Земля двух Лун. Том 1

9. Итоги своей работы Лукасевич подвел в прощальной лекции 7 марта 1918 г.: «В 1910 г. я издал книгу о принципе противоречия у Аристотеля, в которой пытался показать, что этот принцип не так очевиден, каким считается. Уже тогда я стремился создать не-аристотелевскую логику, но безуспешно» [Лукасевич 2012a: 211]. А в самом начале речи Лукасевич говорит о принуждении, которое «началось с момента возникновения логики Аристотеля и геометрии Эвклида», и продолжает: «Я доказывал, что кроме истинных и ложных предложений существуют возможные предложения, которым соответствует объективная возможность как нечто третье наряду с бытием и небытием. Так возникла система трехзначной логики, которую я подробно разработал прошлым летом. Эта система сама по себе так же связна и последовательна, как и логика Аристотеля, а богатством законов и формул намного ее превышает»[42].

Обратим внимание на то, что здесь ничего не сказано об опровержении принципа противоречия. К этому вопросу Лукасевич вынужден будет вернуться через два года в статье, где впервые будет сформулирована трехзначная логика (см. [Лукасевич 2012b]). Самым очевидным образом в этой логике не проходят ни принцип противоречия, ни принцип исключенного третьего, поскольку при приписывании переменной a истинностного значения «возможность», промежуточного между «истиной» и «ложью» – эти принципы принимают значение «возможность», а не «истина». Поэтому Лукасевич называет их всего лишь «возможными». Finis.

10. Необычность ситуации состоит в том, что впервые в мире построена трехзначная логика (обозначим ее посредством Ł₃), в которой опровергнуты два главных «основных законов мышления» (поскольку они не являются истинными!), и Лукасевич это никак не комментирует, хотя прошло всего десять лет со времени публикации его книги «О принципе противоречия у Аристотеля».[43] Кстати, после «Прощальной лекции» Лукасевич больше нигде не вспоминает о своей первой книге: ни в статьях по истории логики, ни в своей знаменитой книге об аристотелевской силлогистике [Лукасевич 1959]. Можно подумать, что Лукасевич отказался вести провозглашенную им борьбу «за освобождение человеческого духа» от логического принуждения (этими словами заканчивается «Прощальная лекция»). На самом деле ничего подобного, настоящая борьба только начинается, но что принципиально важно – сместились акценты. Теперь Аристотель не ниспровергается, напротив, у Аристотеля Лукасевич ищет опору для опровержения другого фундаментального логического принципа – принципа бивалентности (см. ниже). Именно этот принцип он ставит на уровень пятого постулата Евклида.

Как пишет Е. Слупецкий в предисловии к собранию избранных работ Лукасевича: «… проблема, которая интересовала Лукасевича больше всего почти всю жизнь и которую он стремился разрешить, прилагая необычайные усилия и страсть – была проблема детерминизма. Она вдохновила его на совершенно изумительную идею многозначных логик» [Slupecki 1970: vii]. Уже ранние, довольно объемистые, работы Лукасевича посвящены анализу понятий причинности [Lukasiewicz 1906] и вероятности [Lukasiewicz 1913]. Однако только в статье «О детерминизме»[44], которая является одной из вершин философствования на эту тему, Лукасевичу удалось дать строгую формулировку и решение глубоких философских проблем, которые возрождаются все вновь и вновь.

11. Лукасевич исходит из знаменитой 9-ой главы трактата Аристотеля «Об истолковании», где впервые формулируется фаталистический аргумент (см. ниже раздел 14) и обсуждается проблема логического статуса высказываний о будущих случайных событиях на примере завтрашнего морского сражения. По всем этим вопросам Аристотель предлагает свое решение[45]. Любопытно, что в начале статьи Лукасевич заявляет по поводу принципа противоречия: «Этого важного принципа, который Аристотель, а за ним многие мыслители считают глубочайшей опорой нашего мышления, мы не будем далее касаться» (курсив наш. – А.К.) Анализируя попытку Аристотеля опровергнуть свой собственный фаталистический аргумент, Лукасевич приходит к выводу, что «Рассуждение Аристотеля подрывает не столько принцип исключенного третьего, сколько основы одного из глубочайших принципов всей нашей логики, который в конечном счете он сам первым и провозгласил, а именно, что каждое предложение является либо истинным, либо ложным, т. е. оно может принимать одно и только одно из двух логических значений – истинность или ложность. Этот принцип мы называем принципом бивалентности ‹…›. Он не может быть доказан именно потому, что лежит в основании логики. В этот принцип можно только поверить и поверит в него тот, кому он покажется очевидным. Лично мне он не кажется очевидным. Поэтому мне позволительно этот принцип не принять и признать, что наряду с истинностью и ложностью существуют и другие логические значения, по крайней мере, еще одно – третье логическое значение» (см. настоящее издание, с. 233). И далее: «Вводя в логику это третье значение, мы изменяем ее основания. Трехзначная система логики… отличается от обычной известной до сих пор двузначной логики не в меньшей степени, чем неевклидовы системы геометрии отличаются от евклидовой геометрии» (курсив наш. – А.К.)

Как минимум еще четыре раза Лукасевич ставит свое открытие трехзначной логики на уровень создания неевклидовых геометрий. В курсе лекций «Элементы математической логики» мы находим следующее утверждение: «Отношение многозначных логик к двузначной логике напоминает отношение неевклидовой геометрии к геометрии Евклида» [Lukasiewicz 1929: 69]. А в следующем году, обсуждая философское значение многозначных систем пропозициональной логики, в том числе трехзначную модальную логику, построенную на основе Ł₃, Лукасевич говорит: «Мне кажется, что философское значение систем логики, рассмотренных здесь, может быть, по крайней мере, так же высоко, как значение неевклидовых систем геометрии» [Lukasiewicz 1930/1970: 176][46]. Это было подтверждено в 1937 г. в статье «В защиту логистики»: «… с существованием систем многозначной логики мы должны сегодня считаться в такой же степени, как, например, с существованием систем неевклидовой геометрии» [Лукасевич 1999: 229]). Наконец, это же было провозглашено на международной конференции «Основания и методы математических наук», состоявшейся в Цюрихе в 1938 г.: «Эти различные формы многозначной пропозициональной логики находятся более или менее в том же самом отношении к классическому двузначному пропозициональному исчислению, как различные системы неевклидовой геометрии находятся к евклидовой» (см. [Łukasiewicz 1941/1970: 293])[47].

Именно здесь во время дискуссии[48] свойства трехзначной логики были подвергнуты серьезной критике. Лукасевичу явно было указано, что принцип противоречия в его логике не работает, поскольку приведенное им конъюнктивное высказывание: «через год я буду в Варшаве и через год я не буду в Варшаве» – в его интерпретации имеет истинностное значение «возможность», хотя совершенно ясно, что такое конъюнктивное утверждение (противоречие) должно быть ложным сейчас. Более того, впоследствии обратили внимание, что хотя Лукасевич впервые ввел строгое различие между принципом бивалентности и принципом исключенного третьего, но в его трехзначной логике не принимается ни то, ни другое, что ведет к неадекватной экспликации аристотелевского решения проблемы логического фатализма. Аристотель явно утверждал, что альтернатива в виде принципа исключенного третьего всегда является истинной. Отметим, что именно в силу этого, Лукасевич и ввел различие между двумя принципами. Обратим также внимание на то, что при стандартном определении “лжи”, восходящем к Аристотелю, а именно: «ложность есть истинность отрицания (противоречивого) высказывания» – указанные принципы становятся эквивалентными (см. [Карпенко 1995]). Но это только в “классических” контекстах, для многих неклассических логик такая эквивалентность не имеет места. Поэтому проведенное Лукасевичем различие является фундаментальным, но в данном случае не работает. Таким образом, предложенное Лукасевичем интуитивно-содержательное толкование трехзначной логики, как аппарата для решения проблемы логического фатализма, нельзя совместить с формально-логическими свойствами этой логики, а на самом деле с ее истинностно-функциональным характером[49].

12. Столкнувшись с возрастающей критикой того факта, что в его логике принцип противоречия отбрасывается (хотя напомним, что именно жесткая критика этого принципа лежит в основе его книги «О принципе противоречия у Аристотеля»), Лукасевич, не возразив ни одному из своих оппонентов[50], как минимум дважды отказывается от своего главного научного достижения[51]. Первый раз в 1953 г. при создании новой модальной четырехзначной логики, которую он назвал «Ł-модальной логикой». Эта логика получается посредством умножения двузначной матрицы классической логики на саму себя. Отсюда все законы классической логики остаются в силе и нужно только дополнить ее четырехзначными модальностями. Также рассмотрено обобщение на бесконечнозначный случай. Свое мнение в [Łukasiewicz 1930/1970: 173]) о том, «что среди всех многозначных систем только две могут претендовать на философское значение: трехзначная и бесконечнозначная системы», Лукасевич теперь считает ошибочным (см. [Łukasiewicz 1953/1970: 371]).

Еще более резкое отрицание всего предыдущего содержится в последней книге Лукасевича: «Сегодня я вижу, что эта система [трехзначная логика] не удовлетворяет всем нашим интуитивным пониманиям модальностей и должна быть заменена описанной ниже системой. Я стою на той точке зрения, что в любой модальной логике должно быть сохранено классическое исчисление предложений. До сих пор это исчисление продемонстрировало свою надежность и полезность и оно не должно быть отвергнуто без достаточно веских оснований» (курсив мой. – А.К.) [Лукасевич 1959: 233]. Однако заметим, что Ł-модальная логика (вместе с её ℵ₀– обобщением) не получила в дальнейшем сколько-нибудь интересного развития и оказалась еще менее интуитивно приемлемой, чем трехзначная логика Ł₃.[52] Остается только добавить, что через много лет аналогия Лукасевича между неевклидовыми геометриями и логиками, нарушающими принцип бивалентности, была высоко оценена Г. Пристом в [Priest 2003: 465].

13. Однако на этом не заканчивается история принципа противоречия; у нее, как у всех великих историй, есть еще скрытая часть. То, что произошло с Яном Лукасевичем, можно назвать иронией судьбы. Развитие многозначных логик, исследование их выразительных средств и самого технического аппарата привело к довольно-таки странному и неожиданному открытию. Большинство многозначных систем логики явно и неявно строилось с целью ограничения или опровержения тех или иных классических законов логики, но на самом деле получилось не ограничение, а расширение классической логики. Оказалось, что большинство конечнозначных логик настолько богато по своим выразительным свойствам, что они могут быть аксиоматизированы как расширение классической логики! Это относится и к самим конечнозначным логикам Лукасевича. Впервые соответствующая логическая техника, как общий эффективный метод, с использованием некоторых идей В.К. Финна [1974] была установлена в [Аншаков и Рычков 1982]. Независимо от этой работы аксиоматизация Ł₃, как расширение классической логики, была получена в [D’Ottaviano and Epstein 1988]. Отсюда следует, что Лукасевичу совсем не нужно было отказываться от своей поразительной трехзначной логики, поскольку в ней, в новой аксиоматизации, верифицируются все законы классической логики и тогда критика оппонентов бьет мимо цели. Но есть что-то еще, указывающее на совершенно необычную связь классической логики с неклассической: неклассическая часть в аксиоматизации [D’Ottaviano and Epstein 1988] является паранепротиворечивым фрагментом всей системы[53].

Важно, что в рамках одной логической системы можно сохранить классическую логику и в то же время локализовать действие в ней противоречия. Конечно, это довольно-таки сложная конструкция, и Лукасевич, как часто бывает с авторами великих открытий, не мог знать о последствиях, но конструкция свидетельствует о том, что его интуиция была гениальной. На самом деле, и критика Лукасевичем принципа противоречия, и его принятие – весь этот мучительный процесс, длившийся несколько десятилетий, показал, что обе эти ипостаси оказались совместимыми. И поэтому совсем не удивителен финал, к которому в итоге пришел Лукасевич.

А в итоге он за год до смерти вернул из небытия свою книгу о принципе противоречия у Аристотеля и стал переводить ее на английский язык. И насколько известно из [LeBlanc 2010], успел перевести ее большую половину, причем, как раз ту, которая содержит критику принципа противоречия.

14. Но и это еще не всё. Редко бывает в истории науки, когда сугубо философская проблема, в данном случае опровержение Аристотелем фаталистического аргумента, им же самим изобретенного ([Аристотель 1978, т. 2: 99-102]), приводит к таким серьезным последствиям. А суть аристотелевского аргумента в следующем.

Предположим, сейчас истинно, что завтра будет морское сражение. Из этого следует, что не может быть, чтобы завтра не было морского сражения, иначе не было бы истинно, что морское сражение завтра будет. Следовательно, завтрашнее морское сражение является необходимым событием (принцип необходимости). Подобно этому, если сейчас ложно, что завтра будет морское сражение, то необходимо, что морское сражение завтра не произойдет. Но сейчас истинно или ложно, что завтра будет морское сражение (принцип бивалентности). Следовательно, или необходимо, что оно будет, или необходимо, что его не будет. Обобщая этот аргумент, получаем, что все в мире происходит по необходимости и нет ни случайных событий, ни свободы выбора.

Принцип необходимости оставался незыблемым во всех эллинистических философских школах, а вот ограничение (как у Аристотеля) или отбрасывание (как у Лукасевича) принципа бивалентности оказалось весьма плодотворным.

Тема будущего морского сражения была взята для примера не случайно. 28 сентября 480 г. до н. э. у острова Саламин произошло морское сражение, в котором решалась судьба Греции. Греки под предводительством Фемистокла одержали убедительную победу: персы потеряли около 200 кораблей, а греки всего 40. Тогда это сражение предотвратило непосредственную угрозу завоевания персами Эллады.

У Аристотеля был горький повод постоянно вспоминать эту блестящую победу, поскольку при его жизни состоялось еще одно сражение, о котором упоминает Лукасевич в конце своей книги. В 338 г. до н. э. битва при Херонее положила конец блеску и величию древней Эллады. Тогда впервые Филипп II Македонский доверил командование конницей на левом крыле своему 18-летнему сыну Александру. Своевременный удар этого крыла и решил исход боя. Погиб весь прославленный в битвах «Священный отряд» – 300 фиванских юношей, которые предпочли смерть бегству.

Думать об этом Аристотелю было нелегко. Ведь он воспитывал этого мальчишку, будущего Александра Великого, с 13-ти лет. А теперь мог только повторить слова оратора Ликурга о героях, павших на херонейских полях: «… когда они расстались с жизнью, была порабощена и Эллада, а вместе с их телами была погребена и свобода остальных эллинов».

15. Ранним знойным утром Аристотель, будучи в подавленном состоянии, шел по Священной дороге из Афин в Элевсин. Он рассчитывал добраться туда за день, а оттуда и в Мегару рукой подать – всего полдня ходу. Он писал об этом, не называя себя: «Почему такой человек идет в Мегару, а не остается дома, воображая, что туда идет? И почему он прямо на рассвете не бросается в колодезь или в пропасть, если окажется рядом с ними?» (Метафизика Г 4, 1008 b 14-16). С Мегарой были связаны многие воспоминания. После казни Сократа в 399 г. до н. э. Платон с группой учеников бежал в Мегару. Почему-то этот эпизод из жизни учителя все время не давал покоя Аристотелю. К тому же эристики из Мегары все более злобно критиковали самого Аристотеля. Как они могут не понимать особую значимость главного принципа бытия – принципа противоречия? Сомневаясь во всем, они говорят, что человек, идущий в Мегару, то же самое, что человек, не идущий в Мегару, и значит, нет ничего реального в этом мире. «Но я-то иду в Мегару и где-то там посреди пути находится колодезь, похожий на пропасть», – думал Аристотель. И мысленно возражая оппонентам, не понимающим сути принципа противоречия, сравнивал их с растениями и овощами.

Была еще одна вещь, которая не давала Аристотелю покоя. Один неприятный человек, назвавшийся Диодором Кроносом, покушался даже не на основы бытия, а на свободу человека, придумав так называемое “Главное рассуждение” (Master Argument), из которого без доказательства следовало, что «возможное есть то, что либо есть, либо будет истинным»[54]. Выходит, что казнь Сократа, как возможное событие, осуществилась с необходимостью. Всё, что возможно, происходит! «А ведь истоки этой концепции можно найти в платоновском “Тимее”», – с горечью думал Аристотель. – «Нет, этот урод, Диодор, откусивший себе по злобе язык во время диспута, конечно, не прав. Ведь существовала и другая возможность: что Сократа не казнят, и он поведает нам еще много удивительного. Куда же подевалась эта возможность?».

В полдень стало совсем жарко. «И где же этот чертов колодезь», – про себя выругался Аристотель, удивившись неизвестно откуда появившемуся новому слову. «Одновременно, конечно, нельзя идти и не идти в Мегару. Вот сейчас я иду в Мегару, правда, не знаю зачем, и вполне возможно, что я завтра буду в Мегаре, но возможно и то, что я завтра не буду в Мегаре. Кто против этого будет возражать?» И вдруг Аристотеля осенило, что есть сфера, где одновременно “наличествует” и то, и другое, хотя и противоположное друг другу. И там принцип противоречия не имеет места: «В самом деле, в возможности одно и то же может быть вместе [обеими] противоположностями, но в действительности нет» (Метафизика Г 5, 1009 а 35-36). «Да, – продолжал рассуждать Аристотель, – принцип противоречия надо ограничить и, может быть, наступит время, когда найдется человек, который поймет, что на самом деле суть этого принципа в его этическом назначении, в задавании нравственных границ. Нельзя одновременно лгать и не лгать, но можно одновременно желать этого. И здесь человек свободен, выбирая ту или другую возможность. Но реализация всего потенциального[55] – это совсем другая физика, не его, не-Аристотелева»[56].

А вот и колодец. Нет, это не колодец Каллихор в Элевсине, вблизи которого происходили Великие мистерии, сулившие всем, кто в них участвовал, счастье в земной жизни и блаженство в потустороннем мире. Об этом колодце ему рассказал Платон. Он и еще несколько учеников Сократа останавливались здесь ночью после казни учителя. Аристотель вспомнил, что спросил Платона о воде в колодце и о его глубине, но тот не ответил, только странно взглянул и, сославшись на головную боль после родосского, покинул гимнасию.

Аристотель остановился, хотя воды с собой было достаточно, и присел на краю. От зноя воздух дрожал над колодцем, и видно было, как вода испаряется. «Да, – подумал Аристотель, – Александра отравили, но меня никто не обвиняет, улик об участи в заговоре против меня нет. Но народ недоволен македонским правлением, эти настроения усиливаются, а я служил при дворе Филиппа… Надо бежать, как когда-то бежал Платон. Но возможно ли унести родину на подошвах своих сандалий?», – вспомнил вдруг Аристотель чье-то прекрасное выражение и снова удивился. Чужая фраза возникла сама собой, как будто соткалась из дрожащего воздуха. Кто бы это мог сказать? Неужели Ликург?

Он глубоко задумался. Что теперь делать? Идти дальше в Мегару или не идти и остаться здесь? Как будто решаешь: быть или не быть? Тут Стагирит даже усмехнулся. Когда он принял окончательное решение и встал, утешаясь, что здесь нет никакого принуждения и он свободен в выборе, вдруг, откуда-то издалека к нему опять неотчетливо пробились слова: «Я… вернусь…, чтобы… вести борьбу за освобождение человеческого духа»[57]. И вслед за ними уже совсем отчетливо и ясно: «Время облегчает наши страдания и несет нам прощение»[58].

Литература

[Аристотель 1976-1984] Аристотель. Сочинения в 4-х томах. М.: Мысль.

[Аншаков и Рычков 1982] Аншаков О. М. и Рычков С. В. О многозначных логических исчислениях // Семиотика и информатика 19: 90-117.

[Бажанов 2009] Бажанов В.А. Н.А. Васильев и его воображаемая логика. Воскрешение одной забытой идеи. М.: «Канон+» РООИ «Реабилитация».

[Бирюков и Шуранов 1998] Бирюков Б.В. и Шуранов Б.М. В каком смысле “воображаемую логику” Н.А. Васильева можно считать многозначной // Вестник Моск. Ун-та. Сер. 7. Философия 5: 74-84.

[Васильев 1910/1989] Васильев Н.А. О частных суждения, о треугольнике противоположностей, о законе исключенного третьего // [Васильев 1989], 12-53.

[Васильев 1912/1989] Васильев Н.А. Воображаемая (неаристотелева) логика // [Васильев 1989], 53-94.

[Васильев 1912-1913/1989] Васильев Н.А. Логика и металогика // [Васильев 1989], 94-124.

[Васильев 1989] Васильев Н.А. Воображаемая логика. Избранные труды. М.: Наука.

[Воленьский 2004] Воленьский Я. Львовско-Вашавская философская школа. М.: РОССПЭН.

[Гомперц 1913] Гомперц T. Греческие мыслители. СПб.

[Ишмуратов, Карпенко и Попов 1989] Ишмуратов А.Т., Карпенко А.С. и Попов В.М. О паранепротиворечивой логике // Синтаксические и семантические исследования неэкстенсиональных логик. М.: Наука, 261-284.

[Карпенко 1990] Карпенко А.С. Фатализм и случайность будущего. М.: Наука (2-е изд. в 2007).

[Карпенко 1995] Карпенко А.С. Логика, детерминизм и феномен прошлого (к публикации статьи Яна Лукасевича «О детерминизме») // Вопросы философии 5: 72-81.

Карпенко А.С. Логики Лукасевича и простые числа. М.: URSS/ЛКИ, 2009, 3-е изд. (Английский перевод: Karpenko A.S. Łukasiewicz Logics and Prime Numbers. Beckington: Luniver Press, 2006).

[Карпенко 2010] Карпенко А.С. Развитие многозначной логики. М.: URSS/ЛКИ.

[Лавджой 2001] Лавджой А. Великая цепь бытия. История идеи. М.: Дом интеллектуальной книги.

[Лесьневский 1913] Лесьневский C. Опыт обоснования онтологического закона противоречия // Лесьневский C. Логические рассуждения. С.-Петербург, 1-55. [Лукасевич 1959] Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики. М.: Иностранная литература (перевод с англ. изд. 1957 г.)

[Лукасевич 1999] В защиту логистики // Философия и логика Львовско-Варшавской школы. М.: РОССПЭН, 219-232.

[Лукасевич 2006] Лукасевич Я. О принципе исключенного третьего // Исследования аналитического наследия Львовско-Варшавской школы. Санкт-Петербург: Издательский дом «Мiръ», 253-254.

[Лукасевич 2012a] Лукасевич Я. Прощальная лекция проф. Яна Лукасевича, произнесенная в зале Варшавского университета 7 марта 1918 г. (см. настоящее издание).

[Лукасевич 2012b] Лукасевич Я. О трехзначной логике (см. настоящее издание).

[Лукасевич 2012c] Лукасевич Я. О детерминизме (см. настоящее издание).

[Менский 2005] Человек и квантовый мир. Фрязино: Век.

[Смирнов 1962] Смирнов В.А. Логические взгляды Н.А. Васильева // Очерки по истории логики. М.: МГУ, 242-257.

[Смирнов 1993] Смирнов В.А. Многомерные логики // Логические исследования 2: 259-278.

[Финн 1974] Финн В.К. Аксиоматизация некоторых трехзначных исчислений высказываний и их алгебр // Философия в современном мире. Философия и логика. М.: Наука, 398-438.

[Френкель и Бар-Хиллел 1966] Френкель А. и Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М.: Мир.

[Bazhanov 1992] Bazhanov V.A. C.S. Peirce’s influence on the logical works of N.A. Vasiliev // Modern Logic 3(1): 450-51.

[Béziau, Carnielli and Gabbay 2007] Béziau J.-Y., Carnielli W. and Gabbay D. (eds.) Handbook of Paraconsistency. London: King's College.

[Brady 1989] Brady, R.T. The non-triviality of dialectical set theory // [Priest, Routley and Norman 1989], 437-471.

[Carus 1910a] Carus P. The nature of logical and mathematical thought // The Monist 20: 35-75.

[Carus 1910b] Carus P. Non-Aristotelian logic // The Monist 20: 158-159.

[Cassin and Narcy 1989] Cassin B. and Narcy M. La decision du sens. Le livre Gamma de la Métaphysique d’Aristote. Paris: Vrin.

[Charles 2000] Charles D. Aristotle on the principle of noncontradiction (Appendix 1) // Charles D. Aristotle on Meaning and Essence. Oxford.

[Cignoli, D'Ottaviano and Mundici 2000] Cignoli R., D'Ottaviano I.M.L. and Mundici D. Algebraic Foundations of Many-Valued Reasoning. Dordrecht: Kluwer.

[Code 1986] Code A. Aristotle’s investigation of a basic logical principle: which science investigates the principle of noncontradiction // Canadian Journal of Philosophy 16(30): 341-358.

[Cohen 1986] Cohen S.M. Aristotle on the principle of noncontradiction // Canadian Journal of Philosophy 16(30): 359-370.

[Comey 1965] Comey D.D. Review of [Смирнов 1962] // The Journal of Symbolic Logic 30: 368-370.

[Dancy 1975] Dancy R. Sense and Contradiction: A Study in Aristotle. Dordrecht: Reidel.

[D’Ottaviano and Epstein 1988] D’Ottaviano I. M. L. and Epstein R.L. A paraconsistent many-valued propositional logic: J₃ // Reports on Mathematical Logic 22: 89-103.

[Everett 1957] Everett H. Relative state formulation of quantum mechanics // Review of Modern Physics 29: 454-462, 1957 (см. полную версию: The Theory of the Universal Wave Function // B. De Witt and N. Graham (eds.) The Many-Worlds Interpretation of Quantum Mechanics. Princeton NJ: Princeton University Press, 1973.

[Font and Hájek 2002] Font J.M. and Hájek P. On Łukasiewicz’s fourvalued modal logic // Studia Logica 70 (2): 157-182.

[Furth 1986] Furth M. A note on Aristotle’s principle of noncontradiction // Canadian Journal of Philosophy 16(30): 371-382.

[Gaskin 1995] Gaskin R. The Sea-battle and the Master Argument: Aristotle and Diodorus Cronus on the Metaphysics of the Future. N.Y.: Walter de Gruyter.

[Gottlieb 2011] Gottlieb P. Aristotle on non-contradiction // Stanford Encyclopedia of Philosophy (online).

[Inciarte 1994] Aristotle’s defence of the principle of noncontradiction // Archiv für Geschichte der Philosophe 76(2): 129-150.

[Jaśkowski 1967] Jaśkowski S. A propositional calculus for inconsistent deductive systems // Studia Logica 24: 143-157.

[Korcik 1955] Korcik A. Przyczynek do historii klasycnej teorii opozycji zdań asertorycznych // Roczniki Filozoficzne 4: 33-49.

[LeBlance 2010] LeBlance O. Łukasiewicz, Aristotle, and contradiction. (http://segrdid2.fmag.unict.it/~polphil/polphil/Lukas/LeBlanc.html).

[Łukasiewicz 1906] Łukasiewicz J. Analiza i konstrukcja pojęcia przyczyny // Ruch Filozoficzny 9: 105-170 (переиздано в: Z zagadnień logiki i filozofii. Pisma wybrane, ed. by J. Słupecki. Warszawa: PWN, 1961, 9-65).

[Łukasiewicz 1910a/1987] Łukasiewicz J. O zasadzie sprzecności u Arystotelesa. Studium krytyczne. Kraków: Polska Akademia Umieijêtności (переиздано в Warszawa: PWN, 1987).

[Łukasiewicz 1910b] Łukasiewicz J. Über den Satz des Widerspruchs bei Aristoteles // Bulletin international de l’Académie des Sciences de Cracovie. Classe de Philosophie et d’Historie 15-38.

[Łukasiewicz 1913/1970] Łukasiewicz J. Logical foundations of probability theory // [Łukasiewicz 1970], 16-63.

[Łukasiewicz 1929] Łukasiewicz J. Elementy logiki matematycznej. Warsawa. (Английский перевод: Elements of Mathematical Logic. N.Y., 1963).

[Łukasiewicz 1930]. Łukasiewicz J. Philosophical remarks on manyvalued systems of propositional logic // [Łukasiewicz 1970], 153-178.

[Łukasiewicz 1941] Łukasiewicz J. Die Logik und das Grundlagenproblem // Les Entretiens de Zürich sur les fondements et la méthode des sciences mathématiques 6-9, 12. Zürich, 82-100. (Английский перевод: Logic and the problem of the foundations of mathematics // [Łukasiewicz 1970], 278-294).

[Łukasiewicz 1953] Łukasiewicz J. A system of modal logic // The Journal of Computing Systems 1: 111-149. (Переиздано в: [Łukasiewicz 1970], 352-390]).

[Łukasiewicz 1970] Łukasiewicz J. Selected Works. Amsterdam & Warszawa: North-Holland & PWN.

[Łukasiewicz 1971] Łukasiewicz J. On the principle of contradiction in Aristotle // Review of Metaphysics 24(3): 485-509.

[Łukasiewicz 1979] Łukasiewicz J. Aristotle on the law of contradiction // J. Barnes, M. Schofield and R. Sorabji (eds.) Articles on Aristotle. Vol. III: Metaphysics. London: Duckworth, 1979, 50-62.

[Łukasiewicz 1991] Łukasiewicz J. Sur le principe de contradiction chez Aristote // Rue Descartes 1-2: 9-32.

[Łukasiewicz and Tarski 1930]. Łukasiewicz J. and Tarski A. Untersuchungen über den Aussagenkalkul // Comptes Rendus des Séances de la Société des Sciences et des Lettres de Varsovie III (23): 1-21. (Английский перевод: Investigations into the sentential calculus // [Łukasiewicz 1970], 131-152.

[Mundici 2011] Mundici D. Advanced Łukasiewicz Calculus and MV-algebras. Dordrecht: Kluwer.

[Noonan 1976] Noonan H.W. An argument of Aristotles on noncontradiction // Analysis 37: 163-169.

[Pasquale 2005] Pasquale G. Aristotle and the Principle of Noncontradiction. “Sankt Augustin” Academia Verlag. 2nd ed and rev.

[Priest, Routley and Norman 1989] Priest G., Routley R. and Norman J. (eds.) Paraconsistent Logic: Essays on the Inconsistent. München: Philosophia Verlag.

[Priest, Beall, and Armour-Garb 2004]. Priest G., Beall J.C., and Armour-Garb B. (eds.) The Law of Non-Contradiction: New Philosophical Essays. Oxford University Press.

[Priest 1998] Priest G. To be and not to be – that is the answer. On Aristotle on the law of non-contradiction // Philosophiegeschichte und Logische Analyse 1: 91-130.

[Priest 2003] Priest G. On alternative geometries, arithmetrics, and logics; a tribute to Łukasiewicz // Studia Logica 74(3): 441-468.

[Putnam 1976] Putnam H. There is at least one a priori truth // Erkenntnis 13: 153-170.

[Raspa 1999] Raspa V. Łukasiewicz on the principle of contradiction // Journal of Philosophical Research XXIV: 57-112.

[Schiaparelli 1994] Schiaparelli A. Aspetti della critica di Jan Łukasiewicz al principio di non contraddizione // Elenchos 15(1): 43-77.

[Seddon 1981] Seldon F.A.Jr. The Principle of contradiction in Metaphysics, Gamma // The New Scholasticism, 55(1): 191-207.

[Seddon 1996] Seldon F.A.Jr. Aristotle & Łukasiewicz on the principle of contradictions. Ames, Iova: Modern Logic Pub.

[Słupecki 1970] Słupecki J. Foreword by prof. J. Słupecki // [Łukasiewicz 1970], vii-xii.