Помоги проекту - поделись книгой:
Однако был и более практичный метод, который активно использовали землемеры: образование треугольника с прямым углом, используя саму веревку. Такой треугольник получил название прямоугольный треугольник. И самый распространенный среди них – со сторонами 3–4–5! Если вы возьмете веревку, разделенную на двенадцать частей тринадцатью узлами, вы сможете образовать треугольник со сторонами в 3, 4 и 5 интервалов соответственно. И магическим образом угол, образованный сторонами в 3 и 4 интервала, будет прямым.
За 4000 лет до этого жители Вавилона уже разработали специальные таблицы, позволяющие делать прямоугольные треугольники. Табличка «Плимптон 322», которая в настоящее время хранится в коллекции Колумбийского университета в Нью-Йорке, была создана приблизительно в 1800 г. до н. э. и представляет собой таблицу из пятнадцати комбинаций таких чисел. Помимо 3–4–5 там приводятся еще четырнадцать комбинаций, среди которых такие сложные, как 65–72–97 и даже 1679–2400–2929. За исключением нескольких незначительных опечаток, ставших следствием ошибки в расчетах или неправильного переписывания, треугольники из Плимптонской таблицы абсолютно правильные: в каждом из них есть прямой угол!
Сложно точно сказать, с какого момента вавилонские землемеры начали использовать свои познания об определении прямого угла на земле. В любом случае эти знания нашли свое применение много лет спустя исчезновения шумерской цивилизации. В Средние века веревка с тринадцатью узлами, также известная как веревка друидов, повсеместно использовалась при строительстве соборов.
Путешествуя по истории математики, часто отмечают, что ряд похожих выводов был сделан одновременно и независимо друг от друга в разных концах нашей планеты учеными, жившими за тысячи километров друг от друга в совершенно разных обществах. Удивительно странным совпадением является то, что в китайской цивилизации I в. до н. э. были сделаны открытия в области математики, очень схожие с аналогичными открытиями этого времени цивилизаций Древнего Вавилона, Египта и Греции.
Спустя столетия, приблизительно 2000 лет назад, во времена правления династии Хань, эти открытия собрали собраны воедино в одном из первых в истории произведений, посвященных исследованиям в области математики, под названием «Математика в девяти книгах».
Первая книга полностью посвящена методам измерения земельных участков различной формы. Прямоугольные, треугольные, трапециевидные, круглые, в форме полукруга или кольца – процедуры измерения полей всех этих форм подробно описаны в данной работе. Далее в этом произведении мы обнаруживаем, что девятая книга посвящена исследованию прямоугольных треугольников. Попробуйте догадаться, как звучит первая строчка этой книги. 3–4–5!
Таковы великие идеи. Они возникают в различных культурах и начинают активно произрастать на благодатной почве пытливых умов, стремящихся к новым знаниям.
Назовем несколько проблем того времени.
Многочисленные вопросы изменения полей, строительства зданий и сооружений, иначе говоря, землепользования, вставали перед учеными Античности. Вот несколько примеров.
Следующая задача из вавилонской таблицы BM 85200 свидетельствует о том, что люди не только изображали геометрический план, но и руководствовались непосредственным видом местности.
Вы уже, наверное, поняли, что стиль письма математиков Вавилона чем-то схож с телеграфным. Так, эту же задачу можно переформулировать следующим образом:
Задача сопровождается подробным решением, в результате чего получаются следующие ответы: длина – 1/2, ширина – 1/3, глубина – 6.
Перенесемся теперь в долину р. Нил. И конечно же, речь пойдет о пирамидах. Следующая загадка обнаружена на известном папирусе под авторством Ахмеса приблизительно XVI в. до н. э.
Локоть, ладонь и палец равны соответственно 52,5 см, 7,5 см и 1,88 см. Ахмес приводит решение: 93 локтя 1/3. В этом же папирусе переписчик также приводит задачу с окружностью.
Кхет – это также мера величины, равная приблизительно 52,5 метра. Чтобы разрешить эту задачу, Ахмес утверждает, что площадь такого круглого поля равна площади квадратного поля со стороной 8 кхет. Такое соответствие очень удобно, т. к. намного проще рассчитать площадь квадрата, чем круга. Таким образом, площадь квадрата составит 8 × 8 = 64. Последователи Ахмеса, однако, обнаружили, что полученный им результат не совсем точен. Площадь круга и квадрата не полностью соответствуют друг другу. Многие в дальнейшем – напрасно и вместе с тем целенаправленно – прилагали усилия, пытаясь ответить на вопрос: как начертить квадрат, площадь которого соответствует площади круга. Ахмес, не осознавая этого, сделал первую попытку ответить на вопрос, над которым ломали голову многие математики: определение квадратуры круга!
В Китае также занимались вопросом определения площади круглых полей. Следующая задача была опубликована в первой части «Математики в девяти книгах».
Бю – мера величины, соответствующая 1,4 м. Как и в Египте, китайские математики допустили ошибку в параметрах данной фигуры. Сегодня нам уже известно, что условия этой задачи неверны, т. к. длина окружности диаметром 10 больше, чем 30. Тем не менее это не мешало китайским ученым определять примерную площадь (75 бю), а также пытаться решить даже более сложные задачи по определению площади колец!
Вызывает сомнение, были ли в Китае поля в форме колец, и можно предположить, что такие вопросы у ученых Срединной империи носили скорее теоретический характер в целях развития геометрии. Изучение геометрических фигур в той или иной степени необычных и нестандартных и по сей день является излюбленным времяпрепровождением математиков.
Говоря о профессиях, связанных с геометрией, необходимо также упомянуть так называемых бематистов (шагомеров). В то время как землемеры и натягиватели веревок измеряли поля и здания, бематистов интересовали куда большие величины. В Греции люди этой профессии измеряли своими шагами длинные расстояния.
Иногда измеряемые расстояния были огромными. Так, в IV в до н. э. Александр Македонский взял с собой несколько бематистов в кампанию по Азии и дошел с ними до границ современной Индии. Длина этого маршрута составила тысячи километров, которые были шаг за шагом измерены бематистами.
Попробуйте мысленно воспарить и представить, как странно выглядело с высоты птичьего полета это ритмичное движение людей, пересекающих обширные пейзажи Ближнего Востока, равнины Верхней Месопотамии, засушливые желтые пески Синайского полуострова, плодородные берега Нила, а затем, уже в другом направлении, храбро покоряющих горы Персидской империи и пустыни территории современного Афганистана. Невозмутимо шагали они, в монотонном ритме двигаясь через гигантские горы Гиндукуш навстречу Индийскому океану, и неутомимо считали шаги.
Представленная картина поражает, а несоразмерность этого замысла кажется безумием. Как это ни странно, полученные измерения были достаточно точными и отклоняются от современных данных не более чем на 5 %! Благодаря работе, проделанной бематистами Александра Великого, стало возможно впервые в истории создать карту империи такого масштаба.
Двумя веками позже в Египте ученый греческого происхождения Эратосфен реализовал значительно более сложный проект, а именно измерил окружность Земли. Вот это да! Разумеется, не было и речи о том, чтобы бедные бематисты прошагали всю планету. Между тем, благодаря своим наблюдениям разницы в отклонении солнечных лучей между Сиеной (современный Асуан) и Александрией, Эратосфену удалось подсчитать, что расстояние между двумя городами составляет одну пятидесятую окружности Земли.
Вполне естественно, что ученый обратился за помощью бематистов для того, чтобы сделать измерения. В отличие от своих товарищей по профессии из Греции, бематисты из Египта использовали для измерений сопровождавших их в пути верблюдов и их шаги, соответственно. Эти животные известны равномерностью своих шагов. После длительного перехода вдоль Нила удалось подсчитать, что расстояние между городами составляет 5000 стадий (мера длины в Античности), а длина окружности всей планеты – 250 000 стадий, или 39 375 км. Еще раз хочется отметить, с какой потрясающей точностью были сделаны эти расчеты, т. к. по самым точным современным измерениям длина окружности Земли равна 40 008 км. Таким образом, подсчеты Эратосфена отличаются менее чем на 2 %!
Быть может, более всех других цивилизаций Античности греки особенно выделяли геометрию в своей культуре. Эта наука известна своей строгостью и способностью формировать сознание. Платон считал, что изучение геометрии – это обязательное условие для того, чтобы стать философом. Легенда гласит, что на входе в Академию, возглавляемую Платоном, был высечен девиз: «Не геометр да не войдет».
Геометрия становится все более и более популярной еще и за счет своего междисциплинарного положения. Так, арифметические свойства чисел могут интерпретироваться на языке геометрии. Вот, например, определение Евклида из седьмой книги его главного труда «Начала», датируемого III в. до н. э.
Если умножить 5 на 3, числа 5 и 3 будут называться в терминологии Евклида «сторонами» произведения. Почему так? Все потому, что произведение может быть изображено как площадь прямоугольника. Если его ширина будет равна 3, а длина – 5, то площадь поверхности будет равна 5 × 3. Так, числа 3 и 5 являются сторонами прямоугольника. Результат перемножения, 15, называется «планом», поскольку соответствует по своим размерам площади фигуры.
Подобные конструкции применимы и для других геометрических фигур. Так, число называется треугольным, если оно может быть представлено в виде… треугольника. Первые треугольные числа: 1, 3, 6 и 10.
Последний из изображенных треугольник, состоящий из десяти точек, есть не что иное, как тетрактис, который Пифагор и его последователи считали символом космической гармонии. Аналогичным образом выделяются квадратные числа, среди которых первыми являются 1, 4, 9, 16.
Можно продолжать выделять соответствие между числами и фигурами. Геометрические изображения чисел позволили сделать наглядными определенные их свойства, которые ранее казались непостижимыми.
Например, вы никогда не пробовали сложить подряд идущие нечетные числа, один за другим: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + …? Нет? Тогда попробуйте, и вы заметите удивительную закономерность:
Вы обратили внимание на особенность получившегося ряда чисел? Последовательно идущие числа: 1, 4, 9, 16… Это же квадратные числа!
И вы можете еще долго выстраивать этот ряд – закономерность будет всегда верной. Попробуйте сложить нечетные числа от 1 до 19, и, если у вас хватит терпения, вы обнаружите, что получившееся число 100 – это десятое по счету квадратное число:
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 10 × 10 = 100.
Удивительно, не правда ли? Но почему это именно так? Как удивительным образом получается именно такая закономерность? Можно доказать ее, используя только числа. Но есть способ еще проще. С помощью геометрического рисунка достаточно изобразить квадратные числа, как это показано ниже, и все становится очевидным.
Каждая последующая линия добавляет нечетное число шаров и тем самым увеличивает на одну единицу сторону получившегося квадрата. Доказательство просто и ясно.
Таким образом, геометрия занимала главенствующее положение в математике, и ни одна гипотеза не могла быть подтверждена без соответствующего геометрического доказательства. Гегемония геометрии продлилась намного дольше, чем сама эпоха Античности и существование греческой цивилизации. Пройдет почти две тысячи лет, прежде чем в эпоху Возрождения ученые начнут активно развивать новое направление математики, в результате чего геометрия уступит свое место новому языку: языку алгебры.
4
Время теорем
На дворе начало мая. Около двенадцати часов дня, и Солнце находится в зените над парком Ла-Виллет на севере Парижа. Прямо передо мной расположился Городок науки и техники, на входе в который находится «Жеод». Этот необычный кинотеатр, построенный в середине 1980-х, выглядит как гигантский зеркальный шар диаметром тридцать шесть метров.
Кинотеатр привлекает многочисленных туристов с фотоаппаратами в руках, которые пришли посмотреть на необычную достопримечательность Парижа. Целые семьи прогуливаются здесь в эту среду. Влюбленные пары сидят в тени деревьев и гуляют, держась за руки. Тут и там бегущие по парку люди разрезают своим движением толпы людей, которые расступаются в разные стороны, и в спешке бросают взгляд на эту необычную зеркальную сферу. Вокруг дети с интересом рассматривают искаженное изображение окружающего их мира.
Меня же интересуют в первую очередь геометрические параметры данного сооружения. Я подхожу ближе, чтобы рассмотреть его. Поверхность сферы состоит их тысяч треугольных зеркал, связанных между собой. На первый взгляд может показаться, что все элементы идеально соединены друг с другом. Но уже спустя несколько минут многочисленные отклонения становятся заметными. Вокруг некоторых точек вблизи становится очевидным, что примыкающие к ним треугольники отличаются по форме от остальных. В то время как практически все треугольники сгруппированы по шесть вокруг одной точки, есть приблизительно дюжина точек, вокруг которых находится только пять треугольников.
Эти отклонения практически незаметны на первый взгляд. Большинство людей не обращают на них внимания, но вот для меня как математика в этом нет ничего удивительного. Я скажу даже более, я ожидал их найти! Архитектор не допустил ошибки – в мире существует множество других строений аналогичной конфигурации, где возле около дюжины точек группируются по пять элементов, в отличие от шести во всех остальных случаях. Эти точки являются результатом важных геометрических открытий, сделанных более чем две тысячи лет назад древнегреческими математиками.
Теэтет Афинский – древнегреческий математик, живший в IV в. до н. э., – разработал теорию правильных многогранников. В геометрии многогранник – это фигура, объем которой ограничен плоскими гранями. Так, куб и пирамида – это примеры многогранников. Шар и цилиндр, в отличие от многогранников, имеют округлую поверхность. «Жеод», состоящий из треугольников, также является гигантским многогранником, несмотря на то, что из-за большого количества элементов выглядит похожим на сферу.
Теэтет изучал также абсолютно симметричные многогранники, т. е. объемные фигуры с одинаковыми гранями. В результате его исследований был сделан неожиданный вывод: всего существует пять таких многогранников. Только пять! И не более.
По сей день в математике используются исторические названия многогранников в соответствии с количеством их граней – слова с греческим суффиксом «-эдр». Так, куб, состоящий из шести квадратных граней, называется в геометрии гексаэдром. Тетраэдр, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр состоят из четырех, восьми, двенадцати и двадцати граней соответственно. Позже они получили название «платоновы тела».
Платоновы? Но почему не теэтетовы? История зачастую несправедлива, и первооткрыватели не всегда получают причитающиеся им по заслугам почести от современников. Платон прославился не тем, что он открыл данные многогранники, но тем, что стал ассоциировать их со стихиями: огонь – с тетраэдром, землю – с гексаэдром, воздух – с октаэдром, а воду – с икосаэдром. Что же касается додекаэдра, то его античный философ ассоциировал с материей, из которой состоит сама Вселенная. Эта теория впоследствии была заброшена наукой, но спустя столетия правильные многогранники по-прежнему носят название платоновых тел.
Чтобы быть до конца откровенным, следует отметить, что и Теэтет не был первым, кто открыл пять правильных многогранников. Были найдены их еще более ранние примеры. На территории современной Шотландии обнаружена коллекция миниатюрных камушков в форме платоновых тел, созданных за тысячу лет до того, как древнегреческий математик сделал свое открытие! Эти экспонаты сегодня хранятся в музее Эшмола в Оксфорде.
Так не заслуживал ли Теэтет звания первооткрывателя больше, чем Платон? Или все же нет? Не совсем так, ведь даже если принять во внимание, что эти геометрические фигуры открыли еще до Теэтета, он был первым, кто заявил о том, что их всего пять. Бесполезно сегодня пытаться определить, кто же все-таки был первым. Это утверждение, хоть и кажется убедительным, оставляет место сомнениям. Эх! В этом весь вопрос.
Данный исторический этап известен тем, что в это время древнегреческие математики начали заниматься новым направлением в науке. С этих пор для них стало недостаточным просто ответить на вопросы. Математики стремились найти исчерпывающие ответы. Они хотели быть уверенными в том, что ничто не ускользнуло от их внимания, и для этого стремились достичь совершенства в искусстве математики.
Вернемся к «Жеоду». Подтверждение открытия Теэтета налицо: невозможно создать правильный многогранник, состоящий из сотен граней. Как же быть архитектору, который хочет возвести строение, максимально приближенное по своему виду к идеальной сфере? С технической точки зрения крайне затруднительно создать такое сооружение монолитным. Таким образом, не остается ничего другого, кроме как собрать его из маленьких элементов. Но как получить такую структуру?
Можно сделать это несколькими способами. Например, можно взять одно из платоновых тел и немного его доработать. Возьмем, скажем, икосаэдр. Состоящий из восьми треугольных граней, он наиболее приближен по форме к шару из пяти платоновых тел. Далее необходимо разбить каждую из его граней на несколько более мелких. Форма полученного многогранника может быть далее изменена таким образом, как если бы в него надули воздух. Форма полученного многогранника становится ближе к форме шара.
Вот как будет выглядеть икосаэдр, если каждую из его граней разделить на четыре треугольника.
Такой многогранник называется в геометрии… жеод (gÉode). Поэтому, этимология названия этой фигуры связана с названием Земли, иначе говоря, сферы. В этом нет ничего сложного. Именно по такому принципу был построен «Жеод» в парке Ла-Виллет! Грани в данном случае разделены на большее количество треугольников, а точнее, каждая грань – на 400 треугольников, что в сумме дает 8000 маленьких элементов!
Фактически «Жеод» состоит из чуть меньшего количества граней, а именно 6433, т. к. его основание, расположенное на земле, частично усечено, вследствие чего часть граней отсутствует. Тем не менее его форма позволяет объяснить наличие двенадцати отличающихся точек. Эти элементы являются не чем иным, как двенадцатью вершинами икосаэдра, являвшегося основой для данного многогранника. Иными словами, в этих местах соединялись грани-треугольники первоначального икосаэдра. Эти вершины, которые изначально явно выделялись, после последовательного разделения граней на все большее и большее количество маленьких треугольников стали практически незаметными. Но их присутствие остается неизменным, и внимательный прохожий всегда обратит свое внимание на двенадцать отклонений.
Теэтет, разумеется, не мог предположить, что его исследования позволят со временем построить такие грандиозные сооружения, как «Жеод». И это потрясающее свойство математики, заключающееся в том, что она способна бесконечно развиваться, подметили еще древнегреческие ученые. Они начали постепенно формулировать конкретные вопросы с тем, чтобы создать абсолютно новые и вдохновляющие математические модели. Даже несмотря на то, что эти модели часто казались неприменимыми в то время, когда их разрабатывали, зачастую они становились актуальными спустя уже много лет после смерти своих первооткрывателей.
По сей день примеры платоновых тел можно найти в совершенно разных областях. Так они применяются в качестве формы игральных костей в некоторых играх. Правильная форма обеспечивает равную вероятность выпадения значений, иными словами, каждая грань может выпасть с одинаковыми шансами. Все мы видели шестигранные кубики игральных костей, но более искушенные игроки знают, что в играх используются и остальные четыре типа правильных многогранников, обеспечивающих различную степень вероятности.
Немного дальше от «Жеода» я замечаю детей, играющих в футбол на лужайке в парке Ла-Виллет. Они, конечно же, не задумываются над этим, но и данная игра не появилась бы без открытия Теэтета. Обратили ли они внимание на геометрическую закономерность на их мяче? Большинство футбольных мячей состоят из двадцати шестиугольников и двенадцати пятиугольников. На классических мячах шестиугольники покрашены в белый цвет, а пятиугольники – в черный. И даже если на мяч нанесены какие-либо рисунки, присмотревшись, по швам на нем можно рассмотреть неизменные двадцать шестиугольников и двенадцать пятиугольников.
Усеченный икосаэдр! Так правильно называется форма футбольного мяча. И к его форме предъявляются те же требования, что и к «Жеоду»: форма должна быть наиболее приближена к шарообразной. Разница лишь в том, что создатели этой модели использовали иной способ. Вместо того, чтобы разделять грани, они просто-напросто обрезали вершины. Представьте себе икосаэдр, сделанный из пластилина, и мысленно отрежьте его вершины. После того, как отрезанные вершины будут удалены, на месте двадцати треугольников будут шестиугольники, а на месте удаленных вершин – пятиугольники.
А вот эта маленькая девочка с носовым платком в руках, которая встречается мне на пути на выходе их парка Ла-Виллет? Кажется, она не совсем здорова. Не стала ли она одной из жертв худшего из проявлений микроикосаэдров? Ряд микроорганизмов, таких как вирусы, от природы имеют форму икосаэдров или додекаэдров. Такую форму, например, имеют риновирусы, вызывающие многочисленные виды простуды.
Эти микроскопические существа приобрели такую форму по тем же причинам, которые вызвали преобразования в архитектуре и при создании мячей: с целью симметрии и экономии. Благодаря форме икосаэдра мячи состоят не более чем из двух различных типов граней. Аналогичным образом оболочка вируса состоит из нескольких типов молекул (четыре – для риновирусов), которые соответствуют друг другу, всегда повторяя то же строение. Генетический код, необходимый для создания такой оболочки, гораздо более краток и эффективен, чем при несимметричной форме вируса.
И снова Теэтет очень удивился бы, узнав, какие проявления могут быть у открытых им правильных многогранников.
Ну что ж, покидая парк Ла-Виллет, погрузимся в глубь веков. Почему математики Античности, такие как Теэтет, начали интересоваться теоретическими вопросами общего плана? Для того чтобы найти ответ, нам придется вернуться на несколько тысячелетий назад на восточное побережье Средиземного моря.
По мере того как цивилизации древнего Вавилона и Египта постепенно угасали, Античная Греция начиная с VI в. до н. э. находилась на пике культурного и научного развития. Философия, поэзия, скульптура, архитектура, театр, медицина и даже история – все эти дисциплины начинают расцветать в этот период. Даже сегодня удивительные достижения той эпохи потрясают своим величием и таинством. И в этом интеллектуальном подъеме одно из важнейших мест занимает математика.
Поделиться книгой: