Математические головоломки профессора Стюарта

если вы настаиваете на использовании факториалов. Разумеется, чтобы использовать все четыре единицы, вы можете умножить на 1 × 1, или на 1/1, или прибавить 1–1.

Я непонимающе воззрился на формулу.

– Я узнаю десятичную точку, Сомс, но что означают скобки вокруг 1?

– Период, – ответил Сомс устало. – Нуль запятая 1 в периоде соответствует 0,11111… до бесконечности. Единица в периоде дает число, равное в точности 1/9. Разделив на это единицу, получим 9, корень из 9 равен 3…

– А дальше 3 + 3 = 6, – возбужденно вскричал я. – И еще, конечно,

7 = (1 + 1 + 1)! + 1

обходится без всяких корней. Но 8 – совсем другое дело…

– Обратите внимание, пожалуйста, – сказал Сомс.

8 = 1/0,(1) – 1 × 1

9 = 1/0,(1) + 1 – 1

– Ага! Вот это да! И дальше

10 = 1/0,(1) + 1 – 1

11 = 1/0,(1) + 1 + 1

и…

– Вы щедро тратите свои единицы, – заметил Сомс. – Лучше приберечь их для дальнейшего.

Он написал:

10 = 1/0,1

11 = 11

и добавил:

– Обратите внимание на отсутствие символа периода, Ватсап. На этот раз это обычная десятичная дробь 0,1. А-а, и вам следует домножить то и другое на 1 × 1, чтобы не оставлять лишних единиц или потратить их еще каким-то способом из тех, о которых я упоминал. Но вообще-то можно опускать эти лишние единицы, ведь позже мы найдем, куда их можно употребить.

– Да! Вы имеете в виду что-то вроде

и т. д.?

По губам Сомса промелькнула тень улыбки.

– Вы точно все схватили, Ватсап!

– Но как насчет 15? – спросил я.

– Тривиально, – вздохнул он и написал:

К этому я триумфально добавил:

и Сомс одобрительно кивнул.

– Вот теперь задача начинает становиться интересной, – заметил он. – Как насчет 23? Справитесь?

– Есть, Сомс! – воскликнул я.

– Мы помним, – пояснил я, – что 4! = 24, как вы столь мудро заметили. Здорово, Сомс! Хотя 26 я не смог бы выразить, даже если бы на кону была моя жизнь.

– Ну… – начал он и остановился.

– Ага, застряли, не так ли?

– Ни в малейшей степени. Я просто думал о том, есть ли необходимость вводить новый символ. Конечно, он немало облегчит нам жизнь. Ватсап, слышали ли вы когда-нибудь о функциях округления, которые еще называют «пол» и «потолок»?

Мой взгляд против моей воли метнулся за подсказкой вниз, к ногам, а затем вверх, поверх головы Сомса, но вдохновение меня не осенило.

– Вижу, что не слышали, – сказал Сомс. «Откуда он знает, что я думаю? – подумал я. – Это даже…»

– Жутковато… да, разве не так? Я читаю вас, как открытую книгу, Ватсап. И эта книга, вероятно, «Сказки матушки Гусыни». Так вот эти функции выглядят так:

= наибольшему целому числу, меньшему или равному x (пол, или округление вниз);

= наименьшему целому числу, большему или равному x (потолок, или округление вверх), и вы скоро поймете, что они незаменимы в задачах вроде этой.

– Прекрасно, Сомс. Хотя я, признаюсь, не понимаю…

– Идея, Ватсап, в том, что посредством этих функций мы можем выразить полезные небольшие числа при помощи только двух единиц. К примеру,

 – еще один способ выразить 3, использовав всего две единицы, а

– новый способ. – Видя мое недоумение, он добавил: – Обратите внимание,√1/ 0.1 = √10 = 3.162. Пол от этого числа равен 3, а потолок – 4.

– Ну да… – с сомнением проговорил я.

– Тогда мы идем дальше, потому что

Не говоря уже о других возможных вариантах.

Тысячи разрозненных мыслей метались в моей голове. Одна в конце концов выступила перед.

– Но, Сомс, я только сейчас понял, что

потому что √24 = 4,89, а потолок этого числа равен 5. Поэтому я смогу теперь представить 29 и 30!

Говоря это, я имел в виду просто 30, а не факториал 30, вы понимаете. Пунктуация в математике – такая морока.

Ватсап и Сомс прошли в этой задаче гораздо дальше, и позже мы увидим, чего они в конце концов достигли. Но, прежде чем продолжить эту историю, вы, может быть, захотите проверить, как далеко удастся пройти вам самостоятельно.

«Знак одного» продолжается в главе «Знак одного: часть вторая».

Промежутки между простыми числами

Вспомним, что натуральное число считается составным, если оно может быть получено перемножением двух меньших натуральных чисел, и простым, если оно не может быть получено перемножением двух меньших натуральных чисел и при этом больше 1. Число 1 является исключением: несколько веков назад оно считалось простым, но при таком соглашении разложение числа на простые множители перестает быть единственным. Так, 6 =2 × 3 = 1 × 2 × 3 = 1 × 1 × 2 × 3 и т. д. В наши дни, по этой и другим причинам, 1 считается особым числом. Это число не простое и не составное, это просто единица: натуральное число x, такое, что 1/x также является натуральным числом. Собственно, 1 – это единственная положительная единица счета.

Вот первые несколько простых чисел:

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37.

Вообще, простых чисел бесконечно много, и они неравномерно распределены по всему множеству натуральных чисел. На протяжении долгого времени простые числа были гигантским источником вдохновения для математиков, и многие их загадки этих чисел с течением времени были решены. А многие другие по-прежнему сохраняют тайну.

В 2013 г. специалисты по теории чисел добились неожиданного прогресса в отношении двух великих загадок, связанных с простыми числами. Первая из них относится к промежуткам между последовательными простыми числами, и я расскажу о ней сейчас. Вторая последует чуть позже.

Все простые числа, за исключением числа 2, нечетные (поскольку все четные числа по определению кратны двум), поэтому два последовательных числа (за исключением пары 2, 3) не могут оба быть простыми. Однако два числа, различающиеся на 2, могут: например, пары (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19); несложно найти и еще варианты. Такие пары простых чисел называются простыми числами-близнецами.

Предположение о том, что существует бесконечное число пар простых чисел-близнецов, высказано давно, но до сих пор не доказано. До недавнего времени прогресс в этом вопросе был минимальным, но в 2013 г. Чжан Итан поразил математический мир заявлением о том, что он мог бы доказать, что существует бесконечное число пар простых чисел, которые различаются между собой не более чем на 70 млн. После этого его статья была принята к публикации ведущим журналом теоретической математики Annals of Mathematics. Возможно, это утверждение звучит слабовато по сравнению с гипотезой о простых числах-близнецах, но впервые кому-то удалось показать, что бесконечное число простых чисел различается между собой не более чем на некоторую фиксированную величину. Если бы 70 млн можно было как-нибудь ужать до 2, это решило бы проблему гипотезы о простых числах-близнецах.

Сегодня математики все чаще пользуются Интернетом, чтобы объединить силы в работе над какой-нибудь задачей, и Теренс Тао организовал коллаборацию, целью которой стало снижение числа 70 млн до чего-нибудь поменьше. Он сделал это в рамках проекта Polymath – системы, созданной для содействия работам такого рода. По мере того как математики лучше понимали методы Чжана, число сдавалось. Джеймс Мэйнард снизил число 70 млн до 600 (и даже до 12, если принять еще одно предположение, известное как гипотеза Эллиота – Халберстама). К концу 2013 г. новые идеи Мэйнарда снизили это число до 270.

Это пока не 2, но намного ближе к делу, чем 70 млн.

Проблема Гольдбаха для нечетных

Вторая загадка, связанная с простыми числами и нашедшая, наконец, решение (вероятно!), восходит к 1742 г., когда немецкий математик-любитель Христиан Гольдбах написал Леонарду Эйлеру письмо, содержавшее несколько наблюдений над простыми числами. Одно из них выглядело так: «Любое целое число, большее 2, можно записать как сумму трех простых чисел». Эйлер тогда вспомнил предыдущую беседу, в которой Гольдбах сделал родственное предположение: «Любое четное целое число есть сумма двух простых чисел».