6. Электродинамика

Но одну минутку! Мы нашли два разных выражения для отно­шения Е/В. Может ли такое поле, как мы описываем, дей­ствительно существовать? Имеется лишь одна скорость v, для которой оба уравнения могут быть справедливы, а именно v = с. Волновой фронт должен передвигаться со скоростью с. Вот пример, когда электрическое возмущение от тока распро­страняется с определенной конечной скоростью с.

А теперь спросим, что произойдет, если мы внезапно оста­новим заряженный лист, после того как он двигался в течение короткого времени Т? Увидеть, что случится, можно с помощью принципа суперпозиции. У нас был ток, равный нулю, а затем его внезапно включали. Мы знаем решение для этого случая. Теперь мы собираемся добавить другой ряд полей. Мы берем другой заряженный лист и внезапно начинаем его двигать в противоположном направлении с той же скоростью, только спустя время Т после начала движения первого листа. Полный ток от двух листов вместе сначала равен нулю, потом он вклю­чается в течение времени Т, затем выключается снова, потому что оба тока погашаются. Так мы получаем прямоугольный «импульс» тока.

Новый отрицательный ток создает такие же поля, как и по­ложительный, но с обратными знаками и, разумеется, с запаздыванием во времени Т. Волновой фронт по-прежнему движется со скоростью с. В момент времени t он достигает расстояния x=±c(t- Т) (см. фиг. 18.4, б). Итак, мы имеем два «куска» поля, перемещающихся со скоростью с (см. фиг. 18.4, а и б). Соединенные поля будут такими, как показано на фиг. 18.4, в. Для х>сt поля равны нулю, между х=с(t-Т) и x=ct они постоянны (со значениями, которые мы нашли выше), и для x<c(t-Т) они снова равны нулю.

Короче говоря, мы получаем маленький кусочек поля тол­щиной сТ, который покинул заряженный лист и передвигается через все пространство сам по себе. Поля «оторвались»; они распространяются свободно в пространстве и больше не связаны каким-то образом с источником. Куколка превратилась в бабочку!

Как же эти совокупности электрического и магнитного полей могут сохранять сами себя? Ответ: За счет сочетания эффектов из закона Фарадея СXE=-dВ/dt и нового члена, добавлен­ного Максвеллом c2СX B=dE/dt. Они не могут не сохранять себя. Предположим, что магнитное поле исчезло бы. Тогда появилось бы меняющееся магнитное поле, которое создавало бы электрическое поле. Если бы это электрическое поле попы­талось исчезнуть, то изменяющееся электрическое поле создало бы магнитное поле снова. Следовательно, за счет непрерывного взаимодействия — перекачивания туда и обратно от одного поля к другому — они должны сохраняться вечно. Они не могут исчезнуть. Они сохраняются, вовлеченные в общий танец — одно поле создает другое, а второе создает первое,— распространяясь все дальше и дальше в пространстве.

§ 5. Скорость света

У нас есть волна, которая уходит от материального источ­ника и движется со скоростью с (это скорость света). Вернемся немного назад. Исторически не было известно, что коэффициент c в уравнениях Максвелла тот же, что и скорость распростра­нения света. Это была просто константа в уравнениях. Мы на­звали ее с c самого начала, так как знали, что в конце концов должно получиться. Мы не думаем, что было бы разумнее сна­чала заставить вас выучить формулы с разными константами, а затем вернуться обратно и подставить с повсюду, где оно должно стоять. С точки зрения электричества и магнетизма, однако, мы прямо начинаем с двух констант e₀ и с2, которые появляются в уравнениях электростатики и магнитостатики:

(18.14)

и

(18.15)

Если взять любое произвольное определение единицы заряда, можно экспериментально определить постоянную e₀, входящую в уравнение (18.14), скажем, измеряя силу между двумя не­подвижными единичными зарядами по закону Кулона. Мы должны также определить экспериментально постоянную e₀с2, которая появляется в уравнении (18.15), что можно сделать, скажем, измерив силу между двумя единичными токами. (Еди­ничный ток означает единичный заряд в секунду.) Отношение этих двух экспериментальных постоянных есть с2 — как раз другая «электромагнитная постоянная».

Заметим теперь, что постоянная с2 получается одна и та же независимо от того, какова выбранная наша единица заряда. Если мы выберем «заряд» в два раза больше (скажем, удвоен­ный заряд протона), то в нашей «единице» заряда e₀ должна уменьшиться в четыре раза. Когда мы пропускаем два таких «единичных» тока по двум проводам, в каждом проводе будет в два раза больше «зарядов» в секунду, так что силы между двумя проводами будут в четыре раза больше. Постоянная e₀с2 должна уменьшиться в четыре раза. Но отношение e₀с2/e₀ не меняется.

Следовательно, непосредственно из экспериментов с заряда­ми и токами мы находим число с2, которое оказывается равным квадрату скорости распространения электромагнитных воз­буждений. Из статических измерений (измеряя силы между двумя единичными зарядами и между двумя единичными токами) мы находим, что с=3,00·108 м/сек. Когда Максвелл впервые проделал это вычисление со своими уравнениями, он сказал, что совокупность электрического и магнитного полей будет распространяться с этой скоростью. Он отметил также таин­ственное совпадение — эта скорость была равна скорости света. «Мы едва ли можем избежать заключения,— сказал Максвелл,— что свет — это поперечное волнообразное движение той же самой среды, которая вызывает электрические и магнит­ные явления».

Так Максвелл совершил одно из великих обобщений физики! До него был свет, было электричество и был магнетизм. Причем два последних явления были объединены экспериментальными работами Фарадея, Эрстеда и Ампера. Потом внезапно свет не стал уже больше «чем-то еще», а был электричеством и магнетизмом в новой форме, небольшими кусками электри­ческого и магнитного полей, которые распространяются в про­странстве самостоятельно.

Мы обращали ваше внимание на некоторые черты этого осо­бого решения, которые, однако, справедливы для любой элек­тромагнитной волны: магнитное поле перпендикулярно направ­лению движения фронта волны; электрическое поле также перпендикулярно направлению движения фронта волны; и два вектора Е и В перпендикулярны друг другу. Далее, величина электрического поля Е равна произведению с на величину маг­нитного поля В. Эти три факта — что оба поля поперечны на­правлению распространения, что В перпендикулярно Е и что Е=сВ — верны вообще для любой электромагнитной волны. Наш частный случай — хороший пример, он показывает все основные свойства электромагнитных волн.

§ 6. Решение уравнений Максвелла; потенциалы и волновое уравнение

Теперь стоило бы заняться немного математикой; мы запи­шем уравнения Максвелла в более простой форме. Вы, пожалуй, сочтете, что мы усложняем их, но если вы наберетесь терпения, то внезапно обнаружите их большую простоту. Хотя вы уже вполне привыкли к каждому из уравнений Максвелла, имеется все же много частей, которые стоит соединить воедино. Вот как раз этим мы и займемся.

Начнем с С·В=0 — простейшего из уравнений. Мы знаем, что оно подразумевает, что В — есть ротор чего-то. Поэтому, если вы записали

B = СXA, (18.16)

то считайте, что уже решили одно из уравнений Максвелла. (Между прочим, заметьте, что оно остается верно для другого вектора А', если A'=A+Сty, где y— любое скалярное поле, потому что ротор Сy — нуль и В — по-прежнему то же самое. Мы говорили об этом раньше.)

Теперь разберем закон Фарадея СXE= -dB/dt, потому что он не содержит никаких токов или зарядов. Если мы за­пишем В как СXA и продифференцируем по t, то сможем пере­писать закон Фарадея в форме

СXE = - d/dtСXA.

Поскольку мы можем дифференцировать сначала либо по вре­мени, либо по координатам, то можно написать это уравнение также в виде

(18.17)

Мы видим, что Е+дА/дt — это вектор, ротор которого равен нулю. Поэтому такой вектор есть градиент чего-то. Когда мы занимались электростатикой, у нас было СXE=0, и мы тогда решили, что Е — само градиент чего-то. Пусть это градиент от -j (минус для технических удобств). То же самое сделаем и для E+дA/дt; мы полагаем

(18.18)

Мы используем то же обозначение j, так что в электростатиче­ском случае, когда ничто не меняется со временем и dA/dt исчезает, Е будет нашим старым -Сj. Итак, закон Фарадея можно представить в форме

(18.19)

Мы уже решили два из уравнений Максвелла и нашли, что для описания электромагнитных полей Е и В нужны четыре потенциальные функции: скалярный потенциал j и векторный потенциал А, который, разумеется, представляет три функции.

Итак, А определяет часть Е, так же как и В. Что же про­изойдет, когда мы заменим А на A'=A+Сy? В общем, Е долж­но было бы измениться, если не принять особых мер. Мы можем, однако, допустить, что А изменяется так, чтобы не влиять на поля Е и В (т. е. не меняя физики), если будем всегда изменять А и j вместе по правилам

(18.20)

Тогда ни В, ни Е, полученные из уравнения (18.19), не меня­ются.

Раньше мы выбирали С·А=0, чтобы как-то упростить уравнения статики. Теперь мы не собираемся так поступать; мы хотим сделать другой выбор. Но подождите немного, прежде чем мы скажем, какой это выбор, потому что позднее станет ясно, почему вообще делается выбор.

Сейчас мы вернемся к двум оставшимся уравнениям Максвел­ла, которые свяжут потенциалы и источники r и j. Раз мы можем определить А и j из токов и зарядов, то можно всегда получить Е и В из уравнений (18.16) и (18.19) и мы будем иметь другую форму уравнений Максвелла.

Начнем с подстановки уравнения (18.19) в С·E=r/e₀; получаем

это можно записать еще в виде

(18.21)

Таково первое уравнение, связывающее j и А с источниками, Наше последнее уравнение будет самым трудным. Мы начнем с того, что перепишем четвертое уравнение Максвелла:

а затем выразим В и Е через потенциалы, используя уравнения (18.16) и (18.19):

Первый член можно переписать, используя алгебраическое тождество Vx (СXA) = С (С·A)-С2A; мы получаем

(18.22)

Не очень-то оно простое!

К счастью, теперь мы можем использовать нашу свободу в произвольном выборе дивергенции А. Сейчас мы собираемся сделать такой выбор, чтобы уравнения для А и для j разделились, но имели одну и ту же форму. Мы можем сделать это, выбирая

(18.23)

Когда мы поступаем так, то второе и третье слагаемые в уравнении (18.22) погашаются, и оно становится много проще:

(18.24)

И. наше уравнение (18.21) для j принимает такую же форму:

(18.25)

Какие красивые уравнения! Они великолепны прежде всего потому, что хорошо разделились — с плотностью заряда стоит j, а с током стоит А. Далее, хотя левая сторона выглядит не­много нелепо — лапласиан вместе с (d/dt)2, когда мы раскроем ее, то обнаружим

(18.26)

Это уравнение имеет приятную симметрию по х, у, z, t; здесь (-1/с2) нужно, конечно, потому, что время и координаты раз­личаются; у них разные единицы.

Уравнения Максвелла привели нас к нового типа уравнению для потенциалов j и А, но с одной и той же математической формой для всех четырех функций j, А_х, А_уи А_г. Раз мы научились решать эти уравнения, то можем получить В и Е изСXЕ и-Сj-dA/dt. Мы приходим к другой форме электро­магнитных законов, в точности эквивалентной уравнениям Максвелла; с ними во многих случаях обращаться гораздо проще.

Фактически мы уже решали уравнение, весьма похожее на (18.26). Когда мы изучали звук в гл. 47 (вып. 4), мы имели уравнение в форме

и видели, что оно описывает распространение волн в x-направлении со скоростью с. Уравнение (18.26) это соответствующее волновое уравнение для трех измерений. Поэтому в области, где больше нет зарядов и токов, решение этих уравнений не означает, что j и А — нули. (Хотя на самом деле нулевое решение есть одно из возможных решений.) Имеются решения, представляющие некоторую совокупность j и А, которые ме­няются со временем, но всегда движутся со скоростью с. Поля передвигаются вперед через свободное пространство, как в нашем примере в начале главы.

С новым членом, добавленным Максвеллом в уравнение IV, мы смогли записать полевые уравнения в терминах А и j в форме, которая проста и сразу же позволяет выявить существование электромагнитных волн. Для многих практических целей еще будет удобно использовать первоначальные урав­нения в терминах Е и В. Но они — по ту сторону горы, на ко­торую мы уже вскарабкались. Теперь мы можем посмотреть вокруг. Все будет выглядеть иначе, — нас ожидают новые, прекрасные пейзажи.

*Это не совсем так. Поля могут быть «поглощены», если попадут в область, в которой есть заряды.

Это значит, что где-то могут быть созданы другие поля, которые наложатся на эти поля и «погасят»их в результате деструктивной интерференции (см. гл. 31, вып. 3)

* К-2— вторая по высоте вершина мира в северо-западных отрогах Гималаев, называемых Каракорум.—- Прим. ред.

*Выбор значения С·А называется «выбором калибровки». Изменение А за счет добавления Сy называется «калибровочным преобра­зованием». Выбор (18.23) называют «калибровкой Лоренца».

Глава 19

ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ

Добавление, сделанное после лекции

Когда я учился в школе, наш учитель фи­зики, по фамилии Бадер, однажды зазвал меня к себе после урока и сказал: «У тебя вид такой, как будто тебе все страшно надоело; послу­шай-ка об одной интересной вещи». И он рас­сказал мне нечто, что мне показалось поистине захватывающим. Даже сейчас, хотя с тех пор прошла уже уйма времени, это продолжает меня увлекать. И всякий раз, когда я вспоми­наю о сказанном, я вновь принимаюсь за ра­боту. И на этот раз, готовясь к лекции, я поймал себя на том, что вновь анализирую все то же самое. И, вместо того чтобы гото­виться к лекции, я взялся за решение новой задачи. Предмет, о котором я говорю,— это принцип наименьшего действия.

Вот что сказал мне тогда мой учитель Бадер: «Пусть, к примеру, у тебя имеется частица в поле тяжести; эта частица, выйдя откуда-то, свободно движется куда-то в другую точку. Ты подбросил ее, скажем, кверху, а она взлетела, а потом упала.