Помоги проекту - поделись книгой:
Окружность, по словам Евклида, есть «плоская фигура, обозначенная одной линией (кривой) так, что все прямые линии, пересекающие ее и еще одну из точек внутри ее, называемую центром, равны друг другу». О прямом угле сказано так: «Когда прямая линия пересекает другую прямую линию, а образующиеся соседние углы равны друг другу, любой из этих углов — прямой».
Некоторые другие Евклидовы определения — например, точки или прямой — довольно расплывчаты и бесполезны: прямая — это «та, что лежит равномерно на всех точках, что на ней помещены». Это определение, вероятно, возникло из строительной практики — там прямоту линий проверяли, глядя из некой точки вдоль проверяемой прямой. Чтобы вникнуть в это определение, нужно загодя иметь в уме понятие прямой. Точка есть «то, у чего нет частей» — еще одно определение, граничащие с бессмыслицей.
Евклидовы общие утверждения более элегантны. Эти внегеометрические логические утверждения[56], судя по всему, Евклид считал проявлениями бытового здравого смысла — в отличие от постулатов, что были вполне геометричны. Эту разницу обозначил ранее еще Аристотель. Всесторонне взвесив эти интуитивные допущения, Евклид, по сути, добавил их к постулатам, однако явно желал отличать их от чисто геометрических утверждений. Одно то, что Евклид счел необходимым вообще эти утверждения предъявить, указывает на глубину мысли:
1. Равные одному и тому же равны и между собой.
2. И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны.
3. И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.
4. И совмещающиеся друг с другом равны между собой.
5. И целое больше части[57].
Если же отложить в сторону эти предварительные замечания, геометрическая суть евклидовой геометрии покоится на пяти постулатах. Первые четыре просты и могут быть сформулированы не без изящества. В современных терминах они звучат так:
Евклидов постулат параллельности
1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.
2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
3. Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг.
4. Все прямые углы равны между собой.
Постулаты 1 и 2 вполне совпадают, похоже, с нашим житейским опытом. По ощущениям — да, мы понимаем, как нарисовать отрезок между двумя точками, и никогда не утыкались ни в какие препятствия в конце пространства, которые не дали бы нам продолжить прямую. Третий постулат несколько мудренее: он предполагает, что расстояния в пространстве заданы так, что длина отрезка при перемещении его с места на место не меняется, где бы ни рисовали круг. Четвертый постулат на вид прост и очевиден. Чтобы постичь его тонкости, вспомним определение прямого угла: это возникающий при пересечении двух прямых угол, равный всем остальным возникшим. Мы такое видели много раз: одна линия перпендикулярна другой, и все углы со всех сторон равны 90°. Но само определение этого не утверждает — оно даже не говорит нам о том, что значение этих углов всегда одно и то же. Можем вообразить мир, в котором эти углы будут равны 90°, если линии пересекаются в некой заданной точке, а если в какой-нибудь другой, то углы получатся другие. Постулат, утверждающий, что все прямые углы равны между собой, гарантирует, что такого быть не может. Это означает в некотором смысле, что линия выглядит одинаково по всей длине — своего рода условие прямизны.
Пятый же постулат Евклида, называемый постулатом параллельности, не настолько очевиден — в отличие от остальных. Это личное изобретение Евклида, а не часть великого корпуса знаний, который он документировал. Но ему, со всей очевидностью, собственная формулировка не нравилась — он изо всех сил старался избегать ее. Позднейшие математики ее тоже невзлюбили: она была недостаточно проста для постулата и требовала доказательства, как теорема. Вот она, в стиле, близком к оригиналу:
5. Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.
Постулат параллельности (стр. 61) предлагает проверочный критерий тому, сходятся две расположенные на одной плоскости прямые, расходятся или параллельны. Рисунок в этом смысле очень помогает пониманию.
Существует множество разных, но эквивалентных друг другу формулировок постулата параллельности. Одна особенно наглядно демонстрирует то, что постулат говорит нам о пространстве:
Если есть прямая и не лежащая на ней точка, то через эту точку можно провести одну и только одну прямую (в той же плоскости), параллельную данной.
Постулат параллельности может быть нарушен в двух случаях: несуществование параллельных прямых вообще или существование более чем одной линии, проведенной через данную точку параллельно данной прямой.
Нарисуйте на бумаге прямую, поставьте где-нибудь вне ее точку. Как на ваш взгляд — возможно ли, что провести ни одной параллельной линии через эту точку не удастся? А больше одной — возможно? Описывает ли постулат параллельности наш мир? Вообразима ли геометрия, в которой этот постулат можно нарушить — и при этом остаться в пределах математического смысла? Два последних вопроса в конце концов подвели нас к революции мышления: первый — в наших представлениях о Вселенной, второй — в понимании природы и смысла математики. Но 2000 лет подряд ни в одной области человеческого знания практически не существовало представления более общепринятого, чем «факт», зафиксированный в постулате Евклида: есть одна и только одна параллельная прямая.
Глава 6. Красавица, библиотека и конец цивилизации
Евклид — первый великий математик в длинной и, увы, обреченной череде александрийских ученых. Македоняне[58] — греки, обитавшие на севере континентальной Греции, — в 352 году до н. э. начали покорение и объединение эллинских земель под властью Филиппа II Македонского. После разгромного поражения афинские властители в 338 году до н. э. подписали мир на условиях Филиппа, фактически отказавшись от независимости греческих городов-государств. Всего два года спустя, посещая официальную церемонию, на которой была представлена статуя Филиппа в образе нового бога Олимпа, сам Филипп пал жертвой паршивой кадровой политики: его убил один из телохранителей. Его сын Александр — который Великий, — двадцати лет отроду, принял бразды правления.
Александр высоко ценил знания — возможно, благодаря либеральному образованию, в котором геометрия играла важную роль. Он с почтением относился к чужестранным культурам, чего нельзя сказать о его отношении к их независимости. Вскоре он покорил остальную Грецию, Египет и Ближний Восток вплоть до Индии. Александр поддерживал межкультурное общение и смешанные браки, и сам женился на персиянке. Посчитав, что одного личного примера недостаточно, он повелел и всем македонским вельможам тоже взять в жены по персидской женщине[59].
