3. Среднее арифметическое — сумма значений, деленная на их количество.
Пример: определение наиболее типичной зарплаты в нашей стране можно осуществлять по двум показателям — среднему арифметическому и медиане. Первая определяется как количество денег, деленное на количество людей, а второе — как зарплата человека, стоящего ровно посередине между самым бедным и самым богатым. Как правило, эти значения различаются — средняя зарплата выше медианной. И чем это различие больше, тем выше социальное неравенство в обществе.
МЕРЫ ИЗМЕНЧИВОСТИ
Используются, когда нужно отразить степень разброса значений относительно меры центральной тенденции.
Состав:
1. Размах — разность между максимальным и минимальным значениями.
2. Дисперсия — сумма квадратов отклонений, деленная на их количество. Отклонение — это разность между средним арифметическим и конкретным значением. Дисперсии для генеральной совокупности и для выборки вычисляются по разным формулам.
3. Стандартное отклонение — корень из дисперсии.
Пример: предположим, вы владеете заводом, который выпускает гвозди. Для любого массового производства необходимо, чтобы изделия полностью соответствовали некоторому стандарту. Например — длина ваших гвоздей должна быть ровно 10 см. Однако на практике всегда существуют некоторые отклонения от этого стандарта (например 10,2 или 9,7 см). Меры изменчивости позволяют оценить величину этих отклонений. Если стандартное отклонение длины превышает некоторое критическое значение, то ваша продукция не соответствует стандарту, а следовательно — не является качественной.
МЕРЫ РАЗЛИЧИЙ ДЛЯ НЕСВЯЗАННЫХ ВЫБОРОК
Позволяют определить различия между двумя несвязанными выборками. Наличие значимых различий по определенному признаку позволяет с некоторой уверенностью говорить о том, что генеральные совокупности также различаются. Эти методы делятся на параметрические и непараметрические. Первые желательно использовать только тогда, когда ваши данные удовлетворяют следующим требованиям.
1. Данные представлены в метрической шкале. Иными словами, признаки должны быть представлены в определенных единицах измерения (см, кг, сек. и т. д.)
2. Большое число наблюдений (от 30, но лучше более 100).
3. Распределение значений признаков приблизительно соответствует нормальному.
4. Отсутствуют выбросы (значения, на порядок отличающиеся от среднего).
Непараметрические меры различий работают и без этих допущений. Наиболее часто используемые меры различий представлены в таблице.
Пример: предположим, что вы выращиваете помидоры, и вам необходимо определить, какой из двух сортов демонстрирует лучшую урожайность. Чтобы это сделать, вам необходимо подсчитать количество помидоров при каждом кусте и занести эту информацию в таблицу. Дальше вы применяете к этим данным t-критерий Стьюдента и по нему судите о наличии различий между сортами. Если сортов больше двух, то ваш выбор — дисперсионный анализ с последующим сравнением с помощью специальных post-hoc-критериев.
МЕРЫ РАЗЛИЧИЙ ДЛЯ СВЯЗАННЫХ ВЫБОРОК
Позволяют определить различия между двумя связанными выборками. Также делятся на параметрические и непараметрические:
Пример: Представим, что вы преподаватель курсов повышения квалификации, и вам интересно узнать, вынесли ли ваши слушатели что-нибудь полезное с занятий. Чтобы это сделать, вам необходимо разработать некоторый проверочный тест и раздать его слушателям до начала занятий и после их окончания. T-критерий Вилкоксона позволит вам проверить, стали ли слушатели лучше знать ваш предмет. Если же вы провели несколько таких измерений, то ваш вариант — это критерий Фридмана.
МЕРЫ СВЯЗИ
Данный класс критериев (называемых также коэффициентами корреляции) позволяет найти взаимосвязь между переменными. Математически взаимосвязь — это совместное изменение переменных.
Если она положительна и равна 1, то увеличение значения первой переменной сопровождается увеличением значения второй. Если она отрицательна (-1), то высокое значение первой переменной сопровождается низким значением второй. Коэффициент корреляции, равный 0, обозначает отсутствие взаимосвязи.
Самыми популярными коэффициентами корреляции являются r Пирсона (параметрический) и p Спирмена (непараметрический).
Пример: вы решили провести психологическое исследование и выяснить, существует ли взаимосвязь между интеллектом и уровнем дохода. Для этого вам необходимо найти группу испытуемых, измерить их интеллект, узнать их среднемесячный доход и найти коэффициент корреляции. Если он высок и положителен, то более интеллектуальные люди получают больше денег.
Если вы получили подобный результат, необходимо быть очень внимательными при его интерпретации. Поскольку равновероятными могут быть следующие варианты.
Более умные люди получают работу с более высоким заработком.
Высокий доход позволяет больше времени уделять саморазвитию в целом и развитию интеллекта в частности.
Существует неизвестная переменная (фактор), обусловливающая эту взаимосвязь.
Взаимосвязь является случайным совпадением.
РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ
Данная группа методов позволяет построить функциональную математическую модель — уравнение, которое помогает предсказать значение некоторой целевой переменной, используя значения ряда переменных, называемых предикторами.
Наиболее распространенными методами регрессионного анализа являются линейная и логистическая регрессии. Линейная регрессия позволяет предсказать точное количественное значение некоторой переменной, представленной в метрической шкале. Логистическая регрессия позволяет предсказать вероятность принадлежности объекта к тому или иному классу.
Пример: предположим, вы управляете сетью розничных магазинов и хотите получить представление о том, какие факторы влияют на ежемесячную выручку в этих магазинах. Для этого вы должны замерить все возможные факторы, которые, по вашему мнению, могут на эту выручку повлиять: количество людей, посещающих магазин, число сотрудников на кассах, наличие на полках определенного товара и т. д. Затем необходимо построить линейную регрессию, указав в качестве целевой переменной выручку с этих магазинов, а в качестве предикторов — все, что вы замерили.
Получив регрессионную модель, вы сможете не только посмотреть, какие факторы влияют на продажи, но и предсказать, какую выручку будет получать магазин при определенных условиях.
Если вы немного скорректируете вашу задачу и примените метод логистической регрессии, то вы сможете узнать условия, при которых ваш магазин будет прибыльным или убыточным.
ДИСКРИМИНАНТНЫЙ АНАЛИЗ
Дискриминантный анализ во многом похож на логистическую регрессию. Задачу, которую он решает, можно приблизительно сформулировать так: по каким переменным я могу отнести конкретный объект в тот или иной класс.
Пример: предположим, вы проводите медицинское исследование и хотите узнать, по каким диагностическим показателям можно отличить больного человека от здорового. Для этого вы берете группы заведомо здоровых и больных людей и замеряете у них всех возможных «подозреваемых». После этого необходимо провести дискриминантный анализ, который и выявит систему показателей, по которым можно установить конкретный диагноз.
КЛАСТЕРНЫЙ АНАЛИЗ
Кластерный анализ позволяет разбить ваши объекты на классы. При этом число классов может быть заранее неизвестным, либо вы точно знаете их количество. В первом случае ваш выбор — это метод иерархической кластеризации, который последовательно объединяет объекты в группы, основываясь на расстоянии между ними. Для второго случая необходим метод k-средних, который группирует ваши объекты вокруг так называемых центроидов.
Пример: представим себе, что вы занимаетесь онлайн-продажами, и вам необходимо выделить категории клиентов, для того чтобы организовать более эффективную таргетированную рекламу. Чтобы это сделать, вы можете запустить на своем сайте небольшой опросник и, собрав некоторые данные о посещаемости тех или иных страниц, провести кластерный анализ. Если у вас есть некоторые предположения о том, какие именно категории клиентов заходят к вам на сайт, ваш выбор k-средних. Если таких предположений нет — то можно обойтись иерархической кластеризацией.
ФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Факторный анализ позволяет сократить количество переменных, заменив их набором факторов. Кроме того, он может являться предварительной процедурой перед проведением регрессионного анализа в случае, если ряд предикторов коррелирует между собой.
Пример: предположим, вы разрабатываете батарею психологических тестов, предназначенную для диагностики способностей у школьников. После того, как вы составили ряд задач, а также провели их на выборке учащихся, вам необходимо будет провести факторный анализ. Если высокий балл по одной задаче, как правило, сопровождается высоким баллом по другой задаче, значит, за ними скорее всего стоит некоторый общий фактор. Этот фактор и будет указывать на уровень развития той или иной способности.
Приложение 2.
Работа в статистических пакетах
На сегодняшний день существует огромное количество программных продуктов, которые позволяют работать если не со всеми, то во всяком случае с большинством методов, о которых рассказывается в книге. В первом приближении их можно поделить на два класса: те, в которых все команды задаются с помощью текстового ввода (например R и Python), и те, где конкретный метод выбирается с помощью меню. Поскольку рядовой пользователь достаточно редко имеет дело с командной строкой, мы остановимся только на втором классе программ. Самыми популярными из них можно считать следующие.
1. IBM SPSS — мощный пакет, способный справиться с абсолютным большинством статистических задач. Является платным, однако существует и бесплатная 14-дневная версия.
2. StatSoft Statistica — главный конкурент SPSS на отечественном рынке. Также является коммерческим продуктом.
3. R-commander — графический интерфейс для языка программирования R. Как и сам R, распространяется бесплатно.
4. PSPP — бесплатный аналог SPSS со схожим интерфейсом.
5. Microsoft Excel с надстройкой «Анализ данных». Как ни странно, позволяет делать довольно много интересных вещей. Но его интерфейс не является типичным для статистических программ.
Здесь мы рассмотрим, как работать с SPSS. Однако многие вещи, о которых пойдет речь ниже, подходят и для других статистических пакетов. В частности, для любой статистической программы с меню характерна вот такая последовательность работы:
1. Вбить данные в таблицу;
2. Найти нужный метод;
3. Выбрать переменные для анализа;
4. Отметить необходимые опции;
5. Нажать «ОК»;
6. Проинтерпретировать результаты.
При этом первый, пятый и шестой шаги практически полностью идентичны. В частности, когда вы вбиваете данные в таблицу, абсолютное большинство пакетов следуют следующему правилу:
«По строкам — объекты, по столбцам — переменные».
При этом если у вас присутствуют несвязанные выборки, то этот факт кодируется отдельной переменной, которая обозначает принадлежность объекта к той или иной группе (например, 0 — котик и 1 — кошечка). В свою очередь каждая связанная выборка обозначается отдельной переменной (например, «Размер до» и «Размер после»).
Остальные шаги отличаются некоторыми нюансами, которые зависят как от пакета, так и от метода. В частности, в SPSS выбор переменных осуществляется с помощью переноса их в отдельные поля, а, допустим, в Statistica — простым выделением мыши.
Итак, ниже будут приведены алгоритмы работы в программе IBM SPSS Statistics 24 (пробная русская версия с официального сайта). Они будут состоять из четырех разделов:
1. КАК НАЙТИ, в котором указывается путь к конкретному методу. Он всегда начинается с верхнего меню (там, где «Файл», «Изменить» и т. д.);
2. ЧТО ВВОДИТЬ — что необходимо сделать для проведения анализа.
3. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ОПЦИИ, которые позволяют приспособить метод под вашу конкретную задачу.
4. КУДА СМОТРЕТЬ — указание на таблицы и ячейки, в которых содержатся основные результаты анализа.
ОПИСАТЕЛЬНАЯ СТАТИСТИКА И ДИАГРАММЫ
Как найти: Анализ —> Описательные статистики —> Частоты…
Что вводить: Выделите переменные, которые вы хотите проанализировать, и с помощью стрелочки перенесите их в поле «переменные».
Дополнительные опции:
Статистики… — позволяет выбрать конкретные меры центральной тенденции и меры изменчивости.
Диаграммы… — позволяет выбрать диаграммы (круговую или столбчатую).
Формат… — позволяет отрегулировать, в каком виде будет выдаваться результат. Например, можно вывести результаты по каждой переменной по отдельности, а можно — вместе.
Куда смотреть: в таблицы с описательными статистиками и на диаграммы.
T-КРИТЕРИЙ СТЬЮДЕНТА ДЛЯ НЕСВЯЗАННЫХ ВЫБОРОК
Как найти: Анализ —> Сравнение средних —> T-критерий для независимых выборок.
Что вводить:
1. Переместите переменные, по которым хотите найти различия, в поле «Проверяемые переменные».
2. Переместите переменную, которая делит ваши объекты на группы (т. е. На несвязанные выборки), в поле «Группировать по».
3. Задайте группы, либо указав конкретные значения (например 0 и 1), либо обозначив некоторое пороговое, ниже которого будет одна группа, а выше — другая.
Дополнительные опции: ничего интересного.
Куда смотреть: смотрим в таблицу «Критерий для независимых выборок». Слева будет два важных столбца, обозначающих критерий равенства дисперсий Ливиня, который определяет, равны ли между собой дисперсии ваших выборок.
