Статистика и котики

НЕМАЛОВАЖНО ЗНАТЬ!

Сколько нужно котиков?

К настоящему моменту мы продвинулись довольно-таки далеко в вопросах применения статистических критериев для изучения особенностей котиков и других видов животных. Однако за бортом остался очень важный вопрос: сколько котиков необходимо измерить, чтобы критерии давали надежный результат?

Дело в том, что, если вы измерите слишком мало котиков, песиков и слоников, вы можете не зафиксировать даже ощутимые различия. Это может произойти, например, если вам случайно попались очень большие котики и очень маленькие слоники, что при маленьких выборках время от времени случается.

В то же самое время, если вы наберете слишком большую выборку, то даже минимальное отклонение от нулевой гипотезы будет давать значимый результат.

Поэтому котиков должно быть не слишком много и не слишком мало. И чтобы определить, сколько их должно быть, проводятся специальные вычисления.

Оптимальный размер выборки зависит от нескольких факторов, главными из которых являются критический p-уровень значимости (как правило, 0,05 или 0,01) и показатель мощности критерия. Последняя определяется как вероятность того, что этот критерий найдет значимые различия там, где они действительно есть. Оптимальным считается показатель мощности в 0,8. Соответственно, в оставшихся 20% случаев критерий пропустит значимые различия.

Оставшиеся факторы определяются самой природой критерия.

В некоторых статистических программах есть специальные калькуляторы мощности. Выбрав необходимый критерий, задав p <0,05 и мощность выше 0,8 и проделав некоторые дополнительные операции, вы можете получить количество котиков, необходимое для проведения исследований.

Глава 7.

Что делать, если котик заболел

или критерии различий для связанных выборок

Если ваш котик заболел, то его, разумеется, надо лечить. И, как правило, мы делаем это с помощью лекарств. Однако лекарство — штука сложная. Одним котикам оно поможет, на других не повлияет, третьим же может стать хуже.

Отсюда вопрос: как понять, можно ли давать лекарство заболевшему котику или нет? Ответ на него могут дать меры различий для связанных выборок. Нулевая гипотеза таких критериев — после приема лекарств состояние котиков не изменится.

Первое, что приходит в голову, это посчитать количество котиков, которые выздоровели, и число котиков, которым стало хуже, а затем сравнить эти показатели между собой. Котики, на которых лекарство не повлияло, обычно не учитываются.

Такой подход вполне справедлив, и соответствующий метод называется критерием знаков. Однако на практике он применяется нечасто, поскольку не позволяет определить, насколько сильно изменилось состояние котиков.

Гораздо чаще мы можем встретить вариант уже известного нам критерия Стьюдента — t-критерий для связанных (зависимых) выборок. Идея тут также довольно проста. Сначала мы считаем разности между состоянием каждого котика до и после приема лекарств. Затем мы находим среднее значение от этих разностей.

Очевидно, что чем больше это значение, тем сильнее улучшилось или ухудшилось среднее состояние котиков. Если же одной половине котиков стало лучше, а другой — ровно настолько же хуже, то средняя разность будет равна 0.

Завершающим этапом для вычисления t-критерия будет деление средней разности на стандартную ошибку этой разности. Как и с обычным критерием Стьюдента, это необходимо для приведения значения к некоторой стандартной размерности. Правда, сама стандартная ошибка считается здесь немного по-другому.

Однако заметим, что, будучи параметрическим (т. е. использующим в своей формуле среднее значение), этот критерий плохо реагирует на выбросы. Поэтому если таковые есть, используйте его непараметрический аналог — T-критерий Вилкоксона. Он немного напоминает рассмотренный ранее U-критерий Манна-Уитни.

Итак, чтобы его найти, вычислим разности между состоянием до и после (как и в t-критерии Стьюдента). Затем поставим эти разности в один ряд, от самой большой до самой маленькой, назначив им ранги. При этом знак разности не учитывается.

Теперь снова разделим разности на положительные и отрицательные и посчитаем суммы рангов. Логика здесь такая: чем сильнее суммы рангов будут различаться между собой, тем сильнее улучшается или ухудшается состояние котиков.

Сам T-критерий можно получить, либо посмотрев на сумму рангов для нетипичных сдвигов (т. е. более редких изменений состояния котиков), либо с помощью хитрой формулы, которую мы здесь приводить, пожалуй, не будем.

Помимо этих довольно простых методов, для связанных выборок существует свой вариант дисперсионного анализа. Однако о нем мы поговорим уже в следующей главе.

НЕМАЛОВАЖНО ЗНАТЬ!

Эксперимент и как его обработать

Как правило, проверка эффективности того или иного лекарства несколько сложнее, чем описывалось выше. Ведь котики могут выздоравливать и естественным путем. И если мы просто смотрим, как меняется их состояние, то мы не можем быть до конца уверенными, что сильнее повлияло на них — лекарство или их собственный иммунитет.

Для того чтобы разделить эти влияния, проводят специальную процедуру, называемую экспериментом. Для эксперимента требуется две группы котиков — экспериментальная и контрольная. Первой мы даем лекарство, а вторая лечится своими силами.

Каждую группу котиков мы замеряем по два раза: до приема и после приема лекарств. Итого мы получаем четыре замера, которые мы сравниваем между собой с помощью мер различий.

Первое, что мы должны сделать, это сравнить группы до эксперимента. Для этого используются t-критерий Стьюдента для несвязанных выборок или U-критерий Манна-Уитни. Котики при этом не должны различаться. Если в одной из групп котики более здоровы, то это очень плохо, поскольку не позволит четко отследить влияние лекарства.

Далее мы сравниваем экспериментальную группу до и после приема лекарств с помощью t Стьюдента для связанных выборок либо T Викоксона. Если различия есть и состояние котиков улучшилось, то мы можем начинать радоваться. Но не сильно. Ведь вполне возможно, что контрольная группа продемонстрировала тот же результат.

Поэтому последним замером мы смотрим, чем отличаются экспериментальная и контрольная группы после приема лекарств. Если различия есть, и экспериментальным котикам гораздо лучше, чем контрольным, то лекарство реально подействовало.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что лекарство действует, только если до эксперимента между группами различий нет, после — есть и имеются положительные изменения состояния в экспериментальной и контрольной группах. Прочие варианты указывают либо на неэффективность лекарства, либо на неправильную организацию эксперимента.

Важно отметить следующее: поскольку для проверки эффективности лекарства мы вычисляли три критерия, то здесь возникает проблема множественных сравнений. Чтобы ее преодолеть, необходимо применить поправку Бонферрони и сравнивать p-уровень значимости не с 0,05, а с 0,017. В противном случае вы рискуете очень сильно ошибиться в своих выводах.

Альтернатива этому — использование дисперсионного анализа для повторных измерений, о котором будет рассказано в следующей главе.

Глава 8.

Лечение котиков

или дисперсионный анализ с повторными измерениями

Из предыдущего раздела мы узнали, как определить, помогает ли то или иное лекарство, если ваш котик заболел. Однако, иногда котики болеют тяжело, и им требуется специальное лечение в особых котиковых клиниках. И, как правило, это лечение подразумевает регулярную сдачу анализов, чтобы отслеживать, становится ли котикам лучше.

Когда таких сдач много (а точнее, больше двух), возникает проблема множественных сравнений, о которой мы не раз говорили выше. Если кратко, то она заключается в том, что, если вы будете попарно сравнивать первый анализ со вторым, второй с третьим и т. д., вероятность того, что вы ошибетесь в своих выводах, будет возрастать.

Разрешить эту проблему, как и в предыдущем случае, может дисперсионный анализ, а точнее, его особая разновидность — дисперсионный анализ с повторными измерениями. Нулевая гипотеза такого анализа состоит в том, что состояние котиков от пробы к пробе не меняется.

В самом простом варианте мы действуем практически так же, как и при обычном дисперсионном анализе: делим дисперсию на части. В тот раз таких частей было две: первая была обусловлена влиянием лечения (межгрупповая дисперсия), а вторая — остальными факторами (внутригрупповая дисперсия).

Однако важным отличием является то, что мы проводим все измерения на одних и тех же котиках. Иными словами, каждый котик измеряется по несколько раз и, соответственно, вносит свой вклад в общую дисперсию. Таким образом, наша дисперсия делится уже на три части: межгрупповую, внутригрупповую и межиндивидуальную.

Критерий Фишера сравнивает между собой только первые два вклада. Соответственно, чем он больше, тем больше причин отклонить нулевую гипотезу. И опять же — если вы отклонили ее, то попарное сравнение нужно будет проводить с помощью специальных post hoc критериев.

У дисперсионного анализа с повторными измерениями есть свой непараметрический брат-близнец — критерий Фридмана, который применяется, если есть выбросы и/или распределение отличается от нормального.

Идея его достаточно проста. Возьмем одного из котиков, у которого взяли три пробы анализов. Каждой из этих проб мы присваиваем ранг, где один — это самый плохой анализ, а три — самый хороший. То же самое мы делаем и с остальными котиками, получая в итоге вот такую таблицу.

Очевидно, что если первая проба у всех котиков самая плохая, а последняя — самая хорошая, то по итогу суммы рангов будут сильно различаться и нулевая гипотеза будет опровергнута. Обратная ситуация — когда суммы рангов во всех пробах одинаковы. Это будет означать, что лечение никак не повлияло на котиков.

Сам же критерий Фридмана, собственно, и позволяет оценить, насколько различаются эти суммы рангов.

НЕМАЛОВАЖНО ЗНАТЬ!

Сложные эксперименты

Некоторое время назад мы рассмотрели, как правильно обрабатывать простые эксперименты с двумя группами и двумя замерами (до и после воздействия). Однако если групп и замеров больше, то наша задача существенно усложняется.

К примеру, мы разделили наших котиков на три группы: первой мы даем лекарство (экспериментальная), второй не даем лекарство (контрольная), а третьей даем пустышку, но говорим им, что дали лекарство (плацебо-группа). При этом каждая группа замеряется три раза: в начале, середине и конце лечения.

Для обработки такого исследования нам необходим двухфакторный дисперсионный анализ с повторными измерениями. Подобно обычному двухфакторному ДА такой анализ легче всего интерпретируется с помощью графиков.

В частности из этого графика мы можем увидеть, что котики, принимавшие лекарство, выздоровели, плацебо-котикам стало чуть лучше, а контрольные котики так и продолжают болеть. Правда, возможно, на наши результаты могли повлиять небольшие различия между котиками в начале эксперимента.

К слову, все попарные различия между группами в разные моменты также необходимо проверять с помощью post hoc критериев. В частности — с помощью поправки Бонферрони.

Глава 9.

Как сделать котика счастливым

или основы корреляционного анализа