Помоги проекту - поделись книгой:
Шар и описанный вокруг него цилиндр
Например, Архимед знал, что вы можете сделать трисекцию угла при помощи линейки с двумя зафиксированными метками. Греки называли этот метод построения «невсис». Теперь нам известно (судя по всему, это уже предполагали греки), что точная трисекция угла при помощи линейки и циркуля невозможна, а значит, вклад Архимеда расширил границы возможного. Еще две знаменитые проблемы того времени – удвоение куба (построение тела, чей объем вдвое больше объема исходного) и квадратура круга – построение квадрата, равновеликого площади заданного круга. Их также невозможно решить только при помощи циркуля и линейки.
Дальнейшее расширение разрешенных операций в геометрии – введение нового вида кривых, конических сечений, – отразилось в арабских работах о кубических уравнениях, созданных около 800 г. н. э., и широко применялось в механике и астрономии. Эти кривые, что крайне важно для истории математики, получаются при пересечении плоскости с двойным конусом.
Палимпсест с трудами Архимеда
Конические сечения
Сегодня мы знаем три главных типа таких конических сечений.
• Эллипс – замкнутая овальная кривая – возникает, когда плоскость пересекает только одну половину конуса. Окружность – разновидность эллипса.
• Гипербола – кривая с двумя бесконечно длинными ветвями – получается, когда плоскость пересекает обе половины конуса.
• Парабола – переходная кривая между эллипсом и гиперболой, параллельная воображаемой линии, проходящей через вершину конуса и лежащей на его поверхности. Имеет только одну ветвь, уходящую в бесконечность.
Конические сечения подробно изучал Аполлоний Пергский, перебравшийся из Перги в Малой Азии в Александрию, чтобы учиться у последователей Евклида. Его главный труд, «Конические сечения», написан около 230 г. до н. э. и содержит 487 теорем. Евклид и Архимед лишь косвенно изучили некоторые свойства конусов, но пришлось написать целую книгу, чтобы собрать все теоремы Аполлония. Одна из важнейших его идей заслуживает особого внимания. Это упоминание о фокусах эллипса (либо гиперболы). Фокусы – две особые точки, характерные для этих двух фигур. Они имеют много свойств, но для нас важно одно: сумма расстояний от любой точки эллипса до обоих его фокусов есть величина постоянная (равная удвоенному большому диаметру эллипса). Фокусы гиперболы имеют то же свойство, но здесь этой же постоянной величине соответствует разница между аналогичными расстояниями.
Примерно в 250 г. до н. э. Эратосфен Киренский использовал геометрию для определения размеров Земли. Он заметил, что в полдень летнего солнцестояния светило находится практически прямо над Сиеной (нынешним Асуаном), поскольку его лучи падают прямо в вертикальную штольню колодца. В тот же день года тень от высокой колонны в Александрии показывает, что солнце отклонилось на 1/50 от полной окружности (около 7,2º) от вертикали. Греки знали, что Земля круглая, а Александрия расположена практически на одном меридиане с Сиеной, и, согласно геометрии, дуга окружности сферы совпадет с расстоянием от Александрии до Сиены и равна 0,02 окружности Земли.
Эратосфен знал, что верблюду нужно 50 дней на переход от Александрии до Сиены, если он будет проходить каждый день по 100 стадий. Значит, расстояние от Александрии равно 5000 стадий, а длина окружности Земли равна 250 тыс. стадий. К несчастью, мы не можем точно сказать, какова была длина стадии у древних греков. Наиболее вероятной величиной считается 157 м, т. е. окружность Земли по данным Эрастофена равна 39 250 км. Современные данные – 39 840 км.
Как Эратосфен измерил окружность Земли
С помощью конусов греки производили трисекцию угла и удвоение куба. При помощи других специальных кривых, особенно квадратрисы, они также могли найти квадратуру круга.
Древние греки внесли две основные идеи в развитие нашей цивилизации. Первая – систематизированный подход к геометрии. Используя ее как инструмент исследований, греки открыли форму и размеры нашей планеты, ее взаимодействие с Солнцем и Луной и даже сложнейшие связи с остальной Солнечной системой. Они использовали геометрию, прокладывая два туннеля с обоих концов так, чтобы они точно встречались посередине, тем самым вдвое сокращая время строительства. Они умели строить гигантские и мощные механизмы, исходя из таких простейших принципов, как закон рычага, и в мирных, и в военных целях. Они использовали геометрию для строительства кораблей и в архитектуре. Такие их постройки, как Парфенон, до сих пор показывают, что математика и красота неразрывны. Поразительная элегантность Парфенона – результат искусных подсчетов, использованных архитекторами для преодоления ограничений визуального восприятия и избавления от ошибок в самом основании, на котором построен храм.
Второй важный вклад древних греков – систематическое использование логических заключений для подтверждения формулы: то, что утверждается, может быть доказано. Эта философия породила логическую аргументацию, но свою самую убедительную форму она приобрела в геометрии Евклида и его последователей. Дальнейшее развитие математики было бы невозможным без этого прочного логического фундамента.
Новый стадион Уэмбли. В постройке использованы принципы, открытые в Древней Греции и успешно развитые за много веков
Гипатия – первая женщина-математик, о которой упоминается в письменных источниках. Она была дочерью Теона Александрийского, тоже математика, и, скорее всего, училась у него. К 400 г. н. э. она возглавила александрийскую школу неоплатонистов и преподавала там философию и математику. Многие исторические источники подтверждают ее учительский талант.
Мы не знаем, насколько талантлива была Гипатия как математик, но она помогла Теону написать комментарии к «Альмагесту» Птолемея, а также участвовала в подготовке новой редакции «Начал», на которой основаны все последующие издания этой книги. Ее перу принадлежат комментарии к «Арифметике» Диофанта и «Коникам» Аполлония Пергского.
Среди слушателей Гипатии оказалось много последователей новой тогда религии – христианства; в их числе был и Синезий Киренский. Сохранились некоторые его письма к Гипатии с искренними похвалами ее способностям. К несчастью, многие ранние христиане воспринимали философию и науку, преподаваемые Гипатией, как язычество и были недовольны ее влиянием на учеников. В 412 г. у недавно избранного патриарха Александрии Кирилла возникли разногласия с римским префектом Орестом. Гипатию с Орестом связывала тесная дружба, а ее преподавательский и ораторский дар расценили как прямую угрозу христианству. Ученую, обвиненную в разжигании охватившей Александрию смуты, растерзала толпа религиозных фанатиков. Но некоторые источники утверждают, что Гипатия слишком увлеклась политикой и сама навлекла на себя гнев толпы.
Ее гибель была ужасной: женщину буквально расчленили самым варварским способом, используя осколки черепицы (по некоторым источникам – раковины устриц). Затем ее останки сожгли. Возможно, Гипатию обвинили в колдовстве, и тогда это первая публичная казнь ведьмы толпой фанатичных христиан, ведь по закону Константина II ведьму полагалось казнить, «разрывая кости железными крюками».
Оба эти вклада не утратили значения и по сей день. Современное инженерное искусство – компьютеризированное проектирование и производство, например, – невозможно без солидной базы геометрических принципов, открытых в Древней Греции. Любое здание строится так, чтобы не развалиться под своим весом, а многие даже способны выстоять при землетрясениях. Кирпичная башня, подвесной мост, футбольное поле – очередная дань геометрии древних греков.
И рациональное мышление, и логические аргументы по-прежнему существуют. Наш мир стал слишком сложным и потенциально слишком опасным, чтобы принимать решения скорее исходя из своих убеждений, чем из реального положения дел. И научный метод был выстроен так тщательно именно для того, чтобы преодолеть глубоко сидящее в нас желание верить, будто то, что мы якобы знаем и что нас устраивает, истинно. В науке особое внимание как раз направлено на то, чтобы доказать ошибочность таких глубинных убеждений. И только те идеи, что устояли перед самыми жестокими попытками их развенчать, могут быть признаны близкими к правде.
Формула Архимеда для вычисления объема шара действует и сейчас. Одно из приложений, требующих особенно точного значения π, – стандарты мер и весов, используемые всеми учеными. Например, многие годы метр определялся как длина стержня из определенного вида металла при определенной температуре.
Все больше современных единиц измерения сейчас описывают в таких величинах, как, например, время, необходимое атому определенного элемента для совершения какого-то числа колебаний. Но многие единицы измерений по-прежнему основаны на физических объектах, и масса тела – одна из них. Сегодня один килограмм можно определить как массу одного особого шара из чистого кремния, хранящегося в Париже. Шар был обработан с необычайно высокой точностью. Плотность кремния также была измерена очень точно. А формула Архимеда необходима для вычисления объема шара, который связывает плотность с массой.
Принцип трассировки луча и получение отражения
Еще один пример современного применения геометрии – компьютерная графика. Кинематограф всё шире использует возможности сгенерированного компьютером изображения (computer-generated images, CGI), и часто это необходимо, чтобы включить в картинку отражения – в зеркале, бокале вина, любой поверхности, отражающей свет. Без них теряется реалистичность. Самый эффективный способ этого добиться – трассировать луч. Когда мы смотрим на сцену под каким-то определенным углом, наш глаз реагирует на луч света, отраженный от объекта на сцене и попавший в глаз с этого направления. Мы можем отследить путь этого луча в обратном направлении. От любой отражающей поверхности луч отскакивает, так что исходный и отраженный угол одинаковы (см. рис. выше). Перевод этого геометрического факта в численные выражения позволяет компьютеру трассировать луч по обратному пути, сколько бы точек отражения ни потребовалось ему, прежде чем он встретит на своем пути что-то непрозрачное (здесь может быть несколько точек – если, например, поставить перед зеркалом бокал вина).
Глава 3. Народы и числа
Мы так привыкли к нашей системе счисления с использованием десяти цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, что для некоторых настоящим потрясением становится существование иных способов изображения числа. Но даже в наши дни во многих культурах – арабской, китайской, корейской – для десяти цифр применяют другие символы, хотя все комбинируют их для обозначения больших чисел при помощи метода позиционирования (сотни, десятки, единицы). Но разница в обозначениях может быть еще больше. Десять – вовсе не такое уж незаменимое число. Да, оно отражает число пальцев на обеих руках, удобно для счета, но если бы у нас было по семь пальцев или по двенадцать, то очень схожие системы работали бы ничуть не хуже, а то и лучше.
Римские цифры
На Западе многие знакомы по крайней мере с одной альтернативной системой – римскими цифрами. Например, год 2007 в ней выглядит как MMVII. Многие из нас смогут, если им напомнить, назвать по меньшей мере два способа изображения чисел, которые не являются целыми: обычные дроби, как 3/4, и десятичные, например 0,75. Но есть еще один способ цифровой записи, используемый в калькуляторах: экспоненциальная запись для изображения сколь угодно больших и сколь угодно малых чисел, например 5 × 109 для пяти миллиардов (часто в виде выражения 5Е9 на экране калькулятора) или 5 × 10–6 для пяти миллионных.
Эти системы символов развивались тысячелетиями, и в культурах появлялись самые разные их альтернативы. Мы уже упоминали о шестидесятеричной системе вавилонян (которая, естественно, удовлетворила бы любое существо с 60 пальцами) и более простые, но ограниченные египетские символы со странным делением на доли. Позже в Центральной Америке майя изобрели и использовали двадцатеричную систему. Человечество остановилось на современной символике относительно недавно, и она также прошла через фильтр из традиций и условностей. И хотя математика – наука концепций, а не символов, удачный выбор символов для нее очень важен.
Греческие цифры
Историю символов для изображения цифр продолжили древние греки. Греческая геометрия стоит на порядок выше вавилонской, а вот арифметика – насколько мы можем судить по сохранившимся источникам – нет. Греки даже сделали большой шаг назад: они не воспользовались возможностями позиционной системы счисления. Они предпочли особые символы для чисел, кратных 10 или 100, так что, например, символ для 50 имел мало общего с изображениями 5 или 500.
Первые свидетельства записи чисел в Греции датируются примерно 1100 г. до н. э. Около 600 г. до н. э. они изменились и к 450 г. до н. э. скорректировались еще раз с принятием аттической системы счисления, немного похожей на римскую. В ней использовались символы I, II, III и IIII для чисел 1, 2, 3 и 4. Для числа 5 греки взяли заглавную «пи» (Π), возможно потому, что это первая буква в слове «пента» («пять»), 10 изображалось как Δ, первая буква в слове «дека» («десять»), 100 – как Η, первая буква в «гекатон» («сотня»), 1000 – как Ξ, первая буква «хилиои» («тысяча»), 10 000 – как Μ, первая буква «мюриой» («мириада».). Позже Π заменили на Γ. Итак, число 2178, например, было бы записано как ΞΞΗΔΔΔΔΔΔΔΓIII.
Пифагорейцы сделали числа основой своей философии, но мы так и не знаем, как они их изображали. Их одержимость квадратными и треугольными числами позволяет предположить, что они обозначали числа сочетаниями точек. В период классицизма, между 600 и 300 г. до н. э., греческая система снова изменилась, и 27 разных букв их алфавита стали выражать числа от 1 до 900, как в этой таблице.
Здесь мы уже видим строчные греческие буквы, дополненные тремя дополнительными, заимствованными из финикийского алфавита:
Чтобы отличать буквы, обозначающие цифры, греки ставили над ними горизонтальную черту. Для чисел больше 999 значение их символа могло быть умножено на 1000, если перед ним поставить штрих.
Разные способы, предложенные греками, удовлетворяли потребность записывать результаты подсчетов, но не были приспособлены для выполнения самих расчетов (попробуйте, например, представить себе умножение σμγ на ωλδ). Возможно, процесс подсчета был заменен использованием абака или просто камешками в песке, особенно в ранние времена.
Дроби греки записывали несколькими путями. Первый – числитель, за ним один штрих (′), а за ним знаменатель с двумя штрихами (′′). Часто знаменатель записывали дважды. Итак, 21/47 будет выглядеть как:
κα′ μζ′′ μζ′,
где κα равно 21, а μζ – 47. Также они использовали дроби, похожие на египетские, где имелся особый символ для 1/2. Некоторые греческие астрономы, особенно Птолемей, использовали шестидесятиричную вавилонскую систему для точности, но греческие символы для самой записи чисел. Это вовсе не похоже на то, чем мы пользуемся сегодня. Фактически это полный хаос.
Индийские цифры
Символы, которые используются сейчас в десятеричной системе, часто называют индийско-арабскими, потому что они происходят из Индии, откуда их позаимствовали арабы и позже усовершенствовали.
Самые ранние индийские цифры больше всего напоминают символы древних египтян. Например, в текстах кхароштхи, датируемых 400 г. до н. э. – 100 г. н. э., встречаются такие обозначения чисел от 1 до 8:
| || ||| X |X ||X |||X XX
с особым символом для 10. Первые признаки того, что постепенно приняло вид современной системы чисел, обнаружены в текстах брахми, датируемых примерно 300 г. до н. э. В буддийских текстах того времени найдены прообразы позднейших индийских символов для 1, 4 и 6. Но в системе брахми использовались разные символы для умножения на 10 и на 100, т. е. она оказалась ближе к греческой символике. Разница в том, что здесь предпочтение отдавалось символам, а не буквам алфавита. Брахми не была позиционной системой. К 100 г. н. э. сформировалась ее полная запись. Изображения в пещерах и на монетах доказывают, что ею продолжали пользоваться до IV в. н. э.
В IV–VI вв. на большую часть Индии распространилась власть империи Гуптов, и система чисел брахми преобразуется в систему гупта. Затем ее преобразуют в систему нагари. Суть оставалась прежней, менялись лишь символы.
Возможно, индусы изобрели позиционную систему еще в I в. н. э., но первые достоверные свидетельства использования такой записи чисел относятся к 594 г. Существует официальный документ, датированный 346 г. по календарю Чеди, но ряд ученых считают эту дату поддельной. Однако есть общее мнение, что позиционную систему в Индии стали использовать около 400 г. н. э.
Цифры в системе брахми
Однако, поскольку символов было всего девять, от 1 до 9, возникала проблема двусмысленности обозначения. Например, что значит 25? Это может (в нашей системе) значить 25, или 205, или 2005, или 250 и т. д. В позиционной системе, где значение цифры зависит еще и от ее места, очень важно определить положение так, чтобы избежать двусмысленности. Сегодня мы добиваемся этого, используя десятый символ – ноль (0). А у древних цивилизаций ушло немало времени на то, чтобы выявить проблему и решить ее таким путем. Одной из причин была философская: как может ноль быть цифрой, если цифра обозначает количество предметов? Разве ничто можно сосчитать? Другая – практическая: обычно из контекста и так было ясно, что 25 означает именно 25, или 250, или что-то еще.
Незадолго до 400 г. до н. э. – точную дату установить невозможно – вавилоняне ввели специальный символ, чтобы показать пропущенную позицию в обозначениях цифр. Это освободило писцов от необходимости тратить силы на то, чтобы оставлять тщательно выверенное пустое место, и позволило легко и без ошибок определять число даже в случае, если оно было записано небрежно. Но об этом изобретении почему-то забыли (или оно не дошло до поздних культур), пока его заново не открыли индусы. Манускрипт Бакшали, дата написания которого пока точно не установлена, относят к периоду примерно между 200 и 1100 гг. н. э. Он содержит жирную точку. Джайнистский текст Локавибхаага 458 г. использует идею нуля, но не символ. Позиционная система, всё еще без нуля, представлена Арьябхатой в 500 г. н. э. В дальнейшем индийские математики также использовали понятие «ноль», но не символ. Первое бесспорное использование нуля в позиционной системе, датированное 876 г. н. э., появляется на каменных скрижалях Гвалиора.
Брахмагупта, Махавира и Бхаскара
Самыми выдающимися математиками Древней Индии считают Арьябхату (род. 476), Брахмагупту (род. 598), Махавиру (XI в.) и Бхаскару II (род. 1114). Формально их следовало бы причислить к астрономам, поскольку в то время математика считалась одной из астрономических техник. Их математические выкладки были разбросаны в отдельных главах в трудах по астрономии: никто не придавал им статуса самостоятельной науки.
Арьябхата утверждал, что свой труд «Арьябхатия» он создал в 23 года. Несмотря на краткость изложения, посвященный математике раздел его книги напичкан сведениями: буквенная система записи чисел, правила арифметики, методы решения простых и квадратных уравнений, тригонометрия (включая функции синуса и «обращенного синуса» 1 – cos θ). Также ему принадлежит превосходное по точности приближение 3,1416 для числа π.
Брахмагупта – автор двух книг: «Брахма-спхута-сиддханта» и «Кханда-кхадьяка». Первая – самая важная: это астрономический текст с углублением в математику, с арифметическими и словесными эквивалентами простой алгебры. Вторая книга в числе прочего включает замечательную интерполяционную формулу для вычисления синусов на основе небольшого числа известных табулированных значений этой функции: используются значения большего и меньшего углов, чем искомый.
Махавира исповедовал джайнизм и включил много положений этой религии в свой труд по математике, «Ганита-сара-самграха». Эта книга во многом повторяет труды Арьябхаты и Брахмагупты, но идет гораздо дальше и в целом намного сложнее. Она содержит описание дробей, перестановок и комбинаций, решение квадратных уравнений, теорему Пифагора и попытку вычислить периметр эллипса.
Бхаскара (известный также как «учитель») написал три известных труда: «Лилавати», «Биждаганита» и «Сиддханта-широмани» («Венец учения»). Согласно Фейзи, придворному поэту при могольском императоре Акбаре, дочь Бхаскары звали Лилавати. Отец решил составить ей гороскоп и вычислить точное время ее свадьбы. Чтобы придать своим манипуляциям наибольшую эффектность, он поместил дырявую чашку в таз с водой, так что в самый ответственный момент она должна была погрузиться на дно. Но Лилавати так низко наклонилась над водой, что жемчужинка с ее расшитого бусами платья отскочила и упала в чашку, закупорив дырку. Чашка так и не утонула, а это означало, что день свадьбы Лилавати никогда не наступит. Чтобы утешить дочь в ее горе, Бхаскара написал для нее труд по математике. Правда, легенда не уточняет, что подумала об этом сама девушка.
Древняя обсерватория Джантар-Мантар возле Джайпура. Сегодня очевидно, что дизайнер был прекрасным математиком
«Лилавати» посвящена сложным идеям арифметики и содержит метод девятки, при котором числа заменяют суммой составляющих их цифр, чтобы проверить результат вычислений. Там же приводятся правила проверки делимости на 3, 5, 7 и 11. Четко прописаны функции нуля как самостоятельной цифры. В «Биждаганите» мы находим способы решения уравнений. «Сиддханта-широмани» связана с тригонометрией: здесь есть таблицы синусов и различные тригонометрические соотношения. Репутация Бхаскари была столь прочной, что его книги переиздавали вплоть до начала XIX в.
Самый древний из дошедших до нас математических текстов Китая – книга, отредактированная Чжан Цаном и датируемая примерно 100 г. н. э. Типичная задача такова: «Два с половиной пикуля риса были куплены за 3/7 ляна серебра. Сколько пикулей можно купить за 9 лянов?» Предполагаемое решение использует математический принцип, названный средневековыми математиками тройным правилом. В современных обозначениях, взяв за
откуда
Индийская система
Индийская система начала распространяться по арабскому миру еще до того, как полностью сформировалась на родине. Ученый Север Себохт так описывал ее использование в Сирии в 662 г.: «Я опущу все дискуссии о науке в Древней Индии ‹…› об их превосходных открытиях в астрономии ‹…› и других ценных методах вычисления ‹…› я хочу лишь сказать, что все эти вычисления были сделаны при помощи девяти цифр».
В 776 г. при дворе Великого халифа появляется путешественник из Индии и демонстрирует свои способности в сиддханта – методе подсчетов, а также в тригонометрии и астрономии. Судя по всему, основой его вычислений служила «Брахма-спхута-сиддханта» Брахмагупты, написанная в 628 г., но в любом случае его труд был прекрасно переведен на арабский.
На первых порах индийской системой пользовались только ученые, и лишь позже этот метод стал распространяться в арабском деловом сообществе, а потом и в быту, вплоть до 1000 г. Но изданный в 825 г. труд Аль-Хорезми «Книга об индийском счете» принес индийской системе широкую известность в арабском мире. Четырехтомный труд другого математика, Аль-Кинди, «О применении индийской арифметики» (830) укрепил уверенность ученых в возможности записать любое число при помощи всего десяти цифр.
Темные века
Арабский и индийский мир делали выдающиеся шаги как в математике, так и в остальных науках, а Европу охватил период относительного застоя, хотя Средние века всё же нельзя назвать темными временами в полном смысле. Было заметно продвижение вперед, но медленное и будто нерешительное. Скорость изменений стала нарастать с момента, когда в Европе распространились научные открытия Востока. Из европейских стран Италия расположена ближе всего к арабскому миру, и вполне естественно, что достижения соседей, умудренных в математике, попадали в Европу через Италию. Венеция, Генуя и Пиза уже в то время были важными центрами торговли, и купеческие корабли ходили отсюда до Северной Африки и восточного побережья Средиземноморья. Они активно обменивали европейскую шерсть и древесину на шелк и специи.
Помимо торговли в прямом смысле – материальными ценностями, – не менее активно велись и «продажи» научных идей. Именно по торговым путям в Европу проникли арабские открытия в математике и других науках, зачастую передаваемые из уст в уста. Благодаря торговле Европа добилась процветания, на смену бартеру пришли деньги, система расчетов, вкладов и пошлин стала намного сложнее. Эквивалентом карманному калькулятору того времени был абак – простые счеты, где костяшки на проволоке изображали числа. Но эти числа требовалось еще и записать на бумаге для легитимности сделок и составления отчетов. Купцы отчаянно нуждались в надежном способе записи чисел, а также в простых и быстрых методах вычислений.
Влиятельной фигурой был в то время Леонардо Пизанский, более известный под прозвищем Фибоначчи, чей труд «Книга абака» был опубликован в 1202 г. (По-итальянски «abbaco» означает «вычисление», так что не стоит путать его с абаком – латинскими счетами.) В своей книге Леонардо познакомил Европу с индийско-арабскими обозначениями цифр.
Эволюция западных символов цифр
В «Книге абака» есть одно нововведение, сохранившееся до наших дней: горизонтальная черта в дроби. Индусы использовали те же символы, но без черты; судя по всему, первыми ее предложили арабы. Фибоначчи применял ее очень часто, но его подход отличается от современного. Например, он мог одну черту использовать как элемент сразу нескольких самостоятельных дробей.
Поскольку дробям в нашей истории отводится крайне важное место, стоит сделать несколько уточнений. В такой дроби, как
Поделиться книгой: