Теория катастроф

Описанная классификация точек поверхности (О. А. Платонова, Е. Е. Ландис) следующим образом связана с классификацией особенностей волновых фронтов.

Математики называют точками объекты любой природы. Рассмотрим, например, множество всех невертикальных прямых на плоскости (х, у).

Такие прямые задаются уравнениями вида у = ах + b. Следовательно, одна прямая определяется парой чисел (а, b) и может рассматриваться как точка плоскости с координатами (а, b). Эта плоскость называется двойственной к исходной плоскости. Ее точки — это прямые исходной плоскости.

Если на исходной плоскости дана гладкая кривая, то в каждой ее точке имеется касательная прямая. При движении точки вдоль кривой касательная меняется, следовательно, движется точка двойственной плоскости. Таким образом, на двойственной плоскости возникает кривая — множество всех касательных исходной кривой. Эта кривая называется двойственной к исходной.

Если исходная кривая гладкая и выпуклая, то двойственная кривая тоже гладкая, если же исходная кривая имеет точку перегиба, то на двойственной кривой ей соответствует точка возврата (рис, 65).

Рис. 65. Двойственность точек перегиба и возврата

Кривые, двойственные к гладким кривым общего положения, имеют такие же особенности, как волновые фронты общего положения на плоскости, и так же перестраиваются при общей гладкой деформации исходной кривой, как перестраивается распространяющийся общим образом по плоскости общий фронт.

Точно так же плоскости в трехмерном пространстве образуют двойственное трехмерное пространство, и все касательные плоскости к гладкой поверхности образуют двойственную поверхность. Особенности поверхности, двойственной к поверхности общего положения, такие же, как у волнового фронта, т. е. ребра возврата с ласточкиными хвостами.

Линии параболических точек исходной поверхности соответствует на двойственной поверхности ребро возврата. Особые точки на этой линии (где она касается линии перегиба асимптотических) соответствуют ласточкиным хвостам. Линия самопересечения ласточкиного хвоста состоит из двойных касательных плоскостей исходной поверхности. Следовательно, в точке 7) сливаются две точки касания плоскости с исходной поверхностью, чем и заканчивается однопараметрическое семейство двойных касательных плоскостей.

Классы точек на поверхности общего положения проявляются также в виде различных особенностей видимого контура. Если направление проектирования — общего положения, то особенности — лишь складки и сборки, по теореме Уитни. Однако, выбрав направление проектирования специальным образом, можно получить и некоторые не общие проекции поверхности общего положения. Оказывается, все такие проектирования локально приводятся к проектированиям перечисленных ниже 9 поверхностей z = f (х, у) вдоль оси х: (поверхности проектируются на плоскость, (у, z), приведение осуществляется заменой X (х, у, z), Y (у, z), Z (y, z)).

Тип / f

1 / х2

2 / х3 + ху

3 /, 4 х3 ± ху2

5 / х3 + ху3

6 / х4 + ху

7 / х4 + х2у + ху2

8, 9 / х5 + х3у ± ху

Видимые контуры, соответствующие этим проекциям, изображены на рис. 66.

Рис. 66. Видимые контуры и порядки их особенностей для типичных проектирований

Соответствие между классификацией проектирований и точек на поверхности состоит в следующем. 1 — это проектирование по неасимптотическому направлению (складка Уитни).

Проектирование по асимптотическому направлению в общей точке гиперболической области принадлежит типу 2. Это проектирование имеет особенностью сборку Уитни. При малом шевелении направления проектирования особая точка лишь немного перемещается по поверхности: новое направление оказывается асимптотическим в близкой точке. Таким образом, чтобы увидеть сборку, достаточно взглянуть на общую поверхность по асимптотическому направлению.

При движении поверхности или наблюдателя в отдельные моменты появятся особенности 3, 4 и 6.

Рис. 67. Бифуркации проектирований при деформации центра проекции: случаи 10 — 11, z = х3 ± ху4

Проектирования 6 (и 8 или 9) соответствуют гиперболической области (а именно асимптотическим касательным третьего и четвертого порядков соответственно).

По спине двугорбого верблюда (см. рис. 43) проходит линия перегиба асимптотических. Касательные третьего порядка, приложенные в ее точках, образуют поверхность. Проходя мимо верблюда, мы дважды пересекаем эту поверхность. В момент пересечения видимый контур спины имеет особенность тина у3 = х4, а проектирование — тип 6.

Рис. 68. Бифуркации проектирований: случай 12, z = х4 + х2у + ху3

Остальные особенности возникают при проектировании по направлению, асимптотическому в параболической точке. Простейшие из них — особенности 3 и 4. Проектирование 3 реализуется в момент, когда мы, спускаясь с бугра, начинаем видеть его контур (см. рис. 41). Первая появляющаяся точка контура — параболическая.

При прохождении особенности 4 происходит слияние или разделение двух компонент видимого контура.

Рис. 69. Бифуркации проектирований: случай 13, z = х5 + ху

Особенности 5, 7, 8 и 9 реализуются лишь при изолированных направлениях проектирования, и их нужно специально искать. (8 и 9 — проектирование вдоль касательной четвертого порядка, 7 — вдоль параболической касательной третьего порядка, 5 — точка "параллельности асимптотических в бесконечно близких параболических точках"). При проектированиях из отдельных точек реализуются еще 4 особенности 10 — 13: z = х3 ± ху4, z = х4 + х2у + ху3, z = х5 + ху (рис. 66 — 69).

13. Задача об обходе препятствия

Рассмотрим в трехмерном евклидовом пространстве препятствие, ограниченное гладкой поверхностью (рис. 70). Ясно, что кратчайший путь из х в у в обход препятствия состоит из отрезков прямых и отрезков геодезических (кратчайших линий) на поверхности препятствия. На геометрию кратчайших путей сильно влияют х различные перегибы поверхности препятствия.

Рис. 70. Кратчайший путь в обход препятствия

Предположим, что начальная точка пути, х, зафиксирована, и рассмотрим кратчайшие пути, ведущие из х во всевозможные точки у. Пути в загороженные препятствием точки начинаются с отрезков касающихся препятствия прямых. Продолжения этих путей образуют пучок (однопараметрическое семейство) геодезических на поверхности препятствия. Следующие участки путей представляют собой новые отрезки прямых, касательных к геодезическим; они могут заканчиваться в концевой точке у или снова касаться поверхности препятствия и т. д.

Рассмотрим простейший случай пути, состоящего из начального и конечного отрезков прямой с отрезком геодезической между ними. Близкие геодезические пучка заполняют на поверхности препятствия некоторую область. В каждой точке этой области геодезическая пучка имеет определенное направление. В точках общего положения это направление не асимптотическое. Условие касания геодезической пучка с асимптотическим направлением — это одно условие па точку поверхности. Для поверхности и пучка общего положения это условие выполняется на некоторой кривой на поверхности (зависящей от пучка). На рис. 71 асимптотические направления изображены горизонтальными отрезками, а кривая касания обозначена буквой К; геодезические — жирные линии.

В отдельных точках (0 на рис. 71) эта кривая К сама будет иметь асимптотическое направление — это точки пересечения К с кривой ^ перегиба асимптотических (см. п. 12).

Рис. 71. Асимпототические направления и типичный пучок геодезических на поверхности

Таким образом возникает двупараметрическое семейство путей: один параметр нумерует геодезические линии пучка, другой — точку срыва касательной, уходящей с поверхности препятствия. Вдоль каждого пути определена функция времени (отсчитываемая от начальной точки х). Время достижения конечной точки у по такому пути определено не однозначно (в одну конечную точку может вести несколько таких путей), и вдобавок не все наши пути обходят препятствие. Тем не менее ясно, что исследование полученной многозначной функции времени составляет необходимый этап изучения особенностей системы кратчайших путей.

Расположим за препятствием еще одну поверхность (стенку) общего положения. и рассмотрим отображение срыва поверхности препятствия на стенку, сопоставляющее каждой точке препятствия точку пересечения срывающейся в ней касательной к геодезической пучка со стенкой.

Когда стенка удаляется на бесконечность, отображение срыва переходит в гауссово отображение пучка: каждой точке поверхности препятствия сопоставляется точка единичной сферы, а именно конец вектора длины 1, параллельного касательной к геодезической.

Отображение срыва и гауссово отображение пучка имеют особенности в точности на той линии, где направление геодезической пучка асимптотическое. Эти особенности оказываются складками в общих точках и сборками в особых точках, где направление кривой асимптотическое (О. А. Платонова).

Многозначная функция времени также имеет особенность в точках, соответствующих асимптотическому срыву. При подходящем выборе системы гладких координат функция времени приводится к виду Т = х — у5/2 в окрестности общей точки особой поверхности у = 0. Иными словами если отметить на каждом срывающемся луче точку, отвечающую пути длины Т, то эти точки образуют поверхность фронта с ребром возврата, локально задающуюся уравнением х2 = у5 (рис. 72).

Рис. 72. Типичная особенность фронта в задаче об обходе препятствия: ребро возврата вой — клюв степени 5/2

Аналогичный результат получается в плоской задаче (в этом случае фронты называются эвольвентами и имеют особенность типа х2 = у5 в точках касательной перегиба (рис. 73)).

Рис. 73. Типичная особенность эвольвенты плоской кривой — клюв степени 5/2 на касательной перегиба кривой

Фронт пространственной задачи в особой точке (точке сборки гауссова отображения пучка) локально задается уравнениями

х = u, y = υ3 + uυ, z = (135υ4 +189uυ2 + 70u2)υ3,

где (u, υ) — параметры, (х, у, z) — криволинейные координаты в пространстве с началом в не лежащей на поверхности препятствия точке особого асимптотического луча.

14. Симплектическая и контактная геометрии

Многие вопросы теории особенностей (например, классификация особенностей каустик и волновых фронтов, а также исследование всевозможных особенностей в задачах оптимизации и вариационного исчисления) становятся понятными только в рамках геометрии симплектических и контактных многообразий, освежающе непохожей на обычные геометрии Евклида, Лобачевского и Римана.

Начнем с трех примеров особенностей специального вида.

1. Градиентное отображение. Рассмотрим в евклидовом пространстве гладкую функцию. Градиентным отображением называется отображение, сопоставляющее точке значение градиента функции в ней. Градиентные отображения — весьма специальный класс отображений пространств одинаковой размерности.

Особенности градиентных отображений общего положения отличны от общих особенностей отображений пространств одинаковых размерностей: их "меньше" потому, что не всякое отображение можно реализовать как градиентное, но "больше" потому, что явление, не типичное для общих отображений, может быть типичным для градиентных.

2. Нормальное отображение. Рассмотрим множество всех векторов нормалей к поверхности в трехмерном евклидовом пространстве. Сопоставим каждому вектору его конец (вектору р, приложенному в точке q, сопоставляем точку р + q). Мы получаем отображение трехмерного многообразия векторов нормалей в трехмерное пространство (n-мерного в n-мерное, если начать с подмногообразия любой размерности в n-мерном евклидовом пространстве).

Это отображение называется нормальным отображением исходного многообразия. Особенности нормальных отображений подмногообразий общего положения составляют специальный класс особенностей отображений пространств одинаковой размерности. Критические значения нормального отображения образуют каустику (геометрическое место центров кривизны) исходного подмногообразия: см. рис. 33, где исходное многообразие — эллипс.

3. Гауссово отображение. Рассмотрим двустороннюю поверхность в трехмерном евклидовом пространстве. Перенесем единичные векторы положительных нормалей из каждой точки поверхности в начало координат. Концы этих векторов лежат на единичной сфере. Полученное отображение поверхности на сферу называется гауссовым отображением.

Гауссовы отображения составляют еще один специальный класс отображений многообразий одинаковой размерности (n — 1, если начинать с гиперповерхности в n-мерном пространстве).

И вот оказывается, что типичные особенности отображений всех этих трех классов (градиентных, нормальных и гауссовых) одинаковы: все три теории — частные случаи общей теории лагранжевых особенностей в симплектической геометрии.

Симплектическая геометрия — это геометрия фазового пространства (пространства координат и импульсов классической механики). Она явилась итогом длительного развития механики, вариационного исчисления и т. д.

В прошлом веке эту область геометрии называли аналитической динамикой, и Лагранж гордился, что изгнал из нее чертежи. Чтобы проникнуть в симплектическую геометрию, минуя длинный исторический путь, проще всего воспользоваться аксиоматическим методом, имеющим, как заметил Б. Рассел, много преимуществ, подобных преимуществам воровства перед честным трудом.

Сущность этого метода состоит в том, чтобы превращать теоремы в определения. Содержательная часть теоремы становится тогда мотивировкой определения, и алгебраисты ради повышения авторитета своей науки ее обычно опускают (понять немотивированное определение невозможно, но многие ли из пассажиров самолета знают, как и почему он изготовлен?).

Теорема Пифагора, бывшая в свое время высшим достижением математической культуры, низведена в современном аксиоматическом изложении евклидовой геометрии до малозаметного определения: евклидовой структурой в линейном пространстве называется линейная по каждому аргументу симметрическая функция пары векторов (скалярное произведение), для которой скалярный квадрат любого ненулевого вектора положителен.

Определение симплектической структуры в линейном пространстве аналогично: это линейная по каждому аргументу кососимметрическая функция пары векторов (кососкалярное произведение), которая невырождена (любой ненулевой вектор не всем векторам косоортогонален, т. е. его кососкалярное произведение с некоторыми векторами ненулевое).

Пример. Назовем кососкалярным произведением двух векторов на ориентированной плоскости ориентированную площадь параллелограмма, натянутого на эти векторы (т. е. определитель матрицы, составленной компонент векторов). Это произведение — симплектическая структура на плоскости.

В трехмерном пространстве (и вообще в нечетномерном пространстве) симплектических структур нет. Симплектическую структуру в четырехмерном (и вообще в четномерном) пространстве легко построить, представив пространство в виде суммы двухмерных плоскостей: кососкалярное произведение распадается в сумму площадей проекций на эти плоскости.

Все симплектические пространства фиксированной размерности изоморфны (как и все евклидовы). Мы будем называть кососкалярное произведение двух векторов "площадью" натянутого на них параллелограмма.

Каждое линейное пространство в евклидовом пространстве имеет ортогональное дополнение, его размерность равна коразмерности исходного подпространства.

В симплектическом пространстве определено косоортогоналыюе дополнение к линейному подпространству: оно состоит из всех векторов, кососкалярные произведения которых со всеми векторами подпространства равны нулю. Размерность косоортогонального дополнения также равна коразмерности исходного подпространства. Например, косоортогональное дополнение к прямой на плоскости — сама эта прямая.

Линейное подпространство, являющееся своим собственным косоортогональным дополнением, называется лагранжевым подпространством. Его размерность равна половине размерности исходного симплектического пространства.

Риманова структура на многообразии задается выбором евклидовой структуры в пространстве, касательном к многообразию в любой точке.

Точно так же симплектическая структура на многообразии задается выбором симплектической структуры в каждом его касательном пространстве; однако в отличие от риманова случая эти структуры не произвольны, а связаны между собой, как это объяснено ниже.

Риманова структура на многообразии позволяет измерять длины кривых на нем, суммируя длины малых векторов, составляющих кривую. Точно так же симплектическая структура позволяет измерять "площади" ориентированных двухмерных поверхностей, лежащих в симплектическом многообразии (суммируя "площади" составляющих поверхность малых параллелограммов). Дополнительное условие, связывающее симплектические структуры в разных касательных пространствах, таково: "площадь" всей границы любой трехмерной фигуры равна 0.

В линейном симплектическом пространстве можно ввести структуру симплектического многообразия, определив кососкалярное произведение приложенных в любой точке векторов как кососкалярное произведение векторов, полученных из них параллельным переносом в начало. Легко проверить, что условие согласования здесь выполнено.

Существует много неизоморфных друг другу римановых структур в окрестности точки плоскости или пространства большего числа измерений (для различения их Риман и ввел свою кривизну).

В отличие от римановых многообразий все симплектические многообразия фиксированной размерности в окрестности каждой своей точки изоморфны (отображаются друг на друга с сохранением "площадей"). Таким образом, локально каждое симплектическое многообразие изоморфно стандартному симплектическому линейному пространству. В таком пространстве можно ввести координаты (р₁, ..., р_n, q₁, ..., q_n) так, что кососкалярное произведение равно сумме ориентированных площадей проекций на плоскости (р₁, q₁), . . ., (р_n, q_n).

Подмногообразие симплектического пространства называется лагранжевым многообразием, если его касательная плоскость в каждой точке лагранжева.

Расслоение симплектического пространства на подмногообразия называется лагранжевым расслоением если слои лагранжевы.

Всякое лагранжево расслоение локально изоморфно стандартному расслоению фазового пространства над конфигурационным, (р, q) → q (слои — пространства импульсов, q = const). Конфигурационное q-пространство называется базой этого расслоения.

Предположим теперь, что в пространстве лагранжева расслоения дано еще одно лагранжево многообразие. Тогда возникает гладкое отображение этого лагранжева многообразия на базу лагранжева расслоения (т. е. на конфигурационное пространство с координатами q_i): каждой точке (р, q) лагранжева многообразия сопоставляется точка q конфигурационного пространства.

Полученное отображение многообразий одинаковой размерности n называется лагранжевым отображением, а его особенности — лагранжевыми особенностями.

Это — специальный класс особенностей гладких отображений многообразий одинаковой размерности. Для этого класса построена классификационная теория, аналогичная общей теории особенностей.

При n = 2 лагранжевы особенности общего положения исчерпываются складками и сборками, как и общие особенности (впрочем, лагранжева сборка имеет два лагранжево неэквивалентных[7] варианта).

Особенности лагранжевых отображений трехмерных лагранжевых многообразий общего положения уже не все встречаются среди обычных особенностей общего положения.

Теперь мы покажем, что градиентные, нормальные и гауссовы особенности лагранжевы.

1. Пусть F — гладкая функция от р. Тогда многообразие q = ∂F/∂p лагранжево. Поэтому особенности градиентного отображения лагранжевы.

2. Рассмотрим гладкое подмногообразие в евклидовом пространстве. Рассмотрим множество всех перпендикулярных ему векторов (во всех его точках q). Многообразие, образованное векторами р, приложенными в точках р + q, лагранжево. Нормальное отображение можно рассматривать как лагранжево отображение этого многообразия на базу, (р, р + q) → (р + q).

3. Рассмотрим многообразие всех ориентированных прямых в евклидовом пространстве. Это многообразие симплектическое, так как его можно рассматривать как фазовое пространство движения точки по сфере (направление прямой определяет точку на сфере, а точка пересечения прямой с перпендикулярной ей касательной плоскостью сферы — величину импульса).

Рассмотрим многообразие ориентированных нормалей к поверхности в нашем пространстве. Это подмногообразие в симплектическом многообразии прямых лагранжево. Гауссово отображение можно рассматривать как лагранжево отображение (отображение проектирования построенного подмногообразия на сферу, являющуюся базой лагранжева расслоения фазового пространства).