно, что этот раздел математики может быть с успехом использован для анализа коммутационных схем и, соответственно, устройств двоичной логики. Мы ограничимся рассмотрением базовых логических операций этой алгебры переключательных схем.

Инверсия, или операция НЕ (NOT), обозначается символом надчеркивания. Таким образом, выражение f = А¯ означает, что переменная f является обратной величиной переменной А. То есть если А = 0, то f = 1, и, наоборот, если А = 1, то f = 0. На Рис. 1.1, а эта зависимость представлена в виде таблицы истинности (truth table). По определению двойная инверсия переводит переменную в первоначальное состояние: f= = f[19].

Рис. 1.1. Операция НЕ (NOT)

Как правило, реализации логических функций представляются с помощью абстрактных символов, а не подробных электрических схем. Общепринятое изображение элемента НЕ приведено на Рис. 1.1, б[20]. Кружок на изображении логических схем всегда означает инверсию и очень часто используется в сочетании с другими логическими элементами (см., например, Рис. 1.2, в).

Оператор И (AND) реализует функцию «все или ничего». Результат операции будет истинным только в том случае, если все n входов истинны. На Рис. 1.2 имеется две входные переменные, и выражение для выходного значения записывается как f = В∙А, где символ «» — булевый оператор И[21]. Количество входных переменных может быть любым, и в общем случае f = А(0)∙А(1)∙А(2)∙…∙А(n). Операцию И иногда называют операцией логического умножения, поскольку (по аналогии с обычным умножением) результат этой операции между любым битом и 0 всегда будет равен 0.

Рис. 1.2. Операция И (AND)

Если предположить, что вход В является управляющим входом, а вход А — входом данных, то, обратившись к таблице истинности, мы увидим, что при В = 1 на выходе будут присутствовать входные данные, а при В = 0 на выходе постоянно будет 0. Таким образом, эту схему можно рассматривать как управляемый вентиль. В общем случае термин вентиль применим к любой логической схеме, реализующей базовые логические операции.

В большинстве практических реализаций вентиля И используется инвертированный выход. Логическая функция такого элемента называется И-НЕ (NOT AND, или NAND), а ее изображение приведено на Рис. 1.2, в.

Действие оператора ИЛИ (OR) можно описать словом «что-нибудь». Результат этой операции будет истинным, если истинно хотя бы одно из входных значений (поэтому на символе изображено «>= 1»). Хотя элемент, показанный на Рис. 1.3, имеет только два входа, операция ИЛИ применима к любому числу входных переменных. Часто операцию ИЛИ называют логическим сложением, соответственно в качестве математического оператора используется знак «+»[22]:

Рис. 1.3. Операция ИЛИ (OR)

Если предположить, что вход В является управляющим входом, а вход А — входом данных (или наоборот), то из Рис. 1.3, а видно, что данные проходят через вентиль при В = 0 и задерживаются (на выходе постоянно присутствует 1) при В = 1. Такое поведение отчасти похоже на инверсное действие функции И. В самом деле, функция ИЛИ может быть выражена через функцию И посредством двойственного соотношения . Из этого соотношения следует, что функцию ИЛИ-HE можно реализовать инвертированием сигналов, подаваемых на вход элемента И.

Мы познакомились с тремя основными логическими операторами: И, ИЛИ и НЕ. Однако существует еще одна операция, часто используемая в электронике, — операция Исключающее ИЛИ (exclusive OR — XOR). Функция XOR истинна, если истинен только один из входов (поэтому на символе изображено «=1», см. Рис. 1.4, б). В отличие от обычной операции ИЛИ, при 1 на обоих входах на выходе будет 0.

Рис. 1.4. Операция Исключающее ИЛИ (XOR)

Если предположить, что вход В — управляющий, а вход А — вход данных (или наоборот), тогда

• Если В = 0, то f = А — данные с входа передаются на выход.

• Если В = 1, то f = А¯ — выходной сигнал представляет собой инвертированный входной сигнал.

Таким образом, вентиль Исключающее ИЛИ может использоваться в качестве программируемого инвертора.

Другим полезным применением функции Исключающее ИЛИ можно назвать использование ее в качестве логического дифференциатора. Из таблицы истинности (Рис. 1.4, а) видно, что выход элемента Исключающее ИЛИ истинен только тогда, когда состояния обоих входов различны. Аналогично, из таблицы истинности оператора Исключающее ИЛИ-HE (XNOR), показанной на Рис. 1.4, в, видно, что выход такого элемента истинен при одинаковых сигналах на обоих входах. Таким образом, вентиль Исключающее ИЛИ-HE можно рассматривать в качестве 1-битного компаратора. Равенство двух «-битных значений можно проверить, объединив по И набор вентилей Исключающее ИЛИ-HE (см. Рис. 2.7 на стр. 37), каждый из которых реализует функцию , т. е.

В качестве простого примера использования элементов Исключающее ИЛИ и Исключающее ИЛИ-HE рассмотрим задачу определения переполнения в знаковом бите (см. стр. 24). Эта ситуация возникает, если знаковые биты обоих операндов одинаковы , а знаковый бит С результата отличается от них, скажем . Схема такого детектора, показанная на Рис. 1.5, описывается логической функцией:

И наконец, функцию Исключающее ИЛИ можно использовать для определения четного количества истинных входов. При каскадном соединении n + 1 вентилей Исключающее ИЛИ выходной сигнал будет равен 1, если входное n-битное число содержит четное число единичных битов. Добавляя к слову данных дополнительный бит, так чтобы общее число битов было четным, можно реализовать простейшую защиту от ошибок. Приемное устройство будет контролировать четность принимаемых данных, и любое несоответствие будет означать их повреждение.

Рис. 1.5. Обнаружение переполнения в знаковом бите

Глава 2

Логические схемы

Итак, мы с вами выяснили, что цифровая обработка данных заключается в пересылке, обработке и хранении двоичных значений. В этой главе мы несколько расширим представления, введенные в предыдущей главе, чтобы можно было приступить к рассмотрению собственно архитектуры компьютеров и микроконтроллеров. Мы познакомимся с несколькими важными логическими функциями, рассмотрим выпускаемые микросхемы, которые реализуют эти функции, а также их практическое применение.

Прочитав эту главу, вы:

• Познакомитесь с областями применения и характеристиками выходных каскадов с активной подтяжкой (двухтактный выход), с открытым коллектором и с тремя состояниями.