В 332 году до н. э. в центре свой империи Александр взялся строить роскошную столицу — Александрию. В этом отношении император был Уолтом Диснеем своего времени: ему представлялась тщательно «спланированная» метрополия, центр культуры, торговли и управления. Даже проектируя бульвары Александрии, император словно бы делал математическое заявление: его архитектор устроил из них сетку, что само по себе занятное предвосхищение геометрии координат, которую не изобретут еще восемнадцать веков.
Александр скончался от неведомого недуга через девять лет после начала строительства — и до того, как возведение великого города завершилось. Империя его распалась, но Александрию все-таки достроили. Геометрия города оказалась вполне благоприятной: он стал центром греческой математики, науки и философии после того, как македонский военачальник по имени Птолемей подмял под себя египетский край империи Александра. Сын Птолемея, изобретательно названный Птолемеем II, когда пришло его время править, построил в Александрии громадную библиотеку и музей. Термин «музей» возник оттого, что эту постройку посвятили семи музам, но по сути это был исследовательский институт, первое государственное научное учреждение в мире.
Наследники Птолемея ценили книги и добывали их довольно интересным способом. Птолемей II, пожелав себе перевод Ветхого Завета на греческий, «заказал» эту работу, взяв в плен 70 еврейских грамотеев и поселив их в кельях на острове Фарос. Птолемей III написал всем мировым владыкам и попросил одолжить ему книги, после чего решил их не возвращать[60]. В итоге такой агрессивный метод формирования библиотечных фондов оказался продуктивным: в библиотеке Александрии насчитывалось от 200 000 до 500 000 свитков — в зависимости от того, чьей истории верить, — и библиотека стала хранилищем практически всего мирового знания.
Музей и библиотека сделали Александрию непревзойденным интеллектуальным центром планеты, местом, где величайшие ученые бывшей империи Александра изучали геометрию и свойства пространства. Если бы журнал «Новости Соединенных Штатов и мира»[61] расширил свой обзор академических вузов на всю историю человечества, Александрия обскакала бы в гонке за первое место и Кембридж Ньютона, и Геттинген Гаусса и Принстон Эйнштейна. Буквально все великие греческие мыслители-математики после Евклида трудились в этой невообразимой библиотеке.
В 212 году до н. э. главный библиотекарь Александрии Эратосфен Киренский[62], человек, преодолевший за всю жизнь не более нескольких сотен миль, первым в истории рассчитал обхват Земли. Эти расчеты потрясли его сограждан, показав, сколь малую часть нашей планеты знала в те поры цивилизация. Купцы, первооткрыватели и провидцы, вероятно, мечтательно размышляли о том, есть ли разумная жизнь по ту сторону океана. Подвиг современности, сопоставимый по масштабам с эратосфеновским, — первым обнаружить, что Вселенная не ограничивается пределами нашей Солнечной системы.
Эратосфену озарение насчет нашей планеты далось без всяких дальних странствий. Как и у Эйнштейна, у него получилось применить геометрию. Эратосфен заметил, что в полдень в городе Сиене (ныне Асуан) во время летнего солнцестояния палка, воткнутая в землю, не отбрасывает тени[63]. Для Эратосфена это означало, что палка, воткнутая в землю, оказывалась параллельна солнечным лучам. Если представить Землю в виде окружности и нарисовать прямую из центра через точку на поверхности, представляющую Сиене, и далее в пространство, она окажется тоже параллельной лучам солнца. Теперь двинемся по прямой на поверхности Земли прочь из Сиене — в Александрию. Там вновь нарисуем линию, проведенную из центра Земли через точку-Александрию. Эта линия уже не будет параллельна лучам солнца — она пересекает их под некоторым углом, оттого и появляется видимая тень.
Эратосфену для вычисления части земной окружности — арки между Сиене и Александрией — хватило длины тени от палки, воткнутой в Александрии, и теоремы из «Начал» о линии, пересекающей две параллельные прямые. Он обнаружил, что эта дуга составляет одну пятидесятую от длины обхвата Земли.
Подтянув к делу, вероятно, первого в истории научного ассистента, Эратосфен нанял некого безымянного гражданина, чтобы тот прошел пешком от одного города к другому и замерил расстояние. Нанятый субъект прилежно доложил, что оно составляет примерно 500 миль. Умножив это расстояние на 50, Эратосфен определил обхват Земли в 250 000 миль — с четырехпроцентной погрешностью, а это фантастически точный результат, за который ему бы наверняка дали Нобелевскую премию, а его безымянному ходоку, быть может, — постоянную ставку в библиотеке.
Эратосфен оказался не единственным александрийцем своего времени, кто внес значительный вклад в понимание мира. Астроном Аристарх Самосский, также трудившийся в Александрии, применил гениальный, хоть и довольно затейливый метод, объединивший тригонометрию и простенькую модель небес, для расчета вполне осмысленной приблизительной величины Луны и расстояния до нее. Еще раз подчеркнем: у греков возникло новое представление об их месте во Вселенной.
Еще одна знаменитость, привлеченная Александрией, — Архимед. Родившись в Сиракузах, городе на острове Сицилия, Архимед приехал в Александрию учиться в великой школе математиков. Мы, быть может, и не знаем, кем был тот гений, что впервые обточил камень или дерево до округлой формы и поразил изумленных зевак явлением первого колеса, но мы точно знаем[64], кто открыл принцип рычага: Архимед. Он, кроме того, открыл принципы гидростатики и много разного привнес в физику и инженерное дело. Математику он поднял на такую высоту, выше которой без инструментария символьной алгебры и аналитической геометрии забраться было невозможно еще около восемнадцати веков.
Одно из достижений Архимеда в математике — доведение до совершенства методов матанализа, не слишком далеких от предложенных Ньютоном и Лейбницем. С учетом отсутствия картезианской геометрии это достижение смотрится еще более впечатляющим. Главной победой, одержанной с помощью его метода, сам Архимед считал определение объема сферы, вписанной в цилиндр (т. е. сферы, радиус которой равен радиусу и высоте цилиндра), — он равен двум третям объема этого цилиндра. Архимед так гордился этим открытием[65], что потребовал высечь изображение шара в цилиндре на своем надгробии.
