Маленькая книга о черных дырах

Стивен Габсер, Франс Преториус

Маленькая книга о черных дырах

Издание подготовлено в партнерстве с Фондом некоммерческих инициатив «Траектория» (при финансовой поддержке Н. В. Каторжнова).

Права на издание получены по соглашению с Princeton University Press. Все права защищены. Никакая часть данной книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме без письменного разрешения владельцев авторских прав.

© 2017 by Steven S. Gubser and Frans Pretorius

© Перевод на русский язык ООО Издательство «Питер», 2019

© Издание на русском языке, оформление ООО Издательство «Питер», 2019

© Серия «New Science», 2019

© Масленников К. Л., пер. с англ. яз., 2018

© Стивен Габсер, 2019

* * *

Предисловие

Это произошло 14 сентября 2015 года, почти ровно через 100 лет после того, как Альберт Эйнштейн сформулировал свою общую теорию относительности. Два огромных приемника – один в штате Луизиана, другой в штате Вашингтон – проходили последнее тестирование перед научным экспериментом, результатом которого должна была стать регистрация гравитационных волн. Совершенно неожиданно записывающие устройства приемников зарегистрировали необычный сигнал. Если бы этот сигнал можно было услышать, он прозвучал бы как слабый глуховатый стук.

Спустя пять месяцев, после тщательного исследования данных, зафиксированных в тот день приемниками, сотрудники лазерно-интерферометрической гравитационно-волновой обсерватории (LIGO) опубликовали свое открытие. Оказалось, что зарегистрированный во время испытаний импульс и был именно одним из тех сигналов, ради приема которых была построена гигантская установка и который физики так надеялись принять в результате наблюдений, – далеким эхом слияния двух черных дыр в одну, более массивную. Мировое физическое сообщество было взволновано. Представьте, если бы мы всю жизнь жили, не воспринимая красного цвета, и вдруг пелена упала с наших глаз и мы в первый раз увидели розу.

И какую розу! Количественные оценки, выполненные по данным LIGO, показали, что слабый «стук», записанный приемниками, был порожден происшедшим более миллиарда лет назад слиянием двух черных дыр, каждая из которых была раз в тридцать массивнее Солнца. Во время столкновения в форме гравитационного излучения выделилась энергия, соответствующая примерно трем солнечным массам.

И черные дыры, и гравитационные волны давно уже были предсказаны общей теорией относительности Эйнштейна. На регистрацию именно таких гравитационных волн, какие теория предсказывает в случае слияния черных дыр, был настроен детектор LIGO, и именно им соответствовал сигнал, записанный 14 сентября. Но то, что произошло, было не просто доказательством правильности долго вынашиваемых теоретических идей. Первая регистрация гравитационных волн открыла эру гравитационно-волновой астрономии. Детектору LIGO посчастливилось «увидеть» событие, о котором физики грезили десятилетиями. Теперь мы будем исследовать открывшийся нам чудесный сад гравитационно-волновых явлений.

Большие события в науке редко бывают однозначными, поэтому сначала следует спросить: а насколько мы убеждены, что группа LIGO правильно истолковала принятый слабый импульс как дальнее эхо слияния черных дыр, случившегося миллиард лет назад? Если говорить коротко, то ответ будет: «На сто процентов». Сходится все. Сигнал зарегистрировали оба детектора. Поблизости не происходило ничего такого, что могло бы позволить объяснить его как-то иначе. Он был достаточно сильным, чтобы новый детектор LIGO смог его почувствовать, и при этом слишком слабым, чтобы он мог наблюдаться прежней аппаратурой. Гипотеза слияния черных дыр, случившегося миллиард лет назад, не противоречит общим представлениям астрофизики и космологии. И главное: вскоре подтвердились надежды на то, что и другие такие же события не заставят себя ждать. На рождество 2015 года LIGO объявила о регистрации второго сигнала, а 4 января 2017 года – третьего. В целом эти новые события похожи на первое, и это укрепляет нашу уверенность в том, что LIGO действительно наблюдает слияния черных дыр. В общем, мы полны уверенности, что находимся на пороге новой эры наблюдательной астрофизики – эры, в которой черные дыры будут играть первую скрипку.

В этой книге мы описываем черные дыры и как астрофизические объекты, существование которых уже почти не вызывает сомнений, и как лаборатории для теоретиков, где последние могут отточить свое понимание не только тяготения, но также и квантовой механики, и теплофизики. В главах 1 и 2 мы поговорим о специальной и общей теории относительности. В последующих главах мы продолжим наше изложение: обсудим шварцшильдовские черные дыры, вращающиеся черные дыры, столкновения черных дыр, гравитационное излучение, излучение Хокинга и потерю информации в черной дыре.

Что же такое черная дыра? В сущности, это область пространства-времени, которая стягивает в себя вещество и из которой невозможно выбраться. Сначала мы сосредоточим обсуждение на самых простых черных дырах, называемых шварцшильдовскими в честь их первооткрывателя Карла Шварцшильда. Есть старая поговорка: «Чем выше поднимаешься, тем больнее падать». Внутри шварцшильдовской черной дыры действует более сильное утверждение: подниматься некуда, можно только падать. Мы, правда, не вполне уверены, куда мы в конце концов упадем. Самая простая гипотеза, соответствующая математическим уравнениям, которые описывают шварцшильдовскую черную дыру, заключается в том, что в ее центре лежит чудовищно плотное, бесконечно сжатое материальное ядро. Столкновение с ним означает конец всего, даже времени. Проверить эту гипотезу довольно трудно, так как ни один наблюдатель, который рискнул бы отправиться в черную дыру, не мог бы даже сообщить нам о том, что он видит.

Но прежде, чем мы продолжим исследовать черные дыры Шварцшильда более глубоко, давайте сделаем шаг назад и рассмотрим тяготение в более слабых формах. Например, если мы запустим с поверхности Земли объект с достаточно большой вертикальной скоростью, он сможет двигаться вверх вечно. Минимальная скорость, для которой это верно, называется скоростью убегания, или второй космической скоростью, и если пренебречь трением о воздух, она составляет примерно 11,2 километра в секунду. Для сравнения вспомним, что человек вряд ли способен бросить мяч со скоростью большей, чем 45 метров в секунду, а это меньше, чем полпроцента скорости убегания. Скорость пули, вылетающей из боевого ружья, примерно 1,2 километра в секунду, что немного выше 10 % скорости убегания. Так что, говоря: «Чем выше поднимаешься, тем больнее падать», мы обычно имеем в виду, что, швыряя объект вверх обычными средствами, притяжение Земли мы вряд ли преодолеем.

Современное средство, способное бесповоротно победить земное притяжение и отправиться в космическое пространство, – это космическая ракета. Чтобы вырваться из объятий тяготения Земли, ракете не обязательно лететь со скоростью выше 11,2 километра в секунду (хотя некоторые из них на это способны). Ракета может лететь медленнее, но должна нести достаточно горючего, чтобы подняться до такой высоты, на которой гравитационное поле Земли существенно слабее, а скорость убегания, соответственно, меньше. Другими словами, если ракета должна полностью выйти за пределы действия гравитационного поля Земли, то в точке, где ее двигатели перестают работать, она должна иметь скорость большую, чем скорость убегания.

Интересно, а что, если бы Земля была гораздо плотнее? Тогда скорость убегания с ее поверхности была бы больше, ведь гравитационное поле Земли было бы гораздо сильнее. Если говорить об устойчивых формах вещества, то во Вселенной самая большая плотность его встречается в нейтронных звездах. Примерно полторы массы Солнца помещается внутри сферы радиусом всего в 12 километров, хотя радиусы нейтронных звезд пока измерены с не очень высокой точностью. Обычное вещество будет полностью расплющено по поверхности такой звезды ее чудовищной гравитационной силой, примерно в 100 миллиардов раз превышающей силу тяжести на Земле. При радиусе в 12 километров скорость убегания составит примерно 60 % скорости света. Но не будем останавливаться – представим себе, что нам удалось сжать нейтронную звезду еще сильнее. Если мы доведем ее радиус до 4,5 километра, скорость убегания достигнет скорости света. Продолжим сжатие, и характер поля тяготения полностью изменится. Никакая форма материи уже не сможет преодолеть силу гравитации. Двигаться во времени – будет означать неизбежно и бесповоротно стремиться внутрь сферы вдоль ее радиуса. Вырваться будет невозможно. Это и будет черная дыра.

Рис. 0.1. Схематическое представление геометрии черной дыры. Вдалеке от горизонта пространство-время плоское. С приближением к горизонту оно становится все более искривленным, но при этом остается независимым от времени, или статическим. Однако после пересечения горизонта пространство-время становится динамическим: с течением времени два из пространственных измерений (имеющих сферическую геометрию) сжимаются, а третье (не показанное на рисунке) удлиняется, и это происходит до тех пор, пока все пространство не вытянется и не сожмется в бесконечно длинную и тонкую сингулярность.

Главная цель первых глав этой книги – уточнить, что же такое «черная дыра». Здесь ключевой будет идея «горизонта событий», который можно назвать поверхностью черной дыры. В геометрическом смысле эта поверхность является двумерной областью в трехмерном пространстве. Например, в простейшем случае шварцшильдовской черной дыры ее горизонт представляет собой идеальную сферу, радиус которой называют радиусом Шварцшильда. Но у горизонта черной дыры есть одна странность (по крайней мере, в привычном для нас смысле): он не является поверхностью чего-то конкретного. Пролетая сквозь него, вы не заметите ничего особенного. Вот только если вы захотите повернуть обратно и выйти наружу, ничего не получится. Неважно, какие усилия вы будете для этого прикладывать – пользоваться ракетой, лазерной пушкой или чем-нибудь еще. Неважно, какую помощь будут пытаться вам оказать снаружи. Снова оказаться на внешней стороне горизонта или хотя бы послать наружу сигнал SOS невозможно. Образно говоря, на горизонте черной дыры вы будто на кромке водопада, с которой пространство-время мощным потоком неотвратимо низвергается в сингулярность – а в ней разрушается все.

Черные дыры – это реальные объекты, а не просто мысленный эксперимент! Считается, что во Вселенной они возникают по крайней мере в двух ситуациях. По поводу первой из них вспомним, что мы чуть выше узнали о нейтронных звездах. Когда в недрах мас сивных звезд заканчивается ядерное горючее, они коллапсируют – обрушиваются внутрь самих себя. В процессе коллапса большая часть вещества звезды выбрасывается в окружающее пространство в результате взрыва, называемого вспышкой сверхновой. (Кстати, обычно считается, что именно взрывы сверхновых играют главную роль в распространении металлов и других сравнительно тяжелых элементов по всей Вселенной.) Но на месте взрыва все же может остаться слишком много вещества, чтобы из него могла образоваться устойчивая нейтронная звезда: сколлапсировав, это оставшееся вещество образует черную дыру массой по крайней мере в несколько масс Солнца. Черные дыры, слияния которых наблюдались детектором LIGO, еще массивнее, но все равно укладываются в модель звездного коллапса.

А вот черные дыры в центрах галактик, по-видимому, гораздо больше. Подробности процесса образования таких черных дыр таинственны – возможно, они связаны с существованием темного вещества, с физикой очень ранней Вселенной или и с тем и с другим. Черные дыры в центрах галактик имеют невероятно большие массы: от тысяч до миллиардов масс Солнца. Одно такое чудовище, по-видимому, находится в центре Млечного Пути: в нем около 4 миллионов солнечных масс. Мы могли бы спросить: как можно быть уверенными в присутствии черной дыры, если никакой сигнал не в состоянии выскользнуть из-под ее горизонта? Ответ состоит в том, что гравитационное притяжение черной дыры воздействует на окружающие ее объекты. Отслеживая движения звезд в окрестности центра Млечного Пути, мы убеждаемся в том, что там находится какой-то очень массивный и очень плотный объект. Он, конечно, не обязан быть именно черной дырой, но можно точно сказать, что если это не черная дыра, то что-то гораздо более странное. Иными словами, черная дыра в этой ситуации является самым простым из всех возможных объектов, и поэтому все сходятся на том, что в центрах многих, если не большинства, галактик действительно находятся сверхмассивные черные дыры.

Черные дыры исключительно удобны с точки зрения теории, так как математически они гораздо проще большинства астрофизических объектов, например звезд. Энергию звезд обеспечивают ядерные реакции в их недрах. Вещество внутри звезд подвергается гигантскому давлению и участвует в гидродинамических движениях, которые мы можем промоделировать численно, но понимаем еще далеко не полностью. Динамика поверхности звезды, вероятно, столь же сложна, как и изменчивая погода на Земле. По сравнению со всем этим черная дыра отличается великолепной простотой. В отсутствие другого вещества черные дыры должны принимать одну из нескольких определенных форм, которые в явном виде описываются уравнениями общей теории относительности Эйнштейна в терминах неевклидовой геометрии. Конечно, вещество, падающее в черную дыру, усложняет картину, но и при этих условиях достигнуто вполне удовлетворительное понимание того, что будет происходить с обычным веществом. Существует даже подробное математическое описание того, как одна черная дыра сталкивается с другой. В главе 6 этой книги подробно объясняется, как строится это описание и что оно означает для интерпретации таких экспериментов, как наблюдения LIGO.

Странности начинаются, когда выясняется, что черные дыры в действительности не такие уж черные. Методами квантовой механики Стивен Хокинг доказал, что черные дыры имеют определенную температуру, связанную с их поверхностным тяготением. Фактически появилась целая научная дисциплина, известная как термодинамика черных дыр; в ней их геометрические свойства ставятся в точное соответствие с характеристиками, описываемыми теорией теплоты, то есть температурой, энергией и энтропией. Существует даже предположение, что внутренние части черных дыр в удаленных областях Вселенной перекрываются, и это помогает объяснить такой квантовый эффект, как запутанность. Мы поговорим об этих проблемах в главе 7.

Черные дыры продолжают привлекать внимание ученых. Астрономы ищут все более точное описание свойств вращающихся черных дыр и поэтому ждут очень многого от сотрудничества с гравитационно-волновыми обсерваториями: есть надежда на основе наблюдений описать катаклизмические события, происходящие при слияниях черных дыр. Гравитационно-волновая астрономия находится в самом начале пути. Усилиями ученых всего мира строится сеть детекторов в Соединенных Штатах (два детектора LIGO: в Хэнфорде, штат Вашингтон, и в Ливингстоне, штат Луизиана), в Европе (Virgo и GEO600), в Японии (KAGRA) и в Индии (LIGO India). Одновременно специалисты в области теории струн изучают черные дыры в многомерных пространствах – не только для измерения квантовых эффектов в тяготении, но и для построения физических аналогий столь разнообразным процессам, как столкновения тяжелых ионов, вязкие жидкости, сверхпроводники. Наконец, существование черных дыр подталкивает нас к поистине странным вопросам: а не могут ли они когда-нибудь стать полезными человеку? Что же в действительности находится внутри них? Как можно представить себе падение в черную дыру? А может быть, мы уже падаем в нее и просто еще не знаем об этом?

Глава 1

Специальная теория относительности

Чтобы понять, что такое черные дыры, нам придется познакомиться с теорией относительности. Эта теория делится на две части: «специальную» и «общую» – их часто сокращенно обозначают СТО и ОТО. Специальную теорию относительности Альберт Эйнштейн предложил в 1905 году: он рассматривал движение объектов друг относительно друга и то, как движение наблюдателя влияет на восприятие им пространства и времени. Главные идеи специальной теории относительности можно сформулировать в рамках очень красивой геометрической концепции, которая называется «пространство-время Минковского».

Позже эта теория стала частью общей теории относительности, в которой центральным встал вопрос о природе тяготения. Общая теория относительности и понадобится нам, если мы хотим понять, что такое черная дыра. Эйнштейн разрабатывал эту теорию много лет и только в конце 1915 года подвел итог своих исследований в статье, главным в которой были так называемые уравнения гравитационного поля, – с тех пор они носят имя их автора. Уравнения Эйнштейна описывают, как искривляется пространство-время Минковского под влиянием тяготения. В результате с их помощью можно описать геометрию шварцшильдовской черной дыры – об этом мы поговорим подробно в главе 3. Из-за того, что в специальной теории относительности тяготение не принимается во внимание или считается настолько слабым, что им можно пренебречь, специальная теория относительности выглядит гораздо проще, чем общая. Именно в рамках специальной теории относительности была выведена формула E = mc², связывающая энергию тела E, его массу m и скорость света c, – одно из самых знаменитых уравнений во всей физической науке, а может, и вообще одна из главных вершин человеческого знания. Применение этой формулы позволило высвободить гигантскую энергию, скрытую в атомных ядрах, – эта энергия используется в атомном оружии. А теперь мы надеемся, что слияние ядер сможет стать для человечества практически неисчерпаемым источником энергии, не загрязняющей к тому же окружающую среду. Формула E = mc²имеет прямое отношение и к физике черных дыр. При первом наблюдавшемся астрономами слиянии черных дыр выделилась энергия, эквивалентная трем массам Солнца, что и стало прямой иллюстрацией эквивалентности массы и энергии. Чтобы представить себе, насколько огромны масштабы этой космической катастрофы, вспомним, что при взрыве атомной бомбы мощностью в 400 килотонн выделяется энергия, эквивалентная массе всего в 19 грамм.

Специальная теория относительности тесно связана с теорией электромагнетизма Джеймса Клерка Максвелла. Первые ростки релятивистского взгляда на пространство и время появились в конце XIX века: тогда были выведены так называемые преобразования Лоренца, которые показывают, как восприятие наблюдателем электромагнитных явлений зависит от характера движения этого наблюдателя. А самое распространенное электромагнитное явление – это свет, который является просто движущейся в пространстве волной связанных друг с другом электрического и магнитного полей. Из теории Максвелла следовало, что у света есть определенная скорость распространения. Теория относительности была основана на идее, что эта скорость постоянна и независима от движения наблюдателя.

В специальной теории относительности движение наблюдателей описывается в терминах «систем отсчета». Чтобы наглядно представить себе роль системы отсчета, вообразим скорый поезд. Если все пассажиры уселись на свои места и багаж аккуратно уложен, все в поезде находится в покое по отношению к стенкам и полу вагона. Но ведь поезд при этом быстро мчится по отношению к Земле. Представим себе, что он движется по прямой с постоянной скоростью. Чтобы вполне точно описать понятие системы отсчета, мы вдобавок должны допустить еще полное отсутствие поля тяготения. То есть вместо поезда, мчащегося с постоянной скоростью по земной поверхности, лучше бы представить себе космическую ракету, летящую в пустом пространстве. Правда, поле силы тяжести Земли достаточно слабое, чтобы для наших целей мы в поезде могли не принимать его во внимание: тогда можно обойтись специальной теорией относительности, не прибегая к общей.

Итак, если мы не будем смотреть в окно, нам трудно будет сказать, с какой скоростью движется поезд. А если допустить, что поезд имеет фантастически мягкую подвеску, рельсовый путь – невообразимо гладкий, а шторы на всех окнах наглухо опущены, будет, пожалуй, невозможно определить, движется ли наш поезд вообще. Поезд представляет собой систему отсчета – в этой системе пассажиры могут естественно определить, движется ли что-нибудь внутри вагона. Но в нашей идеализированной ситуации они не смогут сказать, движется ли сам поезд. Вот если кто-то отправится на прогулку по проходу между креслами, пассажиры, конечно, будут это знать: он же перемещается относительно их системы отсчета! Больше того, любое физическое явление, происходящее внутри поезда, например отскоки от пола мячика или вращение спиннера, будет с точки зрения пассажира происходить всегда одинаково, независимо от того, движется поезд или стоит на месте. Короче говоря, система отсчета – это способ, которым наблюдатель воспринимает связанное с ним пространство и время в состоянии равномерного движения, то есть когда поезд не ускоряет и не замедляет свой ход, и к тому же не поворачивает. Как только что-то из перечисленного произойдет, пассажиры тут же это заметят: например, резкое ускорение вдавит их в спинки кресел, а при торможении их бросит вперед.

Давайте теперь представим себе, что наш поезд, не останавливаясь и даже не замедляя хода, проходит мимо станции. Пассажиры – назовем их Алиса, Алан и Авери – это наблюдатели в движущейся системе отсчета, которую мы назовем системой A. Тем временем их друзья Боб, Бетси и Билл стоят на платформе и их система отсчета, которую мы будем называть системой Б, неподвижна. Чтобы изобразить эти системы графически, будем отмечать положения, измеренные в системе Б, по горизонтальной координатной оси, а измеренное в этой системе время по вертикальной. Теперь нанесем на координатную плоскость траектории наших наблюдателей в пространстве и во времени: получается, что с течением времени наблюдатели в системе Б всегда остаются в одних и тех же положениях (измеренных в этой системе), тогда как наблюдатели из системы А движутся вперед. Получившаяся диаграмма и есть изображение пространства-времени Минковского! Выражение «пространство-время» отражает тот факт, что мы изображаем пространственные и временные координаты на одной и той же диаграмме.

Но можно взглянуть на пространство-время Минковского с другой точки зрения: в соответствии с ней, наблюдателей из системы A можно представить покоящимися, а те, что находятся в системе Б, будут двигаться назад. Мы вернемся к этому чуть позже.

Специальная теория относительности базируется на предположении, что скорость света постоянна. Другими словами, теория исходит из того, что скорость света имеет одно и то же значение, измеряется ли она наблюдателями в поезде или теми, кто стоит на платформе. Если бы это было не так, тогда, измеряя скорость света, наблюдатель мог бы определить, в которой из этих двух систем он находится. А главный физический принцип – принцип относительности – в том и состоит, что законы физики должны быть абсолютно одинаковы в любой системе отсчета и что никакое физическое измерение не может вам подсказать, в какой системе находитесь вы. Так что, согласно этому принципу, мы не можем выбрать какую-то систему отсчета и сказать: «Пока я остаюсь в этой системе, я нахожусь в состоянии покоя. Движение означает переход в другую систему». Мы можем только сказать: «Каждая система отсчета не лучше и не хуже любой другой. Единственное, что можно назвать движением, – это перемещение одного наблюдателя относительно другого». Иначе говоря, состояние движения не абсолютно, а относительно. А значит, неправильно говорить, что система А движется, а система Б покоится. Все, что мы можем сказать, – это что они движутся друг относительно друга. (Хотя, конечно, мысль о том, что система Б покоится, нам кажется более естественной, потому что мы подсознательно всегда рассматриваем движение относительно Земли.)

Рис. 1.1. Слева: пространство-время Минковского. Три наблюдателя из системы отсчета Б неподвижны, а три наблюдателя из системы А движутся вперед. Справа: другая перспектива пространства-времени Минковского, в которой наблюдатели из системы Б движутся назад, а наблюдатели из системы А покоятся.

Получается, что наши интуитивные суждения об относительном движении исходят из здравого смысла, и стоит спросить себя: не можем ли мы из этих представлений извлечь какой-нибудь способ объяснения природы пространства и времени? Здесь нам на помощь приходит максвелловская теория электромагнетизма. Ведь из нее следует (кроме всего прочего), что если Алиса вытащит лазерную указку и пошлет лазерный импульс вперед, в сторону, в которую мчится ее поезд, и то же самое сделает Боб, то эти два лазерных луча полетят вперед с одинаковой скоростью.

На первый взгляд, ничего особенного – но только на первый взгляд! Ведь, например, если мы разгоним наш поезд до 99 % скорости света (хотя в Америке, как всем известно, поезда ходят гораздо медленнее), то разве для Боба скорость луча, посланного по ходу поезда Алисой, не окажется равной почти двойной скорости света? Ведь Алиса мчится к Бобу со скоростью в 99 % световой, а ее лазерный луч мчится со скоростью света относительно нее – значит, измеренная Бобом скорость ее лазерного луча составит 199 % скорости света?

Так вот, в соответствии с теорией электромагнетизма, этого не произойдет! Скорость луча, измеренная Бобом, будет в точности равна все той же постоянной скорости света, которую Алиса получит, измеряя движение того же импульса относительно себя.

Как это может быть? Ответ заключается в том, что Алиса и Боб по-разному измеряют ход времени и длину. В подробностях эта процедура измерения выражается преобразованиями Лоренца – математическим описанием связи времени и длины в системе А с временем и длиной в системе Б. Преобразование Лоренца легко записать в терминах пространства-времени Минковского. До того как мы провели преобразования Лоренца (левая часть рис. 1.1), мы можем считать систему Б покоящейся, а систему А движущейся вперед. После выполнения преобразований Лоренца (правая часть рис. 1.1) система А становится покоящейся, а система Б движется назад! Преобразования Лоренца, таким образом, просто описывают смену точки зрения: от позиции Боба, который считает покоящейся свою систему отсчета, к позиции Алисы, для которой покоится как раз ее система.

Главные следствия преобразований Лоренца – замедление времени и сокращение длины. Мы сначала попробуем объяснить замедление времени – это проще. Представьте, что в полдень пятницы вы садитесь в поезд на станции Принстон. Для удобства будем считать, что эта точка во времени и пространстве соответствует началу координат в пространстве Минковского, то есть точке, где пересекаются оси t и x. Через станцию Принстон идут как скорые, так и обычные поезда, причем некоторые идут на север, в Нью-Йорк, а некоторые на юг, в Филадельфию; вы можете сами выбрать вид поезда и направление. Ваш план такой: сесть в поезд, ехать в нем ровно час (по вашим часам), затем сойти и отметить расстояние, на которое вы отъехали. Ясно, что если выбрать скорый поезд, то уедешь дальше. Но будьте осторожны: можно ли считать, что если поезд идет вдвое быстрее, он увезет вас вдвое дальше? Не забывайте, что вы едете ровно один час по вашим часам, которые тоже едут с вами. А скорость поезда будут измерять наблюдатели, которые стоят на неподвижной платформе и часы у которых идут немного иначе, чем у вас, – ведь они находятся в другой системе отсчета.

Где же вы тогда окажетесь через час? Возьмем более общий случай: пусть вы пришли на вокзал в Принстоне с друзьями. Каждый из вас выбрал себе какой-нибудь поезд, и все выехали из Принстона в одно и то же время. Где каждый из вас окажется через час? Ответ: каждый из вашей компании очутится в какой-то точке гиперболы в пространстве-времени Минковского (рис. 1.2). Эта гипербола – множество всех возможных конечных точек, в которых пассажиры разных поездов окажутся ровно через час своего собственного времени. И одним из таких конечных пунктов окажется сам вокзал в Принстоне, ровно в 1 час пополудни по принстонскому времени. Вы окажетесь в этой точке через час после «отправления» вашего поезда, если вы, как знаменитый «рассеянный с улицы Бассейной», умудрились сесть в отцепленный вагон, который весь этот час простоял на одном месте. Получилось, что в 1 час пополудни по принстонскому времени вы «приехали» в Принстон – ведь ваша система отсчета совпадает с системой отсчета принстонского вокзала, а ваши часы идут в точности так же, как и вокзальные. А вот если вы действительно куда-то поехали, ваши часы пойдут медленнее вокзальных. И когда через час вашего времени вы сойдете на платформу, вы увидите, что неподвижные часы показывают более позднее время, чем должно быть по вашим. Этот эффект, известный как замедление времени, в пространстве-времени Минковского изображается искривлением гиперболы кверху в направлении оси времени, тем более сильным, чем больше вы отдаляетесь от начала вашего движения.[1] А пространство-время Минковского даже называют иногда гиперболической геометрией.

Рис. 1.2. Поезда, отправляющиеся из Принстона. Кривая, объединяющая точки, в которые пассажиры попадают через час собственного времени, – гипербола.

В пространстве-времени Минковского постоянную скорость света мы визуализируем световыми лучами под углом ровно 45° относительно вертикальной оси времени. Можно заметить, что гипербола, образованная всеми возможными конечными пунктами наших одночасовых путешествий, целиком лежит внутри области пространства-времени, ограниченной двумя световыми лучами, выходящими из начала координат. Так в пространстве-времени Минковского отражается тот факт, что никакой поезд не способен двигаться быстрее света. Может показаться, что наши разговоры о замедлении времени не имеют отношения к преобразованиям Лоренца. Сейчас мы покажем, что это совсем не так. Вспомним, что мы когда-то решили назвать систему отсчета поезда системой А, а систему отсчета, связанную с Землей, – системой Б. Пусть Алиса проводит один час в системе А по дороге из Принстона в Нью-Йорк. А тем временем Боб и его друзья остаются неподвижными по отношению к Земле. Как они могут узнать время прибытия Алисы? Может, ей стоит позвонить им с вокзала? Вряд ли это разумно: ведь радиоволны, несущие ее голос, распространяются со скоростью света, а значит, чтобы узнать время ее прибытия, Бобу и его друзьям придется проделать вычисления, в которых надо будет учесть время приема звонка Алисы, скорость распространения сигнала и расстояние до Нью-Йорка. Так как Бобу лень заниматься такими сложными подсчетами, он придумывает лучший способ: он сверяет – синхронизирует – свои часы с часами своего друга Билла. Затем Боб и Билл выбирают себе позиции на платформах в Принстоне и Нью-Йорке соответственно, и Боб засекает время отправления Алисы, а Билл – время ее прибытия. Нужды в телефонном звонке больше нет. Правда, может показаться, что трудно надежно синхронизировать часы у наблюдателей, далеко расположенных друг от друга. Для этого можно предложить следующий способ: Боб и Билл встречаются на полпути между Принстоном и Нью-Йорком, синхронизируют свои часы в одной и той же точке пространства, а потом с одинаковой скоростью отправляются на свои вокзалы, задолго до того, как Алиса садится в свой поезд. Во всей этой истории с поездкой Алисы система А оказывается в явно привилегированном положении: Алиса не нуждается в помощи друзей, чтобы узнать продолжительность своего путешествия, тогда как Боб и Билл должны для измерения этого времени производить сложные совместные действия. Временной интервал, который измеряет Алиса, называется «собственным временем», так как она измеряет его, оставаясь неподвижной в своей системе отсчета (системе А). А временной интервал, который измеряют Боб и Билл, – назовем его «замедленным временем», – всегда будет больше собственного. Замедленное, или растянутое, время и есть выражение связи между системой А и системой Б в пространстве-времени. Преобразование Лоренца при переходе от системы А к Б содержит замедление времени.

Подобным образом можно описать и сокращение длины. Теперь вместо надоевших уже прогулок в поездах давайте представим себе, что Боб, Билл и Алиса едут на Олимпиаду, где Алиса надеется установить мировой рекорд по прыжкам с шестом. Ее секрет в том, что она умеет очень быстро бегать: со скоростью в 87 % скорости света! (Почему-то она при этом не хочет отбирать лавры Усейна Болта на стометровке, хотя знает, что эту дистанцию она преодолеет менее чем за 0,4 микросекунды.) У Алисы шест длиной 6 метров – это длиннее, чем у большинства прыгунов, но что поделаешь, она во всем исключительная. Боб и Билл не верят, что у Алисы такой длинный шест, и они решают измерить его, пока Алиса разбегается для прыжка, держа при этом свой шест строго горизонтально. Ясное дело, задача у них непростая. Как им провести свои измерения? Вот что они придумали: во-первых, они опять синхронизуют свои часы. Затем они становятся на расстоянии немного меньше шести метров друг от друга и договариваются, что точно в одно и то же время, когда Алиса будет пробегать мимо них, они посмотрят на нее и отметят, какую точку шеста видит каждый. После многих попыток им удается добиться такого положения, при котором Боб видит конец шеста в тот момент, когда Билл видит его острие. Они измеряют расстояние между собой, и оказывается, что они стоят всего в 3 метрах друг от друга, из чего они разумно заключают: длина шеста Алисы всего 3 метра. Но когда они подходят к Алисе и рассказывают ей об этом, та возражает. Позвав на помощь двух своих друзей Аллана и Авери, которые бегут рядом с ней (а они такие же замечательные спринтеры, как и сама Алиса), и измерив длину шеста в своей собственной системе координат, она подтверждает, что эта длина равна 6 метрам.

Снова заметим, что в этой ситуации система А является привилегированной, так как именно в ней шест Алисы покоится. Назовем его длину, измеренную в системе А, собственной длиной. Длина шеста, измеренная в системе Б, всегда меньше, и мы будем ее называть сокращенной длиной. Замедление времени и сокращение длины тесно связаны, как можно видеть из следующего примера. Когда Алиса бежит по гаревой дорожке к планке, в ее собственной системе отсчета у нее уходит на это вдвое меньше времени, чем то, которое Боб и Билл могли бы измерить способом, о котором мы уже рассказывали при описании поездки Алисы в Нью-Йорк. Получается, что при рекордной скорости Алисы в 87 % скорости света время замедляется вдвое. Во столько же раз сокращается и длина: наблюдатели в системе А говорят, что длина шеста 6 метров, а в системе Б он всего лишь трехметровый. В общем, время замедляется, а длина сокращается всегда в одинаковое количество раз: этот множитель иногда называется множителем Лоренца, или Лоренц-фактором.

Наше обсуждение специальной теории относительности, которое сосредоточилось на геометрии пространства-времени, пока что никак не связано со знаменитым уравнением E = mc². Попробуем найти такую связь, рассмотрев частный случай вывода этого уравнения, в котором все главные шаги можно будет проиллюстрировать геометрически. Этот случай мы называем частным, потому что он требует приближений и формул, которые мы не можем сейчас строго обосновать или вывести.

Сначала давайте сформулируем на языке уравнений, что такое масса. Лучше всего сделать это с помощью уравнения p = mv, где p – импульс, или количество движения, а v – скорость медленно движущегося массивного тела, масса которого равна m. Соотношение p = mv прямо вытекает из механики Ньютона, и мы можем спокойно им пользоваться, пока v гораздо меньше скорости света. Следующий шаг – найти какое-то выражение для энергии. Здесь нам придется принять без доказательства еще один результат теории электромагнетизма: количество движения светового импульса p связано с энергией света E уравнением. Как мы уже выяснили, световые импульсы отличаются тем, что всегда движутся с одной и той же скоростью, независимо от системы отсчета. Это совсем не похоже на поведение массивных объектов. В данной системе отсчета массивные объекты могут либо стоять на месте, либо двигаться с некоторой скоростью v, которая, в соответствии со специальной теорией относительности, всегда меньше скорости света.

Пусть теперь мы знаем количество движения массивного объекта p = mv и светового импульса. Но было бы неверно сказать, что это одна и та же величина: ведь массивный объект не то же самое, что световой импульс! Вместо того чтобы приравнять эти значения друг другу, надо подумать, как создать массивный объект из световых импульсов, – тогда мы сможем использовать наши уравнения количества движения для вывода соотношения E = mc².

Попробуем сделать это так: установим два идеально отражающих зеркала в точности друг напротив друга и заставим два идентичных световых импульса носиться туда и сюда между зеркалами так, чтобы они всегда двигались в противоположных направлениях. Покажем, что эта воображаемая установка, по сути, является массивным телом. Представим себе, что мы способны сделать зеркала очень легкими – настолько, что в своих вычислениях как массы, так и энергии массой зеркал мы можем пренебречь. Тогда энергия нашего «массивного тела» будет вдвое больше энергии каждого из световых импульсов. Его количество движения в точности равно нулю, так как один световой импульс имеет количество движения, направленное вверх, в то время как у другого импульса его количество движения направлено вниз, и эти противоположно направленные векторы в сумме дают ноль. Ведь наше «тело» в целом никуда не движется: движутся только его части.

Чтобы вывести, наконец, из этой модели уравнение E = mc², нам осталось как-то привести нашу хитроумную конструкцию из зеркал и световых импульсов в движение. Для простоты давайте отслеживать поведение лишь одного из импульсов: если следить за обоими, и энергия и масса будут просто вдвое больше, вот и всё. Проще будет считать, что наша конструкция движется в плоскости, перпендикулярной бегающим вверх-вниз между зеркалами световым лучам, – в горизонтальной плоскости. Как только движение началось, световой импульс уже не бегает просто вверх и вниз. Теперь он перемещается и в горизонтальной плоскости, влево-вправо. Вот тут-то и начинает работать геометрия. Движение импульса в горизонтальной плоскости происходит со скоростью v, а движения вверх-вниз – со скоростью c. (На самом-то деле эти последние движения имеют скорость чуть меньшую световой, так как скорости света должна быть равна полная скорость светового импульса. Но при той точности, которая нам нужна, эту деталь можно проигнорировать.)

Другими словами, можно сказать, что в горизонтальной плоскости происходит v/c часть общего движения светового импульса. Тогда можно утверждать, что количество движения фотона в горизонтальной плоскости p_{влево-вправо} – это v/c, умноженное на его общее количество движения p = E/c, то есть p_{влево-вправо}= Ev/c². Но с другой стороны, p_{влево-вправо}= mv, что справедливо, так как p_{влево-вправо} – это количество движения в горизонтальной плоскости всей нашей конструкции в целом (не забудем, что мы отслеживаем только один из двух световых импульсов), а мы рассматриваем нашу внушительную установку как массивное тело. Стоит теперь только объединить наши два способа записи p_{влево-вправо}, как мы получим Ev/c2 = mv. Упростим это уравнение, и вот перед нами… барабанная дробь… E = mc2!

Рис. 1.3. Слева: два идентичных световых импульса, бегающие вверх и вниз между двумя зеркалами.

Справа: зеркала движутся вправо со скоростью v. За время ∆t, которое необходимо, чтобы один из световых импульсов прошел от одного зеркала до второго, импульс проходит расстояние вверх или вниз, приблизительно равное c∆t, и расстояние v∆t в сторону.

Кто-то мог бы возразить, что наша сложная конструкция из зеркал и световых зайчиков не очень-то похожа на массивные объекты, известные нам из ежедневного опыта. Но это не так. Большую часть массы вещества, с которым мы сталкиваемся каждый день, составляют протоны и нейтроны, а их можно приближенно представить как крошечные области пространства-времени, внутри которых со скоростью, близкой к световой, носятся три почти лишенных массы кварка. И если бы этим все и ограничивалось, то масса протона была бы полностью обусловлена движением составляющих его кварков, точно так же, как масса нашей конструкции из зеркал и световых импульсов обусловлена движением света. Но всё оказывается сложнее: кварки сильно взаимодействуют друг с другом, и эти взаимодействия тоже вносят существенный вклад в полную энергию – а значит, и в полную массу – протона. Тем не менее в конечном счете происхождение основной части массы обычной материи имеет большее отношение к нашей светозеркальной модели, чем к любой собственной массе фундаментальных составляющих вещества.

Чем дальше мы углубляемся в специальную теорию относительности, тем отчетливей становится ясно, что максвелловская теория электромагнетизма является ее основной предшественницей. Но во многих отношениях теория Максвелла предвосхищает и общую теорию относительности! Поэтому давайте закончим эту главу обзором главных положений замечательного произведения Максвелла.

До того, как были развиты принципы электромагнетизма, притяжение между положительным и отрицательным зарядами воспринималось в том же ключе, в каком Ньютон понимал гравитационное притяжение между Землей и Солнцем. Природа обоих этих взаимодействий при этом оставалась неясной. Ньютон признал, что он не добился понимания: о своих попытках вскрыть причину гравитационного притяжения он написал: «Эмпирически я не смог до сих пор установить причину свойств тяготения, гипотез же я не измышляю». (Таков примерный перевод с латыни, на которой написан его великий труд.) Но зато Ньютон сумел найти в высшей степени полезный количественный закон, описывающий силу гравитационного притяжения. В частности, он знал, что эта сила ослабевает пропорционально квадрату расстояния между притягивающими друг друга телами. Похожему закону обратных квадратов следует и притяжение между положительным и отрицательным зарядами. Но Ньютона и множество его последователей ставило в тупик другое: что существуют силы, действующие на расстоянии. Другими словами, им казалось очень странным, что на объект может действовать сила, обусловленная существованием другого объекта, расположенного далеко от первого. Решение этой загадки, которое считается правильным и сейчас, предложил Майкл Фарадей. В соответствии с его идеей, заряженный объект создает вокруг себя, сам при этом подвергаясь его воздействию, силовое электрическое поле, которое распространяется в пространстве, подчиняясь четырем уравнениям. Окончательный вид этих уравнений и установил Максвелл.

По схеме, предложенной Фарадеем, отрицательные и положительные заряды не действуют друг на друга непосредственно. Отрицательный заряд ориентирует расположенное в его окрестности электрическое поле так, что оно направляется в сторону этого заряда. В свою очередь, электрическое поле притягивает положительный заряд, расположенный на некотором расстоянии от отрицательного. В конечном счете результатом является притяжение положительного заряда к отрицательному. Таким же образом мы могли бы сказать, что положительный заряд ориентирует лежащее в его окрестности электрическое поле в направлении от себя, и это электрическое поле, в свою очередь, притягивает отрицательный заряд. Оба этих эффекта возникают одновременно. Если всё, что мы наблюдаем, – это заряды, то мы с полным основанием заключим, что на них действуют равные и противоположно направленные силы, которые и притягивают их друг к другу. Точка зрения Фарадея состояла в том, что эти силы возникают только благодаря действию электрического поля, которое существует независимо от того, есть ли вокруг какие-то заряды, которые могли бы его породить.

Рис. 1.4. Слева: электрическое поле E вокруг отрицательного заряда везде направлено внутрь. Справа: провод, по которому течет ток I, создает магнитное поле B, которое замыкается в круг вокруг этого провода.

Похожую картину можно нарисовать для магнитных сил и полей. Если опустить подробности, то именно движущиеся электрические заряды и создают магнитные поля, и подвергаются их воздействию. Распространение этих полей в пространстве происходит в соответствии с уравнениями Максвелла. Особенно важным оказывается то, что магнитные поля формируются вокруг проводов, по которым течет электрический ток. Электрический ток – это движение микроскопических зарядов в проводе, так что перед нами просто еще один частный случай того же общего правила: движущиеся заряды порождают магнитные поля.

Как и электрические, магнитные поля считаются существующими независимо от какой-либо конкретной конфигурации движущихся зарядов, которые могли эти поля породить. Чтобы объяснить, что мы хотим этим сказать, рассмотрим устройство, которое Максвелл использовал при разработке окончательной формы своей теории электромагнетизма. Установим параллельно друг другу две не соприкасающиеся металлические пластинки, к каждой из которых подведен провод. Такое устройство называется конденсатором. Пусть электрический ток втекает в одну из пластин и вытекает из другой. В результате этого с течением времени на одной из пластин будет расти положительный заряд (то есть будет нарастать дефицит электронов), а на другой в равной степени будет увеличиваться отрицательный (переизбыток электронов). Из-за повышения дисбаланса зарядов на пластинах между ними существует растущее электрическое поле. Это поле направлено от положительно заряженной пластины к отрицательно заряженной, и его величина будет расти с увеличением зарядов пластин.

Мы знаем, что магнитное поле формируется вокруг токонесущего провода. В частности, магнитные поля формируются и вокруг проводов, подводящих ток к пластинам конденсатора. Но от пластины к пластине никакой ток не течет, и с наивной точки зрения отсюда должно следовать, что между пластинами не должно быть никакого магнитного поля. Максвелл счел, что это не согласуется с его пониманием устройства конденсаторов, и предложил великолепное решение: растущее электрическое поле порождает круговое магнитное поле точно так же, как это делает ток. Эта идея стала важнейшим шагом за рамки исходной картины, в которой поля порождаются зарядами и на них же действуют: теперь стало ясно, что поля порождаются полями.

А Фарадею еще до этого было понятно, что увеличивающееся магнитное поле генерирует круговое электрическое, – этот принцип лежит в основе работы электрических генераторов. Два из четырех уравнений Максвелла, по сути, формализуют эти взаимно-обратные соотношения между электрическим и магнитным полями. Остальные два уравнения проще: они выражают тот факт, что у магнитных полей нет ни источников, ни стоков, а для электрических полей единственными источниками или стоками служат положительные и отрицательные электрические заряды. Все уравнения Максвелла являются дифференциальными уравнениями, то есть они записаны в терминах скорости изменения электрических и магнитных полей во времени, а также описывают изменения этих полей в пространстве. Дифференциальные уравнения описывают поведение полей в очень малых областях пространства-времени. Никаких действий на расстоянии в уравнениях Максвелла нет. Всё описание заключено в рамках локального притяжения и отталкивания близлежащими полями друг друга. Величайшим триумфом Максвелла стало то, что его уравнения объяснили существование света. Свет, как стало понятно Максвеллу, является комбинацией меняющихся электрических и магнитных полей, в которой пространственные изменения электрического поля вызывают временные изменения магнитного, и наоборот. Физические постоянные, содержащиеся в уравнениях Максвелла, описывают силу электростатического и магнитного взаимодействий, но если их скомбинировать определенным образом, они дают численное предсказание значения скорости света – и это предсказание можно проверить экспериментально.

Заглядывая вперед, скажем, что впоследствии нам придется глубоко обдумать две критически важные параллели между электромагнетизмом и общей теорией относительности. Обе эти теории включают в себя фарадеевскую концепцию поля, и обе, в конечном счете, выражаются дифференциальными уравнениями, описывающими поведение полей, которые подразумевают некоторую форму излучения. В случае электромагнитного излучения электрические поля порождают магнитные, и наоборот – в самоподдерживающемся каскаде, распространяющемся в пространстве-времени в соответствии с уравнениями Максвелла. У этого каскада есть характерная длина волны, на протяжении которой электрические и магнитные поля меняются от нуля до своего максимального значения, затем вновь до нуля и до следующего максимума, и снова до нуля. Видимый свет при этом представляет собой частный случай такого излучения с длиной волны около полумикрона. Затем с ростом длины волны мы переходим к инфракрасному излучению, микроволнам, радиоволнам, а двигаясь в коротковолновую область, получаем ультрафиолетовое излучение, рентген и гамма-лучи.

Рис. 1.5. Световой луч – это возмущение электрического (Е) и магнитного (B) поля, распространяющееся в одном направлении со скоростью света c. Если считать, что на этом рисунке изображена истинная длина волны, то есть несколько сантиметров, то это излучение микроволнового диапазона, чуть более коротковолновое, чем то, что используется в обычной микроволновке.

Эйнштейн нашел гравитационную аналогию уравнениям Максвелла – это-то и есть главное содержание общей теории относительности. В уравнениях Эйнштейна поля оказываются более странными, чем электрическое и магнитное: они неожиданно представляются как искривление самого пространства-времени. Еще большая неожиданность в том, что в рамках общей теории относительности массивные объекты можно описать в чисто геометрических терминах, что совсем не похоже на электромагнетизм, в котором заряды остаются фундаментальной величиной. Эти чисто геометрические массивные объекты и оказываются не чем иным, как черными дырами.

Глава 2

Общая теория относительности

В специальной теории относительности пространство-время представляет собой пустую сцену. Наблюдатели и световые лучи движутся по ней, и мы можем вполне обоснованно говорить о времени между двумя событиями или о расстоянии между двумя объектами, при условии, что мы помним о таких понятиях, как собственное время, собственная длина, замедление времени и сокращение длин. Основная идея о том, что все движения относительны, только подчеркивает, насколько пусто пространство-время. Если бы в нем было «что-то» – вроде стационарного неподвижного «эфира», заполняющего его целиком – мы могли бы прийти к концепции абсолютного движения, постоянно сверяясь с системой отсчета, связанной с эфиром, и описывая объекты как стационарные или движущиеся в зависимости от их движения относительно эфира[2].

Общая теория относительности смотрит на все это совсем по-другому. Главным игроком в ней становится пространство-время. Массивные тела искривляют его в соответствии с полученными Эйнштейном уравнениями поля G_µv = 8πG_NT_µv/c4. Давайте посмотрим, что означают символы в этом уравнении. Греческие индексы µ и ν – обозначения, употребляющиеся в так называемых тензорах: математических структурах, которые позволяют нам записать все десять отдельных полевых уравнений сразу. Тензор Эйнштейна G_µν описывает кривизну пространства-времени. Тензор энергии-импульса описывает присутствие материи: в пустом пространстве T_µν= 0. Гравитационная постоянная Ньютона G_N показывает, насколько сильно на пространство-время влияет материя. Как обычно, c обозначает скорость света. Множитель 8π, где π = 3,14159, – относительно несущественная постоянная. Мы могли бы переопределить G_N так, чтобы она включала в себя 8π, но мы не станем этого делать, так как G_N входит и в ньютоновское описание гравитации и теперь уже поздно менять ее значение.

Возникает вопрос: как может общая теория относительности при столь активной роли в ней пространства-времени включать в себя специальную? Ответ заключается в том, что в большинстве случаев сила тяготения крайне мала. Если мы вообще проигнорируем тяготение, то вернемся к пространству-времени Минковского, не имеющему никакой кривизны и содержащему большинство факторов, благодаря которым специальная теория относительности работает так, как она работает. В частности, пространство-время Минковского остается тем же, как до, так и после преобразований Лоренца, что на математическом языке означает, что все системы отсчета эквивалентны. В присутствии тяготения эквивалентность систем отсчета исчезает (по крайней мере, в смысле, который этому понятию придает специальная теория относительности), так как гравитирующее тело делает одну из систем отсчета выделенной. Читатель может припомнить, что мы уже споткнулись на этом однажды, когда в главе 1 сначала описали систему отсчета Боба (Б) как неподвижную, в то время как на самом деле она была неподвижной только относительно Земли.

Даже в присутствии тяготения мы все же часто можем пользоваться специальной теорией относительности в малых областях пространства-времени. Это объясняется тем, что слабая гравитация искривляет пространство-время лишь чуть-чуть, и если мы фокусируемся на объектах и событиях, расположенных достаточно близко во времени и пространстве, мы вполне можем приближенно описать их, как если бы пространство-время было плоским. Например, представим себе, что пуля пробивает яблоко как раз в тот момент, когда оно падает с дерева. Тяготение действует, и под его воздействием за определенное время яблоко упадет на землю с некоторой доступной измерению скоростью. Но за тот очень короткий миг, в течение которого пуля проходит сквозь яблоко, изменение скорости яблока под действием силы тяжести будет так незначительно, что его можно не принимать во внимание. И если нам необходимо вычислить собственное и замедленное время, прошедшее, пока пуля пробивает яблоко, это можно сделать в рамках специальной теории относительности.

Чтобы представить себе, насколько эта ситуация отличается от той, когда тяготение имеет значение, вообразим, что пуля пробивает черную дыру! Специальная теория относительности здесь работать не будет. Как только пуля прошла через горизонт черной дыры, она исчезла, и с другой стороны дыры мы не обнаружим никаких ее следов. И дело не в том, что черные дыры такие уж большие; все будет точно так же, даже если горизонт черной дыры будет размером с яблоко. Пространство-время внутри черной дыры настолько искривлено, что любой объект, попавший внутрь нее, лишается будущего. (Между прочим, черная дыра с горизонтом размером с яблоко имела бы массу примерно впятеро больше массы Земли.)

Итак, сначала мы будем испытывать правильность наших интуитивных представлений об общей теории относительности, рассматривая тяготение в ситуациях, где оно довольно слабое, «обычное», вроде того, которое действует на нас на Земле. Тут все равно останутся некоторые странности, к которым придется привыкнуть, и прежде всего то, что время будет течь быстрее или медленнее в зависимости от вашего положения в «гравитационном колодце» – то есть от расстояния до центра масс. В конце этой главы мы снова обратимся к уравнениям Эйнштейна и увидим, как они разворачиваются во всем их блеске, когда выражаются языком дифференциальной геометрии. Только говоря на этом языке, мы сможем полностью выразить идеи последующих глав, в частности говорить о геометрии искривленного пространства-времени, которая и реализуется в черной дыре.

Рис. 2.1. Слева: пуля пробивает яблоко в момент, когда оно отрывается от ветки и начинает падать. Специальная теория относительности в этой ситуации работает, так как тяготение столь слабо и действует в течение столь короткого времени, что им можно пренебречь. Справа: пуля влетает в черную дыру, горизонт которой имеет тот же размер, что и яблоко. Пуля никогда не вылетит с другой стороны черной дыры!

Насколько это возможно, мы хотим объяснить общую теорию относительности из аналогии с электромагнетизмом. Следовательно, нам придется начать с концепции поля и прийти к уравнениям поля, которые подразумевали бы наличие излучения. Наша конечная цель, эйнштейновские уравнения поля – это дифференциальные уравнения в локальной форме, которые отражают взаимное притяжение и отталкивание соседних участков искривленного пространства-времени. Но разбираться в сложном описании сильно искривленного пространства-времени в целом нам пока что вовсе не хотелось бы, и именно поэтому мы сейчас ограничиваем наше рассмотрение тем, что назовем «обычным тяготением». Под этим мы понимаем тяготение в ситуациях, где все интересующие нас массивные тела движутся друг относительно друга гораздо медленнее скорости света, а их плотность не дает и намека на возможность их превращения в черную дыру. Таким местом является наша Солнечная система, да и почти вся наша Галактика, за исключением окрестностей сколлапсировавших звезд и черных дыр вроде той, что притаилась в галактическом центре. Обсуждая обычное тяготение, мы ограничиваемся ситуациями, где пространство-время почти, хотя и не полностью, плоское.