Величайшие математические задачи

лежит на единичной окружности. Более того, если t рационально, то рациональна и эта точка. Все рациональные точки возникают подобным образом, так что мы получили исчерпывающую формулу для всех решений пифагорова уравнения. Она эквивалентна евклидовой формуле, которая, в свою очередь, совпадает с диофантовой. К примеру, если t = 22/7, формула даст результат

Можно проверить: 308² + 435² = 533². Для нас точная формула не слишком важна, важно, что она существует.

Это не единственное диофантово уравнение, для всех решений которого существует единая формула, но таких уравнений относительно немного. Например уравнения Пелля, такие как x² = 2y² + 1. У этого уравнения бесконечно много решений (3² = 2 × 2² + 1, 17² = 2 × 12² + 1) и для них существует общая формула. Однако упорядоченность пифагоровых троек этим не ограничивается; геометрия подсказывает нам и другие закономерности. Предположим, мы имеем две пифагоровы тройки. Следственно, существует два соответствующих им решения пифагорова уравнения — две рациональные точки на окружности. Геометрия предлагает естественный способ «сложить» эти точки. Начнем с точки (1, 0), в которой окружность пересекает горизонтальную ось, и найдем углы между этой точкой и двумя точками-решениями. Сложим эти два угла (см. рис. 25) и посмотрим, что получится. Точка, разумеется, тоже лежит на окружности, и короткий расчет покажет, что она также рациональна. Таким образом, имея два любых решения, мы можем получить третье. Математики уже заметили множество подобных фактов, причем большинство из них обретает смысл сразу же, как только мы вспоминаем о рациональных точках на окружности.

«Короткий расчет», который я небрежно пропустил, делается с использованием тригонометрии. Классические тригонометрические функции, такие как синус и косинус, теснейшим образом связаны с геометрией окружности. В расчете, на который я ссылался, используются стандартные, довольно элегантные формулы вычисления синуса и косинуса суммы двух углов через синусы и косинусы самих углов. Существует много способов получения синусов и косинусов, и один из них, достаточно изящный, основан на интегральном исчислении. Если вы будете интегрировать алгебраическую функцию 1/√1-x², то результат может быть выражен, используя функцию синус. Точнее, нам нужна функция, обратная синусу: угол, синус которого равен интересующему нас числу{23}.

Интеграл возникает, когда мы пытаемся вывести формулу длины дуги окружности методами математического анализа, а геометрия окружности дает простое, но очень важное следствие для этого результата. Длина единичной окружности равна 2π, поэтому пройдя расстояние 2π вдоль окружности, вы окажетесь в точности на том же месте. То же можно сказать о любом расстоянии, кратном 2π: по стандартному математическому соглашению положительные целые числа соответствуют направлению против часовой стрелки, а отрицательные — по часовой стрелке. Следовательно, синус и косинус числа остаются неизменными при добавлении к аргументу величины 2π, взятой целое число раз. Мы говорим, что эти функции периодические с периодом 2π.

Аналитики XVIII и XIX вв. обобщили эту интегральную формулу и нашли целую группу интересных новых функций, аналогичных знакомым тригонометрическим. Эти новые функции выглядели загадочно; они были периодическими, как синус и косинус, но хитроумно периодическими. Вместо одного периода, к примеру 2π (или кратных ему), они имели два независимых периода. Если вы попытаетесь проделать такое с действительными функциями, то получите всего лишь константы, но для комплексных чисел здесь открываются широкие возможности.

Начало исследованиям в этой области положили итальянский математик Джулио ди Фаньяно и плодовитый Эйлер. Фаньяно пытался при помощи интегрального исчисления найти длину дуги эллипса, но не сумел вывести формулу в явном виде. Сегодня это уже не удивительно, ведь мы знаем, что такой формулы не существует. Однако он заметил, что длины различных особых дуг эллипса находятся между собой в определенных отношениях. Результаты своих исследований Фаньяно опубликовал в 1750 г. Эйлер в аналогичной ситуации заметил те же отношения и представил их в виде формального отношения интегралов. Они похожи на интеграл, связанный с функцией синуса, но квадратичное выражение под знаком квадратного корня сменяется кубическим многочленом или многочленом четвертой степени, к примеру, таким: (1 − x²) (1 − 4x²).

В 1811 г. Адриен Мари Лежандр опубликовал первую книгу объемного трехтомного трактата об этих интегралах, известных как эллиптические благодаря своей связи с длиной дуги сегмента эллипса. Однако он умудрился пройти мимо самого важного их свойства: существования новых функций, аналогичных синусу и косинусу, обратные функции к которым достаточно просто выражают величину интеграла{24}. Гаусс, Нильс Хенрик Абель и Карл Якоби быстро заметили упущение. Гаусс оставил свои мысли при себе, что для него вполне типично. Абель в 1826 г. представил во Французскую академию собственную работу, но Коши, президент Академии, потерял рукопись, и опубликована она была только в 1841 г., через 12 лет после трагической ранней кончины Абеля от чахотки. Однако в 1827 г. вышла другая статья Абеля на ту же тему. Якоби положил новые «эллиптические функции» в основу громадного тома, опубликованного в 1829 г., и этот труд направил исследования в области комплексного анализа по совершенно новому пути.

