Теория катастроф

Каустика 1/6

Ребро возврата 1/4

Ласточкин хвост 3/10

Пирамида 1/3

Кошелек 1/3

Таким образом, ярче всего светятся точечные особенности тина пирамиды и кошелька. В случае движущейся каустики в отдельные моменты времени могут возникать более яркие особенности[4] А₅, D₅ (см. рис. 44, 45, α = 1/3 для А₅, 3/8 для D₅).

Если свет настолько интенсивен, что способен разрушать среду, то разрушение начнется в точках наибольшей яркости, поэтому показатель α определяет зависимость интенсивности разрушающего среду света от частоты.

Аналогичная описанной выше классификация особенностей каустик и волновых фронтов проведена в многомерных пространствах до размерности 10 (В. М, Закалюкин)

Предсказания теорией особенностей геометрии каустик, фронтов и их перестроек получили полное подтверждение в экспериментах, и сейчас даже кажется странным, почему эта теория не была построена лет двести назад. Дело, однако, в том, что соответствующий математический аппарат не тривиален[5] и связан с такими разделами математики, как классификации простых алгебр Ли и кристаллографических групп Кокстера, с теорией кос, теорией ветвления интегралов, зависящих от параметров, и т. д — он даже связан (довольно таинственным образом) с классификацией правильных многогранников в трехмерном евклидовом пространстве.

Катастрофисты пытаются избежать серьезной математики. Например, в составленной К. Знманом в 1980 г. обширной библиографии по теории катастроф опущены ссылки на математические работы, вышедшие после 1976 г. Таким образом, катастрофисты продолжают попытки экспериментально нащупать ответы в задачах, давно решенных математиками. Например, в работе 1980 г. о ветровых полях и движении льда можно найти полуудачные попытки угадать список метаморфоз каустик в трехмерном пространстве (см. рис. 44, 45), опубликованный математиками еще в 1976 г.

9. Крупномасштабное распределение вещества во вселенной

В настоящее время распределение вещества во Вселенной крайне неоднородно (существуют планеты. Солнце, звезды, галактики, скопления галактик и т. д.). Современная астрофизика считает, что на ранних этапах развития Вселенной таких неоднородностей не было. Как же они образовались? Я. Б. Зельдович в 1970 г. предложил объяснение образования скоплений пылевидной материи, математически эквивалентное анализу возникновения особенностей каустик, начатому в 1963 г. Е. М. Лифшицем, Халатниковым и Судаковым.

Рассмотрим бесстолкновительную среду, т. е. среду настолько разреженную, что ее частицы проходят друг "сквозь" друга, не сталкиваясь. Предположим, для простоты, что частицы не взаимодействуют и движутся по инерции: через время t частица, находившаяся в точке х, перейдет в точку х + vt.

Предположим, что в начальный момент скорость частицы, находящейся в точке х, была v₀ (х); векторное поле v₀ называется начальным полем скоростей среды. С течением времени частицы будут двигаться и поле скоростей будет меняться (хотя скорость каждой частицы и не меняется, в следующий момент времени эта частица находится на новом месте).

На рис. 47 изображено начальное поле скоростей одномерной среды v₀ и получающиеся аз него через время t = 1, 2 и 3 ноля v₁, v₂, v₃. Мы видим, что, начиная с некоторого момента, более быстрые частицы начинают обгонять более медленные; в результате поле скоростей становится трехзначным: через одну точку пространства проходят с разными скоростями три потока частиц.

Рис. 47. Эволюция поля скоростей бесстолкновительной среды

Движение нашей среды можно описать как однопараметрическое семейство отображений прямой на прямую. Именно для каждого t определено отображение g_t, переводящее начальное положение частицы (х) в конечное: g_t = х + v₀ (х)t.

Отображение g₀ есть тождественное преобразование, оставляющее каждую точку на месте. Отображения, соответствующие моментам t, близким к 0, взаимно однозначны и не имеют особенностей. После момента первого обгона отображение g_t имеет две складки.

Рис. 48. Особенности плотности после обгона

Пусть в начальный момент плотность среды в точке х была ρ₀(х), С течением времени плотность будет меняться. Нетрудно сообразить, что после обгона график плотности будет иметь вид, изображенный па рис. 48 (на расстоянии 8 от точки складки плотность оказывается порядка 1/√ε).

Таким образом, небольшие отличия начального ноля скоростей от постоянного приводят через достаточно большое время к образованию скоплений частиц (в местах бесконечно большой плотности).

Этот вывод сохраняется при переходе от одномерной среды к среде, заполняющей пространство любой размерности, и при учете влияния на движение ее частиц внешнего силового поля или поля, созданного средой, а также при учете аффектов теории относительности и расширения Вселенной.

Если силовые поля потенциальны (т. е. их работа на любом пути зависит лишь от начала и конца пути) и начальное поле скоростей тоже потенциально, то задача описания особенностей отображений g_t и их метаморфоз при изменении t математически тождественна задаче об особенностях каустик и их метаморфоз (то и другое составляет предмет теории так называемых лагранжевых особенностей).

Точки бесконечной плотности образуют в случае двухмерной среды кривые на плоскости. Эти кривые образованы критическими значениями отображения g_t, т. е. его значениями в критических точках (для отображения рис. 1 критические точки — это точки экватора сферы, критические значения — точки видимого контура на горизонтальной плоскости).

Линия критических значений отображения g_t называется его каустикой. Ее можно определить как место пересечений бесконечно близких лучей (траекторий частиц), т. е. так же, как обычную оптическую каустику.

Таким же образом описание метаморфоз оптических каустик доставляет нам описание перестроек скоплений частиц (мест бесконечной плотности среды) при потенциальном движении.

Первая особенность на плоскости выглядит как серпик с полукубически заостренными вершинами (в трехмерном пространстве новорожденная каустика имеет вид блюдца). Я. Б. Зельдович назвал такую каустику блином (первоначально блины интерпретировались как галактики, позже — как скопления).

При дальнейшем движении среды рождаются новые блины. Кроме того, имеющиеся блины начинают перестраиваться и могут взаимодействовать друг с другом. Одна из типичных последовательностей событий в двухмерной среде изображена на рис. 49.

Все возможные в трехмерной среде элементарные перестройки изображены на рис. 44, 45 (получение этих результатов уже требует сложной математической теории лагранжевых особенностей).

В результате перестроек плотность имеет особенности различных порядков на поверхностях блинов, на линиях и в отдельных точках. Будем характеризовать особенность средней плотностью в ε-окрестности рассматриваемой точки (т. е. отношением массы, попавшей к ε-окрестность, к объему окрестности).

Рис. 49. Сценарий взаимодействия 'блинов' Зельдовича

В точках каустики средняя плотность стремится к бесконечности когда радиус окрестности ε стремится к пулю.

Порядок величины средней плотности в различных точках каустик таков:

Каустика ε-1/2

Ребро возврата ε-2/3

Ласточкин хвост ε-3/1

Кошелек, пирамида ε-1

При изменении времени в отдельные моменты появляются особенности А₅ со средней плотностью порядка ε-1/5 и D₅ (ε-1 и ε-1).

Согласно астрофизикам, в те времена, когда радиус Вселенной был раз в тысячу меньше нынешнего, крупномасштабное распределение вещества во Вселенной было практически однородным, а поле скоростей — практически потенциальным. Дальнейшее движение частиц привело к образованию каустик, т. е, особенностей плотности и скоплений частиц. До образования блинов плотность остается достаточно малой, чтобы считать среду бесстолкновительной. После этого момента среду можно считать бесстолкновительной, если предполагать что значительная часть массы Вселенной сосредоточена в массивных нейтрино; если же большая часть массы приходится на протоны и нейтроны, то к выводам из геометрии каустик и их перестроек следует относиться с осторожностью, так как среда перестает быть бесстолкновительной.

Выводы о скоплении вещества на поверхностях с преимущественным скоплением вдоль некоторых линий (шнуров), соединяющихся в особых точках (узлах), по-видимому, соответствуют астрономическим наблюдениям, по крайней мере в общих чертах (С. Ф. Шандарин).

10. Особенности в задачах оптимизации: функция максимума

Многочисленные особенности, бифуркации и катастрофы (скачки) возникают во всех задачах о нахождении экстремумов (максимумов, минимумов), задачах оптимизации, управления и принятия решений. Представим себе, например, что мы должны выбрать х так, чтобы обеспечить наибольшее значение функции f (х) (рис. 50). При плавном изменении функции оптимальное решение меняется скачком, перескакивая с одного из двух конкурирующих максимумов (Л) на другой (В).

Рис. 50. Разрыв оптимального управления

Ниже мы рассмотрим несколько задач такого рода; все они далеки от полного решения, хотя в некоторых классификация особенностей проведена достаточно далеко.

Рассмотрим семейство f(х, у) функций переменной х, зависящих от параметра у. При каждом фиксированном значении параметра у вычислим максимум функции, обозначим его через

Функция F непрерывна, но не обязательно гладкая, даже если f — многочлен.

Пример 1. Пусть у — азимут луча зрения, х — дальность, f — угловая высота ландшафта на расстоянии х при азимуте у (рис. 51). Тогда F определяет линию горизонта. Ясно, что линия горизонта гладкой поверхности может иметь изломы и они неустранимы малым шевелением.

Рис. 51. Излом линии горизонта гладкого ландшафта

Переменная х и параметр у могут быть точками пространств любой размерности; наряду с максимумами встречаются и минимумы.

Пример 2. Пусть х — точка плоской кривой у" у — точка области, ограниченной этой кривой, f(х, у) — расстояние от у до х.

Будем рассматривать f как функцию точки кривой, зависящую от точки области как от параметра. Тогда функция минимума семейства, F(у), есть кратчайшее расстояние от точки у до кривой у (рис. 52). Ясно, что эта функция непрерывна, но не всюду гладкая.

Рис. 52. Расстояние до кривой и его особые точки

Мы можем представить себе лопату, ограниченную кривой γ; насыпем на эту лопату возможно большую кучу сухого песка. Поверхность кучи будет тогда графиком функции F. Ясно, что для лопаты общего положения поверхность кучи имеет хребет (линию излома).

Линии уровня функции F — не что иное, как передние фронты распространяющегося внутрь кривой γ возмущения.

Теория особенностей позволяет перечислить особенности функций максимума F как в описанном примере, так и для семейств общего положения функций любого числа переменных при условии, что число параметров у не больше 10 (Л. Н, Брызгалова). Рассмотрим простейшие случаи одного и двух параметров.?

Выбирая координаты на оси (плоскости) значений параметра у и вычитая из F гладкую функцию параметров, мы можем привести функцию максимума семейства общего положения в окрестности каждой точки к одной из следующих нормальных форм:

один параметр:

F(у) = |у|;

два параметра:

Формула, относящаяся к случаю одного параметра означает, в частности, что линия горизонта гладкого ландшафта общего положения не имеет особенностей, отличных от простейших изломов. Особенности функции максимума, описанные формулами для двух параметров, дают следующие особенности функции минимума (например, особенности поверхности кучи песка на лопате): линия хребта, точка соединения трех хребтов и конец хребта (см. рис. 52).

В последнем случае график функции минимума есть часть поверхности ласточкиного хвоста (см. рис. 34), получающаяся удаленном прилежащей к ребру возврата пирамиды (ВСВ) (и еще отражением поверхности рис. 34 в горизонтальной плоскости).

При 3, 4, 5 и 6 параметрах число различных особенностей равно соответственно 5, 8, 12 и 17; начиная с 7 параметров, число типов несводимых друг к другу особенностей становится бесконечным: нормальные формы неизбежно содержат "модули", являющиеся функциями от параметров.

Топологически функция максимума (минимума) семейства общего положения устроена как гладкая функция общего положения (В. И. Матов).

На рис. 53 изображены типичные особенности множества негладкости функции максимума трехпараметрического семейства.

Они позволяют исследовать типичные перестройки особенностей ударных волн на плоскости, происходящие с течением времени: для этого нужно сперва изучить типичные перестройки двумерных сечений пяти изображенных на рис. 53 поверхностей (эти перестройки также изображены на рисунке), Оказывается, некоторые из них являются, а некоторые не являются перестройками ударных волн (например, для потенциальных решений уравнения Бюргерса u_t + uu_х = εu_хх с исчезающей вязкостью ε).

А именно, реализуются ударными волнами те перестройки, которые отмечены на рис. 53 стрелками. Правила отбора найдены И. А. Богаевским и Ю. М. Барышниковым:

1) возникающая после перестройки ударная волна в окрестности точки перестройки стягиваема;

Рис. 53. Типичные особенности множества во гладкости максимума и типичные перестройки ударных волн

2) дополнение к ударной волне в момент перестройки и сразу после нее топологически (гомотопически) одинаковы.

Каждое из этих условий необходимо и достаточно для реализуемости типичной перестройкой ударных волн на плоскости и в трехмерном пространстве типичной перестройки. особенностей функции максимума. Так ли это в многомерном случае — неизвестно.

11. Особенности границы достижимости

Управляемая система в фазовом пространстве задается так: в каждой точке пространства дан не один вектор скорости (как в обычной эволюционной системе), а целее множество векторов, называемое индикатрисой допустимых скоростей (рис. 54).

Задача управления состоит в том, чтобы, выбирая в каждый момент времени вектор скорости из предосталяемого индикатрисой набора допустимых скоростей, достичь заданной цели (например, прийти за кратчайшее время на заданное подмножество фазового пространства).

Зависимость кратчайшего времени достижения цели от начальной точки может иметь особенности. Рассматривавшиеся в н. 10 особенности функции минимума расстояния до кривой — частный случай (индикатриса — окружность, а цель — кривая). В отличие от этого частного случая особенности кратчайшего времени в общей задаче управления изучены весьма слабо.

Рис. 54. Поле индикатрис допустимых скоростей управляемой системы

В общем случае достичь цели можно не при любом начальном условии. Точки фазового пространству из которых можно достичь цели (за любое время), называются областью достижимости.

Граница области достижимости может иметь особенности даже в том случае, когда пи цель, ни поле индикатрис в различных точках фазового пространства особенностей не имеют. Мы приводим ниже классификацию особенностей границы достижимости в общей управляемой системе па фазовой плоскости в случае, когда индикатрисы и цель — гладкие кривые (по А. А. Давыдову).

Из четырех типов особенностей границы три записываются простыми формулами (при подходящем выборе локальных координат на плоскости):

1) у = |х|, 2) у = х|х|, 3) у = х2|х|.

Особенность четвертого тина связана с теорией дифференциальных уравнений, неразрешенных относительно производной, называемых также неявными дифференциальными уравнениями.

Такое уравнение имеет вид F(х, у, р) = 0, где р = dy/dx. Геометрически уравнение F = 0 задает поверхность в трехмерном пространстве с координатами (х, у, р). Она называется поверхностью уравнения.

Условие р = dy/dx выделяет плоскость в каждой точке нашего трехмерного пространства. Эта плоскость состоит из векторов, у-компонента которых в р раз больше х-компоненты, где р — координата точки приложения. Такая плоскость называется контактной. Контактная плоскость в каждой точке вертикальна (содержит направление оси р). Все вместе контактные плоскости задают поле контактных плоскостей, называемое также контактной структурой.

Контактная структура высекает на поверхности уравнения поле направлений (с особыми точками в тех местах, где контактная плоскость касается поверхности). Поверхность уравнения здесь предполагается гладкой. Это условие выполняется для уравнений общего положения.

Вопрос о строении типичных особых точек неявных дифференциальных уравнений рассматривался еще в прошлом веке, и король Швеции Оскар II включил его, наряду с проблемой трех тел, а список из четырех вопросов на премию 1885 г.

Решение этого вопроса было получено лишь в 1985 г. А. А. Давыдовым в виде побочного продукта исследования областей достижимости управляемых систем па плоскости.

Ответ доставляет следующий список нормальных форм (к которым уравнение приводится локальным диффеоморфизмом плоскости):

У = (х + kр)2.

В зависимости от значения параметра к здесь возможны три случая. Особая точка поля на поверхности уравнения может оказаться седлом, узлом или фокусом. Отображение проектирования поверхности уравнения на плоскость (х, у) вдоль оси р имеет особенностью складку. В окрестности типичной точки складки уравнение приводится к нормальной форме Чибрарио (1932), х = р2. Все особые точки автоматически попадают на складку. Результат складывания изображен на рис. 55: особые точки па плоскости (х, у) называются сложенным седлом (узлом, фокусом соответственно). Оказывается, несмотря па сложность узора, образованного интегральными кривыми па плоскости (х, у), он (даже не только топологически, но и с точностью до диффеоморфизма) однозначно определяется единственным "модулем" k (как и фазовый портрет соответствующего векторного поля на плоскости вблизи особой точки).

Сложенные особые точки — седла, узлы, фокусы — встречаются во многих приложениях. Рассмотрим, например, асимптотические линии на поверхности в трехмерном пространство (поверхность имеет с касательными прямыми касание выше первого порядка в каждой своей точке). Для поверхности общего положения сеть асимптотических линий заполняет область гиперболичности, где поверхность имеет отрицательную кривизну (как обыкновенное седло). Через каждую точку области гиперболичности проходят две асимптотические лини и область гиперболичности ограничена линией параболических точек, на которой оба асимптотических направления совпадают.