6. Электродинамика

Вариация S теперь приобрела такой вид, какой мы хотели ей придать: что-то стоит в скобках (обозначим его F), и все это умножено на h(t)и проинтегрировано от t₁до t₂.

У нас вышло, что интеграл от какого-то выражения, умно­женного на h(t), всегда равен нулю:

Стоит какая-то функция от t; умножаю ее на h(t) и интегрирую ее от начала до конца. И какова бы ни была h, я получаю нуль. Это означает, что функция F(t)равна нулю. В общем-то это очевидно, но я на всякий случай покажу вам один из способов доказательства.

Пусть в качестве h (t) я выберу нечто, что равно нулю всюду, при всех t, кроме одного, заранее выбранного значения t. Оно

остается нулем, пока я не

дойду до этого t,

затем оно подскакивает на мгновение и сразу же оса­живает назад. Если вы берете интеграл от этой h, умно­женной на какую-то функ­цию F, то единственное место, в котором вы получите что-то ненулевое,— это там, где h (t) подскакивало; и у вас получится значение F в этом месте на интеграл по скачку. Сам по себе интеграл по скачку не равен нулю, но после умножения на F он должен дать нуль. Значит, функция в том месте, где был скачок, должна оказаться нулем. Но ведь скачок можно было сделать в любом месте; значит, F должна быть нулем всюду.

Мы видим, что если наш интеграл равен нулю при какой угодно h, то коэффициент при h должен обратиться в нуль. Интеграл действия достигает минимума на том пути, который будет удовлетворять такому сложному дифференциальному уравнению:

На самом деле оно не так уж сложно; вы его уже встречали прежде. Это просто F=ma. Первый член — это масса, умно­женная на ускорение; второй — это производная от потен­циальной энергии, т. е. сила.

Итак, мы показали (по крайней мере для консервативной системы), что принцип наименьшего действия приводит к пра­вильному ответу; он утверждает, что путь, "обладающий мини­мумом действия,— это путь, удовлетворяющий закону Ньютона.

Нужно сделать еще одно замечание. Я не доказал, что это минимум. Может быть, это максимум. На самом деле это и не обязательно должен быть минимум. Здесь все так же, как в «принципе кратчайшего времени», который мы обсуждали, изучая оптику. Там тоже мы сперва говорили о «кратчайшем» времени. Однако выяснилось, что бывают положения, в кото­рых это время не обязательно «кратчайшее». Фундаментальный принцип заключается в том, чтобы для любых отклонений пер­вого порядка от оптического пути изменения во времени были бы равны нулю; здесь та же самая история. Под «минимумом» мы на самом деде подразумеваем, что в первом порядке малости изменения величины S при отклонениях от пути должны быть равны нулю. И это не обязательно «минимум».

Теперь я хочу перейти к некоторым обобщениям. В первую очередь всю эту историю можно было бы проделать и в трех измерениях. Вместо простого x я тогда имел бы x, у и z как функции t, и действие выглядело бы посложнее. При трехмер­ном движении вы должны использовать полную кинетическую энергию: (m/2), умноженное на квадрат всей скорости. Иначе говоря

Кроме того, потенциальная энергия теперь является функцией x, у и z. А что можно сказать о пути? Путь есть некоторая кривая общего вида в пространстве; ее не так легко начертить, но идея остается прежней. А как обстоит дело с h? Что ж, и h имеет три компоненты. Путь можно сдвигать и по x, и по у, и по z, или во всех трех направлениях одновременно. Так что h теперь вектор. От этого сильных усложнений не получается. Раз нулю должны быть равны лишь вариации первого порядка, то можно провести расчет последовательно с тремя сдвигами. Сперва можно сдвинуть h только в направлении x и сказать, что коэффициент должен обратиться в нуль. Получится одно уравнение. Потом мы сдвинем h в направлении у и получим второе. Затем сдвинем в направлении z и получим третье. Можно все, если угодно, проделать в другом порядке. Как бы то ни было, возникает тройка уравнений. Но ведь закон Ньюто­на — это тоже три уравнения в трех измерениях, по одному для каждой компоненты. Вам предоставляется самим убедить­ся, что это все действует и в трех измерениях (работы здесь не так много). Между прочим, можно взять какую угодно систему координат, полярную, любую, и сразу получить зако­ны Ньютона применительно к этой системе, рассматривая, что получится, когда произойдет сдвиг h вдоль радиуса или по углу, и т. д.

Метод может быть обобщен и на произвольное число частиц. Если, скажем, у вас есть две частицы и между ними действуют какие-то силы и имеется взаимная потенциальная энергия, то вы просто складываете их кинетические энергии и вычитаете из суммы потенциальную энергию взаимодействия. А что вы варьируете? Пути обеих частиц. Тогда для двух частиц, движу­щихся в трех измерениях, возникает шесть уравнений. Вы мо­жете варьировать положение частицы 1 в направлении x, в направлении у и в направлении z, и то же самое проделать с частицей 2, так что существует шесть уравнений. И так и должно быть. Три уравнения определяют ускорение частицы 1 через силу, действующую на нее, а три других — ускорение частицы 2 из-за силы, действующей на нее. Следуйте всегда тем же правилам игры, и вы получите закон Ньютона для про­извольного числа частиц.

Я сказал, что мы получим закон Ньютона. Это не совсем верно, потому что в закон Ньютона входят и неконсервативные силы, например трение. Ньютон утверждал, что та равно вся­кой F. Принцип же наименьшего действия справедлив только для консервативных систем, таких, где все силы могут быть получены из потенциальной функции. Но ведь вы знаете, что на микроскопическом уровне, т. е. на самом глубинном физи­ческом уровне, неконсервативных сил не существует. Некон­сервативные силы (такие, как трение) появляются только от того, что мы пренебрегаем микроскопическими сложными эф­фектами: просто слишком много частиц приходится анализировать. Фундаментальные же законы могут быть выражены в виде принципа наименьшего действия.

Позвольте перейти к дальнейшим обобщениям. Положим, нас интересует, что будет, когда частица движется релятивист­ски. Пока мы не получили правильного релятивистского уравнения движения; F=ma верно только в нерелятивистских дви­жениях. Встает вопрос: существует ли в релятивистском случае соответствующий принцип наименьшего действия? Да, су­ществует. Формула в релятивистском случае такова:

Первая часть интеграла действия — это произведение массы покоя m₀ на с2 и на интеграл от функции скорости Ц(1-v2/c2). Затем вместо того, чтобы вычитать потенциальную энергию, мы имеем интегралы от скалярного потенциала j и от вектор­ного потенциала А, умноженного на v, Конечно, здесь приняты во внимание только электромагнитные силы. Все электрические и магнитные поля выражены в терминах j и А. Такая функция действия дает полную теорию релятивистского движения от­дельной частицы в электромагнитном поле.

Конечно, вы должны понимать, что всюду, где я написал v, прежде чем делать выкладки, следует подставить dx/dt вместо v_xи т. д. Кроме того, там, где я писал просто х, у, z, вы должны представить себе точки в момент t: x(t), y(t), z(t). Собственно, только после таких подстановок и замен v у вас получится фор­мула для действия релятивистской частицы. Пусть самые уме­лые из вас попытаются доказать, что эта формула для дей­ствия действительно дает правильные уравнения движения теории относительности. Позвольте лишь посоветовать для начала отбросить А, т. е. обойтись пока без магнитных полей. Тогда вы должны будете получить компоненты уравнения движения dp/dt=-qСj, где, как вы, вероятно, помните, p=mv/Ц(l-v2/с2).

Включить в рассмотрение векторный потенциал А намного труднее. Вариации тогда становятся несравненно более слож­ными. Но в конце сила оказывается равной тому, чему следует: q(E+vXB). Но позабавьтесь с этим сами.

Мне хотелось бы подчеркнуть, что в общем случае (к при­меру, в релятивистской формуле) под интегралом в действии уже не стоит разность кинетической и потенциальной энергий. Это годилось только в нерелятивистском приближении. На­пример, член m₀c2Ц(1-v2/с2) — это не то, что называют кине­тической энергией. Вопрос о том, каким должно быть действие для произвольного частного случая, может быть решен после некоторого числа проб и ошибок. Это задача того же типа, что и определение, каковы должны быть уравнения движения. Вы просто должны поиграть с известными вам уравнениями и посмотреть, можно ли их написать в виде принципа наимень­шего действия.

Еще одно замечание по поводу терминологии. Ту функцию, которую интегрируют по времени, чтобы получить действие S, называют лагранжианом ж. Это функция, зависящая только от скоростей и положений частиц. Так что принцип наименьшего действия записывается также в виде

где под x_iи v_iподразумеваются все компоненты координат и скоростей. Если вы когда-нибудь услышите, что кто-то говорит о «лагранжиане», знайте, что речь идет о функции, применяемой для получения S. Для релятивистского движения в электро­магнитном поле

Кроме того, я должен отметить, что самые дотошные и пе­дантичные люди не называют S действием. Его именуют «первой главной функцией Гамильтона». Но читать лекцию о «принципе наименьшей первой главной функции Гамильтона» было свыше моих сил. Я назвал это «действием». Да к тому же все больше и больше людей называют это «действием». Видите ли, истори­чески действием было названо нечто другое, не столь полезное для науки, но я думаю, что разумнее изменить определение. Теперь и вы начнете именовать новую функцию действием, а вскоре и все вообще станут называть ее этим простым именем.

Теперь я хочу сообщить вам по поводу нашей темы кое-что, похожее на те рассуждения, которые я вел по поводу принципа кратчайшего времени. Существует разница в самом существе закона, утверждающего, что некоторый интеграл, взятый от одной точки до другой, имеет минимум,— закона, который сообщает нам что-то обо всем пути сразу, и закона, который говорит, что когда вы двигаетесь, то, значит, есть сила, приво­дящая к ускорению. Второй подход докладывает вам о каждом вашем шаге, он прослеживает ваш путь пядь за пядью, а пер­вый выдает сразу какое-то общее утверждение обо всем прой­денном пути. Толкуя о свете, мы говорили о связи этих двух подходов. Теперь я хочу объяснить вам, отчего должны суще­ствовать дифференциальные законы, если имеется такой прин­цип — принцип наименьшего действия. Причина вот в чем: рассмотрим действительно пройденный в пространстве и вре­мени путь. Как и прежде, обойдемся одним измерением, так что можно будет начертить график зависимости x от t. Вдоль истинного пути S достигает минимума. Положим, что у нас есть этот путь и что он про­ходит через некоторую точку а пространства и времени и через другую соседнюю точку b.

Теперь, если весь интеграл от t₁ до t₂ достиг минимума, необ­ходимо, чтобы интеграл вдоль маленького участочка от а до b тоже был минимальным. Не может быть, чтобы часть от а до b хоть чуточку превосходила минимум. Иначе вы могли бы по­двигать туда-сюда кривую на этом участочке и снизить немного значение всего интеграла.

Значит, любая часть пути тоже должна давать минимум. И это справедливо для каких угодно маленьких долек пути. Поэтому тот принцип, что весь путь должен давать минимум, можно сформулировать, сказав, что бесконечно малая долька пути — это тоже такая кривая, на которой действие минималь­но. И если мы возьмем достаточно короткий отрезок пути — между очень близкими друг к другу точками а и b,— то уже неважно, как меняется потенциал от точки к точке вдали от этого места, потому что, проходя весь ваш коротенький отрезочек, вы почти не сходите с места. Единственное, что вам нужно учитывать,— это изменение первого порядка малости в потенциале. Ответ может зависеть только от производной по­тенциала, а не от потенциала в других местах. Так, утвержде­ние о свойстве всего пути в целом становится утверждением о том, что происходит на коротком участке пути, т. е. диф­ференциальным утверждением. И эта дифференциальная формулировка включает производные от потенциала, т. е. силу в данной точке. Таково качественное объяснение связи между законом в целом и дифференциальным законом.

Когда мы говорили о свете, то обсуждали также вопрос: как все-таки частица находит правильный путь? С дифферен­циальной точки зрения это понять легко. В каждый момент частица испытывает ускорение и знает только то, что ей поло­жено делать в это мгновение. Но все ваши инстинкты причин и следствий встают на дыбы, когда вы слышите, что частица «решает», какой ей выбрать путь, стремясь к минимуму дей­ствия. Уж не «обнюхивает» ли она соседние пути, прикидывая, к чему они приведут — к большему или к меньшему действию? Когда мы на пути света ставили экран так, чтобы фотоны не могли перепробовать все пути, мы выяснили, что они не могут решить, каким путем идти, и получили явление дифракции.

Но верно ли это и для механики? Правда ли, что частица не просто «идет верным путем», а пересматривает все другие мыслимые траектории? И что если, ставя преграды на ее пути, мы не дадим ей заглядывать вперед, то мы получим некий ана­лог явления дифракции? Самое чудесное во всем этом — то, что все действительно обстоит так. Именно это утверждают законы квантовой механики. Так что наш принцип наименьшего действия сформулирован не полностью. Он состоит не в том, что частица избирает путь наименьшего действия, а в том, что она «чует» все соседние пути и выбирает тот, вдоль которого действие минимально, и способ этого выбора сходен с тем, ка­ким свет отбирает кратчайшее время. Вы помните, что способ, каким свет отбирает кратчайшее время, таков: если свет пойдет по пути, требующему другого времени, то придет он с другой фазой. А полная амплитуда в некоторой точке есть сумма вкладов амплитуд для всех путей, по которым свет может ее достичь. Все те пути, у которых фазы резко различаются, ничего после сложения не дают. Но если вам удалось найти всю последовательность путей, фазы которых почти одинаковы, то мелкие вклады сложатся, и в точке прибытия полная ампли­туда получит заметное значение. Важнейшим путем становится тот, возле которого имеется множество близких путей, дающих ту же фазу.

В точности то же происходит и в квантовой механике. За­конченная квантовая механика (нерелятивистская и пренебре­гающая спином электрона) работает так: вероятность того, что частица, выйдя из точки 1 в момент t₁, достигнет точки 2 в момент t₂, равна квадрату амплитуды вероятности. Полная амплитуда может быть записана в виде суммы амплитуд для всех возможных путей — для любого пути прибытия. Для лю­бого x(t), которое могло бы возникнуть для любой мыслимой воображаемой траектории, нужно подсчитать амплитуду. Затем их все нужно сложить. Что же мы примем за амплитуду ве­роятности некоторого пути? Наш интеграл действия говорит нам, какой обязана быть амплитуда отдельного пути. Ампли­туда пропорциональна eiS/h, где S — действие на этом пути. Это значит, что если мы представим фазу амплитуды в виде комплексного числа, то фазовый угол будет равен S/h,. Действие S имеет размерность энергии на время, и у постоянной Планка размерность такая же. Это постоянная, которая определяет, когда нужна квантовая механика.

И вот как все это срабатывает. Пусть для всех путей дейст­вие S будет весьма большим по сравнению с числом h. Пусть какой-то путь привел к некоторой величине амплитуды. Фаза рядом проложенного пути окажется совершенно другой, потому что при огромном S даже незначительные изменения S резко меняют фазу (ведь h чрезвычайно мало). Значит, рядом лежащие пути при сложении обычно гасят свои вклады. И толь­ко в одной области это не так — в той, где и путь и его сосед— оба в первом приближении обладают одной и той же фазой (или, точнее, почти одним и тем же действием, меняющимся в пределах h). Только такие пути и принимаются в расчет. А в предельном случае, когда постоянная Планка h стремится к нулю, правильные квантовомеханические законы можно подытожить, сказав: «Забудьте обо всех этих амплитудах ве­роятностей. Частица и впрямь движется по особому пути — именно по тому, по которому S в первом приближении не ме­няется». Такова связь между принципом наименьшего действия и квантовой механикой. То обстоятельство, что таким способом можно сформулировать квантовую механику, было открыто в 1942 г. учеником того же самого учителя, мистера Бадера, о котором я вам рассказывал. [Первоначально квантовая меха­ника была сформулирована при помощи дифференциального уравнения для амплитуды (Шредингер), а также при помощи некоторой матричной математики (Гейзенберг).]

Теперь я хочу потолковать о других принципах минимума в физике. Есть очень много интересных принципов такого рода. Я не буду их все перечислять, а назову еще только один. Позже, когда мы доберемся до одного физического явления, для ко­торого существует превосходный принцип минимума, я рас­скажу вам о нем. А сейчас я хочу показать, что необязательно описывать электростатику при помощи дифференциального уравнения для поля; можно вместо этого потребовать, чтобы некоторый интеграл обладал максимумом или минимумом. Для начала возьмем случай, когда плотность зарядов известна повсюду, а нужно найти потенциал j в любой точке простран­ства. Вы уже знаете, что ответ должен быть такой:

Другой способ утверждать то же самое заключается в следую­щем: надо вычислить интеграл U*

это объемный интеграл. Он берется по всему пространству. При правильном распределении потенциала j(x, у, z) это выра­жение достигает минимума.

Мы можем показать, что оба эти утверждения относительно электростатики эквивалентны. Предположим, что мы выбрали произвольную функцию j. Мы хотим показать, что когда в ка­честве j мы возьмем правильное значение потенциала j плюс малое отклонение f, то в первом порядке малости изменение в U* будет равно нулю. Так что мы пишем

здесь j — это то, что мы ищем; но мы проварьируем j, чтобы увидеть, каким он должен быть для того, чтобы вариация U* оказалась первого порядка малости. В первом члене U* нам нужно написать

Единственный член первого порядка, который будет ме­няться, таков:

Во втором члене U* подынтегральное выражение примет вид

изменяющаяся часть здесь равна rf. Оставляя только меняю­щиеся члены, получим интеграл

Дальше, руководствуясь нашим старым общим правилом, мы должны очистить интеграл от всех производных по f. По­смотрим, что это за производные. Скалярное произведение равно

Это нужно проинтегрировать по x, у и по z. И здесь напраши­вается тот же фокус: чтобы избавиться от df/dx, мы проинтегри­руем по х по частям. Это приведет к добавочному дифференци­рованию j по х. Это та же основная идея, с помощью которой мы избавились от производных по t. Мы пользуемся равенством

Другой способ утверждать то же самое заключается в следую­щем: надо вычислить интеграл U*

это объемный интеграл. Он берется по всему пространству. При правильном распределении потенциала j(x, у, z) это выра­жение достигает минимума.

Мы можем показать, что оба эти утверждения относительно электростатики эквивалентны. Предположим, что мы выбрали произвольную функцию j. Мы хотим показать, что когда в ка­честве j мы возьмем правильное значение потенциала j плюс малое отклонение f, то в первом порядке малости изменение в U* будет равно нулю. Так что мы пишем

здесь j — это то, что мы ищем; но мы проварьируем j, чтобы увидеть, каким он должен быть для того, чтобы вариация U* оказалась первого порядка малости. В первом члене U* нам нужно написать

Единственный член первого порядка, который будет ме­няться, таков:

Во втором члене U* подынтегральное выражение примет вид

изменяющаяся часть здесь равна rf. Оставляя только меняю­щиеся члены, получим интеграл