Книга 1. Звезды свидетельствуют.

Вследствие прецессии, ось равноденствия, — то есть прямая пересечения эклиптики и экватора, — вращается в плоскости эклиптики. Результатом вращения θ является некоторое изменение угла наклона оси ОС к эклиптике. Наконец, величина φ определяет скорость вращения Земли вокруг оси ОС. В теоретической механике величина φ называется скоростью собственного вращения. Она существенно больше угловых скоростей ψ и θ. С точки зрения теоретической механики это обстоятельство является отражением того, что устойчивое вращение твердого тела происходит вокруг оси, близкой к оси наибольшего момента инерции, то есть вокруг наименьшей оси эллипсоида инерции. Напомним, что Земля слегка сплюснута с полюсов.

Итак, ω = ψ + θ + φ, где знаком «+» обозначена сумма векторов. Каждая из скоростей ψ, θ, φ содержит одну постоянную (или почти постоянную) составляющую и сумму большого числа небольших периодических членов, называемых нутациями. Пренебрегая ими, получаем следующую картину вращения Земли.

1. Постоянная составляющая скорости ψ называется прецессией в долготе. Она равномерно перемещает ось ОС по круговому конусу со скоростью примерно 50″ в год, рис. 1.2. При этом ось равноденствия вращается по эклиптике по часовой стрелке, если смотреть со стороны северного полюса эклиптики. Вектор прецессии направлен к южному полюсу эклиптики.

2. Постоянная составляющая скорости θ сегодня приблизительно равна 0,5″ в год.

3. Постоянная составляющая скорости φ — это среднее собственное вращение Земли с периодом в одни сутки вокруг оси ОС против часовой стрелки, если смотреть с северного полюса Земли.

Отметим, что ось ОР — нормаль к плоскости эклиптики, вектор со — мгновенная угловая скорость Земли, и ось ОС — третья ось инерции, лежат в одной плоскости. Прецессия поворачивает эту плоскость вокруг оси ОР.

Нутационные члены в скоростях ψ, θ, φ искажают описанную выше картину вращения. Поэтому вектор ω движется в пространстве не по идеальному конусу, а по «волнистой» поверхности, все время находящейся около конуса. На рис. 1.2 траектория, прочерчиваемая концом вектора ω, изображена волнистой линией.

Две окружности, лежащие на небесной сфере, — эклиптика и экватор — пересекаются под углом ε = 23°27′ в двух точках Q и R, рис. 1.1. Солнце в своем годичном движении вдоль эклиптики два раза пересекает экватор в этих точках. Точка Q, в которой Солнце в своем движении переходит в северное полушарие, называется точкой весеннего равноденствия. В этот момент длительности дня и ночи совпадают в каждой точке земной поверхности. Точка R — это точка осеннего равноденствия, рис. 1.1.

Подвижная эклиптика постепенно поворачивается. Поэтому точка весеннего равноденствия постепенно перемещается вдоль экватора, одновременно смещаясь и вдоль эклиптики. Скорость смещения точки равноденствия вдоль эклиптики и есть прецессия в долготе. Смещение точек равноденствия вызывает «предварение равноденствий», рис. 1.1.

2. Экваториальные и эклиптикальные координаты

Для записи наблюдений небесных светил нужны какие-либо удобные координаты, позволяющие фиксировать положения небесных объектов относительно друг друга. Существует несколько таких систем координат. Прежде всего, это экваториальные координаты, задаваемые следующим образом.

На рис. 1.1 отмечены северный полюс N и небесный экватор, содержащий дугу QB. Можно считать, что с достаточной для нас точностью плоскость небесного экватора совпадает с плоскостью земного экватора. При этом мы считаем, что центр Земли помещен в точку О — центр небесной сферы. Точка Q — это точка весеннего равноденствия. Пусть точка А изображает произвольную неподвижную звезду. Рассмотрим меридиан NB, проходящий через северный полюс и звезду А. Точка В — точка пересечения меридиана с плоскостью экватора. Дуга QB = α изображает экваториальную долготу звезды А. Эта долгота называется также прямым восхождением. Дуга отсчитывается в сторону, противоположную направлению движения точки весеннего равноденствия Q. Следовательно, с течением времени в силу прецессии прямые восхождения звезд медленно увеличиваются.

Дуга меридиана АВ = δ изображает на рис. 1.1 экваториальную широту звезды А, называемую также склонением звезды А. Если пренебречь колебаниями эклиптики, то склонения звезд, расположенных в северном полушарии, с течением времени медленно уменьшаются, из-за смещения точки весеннего равноденствия Q. При этом склонения звезд, расположенных в южном полушарии, медленно увеличиваются.

При суточном движении Земли склонения звезд не меняются, а прямые восхождения равномерно изменяются, со скоростью вращения Земли.

Другой часто используемой системой, особенно в древних звездных каталогах, является эклиптикальная, или эклиптическая система координат.

Рассмотрим небесный меридиан, проходящий через полюс эклиптики Р и через звезду А, рис. 1.1. Он пересекает плоскость эклиптики в точке D. Дуга QD изображает на рис. 1.1 эклиптикальную или эклиптическую долготу l, а дуга AD — эклиптикальную широту b. С течением времени в силу прецессии дуга QD увеличивается, примерно на 1 градус за 70 лет. Следовательно, эклиптикальные долготы со временем равномерно возрастают.

Если пренебречь колебаниями эклиптики, то в первом приближении можно считать, что эклиптикальные широты b не меняются со временем. Именно это обстоятельство сделало эклиптикальные координаты популярными среди средневековых астрономов. Преимущество эклиптикальных координат по сравнению с экваториальными заключается в том, что вследствие прецессии величина l равномерно увеличивается, а величина b постоянна. Изменения же экваториальных координат вследствие прецессии происходят по существенно более сложным формулам, учитывающим ортогональный поворот эклиптики, совмещающий ее с экватором.

Именно поэтому средневековые астрономы стремились составлять свои каталоги в эклиптикальных координатах. Хотя из наблюдений легче найти экваториальные координаты, поскольку их нахождение не требует определения плоскости эклиптики. Положение эклиптики связано с движением Земли вокруг Солнца и требует для своего определения нетривиальных методов, влекущих за собой дополнительные систематические ошибки в координатах всех звезд. Открытие того факта, что эклиптика колеблется со временем, привело к тому, что в звездных каталогах стали приводить не эклиптикальные, а экваториальные координаты звезд. Гак это делается и сегодня. «Преимущество» эклиптикальных координат исчезло.

3. Способы измерения экваториальных и эклиптикальных координат

Вкратце остановимся на конкретных способах измерения экваториальных и эклиптикальных координат. Мы опишем простую геометрическую идею, лежащую в основе таких измерительных приборов, как квадрант, секстант, меридианный круг и др.

Пусть наблюдатель Н находится на поверхности Земли на широте φ. См. рис. 1.3 и рис. 1.4. Достаточно легко определить прямую HN', направленную на северный полюс мира и параллельную ON. Далее, надо определить меридиан, проходящий через точку Н, и установить на поверхности Земли вертикальную стенку, направленную вдоль этого меридиана, рис. 1.3 и рис. 1.4. Отмечая на ней направление HN' на полюс мира, мы можем отметить также линию экватора HK', параллельную ОК, отложив угол π/2 от направления HN'. Прямой угол N'HK' делится на градусы. В результате получается угломерный астрономический прибор: четверть разделенного круга, расположенная в вертикальной плоскости (по отвесу). Основа этого прибора заложена в меридианных инструментах. С его помощью можно измерять склонения звезд, то есть их экваториальные широты, а также отмечать моменты прохождения звезд через меридиан, через так называемый вертикал.

Рис. 1.3. Принцип измерения координат звезд.

Рис. 1.4. Измерение координат звезд при их прохождении через меридиан.

Из серии независимых наблюдений можно с высокой точностью определить плоскость экватора на данной широте. Поэтому склонения можно измерять достаточно точно. В то же время, как видно из описанной элементарной небесной механики, измерение долгот требует фиксации моментов прохождения звезд через меридиан. Для этого нужны либо достаточно точные часы, либо дополнительный прибор, позволяющий быстро измерить расстояние по долготе между интересующей нас звездой и фиксированным меридианом. В любом случае измерение долгот является существенно более тонкой операцией. Поэтому следует ожидать, что средневековые астрономы должны были определять прямые восхождения более грубо, чем склонения.

Для определения эклиптикальных координат звезд наблюдатель H должен сначала определить положение на небе эклиптики. Это весьма непросто и требует хорошего понимания геометрических элементов в движении Земли и Солнца. Древние способы определения угла наклона эклиптики к экватору и положения оси равноденствия при помощи армиллярной сферы или астролябии описаны, в частности, в [614]. Важно отметить, что непосредственно измерять эклиптикальные координаты серии звезд можно лишь при помощи того или иного часового механизма, который позволял бы компенсировать суточное вращение Земли и удерживать постоянным направление на точку равноденствия. Очевидная трудность решения этой задачи приводила к тому, что при реальном вычислении эклиптикальных координат астрономы пользовались либо формулами поворота небесной сферы, либо небесными глобусами, на которые наносилась сетка как экваториальных, так и эклиптикальных координат. После этого, зная экваториальные координаты, можно было вычислить эклиптикальные. Естественно, возникали неизбежные ошибки, связанные с неточностью определения положения эклиптики по отношению к экватору и положения оси равноденствия.

Из этого краткого обсуждения способов измерения эклиптикальных координат следует, что, вероятнее всего, средневековыми астрономами использовался следующий алгоритм.

1) Определялись экваториальные координаты, причем, широты — с большей точностью, чем долготы.

2) Вычислялось положение эклиптики и оси равноденствия по отношению к экватору.

3) Затем при помощи инструмента или тригонометрических формул, или же на небесном глобусе с двойной сеткой координат, экваториальные координаты пересчитывались в эклиптикальные.

Более того, поскольку все старинные наблюдательные инструменты были связаны с земной поверхностью, — попросту говоря, установлены тем или иным способом на земле, — то описанный алгоритм является единственным реальным способом определения эклиптикальных координат звезд. Тот факт, что наблюдательный инструмент закреплен на земной поверхности и, тем самым, участвует в суточном вращении Земли, означает, что этот инструмент изначально связан с экваториальной системой координат.

Ниже, в результате статистической обработки каталога Альмагеста, мы получим подтверждение описанного выше алгоритма, то есть, приведем аргументы в пользу того, что составитель Альмагеста пользовался именно этим приемом, или эквивалентным ему.

4. Современное звездное небо

Для того, чтобы датировать старый звездный каталог на основании содержащихся в нем числовых значений координат звезд, мы должны уметь рассчитывать положения звезд на небесной сфере в различные моменты времени в прошлом. Отправной информацией служит описание современного нам звездного неба. Из этого описания для нас будут иметь значение лишь координаты звезд, скорости их собственных движений, а также звездные величины.

Забегая вперед, отметим, что предлагаемый нами способ датировки работает лишь при условии, что взаимное расположение звезд меняется со временем. Вращение всей небесной сферы вследствие изменения системы координат на ней не может служить для независимой датировки каталога. Подробнее мы будем говорить ниже.

Итак, обсудим те характеристики звезд, которыми мы будем пользоваться.

Величина звезды в современном каталоге — это число, характеризующее яркость звезды. Чем меньше значение величины, тем звезда ярче. Величины звезд указывались в каталогах еще в древности. Так, Альмагест содержит величины всех перечисленных в нем звезд. Наиболее яркие звезды указаны в нем как звезды первой величины, менее яркие — второй и т. д. В современных каталогах принята такая же шкала для обозначения яркости. Но величины звезд, вообще говоря, являются в них дробными числами. Например, звезда Арктур, имеющая в Альмагесте величину 1, в современном каталоге «The Bright Star Catalogue» [1197] имеет величину 0,24, а Сириус — также звезда первой величины в Альмагесте, — в современном каталоге ярких звезд [1197] имеет величину — 1,6. Таким образом, Сириус ярче Арктура, хотя Птолемей считал, что эти звезды одинаково яркие.

Дело, вероятно, в том, что в древности яркость, то есть величина, звезд определялась наблюдателем «на глаз». При этом имели значение цвет звезды, яркость ее окружения и т. д. Поэтому величину звезды оценивали довольно грубо. В настоящее время величина звезд определяется фотометрическим способом. Сравнение величин звезд в Альмагесте с их современными точными значениями, проведенное в труде Петерса и Кнобеля [1339], показывает, что расхождение не превышает, как правило, одной-двух единиц.

При расчете истинных положений звезд в прошлом, мы, в основном, пользовались каталогом ярких звезд [1197], где приведены характеристики приблизительно 9000 звезд до восьмой звездной величины. Напомним, что невооруженным взглядом заметны звезды вплоть до 6-й или 7-й звездной величины. В звездном каталоге Альмагеста, по утверждению Птолемея, содержатся все звезды до 6-й величины в видимой части неба.

Правда, говоря «все», Птолемей явно преувеличил, поскольку в видимой части неба имеется намного больше звезд до 6-й величины, чем в каталоге Альмагеста. Это одна из причин того, что при попытке отождествления звезд Альмагеста со звездами «рассчитанного назад» современного неба иногда возникают неоднозначности. См. главу 2. С другой стороны, естественно считать, что почти все звезды, которые действительно наблюдал Птолемей, или его предшественники, «дожили» до наших дней и описаны в современном каталоге [1197].

Известный астроном XVII века И. Байер предложил новую систему обозначения звезд в созвездии. Вместо словесного описания положения звезды в фигуре данного созвездия он предложил обозначать каждую звезду греческой буквой. Самую яркую звезду созвездия — буквой α, вторую по яркости — буквой ß и т. д. Например, α Leo — самая яркая звезда в созвездии Льва. Впоследствии Флемстид (1646–1720 годы) присвоил номера звездам в созвездии, а именно, самая западная звезда получила номер 1, следующая к востоку — номер 2 и т. д. Номер Флемстида и букву Байера часто ставят рядом при обозначении звезды. Пишут например так: 32 α Leo. Кроме того, звезда может иметь собственное имя. Таких «именных» звезд сравнительно немного. Собственные имена давались лишь звездам, имевшим в старой астрономии особое значение. Например, звезда 32 α Leo имеет собственное имя «Регул» (Regulus).

Из современного каталога [1197] мы использовали следующие характеристики звезд.

1. Прямое восхождение звезды на эпоху 1900 года, которое ниже обозначается через α₁₉₀₀ и выражается в часах, минутах и секундах.

2. Склонение звезды на ту же эпоху, которое обозначается через δ₁₉₀₀ и измеряется в градусах, дуговых минутах и секундах.

3. Величина звезды.

4. Скорость собственного движения звезды. Скорость собственного движения звезды имеет две составляющие. Первая составляющая — это скорость изменения склонения звезды. Вторая составляющая — скорость изменения ее прямого восхождения. Однако координатная сетка долгот и широт на сфере неравномерна. При приближении к полюсам меридианы все больше и больше сближаются. Поэтому составляющая скорости звезды в прямом восхождении дает искаженное представление об истинной, так сказать «видимой» скорости звезды на небе в направлении параллели. Из-за этого в некоторых современных звездных каталогах составляющая скорости звезды в прямом восхождении дается в приведенном к экватору виде. Это значит, что она умножается на косинус склонения, после чего ее можно понимать как локально евклидову длину проекции вектора скорости звезды на направление экватора (параллели). Это позволяет сравнивать первые компоненты скоростей звезд независимо от их близости к полюсу. Если скорости даны в неприведенном виде, то такое сравнение требует предварительного пересчета.

В каталогах BS4 [1197] и BS5 (Интернет), которыми мы пользовались, скорости даны в приведенном к экватору виде. В каталогах FK4 [1144] и FK5 (Интернет) скорости к экватору не приведены. Как ни странно, это обстоятельство в описаниях астрономических каталогов иногда вообще не отмечается. Проверку того, в каком виде даны скорости в прямом восхождении, приходится проводить исходя из самих численных значений скоростей.

Скорости собственного движения звезд довольно малы. Как правило, они не превосходят 1″ в год, а самые быстрые из видимых невооруженным взглядом звезд, например звезда о2 Eri, μ Cas, движутся со скоростью около 4″ в год.

Траектории движения звезд на интересующих нас временных интервалах размером в 2–3 тысячи лет можно считать прямолинейными. То есть каждая из координат звезды на небесной сфере меняется по равномерному закону. Конечно, это приближение верно вне малых окрестностей полюсов.

В качестве стандартной системы координат на небесной сфере в современных звездных каталогах обычно берутся экваториальные координаты на эпоху начала 1900, 1950 или 2000 года. Мы выбрали систему экваториальных координат на эпоху начала 1900 года. Отталкиваясь от этой системы, мы проводили дальнейшие вычисления и пересчеты в системы координат для произвольной эпохи t.

В первую очередь для датировки каталога Альмагеста нам потребуются координаты звезд, имеющих заметное собственное движение. Естественно, мы будем рассматривать только те быстрые звезды, которые, как считается, вошли в Альмагест.

Вопрос о надежности отождествления современных звезд со звездами Альмагеста мы здесь пока не рассматриваем. Мы подробно изучим его ниже. Для решения задачи отождествления важно знать — имела ли та или иная звезда собственное имя в старых каталогах. Информация о средневековых именах звезд взята нами из каталогов BS4 [1197] и BS5 (Интернет).

Для датировки каталога Альмагеста по собственным движениям нам понадобятся, в частности, следующие два списка звезд из современных каталогов. Эти списки мы здесь только опишем. Сами списки приведены в Приложении 1.

Первый из них мы назовем списком «быстрых» звезд. Составляя его, на первом этапе мы отобрали все звезды, приведенная скорость которых хотя бы по одной из координат не меньше чем 0,1″ в год. Затем — оставили из них лишь звезды, имеющие в своем обозначении греческую букву Байера или номер Флемстида. Это позволило отбросить заведомо бесполезные для датировки Альмагеста звезды. Дело в том, что практически все звезды, отождествленные астрономами со звездами Альмагеста, имеют обозначения Байера или Флемстида, или и те и другие одновременно. Причем, если ту или иную звезду Альмагеста сегодня отождествляют со звездой, не имеющей этих обозначений, это отождествление всякий раз сопровождают серьезные сомнения [1339]. Причина этого понятна. Каталоги Байера и Флемстида появились уже в эпоху ранних телескопических наблюдений, в XVII–XVIII веках. Если некая звезда не вошла в них, то она либо слишком тусклая, либо плохо различима внутри своего звездного окружения. Либо же с ней связаны еще какие-то трудности. Поэтому предполагать, что подобная звезда может быть надежно отождествлена со звездой из Альмагеста, и была хорошо измерена «в древности», вряд ли имеет смысл.

В итоге указанного отбора у нас возник список из видимых невооруженным глазом, «быстрых» звезд современного каталога, имеющих отождествления со звездами из Альмагеста. Естественно, надежность этих отождествлений надо еще отдельно проверять. Этим мы займемся позже.

Составленный нами список видимых невооруженным глазом «быстрых» звезд приведен в табл. П1.1 Приложения 1.

Второй список звезд мы назовем списком именных звезд. Он содержится в табл. П1.2 и табл. П1.3. В табл. П1.2 звезды упорядочены по именам, а в табл. П1.3 — по номерам из каталога ярких звезд [1197]. В этот список вошли все звезды, о которых в каталоге ярких звезд BS4 [1197] сказано, что они имеют или имели ранее собственные имена. Таковы, например, Арктур, Альдебаран, Сириус и др.

Списки быстрых и именных звезд имеют некоторые пересечения. Дело в том, что одна и та же звезда может иметь заметное собственное движение и одновременно иметь собственное имя. Именно такие звезды окажутся наиболее полезными для датировки Альмагеста.

5. Расчет звездного неба «в прошлое»

Расчетные каталоги K(t)

Формулы Ньюкомба-Киношиты

5.1. Необходимые формулы

Имея в своем распоряжении данные о координатах и собственных скоростях звезд современного нам неба, мы можем составить достаточно точный звездный каталог на произвольную эпоху в прошлом. Говоря «достаточно точный», мы имеем в виду, что эта точность соответствует современным астрономическим теориям. Для наших целей этого вполне достаточно. Такую точность можно считать абсолютной по сравнению с точностью старых каталогов.

Расчет положений звезд в прошлом нам пришлось проделать многократно для различных эпох. Для этого мы сначала рассчитывали положения звезд на небесной сфере в году t в координатах α₁₉₀₀, δ₁₉₀₀. Затем мы пересчитывали эти координаты в эклиптикальные координаты l_t, b_t на эпоху t.

Приведем необходимые формулы, позволяющие пересчитать координаты α_s, δ_s в координаты l_s0, b_s0 для любых эпох s, s₀. Эти формулы учитывают прецессию и собственные движения звезд. Указанные формулы, а также рис. 1.5, иллюстрирующий их, заимствованы нами из [1222]. Они получены на основе теории Ньюкомба, модифицированной Киношитой. Сам же пересчет координат описан в следующем пункте 5.2. В этих формулах моменты времени s₀ и s отсчитываются от эпохи 2000 года н. э. в юлианских веках, аθ = s₀ — s. См. рис. 1.5.

φ(s, s₀) = 174o52′27,66″ + 3289,80023″ s₀ + 0,576264″ s₀2 — (870,63478″ + 0,554988″ s₀) θ + 0,024578″ θ2; (1.5.1)

k(s,s₀) = (47,0036″ — 0,06639″ s₀ + 0,000569″ s₀2) θ + (-0,03320″ + 0,000569″ s₀)θ2 + 0,000050″ θ3; (1.5.2)

ε₀(s,s₀) = 23o26′21,47″ — 46,81559″ s₀ — 0,000412″ s₀2 + 0,00183″ s₀3; (1.5.3)

ε₁(s,s₀) = ε₀(s, s₀) + (0,05130″ — 0,009203″ s₀)θ2 — 0,007734″ θ3;

ε(s,s₀) = ε₀(s, s₀) + (-46,8156″ — 0,00082″ s₀ + 0,005489″ s₀2) θ + (-0,00041″ + 0,005490″ s₀)θ2 + 0,001830″ θ3;

ψ(s, s₀) = (5038,7802″ + 0,49254″ s₀ — 0,000039″ s₀2) θ + (-1,05331″ — 0,001513″ s₀)θ2 - 0,001530″ θ3;

χ(s, s₀) = (10,5567″ — 1,88692″ s₀ — 0,000144″ s₀2) θ + (-2,38191″ — 0,001554″ s₀)θ2 — 0,001661″ θ3;

Ψ(s, s₀) = (5029,0946″ + 2,22280″ s₀ + 0,000264″ s₀2) θ + (1,13157″ + 0,000212″ s₀)θ2 + 0,000102″ θ3. (1.5.4)

Рис. 1.5. Вспомогательные величины для пересчета координат звезд из экваториальной системы координат на небесной сфере, отвечающей эпохе t, в эклиптикальную систему координат, отвечающую эпохе t'.

Отметим, впрочем, что расхождение между выводами из теории самого Ньюкомба и из ее модификации Киношитой [1222], использованной нами, для наших целей не имеет никакого значения. Для любого момента времени t из рассматриваемого нами исторического интервала, от 600 года до н. э. до 1900 года н. э. разница в эклиптикальных координатах звезды, рассчитанных по теории Ньюкомба и по ее модификации [1222], пренебрежимо мала по сравнению с ошибками Альмагеста. Мы воспользовались [1222], поскольку там формулы для учета прецессии приведены в виде, удобном для вычислений на компьютере.

5.2. Алгоритм расчета положений звезд в прошлое

Опишем подробно алгоритм расчета звездного каталога K(t), достаточно точно отражающего, согласно теории Ньюкомба, состояние звездного неба в году t. Здесь t — произвольная эпоха из рассматриваемого нами исторического промежутка, а именно, от 600 года до н. э. до 1900 года н. э. Эпоха t отсчитывается от эпохи 1900 года в юлианских веках в прошлое, то есть, t = 1 соответствует эпохе 1800 года, t = 10 отвечает эпохе 900 года н. э., t = 18 отвечает эпохе 100 года н. э. и т. д. Разница в несколько дней, набегающая из-за различия между юлианским и григорианским календарями и приводящая к тому, что, скажем, эпоха 100 года н. э. в нашем понимании не совпадает с эпохой 1 января 100 года н. э., здесь для нас абсолютно несущественна.

Расчетные звездные каталоги K(t) будут служить нам для сравнения с исследуемым старым каталогом, — например, с Альмагестом, — при различных значениях t. Здесь t каждый раз будет иметь смысл произвольной предполагаемой датировки старого каталога. Поэтому расчетные каталоги K(t) должны быть даны в эклиптикальных координатах на эпоху t. Как отмечалось, именно в эклиптикальных координатах составлены все известные старые каталоги, например, Птолемея, ас-Суфи, Улугбека, Коперника, Тихо Браге.

Итак, пусть в современном каталоге, скажем в [1197], звезда имеет экваториальные координаты α0 = α0₁₉₀₀, δ0 = δ0₁₉₀₀. Эти координаты отражают положение данной звезды в 1900 году н. э. в сферической системе координат, экватором которой является земной экватор на 1900 год. Экватор задается плоскостью, ортогональной оси вращения Земли. Эта плоскость, напомним, меняется со временем. Нам требуется определить координаты l_t, b_t, то есть сферические координаты, экватором которых служит эклиптика — плоскость вращения Земли вокруг Солнца — эпохи t. Для этого достаточно выполнить следующие действия.

ШАГ 1. Нужно рассчитать координаты α0(t), δ0(t) звезды на момент времени t в экваториальной системе координат эпохи 1900 года. Напомним, что из-за собственных движений звезд, их положения на небе относительно любой фиксированной системы координат меняются со временем. Требуемый расчет положения звезды делается исходя из известных скоростей собственного движения ν_α, ν_δ звезды по каждой из координат α₁₉₀₀, δ₁₉₀₀.. См. столбцы 5 и 6 табл. 4.1 в главе 4. Для неприведенных скоростей собственного движения имеем

α0(t) = α₁₉₀₀0(t) = α0 — v_α × t, δ0(t) = δ₁₉₀₀0(t) = δ0 — v_δ × t.

Действительно, как было отмечено выше, в пределах рассматриваемого нами интервала времени, собственное движение звезд по каждой из координат α₁₉₀₀, δ₁₉₀₀ можно считать равномерным. Знак минус в приведенных формулах возникает из-за того, что мы отсчитываем время в прошлое, а знаки скоростей ν_α, ν_δ соответствуют естественному течению времени.

Прежде чем практически применять эту формулу, надо привести все входящие величины в одну систему измерений. Скажем, можно измерять α0(t), δ0(t) в радианах, а скорости

ШАГ 2. Нужно перейти от координат α₁₉₀₀, δ₁₉₀₀ к координатам l₁₉₀₀, b₁₉₀₀. После этого мы получаем координаты l0(t), b0(t) нашей звезды на момент времени t в сферических координатах, связанных с эклиптикой эпохи 1900 года. Имеем:

Эти формулы позволяют однозначно восстановить значения β0(t) и α0(t), поскольку -90° < b0(t) < 90° и |l0(t) — α0(t)| ≤ 90°. Величина ε0 — это угол наклона эклиптики 1900 года к экватору 1900 года. См. формулу (1.5.3), в которой, чтобы перейти от 2000 года н. э. к 1900 году н. э., надо положить s₀ = -1.

ШАГ 3. Нужно перейти от координат l₁₉₀₀, b₁₉₀₀ к вспомогательным координатам l1, b1, которые также связаны с эклиптикой 1900 года. Но точка отсчета долгот для них другая, а именно, совпадает с точкой пересечения эклиптики 1900 года и эклиптики эпохи t, то есть П₁₉₀₀ и П(t).

Этот переход осуществляется по формулам:

l1(t) = l0(t) — φ, (1.5.6)