6. Электродинамика

Мы дали также «правило потока», которое утверждает, что э. д. с. равна скорости изме­нения магнитного потока сквозь такую цепь проводников. Давайте посмотрим, можем ли мы понять, почему это так. Прежде всего рассмотрим случай, когда поток меняется из-за того, что цепь движется в постоянном поле.

На фиг. 17.1 показана простая проволочная петля, размеры которой могут меняться. Петля состоит из двух частей — неподвижной U-образной части (а) и подвижной перемычки (b), которая может скользить вдоль двух плеч U. Цепь всегда замкнута, но площадь ее может меняться. Предположим, что мы помещаем эту петлю в однородное магнитное поле так, что плоскость U оказывается перпендикуляр­ной полю. Согласно правилу, при движении перемычки в петле должна возникать э. д. с., пропорциональная скорости изменения потока сквозь петлю. Эта э. д. с. будет порождать в петле ток. Мы предположим, что сопротивле­ние проволоки достаточно велико, так что токи малы.

Фиг. 17.1. В рамке наводится э.д.с., если поток меняется за счет изменения площади рамки при перемещении перемычки b.

Тогда магнитным полем от этого тока можно пре­небречь.

Поток через петлю равен wLB, поэтому «правило потока» дало бы для э. д. с. (ее обозначим через о)

где v — скорость смещения перемычки.

Нам следовало бы понимать этот результат и с другой точки зрения, отправляясь от магнитной силы vXB, действующей на заряды в движущейся перекладине. Эти заряды будут чув­ствовать силу, касательную к проволоке и равную vB для единичного заряда. Она постоянна вдоль длины w перемычки и равна нулю в остальных местах, поэтому интеграл равен

E= -wvB,

что в точности совпадает с результатом, полученным из ско­рости изменения потока.

Приведенное доказательство можно распространить на лю­бой случай, когда магнитное поле постоянно и провода дви­жутся. Можно в общем виде доказать, что для любой цепи, части которой движутся в постоянном магнитном поле, э. д. с. равна производной потока по времени независимо от формы цепи.

Ну а что произойдет, если петля будет неподвижна, а маг­нитное поле изменится? На этот вопрос мы не можем ответить с помощью тех же аргументов. Фарадей открыл (поставив опыт), что «правило потока» остается справедливым независи­мо от того, почему меняется поток.

Сила, действующая на электрические заряды, в общем случае дается формулой F = q(E+vXB); новых особых «сил за счет изменения магнитного поля» не существует. Любые силы, действующие на покоящиеся заряды в неподвижной проволоке, возникают за счет Е. Наблюдения Фарадея при­вели к открытию нового закона о связи электрического и магнитного полей: в области, где магнитное поле меняется со временем, генерируются электрические поля. Именно это элек­трическое поле и гонит электроны по проволоке, и, таким обра­зом, оно-то и ответственно за появление э. д. с. в неподвиж­ной цепи, когда магнитный поток изменяется.

Общий закон для электрического поля, связанного с изме­няющимся магнитным полем, такой:

(17.1)

Мы назовем его законом Фарадея. Он был открыт Фарадеем, но впервые в дифференциальной форме записан Максвеллом в качестве одного из его уравнений. Давайте посмотрим, как из этого уравнения получается «правило потока» для цепей. Используя теорему Стокса, этот закон можно записать в интегральной форме

(17.2)

где, как обычно, Г — произвольная замкнутая кривая, a S — любая поверхность, ограниченная этой кривой. Вспомним, что здесь Г — это математическая кривая, зафиксированная в про­странстве, a S — фиксированная поверхность. Тогда производ­ную по времени можно вынести за знак интеграла:

(17.3)

Применяя это соотношение к кривой Г, которая идет вдоль неподвижной цепи проводников, мы получаем снова «правило потока». Интеграл слева — это э. д. с., а в правой части с об­ратным знаком стоит скорость изменения потока, проходящего внутри контура. Итак, соотношение (17.1), примененное к не­подвижному контуру, эквивалентно «правилу потока».

Таким образом, «правило потока» согласно которому э. д. с. в контуре равна взятой с обратным знаком скорости, с которой меняется магнитный поток через контур, применимо, когда поток меняется за счет изменения поля или когда движется контур (или когда происходит и то, и другое). Две возмож­ности —«контур движется» или «поле меняется» — неразли­чимы в формулировке правила. Тем не менее для объяснения правила в этих двух случаях мы пользовались двумя совершенно разными законами: vXB для «движущегося контура» и СXЕ = -dB/dt для «меняющегося поля».

Мы не знаем в физике ни одного другого такого примера, когда бы простой и точный общий закон требовал для своего настоящего понимания анализа в терминах двух разных явлений. Обычно столь красивое обобщение оказывается исходящим из единого глубокого основополагающего принципа. Но в этом случае какого-либо особо глубокого принципа не видно. Мы должны воспринимать «правило» как совместный эффект двух совершенно различных явлений.

На «правило потока» мы должны посмотреть следующим образом. Вообще говоря, сила на единичный заряд равна F/q = Е+vXB. В движущихся проводниках сила возникает за счет v. Кроме того, возникает поле Е, если где-либо меняется магнитное поле. Эти эффекты независимы, но э. д. с. вокруг проволочной петли всегда равна скорости изменения магнитного потока сквозь петлю.

§ 2. Исключения из «правила потока»

Здесь мы приведем несколько примеров, частично известных Фарадею, которые показывают, как важно ясно понимать раз­ницу между двумя эффектами, ответственными за возникнове­ние наведенной э. д. с. Наши примеры включают те случаи, когда «правило потока» неприменимо либо потому, что вообще никаких проводов нет, либо потому, что путь, избираемый индуцированными токами, проходит внутри объема провод­ника.

Вначале сделаем важное замечание: та часть э. д. с., которая возникает за счет поля Е, не связана с существованием физиче­ской проволоки (в отличие от части vXВ). Поле Е может суще­ствовать в пустом пространстве, и контурный интеграл от него по любой воображаемой линии в пространстве есть скорость из­менения потока В через эту линию.

Фиг. 17.2. При вращении диска слагаемое vXB порож­дает э.д.с., но поток сквозь цепь не меняется.

Фиг. 17.3. При повороте пластинок в однородном маг­нитном поле поток может сильно меняться, но э.д.с. не возникает.

(Заметьте, что это совсем непохоже на поле Е, создаваемое статическими зарядами, так как в электростатике контурный интеграл от Е по замкнутой петле всегда равен нулю.)

Теперь опишем случай, когда поток через контур не меняется, а э. д. с. тем не менее существует. На фиг. 17.2 пока­зан проводящий диск, помещенный в магнитное поле и который может вращаться на неподвижной оси. Один контакт приделан к оси, а другой трется о внешний край диска. Цепь замыкается через гальванометр. Когда диск вращается, «контур» (в смысле места в пространстве, где текут токи) всегда остается тем же самым. Но часть «контура» проходит в диске, в движущемся материале. Хотя поток по контуру постоянен, э. д. с. все же есть, в этом можно убедиться по отклонению гальванометра. Ясно, что здесь перед нами случай, когда за счет силы vXB в движущемся диске возникает э. д. с., которая не может быть равна изменению потока.

В качестве обратного примера мы сейчас рассмотрим не­сколько необычный случай, когда поток через «контур» (снова в смысле того места, где текут токи) изменяется, а э. д. с. отсутствует. Представим себе две металлические пластины со слегка изогнутыми краями (фиг. 17.3), помещенные в одно­родное магнитное поле, перпендикулярное их плоскости. Каж­дая пластина присоединена к одному из полюсов гальвано­метра, как показано на фигуре. Пластины образуют контакт в одной точке Р, так что цепь замкнута. Если теперь повернуть пластины на небольшой угол, точка контакта сдвинется в Р'.

Если мы вообразим, что «цепь» замкнута внутри пластин по пунктирной линии, то по мере поворота пластины взад и впе­ред магнитный поток через этот контур изменяется на большую величину. Но поворот может произойти от незначительного движения, тогда vXB очень мало и э. д. с. практически отсутствует. В этом случае «правило потока» бессильно. Оно спра­ведливо лишь для контуров, материал которых остается неизменным. Когда материал контура меняется, приходится обращаться снова к основным законам. Правильное физическое содержание всегда дается двумя основными законами:

§ 3. Ускорение частицы в индуцированном электрическом поле; бетатрон

Мы уже говорили, что э. д. с., созданная изменяющимся магнитным полем, может существовать даже в отсутствие проводников; т. е. магнитная индукция возможна без проводов. Мы можем представить себе э. д. с. вдоль произвольной мате­матической кривой в пространстве. Она определяется как тангенциальная компонента Е, проинтегрированная вдоль кривой. Закон Фарадея гласит, что этот контурный интеграл равен скорости изменения магнитного потока через замкнутую кривую [соотношение (17.3)].

В качестве примера действия такого индуцированного электрического поля мы сейчас рассмотрим движение электрона в из­меняющемся магнитном поле. Представим себе магнитное поле, которое всюду на плоскости направлено по вертикали (фиг. 17.4). Магнитное поле создается электромагнитом, но детали нас здесь интересовать не будут. В нашем примере мы предположим, что магнитное поле симметрично относительно некой оси, т. е. напряженность магнитного поля зависит только от расстояния до оси.

Фиг. 17.4. Электрон ускоряется в аксиально-симметричном магнитном поле, зависящем от времени.

Магнитное поле меняется также со време­нем. Представим теперь, что электрон в этом поле движется по круговой траектории постоянного радиуса с центром на оси поля. (Позже мы увидим, как можно создать такое движение.) Меняющееся магнитное поле создает электрическое поле Е, касательное к орбите электрона, которое будет двигать его по окружности. Вследствие симметрии это электрическое поле всюду на окружности принимает одну и ту же величину. Если орбита электрона имеет радиус r, то контурный интеграл от Е по орбите равен скорости изменения магнитного потока через окружность. Контурный интеграл от Е равен просто величине Е, умноженной на длину окружности 2pr. Магнитный поток, вообще говоря, дается интегралом. Обозначим через B_ср — среднее магнитное поле внутри окружности; тогда поток равен этому среднему магнитному полю, умноженному на площадь круга.

Мы получим (отвлекаясь от знака)

Поскольку мы предположили, что r—величина постоянная, то Е пропорционально производной по времени от среднего поля:

(17.4)

Электрон будет чувствовать электрическую силу qE и будет ею ускоряться. Помня, что на основании точного релятивистского уравнения движения скорость изменения импульса пропорцио­нальна силе, имеем

(17.5)

Для принятой нами круговой орбиты электрическая сила, действующая на электрон, всегда направлена по движению, поэтому полный импульс будет расти со скоростью, даваемой равенством (17.5). Комбинируя (17.5) и (17.4), можно связать скорость изменения импульса с изменением среднего магнитного поля:

(17.6)

Интегрируя по t, получаем следующее выражение для им­пульса электрона:

(17.7)

где р₀ — импульс, с которым электрон начинает двигаться, a DB_cp — последующее изменение B_ср. Работа бетатрона — машины, ускоряющей электроны до больших энергий, основана именно на этой идее.

Чтобы понять, как работает бетатрон, необходимо представ­лять себе принцип движения электрона по окружности. В гл. 11 (вып. 1) мы уже обсуждали этот принцип. Если на орбите элект­рона создать магнитное поле В, возникнет поперечная сила qvXB, которая при соответствующем выборе В может заставить электрон двигаться по предположенной орбите. В бетатроне эта поперечная сила вызывает движение электрона по круговой орбите постоянного радиуса. Мы можем определить, каким должно быть магнитное поле на орбите, опять с помощью ре­лятивистского уравнения движения, но на этот раз для попереч­ной компоненты силы. В бетатроне (см. фиг. 17.4) поле В пер­пендикулярно v, поэтому поперечная сила равна qvB. Таким образом, сила равна скорости изменения поперечной компо­ненты импульса p_t:

(17.8)

Когда частица движется по окружности, Скорость изменения поперечного импульса равна величине полного импульса, умноженной на w — угловую скорость вращения (согласно аргу­ментам, приведенным в гл. 11, вып. 1):

(17.9)

где, поскольку движение круговое,

(17.10)

Полагая магнитную силу равной поперечному ускорению, имеем

(17.11)

где В_орб — поле при радиусе, равном r.

В приведенном в действие бетатроне импульс электрона, согласно выражению (17.7), растет пропорционально B_ср, и чтобы электрон продолжал двигаться по собственной окруж­ности, равенство (17.11) должно по-прежнему выполняться вместе с ростом импульса электрона. Величина B_opб должна расти пропорционально импульсу р. Сравнивая (17.11) с (17.7), определяющим р, мы видим, что должно выполняться следую­щее соотношение между В_ср — средним

магнитным полем внутри орбиты радиуса r и магнитным полем В_ор6 на орбите:

(17.12)

Для правильной работы бетатрона нужно, чтобы среднее магнитное поле внутри орбиты росло в два раза быстрее магнитного поля на самой орбите. При этих условиях с ростом энергии частицы, увеличивающейся за счет индуцированного электри­ческого поля, магнитное поле на орбите растет как раз со ско­ростью, нужной для удержания частицы на окружности.

Бетатрон используется для разгона электронов до энергий в десятки или даже в сотни миллионов электронвольт. Однако по ряду причин для ускорения электронов до энергий, много больших нескольких сот миллионов электронвольт, эта машина становится невыгодной. Одна из этих причин — трудность достижения на практике требуемой высокой величины среднего магнитного поля внутри орбиты, а вторая — несправедливость формулы (17.6) для очень больших энергий, так как в ней не учитывается потеря энергии частицей за счет излучения электро­магнитной энергии (так называемое синхротронное излучение, см. гл. 34, вып. 3). По этим причинам ускорение электронов до самых больших энергий — до многих миллиардов электрон-вольт — совершается посредством машины другого рода, назы­ваемой синхротроном.

§ 4. Парадокс

Теперь мы хотели бы предложить вам некий кажущийся парадокс. Парадокс возникает тогда, когда при одном способе рассуждений получается один ответ, а при другом способе — совсем другой, так что мы остаемся в неведении, что же собст­венно должно быть на самом деле. Разумеется, в физике никогда не бывает настоящих парадоксов, потому что существует только один правильный ответ; по крайней мере мы верим, что природа поступает только единственным способом (и именно этот спо­соб, конечно, правильный). Поэтому в физике парадокс — всего лишь путаница в нашем собственном понимании. Итак, вот наш : парадокс.

Представим, что мы конструируем прибор (фиг. 17.5), в котором имеется тонкий круглый пластмассовый диск, ук­репленный концентрически на оси с хорошими подшипниками, так что он совершенно свободно вращается. На диске имеется катушка из проволоки — короткий соленоид, концентричный по отношению к оси вращения. Через этот соленоид проходит постоянный ток / от маленькой батареи, также укрепленной на диске. Вблизи края диска по окружности на равном расстоянии размещены маленькие металлические шарики, изолированные друг от друга и от соленоида пластмассовым материалом диска. Каждый из этих проводящих шариков заряжен одинаковым зарядом Q. Вся картина стационарна, и диск неподвижен. Предположим, что случайно, а может и намеренно, ток в соленоиде прекратился, но, разумеется, без какого-либо вмешательства извне. Пока через соленоид шел ток, более или менее параллельно оси диска проходил магнитный поток.

Фиг. 17.5. Повернется ли диск, если ток I прекратится?

После того как ток прервался, поток этот должен уменьшиться до нуля. Поэтому должно возникать индуцированное электрическое поле, которое будет циркулировать по окружностям с центром на оси диска. Заряженные шарики на периферии диска будут все испытывать действие электрического поля, касательного к внеш­ней окружности диска. Эта электрическая сила направлена для всех зарядов одинаково и, следовательно, вызовет у диска вра­щающий момент. Из этих соображений можно ожидать, что, когда ток в соленоиде исчезнет, диск начнет вращаться. Если нам известны момент инерции диска, ток в соленоиде и заряд шариков, то можно вычислить результирующую угловую

скорость.