Популярная физика. От архимедова рычага до квантовой механики

Важно помнить, что такие уравнения в физике включают в себя не только числа, но и единицы измерения. Таким образом, а в уравнении 2.1 не представляет собой число, например, скажем, 4, а представляет собой число и его единицы измерения — 4 фт/с2 — единицы измерения, соответствующие ускорению. Так же и t, которым обозначают время, представляет собой число и его единицы измерения, например три секунды (3 с). Рассчитывая at, мы умножаем 4 фт/с2 на 3 с, перемножая единицы измерения так же, как цифры. Преобразовывая единицы измерения так, как если бы они были дробями (другими словами, как если бы мы должны были умножить a/b2 на b), получаем произведение, равное 12 фт/с. Таким образом, умножение ускорения (а) на время (t) действительно дает нам скорость (v), а полученные единицы измерения фт/с, соответствующие скорости, подтверждают правильность нашего преобразования.

В любом уравнении в физике единицы измерения, находящиеся по обеим сторонам знака равенства, должны быть сбалансированы после того, как закончены все необходимые алгебраические преобразования. Если этот баланс не получен, то уравнение не соответствует действительности и не может быть названо верным. Если единицы измерения какого-либо из символов неизвестны, они могут быть определены посредством решения того, какой единицы недостаточно для того, чтобы сбалансировать уравнение (это иногда еще называют «анализом размерностей»).

Теперь, учитывая все предыдущее, рассмотрим шар, начинающий движение из состояния покоя и катящийся вниз по наклонной плоскости в течение t секунд. Так, шар начинает свое движение из состояния покоя, его скорость в начале временного интервала равна 0 фт/с. Согласно уравнению 2.1, в конце временного интервала во время / его скорость v равна at фт/с. Чтобы получить среднюю скорость на всем временном интервале равномерного увеличения скорости, мы берем сумму первоначальной и заключительной скорости (0 + at) и делим ее на 2. Таким образом, средняя скорость в течение временного интервала равна at/2. Расстояние (d), которое прошел шар за это время, должно быть равно средней скорости, умноженной на время, то есть at/2xt. Поэтому мы можем написать, что

d = at2/2, (Уравнение 2.2)

Я не буду пытаться проверять единицы измерения для каждого представленного в книге уравнения, но сделаю это для данного. Единицы измерения ускорения (а) — фт/с2, а единицы измерения времени (t) — с (секунды). Поэтому итоговые единицы измерения равны at2 — (фт/с2) ∙ с ∙ с, то есть (фт∙с2)/с2, упростив это выражение, получаем просто фт (футы). От деления на 2 at2 не изменяется, так же как с2, так как 2 в этом случае — «чистое число», то есть оно не имеет единиц измерения. (Так же как, если вы делите линейку длиной в фут на два, каждая половина имеет длину 12 дюймов, разделенных на 2 или на 6 дюймов. На единицу измерения это же не оказывает эффекта.) Таким образом, получающиеся единицы измерения at2/2 — фт (футы), что соответствует единицам, применяемым для измерения расстояния (d)[7].

Свободное падение

Как я сказал ранее, значение ускорения (а) шара, катящегося вниз по наклонной плоскости, изменяется в соответствии с углом наклона плоскости. Чем более крутая плоскость, тем больше значение а.

В результате экспериментов показано, что для данной наклонной плоскости значение а находится в прямой пропорциональной зависимости от отношения высоты поднятого конца плоскости к длине плоскости. Если вы обозначите высоту поднятого конца плоскости как Н, а длину плоскости как L, то предыдущее предложение можно выразить в математических символах как а ∞ gH/L. Где символ ∞ означает «находится в прямой пропорциональной зависимости от».

В такой прямой пропорции значение выражения на одной стороне изменяется в точном соответствии со значением выражения на другой стороне. Если H/L удваивается, то удваивается и а; если H/L делится пополам, то пополам делится и а; если H/L умножают на 2,529, то и а умножается на 2,529. Такой подход предполагается прямой пропорциональностью. Но предположите, что для некоего значения а значение H/L оказывается равным одной трети a. Если значение а изменяется каким-либо способом, значение H/L изменяется точно таким же способом, так что оно все равно остается равным третьей части значения а. В этом специфическом случае а — в три раза больше H/L, причем не только для этого набора значений, а для всех значений вообще.

Общее правило таково: если один член пропорции x находится в прямой пропорциональной зависимости от другого члена y, мы всегда можем заменить знак отношения на знак равенства, введя некоторое соответствующее постоянное значение (называемое «коэффициентом пропорциональности»), на которое нужно умножить у, чтобы получить х. Обычно вначале мы не знаем точное значение коэффициента пропорциональности. Так что имеет смысл обозначить его некоторым символом. Этот символ обычно k (от немецкого слова «Konstant»). Поэтому мы можем сказать, что если (x ~ y), то x = ky.

Нет никакой абсолютной необходимости использовать в качестве символа для коэффициента пропорциональности именно k. Например, скорость шара, катящегося из состояния покоя, находится в прямой пропорциональной зависимости от времени t, в течение которого он катился, а расстояние, на которое он переместился, d находится в прямой пропорциональной зависимости от квадрата того же времени; поэтому v ~ t и d = (at2)/2. В первом случае» однако, мы приняли для коэффициента пропорциональности специальное название — «ускорение» — и обозначили его a, в то время как во втором случае взаимосвязь с ускорением такова, что мы обозначили коэффициент пропорциональности как a/2. Таким образом, мы имеем, что v = at и d = (at2)/2.

В случае, который мы сейчас рассматриваем, значение ускорения a находится в прямой пропорциональной зависимости от H/L, коэффициент пропорциональности удобно символизировать буквой g. Поэтому мы можем сказать:

a = gH/L. (Уравнение 2.3) 

Обе величины — H и L измерены в футах. При делении H на L футы делятся на футы и единицы измерения пропадают. В результате мы имеем то, что отношение H/L является «чистым» числом и не привязано ни к каким единицам измерения. Но единицы измерения ускорения (g) — фт/с2. Чтобы поддержать баланс единиц измерения в уравнении 2.3, необходимо, чтобы единицы измерения g также были фт/с2, потому что H/L не вносит в уравнения никаких единиц измерения. Из этого мы можем заключить, что коэффициент пропорциональности g в уравнении 2.3 имеет единицы измерения как у ускорения и поэтому должен представлять собой ускорение.

Для того чтобы понять, что это значит, поднимаем выше один конец наклонной плоскости; чем более крутой мы делаем данную наклонную плоскость, чем больше высота ее поднятого конца, тем больше значение H. Длина же наклонной плоскости (L), конечно, не изменяется. Наконец, когда плоскость встала совершенно вертикально, высота поднятого конца равна полной длине плоскости, то есть H равняется L, a H/L равняется 1.

Шар, катящийся вниз по совершенно вертикальной наклонной плоскости, фактически находится в состоянии свободного падения. Таким образом, в свободном падении H/L равно 1, и уравнение 2.3 приходит к виду:

a = g. (Уравнение 2.4)

Все сказанное выше показывает нам на то, что g — не просто ускорение, а специфическое ускорение, которому подвергается тело, находящееся в свободном падении. Тенденция тел — иметь вес и падать на землю — результат свойства называемого «тяжестью» («gravity») (от латинского слова «тяжелый», поэтому для обозначения ускорения свободного падения используется символ «g»).

Если измерить действительное ускорение тела, катящегося вниз по любой данной наклонной плоскости, то можно получить цифровое значение g. Уравнение 2.3 может быть преобразовано в g = aL/H. Для данной наклонной плоскости можно легко измерить длину (L) и высоту (H) поднятого конца и, зная a, можно сразу определить g. Его значение оказывается равным 32 фт/с2 (по крайней мере, на уровне моря).

До этого места я в целях поддержания дружественных отношений использовал в качестве меры расстояния футы. Это — одна из общепринятых единиц измерения расстояния, используемых в Соединенных Штатах и Великобритании, и мы привыкли к ним. Однако ученые во всем мире используют метрическую систему мер, и мы уже достаточно далеко зашли в изучение предмета, чтобы, как мне кажется, быть способными присоединиться к ним в этом.

Ценность метрической системы в том, что ее различные единицы измерения связаны между собой простыми и логическими отношениями. Например, в обычной системе 1 миля равна 1760 ярдам, 1 ярд равен 3 футам и 1 фут равен 12 дюймам. Преобразование одной единицы измерения в другую — всегда трудная рутинная работа.

В метрической системе единица измерения расстояния — метр. Другие единицы измерения расстояния получаются путем умножения метра на 10 или на число, кратное 10. Благодаря такой системе написания чисел преобразование одной единицы измерения в другую в пределах метрической системы может быть выполнено простым изменением положения десятичной запятой.

Кроме того, в наборе используются стандартизированные префиксы — приставки. Приставка «деци-» всегда подразумевает 1/₁₀ стандартной единицы измерения, так что дециметр — 1/₁₀ метра. Приставка «гекто-» всегда подразумевает увеличение в 100 раз стандартной единицы измерения, так что гектометр — 100 метров. То же самое действительно и для других приставок.

Сам метр имеет длину 39,37 дюйма. Это делает его эквивалентом примерно 1,09 ярда, или 3,28 фута, две другие метрические единицы измерения, наиболее часто используемые в физике, — сантиметр и километр. Приставка «санти-» подразумевает 1/₁₀₀ стандартной единицы измерения, так что сантиметр — 1/₁₀₀ метра. Он эквивалентен 0,3937 дюйма, или приблизительно 2/₅ дюйма. Приставка «кило-» подразумевает 1000-кратное увеличение стандартной единицы измерения, так что километр равен 1000 метрам, или 100 000 сантиметрам. Длина километра — 39,370 дюйма, то есть примерно 5/₈ мили. Сокращения, обычно используемые для метра, сантиметра и километра, — это м, см и км соответственно.

Секунды, как основная единица измерения времени, используются в метрической системе так же, как и в обычной системе. Поэтому, если мы хотим выразить ускорение в метрических единицах измерения, мы должны использовать для этой цели «метры в секунду за секунду», или м/с2. Так как 3,28 фута равняется 1 метру, мы делим 32 фт/с2 на 3,28 и получаем, что в метрических единицах измерения значение g равно 9,8 м/с2.

Еще раз напомню о важности единиц измерения. Неправильно и некорректно говорить, что «значение g нравно 32» или «значение g равно 9,8». Отдельно взятое число не имеет в этой связи никакого значения. Нужно говорить или 32 фт/с2, или 9,8 м/с2.

Эти два последних значения абсолютно эквивалентны. Числовые части выражения могут быть различны, когда мы берем их самих по себе, но когда мы добавляем единицы измерения, они становятся идентичными величинами. Ни одна из них ни в коем случае не «более истинна» или «более точна», чем другая; выражение в метрических единицах измерения просто более удобно.

Мы всегда должны знать, какие единицы измерения используются. При свободном падении a равно g, так что уравнение 2.1 может быть написано (v = 32t), если мы используем обычные единицы измерения, и (v = 9,8t), если мы используем метрические единицы измерения. При записи уравнений в краткой форме единицы измерения не включаются, поэтому всегда имеется шанс некоей путаницы. Если вы попробуете использовать обычные единицы измерения в уравнении (v = 9,8t) или метрические единицы измерения в уравнении (v = 32t), вы получите результаты, которые не соответствуют действительности. По этой причине правила процедуры должны быть совершенно ясными и однозначными. В данной книге, например, впредь будет считаться само собой разумеющимся, что везде используется метрическая система, кроме тех случаев, когда я специально обговариваю иное.

Таким образом, мы можем сказать, что для тел, находящихся в состоянии свободного падения, из стартового состояния покоя:

v = 9,8t. (Уравнение 2.5)

Таким же образом, для такого тела уравнение 2.2 становится:

d = gt2/2,

или:

d = 4,9t2 (Уравнение 2.6)

В конце первой секунды, когда падающее тело пролетело 4,9 м, оно падает со скоростью 9,8 м/с. Через две секунды его перемещение уже равно 19,6 м, а скорость падения равна 19,6 м/с. Через три секунды расстояние, покрытое телом, уже равно 44,1 м, а падает оно со скоростью 29,4 м/с, и так далее[8].

Глава 3.

ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ

Инерция

Работы Галилео о падающих телах были систематизированы столетием позже английским ученым Исааком Ньютоном (1642–1727), который родился, как любят указывать, в год смерти Галилео.

Ньютон систематизировал свои знания в книге «Philosophlae naturalisprincipia mathematical («Математические принципы естественной философии»), которая была издана в 1687 году. Книга обычно упоминается просто как «Principia» («Принципы»). Аристотелевская модель физической Вселенной лежала в руинах почти сотню лет, и именно Ньютон теперь заменил ее новой, более точной и более пригодной моделью. Основу новой картины Вселенной составляют три важных научных обобщения относительно движения, которые обычно называются «три закона движения Ньютона»[9].

Его первый закон движения можно выразить следующим образом:

«Тело остается в покое или, если оно уже в движении, остается в равномерном прямолинейном движении, если на него не воздействуют неуравновешенной внешней силой».

Как вы можете видеть, этот первый закон вступает в противоречие с аристотелевским предположением о «естественном месте» вместе с его заключением, что естественным состоянием объекта является состояние покоя на его естественном месте.

В ньютоновском представлении — для любого объекта не существует никакого естественного места. Везде, где объект находится вне действия какой-либо силы[10], он остается в покое. Кроме того, если он находится в движении без воздействия на него какой-либо силы, то он и останется в этом движении навсегда, не выражая никакого «желания» перейти в состояние покоя. (В данный момент я не даю определения понятию «сила», думаю, что вы, несомненно, уже имеете хотя бы грубое представление о том, что этот термин означает; надлежащее определение будет приведено позже.)

Эта тенденция движения (или покоя) к сохранению своего «устойчивого» состояния без воздействия некой внешней силы может рассматриваться как своего рода «лень» или нежелание перемен. И действительно, первый закон движения обычно еще называют принципом инерции, от латинского слова, означающего «безделье» или «лень». (Привычка к приписыванию человеческих побуждений или эмоций неодушевленным объектам называется «персонификация». Это плохая привычка в науке, хотя и весьма общеупотребимая, я же побаловался ею здесь только для того, чтобы объяснить слово «инерция».)

На первый взгляд принцип инерции не кажется почти столь же самоочевидным, как аристотелевское предположение о «естественном месте». Мы можем видеть собственными глазами, что перемещающиеся объекты действительно имеют тенденцию останавливаться, даже если мы не видим ничего, что могло бы остановить их. Опять же, если камень выпущен в воздушном пространстве, он начинает перемещаться и продолжает перемещаться все быстрее и быстрее, несмотря на то что мы не видим ничего, что вызывало бы это движение. Если принцип инерции верен, мы должны желать допустить присутствие неких тонких сил, которые не проявляют столь очевидно своего существования.

Например, хоккейная шайба, получив быстрый толчок, по тротуару или цементной площадке будет двигаться по прямой линии, но будет делать это с так быстро уменьшающейся скоростью, что скоро остановится. Если той же самой шайбе дают тот же самый быстрый толчок, но на гладком льду, то она будет двигаться намного дальше, опять же по прямой линии, но на сей раз — с медленно уменьшающейся скоростью. Если мы еще поэкспериментируем, то достаточно быстро выясним, что чем более шершавая поверхность, по которой перемешается шайба, тем быстрее она остановится.

Кажется, что крошечные неровности грубой поверхности цепляются за крошечные неровности хоккейной шайбы и замедляют движение. Это «цепляние» одних неровностей за другие называется «трением» (friction) (от латинского слова, означающего «трется»), и это трение действует в качестве силы, которая замедляет движение шайбы. Чем меньше трение, тем меньше сила трения и тем медленнее уменьшается скорость шайбы. На очень гладкой поверхности, типа упомянутого выше льда, трение настолько мало, что шайба перемещается на большие расстояния. Если мы представим себе горизонтальную поверхность без трения вообще, то хоккейная шайба будет перемещаться по этой поверхности по прямой линии с постоянной скоростью, вечно.

Ньютоновский принцип инерции действует поэтому только в несуществующем, идеальном мире, в котором никаких вмешивающихся сил не существует: нет ни трения, ни сопротивления воздуха.

Далее давайте рассмотрим камень, находящийся в воздушном пространстве. Он находится в состоянии покоя, но в момент, когда мы отпускаем его, начинает двигаться. Ясно, тогда должна иметься некоторая сила, которая заставит его двигаться, так как принцип инерции требует, чтобы при отсутствии силы тело осталось в покое. Так как движение камня, если он просто отпущен, происходит всегда в направлении земли, то и сила должна быть направлена туда же. Так как свойство, которое заставляет камень подать, долго называли «тяжестью» (gravity), было естественным назвать силу, которая вызвала это движение, «силой тяготения» (гравитационной силой), или «силой тяжести».

Поэтому казалось бы, что в доказательстве принципа инерции существует некий «порочный круг». Мы начинаем, заявляя, что тело будет вести себя некоторым способом, если на него не действует никакая сила. Затем всякий раз, когда выясняется, что тело не ведет себя таким «предсказанным» образом, мы изобретаем силу, чтобы объяснить это отклонение.

Такая круговая аргументация была бы действительно плоха, если бы мы приступали к доказательству первого закона Ньютона, но мы не делаем этого. Ньютоновские законы движения представляют собой предположения и определения и не требуют доказательств. В частности, понятие «инерция» — такое же предположение, как и понятие Аристотеля о «естественном месте». Однако между ними существует разница: принцип инерции доказал свою чрезвычайную полезность в изучении физики в течение почти трех столетий и не вовлек физиков ни в какие противоречия. Именно по этой причине (а не из каких-либо соображений «правды») физики продолжают держаться за законы движения.

Безусловно, новое релятивистское представление о Вселенной, выдвинутое Эйнштейном, однозначно дает понять, что в некоторых отношениях ньютоновские законы движения — только результат аппроксимации, приближение. При очень больших скоростях и очень больших расстояниях аппроксимации значительно расходятся с действительностью. Однако при обычных скоростях и расстояниях аппроксимации чрезвычайно хороши[11].

Силы и векторы

Термин «сила» происходит от латинского слова, обозначающего «силу», и мы знаем его обычное значение, когда говорим о «силе обстоятельств», «силе аргументов» или «военной силе». В физике, однако, сила определена ньютоновскими законами движения. Сила — то, при приложении чего может произойти изменение скорости движения материального тела.

Мы ощущаем такие силы обычно (но не всегда) как мускульные усилия. Мы сознаем, кроме того, что они могут быть приложены в определенных направлениях. Например, мы можем приложить силу к объекту, находящемуся в состоянии покоя, таким образом, чтобы заставить его двигаться от нас. Или мы можем приложить подобную же силу таким способом, чтобы заставить его двигаться к нам. Когда направления приложения силы ясно видны, в обычной разговорной речи мы даем таким силам два отдельных названия. Сила, направленная непосредственно от нас, — толчок; направленная непосредственно к нам — рывок. По этой причине сила иногда определяется как «толчок или рывок», но это не является определением, а только сообщает нам, что данная сила является одним или другим видом силы.

Величина, которая обладает и размером и направлением, как сила, называется «векторной величиной» или просто — «вектором». Та же величина, которая имеет только размер, называется «скалярной величиной». Например, с расстоянием обычно обращаются как со скалярной величиной. Можно сказать, что автомобиль прошел расстояние в 15 миль — при этом не учитывается направление, в котором он путешествовал.

С другой стороны, при некоторых обстоятельствах важное значение имеет объединить направление с расстоянием. Если город B находится на 15 миль к северу от города A, то недостаточно направить автомобилиста, указав расстояние в 15 миль, чтобы он мог достигнуть города В. Необходимо определить направление движения. Если он поедет 15 миль на север, он туда доберется, если же он проедет те же 15 миль на восток (или в любом другом направлении, кроме северного), он туда не попадет. Если мы назовем комбинацию размера пройденного расстояния и направления движения «перемещением», то можно сказать, что перемещение — векторная величина (или просто — вектор).

Важность понимания различий между векторами и скалярами состоит в том, что эти два вида величин управляются по-разному. Например, при сложении скаляров достаточно использовать обычное правило сложения, преподаваемое в начальной школе. Если вы путешествуете 15 миль в одном направлении, потом — 15 миль в другом направлении, полное расстояние, пройденное вами, равно 15 плюс 15, или 30 милям. Безотносительно направления полное расстояние равно 30 миль. Если вы перемещаетесь на 15 миль на север, потом — еще на 15 миль на север, то полное перемещение составляет: север — 30 миль. Предположим, однако, что вы путешествуете 15 миль на север, а потом 15 миль на восток. Чему же тогда равно ваше полное перемещение? Как далеко, другими словами, находитесь вы от своей отправной точки? Полное расстояние, которое вы прошли, — по-прежнему те же 30 миль, но ваше окончательное перемещение: северо-восток — 21,2 мили. Если вы путешествуете на север на 15 миль, а затем на юг на 15 миль, расстояние, которое вы прошли, — по-прежнему те же 30 миль, но ваше окончательное перемещение составляет 0 миль, поскольку вы вернулись назад к вашей отправной точке.

Скаляр и вектор

Таким же образом, имеется обычное приращение — скалярное и «приращение векторное». Обычное приращение 15 + 15 — всегда равно 30; в векторном приращении 15+15 может быть равно чему угодно в пределах от 0 до 30, в зависимости от обстоятельств.

Так как сила — вектор, две силы складываются вместе согласно правилам сложения векторов. Если одна сила прикладывается к телу в одном направлении, а другая, равная ей сила прикладывается в противоположном направлении, сумма этих двух сил равна нулю; в таком случае, несмотря на то что силы приложены, тело, к которому они приложены, не изменяет свою скорость. Если оно находится в состоянии покоя, то оно и остается в покое. Фактически в каждом случае, когда тело в реальном мире находится в состоянии покоя, мы можем быть уверенными, что это не подразумевает, что не имеется никаких сил, которые могли бы изменить его состояние. Всегда на него действуют какие-либо силы (сила тяготения, как минимум). Если тело находится в состоянии покоя или постоянного движения, то это потому, что имеется более чем одна сила, и векторная сумма всех приложенных сил равна нулю.

Если векторная сумма всех приложенных к телу сил не равна нулю, то имеется неуравновешенная сила (упомянутая в моем определении первого закона Ньютона), или суммарная сила. Надо понимать, что всякий раз, когда я говорю о силе, приложенной к телу, я подразумеваю равнодействующую (результирующую) силу.

Специфическая сила может оказывать один из нескольких эффектов на перемещающееся тело. Сила тяжести, например, направлена вниз, к земле, и падающее тело, перемещающееся в направлении гравитационного притяжения, двигается со все возрастающей скоростью, испытывая при этом ускорение в 9,8 м/с2.

Тело, брошенное вверх, наоборот, перемещается в направлении, противоположном направлению силы тяжести. Следовательно, его как будто тянет назад силой, заставляя перемещаться все медленнее. Это, наконец, приводит к тому, что тело останавливается, полностью изменяет свое направление движения и начинает падать. Такое изменение скорости может называться «замедлением» или «отрицательным ускорением». Однако было бы удобно, если бы специфическая сила, как та, которую мы рассматриваем, производила бы специфическое ускорение. Чтобы избежать разговоров о замедлении, мы вместо этого будем говорить об отрицательной скорости.

Другими словами, будем считать, что скорость является вектором. Это означает, что движение со скоростью 40 м/с вниз — не идентично движению со скоростью 40 м/с вверх. Самый простой способ обозначить различия между противоположными величинами состоит в том, чтобы обозначить одну величину положительным, а другую отрицательным значением. Поэтому будем говорить, что нисходящее движение равно +40 м/с, а восходящее равно -40 м/с.

Так как нисходящая сила порождает и нисходящее ускорение[12] (ускорение также является вектором), мы можем выразить размер ускорения, вызванного действием силы тяжести, не как просто 9,8 м/с2, но и как +9,8 м/с2.

Если тело перемещается со скоростью +40 м/с (вниз, другими словами), эффект ускорения должен увеличить это число. Сложение двух положительных чисел векторным способом дает результат, аналогичный полученному от обычного сложения, поэтому после первой секунды тело перемещается со скоростью +49,8 м/с, после другой секунды +59,6 м/с и так далее. Если, с другой стороны, тело перемещается со скоростью -40 м/с (вверх), векторное сложение положительной и отрицательной величин аналогично обычному вычитанию, поскольку изменяется только сама величина. Таким образом, после первой секунды тело будет перемещаться со скоростью -30,2 м/с, после двух секунд -20,4 м/с и после четырех секунд -0,8 м/с. Вскоре после четырехсекундной отметки тело достигнет скорости 0 м/с, и в этой точке оно придет к мгновенной остановке. Тогда оно начнет падать, и после пяти секунд его скорость будет +9,0 м/с.

Как мы можем видеть, ускорение, вызванное силой тяжести, одно и то же независимо от того, перемещается ли тело вверх или вниз, и все же имеются различия в этих двух случаях. Тело покрывает все большее расстояние за каждую секунду нисходящего движения, но все меньшее расстояние за каждую секунду восходящего движения. Величина расстояния, которое проходит тело за единицу времени, мы называем «скоростью»[13].

В разговорной речи скорость и векторная скорость — синонимы, другое дело — в физике. Скорость — скалярная величина и не включает в себя направление. Объект, перемещающийся на север со скоростью 16 м/с движется с той же скоростью, что и объект, перемещающийся на восток со скоростью 16 м/с, но эти два объекта перемещаются с различной векторной скоростью. При определенных обстоятельствах можно направить силу таким образом, чтобы заставить тело двигаться кругами. Скорость в таком случае может не изменяться вообще, но векторная скорость (которая включает в себя направление) будет постоянно меняться.

Из этих двух терминов термин «векторная скорость» используется физиками намного чаще, поскольку это — более широкий и более удобный термин. Например, мы могли бы определять силу как «то, что изменяет скорость тела или направление его движения, или и то и другое» или как «то, что изменяет вектор скорости тела» — это более краткая, но сохраняющая первоначальное значение фраза.

Так как изменение в скорости — это ускорение, мы могли бы также определять силу как «то, что прикладывает ускорение к телу, причем ускорение и сила приложены в одном том же направлении».

Масса

Первый закон Ньютона объясняет концепцию силы, но, чтобы позволить нам измерить величину силы, необходимо еще что-то. Если мы определяем силу как то, что порождает ускорение, казалось бы логичным измерить размер силы размером ускорения, которое ее вызывает. Это имеет смысл, когда мы ограничиваем себя рассмотрением одного специфического тела, например баскетбольного мяча. Если мы толкаем баскетбольный мяч по земле с постоянной силой, он перемещается все быстрее и после десяти секунд такого перемещения развивает скорость, например, 2 м/с. Его ускорение — 2 м/с поделить на 10 секунд — 0,2 м/с2. Но если вы опять начнете с нуля и будете толкать мяч не так сильно, то после десяти секунд баскетбольный мяч будет перемешаться со скоростью только 1 м/с и поэтому подвергнется ускорению, равному только лишь 0,1 м/с2. Так как в первом случае ускорение в два раза больше, чем во втором, кажется справедливым предположить, что и сила в первом случае была в два раза больше, чем во втором.

Но если бы вы попробовали применить те же самые силы к твердому пушечному ядру вместо баскетбольного мяча, то обнаружили бы, что пушечное ядро не будет подвержено таким же ускорениям, как указаны выше. Потребуется применить гораздо большую силу для того, чтобы вообще заставить пушечное ядро двигаться.

Опять же, когда баскетбольный мяч катится со скоростью 2 м/с, вы можете достаточно легко его остановить. Изменение скорости с 2 м/с до 0 м/с требует приложения силы, и вы вполне можете создать достаточную силу, чтобы остановить баскетбольный мяч. Или вы можете пнуть баскетбольный мяч во время его движения и таким образом заставить его изменить направление движения. Пушечное же ядро, перемещающееся со скоростью в 2 м/с, однако, может быть остановлено только приложением очень большого усилия, и, если пнуть его во время движения, это изменит его направление весьма незначительно (а вы отобьете ногу).

Пушечное ядро, другими словами, ведет себя так, как если бы оно обладало большим количеством инерции, чем баскетбольный мяч, и поэтому требует соответственно большего количества силы для получения заданного ускорения. Ньютон использовал термин «масса», чтобы указать величину инерции, которой обладает тело. Таким образом, его второй закон движения гласит: «Ускорение, полученное в результате действия какой-либо силы, действующей на тело, — прямо пропорционально величине этой силы и обратно пропорционально массе тела».

Как я уже объяснил, когда x считают прямо пропорциональным к y, это означает, что x = ky. С другой стороны, если мы говорим, что х является обратно пропорциональным к другой величине, например z, то мы подразумеваем, что любое увеличение z приводит к уменьшению х на соответствующую величину, и наоборот. Таким образом, если z увеличена в три раза, х получается равным 1/₃; если z увеличена в одиннадцать раз, x получается равным 1/₁₁, и так далее. Математически это понятие обратной пропорции наиболее просто может быть выражено как x ~ 1/z, тогда, когда z равно 3, х равна 1/₃, когда z удваивается до 6, x в два раза уменьшается и становится равным 1/₆ и так далее. Мы можем заменить пропорциональность на равенство, умножив какую-либо часть на константу таким образом, чтобы величина x была обратно пропорциональна z, то есть x = ky/z. Но если x является одновременно прямо пропорциональной к y и обратно пропорциональной к z, то это означает, что x = ky/z.

Учитывая это, давайте обозначим ускорение как a, величину силы как f, а массу тела как m. Тогда второй закон движения Ньютона приобретает такой вид:

a = kf/m (Уравнение 3.1)

Давайте теперь рассмотрим единицы, в которых будем измерять каждую из величин, начиная с массы, так как мы пока еще не упоминали ее в этой книге. Вы можете подумать, что, если я говорю, что пушечное ядро более массивно, чем баскетбольный мяч, я подразумеваю, что оно и более тяжелое. На самом деле я так не делаю. «Массивный» — не то же самое, что «тяжелый», и «масса» — не то же самое, что «вес», как я объясню вам чуть позже в этой книге. Однако между этими двумя концепциями имеется некоторое подобие, и их часто путают. В повседневной жизни, по мере того как тела становятся более массивными, они также становятся и более тяжелыми, кроме того, физики тоже внесли свой «элемент беспорядка», используя для измерения массы тела единицы, которые нефизики обычно считают единицами веса.

В метрической системе измерений приняты две основные единицы измерения массы тела — грамм (г) и килограмм (кг). Грамм — мелкая единица измерения массы. Например, кварта молока имеет массу приблизительно 975 граммов. Килограмм, как вы и можете ожидать (от приставки), равен 1000 граммам и, таким образом, представляет собой массу чуть больше, чем кварта молока.

(В обычных единицах массу часто представляют в виде «унций» и «фунтов», эти единицы также используют и для веса. В этой книге, однако, я буду ограничиваться метрической системой, насколько это представится возможным, и буду использовать обычные единицы, например кварты, только тогда, когда они действительно необходимы для ясности.)

При измерении величины силы необходимо рассматривать две величины: ускорение и массу. При использовании метрических единиц ускорение обычно имеет размерность м/с2 или см/с2, в то время как масса измеряется в г или кг. Традиционно всякий раз, когда расстояние дается в метрах, масса дается в килограммах, то есть в сравнительно больших единицах. С другой стороны, всякий раз, когда расстояние дается в сравнительно мелких единицах — сантиметрах, масса тоже дается в сравнительно мелких единицах — граммах. В любом из указанных случаев единица времени — секунда.

Следовательно, единицы измерения многих физических величин могут быть составлены из сантиметров, граммов и секунд в различных комбинациях или из метров, килограммов и секунд в различных комбинациях. Первый вариант известен как система СГС, второй вариант — как система МКС. Еще полвека назад более часто использовали систему СГС, но теперь более популярной стала система МКС. В этой книге я буду использовать обе системы.

В системе СГС за единицу силы принята такая сила, которая заставляет тело массой 1 г двигаться с ускорением 1 см/с2. Поэтому единицы размерности там 1 см/с2, умноженный на 1 г. (При умножении двух алгебраических величин a и b мы можем выразить произведение просто как ab. Мы обращаемся с единицами измерения так, как если бы они были алгебраическими величинами, но, поскольку прямое присоединение одних слов к другим выглядит запутывающе, я буду использовать дефис, который, в конце концов, обычно и используется, чтобы присоединить одни слова к другим). Таким образом, единица силы, равная произведению 1 см/с2 на 1 г, будет называться 1 г∙см/с2 (грамм-сантиметр в секунду за секунду. — Пер.). Единица силы, г∙см/с2, часто используется физиками, но так как звучит она довольно «громоздко», то для этого выражения было придумано более короткое название «дина» (от греческого слова, означающего «сила»).

Теперь давайте решим уравнение 3.1 для k. Получается, что:

k = ma/f (Уравнение 3.2)

Значение k остается одним и тем же для любого совместимого набора значений a, m и f, так что мы также можем брать простые числа. Предположим, что мы присваиваем т значение, равное 1 г, а a — равное 1 см/с2. Количество силы, которое соответствует такой массе и ускорению, по нашему определению, 1 г∙см/с2 (или 1 дина).

Подставив эти значения в уравнение 3.2, мы получаем, что:

k = (1 см/с2 ∙ 1 г)/( 1 г∙см/с2) = (1 г∙см/с2)/( 1 г∙см/с2) = 1 (Уравнение 3.2)

В этом случае, по крайней мере, k — безразмерная величина.

Так как к равна 1, мы можем привести уравнение 3.2 к виду ma/f = 1, откуда мы получаем, что:

f = та (Уравнение 3.3)

при условии, что мы используем надлежащие наборы единиц измерения, то есть если мы измеряем массу в граммах, ускорение — в сантиметрах в секунду за секунду, а силу — в динах.

В системе измерений МКС ускорение измеряется в метрах на секунду в квадрате, а масса в килограммах. Единица силы может быть определена как количество силы, которое производит ускорение, равное 1 м/с2, будучи приложенной к телу массой 1 кг. Единицы силы в этой системе поэтому 1 м/с2, умноженные на 1 кг, или 1 кг∙м/с2.[14] Эта единица силы более кратко называется 1 ньютон, и конечно же в честь Исаака Ньютона. Уравнение 3.3 справедливо и для второй комбинации совместимых единиц измерения, когда масса измеряется в кг, ускорение — в м/с2, а сила — в ньютонах.