В результате был выявлен целый комплекс взаимосвязанных свойств, аналогичных свойствам тригонометрических функций. Оказалось, что соотношение, замеченное Фаньяно и Эйлером, можно интерпретировать иначе, в виде простого списка формул, связывающих эллиптические функции суммы двух чисел с эллиптическими функциями самих чисел. Но самая интересная черта эллиптических функций оставляет тригонометрические функции далеко позади. Эллиптические функции не просто периодические; для них характерна двойная периодичность. Линия одномерна, поэтому и рисунок ее может повторяться только в одном направлении, вдоль линии. Комплексная плоскость двумерна, так что рисунок на ней может повторяться, как на обоях: вдоль бумажной полосы и одновременно поперек — вдоль стены, на соседние полосы. С каждой эллиптической функцией связаны два независимых комплексных числа (ее периоды), прибавление любого из которых к переменной не меняет значение функции.

Повторяя этот процесс, мы приходим к выводу, что значение функции не меняется при добавлении к переменной любой целочисленной комбинации двух периодов. Эти комбинации можно интерпретировать и геометрически: они определяют на комплексной плоскости решетку, которая разбивает плоскость на параллелограммы; все, что происходит в одном параллелограмме, повторяется и во всех остальных (см. рис. 26). Если мы рассмотрим отдельно взятый параллелограмм и то, как он соединяется с соседними, то получим, что нам придется отождествить противоположные его стороны, как тор определяется через отождествление противоположных сторон квадрата (см. рис. 12). Параллелограмм, противоположные стороны которого попарно отождествляются, топологически тоже представляет собой тор. Иными словами, точно так же, как синус и косинус связаны с окружностью, эллиптические функции связаны с тором.

Есть здесь и связь с теорией чисел. Я сказал, что функция, обратная синусу, получается путем интегрирования формулы, в которой фигурирует квадратный корень из квадратного трехчлена (т. е. многочлена второй степени). Эллиптические функции в этом похожи, но квадратный трехчлен в них заменяется на многочлен третьей или четвертой степени. Случай с четвертой степенью уже упоминался, потому что исторически он появился первым, но теперь давайте сосредоточимся на случае с многочленом третьей степени. Если мы обозначим квадратный корень как y, а многочлен как ax³ + bx² + cx + d, где a, b, c и d — числовые коэффициенты, то x и y удовлетворяют уравнению:

y² = ax³ + bx² + cx + d.

Это уравнение можно рассматривать в нескольких различных контекстах, в зависимости от того, какие ограничения наложены на переменные и коэффициенты. Если все это действительные числа, уравнение определяет кривую на плоскости. Если это комплексные числа, то специалисты по алгебраической геометрии все равно называют множество решений этого уравнения кривой просто по аналогии. Но теперь это кривая в пространстве пар комплексных чисел, четырехмерном в действительных координатах. И кривая в данном случае — это поверхность с точки зрения действительных координат.

На рис. 27 показаны типичные действительные эллиптические кривые y² = 4x³ − 3x + 2 и y² = 4x³ − 3x. Поскольку y появляется в уравнении в виде квадрата, кривая симметрична относительно горизонтальной оси. В зависимости от коэффициентов это либо одна волнообразная кривая, либо кривая с отдельным овальным компонентом. В комплексных числах кривая всегда представляет собой единое связное множество.

Если мы потребуем, чтобы переменные и коэффициенты были рациональными, в игру вступит теория чисел и мы получим диофантово уравнение. Его графическое представление зачем-то называется эллиптической кривой, хотя совершенно не похоже на эллипс. Все дело в том, что это уравнение связано с эллиптическими функциями. Это как назвать окружность треугольной кривой только потому, что она связана с тригонометрией. Однако это название уже высечено на скрижалях, так что нам придется мириться с ним.

Теория эллиптических функций — глубокая и богатая теория, математики открыли у эллиптических кривых бессчетное количество красивых свойств. Одно из них аналогично тому, как мы объединяем два решения пифагорова уравнения, складывая соответствующие углы и получая третье решение. Две точки на эллиптической кривой можно «сложить», проведя через них прямую линию и посмотрев, в какой точке она пересечет кривую в третий раз (см. рис. 28). (Заметим, что третья точка обязательно существует, поскольку уравнение кубическое. Однако она может оказаться «в бесконечности» или совпасть с одной из первых двух точек, если прямая пройдет по касательной к кривой.) Если первые две точки у нас обозначены как P и Q, обозначим третью как P*Q.

Расчет показывает, что если P и Q — рациональные точки, то и точка P*Q рациональна. Операция * придает набору рациональных точек алгебраическую структуру, но оказывается полезной и при рассмотрении еще одной связанной с этим операции. Выберем любую рациональную точку O на кривой и определим:

P + Q = (P*Q) *O.

Эта новая операция подчиняется некоторым фундаментальным законам обычной алгебры, причем O ведет себя как нуль и превращает множество всех рациональных точек в то, что специалисты по алгебре называют группой (см. главу 10). Важно, что здесь, как с пифагоровыми тройками, можно «сложить» любые два решения и получить третье. То, что «групповой закон» действует на рациональные точки, поразительно: в частности, это означает, что стоит нам найти два рациональных решения диофантова уравнения, и мы автоматически получим множество других решений.

Около 1908 г. Пуанкаре задался вопросом: существует ли конечный набор решений, такой, чтобы из него можно было получить все остальные решения последовательным применением групповой операции? Это важно, потому что из существования такого набора следует, что все рациональные решения можно охарактеризовать при помощи конечного списка решений. В интереснейшей работе 1922 г. Морделл доказал, что ответ на вопрос Пуанкаре положителен. После этого эллиптические кривые стали центральным элементом теории чисел, поскольку далеко не все диофантовы уравнения могут похвастать такой степенью контроля. Итак, эллиптические кривые, как и пифагорово уравнение, имеют бесконечное множество рациональных решений. Многие диофантовы уравнения, напротив, имеют конечное число или вообще не имеют решений. Я собираюсь немного отклониться от темы и поговорить о целом семействе подобных уравнений и полученном недавно замечательном доказательстве того, что существуют лишь очевидные решения.

Пифагорейцы были увлечены своим уравнением, потому что верили: в основе Вселенной лежат числа. В поддержку этой философии они обнаружили, что музыкальной гармонией управляют простые числовые отношения. Это было установлено экспериментально при помощи наблюдений за звучанием натянутой струны. Струна с такой же степенью натяжения, но вдвое меньшей длины, дает ноту на октаву выше. Это самое гармоничное сочетание двух нот — настолько гармоничное, что звучит даже несколько простовато. В западной музыке следующая по значению гармония — кварта, где одна струна по длине составляет 3/4 другой струны, и квинта, где длина одной струны составляет 2/3 от длины другой.

Начав с 1 и умножая последовательно на 2 или 3, можно получить числа 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12 и т. д. — числа вида 2a3b. Благодаря связи с музыкой они получили название гармонических. В XIII в. во Франции еврейский ученый по имени Гершон бен Соломон Каталан написал книгу «Врата небес», посвятив три ее части физике, астрономии и метафизике. В 1343 г. епископ Мо убедил его сына (по крайней мере историки считают, что, вероятно, это был его сын) Леви бен Гершома написать математическую книгу «Гармония чисел». В нее вошла, в частности, задача, которую впервые поставил композитор и теоретик музыки Филипп де Витри: когда два гармонических числа могут различаться на единицу? Подобные пары найти несложно: сам де Витри знал их четыре: (1, 2), (2, 3), (3, 4) и (8, 9). Но Гершом доказал, что это все возможные решения и других не существует.

Среди перечисленных де Витри пар гармонических чисел наибольший интерес привлекает пара (8, 9). Первое число в ней — куб, 2³; второе — квадрат, 3². Математики заинтересовались, могут ли другие квадраты и кубы различаться на единицу; Эйлер доказал, что не могут, за исключением тривиального случая (0, 1) и случая (−1, 0), если разрешены отрицательные числа. В 1844 г. уже другой Каталан опубликовал более всеобъемлющее заявление, о котором, должно быть, думали многие математики, но которое никто до него не счел нужным озвучить. Речь идет о бельгийском математике Эжене Шарле Каталане, который в 1844 г. написал в один из ведущих математических журналов того времени Journal für die Riene und Angewandte Mathematik следующее:

«Покорнейше прошу вас, сударь, объявить в вашем журнале следующую теорему, кою я почитаю верной, хотя до сего момента и не преуспел в доказательстве; быть может, другие добьются большего успеха. Два последовательных целых числа, кроме 8 и 9, не могут быть последовательными степенями; иначе говоря, уравнение xm − yn = 1, в котором все неизвестные — положительные целые числа, допускает лишь одно решение».

Это утверждение получило известность как гипотеза Каталана. Показатели степени m и n здесь — целые числа больше 1.

Несмотря на частичные успехи, гипотеза Каталана долгое время упорно противостояла всем усилиям математиков, пока в 2002 г. ее не доказал вдруг Преда Михайлеску. Этот математик родился в 1955 г. в Румынии, а в 1973 г. поселился в Швейцарии и к тому времени только что получил докторскую степень. Темой его диссертации было «Деление кругов и проверка на простоту», и речь в ней шла о применении теории чисел при проверке на простоту (глава 2). Эта задача не имеет особого отношения к гипотезе Каталана, но Михайлеску пришло в голову, что методы-то его точно имеют к ней отношение. В них он отталкивался от идей, уже упоминавшихся мной в главе 3: гауссового построения правильного 17-угольника и связанных с этим алгебраических уравнений, решения которых называют круговыми числами. Доказательство получилось достаточно сложным и произвело в математическом сообществе настоящий фурор. Из него явствует, что какие бы величины мы ни выбрали для двух показателей степени, число решений остается конечным — и помимо очевидных решений с участием 0 и ±1 единственное решение, представляющее интерес, это 3² − 2³ = 1.

Приведенные примеры наглядно показывают, что одни диофантовы уравнения имеют бесконечное множество решений, а другие — нет. Что тут интересного, скажете вы, эти два варианта перекрывают весь спектр возможностей. Но если вы спросите, какие уравнения к какому типу относятся, все станет намного интереснее.

Морделл готовил учебник по диофантовым уравнениям. В то время эта область математики напоминала биологию на раннем этапе ее развития: множество собранных коллекционерами бабочек, и никакой систематической классификации. Наука пребывала почти в том же состоянии, в каком ее оставил Диофант, только беспорядка стало еще больше: это был бессистемный набор ловких трюков, для каждого типа уравнений свой, и вот такой не слишком подходящий для учебника материал отчаянно нуждался в систематизации, чем Морделл и занялся.

В какой-то момент он, должно быть, заметил, что все уравнения, достоверно имеющие бесконечное множество рациональных решений, — такие как пифагорово уравнение или эллиптические кривые — имеют одну общую черту. Он сосредоточился на одном классе уравнений — на тех, в которых (после перевода в рациональную форму, как я сделал с пифагоровым уравнением) присутствует всего две переменных. Есть два случая, когда нам заранее известно, как найти бесконечное множество решений. Пример одного из них — пифагорово уравнение в эквивалентной форме x² + y² = 1. В этом случае существует формула для нахождения решений. Вставьте в эту формулу любое рациональное число и получите рациональное решение, причем формула позволяет получить все решения. Пример второго случая — эллиптические кривые: здесь существует процесс, позволяющий получать новые решения из старых, и гарантия того, что если начать с подходящего конечного набора решений, этот процесс позволит получить их все.

Гипотеза Морделла утверждает, что во всех случаях, когда уравнение имеет бесконечное множество рациональных решений, должно присутствовать одно из названных свойств. Существует либо общая формула, либо процесс, позволяющий получить все решения из подходящего конечного их набора. Во всех остальных случаях число рациональных решений конечно; примером могут служить уравнения вида xm — yn = 1, которые фигурируют в гипотезе Каталана. Решения здесь в каком-то смысле случайны и не имеют никакой структурной основы.

Морделл пришел к этому наблюдению немного иным путем. Он обратил внимание на то, что все уравнения с бесконечным числом рациональных решений имеют одно поразительное топологическое свойство. У всех у них род равен 0 или 1. Вспомните из главы 4, что род — это понятие из области топологии кривых, которое указывает на то, сколько в данной поверхности отверстий. Род сферы равен 0, род тора — 1, род тора с двумя отверстиями равен 2 и т. д. Но откуда берутся поверхности в задаче из теории чисел? Из координатной геометрии. Мы видели, что пифагорово уравнение, которое интерпретировано в терминах рациональных чисел и допускает действительные решения, определяет окружность. Морделл сделал еще один шаг и допустил комплексные решения. Любое уравнение с двумя комплексными переменными определяет то, что специалисты по алгебраической геометрии называют комплексной кривой. Однако с точки зрения действительных чисел и зрительного восприятия человека каждое комплексное число двумерно: у него на деле две компоненты — действительная и мнимая части. Так что «кривая» в комплексном смысле есть поверхность для нас с вами. И, как у всякой поверхности, у нее есть род, — вот и все.

Всякий раз, когда про уравнение было известно, что оно имеет конечное число решений, его род равнялся по крайней мере двум. Род важных уравнений, статус которых относительно числа решений не был известен, тоже равнялся по крайней мере двум. Морделл на основании достаточно хлипких, как тогда казалось, указаний сделал отчаянно смелый шаг: он предположил, что любое диофантово уравнение с родом 2 или больше имеет конечное число рациональных решений. Так, по мановению его руки, диофантовы бабочки аккуратно распределились по родственным семействам; точнее говоря, по родам (даже термин подходящий).

В гипотезе Морделла была всего лишь одна крохотная загвоздка. Она связала между собой две чрезвычайно разные вещи: рациональные решения и топологию. В то время подобная связь казалась в высшей степени неубедительной. Если даже она существовала, то никто не знал, как ее искать; непонятно было даже, как подступиться к этой проблеме. Так что гипотеза представляла собой отчаянное, ничем не подтвержденное заявление, обещавшее, однако, громадные потенциальные дивиденды.

В 1983 г. Фальтингс опубликовал эффектное доказательство того, что фантастическое предположение Морделла на самом деле верно. Его доказательство было построено на методах алгебраической геометрии. Совершенно другое доказательство, основанное на аппроксимации действительных чисел рациональными, вскоре нашел Пауль Войта, а в 1990 г. Энрико Бомбиери опубликовал упрощенное доказательство, основанное примерно на тех же принципах. Существует приложение теоремы Фальтингса к Великой теореме Ферма — проблеме, о которой мы будем подробно говорить в главе 7. Оно утверждает, что для любого целого n, большего или равного 3, уравнение xn + yn = 1 имеет конечное число целых решений. Род соответствующей кривой равен (n − 1) (n − 2)/2, а это по крайней мере 3, если n ≥ 4. Теорема Фальтингса прямо подразумевает, что при любом n ≥ 4 уравнение Ферма имеет в лучшем случае конечное число рациональных решений. Ферма утверждал, что оно вовсе не имеет решений, за исключением случаев, когда x или y равны нулю, так что это было очень серьезное продвижение. В следующей главе мы вернемся к истории Великой теоремы Ферма и посмотрим, как заявление ученого подтвердилось.

7. «Недостаточные» поля. Великая теорема Ферма

Впервые мы столкнулись с Ферма в главе 2, где его элегантная теорема о степенях чисел обеспечила метод проверки чисел на простоту. Эта глава посвящена куда более сложному утверждению: Великой теореме Ферма. Название звучит загадочно. «Теорема» — это вроде бы понятно, но кто такой был Ферма и почему эту теорему называют великой, а иногда последней его теоремой? Может быть, название — всего лишь хитрый маркетинговый ход? Оказывается, нет: такое название эта задача получила в XVIII в., когда лишь несколько ведущих математиков хотя бы слышали о ней и уж тем более интересовались ею. Но Великая, или Последняя, теорема Ферма и вправду загадочна.

Пьер Ферма родился во Франции в 1601 г. по одним источникам и в 1607–1608 гг. по другим. Не исключено, что путаница возникла из-за его брата, носившего такое же имя. Его отец был зажиточным купцом, он торговал кожей и занимал высокое положение в городе, а мать происходила из семьи юристов. Пьер учился в университете в Тулузе, а в конце 1620-х гг. перебрался в Бордо, где у него проявился талант к математике. Он говорил на нескольких языках. Кроме того, он собирал материалы и работал над восстановлением одного из классических древнегреческих трудов по математике, принадлежавшего перу Аполлония и давно утраченного. Своими многочисленными открытиями Ферма делился с ведущими математиками своего времени.

В 1631 г. Ферма получил ученую степень юриста в университете Орлеана и был назначен советником в суд Тулузы. Это назначение принесло ему дворянский титул и дало право добавлять к фамилии частицу «де»: де Ферма. Советником суда и практикующим юристом он оставался до конца жизни. Однако страстью его была математика. Он почти ничего не публиковал, предпочитая излагать свои открытия в письмах к коллегам-математикам, как правило, без доказательств. В математике Ферма так и остался любителем, но его работы пользовались заслуженным признанием профессионалов, со многими из которых он был знаком достаточно близко, хотя и по переписке. По существу, он и был профессионалом; просто не занимал в математике никакого официального поста.

Некоторые из его доказательств дошли до нас в письмах и заметках; ясно, что Ферма прекрасно представлял себе, что такое настоящее доказательство. После его смерти многие из его наиболее глубоких теорем остались недоказанными, и за них взялись профессионалы. Через несколько десятилетий лишь одному из утверждений Ферма по-прежнему недоставало доказательства; естественно, именно это утверждение получило известность как его последняя теорема. В отличие от остальных, она никак не поддавалась усилиям математиков и вскоре прославилась контрастом между простотой формулировки и очевидной сложностью поиска доказательства.

Судя по всему, Ферма пришел к своей знаменитой теореме около 1630 г. Точная дата неизвестна, но произошло это вскоре после того, как он начал читать недавно изданную «Арифметику» Диофанта. Тогда у него и появилась идея этой теоремы. Опубликована она была впервые в 1670 г., через пять лет после смерти Ферма. Его сын Самюэль выпустил необычное издание «Арифметики» Диофанта, которое включало и заметки на полях, сделанные Пьером Ферма в его личном экземпляре латинского перевода. Этот перевод был сделан Клодом Гаспаром Баше де Мезириаком и издан в 1621 г. Великая теорема Ферма изложена там в виде заметки к диофантову вопросу VIII Книги II (см. рис. 29).

Речь в этом месте книги шла о задаче представления полного квадрата как суммы двух полных квадратов. Из главы 6 мы знаем, что таких пифагоровых троек существует бесконечное множество. Диофант задается тем же вопросом, но в несколько более сложной формулировке: как найти две меньшие стороны пифагорова треугольника, если известна самая большая его сторона. Иными словами, конкретный квадрат следует «разложить» на два квадрата и выразить в виде их суммы. Он показывает, как решить эту задачу, если бо́льшая сторона треугольника равна 4, и получает ответ

4² = (16/5)² + (12/5)²

в рациональных числах. Умножив все на 25, получим 20² = 16² + 12², а поделив затем на 16, получим знакомое 3² + 4² = 5². Диофант обычно иллюстрировал общие методы конкретными примерами и не приводил никаких доказательств; такая традиция восходит еще к Древнему Вавилону.

Экземпляр «Арифметики» с собственноручными заметками Ферма не сохранился, но, должно быть, такая запись в нем была, поскольку Самюэль прямо об этом говорит. Вряд ли Ферма стал бы долго таить такое сокровище, да и само предположение настолько естественно, что мысль о нем, вероятно, пришла Пьеру в голову сразу же по прочтении восьмого вопроса второй книги «Арифметики». Очевидно, ему стало интересно, можно ли проделать что-нибудь подобное с кубами вместо квадратов — согласитесь, естественный для математика вопрос. Он не нашел подобных примеров — мы можем быть в этом уверены, поскольку точно знаем, что их не существует; неудача ждала его и в случае с более высокими степенями, к примеру с четвертой. Он решил, что эти задачи не имеют решений. Заметка на полях говорит именно об этом. В переводе это звучит примерно так:

«Невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него».

Говоря алгебраическим языком, Ферма, согласно его собственному заявлению, доказал, что диофантово уравнение

xn + yn = zn

не имеет целочисленных решений, если n — любое целое число, большее или равное 3. Ясно, что при этом он не рассматривал тривиальных решений, при которых x или y равны нулю. Чтобы не повторять это уравнение постоянно, я буду называть его в дальнейшем уравнением Ферма.

Если у Ферма действительно было доказательство, то найти его так никому и не удалось. В конце концов теорема была доказана в 1995 г., больше чем через три с половиной столетия после появления, но методы доказательства выходят далеко за рамки методик, доступных во времена Ферма или даже таких, которые он мог бы сам изобрести. Надо сказать, что поиски доказательства этой теоремы оказали громадное влияние на развитие математики. По существу, именно они привели к созданию алгебраической теории чисел, которая расцвела в XIX в. благодаря очередной неудачной попытке доказать теорему и блестящей идее, которая едва не спасла доказательство. В конце XX — начале XXI в. она дала толчок настоящей революции.

Вначале математики, работавшие над Великой теоремой Ферма, пытались перебирать степени одну за другой. Общего доказательства теоремы, о котором говорил ее автор в заметке на полях, могло и не быть, но нам известно, как Ферма доказал свою теорему для четвертых степеней. Главный инструмент здесь — евклидова методика поиска пифагоровых троек. Четвертая степень числа — это квадрат квадрата этого числа. Так что любое решение уравнения Ферма для четвертых степеней — это пифагоров треугольник, в котором все три числа также являются полными квадратами. Это дополнительное условие можно ввести в методику Евклида и после некоторых хитрых маневров получить еще одно решение уравнения Ферма для четвертых степеней. Может показаться, что в этом нет никакого особого прогресса; после страницы алгебраических вычислений задача сводится к первоначальной. Однако на самом деле это нам поможет: числа во втором решении меньше, чем в первом (гипотетическом). Главное, если первое решение нетривиально (т. е. если x и y в нем не равны нулю), то же можно сказать и о втором решении. Ферма указывал, что повторение этой процедуры даст нам последовательность решений, в которой числа становятся все меньше и меньше. Однако любая убывающая последовательность целых чисел должна когда-нибудь остановиться. Это логическое противоречие, так что гипотетического решения, с которого все началось, не существует. Ферма назвал этот метод доказательства методом «бесконечного спуска». Мы сегодня назвали бы его доказательством по методу математической индукции, упомянутому в главе 4. Его, кстати, тоже можно переформулировать в терминах минимальных контрпримеров, или в данном случае минимальных положительных примеров. Предположим, существует положительный пример — нетривиальное решение нашего уравнения. Тогда существует и минимальный положительный пример. Но, согласно рассуждениям Ферма, это означает, что существует еще меньший пример, а это уже противоречие. Следовательно, положительных примеров не существует. Со времен Ферма появились и другие доказательства теоремы для четвертых степеней, и на сегодняшний день их известно около 30.

Ферма использовал тот простой факт, что четвертая степень — это особый случай квадрата. Та же идея показывает, что в целях доказательства теоремы Ферма можно считать, что показатель степени n либо равен 4, либо является нечетным простым числом. Любое число n больше 2 делится либо на 4, либо на некоторое нечетное простое p, так что любая n-я степень — это одновременно либо 4-я степень, либо p-я[5]. За два столетия после Ферма его Великую теорему удалось доказать ровно для трех нечетных простых чисел: это 3, 5 и 7. С кубами разобрался Эйлер в 1770 г.; в его опубликованном доказательстве есть пробел, но его можно заполнить при помощи результата, опубликованного им же в другом месте. С пятыми степенями справились Лежандр и Петер Лежен Дирихле около 1825 г. Теорему Ферма для седьмых степеней доказал Габриель Ламе в 1839 г. Позже для этих случаев было найдено немало других доказательств. Где-то по пути несколько математиков получили доказательства для степеней 6, 10 и 14, но эти результаты перекрывались доказательствами для 3, 5 и 7.

Каждое из упомянутых доказательств использует какие-то алгебраические черты, присущие именно этим степеням. Долгое время не было никаких намеков на какую бы то ни было общую структуру, которая могла бы послужить основой доказательства теоремы для всех или хотя бы для значительного числа разных степеней. С ростом показателей степени доказательства становились все сложнее и сложнее. Требовались свежие идеи, открывающие новые горизонты. Софи Жермен, одна из величайших женщин-математиков, разделила теорему Ферма для простых степеней p на два случая. В первом случае ни одно из чисел x, y, z не делится на p. Во втором — одно из них делится. Рассмотрев особые «вспомогательные» простые числа, связанные с p, она доказала, что в первом случае уравнение Ферма не имеет решений для нечетных простых чисел меньших 100. Однако трудно было доказать что-нибудь насчет вспомогательных простых чисел в целом.

Жермен переписывалась с Гауссом, причем сначала под мужским псевдонимом, и оригинальность ее рассуждений весьма впечатлила великого математика. Когда же выяснилось, что его корреспондент — женщина, Гаусс впечатлился еще сильнее и прямо сказал об этом. В отличие от многих своих современников, Гаусс не считал женщин неспособными к высокоинтеллектуальной деятельности, в частности к математическим исследованиям. Позже Жермен предприняла неудачную попытку доказать первый случай Великой теоремы Ферма для всех четных чисел, где опять же можно было бы воспользоваться евклидовой характеристикой пифагоровых троек. Окончательно разобраться с четными степенями удалось только Гаю Тержаняну в 1977 г. Второй случай казался куда более крепким орешком, и никто особенно далеко с ним и не продвинулся.

В 1847 г. Ламе, опираясь на свое доказательство для седьмых степеней, выдвинул замечательную идею. Для ее реализации требовалось ввести комплексные числа, но к тому моменту это уже никого не смущало. Главным ингредиентом было то же, чем воспользовался Гаусс при построении своего правильного 17-угольника (см. главу 3). Любой специалист по теории чисел знал об этом, но до Ламе никому не приходило в голову, что этим можно воспользоваться для доказательства Великой теоремы Ферма.

В системе действительных чисел единица имеет ровно один корень p-й степени (если p нечетное), и корень этот равен самой единице. Но в комплексных числах 1 имеет несколько, а именно p, корней p-й степени. Этот факт — следствие основополагающей теоремы алгебры, поскольку эти корни удовлетворяют уравнению xp − 1 = 0 степени p. Для комплексных корней p-й степени из единицы существует симпатичная формула, из которой явствует, что все они являются степенями 1, ζ, ζ2, ζ3, …, ζp − 1 некоего комплексного числа ζ (см. прим. {25}). Определяющее свойство этих чисел подразумевает, что xp + yp раскладывается на p множителей:

xp + yp = (x + y) (x + ζy) (x + ζ²y) … (x + ζp − 1y).

Согласно уравнению Ферма, это выражение равно также zp, что представляет собой p-ю степень некоего целого числа. Несложно заметить, что если произведение чисел, не имеющих общих делителей, представляет собой p-ю степень, то и каждое число в отдельности представляет собой p-ю степень. Таким образом, если оставить в стороне некоторые технические подробности, Ламе мог записать каждый из сомножителей как p-ю степень. Отсюда он вывел противоречие.

В марте 1847 г. Ламе выступил с полученным в результате доказательством теоремы Ферма в Парижской академии и сказал, что основной идеей он обязан Жозефу Лиувиллю. Лиувилль поблагодарил Ламе, но одновременно указал на потенциальную проблему в доказательстве. Дело в том, что главное утверждение о том, что каждый сомножитель представляет собой p-ю степень, вовсе не бесспорно. Все зависит от единственности разложения на простые множители — причем не для обычных целых чисел, где это свойство выполняется, но для новых типов чисел, введенных Ламе. Эти комбинации степеней ζ известны как круговые, или циклотомические, числа. Слово «циклотомический» означает «разрезающий круг» и указывает на обстоятельство, которое исследовал еще Гаусс. Мало того, что свойство единственности разложения на простые множители для круговых чисел не доказано, сказал Лиувилль, они вполне могут им и не обладать.

У других математиков сомнения возникли даже раньше. За три года до этого Готтхольд Эйзенштейн писал одному из коллег:

«Если бы у кого-то была теорема, которая утверждала бы, что произведение двух комплексных чисел может делиться на простое число, только если на него делится один из множителей, — что кажется совершенно очевидным, — то он получил бы целую теорию [алгебраических чисел] разом; но такая теорема совершенно неверна».

Теорема, о которой идет речь, есть главный шаг, необходимый для доказательства единственности разложения на простые множители. Эйзенштейн говорил не только о числах, нужных Ламе, но и об аналогичных числах, возникающих при решении других уравнений. Они называются алгебраическими числами. Алгебраическое число — это комплексное число, удовлетворяющее полиномиальному уравнению с рациональными коэффициентами. Алгебраическое целое число — это комплексное число, удовлетворяющее полиномиальному уравнению с целыми коэффициентами, если коэффициент при наибольшей степени x равен 1. Для каждого такого полинома мы получаем связанное с ним поле алгебраических чисел (это означает, что можно складывать, вычитать, умножать и делить такие числа, получая при этом числа того же рода) и соответствующее кольцо (что означает то же самое, за исключением деления) алгебраических целых чисел. Это основные объекты изучения алгебраической теории чисел.

Если, к примеру, взять многочлен x² − 2, то у него есть корень. Поле включает в себя все числа a + b, где a, b — рациональные числа; кольцо целых чисел состоит из чисел такого же вида, где a, b — целые. Здесь опять же простые делители могут быть определены, и притом единственным образом. Но есть и сюрпризы: у многочлена x² + x − 1 есть корень (√5 − 1)/2, так что, несмотря на дробь, это алгебраическое целое число.

В алгебраической теории чисел сложность заключается не в том, чтобы найти множители. К примеру, круговое число является делителем другого кругового числа, если второе число можно получить умножением первого на еще какое-нибудь круговое число. Определить простые числа также не сложно: круговое целое число является простым, если у него нет других делителей, кроме тривиальных единиц, которые представляют собой круговые числа — делители 1. Нет проблемы и в разложении кругового числа или любого другого алгебраического числа на простые множители. Нужно просто делить число, пока не закончатся делители. Существует простой способ доказать, что эта процедура конечна, и когда она завершится, каждый делитель окажется простым. Так в чем же проблема? В единственности. Если вы повторите процедуру, выбирая по пути иные решения, вы вполне можете получить другой набор простых делителей.

На первый взгляд, трудно представить себе такую возможность. Простые делители — наименьшие возможные кусочки, на которые можно разбить число. Это как взять собранную из «Лего» игрушку и разобрать на кирпичики. Если бы существовал другой способ сделать это, то, в конце концов, оказалось бы, что мы разделили один из кирпичиков еще на несколько деталей. Но тогда кирпичик не был бы кирпичиком. К несчастью, аналогия с «Лего» обманчива. Алгебраические числа ведут себя не так. Они больше похожи на кирпичики с мобильными связями, способные соединяться между собой в разных сочетаниях. Разбейте кирпичик одним способом — получите одни составные части, которые сцепляются друг с другом и дальше уже не делятся. Разбейте его иначе — и получите еще один набор с теми же свойствами, но уже других деталей.

Я приведу два примера. В первом будут только обычные целые числа. Он несложен для понимания, но обладает некоторыми нерепрезентативными чертами. А затем я покажу вам настоящий пример.

Представьте, что мы живем во Вселенной, где существуют только числа 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25 и т. д. — числа, которые в нашей нынешней Вселенной имели бы вид 4k + 1. Если перемножить два таких числа, получится еще одно число такого же вида. Определим такое число как «простое», если оно не является произведением двух меньших чисел того же вида. К примеру, число 25 — не простое, поскольку равняется 5 × 5, а 5 тоже есть в нашем списке. Но число 21 — простое в этом новом смысле, потому что его обычных делителей (3 и 7) в списке нет. Они имеют вид 4k + 3, а не 4k + 1. Несложно убедиться, что любое число заданного вида есть произведение простых (в новом смысле) чисел. Причина в том, что множители, если они существуют, должны становиться меньше, и со временем процесс факторизации непременно остановится. Когда это произойдет, полученные множители будут простыми.

Однако такое разложение на простые множители не единственно. Рассмотрим число 4389. 4389 = 4 × 1097 + 1, т. е. это число интересующего нас вида. Вот три различных разложения на множители заданного вида:

4389 = 21 × 209 = 33 × 133 = 57 × 77.

Я утверждаю, что, согласно принятому нами определению, все эти множители простые. К примеру, 57 — простое число, так как его обычные делители 3 и 19 не относятся к требуемому виду. То же можно сказать о числах 21, 33, 77, 133 и 209. Теперь мы можем объяснить неединственность разложения на простые множители. В обычных целых числах

4389 = 3 × 7 × 11 × 19,

и все эти числа «не того» вида, они нам не подходят и имеют вид 4k + 3. Три различных разложения на простые в этом новом смысле числа возникают при трех разных вариантах группировки этих чисел в пары:

(3 × 7) × (11 × 19), (3 × 11) × (7 × 19), (3 × 19) × (7 × 11).

Мы вынуждены брать эти числа парами, так как два числа вида 4k + 3 при перемножении дают число вида 4k + 1.

Этот пример показывает, что аргумент «множители должны быть единственными, поскольку они минимальны», в данном случае не работает. Правда, здесь есть числа и меньше (21 = 3 × 7, к примеру), но эти числа не принадлежат к интересующей нас системе. Главная же причина того, что этот пример не является полностью репрезентативным, заключается в том, что, хотя при умножении числа вида 4k + 1 дают числа того же вида, при сложении этого не происходит. К примеру, 5 + 5 = 10, но 10 — не число нужного нам вида. Поэтому, говоря языком абстрактной алгебры, мы имеем дело не с кольцом.

Второй пример не имеет этого недостатка, но он более сложен. Это кольцо алгебраических целых для многочлена x² − 15. В это кольцо входят все числа a + b√15, где a и b целые. В нем число 10 имеет два варианта разложения:

10 = 2 × 5 = (5 + √15) × (5 — √15).

Можно доказать, что все четыре множителя (2, 5, 5 + √15, 5 — √15) являются простыми{26}.

Сегодня все это выглядит гораздо понятнее, чем в 1847 г., но математикам не потребовалось много времени, чтобы показать обоснованность сомнений Лиувилля. Через две недели после доклада Ванцель проинформировал Академию, что для небольших p единственность разложения соблюдается, но для 23-й степени его метод доказательства уже не годится. Вскоре после этого Лиувилль доложил Академии, что единственность разложения на простые множители не соблюдается для круговых целых чисел, соответствующих p = 23. (Эрнст Куммер открыл этот факт тремя годами раньше, но никому не сказал, поскольку искал способ обойти это препятствие.)

Доказательство Ламе работало для небольших значений p, включая некоторые новые (11, 13, 17, 19), но в общем случае неизбежно рассыпалось. Это был наглядный урок: нельзя принимать правдоподобные математические утверждения на веру, даже если они кажутся очевидными. Может оказаться, что они вообще неверны.