Математика для взрослых

9

Так же как и для тройки, сложите отдельные цифры числа. Если сумма делится на 9, то на 9 делится и все число.

10

Число делится на 10, если оно оканчивается на 0 — проще некуда!

11

Это задача похитрее. Запишите число, по очереди ставя перед его цифрами знаки + и –. Теперь складывайте и вычитайте цифры. Если сумма равна 0 или делится на 11, то на 11 делится и исходное число. Проверим, делится ли на 11 число 49 137. Расставим знаки: +4 –9 +1 –3 +7 и подсчитаем сумму: она равна 0. Значит, 49 137 делится на 11.

Деление больших чисел

В жизни есть вещи, делать которые необязательно. Вам не­обязательно играть в гольф, или расставлять банки на кухне этикетками наружу, или решать до конца газетные кроссворды, а благодаря калькуляторам необязательно и заниматься делением больших чисел. Однако если вас терзает тайное любопытство, способны ли вы сразиться с числами и победить их, не сдерживайте себя. В отличие от таких хобби, как трейнспоттинг5, синхронное плавание или полировка машины, делить большие числа можно, уединившись у себя дома, так что никто об этом не узнает.

Нечасто при делении одного большого числа на другое получается ровный и точный ответ, но порой и такое случается...

Итак, в общей сложности на наследство претендуют 356 человек, а значит, чтобы выяснить, сколько достанется лично вам, нужно разделить 103 596 на 356. Если вы усвоили все, о чем я говорил в этой главе, то в целом вам должно быть ясно, что к чему. Что касается больших чисел, то разница лишь в том, что вам придется немного поугадывать и поумножать.

Лишние нули

Запомните следующий прием. Положим, вам нужно посчитать, сколько будет 6000 ÷ 200. Задачу можно существенно упростить, убрав с конца каждого числа одинаковое количество нулей. То есть 6000 ÷ 200 можно упростить до 60 ÷ 2, что равняется 30. Так проще!

Так какую же сумму вы унаследовали?

Запишите числа так же, как мы это делали прежде:

Открывайте цифры слева направо, пока не достигнете числа, которое больше 356, вот так:

1 больше 356? Нет.

10 больше 356? Нет.

103 больше 356? Нет.

1035 больше 356? Да!

Значит, первая цифра ответа появится над пятеркой.

Чтобы получить первую цифру, надо выяснить, сколько будет 1035 ÷ 356. Для простоты подсчета округлим числа: 1035 это примерно 1000, а 356 —примерно 300. Сколько будет 1000 ÷ 300? Если отбросить по два нуля с конца каждого числа, получится 10 ÷ 3, то есть ответ равен 3 с остатком. Похоже, 3 — хороший вариант, но не будем спешить...

Проверим нашу догадку: умножим 356 × 3 и получим 1068. Результат должен быть меньше 1035, стало быть, наше на глазок подобранное число 3 слишком велико. Попробуем лучше 2: посчитав 356 × 2, выйдет 712.

Записываем 712 под 1035 и вычитаем 1035 – 712 = 323. Итак, 1035, деленное на 365, дает 2 с остатком 323. Поскольку остаток меньше, чем 356, можно заключить, что двойку мы угадали правильно!

Не без самодовольства записываем 2 в качестве первой цифры ответа.

Пора двигаться дальше, открываем следующую цифру — это 9.

Теперь нам нужно угадать, сколько будет 3239 ÷ 356. Давайте рискнем и навскидку скажем, что это 8. Быть может, мы ошибаемся, но если нет, это потешит наше самолюбие.

Для проверки умножаем 356 × 8 = 2848, записываем это число под 3239 и вычитаем, чтобы оценить остаток.

Выходит, что 3239 – 2848 = 391. Упс!

Остаток 391 больше, чем 356, значит, число 8 нам не подходит. В действительности 356 войдет в 3239 еще раз, так что 9 будет в самый раз.

Для проверки умножаем: 356 × 9 = 3204. Придется стереть 2848, записать вместо него 3204 и затем вычесть его из 3239.

(Тут самое время напомнить: никто вам не обещал, что будет легко. Однако сейчас мы специально детально рассматриваем каждый шаг; с опытом вы научитесь считать гораздо быстрее.)

Итак, в самом низу у нас получилось 35. Это меньше, чем 365, стало быть, мы правильно угадали цифру 9 и можем записать ее сверху, после двойки.

Двигаемся дальше и открываем последнюю цифру 6.

Вычисляем 356 ÷ 356. Ура! Нам повезло, потому что выходит ровная, удобная единица. Можно записать ее в ответ, и если вы из тех, кто расставляет банки этикетками в одну сторону, вам наверняка захочется аккуратно завершить расчеты. Умножаем 356 × 1, пишем результат в самом низу и, вычитая, получаем 356 – 356 = 0, то есть без остатка.

Вот как выглядит завершенный расчет с дополнительными умножениями в сторонке. Как видите, в процессе деления можно даже выкроить время для художественного самовыражения.

После таких приключений вы, должно быть, позабыли, что мы все это делали с одной целью — узнать, сколько денег вы унаследовали от тетушки. Что ж, 291 фунт не так уж много, но зато новость о том, что у вас есть 355 кузин и кузенов, стоит того, чтобы закатить вечеринку!

Загадка про нечестного официанта

Теперь, когда мы разделались с этими огромными противными числами, я предлагаю вам прекрасную старую загадку о дележе денег. Многие ее слышали, но не каждый способен понять, что в ней к чему.

Три женщины приходят в ресторан пообедать и получают счет на 30 фунтов. Каждая из них дает официанту банкноту в 10 фунтов, но тот, дойдя до кассы, понимает, что в счете ошибка: должно быть 25 фунтов, а не 30. Официант отсчитывает 5 монет по 1 фунту, но по дороге к столику решает отдать каждой женщине по 1 фунту сдачи, а оставшиеся 2 фунта тихонечко положить себе в карман.

Итак, первоначальный счет был на 30 фунтов. После того как женщины получили сдачу, выходит, что они заплатили 3 × 9 = 27 фунтов, и еще 2 фунта остались в кармане у официанта. 27 + 2 = 29. Куда же делся еще один фунт?

Эта загадка столь хороша, что я не дам ответ на нее сразу, а припрячу его: читайте внимательно, и вы обнаружите его на одной из последних страниц книги. И нечего делать такое лицо: в конце концов, я без промедлений отвечаю на все остальные вопросы!

ПОРЯДОК ДЕЙСТВИЙ

Когда вы сталкиваетесь с длинным выражением, предполагающим выполнение множества небольших математических операций, важно знать, в каком порядке их осуществлять. Очередность должна быть такой.

Выражения, стоящие в скобках.

Возведение в степень.

Умножение и деление.

Сложение и вычитание.

Разбираемся с длинными выражениями

Давайте посмотрим, для чего это может понадобиться депутату местного совета миссис Бомонт, которая готовится к вечеринке в сельском клубе.

Миссис Бомонт зашла в булочную и купила две банки сливок для взбивания по 80 пенсов каждая и три кекса с вишенкой по 32 пенса каждый. Сколько всего она потратила?

Получается выражение: 2 × 80 + 3 × 32. Если просто выполнять операции по очереди, то сперва мы вычислим 2 × 80 = 160, затем 160 + 3 = 163 и наконец 163 × 32 = 5216, или 52 фунта и 16 пенсов. За две банки сливок и три кекса это о-го-го как много! Где же ошибка?

Нужно выполнять умножение и деление до сложения и вычитания.

Поэтому в выражении 2 × 80 + 3 × 32 сначала нужно умножить 2 на 80 и 3 на 32, что даст 160 + 96. После сложения становится ясно, что миссис Бомонт потратила 256 пенсов, или 2 фунта и 56 пенсов.

Теперь миссис Бомонт должна позаботиться о костюмах для четырех своих подруг. Каждой из них нужно леопардовое трико за 17 фунтов, две упаковки серпантина и красная шляпа. Кроме того, миссис Бомонт хочет купить себе за 6 фунтов волшебную палочку, как у феи. Еще у миссис Бомонт как у постоянного клиента есть три талона на скидку по 5 фунтов каждый. Сколько же денег ей предстоит потратить?

Сначала выясним, сколько денег понадобится для каждой из четырех подруг:

трико: 17 фунтов;

серпантин: 2 × 3 фунта;

шляпа: 8 фунтов.

Мы можем записать это как 17 + 2 × 3 + 8. А раз эта сумма нужна для каждой из подруг, заключим выражение в скобки: (17 + 2 × 3 + 8).

Подруг всего четверо, стало быть, и полученное выражение следует умножить на 4. Запишем это так: 4(17 + 2 × 3 + 8). Когда перед открывающей скобкой стоит число, это означает, что все находящееся в скобках нужно на него умножить. Еще миссис Бомонт хочет волшебную палочку, тогда получается 4(17 + 2 × 3 + 8) + 6. Обратите внимание, число 6 стоит за скобками, ведь его умножать на 4 не нужно. И наконец, учитываем и три талона на скидку по 5 фунтов, то есть всего (3 × 5). Эту сумму нужно отнять от стоимости покупок, поэтому ставим перед скобкой минус. В итоге у нас выходит: 4(17 + 2 × 3 +8) + 6 − (3 × 5).

Всегда начинайте вычисления с выражений в скобках!

Начинаем с первой пары скобок: умножаем 2 × 3, что дает (17 + 6 + 8), а затем складываем числа, получается 31. Результат умножения во второй паре скобок (3 × 5) составит 15. Теперь все выражение выглядит так: 4(31) + 6 − (15).

Вспоминаем, что 4 — это множитель для содержимого скобок и умножение нужно выполнить прежде, чем от них избавляться. Получаем 124 + 6 – 15. Следовательно, миссис Бомонт потратит 115 фунтов.

Остался последний вопрос: если ее подруги идут на вечеринку в леопардовых трико и красных шляпах, что же наденет сама миссис Бомонт? Ответ прост: себе костюм она купила в булочной.

ГРУБЫЙ ПОДСЧЕТ

Прежде чем приступать к расчетам, связанным с большими числами, имеет смысл сделать грубую прикидку результата. Особенно это важно при использовании калькулятора, ведь нажать не ту кнопку проще простого.

На футбольном матче в Йорке6 присутствовали 38 452 зрителя, каждый из них заплатил за вход 27,50 фунта (эти данные позаимствованы из снов футбольного менеджера). Четверо контролеров (по одному на каждый вход) решили выяснить, какой должна быть общая выручка, и посчитали на калькуляторах: 38 452 × 27,50.

Увы, у них получилось четыре разных ответа:

а)-105 930 фунтов

б)-1 057 430 фунтов

в)-3 847 950 фунтов

г)-105 734 000 фунтов

Как думаете, кто посчитал правильно?

Округление

Во-первых, упростим числа, сделав их более удобными для вычислений, и для этого их грубо округлим. Оставим только первую цифру каждого числа, а остальные заменим нулями: например 38 452 превратится в 30 000. Однако чтобы приблизительный результат вышел точнее, будем прибавлять к первой цифре 1, если вторая цифра равна или больше пяти. В данном случае вторая цифра 8, поэтому округлим 38 452 до 40 000. Представив эти числа отмеченными на линейке, мы убедимся, что 38 452 и впрямь ближе к 40 000, чем к 30 000:

27,50 фунта можно было бы округлить до 20, но 7 больше 5, поэтому округляем до 30.

Годится. Теперь умножим 40 000 × 30. По сути, это 4 × 3 плюс общее количество нулей. Всего нулей пять, и наш приблизительный ответ равен 1 200 000. Ближе всего к этому числу вариант б) 1 057 430, так что, скорее всего, именно он правильный.

А вот где ошиблись остальные три контролера: а) пропущена цифра 4, в) вместо кнопки × на калькуляторе нажата кнопка +, г) в числе 27,50 пропущена запятая.

Начиная с этого момента некоторые сложные выражения будут отмечаться таким значком с подсказкой, как можно грубо оценить результат.

ДРОБИ

В главе, посвященной делению, мы либо использовали числа, которые делятся полностью, либо оставляли неразделенный остаток. Когда числа необходимо делить на части без остатка, все становится гораздо любопытнее. В таком случае понадобятся дроби, простые или десятичные. Иногда лучше иметь дело с одним видом дробей, иногда с другим — все зависит от ситуации.

Простая дробь — это непосчитанная операция деления. Например, выражение 4 ÷ 7 можно записать как 4/7 (четыре седьмых). У этого подхода есть как приятная сторона — не надо выполнять деление, так и неприятная — вместо одного числа придется иметь дело с двумя.