Когда римляне захватили Сиракузы, Архимеду было семьдесят пять. Он был убит римским солдатом, когда изучал рисунок, вычерченный на песке. На его надгробие нанесли изображение, о котором он просил. Спустя более сотни лет римский оратор Цицерон посетил Сиракузы и нашел захоронение Архимеда рядом с воротами в город. Заброшенная могила заросла колючкой и вереском. Цицерон распорядился восстановить могилу. Увы, ныне ее уже не найти.
И астрономия в Александрии тоже достигла пика развития[66]: во II веке до н. э. — стараниями Гиппарха, а во II веке н. э. — Клавдия Птолемея (не родственника царя). Гиппарх наблюдал небеса тридцать пять лет, сложил свои наблюдения с данными вавилонян и разработал модель Солнечной системы, согласно которой пять известных тогда планет, Солнце и Луна двигались по общей круговой орбите вокруг Земли. Ему так ловко удалось описать движение Солнца и Луны, как это видно с Земли, что он мог предсказывать лунные затмения с точностью до пары часов. Птолемей усовершенствовал и расширил эти результаты в книге «Альмагест», осуществив мечту Платона дать рациональное объяснение движению небесных тел, и она была главным астрономическим трудом вплоть до Коперника.
Птолемей также написал книгу под названием «География»[67], которая описывала земное мироздание. Картография — предмет крайне математичный, поскольку карты — плоские, Земля — почти сферическая, а сферу нельзя описать при помощи плоскости, сохранив при этом точными и расстояния, и углы. «География» — начало серьезной картографии.
Ко II веку н. э. значительно развились и математика, и физика, и картография, и инженерное дело. К тому времени мы уже знали, что материя состоит из неделимых кусочков под названием
Не исключено, что о причинах средневекового интеллектуального заката написано больше слов, чем было в свитках Александрийской библиотеки. Простого ответа нет. Династия Птолемеев пришла в упадок за два века до рождения Христа. Птолемей XII передал царствование сыну и дочери, унаследовавшим власть после смерти правителя в 51 году до н. э. В 49 году до н. э. его сын устроил заговор против сестрицы и прибрал всю власть к рукам. Сестрица же и сама была не промах — нашла способ добраться до самого римского императора и попросить о помощи (в те времена, хоть формально и не завися от Рима, империя Птолемеев уже находилась под римским господством). С этого начался роман Клеопатры с Юлием Цезарем. В итоге Клеопатра заявила, что собирается родить Цезарю сына. Римский император — мощный союзник египтянам, однако этот альянс был обречен — вместе с самим Цезарем. После того, как двадцать три римских сенатора напали на своего императора и закололи его во время Мартовских ид 44 года до н. э., внучатый племянник Цезаря, Октавиан, подчинил Риму и Александрию, и Египет.
Поскольку Рим завоевал Грецию, римляне получили доступ к интеллектуальному достоянию греков. Наследники греческих традиций покорили бо́льшую часть мира и столкнулись со многими техническими и инженерными трудностями, однако их императоры не поддерживали математику так, как это делали Александр или Птолемей Египетский, и цивилизация их не произвела на свет ни одного математического гения масштабов Пифагора, Евклида или Архимеда. За 1100 лет их правления — с 750 года до н. э. — история не помнит ни одной доказанной римлянами теоремы и ни одного математика. Для греков определение расстояний было математической задачей с участием равных и подобных треугольников, параллакса и геометрии. В римских учебниках[68] в словесно сформулированной задаче от читателя требовалось найти метод определения ширины реки,
В абстрактной математике римляне не разбирались — и гордились этим. Цицерон сказал: «Греки держали геометров в высочайшем почете. Потому и более всего развили они математику. Но мы положили предел этому искусству его пользой в измерении и счете». Вероятно, о римлянах можно было бы сказать: «Римляне держали воинов в высочайшем почете. Потому более всего развили они насилие и мародерство. Но мы положили предел этому искусству его пользой в покорении мира».
Нельзя сказать, что римляне не были образованы. Были. Они даже писали на латыни всякие технические методички, но те были исковерканными работами, одолженными у греков. К примеру, главный переводчик Евклида на латынь, римский сенатор из почтенной семьи Аниций Манлий Северин Боэций[69] — своего рода редактор «Ридерз Дайджест» римских времен. Боэций разбил работы Евклида на части, создав некоторый конспект для студентов, готовящихся к тестам с вариантами ответов. На современном жаргоне можно было бы назвать этот труд «Евклид для “чайников”» или рекламировать по телевизору с подписью «ЗВОНИТЕ 1-800-ДОКАЖИ-КА», но во времена Боэция это была вполне авторитетная работа.
Боэций приводил лишь определения и теоремы и, похоже, считал аппроксимации точными результатами. И это еще цветочки. В некоторых случаях он попросту ляпал ошибки — вот где ягодки-то. За перевирание идей греков Боэция не секли, не распинали, не жгли на костре и вообще не подвергали ни одному из популярных наказаний, применявшихся к умникам в Средние века. Его падение произошло из-за увлечения политикой. В 524 году ему отрубили голову за «заговорщические связи» с Восточной Римской империей. Лучше бы портил математику.
Еще одна показательная в своем головотяпстве книга того периода была написана бывалым купцом из Александрии. «Земля, — писал этот римлянин, — плоская. Необитаемая ее область имеет форму прямоугольника, длинная сторона которого вдвое длиннее его короткой… На севере размещается конического вида гора, вокруг которой вращаются солнце и луна». Его книга
Последним великим ученым, работавшим в Александрийской библиотеке, оказалась Гипатия[71], первая великая женщина-ученый, чье имя сохранила для нас история. Она родилась в Александрии около 370 года н. э. в семье знаменитого математика и философа Теона. Теон выучил дочь математике. Она стала его ближайшим сотрудником и в конце концов полностью затмила его. Один из ее учеников Дамаский, со временем превратившийся в ее сурового критика, писал о ней: «Она по натуре своей была изощренней и талантливей отца своего». Ее судьба и ее более широкое значение долго обсуждались множеством великих вроде Вольтера или Эдварда Гиббона в «Истории упадка и разрушения Римской империи»[72].
На рубеже V века Александрия была одним из величайших оплотов христианства. Из-за этого между государством и Церковью происходила нешуточная борьба. В те времена Александрия пережила множество общественных беспорядков и конфликтов между христианами и нехристианами вроде греческих неоплатоников и иудеев. В 391 году христианская толпа ворвалась в библиотеку и сожгла бо́льшую ее часть.
15 октября 412 года[73] умер христианский архиепископ Александрии. Ему наследовал его племянник по имени Кирилл, которого часто описывают как субъекта жадного до власти и в целом неприятного. Светскую власть в тот период представлял некто по имени Орест — префект Александрии и светский владыка Египта в 412–415 годах.
Гипатия считала себя интеллектуальной наследницей Платона и Пифагора — никак не Христианской церкви. Некоторые утверждают, что она даже училась в Афинах, где удостоилась лаврового венка, а им награждали лучших афинских учеников; по возвращении в Александрию Гипатия надевала этот венок при всяком появлении на публике. Судя по всему, это она написала важные комментарии к двум знаменитым греческим трудам — «Арифметике» Диофанта и «Коническим сечениям» Аполлония; эти работы читают и поныне.
О Гипатии также говорили, что была она красавицей и впечатляющим оратором; она читала многолюдные открытые лекции о Платоне и Аристотеле. Дамаский писал[74], что «весь город преклонялся пред нею и боготворил ее». В конце каждого дня она усаживалась в колесницу и отправлялась в академию — в роскошно украшенную залу лекций, где в подвесных лампах курились благовонные масла, а громадный купол был расписан греческим художником. Гипатия в белых одеяниях и неизменном лавровом венке вставала перед публикой и зачаровывала ее своим греческим красноречием. К ней стекались ученики из Рима, Афин и других великих городов Империи. Посещал ее лекции и римский префект Орест.
Орест подружился с Гипатией и стал ее наперсником. Они часто встречались и обсуждали не только ее лекции, но и дела городской и политической важности. Это и сделало ее союзницей Ореста в борьбе с Кириллом. Кириллу она, видимо, представлялась фигурой угрожающей: ее ученики занимали высокие посты и в Александрии, и вне ее. Гипатии хватало смелости продолжать лекции, хотя Кирилл и его приспешники распускали слухи о том, что она ведьма, владеющая черной магией, и наводит на горожан сатанинские чары.
Есть несколько версий того, что произошло далее, и большинство из них не противоречит друг другу[75]. Однажды утром, во время Великого поста 415 года Гипатия взошла на колесницу — по некоторым сведениям, рядом со своим домом, а по некоторым — на улице по дороге к дому. Несколько сотен Кирилловых прихвостней — христианских монахов из некого монастыря в пустыне — набросились на нее, избили и потащили в церковь. В церкви ее раздели догола и ободрали с нее плоть то ли заостренной черепицей, то ли глиняными черепками. После чего порвали ее на куски и сожгли останки. Согласно одному свидетельству, части ее тела разбросали по всему городу.
Все работы Гипатии уничтожили. Вскоре та же участь постигла и остатки библиотеки. Орест покинул Александрию — быть может, его отозвали, и по историческим документам о нем более ничего не известно. Следующие имперские чиновники наделили Кирилла властью, которой он так алкал. Впоследствии его канонизировали.
По оценкам недавних исторических исследований[76], на одного знаменитого математика в истории человечества приходится три миллиона человек. Ныне исследовательские труды широко доступны по всему миру. В IV веке, когда свитки кропотливо копировали вручную примитивными орудиями письма, потеря такого произведения означала, что труд, в ней заключенный, попадал в Красную книгу. Мы не можем представить, какие великие сокровища вавилонской и греческой математики были утеряны навсегда в пожаре библиотеки, содержавшей более 200 000 свитков. Но мы точно знаем, что в библиотеке содержалось более сотни пьес Софокла, из которых до наших дней дотянуло лишь семь. Гипатия была воплощением греческой науки и рационализма. С ее смертью наступила гибель греческой культуры.
С падением Рима (около 476 года н. э.) Европе достались огромные каменные храмы, театры и особняки, современные городские удобства типа уличного освещения, проточной горячей воды и канализации, но очень мало чего из достижений ума. К 800 году[77] сохранились лишь фрагменты перевода Евклидовых «Начал» на латынь. Вписанные в подборку обзорных текстов, они содержали только формулы, как попало примененные округления и никаких попыток выводов. Греческая традиция абстрагирования и доказательства, казалось, утеряна навсегда. Блистательная исламская цивилизация процветала, а Европа скатывалась в глубокую интеллектуальную пропасть. Этот период европейской истории получил соответствующее название: Темные века.
Но все же греческую мысль воскресили. Интерес к книгам вроде «Топографии» увял, а работы Боэция были заменены переводами поточней. В период позднего Средневековья группа философов создала пространство мысли, в которой процветали великие математики XVI века — Ферма, Лейбниц, Ньютон. Один из таких мыслителей оказался в центре следующей революции геометрии и нашего понимания пространства. Имя ему Рене Декарт.
Часть II. История Декарта
Где вы находитесь?
Как математики открыли простые принципы графиков функций и координат, что привело к эпохальному прорыву в философии и науке.
Глава 7. Революция местоположения
Откуда вам известно, где вы находитесь? Поняв, что существует пространство как таковое, следом задать этот вопрос — естественнее всего. Может показаться, что ответ — за картографией, наукой о картах. Но картография — лишь начало. Подлинная теория определения местоположения ведет к понятиям гораздо глубже простого утверждения «Калэмэзу[78] — в квадрате F3».
Определение местоположения не сводится к названию населенного пункта. Представьте, что эмиссар другой планеты приземляется у нас — эдакое тощее существо, голова пузырем, сам дышит кислородом, ну или косматый, похожий на обезьяну субъект, предпочитающий оксид азота. Пожелай мы общаться, нашему гостю не помешал бы словарь. Но хватит ли этого? Если ваше представление о качественном общении сводится к обмену репликами вроде «Я Тарзан, ты Джейн», словарем можно ограничиться, однако для обмена межгалактическими идеями пришлось бы выучить грамматику обоих языков. В математике тоже есть свой словарь — система наименований точек на плоскости, в пространстве или на шаре, но это лишь начало. Подлинная мощь теории местоположения — в способности соотносить разные местоположения, пути между ними и их формы, а также взаимодействовать с ними при помощи уравнений, т. е. в объединении геометрии и алгебры.
Ныне, как говорится в одном старом учебнике по этому предмету[79], «учащемуся в наше время эти приемы даются практически без усилий». Трудно представить себе, до каких еще более грандиозных теорий додумались бы великие астрономы-физики Кеплер и Галилей, владей они приемами геометрии координат, но им пришлось обходиться без них. А вот уже располагая этим знанием, их последователи, Ньютон и Лейбниц, создали математический анализ и современную физику. Если бы геометрия и алгебра продолжили существовать порознь, мало какие достижения современной физики и инженерии стали бы возможны.
Подобно революции доказательства, первая веха на пути революции места — изобретение карт — возникла еще в догреческие времена. И хоть греческие гении вложились в этот предмет, конец цивилизации оставил его незавершенным, но сила этого знания уже оказалась на свободе. Следующим шагом в том же направлении стало изобретение графического представления функций, но оно случилось лишь с возрождением интеллектуальной традиции, после «темного» Средневековья. В итоге ушли последние великие греческие математики и картографы, и эта революция отстала на десяток веков.
Глава 8. Происхождение широты и долготы
Кто именно, когда и зачем начертал первую карту, нам неведомо. Однако мы знаем, что некоторые из первых известных нам карт[80] были созданы из тех же соображений, по которым египтяне изобрели геометрию. Эти карты — простые глиняные таблички 2300 годов до н. э. — содержали не топографические легенды или религиозные орнаменты, а записи о налогах на собственность. К 2000 году до н. э. карты земельных владений описывали границы угодий, перечисляли их хозяев и были вполне распространены и в Египте, и в Вавилоне. Можем представить себе увешанную драгоценностями месопотамскую даму, с некоторым трудом удерживающую в руках здоровенную глиняную табличку; она тыкает в некую точку на ней и торжественно произносит нараспев слова древнего языка: «Выбор места решает все».
Чем больше храбрецов отправлялось в странствия за семь морей, тем острее становилась потребность в картах — с гораздо более насущной целью. Совсем недавно, в 1915 году, когда судно сэра Эрнеста Шеклтона, «Эндьюренс», оказалось в ледяном плену и потерпело крушение среди антарктической зимы, величайшей опасностью для команды стали не ветры в 200 миль/час и не температуры, опускавшиеся до –70 °C, а невозможность найти дорогу назад. И так было всю историю человечества: главная задача мореплавателей и первопроходцев в открытом океане — не потеряться. Допустим, вы отклонились от курса и не располагаете никакой информацией о том, где находитесь. Инструментов навигации у вас нет, а есть лишь примитивнейший приемопередатчик, чтобы позвать на помощь. Как сообщить спасателям о своем местоположении?
Две координаты, описывающие в наши дни положение на поверхности Земли, называются «широта» и «долгота». Представить их можно так: поместим в наш умозрительный ящик с инструментами три точки, две линии и шар. Берем шар и представляем его плавающим в пространстве. Он, понятно, символизирует Землю. Затем разместим на нем три точки в следующем порядке: одну — на Северном полюсе, одну — в центре, а третью — в любом месте на поверхности. Первой линией из нашего набора соединим Северный полюс и центр Земли. Это ось вращения планеты. Второй линией соединим центральную точку и точку на поверхности. Она окажется под некоторым углом к оси Земли. Этот угол, независимо от способа обозначения, определяет вашу широту.
Исходная идея широты пришла на ум античному метеорологу по имени Аристотель. Изучив влияние местоположения на Земле на климат в данной точке, он предложил поделить земной шар на пять климатических зон исходя из их положения относительно севера и юга. Эти зоны со временем включили в карты и провели между ними линии постоянных широт. Теория Аристотеля предполагает, что широту можно определить, хоть и приблизительно, исходя из климата местности: холоднее всего на полюсах, а чем ближе к экватору, тем теплее. Ясное дело, в некоторые дни в Стокгольме может быть теплее, чем в Барселоне, а значит, этот метод не слишком практичен — если только не торчать подолгу на одном месте, наблюдая за погодой. Лучше определять широту, ориентируясь по звездам. Проще всего это делать, найдя звезду, расположенную вдоль оси Земли. И такая звезда в северном полушарии есть, называется она «Полярная».
Полярная звезда полярной была не всегда[81] — земная ось по отношению к звездам не зафиксирована на одном месте. Она прецессирует, описывая узкий конус примерно за 26 000 лет. В некоторых великих пирамидах Древнего Египта есть проходы, выстроенные вдоль линии, проходящей через альфу Дракона: во времена постройки пирамид полярной была именно эта звезда. Древним грекам оказалось труднее: им настоящей полярной звезды было не видать. Всего через 10 000 лет северную полярную звезду наблюдать будет очень просто: ею станет Вега, ярчайшая звезда северного неба.
Если есть возможность видеть одновременно Полярную звезду и линию горизонта на севере, простая геометрия показывает, что угол между линиями от вас до Полярной звезды и от вас до горизонта и есть приблизительное значение широты.
Приблизительное оно оттого, что предполагает размещение Полярной звезды точно вдоль оси Земли и что радиус Земли пренебрежимо мал по сравнению с расстоянием до этой звезды; оба этих приближения годны, однако не идеально точны. В 1700 году[82] Исаак Ньютон изобрел секстант — прибор, облегчающий процесс вычисления широты этим способом. Заблудившийся путешественник мог, тем не менее, применить и старинный метод, сделав угломер из двух палок.
Долготу определить труднее. Добавим к нашему инструментарию еще одну сферу — гораздо бо́льшую, чем Земля, с Землей в качестве ядра. На этой сфере вообразим звездную карту. Если бы Земля не вращалась, долготу можно было бы измерять, соотносясь с этой картой. Однако вращение Земли приводит к тому, что звездная карта, видимая вам, через мгновение станет картой, видимой вашему соседу, расположенному чуть западнее вас. Говоря совсем точно, коль скоро Земля совершает оборот в 360° за 24 часа, наблюдатель западнее вас на 15° увидит то же небо, что и вы, буквально через час. На экваторе эта разница соответствует примерно 1000 миль. Сравнение двух фотоснимков звезд, сделанных на одной широте, но без указания времени съемки, ничего не сообщает о вашей долготе. Напротив, если сравнить снимки, сделанные на одной широте и в одно время ночи, можно определить разницу в долготах. Но для этого нужны часы.
Аж до XVIII века не существовало часов, способных выдерживать движение, температурные перепады и соленый влажный воздух, непременные на морских судах, и при этом идти так точно, чтобы по ним в безбрежном океане можно было определять долготу. Удовлетворить требование к точности оказалось непросто: ошибка всего в три секунды[83] в день за шестинедельное путешествие соответствует ошибке в определении долготы более чем на полградуса. До XIX века, к тому же, существовало множество разных систем определения долготы. Наконец в октябре 1884 года[84] удалось договориться об одном меридиане на весь мир, назначить его «нулевой» долготой и от него отсчитывать разницу. Этот главный меридиан проходит через Королевскую обсерваторию в Гринвиче, неподалеку от Лондона.
Первая великая карта мира, доставшаяся нам от греков, была составлена учеником Фалеса Анаксимандром примерно в 550-х годах до н. э. Его карта делила мир на две части — Европу и Азию. На карте Анаксимандра Азия включала в себя Северную Африку. К 330 году до н. э. греки даже наносили карты на некоторые свои монеты; на одной видно возвышенности, поэтому ее принято считать «первой известной в истории физической картой рельефа местности».
Пифагорейцы, вдобавок к своим эпическим открытиям, похоже, первыми предположили, что Земля имеет форму сферы. Это представление, конечно, совершенно необходимо для точного составления карт и, к счастью, обрело мощную поддержку в лице Платона и Аристотеля — еще до того, как Эратосфен более-менее доказал этот факт, применив сферическую модель планеты для расчетов длины окружности Земли. После того как Аристотель предложил делить мир на климатические зоны, Гиппарх додумался разбить их на равные интервалы, добавив линии «север — юг» под прямыми углами. К появлению Птолемея, примерно через пять веков после Платона и Аристотеля и четыре столетия после Эратосфена, этим линиям дали имена «широта» и «долгота».
В «Географии» Птолемея, похоже, применен метод, схожий со стереографической проекцией Земли на плоскую поверхность. Для определения местоположений Птолемей применил широту и долготу как координаты. Он присвоил их каждому месту на Земле, какие были ему тогда известны, — итого 8000. В книге также содержались рекомендации по составлению карт. «География» на сотни лет стала главным источником картографической информации. Картография, как и геометрия, изготовилась идти дальше — к современности. Но, как и геометрия, никакого развития в Римскую эпоху не получила.
Римляне составляли карты, но, как и в случае с геометрией, сосредоточивались на вражеских войсках за рекой — их усилия оказались нацелены исключительно на решение прагматических, а зачастую — сугубо военных задач. Когда орда христиан разгромила библиотеку Александрии, «География» вместе с математическими трудами греков исчезла. С падением Рима начались времена невежества цивилизации — в равной степени и в части определения местоположения, и в отношении теорем и связей между пространственными объектами. Геометрия и картография в конце концов переживут второе рождение и будут трансформированы новой теорией места. Но для этого нужно было совершить возрождение само́й интеллектуальной традиции западной цивилизации.
Глава 9. Наследие проклятых римлян
Близился к концу VIII век. Великие труды и традиции греков утеряны и забыты; часы и компас — почти так же далеко в будущем, как для нас — звездолет «Энтерпрайз»[85]. Лежа в своих постелях или прямо на полу, дрожа от холода или обливаясь по́том, пытаясь заснуть, обитатели тех времен не бормотали себе под нос: «Если я не воскрешу в себе тягу к знаниям, этот период интеллектуального распада и застоя не закончится еще почти тысячу лет». И все-таки один великий человек признавал необходимость дальнейшего постижения и предпринял шаги, приведшие в конце концов к возрождению европейской интеллектуальной традиции.
Генетически Карл Великий, он же Шарлемань[86] может показаться белой вороной. Его скелет после смерти померяли — король оказался шести футов четырех дюймов роста[87], по тем временам — великан. Его отец, которого Папа Стефан возвел на трон как короля Пипина I в 754 году, был коротышкой, до этого прозывавшимся Пипином Коротким. Статью Карл пошел, судя по всему, в мамашу, королеву Берту. Ее после смерти никто не обмерял, но прозвище намекает на ее габариты: ее звали
Карл оказался силен во всем: и физически, и интеллектуально, но, что наверное, важнее всего, — в размерах своей армии.
Философия правления Карла сводилась к принципу «если нам стена мешает, эту стену мы снесем», и он успешно применял ее к карте Европы. Он расширил границы Франкского королевства, вломившись к соседям — ломбардцам, баварцам и саксам. Он стал главенствующей силой Европы и насаждал римскую католическую веру всюду, где воцарялся. Если бы этим все и ограничилось, Карл оказался бы просто очередным монархом, коротавшим досуг за покорением мира. Но Карл был покровителем образования — на манер Александра. Он осознал, что располагает сонмом учителей, и пригласил всех известных просветителей со всего королевства и из-за его пределов к своему двору в Аахене, где учредил Дворцовую школу. К этой затее монарх относился со всей серьезностью и как-то даже собственноручно выпорол нерадивого ученика за ошибку в латыни. Нам неизвестно, порол ли Карл сам себя, но мы знаем, что был он безграмотен, хоть и предпринял несколько попыток выучиться писать. (В понятиях того времени порка — не слишком суровое наказание: за употребление мяса в пятницу карали смертью.)
При Карле движущей силой образования стала Христианская церковь, потребовавшая работы легионов грамотных монахов. При монастырях и храмах возникли церковные школы, а учителей поставляли ордены доминиканцев, францисканцев и др. В этих школах растили священников, готовили образованную аристократию и восстанавливали почтение к классикам. Писцов усаживали в архивы многократно переписывать манускрипты — учебники, энциклопедии, антологии. Для увеличения эффективности этого труда монахи развили новый вид письма — каролингский минускул[88], и он по-прежнему остается основой нашей письменной латиницы. Карл также оказался страшно активен в части заботы о себе: знак того времени — его стремление к долгожительству. Для этих целей Карл не стал призывать к себе толпу алхимиков или собирать при дворе медицинскую академию — он создал настоящее теологическое производство, религиозную фабрику, производящую его здоровье. В одном из монастырей Карл собрал 300 монахов и 100 псаломщиков, чтоб те непрерывно молились за его здравие — в три смены, круглосуточно. Все одно помер. В 814 году.
Возрождение, инициированное Карлом, оригинальных научных трудов произвело мало. После смерти короля границы его владений сжались, а наследники не стали продолжать культурного ренессанса. И все же уровень грамотности не упал ниже того, что был в эпоху до Каролингов (на самом деле, до Карла). Церковные школы, им выпестованные, хоть и не были незыблемыми бастионами независимого мышления, распространились, как одуванчики, и в конце концов превратились в европейские университеты; первым, по сведениям большинства историков, стал Университет Болоньи — в 1088 году. Благодаря им Европа как интеллектуальная твердыня смогла со временем воспрянуть, и в особенности — Франция, которая стала центром математики. На границе тысячелетий Темные века завершились. Средневековьем мы называем период, продлившийся еще 500 лет.
Торговлей, странствиями и крестовыми походами европейцы наконец познакомились с арабами Средиземноморья и Ближнего Востока, с византийцами Восточной Римской империи. В формате крестовых походов «знакомство» с европейцами было столь же привлекательным, как с марсианами в «Войне миров». И все же европейцы, грабя арабские земли и безжалостно мордуя мусульманских и иудейских неверных, алкали и их мудрости. На Западе-то математика и наука увяли, а в исламском мире сохранились верные копии многих греческих трудов, включая работы Евклида и Птолемея. Мусульмане и иудеи тоже не слишком продвинулись в абстрактной математике, однако добились серьезных успехов в расчетных методах. Их религия требовала понимания времени и календаря, и они развили все шесть тригонометрических функций и усовершенствовали астролябию — портативный прибор, позволяющий точно оценивать высоту звезды или планеты.
Церковь и светские властители поддерживали ученых в охоте за вражеским знанием — и за утерянными интеллектуальными сокровищами греков, хоть в оригинале, хоть в арабском переводе. В начале XII века англичанин Аделард Батский прибыл в Сирию под видом ученика-магометанина. Позднее он перевел «Начала» Евклида на латынь и на сей раз — с доказательствами. Век спустя Леонардо Пизанский, он же Фибоначчи, принес из Северной Африки понятие нуля и индо-арабскую систему чисел, какой мы ее знаем и поныне. Вливание греческого знания запитало новые университеты.
Все было готово для нового Золотого века под стать греческому. Это веяние не прошло незамеченным и современниками. Некий английский монах по имени Варфоломей писал[89]: «Как город Афины древних времен был матерью свободных искусств и писаний, колыбелью философов и всех мыслимых наук, так же и Париж наших дней…» К сожалению, вмешались житейские обстоятельства.
Математик Эндрю Уайлз, не так давно (и успешно) доказавший Великую теорему Ферма, добиваясь этой победы, избрал жизнь ученого-затворника и тихое размышление. Уайлз взялся за работу через 350 лет после Ферма. За столько же лет до Ферма наступил пик развития средневековой математики. Жизнь средневекового профессора не предполагала семинаров с перерывами на кофе, дней безмятежной сосредоточенности, перемежающихся прогулками по университетскому городку или великих гостей-математиков и приятных совместных с ними ужинов в китайских ресторанчиках по соседству. Всем известно, что Европа в Средние века на райский сад не походила. Но если вы оказались в дурацком научно-фантастическом фильме, и безумный ученый как попало крутанул руль машины времени, молитесь не оказаться в XIII или XIV веке.
Средневековому математику приходилось мириться с летней жарой и ледяной зимней стужей, после заката здания едва-едва отапливались и почти не освещались[90]. По улицам бегали одичавшие свиньи и рылись в отбросах, кровь забиваемого скота лилась из мясницких лавок, а из дверей птичников летели отрубленные куриные головы. Лишь в больших городах существовала канализация. Самого короля Франции Людовика IX как-то окатили сверху помоями, содержимое которых не годится для упоминания на этих страницах.
Боги погоды тоже были не в духе. Европа в те времена оказалась на пороге сырого и холодного периода, и настолько он был отвратителен, что заслужил название малого ледникового[91]. В Альпах разрослись ледники — впервые с VIII века. В Скандинавии ледяные поля перекрыли североатлантические морские пути. Одолевали неурожаи. Производительность сельского хозяйства стремительно падала. Повсюду царил голод. В Англии простолюдины ели собак, кошек и другие новаторские блюда, которые один документ того времени описывал как «нечистую пищу». Аристократия страдала симметрично: им приходилось есть своих лошадей. Есть одно описание голода в Рейнской области, когда к виселицам в Майнце, Кельне и Страсбурге приставляли войска: изголодавшиеся жители срезали и разделывали мертвых висельников.
В октябре 1347 года на северо-востоке Сицилии причалил флот, прибывший с Востока. К несчастью для европейцев, эти флотоводцы достаточно владели геометрией, чтобы найти дорогу к порту. А вот медицинского знания им явно недоставало. Все находившиеся на борту были мертвы или умирали. Моряков взяли в карантин, но крысы сошли на берег, неся в Европу «черную смерть». К 1351 году население Европы вымерло почти наполовину. Флорентийский историк Джованни Виллани писал: «Эта болезнь вызывает вздутия в паху и подмышками, болящий харкает кровью, а через три дня он уже мертв… Многие земли и города безнадежны. Чума длилась до ____»[92]. Виллани оставил пробел в конце отчета, планируя вписать дату окончания эпидемии. Как выяснилось, отличный способ проклясть себя: в 1348 году «черная смерть» забрала и Виллани.
Учебные заведения от всех этих напастей спасали плохо[93]. Университетских городков еще не существовало как понятия. Обыкновенно у университета и зданий-то не было. Ученики жили общиной, вскладчину. Преподаватели работали в съемных комнатах, на постоялых дворах, в церквях и даже борделях. Как и жилые помещения, классы дурно освещались и отапливались. В некоторых университетах были приняты, прямо скажем, средневековые порядки: студенты платили профессуре сами. В Болонье студенты нанимали и увольняли преподавателей, штрафовали за пропущенные по неуважительной причине занятия или неспособность ответить на какой-нибудь трудный вопрос. Если лекция оказывалась неинтересной, слишком тягомотной, слишком скорой или недостаточно громко прочитанной, профессора могли освистать или даже закидать чем-нибудь. В университете Лейпцига возникла необходимость ввести правило, запрещающее швырять в преподавателей камнями. Лишь к 1495 году немецкое законодательство недвусмысленно запретило кому бы то ни было из университетской среды окатывать новичков мочой. Во многих городах студенты бузили и задирали местных жителей. По всей Европе преподавателю суждено было иметь дело с таким поведением учащихся, по сравнению с которым «Зверинец»[94] — видеокурс хороших манер.
Наука того времени являла собой сборную солянку античного знания вперемешку с религией, суеверием и мистикой[95]. Распространена была вера в чудеса и астрологию. Даже великие схоласты вроде Св. Фомы Аквинского принимали без критики факт существования ведьм. Сицилийский император Фридрих II основал в 1224 году Университет Неаполя — первое учебное заведение, управлявшееся мирянами. Не связанный докучливым понятием этики, Фридрих предавался своей любви к науке[96], время от времени ставя эксперименты на живых людях. Однажды он устроил двум «везучим» узникам по одинаковой обильной трапезе. Одного счастливчика он затем отправил спать, а второго — на изнурительную охоту. После чего вскрыл обоих — посмотреть, у кого лучше усвоилась пища. (Диванным овощам на радость: пищеварение оказалось лучше у спавшего.)
Представления о времени оставались смутными[97]. Вплоть до XIV века никто и не знал толком, который час. Световой день, поделенный на двенадцать равных интервалов — по ходу движения солнца над головой, — состоял из часов, протяженность которых менялась от времен года. В Лондоне, на 51 1/2° северной широты, где между восходом и закатом в июне почти вдвое больше времени, чем в декабре, средневековый час колебался между 38 и 82 современными минутами. Первые часы, о которых доподлинно известно, что они отбивали равные промежутки времени, появились не ранее 1330-х годов — в церкви Св. Готарда в Милане. В Париже первые часы в общественном месте установили на одной башне Королевского дворца лишь в 1370 году. (Они существуют до сих пор — на углу бульвара дю Палэ и набережной де л’Орлож.)
Технологий для измерения коротких временны́х промежутков не существовало. Переменные величины типа скорости можно было оценить лишь приблизительно. Фундаментальные единицы измерения — например, секунды — в средневековой философии попадались редко. Непрерывные количества чего бы то ни было расплывчато описывались «степенями» величины — или им присваивали сравнительные размеры. Например, о каком-нибудь слитке серебра могло быть сказано, что он весит, как треть ощипанной курицы или вдвое больше мыши. Неуклюжесть системы усугубляло и то, что главной книгой Средневековья в части численных пропорций являлась «Арифметика» Боэция, а Боэций для их описания дробями не пользовался. Для средневековых ученых пропорции, описывавшие количества, числами не являлись, и к ним — в отличие от чисел — нельзя было применять арифметические действия.
Картография тоже оставалась примитивной[98]. Карты средневековой Европы не предназначались для описания точных геометрических и пространственных соотношений, в них не соблюдались правила геометрии, равно как не существовало понятия о масштабе. В результате географические карты имели символический, исторический, декоративный или религиозный смысл.
Этих препятствий прогрессу мысли хватило бы и так, но существовала и непосредственная препона: Католическая церковь требовала от средневековых ученых буквального восприятия Библии. Церковь учила, что всякая мышь, всякий ананас, всякая комнатная муха служат высшим целям Божественного плана, и план этот можно постичь исключительно с помощью Писания. Выражать иные мнения было опасно.
У Церкви существовали веские причины бояться возрождения мысли. Если Библия ниспослана свыше, значит, ее авторитет — в отношении и мироустройства, и морали — зиждется на абсолютном принятии священных текстов. Однако библейские описания природы частенько противоречили наблюдаемым природным явлениям или математическим рассуждениям. Развивая университеты, Церковь, сама того не ведая, поучаствовала в уменьшении своего влияния — в представлениях и о природе, и о нравственности. Но стоять в стороне и наблюдать, как подрывают ее главенство, Церковь тоже не стала.
Ключевыми фигурами натурфилософии в позднем средневековье оказались схоласты — особенно из Оксфордского и Парижского университетов[99]. Они искали гармонии ума, изо всех сил пытаясь примирить физические теории и религию. Центральной темой их философии стала не природа Вселенной, а «мета-вопрос» — возможно ли знание, данное Библией, получить или объяснить с помощью рассуждения.
Первый великий схоласт боролся за логическое рассуждение как метод выяснения истины. Им был парижанин XII века Пьер Абеляр. Его позиция в средневековой Франции была чревата неприятностями. Абеляра отлучили от Церкви, а его книги сожгли. Самый знаменитый схоласт Св. Фома Аквинский также отстаивал методы разума, но вот он оказался для Церкви удобоварим. Аквинский подошел к знанию с позиций Подлинного Верующего — или, скажем так, как человек, не желавший, чтобы у огня, разведенного на его книгах, грелись перемерзшие зимней ночью монахи. Аквинский не отправился вслед свободно ведущим его рассуждением, а начал с принятия истинности католической веры и взялся ее доказывать.
Аквинского Церковь проклинать не стала, зато ему решительно противостоял его современник, схоласт Роджер Бэкон. Бэкон первым из натурфилософов придал огромное значение эксперименту. Абеляру не поздоровилось лишь из-за того, что он поставил разум выше Писания, а еретик Бэкон поставил превыше всего истину, выведенную из наблюдения за физическим миром. В 1278 году его отправили в тюрьму — на четырнадцать лет. Он умер вскоре после того, как был отпущен на свободу.
Уильям Оккамский, францисканец из Оксфорда, впоследствии парижанин, знаменит той самой «бритвой», которая и по сей день актуальна для физической науки. Попросту говоря, принцип бритвы Оккама сводится к следующему: теории следует создавать, делая как можно меньше допущений, взятых с потолка. У струнной теории, например, есть намерение строго вывести фундаментальные константы — заряд электрона, число (и тип) существующих «элементарных частиц» и даже число измерений пространства. В предыдущих теориях вся эта информация принималась аксиоматически: ее включали в построения, а не выводили из них. И к математике применима такая эстетика: например, при создании геометрической теории следует опираться на минимально необходимое количество аксиом.
Оккам ввязался в свару между францисканским орденом и папой Иоанном XXII и был отлучен от Церкви. Он сбежал, получил прибежище у императора Людовика IV и осел в Мюнхене. Умер в 1349-м, в разгар чумы.
Поделиться книгой: