Помоги проекту - поделись книгой:
1 3.079201435678004077382126829
2 3.156181471569954179316680000
3 3.137852891595680345522738769
4 3.142604745663084672802649458
5 3.141308785462883492635401088
6 3.141674312698837671656932680
7 3.141568715941784242161823554
8 3.141599773811505839072149767
9 3.141590510938080099642754230
10 3.141593304503081513121460820
11 3.141592454287646300323593597
12 3.141592715020379765581606212
13 3.141592634547313881242713430
14 3.141592659521713638451335328
15 3.141592651733997585128216671
16 3.141592654172575339199092210
17 3.141592653406165187919674184
18 3.141592653647826046431202391
19 3.141592653571403381773710565
20 3.141592653595634958372427485
21 3.141592653587933449530974820
22 3.141592653590386522717511595
23 3.141592653589603627019680710
24 3.141592653589853940610143646
Уже на 24-м шаге мы получаем искомые 11 знаков числа Пи. Задача явно требовала больше времени чем сейчас, но вполне могла быть решена в средние века.
Современные формулы не столь просты внешне, зато работают еще быстрее. Для примера можно привести формулу Чудновского:
Для сравнения, те же 24 итерации по этой формуле дают число Пи со следующей точностью:
3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249.
Если сделать 100 итераций и вычислить 1000 знаков Пи, то можно увидеть так называемую «точку Фейнмана»:
3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273724587006606315588174881520920962829254091715364367892590360011330530548820466521384146951941511609433057270365759591953092186117381932611793105118548074462379962749567351885752724891227938183011949129833673362440656643086021394946395224737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132000568127145263560827785771342757789609173637178721468440901224953430146549585371050792279689258923542019956112129021960864034418159813629774771309960518707211349999998372978049951059731732816096318595024459455346908302642522308253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303598253490428755468731159562863882353787593751957781857780532171226806613001927876611195909216420207
Это последовательность «999999», находящаяся на 762-м знаке от начала. Желающие могут поэкспериментировать дальше самостоятельно с помощью программы на языке Python:
from math import factorial
from decimal import *
def chudnovsky(n):
pi = Decimal(0)
k = 0
while k < n:
pi += (Decimal(-1)**k) * (Decimal(factorial(6 * k)) / ((factorial(k)**3) * (factorial(3*k))) * (13591409 + 545140134 * k) / (640320**(3 * k)))
k += 1
print("Шаг: {} из {}".format(k, n))
pi = pi * Decimal(10005).sqrt() / 4270934400
pi = pi**(-1)
return pi
# Требуемая точность (число знаков)
N = 1000
getcontext().prec = N
val = chudnovsky(N / 14)
print(val)
Эта программа не оптимизирована, и работает довольно-таки медленно, но для ознакомления с сутью алгоритма этого вполне достаточно. Кстати, с помощью формулы Чудновского два инженера Александр Йи и Сингеру Кондо в 2010 году объявили о новом мировом рекорде вычисления Пи на персональном компьютере: 5 трлн знаков после запятой. Компьютеру с 12 ядрами, 97 Гб памяти и 19 жесткими дисками потребовалось 60 дней для выполнения расчетов.
На этом мы закончим с числом Пи, хотя с ним конечно, связано куда больше интересных фактов. Например 3 марта (т. е. 03.14) отмечается международный «день числа Пи», ну а другие факты читатели могут поискать самостоятельно.
4. Вычисление радиуса Земли
О том, что Земля круглая сегодня знает каждый школьник, и никого не удивить таким видом планеты из космоса.
Однако в историческом плане, увидеть планету свысока мы смогли совсем-совсем недавно. Как же мог греческий ученый Эратосфен измерить радиус Земли, в 240 году до нашей эры? Оказывается мог, используя 2 научных «инструмента» — транспортир и верблюда, ну и разумеется, математику.
Эратосфен жил в Александрии — крупнейшем городе того времени, центром науки и искусств древнего мира. В Александрии по преданию, находился маяк высотой 120 метров — даже сегодня такое сооружение не просто построить, а в то время маяк считался одним из 7 чудес света. Эратосфен же был не только ученым, но и хранителем Александрийской библиотеки, содержащей до 700000 книг.
Читая труды по географии, Эратосфен нашел интересный факт — в городе Сиене в день летнего солнцестояния Солнце стоит так высоко, что предметы в полдень не отбрасывают тени. Другой может и не обратил бы на это внимание, но Эратосфен не зря интересовался и математикой и астрономией. Он знал что в его городе Александрии тень в этот же день имеет другой угол. Эратосфен дождался солнцестояния, измерил угол солнечных лучей и получил величину 7,2 градуса.
Что это значит? Объяснение данному факту могло быть только одно — Земля круглая, и угол падения солнечных лучей в разных точках Земли в одно время различается.
Картинка с сайта physicsforme.com
Дальше, как говорится, дело техники. Зная примерное расстояние между Сиеном и Александрией (которое было известно из времени в пути каравана верблюдов) и угол, легко получить длину всей окружности. К чести Эратосфена, его результат отличается от сегодняшнего всего лишь на 1%. Так, задолго до эпохи авиации и воздухоплавания, человек впервые смог измерить радиус планеты, даже при этом не отрываясь от нее. Увидеть настоящую кривизну Земли сумели лишь пилоты стратостатов в начале 20 века, более чем через 2000 лет после описанного опыта.
Разумеется, повторить подобный эксперимент сегодня легко может любой школьник. Нужно лишь сделать простейший угломер из транспортира и отвеса, и с помощью знакомых в другом городе, сделать измерения высоты Солнца в двух точках в одно и то же время.
5. Простые числа
Каждый знает, что простые числа — такие числа, которые делятся только на единицу и самих себя. Но так ли они просты, как кажутся, и актуальны ли сегодня? Попробуем разобраться.
То, что существуют числа, которые не делятся ни на какое другое число, люди знали еще в древности. Последовательность простых чисел имеет следующий вид:
1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61 …
Доказательство того, что этих чисел бесконечно много, дал еще Евклид, живший в 300 г. до н. э. Примерно в те же годы уже известный нам греческий математик Эратосфен, придумал довольно-таки простой алгоритм получения простых чисел, суть которого была в последовательном вычеркивании чисел из таблицы. Те оставшиеся числа, которые ни на что не делились, и были простыми. Алгоритм называется «решето Эратосфена» и за счет своей простоты (в нем нет операций умножения или деления, только сложение) используется в компьютерной технике до сих пор.
Видимо, уже во время Эратосфена стало ясно, что какого-либо четкого критерия, является ли число простым, не существует — это можно проверить лишь экспериментально. Существуют различные способы для упрощения процесса (например, очевидно, что число не должно быть четным), но простой алгоритм проверки не найден до сих пор, и скорее всего найден не будет: чтобы узнать, простое число или нет, надо попытаться разделить его на все меньшие числа.
Это несложно записать в виде программы на языке Python:
import math
def is_prime(n):
if n % 2 == 0 and n > 2:
return False
for i in range(3, int(math.sqrt(n)) + 1, 2):
if n % i == 0:
return False
return True
# Вывод всех простых чисел от 1 до N
N = 100
for p in range(1, N, 2):
if is_prime(p): print(p)
# Вывод результата, является ли заданное число простым
print(is_prime(2147483647))
Желающие могут поэкспериментировать с программой самостоятельно.
Подчиняются ли простые числа каким-либо законам? Да, и они довольно любопытны. Так, например, французский математик Мерсенн еще в 16-м веке обнаружил, что много простых чисел имеет вид 2N - 1, эти числа названы числами Мерсенна. Еще незадолго до этого, в 1588 году, итальянский математик Катальди обнаружил простое число 219 - 1 = 524287 (по классификации Мерсенна оно называется M19). Сегодня это число кажется весьма коротким, однако даже сейчас с калькулятором проверка его простоты заняла бы не один день, а для 16 века это было действительно огромной работой. На 200 лет позже математик Эйлер нашел другое простое число 231 - 1 = 2147483647. Необходимый объем вычислений каждый может представить сам. Он же выдвинул гипотезу, названную позже «проблемой Эйлера», или «бинарной проблемой Гольдбаха»: каждое чётное число, большее двух, можно представить в виде суммы двух простых чисел. Например, можно взять 2 любых четных числа: 123456 и 888777888. С помощью компьютера можно найти их сумму в виде двух простых чисел: 123456 = 61813 + 61643 и 888777888 = 444388979 + 444388909. Интересно здесь то, что точное доказательство этой теоремы не найдено до сих пор, хотя с помощью компьютеров она была проверена до чисел с 18 нулями.
Поделиться книгой: