Математические головоломки профессора Стюарта

– Цифры здесь повторяются блоками по три, но мне это не кажется удивительным – ведь и первое число имеет такую же структуру.

– 486 вы пробовали?

– Нет… ну вообще-то, поскольку с 124 не получается, мне не кажется… Ну хорошо, хорошо, – я вернулся к своему блокноту и записал новый расчет. – Как любопытно! – воскликнул я вновь, увидев ответ:

486486486486486486 × 37 = 1799999999999999982.

Вдохновленный новым успехом, я попробовал еще несколько случайных трехзначных чисел, выписывая их по несколько раз подряд и умножая на 37. Иногда результат содержал множество повторений одной и той же цифры, чаще нет. Я показал Сомсу результаты своей работы и признался:

– Я в недоумении.

– Загадка, несомненно, разрешится, – ответил Сомс, – если вы рассмотрите число 111.

Я записал

111111111111111111 × 37 = 4111111111111111107

и уставился на получившееся число. Минут через 20 Сомс поднялся, заглянул мне через плечо и иронично покачал головой.

– Нет-нет, Ватсап! Я не предлагал вам попробовать свой метод на числе 111.

– Ох. А я полагал…

– Сколько раз я говорил вам, Ватсап: «Никогда ничего не полагайте!» Да, на первый взгляд эта загадка связана с числом 37, но на самом деле это, как бы это сказать, побочный эффект. Я предлагал вам посмотреть, как число 111 соотносится с числом 37.

Ответ см. в главе «Загадки разгаданные».

Средняя скорость

Из-за большого потока машин автобус, следующий из Эдинбурга в Лондон, проходит расстояние в 400 миль за 10 часов со скоростью 40 миль в час. На обратный путь у него уходит 8 часов со скоростью 50 миль в час. Какова средняя скорость автобуса за все время пути?

Очевидный ответ – 45 миль в час, среднее арифметическое между 40 и 50, для получения которого числа складывают, а сумму делят пополам. Однако в целом автобус проезжает 800 миль за 18 часов, и средняя скорость при этом равна 800/18 = 44 4/₉ миль в час.

Как это может быть?

Ответ см. в главе «Загадки разгаданные».

Четыре псевдоку без указаний

Головоломку без дополнительных указаний придумали Джерард Баттерс, Фредерик Хенле, Джеймс Хенле и Колин МакГоги. Это вариант судоку, который мне нравится называть псевдоку без дополнительных указаний. Вам предлагается решить еще четыре такие головоломки. Правила:

• Каждая строка и каждый столбец должны содержать каждое из чисел 1, 2, 3, …, n ровно по одному разу, где n – размер квадрата.

• Числа в каждой из областей, обведенных жирной линией, должны при сложении давать одну и ту же сумму. Я выписал значение этой суммы над каждым квадратом, чтобы избавить вас от необходимости искать ее самостоятельно. Все головоломки, кроме последней, имеют единственное решение, а последняя – два симметричных варианта.

Ответы и ссылку на дополнительные материалы см. в главе «Загадки разгаданные».

Суммы кубов

Треугольные числа 1, 3, 6, 10, 15 и т. д. определяются сложением последовательных чисел, начиная с 1:

1 = 1;

1 + 2 = 3;

1 + 2 + 3 = 6;

1 + 2 + 3 + 4 = 10;

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

и т. д. Для таких чисел существует формула:

1 + 2 + 3 + … + n = n (n + 1)/2.

Чтобы доказать ее, можно, в частности, записать сумму дважды, примерно так:

1 + 2 + 3 + 4 + 5;

5 + 4 + 3 + 2 + 1.

Из этой записи видно, что числа в вертикальных столбцах при сложении дают одно и то же, в данном случае 6. Поэтому удвоенная сумма равна 6 × 5 = 30, а сумма равна 15. Если проделать то же самое с числами от 1 до 100, все получится примерно так же: будет 100 колонок, дающих при сложении сумму 101, так что сумма первых 100 чисел должна составлять половину от 100 × 101, то есть 5050. В более общем случае при сложении первых n чисел мы получаем половину от n (n + 1). Формула готова.

Существует формула и для суммы квадратов, но более сложная:

1 + 4 + 9 + … + n² = n (n + 1) (2n + 1)/6.

А вот с кубами происходит нечто поразительное:

1³ = 1;

1³ + 2³ = 9;

1³ + 2³ + 3³ =36;

1³ + 2³ + 3³ + 4³ = 100;

1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ = 225.

Результаты здесь – квадраты соответствующих треугольных чисел.

Почему в результате суммирования кубов получаются квадраты? Можно найти формулу и доказать таким способом все, что нам нужно, но существует очень аккуратное наглядное доказательство того, что 1³ + 2³ + 3³ + … + n³ = (1 + 2 + 3 + … + n)², для которого не нужны никакие формулы.

На рисунке показан один квадрат со стороной 1, два квадрата со стороной 2 (образующие куб 2 × 2 × 2), 3 квадрата со стороной 3 (куб 3 × 3 × 3) и т. д. Так что суммарная площадь этой фигуры представляет собой сумму последовательных кубов. Следуя вдоль одной из сторон (к примеру, верхней), видим 1 + 2 + 3 + 4 + 5, то есть сумму последовательных чисел. Но площадь квадрата равна квадрату его стороны. Готово!

Если вам непременно нужна формула, то мы знаем, что (1 + 2 + 3 + … + n) = n (n + 1)/2, а возведение в квадрат дает 1³ + 2³ + 3³ + … + n³ = n² (n + 1)²/4.

Загадка похищенных бумаг

Из мемуаров доктора Ватсапа

Сомс передал мне конверт и поднял в руке извлеченное из него письмо.

– Проверка на наблюдательность, Ватсап. Кто, по-вашему, мог прислать мне это?

Я поднес конверт к свету, оглядел марку и штемпель, понюхал, исследовал клей в том месте, где письмо было запечатано.

– Отправитель – женщина, – сказал я. – Незамужняя, но еще не старая дева, находится в активном поиске мужа. Она напугана, но храбрится, – я немного помолчал, и меня осенила еще одна мысль: – У нее плохо с финансами, но положение пока не катастрофическое.

– Очень хорошо, – сказал он. – Я вижу, вы усвоили некоторые из моих методов.

– Я стараюсь, – скромно заметил я.

– Объясните, что привело вас к этим выводам.

Я собрался с мыслями.

– Конверт розовый и несет на себе отчетливые следы какого-то аромата. Nuits de Plaisir, если я не ошибаюсь: моя приятельница Беатрис часто использует такой же. Для замужней женщины он слишком откровенен, а для молодой, напротив, недостаточно откровенен. Тот факт, что она вообще пользуется духами, указывает на активный поиск мужского внимания. Следы косметики на клапане это подтверждают. Но клеевой след был смочен лишь частично, а смачивают его языком, так что во рту у нее, вероятно, было сухо, когда она запечатывала конверт. Сухость во рту – признак страха. Но раз она все же заклеила конверт и отправила письмо, значит, она пока в состоянии действовать рационально, хотя и испытывает сильное напряжение, а это признак храбрости. Наконец, по марке заметно, что ее отклеили над паром от другого конверта и использовали вторично – загнутый уголок, следы предыдущего почтового штемпеля. Это указывает на бережливость. Однако на духи деньги нашлись, так что нельзя сказать, что отправительница письма стоит на пороге бедности.

Он задумчиво кивнул, а я мысленно похвалил себя.

– Кое-какие признаки вы упустили, – негромко заметил Сомс, – что показывает всю эту историю в новом свете. Форма и размер конверта говорят о правительственной рассылке, такой конверт не купишь в первом попавшемся писчебумажном магазинчике. Вы можете прочесть об этом в моей монографии о канцелярских принадлежностях и характерных для них размерах. Чернила, которыми написан адрес, имеют необычный темно-коричневый оттенок; опять же, такие чернила не купишь в магазине, а вот в некоторые департаменты Уайтхолла их поставляют в больших количествах.

– Ах! Значит, ее нынешний сердечный друг – чиновник, конверт и чернила она позаимствовала у него.

– Разумная теория, – сказал он. – Совершенно неверная, разумеется, но в высшей степени разумная, к тому же в основном соответствует нашим данным. Однако на самом деле это письмо от моего брата Спайкрафта.

Я был поражен до глубины души.

– У вас есть брат? – Сомс никогда не говорил о своей семье.

– Да, неужели я не упоминал его? Большое упущение с моей стороны.

– Откуда вы знаете, что письмо от него?

– Оно подписано.

– Ах. Но что вы скажете про остальные признаки?

– Это небольшая шутка со стороны Спайкрафта. Но надо спешить, нам назначена встреча в клубе «Диофант», едем немедленно. Дайте шестипенсовик какому-нибудь мальчишке, пусть приведет нам кэб, по пути я введу вас в курс дела.

Пока мы тряслись в кэбе вдоль Портленд-плейс, Сомс рассказал, что его брат – отставной специалист по простым числам и иногда частным образом выполняет заказы правительства Ее Величества. Он отказался говорить о сути предстоящего нам дела, сказав лишь, что оно в высшей степени конфиденциальное и связано с политикой.

По прибытии в клуб «Диофант» нас провели в гостевой зал, где в удобном кресле нас дожидался какой-то джентльмен. С первого взгляда он произвел на меня впечатление вялой тучности, но быстро выяснилось, что за этой внешностью скрываются острый ум и активное тело, полностью опровергающие ту, первую оценку.

Сомс представил нас.

– Вы часто находите мои дедуктивные способности поразительными, Ватсап, – сказал он, – но Спайкрафту я в подметки не гожусь.

– Есть все же одна область, в которой твои способности превосходят мои, – возразил его брат. – Речь идет о логических головоломках, в которых точные условия текучи, как вода. В них я всегда чувствую, что лишен опоры, с которой мог бы атаковать задачу. Отсюда моя записка.

– Насколько я понял, ты не возражаешь против того, чтобы рассказать все доктору Ватсапу?

– Его послужной список в Ал-Гебраистане безупречен. Он должен поклясться в сохранении тайны, но его слова будет достаточно.

Сомс бросил на брата острый взгляд.

– С каких это пор ты готов принять чье-то слово, это на тебя не похоже.

– Этого будет достаточно, когда я проинформирую его о последствиях его нарушения.

Я должным образом поклялся, и мы перешли к делу.

– Некий важный документ был случайно положен в ненадлежащее место, а затем украден, – сказал Спайкрафт. – Безопасность Британской империи требует безотлагательно найти его и вернуть на место. Если этот документ попадет в руки наших врагов, полетят головы и части империи могут пасть. К счастью, местный констебль мельком видел вора, и этого оказалось достаточно, чтобы сузить круг подозреваемых до четырех человек.